close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...1. Ð Ð·Ð°Ð²Ð¸Ñ Ð¸Ð¼Ð¾Ñ Ñ Ð¸ Ð¾Ñ Ð·Ð½Ð°Ñ ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿Ð°Ñ Ð°Ð¼ÐµÑ Ñ Ð° a Ñ Ñ Ð°Ð²Ð½ÐµÐ½Ð¸Ðµ (1) имееÑ

код для вставкиСкачать
25.02.2015
Занятие № 3. Динамические системы с непрерывным временем
на прямой.
№ 1. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые
портреты для динамической системы:
du
 u  2u 3  u 5 , u  R ,   R.
(1)
dt
Решение уравнения
f (u,  )  u  2u 3  u 5  0  u (  2u 2  u 4 )  0 
u  0,
 
2
4
  2u  u  0
на плоскости (,u) определяет геометрическое место положений равновесия заданной системы при различных значениях параметра . Это прямая l1:
u =0 и парабола l2: =u2 (u2  2). Нетрудно найти вершины параболы  точки (1, 1), (1, 1), (0, 0), и точки пересечения параболы с осями  (1, 2 ),
(1, 2 ), (0, 0) (см. рис. 1).
Вывод 1. В зависимости от значения параметра  уравнение (1) имеет
следующее количество положений равновесия:
 < 1
 = 1
1 <  < 0
=0
>0
1
3
5
3
3
Прямая l1 и парабола l2 разбивают плоскость на четыре области, где сохраняется знак выражения f (u,  )  u  2u 3  u 5 . Это разбиение показано на
рис. 1. Области, в точках которых выражение f (u ,  ) принимает положительные
значения, помечены знаком «+» и выделены цветом; области, в точках которых
выражение f (u ,  ) принимает отрицательные значения, помечены
знаком
«». Так как u ' (t )  f (u ,  ) , то в тех областях, где f (u,  )  0, функция u(t) растет, а где f (u ,  )  0, функция u(t) убывает. На рис. 1
стрелки указывают
Рис. 1
направление изменения u.
В соответствии с установленным направлением участки прямой l1 и параболы l2 с неустойчивыми особыми точками заменяем пунктирной линией. В
результате получаем бифуркационную диаграмму на рис. 2.
Рис. 2
Рис. 3
Вывод 2. Значения параметра  =1 и  = 0 являются точками бифуркации. При  =1 имеют место локальные бифуркации типа «седло-узел», а
при  =0  локальная бифуркация типа «вилка».
Сечения на бифуркационной диаграмме (рис. 3) для различных значений
параметра  дают типичные фазовые портреты системы (1).
№ 2. Выполните анализ модели, которая описывает динамику популяции насекомых (канадского почкоеда):
N
BN 2

N ' (t )  rN 1    2
,
(2)
K  A  N2

где r  линейная скорость роста (мальтусовский коэффициент прироста), K  емкость среды, определяемая плотностью лиственного поBN 2
крова на деревьях. Выражение 2
описывает истребление насеA  N2
комых хищниками (птицами), положительные константы.
Основные этапы анализа
1. Уменьшение размерности области параметров
С помощью линейного преобразования
N  Au , t 
уравнение (2) приводится к виду
A

B
(3)

u
u2
u ' ( )   u 1   
,
  1  u2

(4)
где новые параметры

rA
K
 0,    0.
B
A
2. Поиск положений равновесия

u
f (u,  ,  )   u 1 
 
u  0,

u2

 
0 
u
2
 1 
 1 u
  

u
 
 0.
2
 1 u
Уравнение (4) при любых допустимых значениях параметров  и  имеет
нулевое положение равновесия u1 = 0.
Ненулевые положения равновесия следует искать среди положительных
корней уравнения

u
u
g (u ,  ,  )   1   
 0,
2
   1 u
(5)
которое равносильно следующему
u 3  u 2  (   )u    0.
(6)
Заметим, что уравнение (5) (или (6)) не имеет отрицательных корней, так
как при любых u  0 левая часть уравнения (5) принимает положительные
значения (левая часть уравнения (6)  отрицательные). Следовательно, если
уравнение (5) имеет вещественные корни, то все они положительны.
Так как кубическое уравнение всегда имеет, по крайней мере, один
вещественный корень, то уравнение (6) (а , значит, и (5)) при любых допустимых значениях параметров  и  имеет, по крайней мере, один положительный корень, а уравнение (4)  одно ненулевое положение равновесия.
При любых допустимых значениях параметров  и  уравнение (4) имеет,
по крайней мере, одно ненулевое положение равновесия u2 .
Выяснить, имеет ли уравнение (5) более одного положительного корня,
можно, применив графический подход к его решению. Запишем уравнение
(5) в виде:

 1 

u
u
 
.
  1 u2
(7)

График функции y1 (u )   1 

u
 в левой части уравнения (7)  это пря 
мая, которая отсекает от координатных осей отрезки длиной  и . График
u
в левой части  кривая, имеющая точку максиму1 u2
ма при u = 1. При этом y 2 (1)  0,5. График функции y 2 (u) в точке
функции y 2 (u ) 

3
 3,
 имеет перегиб.


4


Количество точек пересечения прямой y  y1 (u ) и кривой y  y 2 (u)
определяют количество корней уравнения (5), а, значит, и количество
ненулевых положений равновесия уравнения (4).
На рис. 12 приведены варианты взаимного расположения прямой
y  y1 (u) и кривой y  y 2 (u) .
Рис. 1. Графики функций y1(u) и y2(u) имеют одну точку пересечения
Рис. 2. Графики функций y1(u) и y2(u) имеют одну, две
или три точки пересечения
Бифуркационными значениями параметров  и  будут такие значения,
при которых прямая y  y1 (u ) будет являться касательной к кривой
y  y 2 (u) . Условиями для их определения являются следующие:
 
u
u
,
 1   
2
    1 u

 d   1  u    d  u
 du      du  1  u 2

 
 
u
u
,
 1   
2
    1 u

2

   1  u .

2
 

1 u2


(8)

Другим способом условия для определения бифуркационных значений параметров  и  могут быть получены из следующей системы:
 f (u,  ,  )  0,

 f 'u (u ,  ,  )  0.
(9)
Здесь первое уравнение  условие для определения положения равновесия, а второе  условие, при выполнении которого положение равновесия
является негиперболической точкой. Для системы (9) имеем
 f (u,  ,  )  0,
u  g (u,  ,  )  0,


 f 'u (u,  ,  )  0
 g (u,  ,  )  u  g 'u (u,  ,  )  0.
Положение равновесия u=0 уравнения (3) является гиперболической точкой,
так как для него g(0,,)=0. Для ненулевого положения равновесия
уравнения (4) получаем
 g (u,  ,  )  0,
 g (u ,  ,  )  0,



 g (u,  ,  )  u  g 'u (u ,  ,  )  0
 g 'u (u ,  ,  )  0
 
u
u
,
 1   
2
    1 u

2
   1  u .
2
 
1 u2



Полученные условия совпадают с (8).
Систему (8) можно разрешить относительно параметров  и :

2u 3

(
u
)

,

2

1 u2

2u 3


(
u
)

.

u2 1


(10)
Система (10)  это параметрическое задание бифуркационной кривой l для
уравнения (4). Так как  > 0, то параметр u должен принимать значения,
большие 1.
Любое значение фазовой переменной u=u*> 1 определяет бифуркационные значения параметров  и , при которых u* является негиперболической особой точкой уравнения (4).
Домашнее задание
1. Для различных значений параметра  постройте интегральные кривые уравнения (1).
2. Постройте бифуркационную диаграмму и типичные фазовые
портреты для уравнения
du
 (u   )(u 2   ), u  R ,   R.
dt
3. Постройте бифуркационную кривую для модели (4).
4.03.2015
Занятие № 4. Динамические системы с непрерывным временем
на прямой (Задача № 2, продолжение анализа).
3. Области существования различного числа положений равновесия
уравнения (4)
Так как lim  (u)  , а lim  (u )  0.5, то  (u )  0.5 является асимптоu 1
u 1
той бифуркационной кривой l.
Так как lim  (u)  , а lim  (u)  0, то  (u )  0 является асимптотой
u 
u 1
кривой l.
Вершина кривой l имеет координаты  3 3 ,3 3  . Абсцисса вершины –
 8

это минимальное значение функции (u), ордината вершины – это максимальное значение функции (u). Исследуя функции (u) и (u) (поиск точек
экстремума), можно установить, что координаты вершины соответствуют
значению u 
3.
D3
D2
D1
Рис. 3. Параметрический портрет уравнения (4)
Описание параметрического портрета:
1. Если (,)D1, то уравнение имеет одно ненулевое положение равновесия u2 > 0 и u1 = 0.
2. Если (,)D2, то уравнение имеет два ненулевых положений равновесия u2 , u3 и u1 = 0 (пусть u2 < u3) .
3. Если (,)D3, то уравнение имеет три ненулевых положений равновесия u2 , u3, u4 > 0 и u1 = 0 (пусть u2 < u3 < u4). При (,)D2 происходит
слияние точек u2 и u3 (верхняя ветвь бифуркационной кривой) или u3 и
u4 (нижняя ветвь бифуркационной кривой).
4. Если (,)=  3 3 ,3 3  , то уравнение имеет одно ненулевое положение
 8

равновесия u2 и u1 = 0. В этом случае прямая y1(u) проходит через точку
перегиба графика кривой y2(u) (три точки u2 , u3, u4 сливаются в одну).
4. Устойчивость положений равновесия и фазовые портреты уравнения (4)
Правила исследования гиперболической особой точки u*:
 Если f’(u*) < 0, то положение равновесия u* асимптотически устойчиво.
 Если f’(u*) > 0, то положение равновесия u* неустойчиво.
2 
 
 u
u
  1 u 
f u' (u,  ,  )   1   

u

2
  1 u2 2 
   1 u




Так как f u' (0,  ,  )    0, то положение равновесия u1 = 0 является при
любых допустимых значений параметров  и  неустойчивым.
Для исследования на устойчивость ненулевых положений равновесия, выясним, какой вид имеет график правой части уравнения (4) для различных
областей параметрического пространства.
Заметим, что


sign f (u,  ,  )  sign  u (u 3  u 2  (   )u   ) .
I. Область D1
Фазовый портрет
u1= 0
u
u2
Ненулевое положение равновесия u2 асимптотически устойчиво. Область
притяжения: u(0) > 0.
Интегральные кривые
Биологическая интерпретация качественного поведения решений уравнения (4), если (,)D1
При любой ненулевой начальной численности популяции (u(0) 0) наблюдается стабилизация численности на равновесном уровне u2.
II. Область D2 (нижняя ветвь бифуркационной кривой)
Фазовый портрет
u1= 0
u2
u3
u
Ненулевое положение равновесия u2 асимптотически устойчиво. Область
притяжения: u(0)  (0, u3).
Ненулевое положение равновесия u3 полуустойчиво. Область притяжения:
u(0)  u3.
Интегральные кривые
III. Область D3
Фазовый портрет
u
u2
u3
u4
u1= 0
Ненулевое положение равновесия u2 асимптотически устойчиво. Область
притяжения: u(0)  (0, u3).
Ненулевое положение равновесия u3 неустойчиво.
Ненулевое положение равновесия u4 асимптотически устойчиво. Область
притяжения: u(0) > u3.
Интегральные кривые
IV. Область D2 (верхняя ветвь бифуркационной кривой)
Фазовый портрет
u1= 0
u2
u3
u
Ненулевое положение равновесия u2 полуустойчиво. Область притяжения:
u(0)  (0,u2].
Ненулевое положение равновесия u3 асимптотически устойчиво. Область
притяжения: u(0) > u2.
Интегральные кривые
V. Область D1
Фазовый портрет
u1= 0
u2
u
Ненулевое положение равновесия u2 асимптотически устойчиво. Область
притяжения: u(0) > 0.
Интегральные кривые
Биологическая интерпретация качественного поведения решений уравнения (4), если (,)D1
При любой ненулевой начальной численности популяции (u(0) 0) наблюдается стабилизация численности на равновесном уровне u2.
VI. Вершина бифуркационной кривой  
3 3
,  3 3
8
Фазовый портрет
u1= 0
u2
u
Ненулевое положение равновесия u2 асимптотически устойчиво. Область
притяжения: u(0) > 0.
Интегральные кривые
Если изобразить множество ненулевых положений равновесия как функцию
параметров, то получим гладкую поверхность, которая называется складкой
Уитни.
u


u

u

u


Верхняя и нижняя часть «складки» - это геометрическое место асимптотически устойчивых положений равновесия.
10.03.2015
Занятие № 5. Определение типа бифуркации равновесий в однопараметрической ДС
Негиперболическую особую точку ДС u’(t) = f (u,) определяют условия:
f(u, ) = 0, f’u(u*,*)0.
Обозначим


D(u,  )  f u'' (u,  )  f uu'' (u,  ) f '' (u,  ).
2
Правила определения типа бифуркации для негиперболической особой
точки u*, соответствующей критическому значению параметра *:
1. Если выполнены условия
f' (u*, *)  0, f uu'' (u*, *)  0,
то в точке (u*,*)имеет место бифуркация типа «седло-узел».
2. Если выполнены условия
f' (u*,*)  0, f uu'' (u*,*)  0 и D(u*, *)  0,
то в точке (u*,*)имеет место транскритическая бифуркация.
3. Если выполнены условия
'''
f' (u*,*)  0, f uu'' (u*,*)  0, D(u*,*)  0, f uuu
(u*,*)  0,
то в точке (u*,*) имеет место бифуркация типа «вилка».
Задание. Найти негиперболические точки ДС и выяснить, какой тип бифуркации им соответствует:
(11)
u ' (t )  u (  e u ), u,   R1 .
1. Поиск негиперболических точек
u

 f (u,  )  0,
u  0,
u (  e )  0,


 '


u

  0.
 f u (u,  )  0
  e (1  u )  0
Система (11) имеет одну гиперболическую точку u*=0, соответствующую
бифуркационному значению параметра *=0.
2. Проверка условий
Так как
f'  u, f uu''  eu (u  2), f u''  1,
f''  0, то
f' (0,0)  0, f uu'' (0,0)  2, D(0,0)  1  0.
Следовательно, тип бифуркации – транскритическая.
Домашнее задание
1. С помощью правил 1-3 установите тип бифуркации в точках
(1, 1), (1, 1), (0, 0) для динамической системы (1).
2. Постройте бифуркационную диаграмму для ДС (11).
3. Какие
бифуркации
равновесий
u ' (t )  u  sin u, u,   R .
1
имеют
место для ДС:
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа