close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...Ð¿Ñ Ð¸ Ñ Ð¾Ð³Ð»Ð°Ñ Ð¾Ð²Ð°Ð½Ð½Ñ Ñ Ñ ÐºÑ Ð¿ÐµÑ Ñ Ð½Ñ Ñ Ð¾Ñ ÐµÐ½ÐºÐ°Ñ Ð¿Ð°Ñ Ð½Ñ Ñ Ñ Ñ Ð°Ð²Ð½ÐµÐ½Ð¸Ð¹

код для вставкиСкачать
УДК 517.9, 519.816
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ СОГЛАСОВАННЫХ
ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНКАХ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ
Н.И. НЕДАШКОВСКАЯ
Рассмотрены две группы методов парных сравнений для нахождения относительных весов альтернатив решений на основе экспертных оценок: методы
типа «линия» и «треугольник». В методах типа «линия» веса n альтернатив
вычислены на основании n − 1 экспертных оценок парных сравнений, выполненных в шкале, и предполагается полная согласованность знаний эксперта.
Методы типа «треугольник» для вычисления весов требуют избыточное количество n ( n − 1) / 2 экспертных оценок, которые используются для оценивания
согласованности знаний эксперта. Проведено сравнение результатов, полученных этими двумя группами методов. Используя моделирование работы эксперта высокой компетентности при оценивании альтернатив решений методами парных сравнений в шкале Саати, получены оценки ошибок весов,
вычисленных методами типа «треугольник» и «линия». Показано, что условие
полной согласованности экспертных оценок парных сравнений, которые выполнены в шкале, может внести дополнительную ошибку при построении матрицы парных сравнений и, следовательно, в результирующие веса.
ВВЕДЕНИЕ
Методы парных сравнений используются для вычисления относительных
весов альтернатив решений по критерию решений на основании экспертных оценок. Суть этих методов состоит в том, что эксперт сравнивает все
или некоторые пары альтернатив в предлагаемой ему шкале. В [1, 2] разработан метод, назовем его «треугольник», в соответствии с которым все альтернативы попарно сравниваются в шкале отношений и в результате эксперт
дает n ( n − 1) / 2 оценок, где n — количество альтернатив. Эти оценки записываются в матрицу Dn×n = {d ij | i, j = 1, ...,n} парных сравнений (МПС),
d ij > 0 , для которой справедливо свойство обратной симметричности
d ji = 1 / d ij . Непротиворечивость экспертных оценок парных сравнений оп-
ределяется с помощью показателей несогласованности CR , GCI, HCR,
CI tr МПС. Описание и анализ этих показателей выполнены в [3, 4]. Известен критерий, который определяет уровень допустимой несогласованности
МПС [1, 2]. Метод «треугольник» обоснован только для допустимо несогласованных МПС. Для улучшения согласованности МПС применяют обратную связь с экспертом или подходы [5] без участия эксперта, которые корректируют МПС в зависимости от уровня ее согласованности.
Так как количество экспертных оценок, равное n ( n − 1) / 2 , избыточно, в [6–8] разработаны методы парных сравнений типа «линия», которые
уменьшают нагрузку на эксперта. В этих методах предполагается полная
согласованность знаний эксперта и поэтому от эксперта требуется только
© Н.И. Недашковская, 2014
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4
35
Н.И. Недашковская
n − 1 оценок. В методах [6, 7] эксперт сравнивает все альтернативы решений с одним выбранным объектом. В методе [8] выбираются ведущие пары
альтернатив, которые сравниваются.
Считается, что полная согласованность (непротиворечивость) оценок —
идеальный случай, к которому следует стремиться эксперту, выполняя парные сравнения [6–8, 10]. Однако, если эксперт дал согласованные оценки, то
они не обязательно отображают истинные веса сравниваемых альтернатив.
Цель работы — сравнение точности результатов, получаемых методом
«линия» на основании полностью согласованных экспертных оценок парных сравнений и методом «треугольник» без наложения требования полной
согласованности.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Дано: A = {ai | i = 1,..., n} — множество альтернатив решений; C — характеристика, по которой сравниваются эти альтернативы, в дальнейшем — критерий решений.
Необходимо определить w = {wi | i = 1,..., n} — нормированные относительные веса (в дальнейшем — веса) альтернатив по критерию C , wi > 0,
n
∑ wi = 1.
i =1
Пусть высококомпетентный эксперт проводит оценивание альтернатив
решений из А методом парных сравнений в шкале отношений. Одной из таких шкал, которая часто используется, является шкала Саати 1–9, в которой
1 соответствует одинаковой важности сравниваемых элементов, 3 — слабому превосходству, 5 — сильному превосходству, 7 — очень сильному
превосходству, 9 — абсолютному превосходству и 2, 4, 6, 8 — промежуточным значениям [1, 2]. Если a i превышает (важнее) a j , то в соответствии со
шкалой Саати, величина этого превосходства d ij принимает значения из
дискретного множества {2,K,9}. В противном случае — с множества
{1 / 9, 1 / 8,K,1 / 2}.
Под определением «высококомпетентный» понимается эксперт, который дает оценки альтернатив, наиболее соответствующие реальным весам
wiреал этих альтернатив. А именно, если эксперт оценивает отношение
реальных весов, то наиболее соответствующая его оценка d ij* —
wiреал / w реал
j
деление шкалы. Ошибки, присутствующие
это ближайшее к wiреал / w реал
j
в оценках этого эксперта, обусловлены точностью используемой шкалы.
Оценки такого эксперта будут моделироваться в данной работе.
Необходимо исследовать влияние требования полной согласованности
(непротиворечивости) экспертных оценок парных сравнений, выполненных
в шкале отношений Саати, на точность вычисленных весов wi , а также
оценить неопределенность, которую вносит шкала Саати в оценки эксперта.
Точность будет оцениваться значением нормы отклонения вектора вычисленных весов от вектора известных реальных весов.
36
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4
Принятие решений при согласованных экспертных оценках парных сравнений
МЕТОДЫ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ «ТРЕУГОЛЬНИК» И «ЛИНИЯ»
Метод «треугольник». Эксперт попарно сравнивает все альтернативы
в шкале Саати и по результатам строится матрица парных сравнений (МПС):
1
⎫
⎧1 1 1
Dn×n = {dij | i, j = 1, ..., n} , d ji = 1 / d ij , dij ∈ L = ⎨ , , ,L, ,1, 2, 3,L,8, 9⎬ . Эле2
⎭
⎩9 8 7
менты МПС показывают отношения неизвестных значений весов альтернатив по критерию решений:
d ij =
vi
ε ij ,
vj
(1)
где ε ij > 0 — возмущение.
Вектор ненормированных весов v вычисляется методами EM (eigenvector method — метод главного собственного вектора), RGMM (row geometric mean method — метод геометрической средней по строкам) и др. [9]. В соответствии с методом ЕМ, вектор весов v — это собственный вектор
МПС, соответствующий ее наибольшему собственному значению [1, 2].
Среди оптимизационных наибольшее распространение получил метод логарифмических наименьших квадратов (другое название — метод геометрической средней RGMM). Согласно методу RGMM, вектор весов v — тот, при
котором достигается минимальная суммарная ошибка в (1) [9]:
n
n
∑ ∑ (ln ε ij ) 2 → min при ограничениях
i =1 j =1
n
∏ vi = 1 и vi
> 0 , i = 1, ..., n ,
i =1
1/ n
⎛ n
⎞
тогда vi = ⎜ ∏ d ij ⎟ .
⎜ j =1 ⎟
⎝
⎠
Вычисленные на основании МПС веса v имеют смысл, если возмущение δ ij = | ε ij − 1 | в (1) мало. Величина возмущения связывается с понятием
согласованности МПС.
МПС Dn×n = {dij | i, j = 1,...,n} называется полностью согласованной (далее
с целью сокращения — согласованной), если dij = dik dkj для ∀ i , j , k = 1,..., n.
МПС согласована тогда и только тогда, когда в (1) ε ij = 1 ∀ i , j = 1, ... , n .
МПС согласована тогда и только тогда, когда CR = 0 ,
GCI = 0 ,
HCR = 0 , CI tr = 0 .
Небольшой уровень несогласованности МПС приемлем на практике:
несогласованность МПС допустима, если показатель несогласованности CR
не превышает установленное для него пороговое значение [1].
МПС D согласована тогда и только тогда, когда ее ранг rang ( D) = 1
и d ii = 1. Следовательно, согласованная МПС определяется одним своим
столбцом (строкой).
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4
37
Н.И. Недашковская
В [6] разработан метод «линия», в котором эксперт выполняет парные
сравнения альтернатив с одной выбранной альтернативой и имеет место
полная согласованность знаний эксперта.
Метод «линия». Рассмотрим метод «линия» с выбором эталонной альтернативы [6], когда экспертные оценки выполнены в шкале отношений.
Эксперт выбирает ae — эталонную альтернативу и, используя шкалу, сравнивает все остальные альтернативы ai ∈ A , i ≠ e с эталонной ae . По результатам формируется вектор De = {die | i = 1, ... , n} степеней преобладания ai
над ae . Ненормированные веса альтернатив выражаются через вес эталона:
vi = veϕ mult (d ie ) ∀ i ≠ e , ϕ mult (1) = 1 , где ϕmult — монотонная функция. Часто используется функция vi = ve d ie . Выполняется нормирование всех весов
n
и вычисляются относительные веса альтернатив wi = vi / ∑ vi .
i =1
Веса, вычисленные описанным выше методом «линия» на основании
вектора De при vi = ve d ie , очевидно, совпадают с весами по методу «треугольник» на основании согласованной МПС, которая построена по вектору De .
СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧАЕМЫХ МЕТОДАМИ
«ТРЕУГОЛЬНИК» И «ЛИНИЯ»
Пример. Пусть известен вектор весов wреал = (0,45; 0,25; 0,10; 0,20) четырех
альтернатив, n = 4 . Не сообщая этих значений, высококомпетентного эксперта попросили попарно сравнить альтернативы в шкале Саати. По оцен*
кам этого эксперта построена МПС D , такая что d ij* — ближайшее к мат-
⎛ wреал ⎞
рице ⎜ iреал ⎟ деление шкалы:
⎜ wj ⎟
⎠
⎝
⎛1 2 5 2⎞
⎜1
⎟
1 3 1⎟
⎜
⎜2
⎟
1⎟.
(2)
D* = ⎜ 1 1
1
⎜5 3
⎟
2
⎜1
⎟
1 2 1⎟
⎜
⎝2
⎠
*
*
Показатель несогласованности CR(D ) = 0,006 ≠ 0 , поэтому D не является согласованной. Вектор весов по методу главного собственного вектора
*
EM, на основе МПС D (2):
w* = w EM ( D* ) = (0,455; 0,238; 0,092; 0,215) ,
Cheb (чебышевская) и E (эвклидовая) нормы отклонения w
(3)
EM
*
( D ) от
wреал равны
Cheb(w* , wреал) = 0,015 и E(w*, wреал ) = 0,021.
38
(4)
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4
Принятие решений при согласованных экспертных оценках парных сравнений
Теперь оценим влияние требования согласованности экспертных оценок
на точность результирующих весов. Пусть эксперт выбрал в качестве эталона
ae альтернативу a4 . Вектор оценок парных сравнений в шкале Саати, бли⎛ w реал
жайших к отношениям истинных весов ⎜ iреал
⎜w
⎝ 4
⎞
⎟:
⎟
⎠
T
1 ⎞
⎛
d4 = ⎜2 1
1⎟
2 ⎠
⎝
(5)
*
совпадает с четвертым столбцом МПС D (2). Вектор весов по методу «ли-
ния» на основе d 4 :
w 4 = (0,444 0,222 0,111 0,222) .
(6)
4
Вектор w , очевидно, равен вектору весов по методу главного собствен4
ного вектора, если на основании d 4 (5) построить согласованную МПС D :
⎛1
⎜1
⎜
⎜2
D4 = ⎜ 1
⎜4
⎜1
⎜
⎝2
2 4 2⎞
⎟
1 2 1⎟
⎟
1
1 ⎟ , w4 = wEM ( D4 ) .
1
2
2⎟
⎟
1 2 1⎟
⎠
(7)
4
Значения чебышевской и эвклидовой норм отклонения w (6) от wреал
Cheb (w4, wреал ) = 0,075, E(w4, wреал) = 0,094
значительно превышают соответствующие значения норм (4).
Таким образом, отказ от требования согласованности (полной согласованности) экспертных оценок (матрица (2)) привел к результатам (3) практически в 5 раз более точным, чем результаты (6) из согласованных оценок
*
*
(5) и (7). МПС D (2) есть небольшое возмущение (так как CR(D ) =
= 0,006 ≈ 0) некоторой согласованной МПС X , недостижимой в шкале Саати.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕСОВ ПО МЕТОДАМ «ТРЕУГОЛЬНИК» И «ЛИНИЯ»
Для оценивания точности результирующих весов, получаемых методами
типа «треугольник» и «линия», проведем компьютерное моделирование.
Генерация ненормированных весов viреал∈ R , i = 1,..., n случайным образом
реал
Если для vi
использовать равномерный закон распределения в интервале
[1, 9], то отношение
viреал
v реал
j
двух равномерно распределенных величин будет
иметь более сложное распределение со значениями, сконцентрированными
около середины интервала [1/9, 9].
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4
39
Н.И. Недашковская
Для получения МПС с более равномерно распределенными элементами
в данной работе предлагается метод генерирования весов, в соответствии
скоторым значения viреал выбираются случайным образом из подинтервалов
b −1
, i = 1, ..., n,
n
где величина b подобрана эмпирически и зависит от n (рисунок). При таком генерировании, без потери общности, предполагается, что альтернативы
перенумерованы в порядке убывания важности.
интервала [1, b ]: viреал ∈ random [1 + (i − 1) dx ; 1 + i dx ] , dx =
x 10000
10
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рисунок. Гистограмма распределения количества элементов моделируемых МПС
по делениям шкалы Саати (значения по горизонтальной оси), интервал [1,15], выборка 105 МПС, n = 5
После нормировки wiреал = viреал / ∑ v kреал вектор wреал будем называть
k
вектором реальных весов. Далее, на основании wреал, вычисляется входная
информация для исследуемых методов.
Моделирование весов по методу «треугольник»
*
Вычисляется МПС D , которая наиболее близка к реальным отношениям
весов
viреал
v реал
j
в том понимании, что элемент d ij* этой МПС — округленное
к ближайшему делению шкалы значение отношения
viреал
v реал
j
. Например, для
n = 7, сгенерированный вектор ненормированных весов v реал и соответ*
ствующая ему МПС D равны:
⎛1
⎛ 2,125 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎜2
⎜ 3,260 ⎟
⎜3
⎜ 7,009 ⎟
⎜
⎜
⎟
*
vреал = ⎜ 9,024 ⎟ , D = ⎜ 4
⎜
⎜
⎟
⎜5
⎜10,099⎟
⎜6
⎜12,867 ⎟
⎜
⎜
⎟
⎝15,924 ⎠
⎝7
40
1
2
3
3
4
5
1
1
1
2
2
1
1
1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟.
⎟
1
⎟
1 1 ⎟
⎟
2 1 1⎠
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4
Принятие решений при согласованных экспертных оценках парных сравнений
Методами главного собственного вектора EM и геометрической средней RGMM на основании МПС D* вычисляются векторы весов v EM
и v RGMM , затем — нормированные векторы w EM и w RGMM . Вычисляются
показатели несогласованности CR и GCI МПС D*, эвклидовая и чебышевEM
ская нормы отклонений найденных векторов w
реал
реальных весов w
и wRGMM от вектора
:
|| wEM − wреал ||2 , || w RGMM − w реал || 2 , || wEM − wреал ||∞
и
|| wRGMM − wреал ||∞ .
(8)
Генерируется M = 105 векторов wреал, исследуется уровень несогласованности МПС D* и точность вычисленных весов. Результаты (табл. 1) показывают, что все моделируемые МПС D * допустимо несогласованны. Более того, показатели несогласованности CR и GCI этих МПС, в основном,
меньше своих пороговых значений на порядок (для n ≥ 5 пороговое значение показателя CR равно 0,1), что говорит о малом уровне несогласованности моделируемых МПС.
*
Т а б л и ц а 1 . Распределение значений CR МПС D
a
n=3
Количество
МПС D*
0
(0; 0,01]
29198
44176
Значения CR
(0,01; 0,02] (0,02; 0,03`] (0,03; 0,06]
21557
2696
> 0,06
0
2373
б
n=5
Количество
МПС D*
0
(0 ; 0,01]
Значения CR
(0,01; 0,02]
100
50704
48624
(0,02; 0,03]
>0,03
572
0
в
n=7
Количество
МПС D*
CR = 0
0
Значения CR
CR∈(0; 0,01]
CR∈(0,01; 0,02]
71514
28486
CR> 0,02
0
г
n=9
Количество
МПС D*
CR = 0
0
Значения CR
CR∈(0,01; 0,02]
CR∈(0; 0,01]
70383
29617
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4
CR> 0,02
0
41
Н.И. Недашковская
Вычисляются средние значения CR, GCI показателей несогласованноEM
RGMM
), Cheb(wEM ) , Cheb(w RGMM )
сти и средние значения E(w ), E(w
норм отклонений (8) по всем M = 105 экспериментам (табл. 2).
Т а б л и ц а 2 . Средние значения показателей несогласованности и норм
отклонений вычисленных весов от реальных весов в зависимости от размерности n МПС
n
3
4
5
6
7
8
9
CR
0,008
0,009
0,009
0,009
0,009
0,009
0,009
GCI
0,026
0,034
0,036
0,036
0,036
0,035
0,035
0,045
0,037
0,029
0,025
0,022
0,019
(0,018)
0,017
(0,016)
0,034
0,028
0,022
0,019
0,016
0,013
0,012
(0,011)
0,057
0,066
0,067
0,065
0,062
0,059
0,057
0,056
0,060
0,063
0,061
0,060
0,058
0,052
E (w EM )
( E(w
RGMM
))
Cheb(w EM )
(Cheb(w
E (w
RGMM
линия
))
)
Cheb(wлиния)
Моделирование весов по методу «линия»
Для каждой эталонной альтернативы ae , e = 1,K , n вычисляется вектор
De = {( d ie ) | i = 1, ... , n} , где d ie — округленное к ближайшему делению шкалы значение отношения
viреал
veреал
. Методом «линия» находятся векторы весов
v e , затем нормированные векторы
we, e = 1,K , n .
Вычисляются эвклидовая и чебышевская нормы отклонений векторов
e
w , e = 1,K , n от вектора реальных весов wреал:
|| we − wреал ||2 и || we − wреал ||∞ , e = 1,K , n .
(9)
линия
)
Точность результатов оценивается по средним значениям E(w
и Cheb(wлиния) норм отклонений (9) по всем M = 105 экспериментам и по
всем эталонам e = 1,K , n (табл. 2):
E(wлиния) =
1 M n
|| we (i) − wреал(i) ||2 ,
∑∑
nM i =1 e=1
Cheb(wлиния) =
42
1 M n
∑∑|| we (i) − wреал(i) ||∞.
nM i =1 e=1
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4
Принятие решений при согласованных экспертных оценках парных сравнений
В табл. 2 совмещены результаты по методам ЕМ и RGMM, так как они
в основном одинаковы. Это следствие относительно хорошей согласованности моделируемых МПС, а именно, средние значения CR, GCI показателей
несогласованности, в основном, на порядок меньше своих пороговых значений ( CR = 0,01<<CRporog = 0,1; GCI= 0,04<<GCIporog = 0, 37 для n ≥ 5 ). Поэтому
первый вывод состоит в том, что уровень несогласованности МПС, обусловленный шкалой Саати, относительно мал. Шкала Саати вносит относительно малую ошибку в вычисленные векторы весов wEM и wRGMM , так как
реал
нормы отклонений wEM и wRGMM от вектора реальных весов w
мают значения порядка 10-2.
прини-
Сравнивая средние значения норм отклонений E (wEM ) , E(wRGMM ) ,
Cheb (w EM ) , Cheb (wRGMM ) для весов по методу «треугольник» с соответствующими значениями норм E(wлиния) и Cheb(wлиния ) для весов по методу
«линия» (табл. 2), приходим к выводу, что требование полной согласованности МПС в методе «линия» вносит дополнительную ошибку в вычисляемые веса. А именно, нормы E(wлиния) и Cheb (wлиния ) принимают в несколько раз большие значения по сравнению с нормами E (wEM ) , E(wRGMM )
и Cheb(w EM ), Cheb (w RGMM ) в методе «треугольник» без наложения требования полной согласованности. Различие в значениях соответствующих
норм возрастает с увеличением количества сравниваемых альтернатив.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье сделана попытка моделирования работы эксперта высокой компетентности при оценивании альтернатив решений методами парных сравнений в шкале Саати. Основным определяющим критерием работы эксперта
при выполнении парных сравнений являются показатели согласованности
оценок эксперта.
В результате моделирования получены оценки уровня несогласованности экспертных парных сравнений, которая вносится шкалой Саати. Также
получены оценки ошибок весов, вычисленных методами типа «треугольник» и «линия». Установлено, что когда эксперт выполняет оценивание
в шкале Саати, относительно малый уровень несогласованности (CR = 10−2 )
его оценок не только приемлем, но и желателен, поскольку требование полной согласованности экспертных оценок парных сравнений (CR = 0) может
внести дополнительную ошибку при построении матрицы парных сравнений и, следовательно, в результирующие веса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саати Т.Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. Изд. 2-е. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 360 с.
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4
43
Н.И. Недашковская
2. Saaty T.L. Decision-making with the AHP: Why is the principal eigenvector necessary // European Journal of Operational Research. — 2003. — 145, № 1. —
P. 85–91.
3. Панкратова Н.Д., Недашківська Н.І. Моделі і методи аналізу ієрархій: Теорія.
Застосування: навч. посіб. — К.: Політехніка, 2010. — 371 с.
4. Pankratova N., Nedashkovskaya N. The Method of Estimating the Consistency of
Paired Comparisons // International Journal «Information Technologies and
Knowledge». — 2013. — 7, № 4. — P. 347—361.
5. Недашківська Н.І. Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні
альтернатив рішень за якісним критерієм // Системні дослідження та
інформаційні технології. — 2013. — № 4. — С. 67–79.
6. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгоритмический аспект. — К.: Наук. думка, 2002. — 381 с.
7. Beynon M.J. Understanding local ignorance and non-specificity within the DS/AHP
method of multi-criteria decision making // European Journal of Operational Research. — 2005. — 163, № 2. — P. 403–417.
8. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. — 44, № 7. — С. 1261–1270.
9. Srdjevic B. Combining different prioritization methods in the analytic hierarchy
process synthesis // Computers & Operations Research. — 2005. — 32. —
P. 897–1919.
Поступила 15.07.2013
44
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа