close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
КОЛЛЕКТИВ.
1. (7) Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причем никакие двое не собрали
одинакового числа грибов. Докажите, что есть трое грибников, собравших вместе не
менее 50 грибов.
2. (7) Точку внутри треугольника соединили отрезками с тремя точками, взятыми по
одной на каждой стороне. Два из образовавшихся четырехугольника – вписанные.
Докажите, что если третий четырехугольник – выпуклый, то он также вписанный.
ЭКСПРЕСС.
1. (5) На окружности даны 2015 точек: одна красная и 2014 синих. Рассмотрим
всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких
многоугольников больше: тех, которые содержат красную точку или тех, которые её не
содержат?
2. (5) Рассматриваются функции вида у = х2 + ах + b, где a + b = 2015. Докажите, что
графики всех этих функций имеют общую точку.
3. (6) Ортогональными проекциями некоторого тела на две плоскости являются круги.
Могут ли они иметь разные радиусы?
4. (6) Делегация некоторой страны на Олимпийских играх состояла из спортсменов и
чиновников. Средний возраст спортсменов на начало олимпиады составил 22 года, а
чиновников – 47 лет. При этом средний возраст всех членов делегации оказался равным
41 году. Какова в этой делегации была доля чиновников, выраженная в процентах?
5. (6) Два правильных шестиугольника со стороной длины 2 имеют общий центр.
Докажите, что площадь их общей части не менее 9.
6. (5) Постройте график функции
y
sin
4
x  4 cos
2
x
cos
4
x  4 sin
2
x .
КАПИТАНЫ.
1.(3) Можно ли по изображению треугольной пирамиды
определить: пересекаются ли отрезки QP и UN?
2. (5) Есть 31 монета, из которых 30 настоящих, весящих
одинаково, а одна фальшивая, отличающаяся по весу от
настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах
без гирек определить, легче или тяжелее фальшивая
монета, чем настоящая?
3. (6) Мария Ивановна в целях повышения успеваемости
решила награждать конфетами школьников, которые
получат за работу по математике оценки выше 3. Для этого она купила несколько
одинаковых коробок конфет. После первой работы Мария Ивановна раздала поровну
конфеты из одной коробки 14 ученикам и у нее осталось 9 конфет, которые она съела
сама. После второй работы она раздала 15 «хорошистам» поровну конфеты из другой
коробки и отнесла оставшиеся 8 штук завучу. За третью работу получили оценки «4» и
«5» 10 учеников. Сколько конфет останется для директора?
ВЫЕЗДНОЙ.
1. Квадрат перегнули как показано на рисунке, и в образовавшийся
треугольник вписали окружность. Докажите, что ее радиус равен отрезку
MN.
2. Известно, что уравнение ах2 – bx + c = 0, где а и с – целые числа, а b –
натуральное, имеет ровно два различных корня, принадлежащих
интервалу (0; 1). При каких а это верно?
3. а1 + а2 + а3 + а4 = 1, а 1  а 2  а 3  а 4  0. Докажите, что
а1  3а 2  5 а 3  7 а 4  1 .
2
2
2
2
4. Вне плоскости прямоугольника АВСD расположена точка S. Известно, что SА = 3, SВ =
4, SС = 5. Найдите SD.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа