close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

В стоимость входит;pdf

код для вставкиСкачать
Отзыв
научного консультанта о диссертации Е. А. Фоминых
«Сложность трехмерных многообразий: точные значения и оценки», представленной на
соискание ученой степени доктора
физико-математических наук по специальности
01.01.04 - геометрия и топология
Задача оценивания и нахождения сложности трехмерных многообразий является
правильно поставленной математической проблемой, исследование которой уже привело
к ряду замечательных результатов в алгоритмической топологии и гиперболической
геометрии. В их число входят нахождение замкнутого ориентируемого гиперболического
трехмерного многообразия, имеющего минимальный возможный объем, и полная
классификация замкнутых неприводимых трехмерных многообразий до сложности 12.
Методы, разработанные для исследования этих задач, привели к окончательному
решению проблемы алгоритмической классификации достаточно больших трехмерных
многообразий, поставленной В. Хакеном в начале прошлого века.
Ряд замечательных
результатов по нахождению оценок и точных значений сложности трехмерных
многообразий был получен С. Анисовым, Б. Мартелли, К. Петронио, В. Джейко и др. В
частности, ими были построены несколько бесконечных серий многообразий, для которых
сложность удалось вычислить точно. Методы построения в каждом случае были
различными и не допускали прямых обобщений. Поэтому работа в этом направлении
приостановилась. Результаты, представленные в данной диссертации, основаны на новом
подходе, сочетающем теоретические разработки и компьютерные эксперименты, которые
помогли построить несколько новых серий
многообразий с известной сложностью.
Важно отметить, что такое сочетание характерно для современной математики вообще и
для алгоритмической топологии, в частности.
Это показывает,
что результаты
диссертации весьма актуальны и лежат в русле основных тенденций развития науки.
Перейдем к анализу основных результатов диссертации.
1.
Верхние оценки сложности для замкнутых граф-многообразий и многообразий,
полученных хирургиями Дена на узле восьмерка. Первые оценки такого рода появились
еще в прошлом веке, но только для линзовых пространств и для замкнутых многообразий
1
Зейферта.
Случай
граф-многообразий
весьма
важен,
поскольку
именно
такие
многообразия появляются при изучении важных для приложений поверхностей уровня
интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Основная трудность
состояла в нахождении правильных формул, обобщающих соответствующие формулы для
линзовых пространств. Постановка задачи о сложности многообразий, полученных
хирургиями Дена на узле восьмерка, является новой и весьма естественной. Весьма
вероятно, что эти оценки являются точными (это подтверждается анализом табличных
многообразий). Тем самым возникает естественная задача о доказательстве их точности,
что намечает перспективные пути дальнейшей работы в разрабатываемом направлении.
2. Верхние оценки сложности для многообразий Зейферта с непустыми краями и
дополнительных пространств торических узлов. Этот результат весьма полезен для
общего понимания структуры спайнов различных типов многообразий. Хотя методы его
получения аналогичны известным, выписывание нужных оценок довольно сложно и
потребовало разработки специальной техники.
3. Принципиально новым является результат о точном вычислении сложности для
бесконечного семейства гиперболических многообразий Паолюци — Циммермана и их
обобщений. Он представляет собой новый шаг в вычислении сложности, послуживший
началом еще нескольких существенных продвижений в теории сложности.
4.
Исследование и табулирование гиперболических многообразий с каспами,
склеенных из 8, 9 и 10 правильных идеальных гиперболических тетраэдров, а также
нахождение точных значений сложности их накрытий. Этот результат является далеким
развитием наблюдения С. Анисова о возможности точного вычисления сложности
многообразий, составленных из правильных идеальных тетраэдров. Ключевую роль здесь
сыграли компьютерные эксперименты, проведенные В.В. Таркаевым.
Большинство основных результатов диссертации получено автором лично или при
участии
члена-корреспондента
консультантом этой работы).
РАН
А.Ю.
Веснина
(который
также
является
Уровень диссертации соответствует мировому. Отдельно
отмечу, что одна из статей автора (в соавторстве с Б. Мартелли) опубликована в журнале
«Дифференциальная геометрия» (США), который является самым престижным ведущим
журналом в области дифференциальной геометрии и топологии, причем результат статьи
является
первым
принципиально
новым
применением
квантовых
инвариантов
многообразий к решению геометрических задач.
Считаю, что диссертация Е.А. Фоминых «Сложность трехмерных многообразий:
точные значения и оценки» полностью соответствует всем критериям, установленным в
положении о присуждении научных степеней. Работа посвящена актуальной теме,
2
полученные в ней результаты, совокупность которых можно квалифицировать как
научное
достижение,
являются
новыми,
полностью
и
правильно
обоснованы,
своевременно и в полном объеме опубликованы в научных изданиях, удовлетворяющих
требованиям ВАК. Результаты и методы, предложенные автором, будут использованы в
дальнейших исследованиях по топологии трехмерных многообразий. Вышеизложенное
позволяет утверждать, что Евгений Анатольевич Фоминых заслуживает присуждения ему
ученой степени доктора физико-математических наук.
Научный консультант
член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук,
профессор Сергей Владимирович Матвеев
454001, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129
телефон: +7 (351) 7997202
e-mail: [email protected]
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Челябинский государственный университет»
Заведующий кафедрой компьютерной
топологии и алгебры
С.В. Матвеев
29 августа 2014 г.
веряю
'дела кадров
7 Т.Б. Смашникова
3
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа