close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Программа вступительных испытаний;pdf

код для вставкиСкачать
С.М.Никольский
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ТОМ 1
Учебник
для
студентов
физических
и
механико-математических
специальностей вузов написал на основе курса лекций, читаемого автором в
Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное
пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
Первый том содержит дифференциальное исчисление функций одной и
многих переменных, ряды и интегральное исчисление для функций одной
церемонной.
Содержание
Предисловие к первому изданию
8
Предисловие ко второму изданию
11
Предисловие к третьему изданию
12
Глава 1. Введение
13
1.1. Вступление
13
1.2. Множество. Интервал, отрезок
13
1.3. Функция
16
1.4. Понятие непрерывности функции
27
1.5. Производная
30
1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл
36
1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры
38
Глава 2. Действительное число
43
2.1. Рациональные n иррациональные числа
43
2.2. Определение неравенства
48
2.3. Определение арифметических действий
49
2.4. Основные свойства действительных чисел
52
2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Длина
55
отрезка, физические величины
2.6. Дополнение
61
2.7. Неравенства для абсолютных величин
63
2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества
64
Глава 3. Предел последовательности
66
3.1. Понятие предела последовательности
66
3.2. Арифметические действия с пределами
70
3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины
72
3.4. Существование предела у монотонной ограниченной
последовательности
3.5. Число e
3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества
и сечения во множестве действительных чисел
3.7. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы
3.8. Критерий Коши существования предела
3.9. Теорема Вейерштрасса
3.10. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел.
Несчетность множества действительных чисел
Глава 4. Предел функции
4.1. Понятии продела функции
4.2. Непрерывность функции в точке
4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция
4.4. Функции, непрерывные на отрезке
4.5. Обратная функция
4.6. Показательная и логарифмическая функции
4.7. Степенная функция xb
4.8. Еще о числе e
sin x
4.9. lim
x →0
x
4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)
Глава 5. Дифференциальное исчисление для функции одной переменной
5.1. Производная
5.2. Дифференциал функции
5.3. Производная функции от функции
5.4. Производная обратной функции
5.5. Таблица производных простейших элементарных функций
5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка
5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный
экстремум
5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания
функции на ннтервале. Достаточные критерии локальных экстремумов
5.9. Формула Тейлора
5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций
5.11. Ряд Тейлора
74
76
77
79
86
88
89
92
92
100
105
109
113
116
120
121
122
123
127
127
131
133
135
138
139
143
145
150
158
162
5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба
5.13. Выпуклость кривой на отрезке
5.14. Раскрытие неопределенностей
5.15. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции
Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой
6.1. n-мерное пространство. Линейное множество
6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным
произведением
6.3. Линейное нормированное пространстве
6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве
6.5. Кривая в n-мерном пространстве
6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции
6.7. Длина дуги кривой
6.8. Касательная. Нормаль к плоской кривой
6.9. Кривизна и радиус кривизны кривой. Плоская кривая. Эволюта и
эвольвента
6.10. Соприкасающаяся плоскость и подвижный триэдр кривой
6.11. Асимптота
6.12. Замена переменных
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
7.1. Открытое множество
7.2. Предел функции
7.3. Непрерывная функция
7.4. Частные производные и производная но направлению
7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость
7.6. Производная сложной функции; производная по направлению; градиент
7.7. Независимость от порядка дифференцирования
7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка
7.9. Предельная точка. Теорема Вейерштрасса. Замкнутые и открытые
множества
7.10. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом
ограниченном множестве
7.11. Продолжение равномерно непрерывной функции. Частная производная
на границе области
7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля
7.13. Формула Тейлора
166
168
169
174
177
177
178
181
182
185
191
192
194
196
202
207
209
211
211
214
217
221
223
227
233
235
239
245
250
251
252
7.14. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Единственность
7.15. Локальный (абсолютный) экстремум функции
7.16. Теоремы существования неявной функции
7.17. Теорема существования решения системы уравнений
7.18. Отображения
7.19. Гладкая поверхность
7.20. Гладкая поверхность, заданная параметрически. Ориентируемая
поверхность
7.21. Пример неориентируемои поверхности. Лист Мёбиуса
7.22. Локальный относительный экстремум
7.23. Особые точки кривой
7.24. Кривые на поверхности
7.25. Криволинейные координаты в окрестности гладкой границы области
7.26. Замена переменных в частных производных
7.27. Система зависимых функций
Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов
8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям
8.2. Комплексные числа
8.3. Предел последовательности комплексных чисел. Функция комплексного
переменного
8.4. Многочлены
8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби
8.6. Интегрирование рациональных дробей
8.7. Метод Остроградского выделения рациональной части из интеграла
8.8. Интегрирование алгебраических иррациональностей
8.9. Подстановки Эйлера
8.10. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева
8.11. Интегрирование тригонометрических выражений
8.12. Тригонометрические подстановки
8.13. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарных
функциях
Глава 9. Определенный интеграл Римана
9.1. Вводная часть и определение
9.2. Ограниченность интегрируемой функции
9.3. Суммы Дарбу
257
258
262
267
272
275
279
284
285
292
296
302
304
312
312
318
322
326
330
336
336
340
341
343
344
348
348
350
350
351
352
9.4. Основная теорема
9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной
функции на [a, b]
9.6. Теорема Лебега
9.7. Аддитивные и однородные свойства интеграла
9.8. Неравенства и теорема о среднем
9.9. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона—Лейбница
9.10. Вторая теорема о среднем
9.11. Видоизменение функции
9.12. Несобственные интегралы
9.13. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
9.14. Интегрирование по частям
9.15. Несобственный интеграл и ряд
9.16. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках
9.17. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме
9.18. Формулы Валлиса и Стирлинга
Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы
10.1. Площадь в полярных координатах
10.2. Объем тела вращения
10.3. Длина дуги гладкой кривой
10.4. Площадь поверхности тела вращения
10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
10.6. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций
10.7. Общая квадратурная-формула. Функционал
10.8. Формула Симпсона
10.9. Общий метод получения оценок квадратурных формул
10.10. Еще о длине дуги
10.11. Число π. Тригонометрические функции
Глава 11. Ряды
11.1. Понятие ряда
11.2. Действия с рядами
11.3. Ряды с неотрицательными членами
11.4. Ряд Лейбница
11.5. Абсолютно сходящиеся ряды
11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами
354
357
358
360
362
364
368
369
371
375
378
380
384
388
389
393
393
394
395
397
398
399
401
402
403
409
410
413
413
414
415
421
421
425
11.7. Последовательность и ряды функции. Равномерная сходимость
11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов
на отрезке
11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов
11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних
арифметических
11.11. Степенные ряды
11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
427
433
438
442
443
447
451
454
460
11.13. Степенные ряды функции ez, cos z, sin z комплексной переменной
Дополнение. Приближенное вычисление элементарных функций
Предметный указатель
Предметный указатель
- предел 72
Абеля преобразование 431
Биномиальный дифференциал 343
- теорема о сходимости степенного
Бином Ньютона 151, 161
ряда 446, 451
Бинормаль кривой 203
- теоремы о рядах 432
Бореля лемма (о покрытии) 251
Абсолютная величина числа 49, 63
Буняковского неравенство 179
Абсолютно сходящийся интеграл 374
Валлиса формула 389
- - ряд 421, 438
Вейерштрасса признак равномерной
Аддитивность интеграла 360
сходимости 429
Алгоритм Евклида 328
- теорема 88
Аналитическая функция 164, 453
- - об ограниченности непрерывной
Аргумент (независимая переменная)
функции 110
16
об
экстремальных значениях
- комплексного числа 320
непрерывной функции 110
Арифметические действия над
Вектор n-мерный 177
числами 49, 319
Вектор-функция 182
Архимедово свойство чисел 54
Величина физическая 61
Асимптота 207
Верхняя грань точная 64
Асимптотическое равенство 124
- сумма Дарбу 352
Ассоциативный закон сложения
Винтовая линия 205
чисел 53
Вложенных отрезков лемма 77, 251
- - умножения чисел 53
Внутренняя точка множества 212
Астроида 190, 201
Выпуклость кривой в точке 166
Бесконечная десятичная дробь 44
- - на отрезке 168
Бесконечно большая величина
Гамильтона оператор (набла) 232
(последовательность) 72
Гармонический ряд 419
- малая величина
Гиперболическая точка 299
(последовательность) 72
Главная нормаль кривой 203
Бесконечный интервал 15
- полуинтервал 15
Главное значение интеграла по Коши
387
Главные радиусы кривизны 298
Главный линейный член приращения
132, 224, 236
- степенной член функции 126
Годограф вектор-функции 185
Градиент функции 229
Граница множества 244
График функции 18
Даламбера признак сходимости ряда
416
Дарбу интегральные суммы 352
Дедекинда сечение 77
Действительная часть комплексного
числа 318
Десятичная дробь 44
Дирихле признак 379, 431
- функция 357
- ядро 322
Дифференциал функции 131, 235
Дифференциалы высших порядков
139, 235
Дифференциальный бином 343
Дифференцирование рядов 433
Дифференцируемое многообразие
190
Длина дуга кривой 192, 395, 406
Допустимые параметры гладкой
кривой 186
- - - поверхности 281
Евклида алгоритм 328
Евклидово n-мерное пространство
178
e (число) 76, 120, 158
Зависимая переменная 16, 140, 236
Замена переменных 209, 304
Замкнутое множество 242
Значение интеграла по Коши 387
Изолированная точка множества 245
Изоморфизм 55, 319
Инвариантность формы первого
дифференциала 141, 238
Интеграл неопределенный 36, 312
- несобственный 371
- определенный 38, 350
- от монотонной функции 357
- от непрерывной функции 357
- с переменным верхним пределом
364
- эллиптический 349
Интегральная сумма Римана 350
- теорема о среднем 362
Интегральные суммы Дарбу 353
Интегральный признак сходимости
рядов 381
Интегрирование подстановкой 313
- по частям 316, 378
- рядов 433
- тригонометрических выражений
344
Интервал 13
Интерполяционный многочлен
Лагранжа 398
Иррациональное число 43
Касательная 31, 203
Колебание функции в точке 248
- - на множестве 353
Коммутативный закон сложения
чисел 53
- - умножения чисел 53
Комплексное число 318
Комплекснозначная функция 324
Координаты криволинейные 302
- полярные 26
Корень (нуль) многочлена 327
Коши вид остаточного члена
формулы Тейлора 155
- критерий для несобственных
интегралов 372
- - для последовательностей 86
- - для рядов 413
- - для функций 97, 214
- - равномерной сходимости 428
- неравенство 181
- признак сходимости ряда 417
- теорема о среднем 146
Край поверхности 278
Кратный ряд 438
Кривая гладкая 174, 180
- Жордана 188
- замкнутая 189
Кривая кусочно непрерывная 188
- непрерывная 188
- ориентированная 186
- плоская 188
- самонепересекающаяся 189
- спрямляемая 192
Кривизна кривой 196
Круг сходимости степенного ряда
443
Кручение кривой 204
Куб 211, 213
Кусочно гладкая функция 174
Лагранжа вид остаточного члена
формулы Тейлора 153, 155, 254
- теорема о среднем 146
Лапласа оператор 306
Лейбница формула 140
Линейное множество 177
- нормированное пространство 181
Лист Мёбиуса 284
Локальный экстремум 143, 258
Лопиталя правило 169
Мгновенная скорость 30
Мнимая часть комплексного числа
319
Многообразие одномерное 190
Многочлен 150, 219, 326
- Тейлора 150
Множество 13
- замкнутое 242
- неограниченное 64
- ограниченное 64
- - сверху 64
- - снизу 64
- открытое 212
- счетное 89
Множителей Лагранжа метод 285
Модуль комплексного числа 319
- непрерывности 247
Набла (оператор Гамильтона) 232
Независимая переменная 16, 140, 236
Необходимое условие
интегрируемости функции 351
- - сходимости ряда 413
Неопределенностей раскрытие 109
Непрерывная вектор-функция 183
- кривая 185
- функция 27, 100
- - комплексного переменного 322
Неравенство Бернулли 117
- Коши 180
- Минковского 181
- треугольника 181
- чисел 48
Несчетность действительных чисел
89
Неявная функция 23, 262
Нижний интеграл Дарбу 352
- предел последовательности 74
Нижняя грань точная 64
- сумма Дарбу 352
Норма элемента 182
Нормаль (к кривой) 194, 203
- главная 203
Ньютона—Лейбница теорема 42, 366
Область определения функции 17
Обобщенная производная 250
Образ посредством функции 17
Обратная функция 113
Обратные тригонометрические
функции 25, 114
Объединение (сумма) множеств 15
Объем тела вращения 394
Однозначная функция 20
Односторонние окрестности 105
- пределы 105
Окрестность символов ∞ , + ∞ , − ∞
105
- точки 95, 212
Операция дифференцирования 33
- интегрирования 39
Ориентированная кривая 186
Ориентируемая поверхность 279, 282
Особая точка кривой 292
Остаточный член формулы Тейлора в
интегральной форме 256, 388
- - - - в форме Коши 154
- - - - - - Лагранжа 154, 256
- - - - - - Пеано 156, 256, 257
Остроградского метод 336
Отображение 272
Отрезок (числовой) 13, 59
Параметр кривой допустимый 186
Первообразная 36, 312
Переменная (величина) 16
- зависимая 16, 140, 230
- независимая 16, 140, 236
Переместительный (коммутативный)
закон сложения 52
- - - умножения 53
Пересечение множеств 15
Плоскость касательная 223
- соприкасающаяся 202
Площадь в полярных координатах
393
- криволинейной фигуры 38
Поверхность гладкая 275
- ориентированная 282
- ориентируемая 282
- параметрически заданная 279
- самопересекающаяся 280
Подпоследовательность 79
Подстановки Эйлера 341
Полином (многочлен) 24, 219, 326
Полярные координаты 26
Порядок дифференцирования 139,
222
- переменной 123
Последовательность 66
- бесконечно большая 72
- - малая 72
- монотонная 74
- неубывающая 74
- ограниченная 64
- - - сверху 49
- равномерно сходящаяся 427
- стабилизирующаяся 49
- функций (функциональная) 427
Правило Лопиталя 169
Предел вектор-функции 183
- по направлению 215, 227
- последовательности 66
- - верхний 79
- - комплексных чисел 322
- - нижний 79
- - слева 105
- - справа 105
- функции 92, 214
Предельная точка множества 239
Преобразование Абеля 431
Признак равномерной сходимости
Абеля 432
- - - Вейерштрасса 429
- правая 30, 128
- суперпозиции (функции от
функции) 17, 133, 227
- частная 221
Производное множество 240
Пространство евклидово (n-мерное)
178
- со скалярным произведеним 178
Прямоугольник 211
Равномерная непрерывность 247
Равномерно сходящаяся
последовательность 427
- сходящийся ряд 427
Радиус кривизны 196
- сходимости степенного ряда 443
Разность комплексных чисел 318
- множеств 15
Разрыв второго рода 109
- первого рода 109
Рациональная функция 24, 330
Рациональное число 43
Римана интегральная сумма 350
Ролля теорема о среднем 145
Ряд 413
- гармонический 419
- кратный 438
- Лейбница 421
- равномерно сходящийся 427
- с неотрицательными членами 415
- степенной 162, 443
- сходящийся 413
- - абсолютно 421
- - безусловно 425
- - условно 425
- Тейлора 162, 453
- функций 427
Свойство Архимеда вещественных
чисел 54
Система зависимых функций 308
Скалярное произведение 178
Скорость мгновенная 30
Сочетательный (коммутативный)
закон сложения 53
- - - умножения 53
Спрямляемая кривая 192
Средняя скорость 30
Степенная функция 24, 120
Степенной ряд 162, 443
Стирлинга формула 389
Строго возрастающая функция 143
- убывающая функция 143
Сумма Дарбу интегральная 352
- (объединение) множеств 15
- Римана интегральная 350
- ряда 413
- - частичная 413
Суммирование рядов 442
Суперпозиция функций 17, 219
Существование n a 115
- решения системы уравнений 267
Счетное множество 89
Таблица интегралов 313
- производных 138
Тейлора многочлен 150
- ряд 162
- формула 150
Теорема Вейерштрасса о
равномерной сходимости 429
Теорема Коши о промежуточных
значениях непрерывной
функции 112
- - о среднем 146
- Лагранжа о среднем 146
- Лебега 358
- о среднем интегральная 362
- - Ролля 145
- Ферма 144
- Чебышева 343
Точка возврата кривой 295
- выпуклости кверху 166
- - книзу 166
- гиперболическая 299
- изолированная 245
- множества внутренняя 212
- - граничная 244
- параболическая 299
- перегиба 166
- разрыва 29, 101
- - второго рода 109
- - первого рода 108
- стационарная 286
- устранимого разрыва 108
- эллиптическая 299
- n-мерного пространства 177
Тригонометрическая форма
комплексного числа 320
Формула Валлиса 389
- квадратурная 399
- Лейбница 140
- Менье 297
- Ньютона—Лейбница 42, 366
- Остроградского 336
- прямоугольников 399
- Симпсона 402
- Стирлинга 389
- Тейлора 150
- трапеций 399
- Френе 204
Фундаментальное решение
уравнения теплопроводности
235
Функции эквивалентные 124
Функционал 401
- линейный 401
Функция 16
- аналитическая 164
- бесконечно дифференцируемая 164
- гладкая 174
- Дирихле 357
- дифференцируемая 131, 223
- комплексного переменного 322
- комплекснозначная от
действительного переменного
324
- кусочно гладкая 174
- - непрерывная 174
- логарифмическая 11й
- многих переменных 21
Функция многозначная 20
- монотонная 106
- на множестве 245
- непрерывная в точке 27, 217
- - - - слева 108
- - - - справа 108
- - на замкнутом ограниченном
множестве 245
- нечетная 19
- неявная 23, 262
- обратная 113
- - тригонометрическая 25
- показательная 116, 158, 451
- постоянная 24
- разрывная в точке 27
- рациональная 24
- сложная 102, 219
- степенная 24, 120
- тригонометрическая 25, 158, 409,
451
- четная 19
- элементарная 24
Центр кривизны 196
Циклоида 201
Чисел аксиомы 52
- свойства 52
Число действительное 43
- иррациональное 43
- комплексное 318
- рациональное 43, 47
- e 76, 121, 158
- π 409
Шар 211, 277, 283
Эвольвента 198
Эволюта кривой 198
Эйлера подстановки 341
Эквивалентные функции 124
Экстремум локальный 143, 258
Элемент последовательности 66
Эллипс 190, 201
Эллиптические интегралы в форме
Лежандра 349
Ядро Дирихле 322
- Пуассона 337
Якобиан 267
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа