close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...Ð¿ÐµÑ Ð²Ð¸Ñ Ð½Ñ Ñ Ð¸Ð·Ð¼ÐµÑ Ð¸Ñ ÐµÐ»Ñ Ð½Ñ Ñ Ð¿Ñ ÐµÐ¾Ð±Ñ Ð°Ð·Ð¾Ð²Ð°Ñ ÐµÐ»ÐµÐ¹ ÐºÑ Ð¸Ð²Ñ Ð¼Ð¸ Ð²Ñ Ð¾Ñ Ð¾Ð³Ð¾

код для вставкиСкачать
обладает минимальполосе пропускания
"встроенные на его
от класса фильтра
рименение позволит,
повысить точность
)В.
У Д К 621.317.63
Аппроксимация функций
преобразования первичных измерительных
преобразователей кривыми
второго порядка
Ленчук И. Г., Ляшенко Б. Н.
L S M -11
N
0,098
0,067
0,149
0,084
0,058
—4
т
ft/fn
0,96034
1,04130
0,90026
1,11079
Ql
7,58
7,58
19,84
19,84
роксимации третье частоты звеньев
полосовых звеньев
I, расчет и построение
:з измерительных инззначенных для спекз.
электродинамика,
(а аппроксимации поолосы пропускания.—
техники. Л., 1979,
изких и инфранизких
Inst. Radio Engrs,
ass filters with sharp
Iters with Chebyshev
Лоступила 14.12.81 г.
Разработка универсальных методов и средств измерений является не­
изменной тенденцией развития электроизмерительной техники. Слож­
ные современные объекты исследования, многопараметрические систе­
мы автоматического регулирования, управления и контроля, научные
эксперименты, производственная практика, пуско-наладочные и ре­
монтные работы предполагают измерение большого количества физиче­
ских величин в широком динамическом диапазоне. Эти измерения з а ­
частую выполняются с незначительным разнесением во времени и тер­
риториально. Нередко возникает необходимость одновременного изме­
рения как одинаковых, так и различных по своей природе физических
величин. Этим обусловлено создание большого ассортимента много­
функциональных электроизмерительных устройств (М Э У ): комбиниро­
ванных и многофункциональных приборов, информационно-измери­
тельных систем (И И С ), измерительно-вычислительных комплексов
(ИВК) и др. Такие устройства структурно насыщены значительным ко­
личеством различных измерительных преобразователей (ИП).
Существенная составляющая погрешностей МЭУ обусловлена не­
линейностью функции преобразования измерительных преобразователей
(Ф П И П ). В работе [2] предложен эффективный метод для ее умень­
шения, основанный на полиномиальной линеаризации функции. Сущ­
ность метода заключается в приближении функции, заданной таблич­
но, полиномом с последующёй заменой его аппроксимирующей ломаной
линией (А Л Л ). По координатам вершин А Л Л синтезируются коррек­
тирующие цепи, уменьшающие погрешности ИП. Однако в МЭУ при­
меняются преобразователи, имеющие функции преобразования различ­
ной геометрической формы, для которых пока не разработаны
универсальные и простые алгоритмы выполнения упомянутых двух ап­
проксимаций. Недостаточная научная обоснованность существующих
унифицированных методов определения координат узлов аппроксима­
ции приводит к неоправданному аппаратурному усложнению МЭУ,
увеличению их стоимости, снижению надежности. Д л я этих целей при­
ходится использовать разноплановые алгоритмы в пределах одного
средства измерения, что не позволяет технически широко использовать
универсальность МЭУ.
•
В настоящей работе предлагается алгоритм перехода от таблично
заданной функции преобразования к координатам узловых точек ло­
маной путем предварительной аппроксимации этой функции не полино­
мом, а кривыми второго порядка.
Отметим, что под погрешностью аппроксимации закономерной кри­
вой касательными, хордами или секущими подразумевается отклонение
кривой от отрезков ломаной не по ординате для одного и того ж е зна­
чения аргумента, как это требуется для целей измерительной техники,
а по нормалям к кривой. Последнее оказалось удобным для учета
особенностей раскроя многокоординатными станками с числовым прог­
раммным управлением (ЧПУ) листовых и рулонных материалов [3,
5], обработки фасонных поверхностей станками с ЧПУ [1, 4]„ опреде­
ления ряда метрических параметров деталей, а также для решения
других задач науки и техники, однако не приемлемым для измеритель­
ной практики. В приведенном далее алгоритме учитываются специфи­
ческие требования измерительной техники.
Пусть функция преобразования измерительного преобразователя
получена экспериментально в виде таблицы координат х, у дискрет­
ТЕ Х Н И Ч Е С К А Я Э Л Е К Т Р О Д И Н А М И К А , 1983, № 3
Щ НАМ ИКА, 1983. № 3
101
ного ряда п точек. Особенностью рассматриваемой функции является
наличие в общем случае точки перегиба. Поэтому будем применять ку­
сочную аппроксимацию этой функции кривыми второго порядка с соб­
людением заданного порядка плавности на стыке.
Д л я выделения точки перегиба воспользуемся достаточным усло­
вием ее принадлежности некоторому участку заданного ряда точек.
Определяем значение детерминанта
+ 4 2 х1
22
1=1
1=1
+ 2А-2
X1 - 1 — X1+1 у ._ х - у 1+1
Х 1 — Х 1+ 1
1
У,- -
'У+ 1
для трех точек дискретного ряда, последовательно придавая 1' значения
2, 3, 4.... до тех пор, пока знак определителя не изменится на проти­
воположный. На участке [г, 1+1] располагается искомая точка пере­
гиба. В окрестности ее при фиксированном г выбираем множество из
четырех точек функции преобразования [ 1—2, 1+ 1 ] и заменяем этот
участок кубической параболой
у = ах 3 + Ьх2+ сх + Д
1 + И
1=1
+ 2 ~
/=1
2 2 х)А + 4 >
/=
(1)
Координаты четырех выбранных точек удовлетворяют уравнению (1).
Поэтому, составив и решив методом Гаусса систему
Ус- 2 = а х \_ 2+ Ьх2^ 2 + сх{_ 2 + 7;
+
У1—\ ==
Ус = а х ъ. +
Ьх ?
,+1= ахз+1 +
У
Ь%{—1 + с%{
схс
+
+
1
2
+ 7,
Ъ
‘
£ /;
Ьх 2+1 + сх(+1 + +
найдем коэффициенты параболы а, Ь, с, й. Воспользовавшись известны­
ми формулами
3а ’ Уи-
2 х)УзА +
1=1
2У3
сЬ
, ,
27а2 " з ^ + й’
У
Ь2
с
(2)
За
определим координаты точки перегиба и угловой коэффициент каса­
тельной в этой точке.
Зная координаты точки перегиба, разбиваем исходный дискретный
контур на две части:
х\А
Х1А х^А
выбрав Г так, что'
вые значения, под
лервом участке и я
■Х+,
(3)
Ук.1 У2
’Уи Уз = УС-
■Хк Х2 = Хс+1’
Х 3
1
Ур ~ У й
Х 1+21
(За)
1
Уа ' Упу
Ух = Ук> У2 = У{+\> Уъг ' У +2’
где р = 1 + 1, <7 = п — / + 1.
Затем будем кусочно аппроксимировать каждую часть дискретно
заданного контура кривыми второго порядка:
А х 2 + 2Вху + Су2 + 2 Б х + 2 Еу + Г = 0
(4)
при условии, что указанная кривая проходит через первую и послед­
нюю точки рассматриваемого участка функции преобразования, наибо­
лее близко располагается от остальных точек контура и имеет задан­
ную касательную (2) в точке -стыка двух соседних участков. Д л я оп­
ределения коэффициентов кривой (4) решаем систему уравнений
1V=*
+
2
1=1
2 х )у р + 2 х )у)с + 2 2 х ър
/=1
/=1
+
102
+Х 2 +
Ъ2Х 2т +
Я 3Х ! :
+ 2
т
2
1=
1
х )узе
+
V
/=1
Таким образе
переходим к ее к
общем виде. Тепе
следует аппрокси
ной оси Оу.
Первоначалы
ную с допуском !
участок ломаной
угловой коэффиц
Т Е Х Н И Ч Е С К А Я Э Л Е К Т Р О Д И Н А М И К А , 1983, № 3
Т Е Х Н И Ч Е С К А Я ЭЛЕКТЕ
фикции является
:м применять куо порядка с собстаточным услоюго ряда точек.
2 5 ] х)У]А + 4 2 х-ЩВ + 2 ^ х ^ . С + 4 2 * ) У р + 4 V х }у 2,Е + 2 ^ * ^ +
1= \
/= 1
/= 1
,= 1
£'=1
т
+
2ф Х тУт
+ Ф (Х \У +
У \)
==
2Ф 2^ Х ]У ],
/= 1
т
т
т
7=1
/= 1
т
2 *?У*Л + 2 3
7=1
давая £ значения
:нится на протимая точка пере­
ем множество из
а заменяем этот
т
+ 22
+ 2 2 У)Е + ^
7=1
+
7=1
т
+ КУт + КУ\У' = — - ^ 2 УГ
(3)
7= 1
т
т
т
т
т
2 2 х)А + 4 2 х)У}В + 2 2 *7У^С + 4 2
/= 1
/= 1
/= 1
+ 4 2 х }у }Е +
/= 1
/= 1
т
0)
+
уравнению (1).
2ф х 1 +
2%2х т + ф = — 2Ф 2 +ь
7=1
т
т
2 2 ф2+ Л + 4 2
7 =1
7=1
т
т
т
+ 2 2 У + + 4 2 Х & Р + 4 2 У)Е +
/=1
7=1
7=1
+ 2фг/1 + 2ф у т + ф у ' = —■2Ф 2 Уь
вшись известныЬг
3а '
(2)
-|- *2х\У\В “1-
7=1
-I- С
2,Х\£) -{- 2,у\В = —
* т Л + 2х ту тВ + у^С + 2хтО + 2утЕ = —ф;
*1^4 + ( х ^ ' + у 4) В + у 1у'С + П -ф у 'Е = О,
ффициент касаный дискретный
выбрав Дтак, чтобы коэффициенты А, В, С, Д и Е принимали число­
вые значения, подходящие для практических расчетов. Здесь т = р на
лервом участке и
— на втором.
(3)
(За)
часть дискретно
(4)
рвую и последзования, наибои имеет задан1СТК0В. Для опавнений
х]у3Е +
Рис. 2
Таким образом, от дискретного задания функции преобразования
переходим к ее кусочному представлению кривыми второго порядка в
общем виде. Теперь каждую дугу от точки перегиба графика (рис. 1)
следует аппроксимировать секущими с допуском у вдоль координат­
ной оси Оу.
Первоначально в дугу кривой второго порядка СА впишем лома­
ную с допуском 2у вдоль указанной координатной оси. Пусть первый
участок ломаной — хорда СН принадлежит точке С(лг1( у4) и имеет
угловой коэффициент £. Тогда уравнение прямой, содержащей хорду,
ИНАМИКА, 1983, № 3
Т Е Х Н И Ч Е С К А Я Э Л Е К Т Р О Д И Н А М И К А , 1983, № 3
103
можно записать в виде
(6)
У — Уі = k ( x — *0,
а уравнение касательной к дуге кривой второго порядка СА, парал­
лельной хорде СН, будет представлено выражением
у _ п = * (х -9 ,
( 7)
где
г) — координаты точки касания К.
Если из равенства (6) вычесть равенство (7), то при фиксирован­
ном х = Х получим формулу разности начальных ординат рассматри­
ваемых секущей и касательной:
у — У = У1 — ц + к ( 1 — *,)•
(8>
Очевидно, что начальная ордината касательной больше начальной ор­
динаты секущей в случае, когда дуга кривой второго порядка выпук­
лая, и меньше — для вогнутой дуги кривой. Абсолютная величина их
разности равна 2у. С целью машинного определения выпуклости (вог­
нутости) закономерной линии найдем площадь 5 базисного треуголь­
ника А В С , описанного около дуги кривой второго порядка СА, где В —
точка пересечения касательных к указанной дуге в граничных точках
А и С. После чего (8) перепишем в виде
T\ — k { \ — x l) = y i — 2y sign S,
(9>
где
5 =
—
Хі)(Ув — Уу)
Д =
р Р'
;
(
Хд
Ді =
Х\) (У т
—
R R'
;
Д2 =
Р — В х т + Сут + Е;
Р ' = у'-
ХВ
Q Q'
R R'
В — Ахт + Вут -4- П;
У\)\,
К' = - 1 -
д
,
Уд
С{ = О хт -}- Е у т + Е;
Находим
^ = у 1 - у ' х 1.
(Ю)
пря-
_
Подставив последнее в (9), получим
А1+Вц + 0
(£ — Хі) = К
В1 + С ц -
( 11)
где Я, = y t — 2у sign S.
Кроме того, координаты точки К(%, rj) удовлетворяют уравнению'
кривой второго порядка в общем виде (4):
А£2 + 2В%х\ + Ст)2 + 2DI + 2£т1 + F = 0.
( 12)
Решив систему двух уравнений (11) и (12), найдем координаты
точки касания К(13)
^1,2
где
A xj+ В Х + D
~E + BX l+ C X ’
ЛГ = -
где
I
Очевидно
кривой. Это
X, У точки,
То есть ЭТИ ;
вой второго
ности ордина'
Все проч
му же алгор
ком-то шаге
треугольника
Хпг, Утп- Полу
обратном апп
Использу
порядка А ’С,
перегиба. Зд<
От аппро
2у к аппрокс]
шись элеменреносом по не
Dxt + £ Я + В
Е + Вхі + СК'
L = А + 2ВМ + CM 2; R = B N + C M N + D + EM;
T — CN2 + 2E N + F.
104
Зная коо
комая хорда
точке КЦ , р)
СН с извести]
и уравнение
наты точки /
Q Q'
Р Р'
{АЪ + Вг\ + Щ х + {ВЪ + Сл + Е) у + № + Е ц + К) = 0.
Отсюда легко находим величину углового коэффициента к
мой (10):
А1 + Вц + 0
В1 + Сц + Е •
М:
где
д
С другой стороны, уравнение касательной к дуге кривой второго по­
рядка в точке с координатами | , ц имеет вид
Л
Известно
провести две
В данном сл;
выбрать точ
одной верши
щей хорды —
гие — ранее I
личные от то
надлежности
условие
Т Е Х Н И Ч Е С К А Я Э Л Е К Т Р О Д И Н А М И К А , 1983, № З
~УС
Ь
Т Е Х Н И Ч ЕС К А Я Э.1
( 6)
»ядка СА, парал-
(7>
при фиксированцинат рассматри-
Известно, что в общем случае к кривой второго порядка можнопровести две касательные с одним и тем же угловым коэффициентом.
В данном случае из двух найденных точек касания К(Ъ, т>) следует
выбрать точку, принадлежащую внутренней области треугольника,
одной вершиной которого является начало искомой аппроксимирую­
щей хорды — переменная точка в процессе аппроксимации, а две дру­
г и е — ранее определенные вершины базисного треугольника АВС , от­
личные от точки перегиба. Необходимым и достаточным условием при­
надлежности точки /С(|, т)) треугольнику СВА (к примеру) является
условие
бЬ2 (I, л) Ьи2(хс, Ус) > 0;
(8 >
пе начальной ор* порядка выпукная величина их
выпуклости (вогшсного треугольщка СА, где В —
раничных точках
(9 >
К( 1,
б 2.з (5. Л) 6 2,з (* Л ’
Р'
Е ут
+
«*./(£. Л) =
F\
івой второго по(10>
пря-
(11)
)яют уравнению'
( 12)
щм координаты
N,
Уа) > ° ’
-Х 1 Л— у1
Х] — Х1 У) — У1
Зная координаты точки касания и принимая во внимание, что ис­
комая хорда параллельна касательной к кривой второго порядка в
точке К Ц , л), решаем совместно уравнение прямой, содержащей хорду
СН с известным уже угловым коэффициентом 6:
У -У
Х ,, 2 =
\-F) = 0.
щиента k
(14)
і
=
Л £ + В л + £>
El + С л + Е
(15)
(Х-хО ,
и уравнение линии второго порядка, которому удовлетворяют коорди­
наты точки Н( X, К) — второй узловой точки аппроксимации:
(16)
А Х 2 + 2 В Х У + СУ2 + 2 В Х + 2ЕУ + Е = 0.
Находим
Q'
+
б,,3 (g, Л) Ьи з(хв , у в ) > 0;
где
Д,
Д2
Д ’ Ув~ А ;
:тп
л) ЄАС В А * *
(13)
R ± V R 2— LT
L
(17)
У 1,2 — k x \,2 + Z,
где
Z — Уі — kxt; L — A + 2 Bk + C№;
R — BZ + CkZ + D + Ek; T — CZ2 + 2 EZ + F.
Очевидно, что одна из двух найденных точек уже известна на
кривой. Это предыдущая узловая точка аппроксимации. Координаты
X, Y точки, отличной от указанной, принадлежат искомой точке Я.
То есть эти две точки определяют хорду, которая заменяет дугу кри­
вой второго порядка на данном участке с погрешностью 2у по ра з­
ности ординат.
Все прочие верш ины вписанной лом аной определяем согласно то ­
му ж е алгоритм у, полож ив каж д ы й р аз Ху = Х и yi — Y. Если на к а ­
ком -то ш аге одна из точек Н( Х. Y) о каж ется за пределам и базисного
треугольни ка АВС , то последней узловой будет точка с координатам и
х т, Ут ■ Полученны й ТЭКИМ обрЭЗОМ рЯД ТОЧЄК фиксируем
обратн ом аппроксимации.
В
ПОрЯДКЄ„
Используя эти правила, впишем ломаную в дугу кривой второгопорядка А 'С ', представляющую собой второй участок контура от точки
перегиба. Здесь узловые точки фиксируем в порядке аппроксимации.
От аппроксимации дуг кривых второго порядка хордами с допуском
2у к аппроксимации секущими с допуском у переходим, воспользовав­
шись элементарным преобразованием плоскости — параллельным пе­
реносом по направлению оси {Оу):
F
ГЯ’
ЕМ;
Xi = хс,
Уі = Уі + У Для выпуклых участков (signS== — 1);
у і = у і — у для вогнутых участков (signS = l).
ЧНАМИКА, 1983, № 3
Т Е Х Н И Ч Е С К А Я Э Л Е К Т Р О Д И Н А М И К А , 1983, № 3
105
А В Т О РЫ Н
Здесь і изменяется от 1 до п, где п — количество всех узловых точек
Заметим, что вследствие последнего преобразования результирую
щ ая дискретная функция будет иметь точку разрыва с абсциссой точки
перегиба. То есть одному и тому же значению x h соответствуют два
разных значения i/ н и у ' \ . С целью достижения взаимно однозначного
соответствия между абсциссами и ординатами узловых точек аппрок­
симации два участка ломаной \k — 1, k ] и [А:, А +1] заменяем одним
[k — 1, k -\- \\. Очевидно, что последний отрезок прямой не может выйти
за пределы полосы допуска в 2у (рис. 2).
В случае, когда исходная функция преобразования не имеет точки
перегиба, алгоритм решения поставленной задачи несколько упроща­
ется. В частности, аппроксимация кривой второго порядка осуществля­
ется исходя из требования ее прохождения через первую и послед­
нюю точки дискретно заданного контура. При этом для определения
коэффициентов А, В, С, D и Е линии (4) достаточно решить соответ­
ствующую систему семи уравнений с семью неизвестными. Несколько
иной вид примут такж е формулы (9): значения Р', R ' и Q' определим
согласно выражениям
Андриевский
Института
Киев.
Артемьев
В;
тель группы
рожье.
Белкин Алек
ский авиацис
Богданевич
инженер Ин
УССР, Киев.
Бондаренко
Р' = A Xl + Byi + D-
R' = BXi + Cyi + E;
Q' — DXl + ЕУі - f F.
Таким образом, приведенная в настоящей работе вычислительная
схема позволяет унифицировать процесс линеаризации ФПИП, т. е.
независимо от ее геометрической формы можно пользоваться единым
алгоритмом перехода от таблично заданной функции к координатам
узлов аппроксимации секущими посредством промежуточного прибли­
жения ФП кривыми второго порядка. Компактность вычислительной
схемы позволила авторам реализовать указанный алгоритм на ЭВМ.
техн. наук, з
электродина\
Вайнштейн 1
Института
Киев.
Васьковский
наук, заведуь
та электроди:
Виноградов
нинградского
\. Бадаев Ю. И. Аппроксимация выпуклых поверхностей отсеками плоскостей.—
2.
3.
4.
5.
*6.
Прикл. геометрия и инженерная графика, 1975, вып. 19, с. 133— 135.
Гринберг И. П. Теоретические основы полиномиальной
линеаризации
функции
преобразования измерительных преобразователей.— Техн.
электродинамика 1981,
№ 5 , с. 96— 101.
Ленчук И. Г., Павленко Ю. С., Павлов А. В. Аппроксимация контуров кривыми
второго порядка в задачах автоматизации раскроя.— Изв. вузов. Технология легкой
промышленности, 1978, № 4, с. 120— 126.
П авлов А. В., Бадаев Ю. И. Аппроксимация поверхностей с отрицательной гауссо­
вой кривизной отсеками плоскостей.— Прикл. геометрия и инженерная
графика,
1976, вып. 21, с. 3—6.
П авлов А. В Л е н ч у к И. Г., Павленко Ю. С. Подготовка формообразующих прог­
рамм для автоматического раскроя материалов на детали швейных изделий/—Там
же, 1979, вып. 27, с. 25—28.
Родин П. Р., Линкин Г. А., Татаренко В. Н. Обработка фисонных поверхностей на
станках с числовым программным управлением.— Киев : Техніка, 1976.—198 с.
Поступила 31.05.82 г.
Волков Влад
ститута элект
Ганеев
Виль
ционный инст
Г арасымив
Львовского г
Губанов
Ва;
наук, доцент
литехническо
Дмитриков
техн. наук, с
нинградского
Ж еж еленко
техн. наук, і
гического ИН(
Закревский С
наук, заведу
электродина»
И схаков Иль
механик, зав
«ком авиацш
К арац уба Аі
наук, старші
тута пробле:
АН УССР, К
Каш ина
Та
младший на;
металлургичі
Козлов Мих;
ПОПРАВКА
В журнале № 1 за 1983 г. в списке авторов номера следует читать Михайлов Валерий
Михайлович, канд. техн. наук, доцент Харьковского политехнического института.
г об
Т Е Х Н И Ч Е С К А Я Э Л Е К Т Р О Д И Н А М И К А , 1983, J* 3
категории П
мир.
ТЕ Х Н И Ч Е С К И
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа