close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Пояснительная записка.
Практика экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами
представляют для учащихся наибольшую сложность. Именно поэтому
необходимо введение элективного курса для 10 и 11 классов. Основная цель
такого курса – повысить математическую подготовку учащихся к ЕГЭ.
Спецификой задач с параметрами является то, что наряду с неизвестными
величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не
указаны конкретно, но считаются конкретными и заданными на некотором
числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на
логический и технический ход решения задачи и форму ответа. Ответ в задачах с
параметрами, как правило, имеет развернутый вид: при конкретных значениях
параметра ответы могут значительно различаться.
Трудности решения задач такого рода вызваны прежде всего тем, что в
любом случае, даже при решении простейших уравнений или неравенств,
содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений
параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение.
При этом следует четко и последовательно следить за сохранением
равносильности решаемых уравнений или неравенств с учетом области
определения выражений, входящих в уравнение или неравенство, а также
учитывать выполнимость производимых операций.
Некоторое представление о решении уравнений и неравенств с параметрами
и о разветвленной записи ответа учащиеся получают уже в курсе алгебры 6-7
классов при рассмотрении в общем виде линейных, а затем квадратных
уравнений.
На таком же уровне в школьном курсе рассматриваются линейные и
квадратные неравенства. Этих знаний вместе с элементарными представлениями
о равносильности уравнений ил неравенств вполне достаточно, чтобы на их
основе положить начало выработке навыков решения стандартных линейных
или квадратных уравнений и неравенств или приводимых к ним уравнений и
неравенств. Однако школьная программа не предусматривает выработки
прочных навыков решения таких задач всеми учащимися, и углубленное
изучение соответствующих методов может быть достигнуто только на курсах по
выбору в 9 классе и элективных курсах в 10 и 11 классах.
Овладение же методикой решения уравнений с параметрами очень полезно:
оно существенно повышает уровень математической подготовки учащихся,
позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на такие «банальные»
функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой,
как, к примеру, различные виды уравнений.
В данном курсе рассматриваются основные методы и идеи решения задач с
параметрами. Разбираемые и предлагаемые для самостоятельного решения
задачи подобранны в соответствии с действующими программами экзаменов по
математике.
Актуальность элективного курса заключается в том, что он способствует
расширению знаний для успешной сдачи экзаменов и дальнейшего обучения в
высших учебных заведениях.
Данный курс предполагает рассмотрение встречающихся в 10 и 11 классах
уравнений глубже и шире. Для 10 класса курс рассчитывает 35 часов, для 11 – 35
часов. Занятия на элективных курсах проводятся в виде лекций и практических
занятий. Освоение учащимися материала проверяется с помощью выполнения
ими задач для самостоятельного решения. В конце курса предусмотрено
проведение тестовой работы.
Цели курса:
 познакомить с алгоритмом решения уравнений, систем уравнений,
неравенств с параметром;
 научить выделять параметр из текста задачи;
 научить решать задачи в общем виде, выделять частные случаи
решения задач из общего решения;
 научить оформлять решение задачи с параметром;
 изучить различные виды задач и способы их решения;
 развить пространственные представления, логическое мышление и
речь;
 сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как
важнейших средствах математического моделирования реальных
процессов и явлений.
Задачи курса:
Образовательные:
 овладение системой знаний и умений, необходимых для решения задач
с параметрами, для дальнейшего их применения в практической
деятельности, продолжения образования;
 формирование представлений о методах решения задач с параметрами;
Развивающие:
 интеллектуальное развитие, формирование таких качеств личности, как
ясность и точность мысли, критичность мышления, логического
мышления, способности к преодолению трудностей;
 формирование грамотной математической речи учащихся с
применением математических терминов;
Воспитательные:
 воспитание отношения к математике как к части общечеловеческой
культуры.
Методы работы.
Для достижения поставленных целей и задач особое место в программе
занимают следующие формы работы:
 Лекции.
 Практические занятия.
 Самостоятельные работы.
Методы обучения:
 Частично-поисковый.
 Репродуктивный.
 Лекция.
Формы обучения:
 Индивидуальная.
 Групповая.
Планируемый результат.
Обучающиеся по окончании курса должны знать: существо понятия
параметра, задачи с параметром, алгоритма решения задачи с параметром;
приводить примеры задач с параметром; как уравнения с параметрами могут
описывать реальные зависимости; каким образом уравнения с параметрами
применяются на практике.
Обучающиеся по окончании курса должны уметь: находить параметр в
задаче с параметрическими данными; отличать переменную от параметра;
определять вид задачи с параметром; находить решение задачи с параметром;
записывать развернутый ответ к задаче.
Обучающиеся по окончании курса должны уметь
использовать
приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной
жизни для: решения несложных практических задач; устной прикидки и оценки
результата решения; интерпретации результатов решения задач с учетом
ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и
явлений.
Оценка качества знаний.
При оценке качества знаний будут использованы задания для
самостоятельного решения, итоговый тест. Причем будет учитываться не только
правильность ответа, но и сам ход решения, выбор метода решения, умение
объяснить свой ход мыслей, полнота решения.
Тезаурус.
Переменные a,b,c,…,k, которые при решении уравнения или неравенства
считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение уравнением, содержащим параметры.
Решить уравнение с параметром – значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются
равносильными, если:
1) Они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
2) Каждое решение первого уравнения является решением второго и
наоборот.
Неравенство (, , , . . , , ) > (, , , . . , , ), где , , , . . ,  - параметры,
а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним
неизвестным, содержащим параметры.
Действительное число x0 называется частным решением неравенства, если
это неравенство верно при любой системе допустимых значений параметров.
Множество всех частных решений неравенства называется общим решением
этого неравенства.
Два неравенства называются равносильными, если они имеют одинаковые
общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений
параметров.
Учебный план (10 класс)
№
Темы занятий
п/п
1 Основные понятия. Алгоритм решения.
2 Тригонометрические
уравнения
с
параметрами, сводящиеся к однородным.
3 Тригонометрические
уравнения
с
параметрами, решаемые введением новой
переменной.
4 Тригонометрические
уравнения
с
параметрами,
решаемые
заменой
переменной.
5 Решение
систем
тригонометрических
уравнений с параметром.
6 Решение тригонометрических неравенств с
параметром.
7 Итоговая проверка знаний.
8 Итоговый урок.
Итого.
Количество часов
всего теория практика
3
2
1
5
1
4
5
1
4
6
1
5
7
2
5
7
2
5
1
1
35
-
1
1
26
9
Содержание курса.
Тема 1. Основные понятия. Алгоритм решения (3 ч).
Знакомство с основными понятиями, встречающимися в ходе изучения
элективного курса. Знакомство с алгоритмом решения уравнений и неравенств с
параметрами. Исследование области допустимых значений функций.
Тема 2. Тригонометрические уравнения с параметрами, сводящиеся к
однородным (5 ч).
Обобщение методов решения однородных тригонометрических уравнений и
их применение при решении похожих задач с параметрами. Исследование
области допустимых значений параметра и переменной.
Тема 3. Тригонометрические уравнения с параметрами, решаемые
введением новой переменной (5 ч).
Обобщение методов решения тригонометрических уравнений введением
новой переменной и применение этих методов при решении подобных задач с
параметрами. Нахождение области допустимых значений параметра.
Тема 4. Тригонометрические уравнения с параметрами, решаемые
заменой переменной (6 ч).
Обобщение методов решение тригонометрических уравнений заменой
переменной и применение этих методов при решении задач с параметрами.
Выявление различия между методом введения переменной и метода замены
переменной. Исследование области допустимых значений параметра и
переменной. Выполнение задач для самостоятельного решения.
Тема 5. Решение систем тригонометрических уравнений с параметром (7
ч).
Разбор методов решения систем уравнений. Выбор подходящего метода
решения конкретной системы уравнений с параметрами. Выявление влияния
параметра на ход решения системы уравнений. Исследование условий
существования решения системы. Проверка решения системы с областью
допустимых значений.
Тема 6. Решение тригонометрических неравенств с параметром (7 ч).
Рассмотрение методов решения тригонометрических неравенств. Решение с
помощью этих методов неравенств с параметрами. Связь решения неравенства с
областью допустимых значений параметра и переменной. Зависимость свойств
функций на значение параметра. Выполнение задач для самостоятельного
решения.
Тема 7. Итоговая проверка знаний (1 ч).
Проведение тестового контроля.
Тема 8. Итоговый урок (1 ч).
Подведение итогов. Анализ результатов.
Учебный план (11 класс)
№
Темы занятий
п/п
1 Показательные уравнения с параметрами.
2 Показательные неравенства с параметрами.
3 Логарифмические
уравнения
с
параметрами.
4 Логарифмические
неравенства
с
параметрами.
5 Другие уравнения с параметрами.
Количество часов
всего теория практика
5
2
4
6
1
5
5
2
4
6
1
5
9
2
7
6
7
Итоговая проверка знаний.
Итоговый урок.
Итого.
1
1
35
8
1
1
27
Содержание курса.
Тема 1. Показательные уравнения с параметрами (5 ч).
Обобщение методов решения показательных уравнений и их применение при
решении показательных уравнений с параметрами. Исследование области
допустимых значений параметра и переменной. Определение количества корней
в зависимости от параметра. Влияние свойств функции на решение уравнения.
Тема 2. Показательные неравенства с параметрами (6 ч).
Обобщение методов решения показательных неравенств и их применение
при решении показательных неравенств с параметрами. Исследование области
допустимых значений параметра и переменной. Влияние свойств функции на
решение неравенства. Выполнение задач для самостоятельного решения.
Тема 3. Логарифмические уравнения с параметрами (5 ч).
Обобщение методов решения логарифмических уравнений и их применение
при решении логарифмических уравнений с параметрами. Исследование области
допустимых значений параметра и переменной. Определение количества корней
в зависимости от параметра. Влияние свойств функции на решение уравнения.
Тема 4. Логарифмические неравенства с параметрами (6 ч).
Обобщение методов решения логарифмических неравенств и их применение
при решении логарифмических неравенств с параметрами. Исследование
области допустимых значений параметра и переменной. Влияние свойств
функции на решение неравенств. Выполнение задач для самостоятельного
решения.
Тема 5. Другие уравнения с параметрами (9 ч).
Решение уравнений с параметрами, в которых встречается несколько
различных функций: тригонометрическая и логарифмическая; логарифмическая
и показательная. Методы перехода к функции одного вида. Выполнение задач
для самостоятельного решения.
Тема 6. Итоговая проверка знаний (1 ч).
Проведение тестового контроля.
Тема 7. Итоговый урок (1 ч).
Подведение итогов. Анализ результатов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Литература для учителя.
Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998.
Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" №36/2001;
№4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.
Ефимов Е.А., Коломиец Л.В. Задачи с параметрами. Учебное пособие.
Самара – 2002.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” .
Издательство “Асар”. Минск 1996 г.
Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра: справочное
пособие.- М.: Наука, 1987.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.
Литература для учащихся.
1. Л. Солуковцева « Уравнения и неравенства с параметрами», Москва,
Чистые пруды,2007.
2. Сборники заданий для подготовки к ЕГЭ.
3. Г.А. Ястребинецкий, «Задачи с параметрами», М. Просвещение,1986
Приложение 1
Задачи для самостоятельного решения.
Вариант 1.
В зависимости от значений параметра а решите уравнение (cos )4 −
( + 2)(cos )2 −  − 3 = 0.
При каких значениях параметра а уравнение (2 + 8 + 16)(2 −
2 cos  − (sin )2 ) + (32 + 22 + 16)(cos  − 1) + 3 + 10 = 0
не
имеет решений?
При каких значениях параметра а значение выражения 3 +
sin  (2 sin  +  cos ) будет равно -1 хотя бы при одном значении х?
Решить уравнение: cos x  1 =2а.
Решить уравнение: tg ax2 = 3
Ответы.
1.
2.
3.
4.
5.
В-1. 1. Если  ∈ [−3; −2]:  =  cos √ + 3 + , , в остальных
10
случаях решений нет; 2.  < − ; −3 <  < −2 ; 3.  ∈ (−∞; −4√6) ∪
3
(4√6; ∞) ; 4. если |a| > 0,5, решений нет; если |a| ≤0,5
, х =
2
2
1+(2πn+аrссоs2а) при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2πn-arccos2a) при
n  N; 5.
при а = 0 решений нет; при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n  Z х =

±

3a
n
a
.
Вариант 2.
1. В зависимости от значений параметра а решите уравнение (sin )4 +
(cos )4 + sin 2 +  = 0.
2. При каких значениях параметра а значение выражения 2 +
cos  (3 cos  +  sin ) не равно нулю ни при каких значениях х?
tan 
3. При каких значениях параметра а уравнение ( + 1)(tan )2 − 2
+
cos 
 = 0 не имеет решений.
4. Решите уравнение: а sin bx = 1
5. Решить уравнение: tg ax2 = 3
Ответы.
3 1
1
2 2
2
В-2. 1. Если  ∈ [− ; ] ,  = (−1)  sin(1 − √2 − 3) + ,  ∈  , в
остальных случаях корней нет; 2.  ∈ (−2√10; 2√10); 3.  ≤ −3,  ≥ 1; 4.
при а = 0 или
и
1
a
≤1 и b

1
a
0
>1 и а

0 или а
1
1



0 b=0
решений нет, при а

0
х = ((−1)  + ),  ∈ ; 5. при а = 0 решений
нет; при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n  Z х = ±

3a

n
a
.
Приложение 2.
Задачи для самостоятельного решения.
Вариант 1.
1. При
каких
значениях
параметра
а
система
4 sin  sin  cos( + ) − 0,5 = 0
имеет решения? Найти эти решения в
{
− =
зависимости от значений параметра а.
2. Решить неравенство sin| x|  | a | на [ 2 ;2 ] в зависимости от
значений параметра а.
3. При каких значениях параметра а решением данного неравенства
служит любое действительное число:  − 2 < 0?
4. При
каких
значениях
параметра
а
система
уравнений
2
 +  − 1 =  − ||
, имеет единственное решение?
{
|| + || = 1
Ответы.

 = ± + ( + )
6
В-1.
1.
Если
 = 2, то {
, если  =  +

 = ± + ( − )


 = ± + + ( + )
6
3
2
2, то {
2. 0 ≤ || ≤ 1; 3. −2 <  < 2; 4. а=2.


 = ± − + ( − )
3
2
Вариант 2.
1. При
каких
значениях
параметра
а
система
2 sin  sin  sin( − ) + 0,25 = 0
имеет решения? Найти эти решения
{
+ =
в зависимости от значений параметра а.
2. В зависимости от значений параметра а решите неравенство cos  ≤
2 − 2 .
3. При каких значениях параметра а решением данного неравенства
служит любое действительное число: (2 − 3) + 1 ≥ 0.
4. При
каких
значениях
параметра
а
система
2
 +  − 1 =  − ||
, имеет единственное решение?
{
|| + || = 1
Ответы.
уравнений

В-1. 1. Если  = + 2, то {
2
 = (−1)

 = (−1)+1


12
4
2


 
 = (−1)
+ + (2
12
4
2


− + (2 + )
12
4
2
− + 2, то {
;


+1 
2
 = (−1)
− + (2 − )


+ + (2 + )
12
2)
4
− )
, если  =
2. || ≤ 1,  ∈ , 1 <
2
|| ≤ √3,  ∈ [arccos(2 −  + 2;  − arccos(2 − 2 ) + 2], || >
√3, решений нет; 3. 1 ≤  ≤ 2; 4. а=2.
Приложение 3.
Тест.
Вариант 1.
1. Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений параметра.
а) при b  ( -1; 0,5 ) х = ± arcos
4b  1
 2 k , k  Z
; при b  (-∞;-1]U[0,5;+∞)
 2 k , k  Z
; при b  (-∞;-1)U(0,5;+∞)
3
реш.нет;
б) при b  [ -1; 0,5 ] х = ± arcos
4b  1
3
реш.нет;
в) b  (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos
4b  1
 2 k , k  Z
3
; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;
2. Найдите все действительные значения параметра а, при которых
уравнение sin2 x – 3sin x + a =0.
а) a  [ -4; 2 ] ; б) а  ( -4 ; 2) ;
в) а [ - 4; 2 ).
3. При каких значениях а уравнение cos4 x + sin4 x = a имеет корни?
а) a  [ 0,5; 1 ] ; б) а  [ -1 ; 0,5 ] ;
в) а  [ - 0,5; 1 ).
Вариант 2.
1. Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.
а) при |b| ≤ 1 х =
 1  arccos b 4 b  2 k
б) при |b| ≤ 1 и b=0 х =
в) при |b| > 1 х =
,k  Z
3
 1  arccos b 4 b  2 k
3
 1  arccos b 4 b  2 k
3
,k  Z
; при |b| > 1 реш.нет;
,k  Z
; при |b| > 1 реш.нет;
; при |b| < 1 реш.нет;
2. Найдите все действительные значения параметра а, при которых
уравнение cos2 x + asin x =2 a -7.
а) a  ( 2 ; 6 ) ; б) а  ( 2 ; 4 ] ;
в) а  [ 2 ; 6 ].
3. При каких значениях а уравнение cos6 x + sin6 x = a имеет корни?
а) a  [ 0,25; 0,5 ]
;
б) а  [ 0,25 ; 1 ] ;
в) а  [ - 0,25; 1 ].
Приложение 4.
Задачи для самостоятельного решения.
Вариант 1.
В зависимости от значений параметра а решите уравнение или неравенство:
1. 4 − (2 + 1)2 + 2 +  = 0
2. 3  4 x  2  27  a  a  4 x  2
4
3.  +2 + 6 +1 + 12  + 8 −1 − >  + 4

4. 2 ∗ 42+1 − 5 ∗ 4 + 1 > 0
5. 25+1 − 4 ∗ 5+1 < 2 + 4
Ответы.
В-1. 1. Если а≤-1, то решений нет; если -1≤а<0, то  = 2 ( + 1), если а>0,
то 1 = 2 ( + 1), 2 = 2 ; 2. 3. Если 0<а<1, то  < − ( + 2), если а=1,
то  ∈ , если а>1, то  > − ( + 2); 4. Если а≤0, то  ∈ , если а>0, то  ∈

(−∞; −4  − 1) ∪ (−4 ; ∞); 5. Если а≤ −4, то  ∈ (−∞; 5 (− )), если +4
4<а<-2, то  ∈ (5

 ∈ (5 (− ) ; 5
5
5

; 5 (− )), если а=-2, то решений нет, если -2<а<0, то
5
5
+4
+4
), если а≥0, то  ∈ (−∞; 5
).
5
5
Вариант 2.
В зависимости от значений параметра а решите уравнение или неравенство:
1. 4 − 2 +  =  ∗ 2
2. 9 − (2 + 1)3 + 2 +  − 2 = 0
3. 2 − 2 ∗ 4+1 −  ∗ 2+1 > 0
4. 9+1 − 3+1 ≥ 2 + 
5. 25+1 − 4 ∗ 5+1 < 2 + 4
Ответы.
В-2.
1.
 = 0 при  ≤ 0;  = {0; 2 }при  > 0 ;
2.
при  ≤
−2 решений нет;  = 3 ( + 2) при − 2 <  ≤ 1;  = {3 ( + 2); 3 ( −
2)} при  > 1; 3. Если а<0, то  ∈ (−∞; 2 (−) − 1), если а=0, то решений нет,

если а>0, то  ∈ (−∞; 2  − 2); 4. Если а≤-1, то  ∈ [3 (− ) ; ∞), если 1<а<-1/2, то  ∈ (−∞; 3
1/2<а<0,
[3
(5
+1
3
+4
5
то
+1
3
3

] ∪ [3 (− ) ; ∞), если а=-1/2, то  ∈ , если 3

 ∈ (−∞; 3 (− )] ∪ [3
3
+1
3
; ∞) ,
если
а≥0,
то
 ∈∪

; ∞) ; 5. Если а ≤ −4, то  ∈ (−∞; 5 (− )) , если -4<а<-2, то  ∈
5

; 5 (− )) , если а=-2, то решений нет, если -2<а<0, то  ∈
5

(5 (− ) ; 5
5
+4
+4
5
5
), если а≥0, то  ∈ (−∞; 5
).
Приложение 5.
Задачи для самостоятельного решения.
Вариант 1.
В зависимости от значений параметра а решите уравнение   2 +
2 ( + 2) = 1.
1
При каких значениях параметра а уравнение 3  + (2 − 4)3 −
3
3 = 0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 8?
В зависимости от значений параметра а решите неравенство  ( −
2) +   < 1.
При каких значениях параметра а для любого х<0 выполняется
неравенство 2 ( 2 +  + 1) > −1?
При каких допустимых значениях параметра а неравенство  2 −

√4 +  7 < 7 не выполняется ни при каких х?
1.
2.
3.
4.
5.
49
Ответы.
В-1. 1. Если  ≤ 0, то решений нет;
если 0 <  < 1, то 1,2 = −1 ±
√1 − √, 3 = −1 + √1 + √; если  = 1, то решений нет; если  > 1, то  =
−1 + √1 + √; 2.  ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (1; 2) ∪ (2; ∞); 3. Если 0 <  < 1,
 ∈ (1 + √1 + ; ∞), если  > 1, то  ∈ (2; 1 + √1 + ) ; 4.  < √2 ; 5.  = √7 ;
0<≤
1
4
.
√7
1. В
зависимости
от
Вариант 2.
значений параметра
а
решите
уравнение
√1 +  √3 ∗   + 1 = 0.
2. При каких значениях параметра а уравнение   + 8 3  − 3 = 0
3
имеет два корня, расстояние между которыми меньше ?
2
3. В зависимости от значений параметра а решите неравенство
+2 ( 2 − 2 + ) ≥ 2.
4. При каких допустимых значениях параметра а неравенство (9 +
√24 −  2) ≥ 0,5 2 выполняется при любых х?

5. При каких значениях параметра а неравенство √ − 1 ∗ 4 (2 −
4
 2 + 25) > 0 имеет 2 целых решения?
Ответы.
В-2. 1. Если  < 0,  = 1, то решений нет; если 0 <  < 1,  > 1, то  =
1
1
2
;
2.  ∈ ( ; 1) ∪ (1; 2) ; 3. Если  ≤ 8,  = −2, то решений нет; если −8 <  ≤
2
−3, то  ∈ [
то  ∈ (−1;
−4
; 1 − √1 − ) , если − 3 <  < −2, то  ∈ [
6
−4
6
]; 4.  =
1
6
√2
24
1
1
3
−4
6
; −1] , если  > −2,
,  ≥ √2; 5.  ∈ (− ; − ] ∪ [ ; 1).
2
4
4
Приложение 6.
Задания для самостоятельного решения.
Вариант 1.
1. При каких значениях параметра а значение выражения (1 −
2
2
||)5(1−||)−|−1| больше значения выражения 0,2− −25(1+ −2||)
при всех допустимых значениях х?
2. При каких значениях параметра а сумма  (2 − 1) и  (2 − 7)
равна единице ровно при одном х?
3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x | x  2 a | 1  a  0
имеет единственное решение.
4. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет три различных корня; найдите эти корни:
2
x  a  2|2| x | a |.
Ответы.
В-1. 1.  ∈ (−2; 2) ; 2.  ∈ (0; 1) ∪ (1; ∞) ; 3.
a   2 , x 1   2, x 2 
26
15
, x3 
14
5
.;
при
a  2, x 1  2, x 2  
a
14
5
5 1
2
, x3  
a  1.
,
26
15
; 4. При
.
Вариант 2.
1. При каких значениях параметра а значение выражения (1 −
2
4
2
 2 )4(1− )− больше значения выражения 0,251−||−2 √1− при
всех допустимых значениях х?
3+2 2
5+4 2
2. При каких значениях параметра а сумма  (
) и  ( 1+ 2 ) ,
1+ 2
больше единицы при всех х?
3. Найдите все значения параметра a из промежутка 1;  , при каждом из
которых
больший
из
корней
уравнения
x
2
 6 x  2 ax  a  13  0
принимает наибольшее значение.
4. Для каждого значения параметра a определите число решений
уравнения | x 2  2 x  3|  a.
Ответы.
В-2. 1.  ∈ (−1; 1); 2.  ∈ (1; 8]; 3. при a = 1; 4. Если
имеет корней, если
a0
и
a  4,
a  0,
тогда уравнение не
тогда уравнение имеет два корня, если
тогда уравнение имеет три корня, если
0  a  4,
a  4,
тогда уравнение имеет четыре
корня.
Приложение 7.
Тест.
Вариант 1.
1. Решите уравнение a  ( x  0 .5 ) a  0 .5  a  a  2 x
а) при а ≤ 0 х  R ; при а > 0, а  1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла.
б) при а > 0 х  R ; при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.
в) при а = 1 х  R ; при а > 0, а  1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.
2. При каких значениях параметра уравнение 4 х – а2 х+1 – 3а2 + 4а = 0
имеет единственное решение?
а) 2;
б) 1 ;
в) -1.
3. Решите уравнение log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.
а) при а ≤ 1 х = 0,5( 2+ 4  2 lg a ) ; при а =100 х = 1.
б) при а > 100 реш. нет; при 1<a<100 х = 0,5( 2+ 4  2 lg a ); при а
=100 х = 1;
при а ≤ 1 не имеет смысла .
в) при а > 100 реш.нет ; при 1<a<100 х = 0,5( 2+ 4  2 lg a ) ;
при а ≤ 1 не имеет смысла .
4. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение
имеет только один корень 1+ log 2 (ax) = 2 log 2 (1 - x)
а) а > 0, а = 2 ; б) а > 0, а = - 2 ; в) а < 0, а = - 2 .
5. Решите уравнение
а) а ;
1
a
;
x
log a x
 a x,
б) а2 ; -
2
1
a
а > 0, а  1
; в ) а2 ;
1
a
Вариант 2.
2 x
a
 aa
1. Решите уравнение a
а) при а ≤ 0 х  R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла.
б) при а = 1 х  R ; при а > 0, а  1 х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.
в) при а > 0х  R ; при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.
 ( x  0 .5 )
 0 .5
2. При каких значениях параметра уравнение а( 2 х + 2-х ) = 5 имеет
единственное решение?
а) -2,5; 2,5
;
б) 2; 2,5
;
в) –2,5.
3. Решите уравнение 3 lg (x – а) - 10 lg ( x - а)+1 = 0.
а) х = а + 1000, х = а + 3√10 ;
б) х = а - 3√10 , х = а –1000 ;
в) х = а - 3√10 , х = а + 1000 .
4. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение
имеет только один корень
а) 4 ;
б) -4 ;
5. Решите уравнение
а) -1 ; а ;
x
log a x
lg( kx )
lg( x  1)
 a
 2
в) - 2
, а > 0, а  1
3
log a x
б) 1 ; - а; в ) 1 ; а
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа