close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Министерство социальной защиты;pdf

код для вставкиСкачать
Учреждение образования «Брестский государственный университет
имени А.С. Пушкина»
УТВЕРЖДЕНО
Протокол заседания кафедры
от 07.05.2014 № 9
Кафедра математического анализа
и дифференциальных уравнений
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
по курсу «Уравнения математической физики»
Специальность: «Прикладная математика», 3 курс
1. Сферические координаты в Rn . Вычисление якобиана. Вычисление
площади поверхности сферы и объема шара.
2. Квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка на
плоскости. Переход к новым переменным. Классификация квазилинейных
дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости.
3. Лемма о характеристиках. Приведение квазилинейного уравнения
второго порядка на плоскости к каноническому виду.
4. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка в Rn в точке. Приведение квазилинейных уравнений второго
порядка в Rn с постоянными коэффициентами к каноническому виду.
5. Понятие о характеристиках дифференциального уравнения с частными производными. Постановка задачи Коши для уравнения второго порядка.
Данные Коши на характеристиках. Теорема С.В. Ковалевской.
6. Вывод уравнения поперечных колебаний струны. Уравнение малых
колебаний мембраны.
7. Волновое уравнение. Энергетическое неравенство. Единственность
решения задачи Коши для волнового уравнения.
8. Решение задачи Коши в трехмерном случае. Формула Кирхгофа.
Неоднородное волновое уравнение. Принцип Дюамеля.
9. Метод спуска. Формулы Пуассона и Даламбера.
10. Постановка смешанной задачи для уравнения колебаний струны.
Теорема единственности решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны.
11. Постановка смешанной задачи для уравнения колебаний струны.
Метод разделения переменных (метод Фурье). Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
1
12. Решение простейшей краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Функция Грина простейшей краевой
задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
и ее свойства.
13. Энергетическое скалярное произведение. Аналог неравенства Бесселя. Обоснование метода Фурье решения смешанной задачи для уравнения
колебаний струны.
14. Вывод уравнения теплопроводности.
15. Постановка основных краевых задач для уравнения теплопроводности. Принцип максимума для решений уравнения теплопроводности в цилиндре.
16. Единственность и непрерывная зависимость решений первой краевой задачи для уравнения теплопроводности от граничных и начальных
условий.
17. Единственность и непрерывная зависимость решений задачи Коши
для уравнения теплопроводности от начальных условий.
18. Пространство функций Шварца S(Rn ). Преобразование Фурье в
S(Rn ). Простейшие свойства преобразования Фурье.
19. Пространство функций Шварца S(Rn ). Формула обращения преобразования Фурье в S(Rn ). Свертка и преобразование Фурье.
20. Вывод формулы Пуассона решения задачи Коши для уравнения
теплопроводности.
21. Обоснование формулы Пуассона решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
22. Метод Фурье решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Условия существования классического решения смешанной задачи
для уравнения теплопроводности.
23. Уравнение Лапласа. Формулы Грина для оператора Лапласа. Инвариантность оператора Лапласа относительно поворотов. Получение фундаментального решения оператора Лапласа.
24. Фундаментальное решение оператора Лапласа и его свойства. Интегральное представление функций класса C 2 (Ω).
25. Представление решений уравнения Лапласа и Пуассона через потенциалы. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций.
26. Свойства гармонических функций (теорема о среднем арифметическом на сфере, теорема о среднем значении по шару и следствия из нее).
27. Принцип максимума для решений уравнения Лапласа в ограничен2
ной области. Теорема о знаке производной по направлению гармонической
функции (лемма О.А. Олейник).
28. Функция Грина первой краевой задачи для уравнения Пуассона
в ограниченной области. Симметричность функции Грина первой краевой
задачи для уравнения Пуассона в ограниченной области.
29. Вывод формулы Пуассона решения задачи Дирихле в шаре для
уравнения Лапласа. Обоснование формулы Пуассона решения задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа.
30. Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля.
31. Классическая постановка задачи Дирихле для уравнений Лапласа и
Пуассона. Единственность и непрерывная зависимость решений от граничных условий.
32. Классическая постановка задачи Неймана для уравнений Лапласа
и Пуассона. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа (теорема о потоке тепла). Свойства решений (разность двух
решений есть константа). Непрерывная зависимость решений задачи Неймана для уравнения Лапласа от граничных данных.
33. Классическая постановка третьей краевой задачи для уравнений
Лапласа и Пуассона. Единственность и непрерывная зависимость решений
от граничных условий.
34. Уравнение Лапласа в полярных координатах. Метод Фурье решения
задачи Дирихле для круга.
35. Вывод формулы Пуассона решения задачи Дирихле для круга.
36. Средние функции (определение и существование ядра усреднения,
определение средней функции, бесконечная дифференцируемость средних
функций, средняя гармонической функции).
37. Средние функции: равномерная сходимость средних в C0 (Ω), неубывание нормы усреднения и сходимость средних в Lp (Ω), p > 1.
38. Разбиение единицы на компакте, подчиненное покрытию. Лемма
дю Буа-Реймона.
39. Определение и простейшие свойства обобщенной производной (единственность, линейность). Примеры. Коммутирование операций обобщенного
дифференцирования и усреднения. Условие постоянства функции. Предельный переход и обобщенное дифференцирование.
40. Гильбертовы пространства дифференцируемых функций H 1 (Ω) и
◦
H 1 (Ω). Неравенство Фридрихса и эквивалентные нормировки пространства
3
◦
H 1 (Ω).
41. Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона по норме пространства H 1 (Ω).
◦
42. Понятие следа функции из пространства H 1 (Ω) на гиперплоскости.
43. Постановка обобщенной однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона (рассуждения, приводящие к понятию обобщенного решения
задачи Дирихле, и доказательство того, что классическое решение является
обобщенным). Существование и единственность обобщенного решения.
44. Эквивалентность однородной обобщенной задачи Дирихле и вариационной задачи. Минимизирующие последовательности функционала Дирихле и их свойства.
Составил
Басик А.И.
Заведующий кафедрой МА и ДУ
Басик А.И.
4
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа