close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...рекомендации по оказанию государственных услуг;pdf

код для вставкиСкачать
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»
Утверждено
Проректор НИУ ВШЭ
С.Ю. Рощин
___________________
«____»____________ 2014 г.
Одобрена Академическим советом
Аспирантской школы по математике
Программа
вступительного испытания в аспирантуру по направлению
01.06.01 Математика и механика,
профиль «Математическая физика»
(01.01.03)
Москва - 2014
Поступающие в аспирантуру должны продемонстрировать знание следующих тем.
1. Теорема существования и единственности начальной задачи для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений. Непрерывность и дифференцируемость решений по
параметрам и начальным данным.
2. Решения линейных уравнений и систем произвольного порядка с постоянными
коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
3. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия,
предельные циклы. Устойчивость, теорема Ляпунова. Седло, узел, фокус, центр.
4. Преобразование Фурье и его основные свойства. Применение для решения
дифференциальных уравнений.
5. Ряды Фурье и их основные свойства. Применение для решения дифференциальных
уравнений.
6. Элементы вариационного исчисления, уравнения Эйлера. Системы уравнений
Гамильтона.
7. Ограниченные и неограниченные операторы. Самосопряженные и унитарные
операторы в гильбертовых пространствах.
8. Дискретный и непрерывный спектры, их свойства. Собственные функции.
Спектральное разложение оператора.
9. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Метод последовательных
приближений. Теоремы Фредгольма. Эрмитовы ядра. Теорема Гилберта-Шмидта.
Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с помощью функции
Грина.
10. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных
производных (колебательные процессы, теплопроводность и диффузия, электромагнитное
поле, уравнения гидро- и газодинамики, уравнение Шредингера).
11. Понятие о характеристиках уравнений в частных производных. Теорема Ковалевской.
12. Решение нелинейных дифференциальных уравнений 1-ого порядка методом
характеристик. Теория Гамильтона-Якоби.
13. Классификация и канонические формы уравнений в частных производных второго
порядка. Постановка основных краевых задач: задача Коши, 1-ая, 2-ая, 3-я краевые задачи,
смешанные задачи. Корректность постановки задач.
14. Обобщенные функции и их свойства. Построение фундаментального решения
линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.
15. Фундаментальное решение многомерного волнового уравнения. Метод спуска.
Решение задачи Коши для волнового уравнения.
16. Уравнения параболического типа. Постановка основных краевых задач. Принцип
максимума и единственность. Метод Фурье для краевой задачи. Решение задачи Коши для
уравнения теплопроводности (формула Пуассона).
17. Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций (формула Грина,
теорема о среднем, принцип максимума, теорема о внутренней устранимой особенности).
Решение задач Дирихле и Неймана (внутренней и внешней) методом потенциалов.
18. Функция Грина и ее применение к решению краевых задач. Формула Пуассона для
шара и круга.
19. Уравнение Гельмгольца. Фундаментальное решение. Метод отражений для
полуплоскости и шара.
20. Формула Кирхгофа для решения уравнения Гельмгольца. Условие излучения.
21. Пространства Соболева. Теоремы вложения.
22. Решение уравнения Шредингера для свободной частицы и для гармонического
осциллятора. Спектр гармонического осциллятора.
23. Задача рассеяния. Безотражательные потенциалы. Туннельное расщепление спектра.
24. Теория возмущений для собственных значений оператора Шредингера.
25. Нелинейные уравнения. Уравнения газовой динамики (ударные волны, слабые
разрывы, автомодельные решения).
26. Метод конечных разностей. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле.
Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Устойчивость разностных схем.
Итерационные методы решения сеточных уравнений.
27. Уравнения с малым параметром. Регулярное и сингулярное возмущения. Метод
Пуанкаре.
28. Метод ВКБ. Формула коммутации дифференциального оператора и быстро
осциллирующей экспоненты.
29. Псевдодифференциальные операторы и их основные свойства. Формулы коммутации.
30. Методы Лапласа и стационарной фазы для вычисления асимптотик интегралов. Связь
преобразования Фурье с преобразованием Лежандра.
Литература
1. М. Рид, Б. Саймон,
Современные методы математической физики,
М. Мир, 1982.
2. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский,
Уравнения математической физики,
М. Наука, 2004.
3. В.С. Владимиров,
Уравнения математической физики,
М. Наука, 2003.
4. В.С. Владимиров, В.В. Жаринов,
Уравнения математической физики,
ФИЗМАТЛИТ, 2003.
5. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н.,
Сборник задач по математической физике,
Наука, М., 1972.
6. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В.,
Лекции по математической физике,
МГУ, 1993.
7. Шубин М.А.,
Лекции об уравнениях математической физии,
МЦНМО, М., 2001.
8. Арнольд В.И.,
Лекции по уравнениям с частными производными,
Независимый ун-т, М., 1995.
9. Багров В.В, Белов В.В, Задорожный В.Н, Трифонов А.Ю.,
Методы математической физики,
Изд-во STT, 2000.
10. Демидов А.С.,
Обобщенные функции в математической физике. Основные идеи и понятия,
МГУ, 1993.
11. Бабич В.М., Изотова О.В.,
О решениях в обобщенных функциях задач математической физики,
С.-ПГУ, 1998.
12. Комеч А.И.,
Практическое решение уравнений математической физики,
МГУ, 1993.
13. Белов В.В., Воробьев Е.М.,
Сборник задач по дополнительным главам математической физики,
«Высшая школа», М., 1978.
14. В.П. Маслов, М.В. Федорюк
«Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики».
М. Наука, 1976.
15. Дж. Коул
«Методы возмущений в прикладной математике».
М. Мир, 1972.
16. И.Г. Петровский
«Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений».
М. Изд-во Моск. ун-та, 1984.
Дополнительные статьи
17. V.G. Danilov, G.A. Omel’yanov, and V.M. Shelkovich,
“Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves”,
Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems (M. Karasev, ed.), Amer. Math. Soc.
Transl. Ser. 2, Providence, RI, 2003, v. 208, pp. 3–163.
18. M. V. Karasev and A.V. Pereskokov,
“Global asymptotics and quantization rules for nonlinear differential equations”,
Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems (M. Karasev, ed.), Amer. Math. Soc.
Transl. Ser. 2, Providence, RI, 2003, v. 208, pp. 165–234.
19. P. Zhevandrov and A. Merzon,
“Asymptotics of eigenfunctions in shallow potential wells and related problems”,
Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems (M. Karasev, ed.), Amer. Math. Soc.
Transl. Ser. 2, Providence, RI, 2003, v. 208, pp. 235–284.
20. M.V. Karasev, E.M. Novikova,
“Algebras with polynomial commutation relations for a quantum particle in electric and
magnetic fields”,
Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.). Amer.
Math. Soc. Transl. Ser. 2, Providence, RI, 2005, V. 216, 19-135.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа