close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...Ð¦Ð¸Ñ Ñ Ð¾Ð²Ð°Ñ Ð¾Ð±Ñ Ð°Ð±Ð¾Ñ ÐºÐ° Ñ Ð¸Ð³Ð½Ð°Ð»Ð¾Ð²: Ð¼ÐµÑ Ð¾Ð´Ñ Ð¸ Ð°Ð»Ð³Ð¾Ñ Ð¸Ñ Ð¼Ñ /Ð§Ð°Ñ Ñ Ñ 3

код для вставкиСкачать
ГЛАВА 8
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
8.1. Цифровые фильтры
Цифровая фильтрация является еще одной важной операцией
цифровой обработки сигналов, находящей самое широкое применение в
различных областях науки и техники. Реализуется она с помощью цифровых
фильтров (ЦФ), которые представляют собой системы, предназначенные для
преобразования структуры входного сигнала к виду, определяемому
характером его дальнейшего использования. ЦФ относятся к классу
линейных дискретных систем, взаимосвязь между входным
y (i )
x (i )
и выходным
дискретными сигналами в которых определяется следующим разностным
уравнением:
N 1
y (i ) 

L 1
bl x ( i  l ) 
l0
a
k
y ( i  k ).
(8.1)
k 1
Здесь пределы суммирования
N
и
L
параметрами фильтра, причем коэффициенты
и величины
ak
и
bl
ak
и
bl
являются
могут быть константами
либо отсчетами решетчатых функций, зависящих от дискретного времени i .
Сигналы
x (i )
и
y (i )
могут быть как вещественными, так и
комплексными. Уравнение (8.1) можно рассматривать как алгоритм
вычисления
y (i ) ,
т.е. алгоритм работы ЦФ. Его реализация в виде устройства
приведет к аппаратному способу реализации ЦФ, а программирование на
выбранном языке ‒ к программному способу реализации ЦФ.
Как правило, решение уравнения (8.1), т.е. решетчатую функцию
требуется определить при
отсчеты входного сигнала
y (  1), y (  2), ..., y (  L  1),
i0
. Если известны коэффициенты
{ x ( i )}
при
i  N 1
ak
{ y ( i )} ,
и
bl
,
и начальные значения
то, используя (8.1), можно рассчитать отсчеты
y (i )
для
любого i  0 . Уравнение (8.1) дает аналитическое описание ЦФ во временной
области.
Если коэффициенты ak и bl не зависят от дискретного времени i, то ЦФ
являются системами с постоянными параметрами, в противном случае они
будут принадлежать классу систем с переменными параметрами.
583
Пример 8.1. Записать уравнение ЦФ с постоянными параметрами
a1   0, 5 , b0  1, L  2, N  1
x (i )  0
при
i0
и рассчитать значения
. Начальное значение
y (i )
для
x (i )  1
при
i0
и
y (  1)  0 .
Решение. Уравнение фильтра:
y ( i )  x ( i )  0 ,5 y ( i  1).
Значения
y (i ) :
y ( 0 )  x ( 0 )  0 , 5 y (  1)  1;
y (1)  x (1)  0 , 5 y ( 0 )  0 , 5 ;
y ( 2 )  x ( 2 )  0 , 5 y (1)  0 , 25
и т.д. Входной и выходной сигналы являются вещественными.
_______________ . _______________
Пример 8.2. Записать уравнение комплексного ЦФ с постоянными
параметрами
и
a1   (0, 2  j 0,1), b0  1 , L  2 , N  1
рассчитать
выходного сигнала для условий предыдущего примера. Здесь
j
значения
1
(мнимая
единица).
Решение. Уравнение фильтра:
y ( i )  x ( i )  ( 0 , 2  j 0 ,1) y ( i  1).
Значения
y (i ) :
y ( 0 )  x ( 0 )  ( 0 , 2  j 0 ,1) y (  1)  1;
y (1)  x (1)  ( 0 , 2  j 0 ,1) y ( 0 )  0 , 2  j 0 ,1;
y ( 2 )  x ( 2 )  ( 0 , 2  j 0 ,1) y (1)  0 , 03  j 0 , 4
и т.д. Входной сигнал ЦФ является вещественным, а выходной ‒
комплексным.
_______________ . _______________
Пример 8.3. Записать уравнение ЦФ с переменными коэффициентами
j i
при b0  e , a1  0 , L  2 , N  1 и
x (i )  1
для
i0
.
Решение. Уравнение фильтра:
y (i )  e
Значения
j i
x ( i ).
y (i ) :
y ( 0 )  x ( 0 )  1;
y (1)   x (1)   1;
y (2)  x(2)  1
и т.д. Выходной сигнал веществен, поскольку веществен входной сигнал и
584
e
j i
 1 при i  2 k ,

k  0, 1, 2 ...

1
при
i

2
к

1
,

_______________ . _______________
Цифровые фильтры принято делить на два класса: рекурсивные (РЦФ)
и нерекурсивные (НЦФ). Если в уравнении (8.1) хотя бы один коэффициент
ak отличен от нуля, то фильтр называют рекурсивным. Если же в (8.1) все
коэффициенты ak равны нулю, то фильтр, реализующий такой алгоритм,
называют нерекурсивным. Для него разностное уравнение (8.1) упрощается:
N 1
y (i ) 
 b k x ( i  l ).
(8.2)
l0
Очевидно, что НЦФ представляет собой систему без обратной связи, а
РЦФ ‒ систему с обратной связью.
8.2. Передаточные функции цифровых фильтров
В соответствии с общим определением передаточных функций систем
автоматического управления [19, 45] передаточной функцией
называют отношение z-образов выходного
и входного
Y (z)
X (z)
H (z)
ЦФ
сигналов
фильтра при нулевых начальных условиях:
(8.3)
H ( z )  Y ( z ) / X ( z ).
Вычисляя z-преобразование
уравнениям (8.1) и (8.2):
выходного
N 1
Y ( z )  X ( z )  bl z
l
l0
N 1
сигнала
L 1
 Y ( z ) ak z
k
по
разностным
,
k 1
Y ( z )  X ( z )  bl z ,
l
l0
из общей формулы (8.3) после простых преобразований можно получить
более удобные для использования зависимости для передаточных функций
рекурсивных и нерекурсивных ЦФ:
N 1
H p (z) 

bl z
l
L 1
(1 
l0
a
k
z
k
),
(8.4)
k 1
N 1
H н (z) 
 bl z
l0
585
l
.
(8.5)
Передаточные функции (8.4) и (8.5) содержат все те же параметры
фильтров, что и разностные уравнения (8.1) и (8.2), и поэтому дают полное
описание ЦФ. Они определяют собой способ аналитического описания ЦФ в
z-области.
Пример 8.4. Записать передаточную функцию рекурсивного ЦФ с
разностным уравнением
y ( i )  x ( i )  2 x ( i  1)  0 ,5 y ( i  1)  0 ,1 y ( i  2 ) .
Решение. В соответствии с (8.4) передаточная функция этого РЦФ
будет иметь следующий вид:
H ( z )  (1  2 z
1
) (1  0 ,5 z
1
 0 ,1 z
2
).
_______________ ._______________
Передаточные функции оказываются весьма полезными при
рассмотрении различных форм реализации ЦФ и анализе их динамических
свойств. Кроме того, из передаточных функций легко получить частотные
характеристики ЦФ, широко используемые при анализе и синтезе фильтров.
8.3. Основные формы реализации передаточных функций цифровых
фильтров
Существует весьма большое число различных форм реализации
рекурсивных и нерекурсивных ЦФ. Рассмотрим наиболее распространенные
из них. При построении структурных схем, соответствующих этим формам
реализации, будем использовать обозначения операций, несколько
отличающихся от обозначений, применяемых в сигнальных графах, но
широко используемых в теории управления. Операцию задержки
(запоминания) отсчетов сигнала на m шагов дискретизации  t обозначим
квадратиком с записью в нем величины z  m , операцию сложения нескольких
слагаемых ‒ прямоугольником со знаком  , а операцию умножения на
константу ‒ квадратиком с крестиком внутри. Передачу данных будем
отображать на схемах сплошными линиями со стрелками.
Для сравнительного анализа сложности реализации различных форм
передаточных функций обычно используют следующие реализационные
характеристики, похожие на реализуемые характеристики сверток и ДПФ:
Q
‒ число ячеек (регистров) оперативной памяти, необходимой для
хранения отсчетов входного сигнала и промежуточных результатов;
586
‒ число ячеек постоянной памяти, необходимой для хранения
коэффициентов фильтра;
M ‒ число умножений, выполняемых при вычислении одного отсчета
выходного сигнала;
A ‒ число алгебраических сложений двух слагаемых, которые должны
быть выполнены в фильтре для получения одного отсчета выходного
сигнала.
Эти же характеристики могут быть использованы и для оценки
вычислительной сложности алгоритмов фильтрации (8.1) и (8.2).
Для рекурсивных фильтров можно выделить четыре основные формы
реализации: прямую, каноническую, каскадную (последовательную) и
параллельную.
Прямая форма (рис. 8.1) соответствует непосредственной реализации
разностного уравнения (8.1) или передаточной функции (8.4). Для нее
B
Q  N  L  2, B  N  L  1, M  N  L  1, A  N  L  2 .
Каноническая форма (рис. 8.2 для случая N  L  1 ) соответствует
замене (8.1) эквивалентной системой разностных уравнений:
L 1
v ( i )    a k v ( i  k )  x ( i ),
k 1
N 1
y (i ) 
 b v ( i  l ).
l
l0
x(i)
b0
Z–1
Z–1
Z–1
b1
bN–1

–aL-1
–aL-2
Z–1
y(i)
–a1
Z–1
Z–1
Рис. 8.1. Прямая форма
Введение вспомогательной последовательности позволяет объединить
часть элементов задержки и уменьшить их число по сравнению с прямой
587
формой реализации. Остальные реализационные характеристики при этом
остаются без изменения.
b0
x(i)

–aL-1
–a2
–a1
Z–1
b1
Z–1
Z–1

y(i)
b2
bN–1
Рис. 8.2. Каноническая форма
При
последовательной
представления
H (z)
форме
(рис.
8.3)
используется
способ
в виде произведения типовых звеньев не выше второго
порядка (биквадратных звеньев [45]):
V
H (z) 

k 1
 0 k  1k z
1   1k z
1
1
  2k z
  2k z
2
.
2
Биквадратное звено становится универсальным блоком для построения РЦФ
любого порядка (порядком РЦФ называют максимальное значение степени
знаменателя
передаточной
функции
фильтра).
Реализационные
характеристики этой формы во многом зависят от числа используемых
биквадратных звеньев.
x(i)
y(i)
1
2
V
Рис. 8.3. Последовательная форма
Параллельная
представлении
H (z)
форма
(рис.
8.4)
основана
суммой типовых звеньев:
V
H (z) 
 0 k  1k z
 1 
k 1
1k z
588
1
1
  2k z
2
,
на
эквивалентном
которые могут быть реализованы в виде биквадратного блока при
 2k  0
.
Реализационные характеристики здесь также сильно зависят от числа
типовых блоков.
Все рассмотренные формы реализации РЦФ при одних и тех же
входных данных и бесконечной разрядности представления чисел в ЦФ дают
абсолютно одинаковые результаты, так как получены путем эквивалентных
математических преобразований одного и того же исходного уравнения (8.4).
Однако при ограниченной разрядной сетке представления чисел, что всегда
имеет место в реальных ЦФ, эти формы приведут к различному результату,
так как отличаются механизмом преобразования погрешностей округления.
Каскадная форма, как правило, обеспечивает наименьший уровень
собственных шумов фильтра [18].
1
2
x(i)
y(i)

V
Рис. 8.4. Параллельная форма
Для нерекурсивных ЦФ возможны прямая и каскадная формы
реализации. Прямая форма (рис. 8.5) соответствует непосредственной
реализации
НЦФ
согласно
(8.2)
или
(8.5).
Для
нее
B  N , M  N , A  N  1.
x(i)
b0
Z –1
Z –1
Z –1
b1
b N– 1

Рис. 8.5. Прямая форма
589
y(i)
Q  N,
Каскадную форму легко получить из каскадной формы РЦФ, если в
биквадратных звеньях положить все
 1k
и
 2k
равными нулю. Для весьма
важного типа нерекурсивных фильтров с линейной фазочастотной
характеристикой (см. §9.1) возможны специальные формы реализации,
учитывающие свойства симметрии или антисимметрии коэффициентов
фильтра
bl
.
На
рис.
8.6
приведена
структурная
соответствующая разностному уравнению (8.2) при
схема
bl  b N  1  l
фильтра,
и четном
N
.В
таких формах реализации число умножений уменьшается практически вдвое.
В два раза сокращается и число хранимых в памяти фильтра констант.
x(i)
Z –1
Z –1
Z –1
Z –1
Z –1
Z –1

b0


b (N– 1)/2–1
b1
b (N– 1)/2

y(i)
Рис. 8.6. Специальная форма
8.4. Частотные характеристики фильтров
Комплексные частотные характеристики представляют собой функции
частоты
,
j  t
полученные в результате подстановки z  e
(где j ‒ мнимая
единица,  t ‒ шаг дискретизации по времени решетчатого сигнала) в
передаточные функции (8.4) и (8.5):
H p (e
j  t
N 1
)
be
 jl   t
l
L 1
(1 
l0
H н (e
j  t
k 1
N 1
)
a
 bl e
l0
590
 jl   t
.
k
e
jk   t
),
(8.6)
(8.7)
A()  H (e
Модуль комплексной частотной характеристики
j  t
)
,
называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра,
определяет амплитуду выходного сигнала устойчивого фильтра в
установившемся
режиме
при
входном
сигнале
x (i )  e
ji   t
 cos( i   t )  j sin( i   t ) .
характеристики
 (  )  arg[ H ( e
j  t
Аргумент
)] ,
комплексной
называемый
частотной
фазочастотной
характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет фазу выходного сигнала
устойчивого фильтра при входном сигнале x ( i )  e
ji   t
.
Для рекурсивных и нерекурсивных фильтров с вещественными
коэффициентами справедливы следующие соотношения для АЧХ и ФЧХ:
N 1
N 1
(  bi cos i   t )  (  bi sin i   t )
2
A p ( ) 
i0
L 1
2
i0
L 1
(  a k cos k   t )  (  a k sin k   t )
2
k 0

2
k 0
(8.8)
N 1 N 1


b m bi cos( m  i )   t
m 0 i0
L 1 L 1
a
,
k
a l cos( k  l )   t
k 0 l0
 N 1
 p (  )   arctg   bi sin i   t
 i0
 L 1
 arctg   a k sin k   t
 k 0
N 1
Aн (  ) 
N 1
b
i0
i

co s i   t  

L 1

 a k co s k   t  ,
k 0

N 1
(  b i cos i   t )  (  b i sin i   t ) 
2
i0
2
i0
(8.10)
N 1 N 1

(8.9)
  b m bi cos( m  i )   t ,
m 0 i0
 N 1
 н (  )   arctg   bi sin i   t
 i0
В формулах (8.8) и (8.9) коэффициент
N 1

i0

 bi cos i   t .
(8.11)
a0  1.
Кроме АЧХ и ФЧХ используют также еще одну частотную
характеристику ‒ групповое время замедления (ГВЗ):
 (  )   d  / d ,
591
(8.12)
равное времени задержки в установившемся режиме выходного сигнала
ji   t
фильтра относительно входного сигнала x ( i )  e
.
Пример 8.5. Записать частотные характеристики РЦФ с передаточной
функцией
H ( z )  1 (1  0 ,5 z
1
).
Решение. В соответствии с зависимостями (8.8), (8.9) и (8.12)
частотные характеристики этого фильтра равны
H (e
j  t
A()  1
)  1 (1  0 ,5 e
 j  t
);
(1  0 ,5 cos   t )  ( 0 ,5 sin   t ) ;
2
2
 (  )  arctg( 0 ,5 sin   t (1  0 ,5 cos   t ) );
 (  )   1 0 ,5  tA (  )( 0 ,5  cos   t ) .
2
_______________. _______________
Пример 8.6. Записать частотные характеристики НЦФ с передаточной
функцией
1
H ( z )  1  0 ,5 z .
Решение. В соответствии с формулами (8.10), (8.11) и (8.12) имеем
H (e
j  t
A() 
)  1  0 ,5 e
j  t
;
(1  0, 5 cos   t )  (0, 5 sin   t ) ;
2
2
 (  )   arctg( 0 ,5 sin   t (1  0 ,5 cos   t ) );
 (  )  0 ,5  t (cos   t  0 ,5 ) A (  ).
2
_______________ . _______________
Пример 8.7. Записать уравнение для выходного сигнала НЦФ (см.
пример 8.6) в установившемся режиме при
x ( i )  sin i   t
.
Решение. В соответствии с результатом предыдущего примера
получаем
y уст ( i )  A (  ) sin[ i   t   (  )]
.
_______________ . _______________
Частотные характеристики содержат все параметры ЦФ и
представляют собой еще один способ их описания – описания в частотной
области. При обработке с помощью ЦФ аналоговых сигналов с
ограниченным частотным спектром в полосе
[в , в ] ,
где
в
‒
максимальная (верхняя) частота спектра, величину шага дискретизации по
времени выбирают из условия Найквиста-Котельникова
частотных характеристик в диапазоне от нуля до
592
 t
t   в ,
и характер
полностью определяет
изменение
спектра
аналогового
сигнала,
получаемого
после
цифроаналогового преобразования выходного сигнала ЦФ.
Частотные характеристики обладают рядом полезных для практики
свойств, которые непосредственно следуют из формул (8.8) ‒ (8.12).
Основными из них являются следующие.
1. Все частотные характеристики представляют собой периодические
функции частоты  с периодом 2  /  t .
2. АЧХ и ГВЗ представляют собой четные функции частоты  и их
графики симметричны относительно оси ординат, а ФЧХ является нечетной
функцией  и ее график антисимметричен относительно этой оси.
Из указанных выше свойств следует, что требования к частотным
характеристикам при постоянном  t можно задавать только на интервале
[ 0;  /  t ] .
Чтобы упростить сопоставление частотных характеристик ЦФ с
различными  t , применяют нормировку частоты. Существует два способа
нормировки. При первом способе полагают нормированной частоту      t ,
тогда период частотных характеристик равен 2  и требования к ним
задаются
на
интервале
[ 0;  ] .
При
втором
способе
используют
нормированную частоту w    t / 2  . В этом случае период частотных
характеристик равен единице и требования к ним задаются на интервале
[ 0 ; 0 ,5 ] .
В этой книге
используется преимущественно второй способ
нормировки частоты. При этом изменяются аргументы в обозначении
jw 2 
), A ( w ),  ( w ) и  ( w ) . Изменяются и сами
частотных характеристик H ( e
формулы частотных характеристик. Новые формулы в случае необходимости
могут быть легко получены из зависимостей (8.6)-(8.12) подстановкой
  2 w /  t.
Пример 8.8. Записать выражения для АЧХ и ФЧХ НЦФ при
нормированной частоте w .
Решение. Подставив в формулы (8.10) и (8.11) значения   2  w /  t ,
после преобразований получим
N 1 N 1
Aн ( w ) 
  b m bi cos 2  ( m  i ) w ,
m 0 i0
593
(8.13)
 N 1
 н (w)   arctg   bi sin 2  iw
 i0
N 1

i0

 bi cos 2  iw .
(8.14)
_______________ . _______________
8.5. Импульсная характеристика фильтров
Импульсная характеристика ЦФ
представляет собой реакцию
h (i )
фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие в виде
единичного дискретного скачка:
1 при i = 0 ,
x (i )   (i )  
 0 при i , отличны х от 0 .
Из этого определения и определений передаточной функции и
комплексной частотной характеристики следует, что импульсная
характеристика и передаточная функция связаны между собой обратным и
прямым z-преобразованиями:
1
h ( i )  Z [ H ( z )],
(8.15)
H ( z )  Z [ h ( i )],
а импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика ‒
парой преобразований Фурье:
h (i ) 
H (e
t
2
j  t
 / t
 H (e
j  t
  / t

)

h (i )e
)e
j i t
 j i t
d,
(8.16)
.
i  
Для НЦФ из (8.15) следует важный вывод, что
(8.17)
h ( i )  bi ,
т.е. коэффициенты НЦФ являются отсчетами импульсной характеристики.
Пример 8.9. Определить
h (i )
для РЦФ с
1
1
H ( z )  (1  z ) (1  0 ,5 z ) .
Решение. Используя правила обратного z-преобразования (см. §2.7),
получим
1 при i  0 ,
h (i )  
i -1
 -1, 5(-0, 5) при i  1 .
_______________ . _______________
Пример 8.10. Найти
h (i )
для НЦФ с
Решение. Учитывая (8.17), имеем
значения
h (i )
равны нулю.
594
H ( z )  1  0,2 z
1
 0 ,1 z
2
.
h ( 0 )  1, h (1)  0 , 2; h ( 3)   0 ,1 ,
остальные
_______________ . _______________
В зависимости от характера импульсной характеристики (ИХ)
цифровые фильтры принято делить на два класса: фильтры с конечной
импульсной характеристикой (КИХ-фильтры) и фильтры с бесконечной
импульсной характеристикой (БИХ-фильтры) [45]. Отметим, что все
практически реализуемые НЦФ являются КИХ-фильтрами, а почти все РЦФ
(за исключением тех, у которых передаточная функция может быть
преобразована к виду (8.5)) являются БИХ-фильтрами.
Зная ИХ
h (i ) ,
можно рассчитать при нулевых начальных условиях
выходной сигнал ЦФ
y (i )
связь
выражается уравнением линейной дискретной свертки
y (i )
с
x (i )
и
h (i )
по заданному входному сигналу
последовательностей отсчетов
x (i )
и
h (i ) ,
x (i ) .
Аналитически
причем все три последовательности
могут быть как конечными, так и бесконечными [19, 45]:
i
y (i ) 

i
 x (l ) h (i  l ),
h (l ) x (i  l ) 
l0
i  0 , 1 , ...
(8.18)
l0
Пример 8.11. Вычислить значения отсчетов выходного сигнала для
НЦФ с ИХ
h ( 0 )  1, h (1)   0 ,5; h ( i  2 )  0
при
x ( 0 )   1, x (1)  1, x ( 2 )  0 ,5; x ( i  3)  0 .
Решение. Непосредственно из (8.18) следует, что
y ( 0 )  h ( 0 ) x ( 0 )   1; y (1)  h ( 0 ) x (1)  h (1) x ( 0 )  1, 5 ;
y ( 2 )  h ( 0 ) x ( 2 )  h (1) x (1)  0 ;
y ( 3)  h (1) x ( 2 )   0 , 25 ; y ( i  4 )  0 .
_______________._______________
8.6. Устойчивость цифровых фильтров
Фильтр называют устойчивым, если при любых начальных условиях и
любом ограниченном входном сигнале x(i) выходной сигнал y(i) также
остается ограниченным, т.е. из условия
x (i )  B
y (i )  C ,
при всех i следует, что
(8.19)
причем В и С ‒ константы, не зависящие от i. Очевидно, что нерекурсивный
фильтр всегда устойчив, так как его выходной сигнал является конечной
суммой ограниченных величин. Для РЦФ априори утверждать о его
устойчивости нельзя, устойчивость каждого конкретного РЦФ нужно
проверять и она зависит от значений его коэффициентов.
595
Для практической проверки устойчивости РЦФ условие (8.19)
неудобно. Обычно применяют два практических условия устойчивости,
эквивалентные (8.19) [45]. Первый критерий устойчивости формулируется
следующим образом: если передаточная функция фильтра представляет
собой несократимую дробь, то для устойчивости фильтра необходимо и
достаточно, чтобы ее полюсы (корни знаменателя передаточной функции)
лежали внутри единичной окружности на z-плоскости. Математически этот
критерий можно записать так:
z i  1,
где
zi
‒ i-й полюс
H (z)
i  1, 2, ..., L  1,
(8.20)
.
Пример 8.12. Проверить устойчивость двух РЦФ с передаточными
функциями
H 1 ( z )  (1  z
1
) (1  0 ,5 z
1
)
и
H 2 ( z )   (1  z
1
) (1  2 z
1
)
.
Решение. Оба фильтра имеют по одному полюсу, причем у первого
z1  0 , 5 ,
а у второго
z1  2
. Следовательно, первый РЦФ устойчив, а второй ‒
нет.
_______________ . _______________
Неустойчивый фильтр неработоспособен в том случае, когда входной
сигнал действует неограниченно долго, так как рано или поздно выходной
сигнал перестает зависеть от входного. Однако он работоспособен и может
использоваться в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение
ограниченного интервала времени. Например, алгоритм накопления суммы
конечных величин может быть реализован с помощью рекурсивного фильтра
с передаточной функцией
H ( z )  1 (1  z
1
)
(цифровой интегратор). Такой
фильтр имеет полюс z  1 и в общем случае неустойчив. Однако он вполне
работоспособен, если входной сигнал (набор суммируемых величин)
действует при 0  i  N  1 , после чего результат обнуляется (сбрасывается), т.е.
восстанавливаются нулевые начальные условия.
Второй критерий устойчивости следует из определения (8.18)
выходного сигнала через входной и импульсную характеристику фильтра и
имеет следующую запись:


h (i )  D ,
i0
596
(8.21)
где D ‒ константа. Второй критерий менее удобен для проверки
устойчивости ЦФ, чем первый.
8.7. Классификация фильтров по назначению
С точки зрения назначения ЦФ, все они условно могут быть разделены
на два класса: частотные фильтры и функциональные фильтры.
Частотные фильтры предназначены для целенаправленного
изменения частотного спектра
X (e
j  t
)
входного сигнала. Исходными
данными для проектирования таких фильтров являются задаваемые
желаемые частотные характеристики. Реальные частотные характеристики
ЦФ должны быть достаточно близкими к желаемым. Степень близости
желаемой и реальной частотных характеристик определяется некоторой
количественной мерой и может служить показателем качества частотных
фильтров.
К числу частотных фильтров принадлежат избирательные фильтры,
корректирующие фильтры и преобразователи Гильберта. В избирательных
фильтрах полностью подавляются частотные составляющие в определенной
полосе частот, называемой полосой задерживания, и сохраняются
неизменными частотные составляющие в другой полосе частот, называемой
полосой пропускания. Между полосами пропускания и задерживания
возможен диапазон частот, характер поведения составляющих которого
безразличен для выходного сигнала (полоса безразличия).
В зависимости от положения указанных полос и их количества
различают следующие избирательные фильтры.
Фильтры низких частот (ФНЧ) предназначены для подавления
высокочастотных составляющих спектра входного сигнала. Полоса
пропускания лежит в пределах от нуля до граничной частоты пропускания
 гп , полоса задерживания определяется интервалом частот от граничной
частоты задерживания  гз до
 / t
, а диапазон [  гп ;  гз ] составляет полосу
безразличия ФНЧ. Желаемая АЧХ идеального ФНЧ представлена на рис. 8.7.
Фильтры высоких частот (ФВЧ) используют для подавления
низкочастотных составляющих входного спектра. Полоса задерживания
ограничена частотами 0 и гз, полоса пропускания ‒ частотами гп и
597
 / t
,а
место нахождения полосы безразличия такое же, как и в ФНЧ, только  гп
  гз
.
Желаемая АЧХ идеального ФВЧ изображена на рис. 8.8.
A ( )
1
0
 гп
 гз
 / t

Рис. 8.7. АЧХ ФНЧ
A ( )
1
0
 гз
 гп
 / t

Рис. 8.8. АЧХ ФВЧ
Полосовые фильтры (ПФ) предназначены для пропускания
ограниченной полосы частотных составляющих. Они имеют две полосы
задерживания:
[  гп2 ;  гз2 ] ,
[ 0 ;  гз1 ]
и
[  гз2 ;  /  t ] ,
две полосы безразличия:
и одну полосу пропускания
идеального ПФ изображена на рис. 8.9.
598
[  гп1 ;  гп2 ]
, причем
[  гз1 ;  гп1 ]
 гп1   гп2
и
. АЧХ
A ( )
1
0
 гз1
 гп1
 гп2
 гз2

 / t
Рис. 8.9. АЧХ ПФ
Режекторные фильтры (РФ) преследуют обратную цель и служат для
подавления заданной полосы средних частот. Они имеют две полосы
пропускания:
[  гз2 ;  гп2 ] ,
[ 0 ;  гп1 ]
и
[  гп2 ;  /  t ]
, две полосы безразличия: [  гп1 ;  гз1 ] и
и одну полосу задерживания [  гз1 ;  гз2 ] . АЧХ идеального РФ
представлена на рис. 8.10.
A ( )
1
0
 гп1
 гз1
 гз2
 гп2
 / t

Рис. 8.10. АЧХ РФ
С помощью корректирующих фильтров обеспечивается заданное
изменение интенсивности частотных составляющих определенной полосы
частот. Преобразователи Гильберта (ПГ) используют для получения
комплексного сигнала
u ( i )  x ( i )  jv ( i ),
(8.22)
j  t
) удовлетворяет условию
спектр которого U ( e
U (e
j  t
 2 X ( e j   t ) при 0     /  t ,
)
 0 при  /  t    2  /  t .
Из (8.22) и (8.23) следует, что спектр
599
v (i )
(8.23)
V (e
j  t
  jX ( e j   t ) при 0     /  t ,
)
j  t
) при  /  t    2  /  t ,
 jX ( e
т.е. для получения сигнала
пропустить
x (i )
через
v (i )
(и тем самым сигнала
идеальный
ПГ
с
u (i ) )
достаточно
комплексной
частотной
характеристикой
H (e
j  t
  j при 0     /  t ,
)
 j при  /  t    2  /  t .
Для идеального ПГ действительная часть комплексной частотной
характеристики равна нулю, а мнимая часть имеет вид
Im[ H ( e
j  t
  1 при 0     /  t ,
)]  
1 при  /  t    2  /  t .
(8.24)
Идеальные
частотные
характеристики
частотных
фильтров
нереализуемы. Возможна лишь их аппроксимация с той или иной степенью
точности. Частотные фильтры можно построить в виде как рекурсивных, так
и нерекурсивных ЦФ.
Функциональные фильтры используют для выполнения более сложных
операций над сигналами, которые напрямую могут быть и не связаны с
изменением частотного спектра входного сигнала. Входной сигнал в таких
фильтрах, как правило, представляется в виде аддитивной смеси полезного
сигнала u(i) и случайного шума n(i) с известной корреляционной функцией
либо функцией спектральной плотности S().
К функциональным фильтрам можно отнести согласованные фильтры,
оценивающие степень соответствия полезной составляющей входного
сигнала некоторому эталонному сигналу на фоне шумов; дифференцирующесглаживающие фильтры, предназначенные для оценки производных
полезного сигнала при наличии помех; экстраполирующие фильтры,
вычисляющие будущее значение полезного сигнала в условиях действия
случайных помех. Поскольку полное подавление случайных помех
невозможно, получаемые на выходе функциональных фильтров оценки носят
статистический характер. В качестве их количественной меры обычно
используют дисперсию, определяемую для стационарного шума выражением
600

2

 / t
1
S

2
p
(  ) A(  ) d .
(8.25)
0
В случае некоррелированного шума (математический белый шум) дисперсия
оценки выражается непосредственно через импульсную характеристику
функционального фильтра:

 
2
2
п
h
2
( i ),
(8.26)
i0
где  п ‒ дисперсия входной помехи n(i). Докажем справедливость этого
2
выражения на примере НЦФ с конечной ИХ. Для этого подставим в
формулу (8.25) функцию спектральной плотности физического белого шума
из табл. 1.1 (    в , где  в – частота среза шума). Тогда получим
2
1

в

0
 n
2
в
 n2
A(  ) d  
в
2
в

2
A(  ) d  .
(8.27)
0
Учтем теперь в полученном выражении АЧХ (8.10) нерекурсивного фильтра
и соотношение (8.17). В этом случае
2
 n2
в
в N 1 N 1
 m 0 
i 0
h( m ) h( i ) cos( m  i )   t dt   n2
N 1 N 1

m 0 i 0
0

N 1 N 1
2
n

m 0 i 0
1
в
в
 cos( m  i )   t dt 
0
 sin( m  i )  в  t 
h( m ) h( i ) 
.
 ( i  m ) в t 
(8.28)
Но
sin( m  i )  в  t  1 при

( i  m ) в t
 0 при
m  i,
m  i,
Поэтому двойная сумма в (8.28) переходит в одинарную, а выражение (8.28)
преобразуется в выражение (8.26) при конечном N.
Дисперсия (8.25) или (8.26) может использоваться как количественный
показатель качества функциональных фильтров.
Функциональные фильтры также могут быть выполнены как в
рекурсивном, так и в нерекурсивном вариантах.
Вопросы и задачи для самопроверки
1. Дайте определение
цифровых фильтров и приведите их
аналитическое описание во временной области.
601
2.
3.
4.
5.
Какие величины являются параметрами ЦФ?
На какие классы подразделяются ЦФ и чем они различаются?
Дайте определение передаточной функции ЦФ.
Приведите основные формы реализации передаточной функции
6.
Приведите основные формы реализации передаточной функции
РЦФ.
НЦФ.
7. Сравните различные формы реализации передаточной функции
ЦФ по сложности.
8. Какие особенности НЦФ учитывает специальная форма
реализации её передаточной функции?
9. Какие характеристики ЦФ используются для их описания в
частотной области?
10. Какие способы нормировки частоты существуют и зачем они
используются в ЦФ?
11. Запишите основные частотные характеристики ЦФ в функции
нормированной частоты w.
12. Дайте определение импульсной характеристики ЦФ и
представьте её математическую связь с передаточной функцией и частотной
характеристикой.
13. Приведите классификацию ЦФ по виду ИХ.
14. Запишите уравнения ЦФ в виде уравнения линейной свертки.
15. Дайте определение устойчивости ЦФ и сформируйте критерии её
оценки.
16. Приведите классификацию ЦФ по их назначению.
17. Приведите амплитудно-частотные характеристики идеальных
типовых избирательных фильтров.
18. В чем состоит назначение корректирующих фильтров и
преобразователей Гильберта?
19. Приведите зависимости для определения дисперсии случайных
погрешностей в выходном сигнале линейных функциональных фильтров.
602
ГЛАВА 9
МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕРЕКУРСИВНЫХ И РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
9.1. Классификация нерекурсивных цифровых фильтров
по виду импульсной характеристики
В зависимости от вида импульсной характеристики фильтров
(коэффициентов фильтра
bi
, так как
h ( i )  bi
h (i )
) различают НЦФ с линейной ФЧХ
и минимально-фазовые НЦФ. В НЦФ с линейной ФЧХ импульсная
характеристика должна удовлетворять условию симметрии или
антисимметрии относительно середины интервала ее определения
[ 0; N ) .
Поскольку значение N (порядок нерекурсивного фильтра) может быть
нечетным и четным, существует четыре вида НЦФ с линейной ФЧХ и
передаточной функцией (8.7): а) фильтр вида 1: N ‒ нечетное, ИХ ‒
симметричная,
h ( i )  h ( N  i  1)
; б) фильтр вида 2: N ‒ четное, ИХ ‒
симметричная,
h ( i )  h ( N  i  1)
; в) фильтр вида 3: N ‒ нечетное, ИХ ‒
антисимметричная,
антисимметричная,
h ( i )   h ( N  i  1) ;
h ( i )   h ( N  i  1)
Передаточные функции
г) фильтр вида 4: N ‒ четное, ИХ ‒
.
фильтров всех четырех видов могут
H (z)
иметь нули, расположенные внутри, на и вне единичной окружности на zплоскости. На рис. 9.1, а показано возможное расположение нулей, причем
(1 )
z1
и
(1 )
z2
,
и
(2)
z1
величины и
(1)
z1
(2)
z2
,
(3)
и
;
z2
z1
 1 / z1
(2)
(3)
z2
(1)
представляют собой комплексно-сопряженные
 1 / z2
(2)
;
(3)
z1
 z2
(3)
 z 4  z5  1 .
Пример 9.1. Определить расположение нулей следующих НЦФ вида
1 4 :
H1(z)  1  2z
1
2
z , N 3;
H 2 ( z )  1  0,2 z
1
N  3 ; H 4 ( z )  1  2,2 z 1  2,2 z 2  z 3 , N  4 .
603
 0,2 z
2
3
z ,
N  4
;
H 3 (z)  2  0  z
1
2
 2z ,
Решение. Нули передаточных функций таких фильтров равны: а) для
НЦФ вида 1:
вида 3:
z1  z 2   1 ;
z1 , 2   1 ;
б) для НЦФ вида 2:
г) для НЦФ вида 4:
z1   1, z 2 , 3  0 , 6  j 0 ,8
z1  1, z 2 , 3   0 , 6  j 0 ,8
; в) для НЦФ
.
_______________ . _______________
Фильтры всех четырех видов реализуются с учетом симметрии или
антисимметрии импульсной характеристики (см. рис. 8.6). При этом
реализационные характеристики, например для фильтра вида 1, имеют
значения
Q  N , B  ( N  1) / 2, M  ( N  1) / 2, A  N  1 .
Рассмотренные
фильтры
применяют в качестве избирательных фильтров, преобразователей
Гильберта, корректоров АЧХ и дифференцирующе-сглаживающих фильтров.
В минимально-фазовых НЦФ ИХ не обладает свойствами симметрии
или антисимметрии. Нули передаточных функций таких НЦФ находятся
внутри и на единичной окружности на z-плоскости (рис. 9.1, б). Для них
характерно минимальное абсолютное значение группового времени
замедления.
z 1 (2)
z 1 (3)
z 1 (1)
z4
z5
z 2 (1)
z 2 (2)
z 2 (3)
a
б
Рис. 9.1. Расположение нулей передаточных функций
Пример 9.2. Найти положение нулей передаточной функции фильтра с
H ( z )   0 , 244 z
3
 1, 01 z
2
 1, 4 z
Решение. Нули
1
1
H (z)
и определить его тип.
имеют значения
z1, 2  0 ,5  j 0 , 6 ; z 3  0 , 4 ;
z1, 2  1; z 3  1 ,
следовательно, данный фильтр является минимально-фазовым.
_______________ . _______________
Минимально-фазовые фильтры применяют в качестве избирательных в
тех случаях, когда требуется малое ГВЗ. Они могут быть реализованы либо в
604
прямой, либо в последовательной форме. При прямой форме реализации их
реализационные характеристики равны
Q  B  N , M  N , A  N1.
9.2. Частотные характеристики нерекурсивных фильтров с симметричной
и антисимметричной импульсной характеристикой
Свойства симметрии и антисимметрии импульсной характеристики
НЦФ позволяют преобразовать общую форму записи их частотных
характеристик (8.7), (8.10) и (8.11) к более простому виду, весьма полезному
для практики расчета таких фильтров. Получим эти новые зависимости для
всех четырех видов НЦФ, попутно подтвердив линейный характер их ФЧХ.
Фильтр вида 1. Используя свойство симметрии ИХ, из общей
формулы АЧХ (8.10) получим
A1 (  ) 
2
2
 N 1 1

N 1
 2

 N 1
   h ( i ) cos i   t  cos( N  1  i )   t   h 
t  
 cos
2
 2 
 i0



2
 N 1 1

N 1
 2

 N 1
   h ( i ) sin i   t  sin( N  1  i )   t   h 
t  .
 sin
2
 2 
 i0



Учитывая известные зависимости для сумм косинусов и синусов разных
аргументов, после преобразований приходим к результату
2
 N 1 1

2
N

1
N

1






2
A1 (  )    2 h ( i ) cos  i 
  t  h
 
2 

 2 
 i0



  cos

2
N 1
  t  sin
2
2
N 1
2

  t ,

из которого следует выражение для АЧХ:
N 1
A1 (  ) 
1
2

i0
N 1

 N 1
2 h ( i ) cos  i 
  t  h
;
2 

 2 
это выражение путем линейного преобразования индекса
привести к виду
605
i
N 1
2
k
можно
N 1
 N 1
A1 (  )  h 

 2 
2
 N 1
 2h
k 1

2

 k  cos k   t .

(9.1)
Для ФЧХ из формулы (8.11) имеем
1 ( ) 
  N 1 1
 2
  arctg    h ( i ) sin i   t  sin( N  1  i )   t  
 i0

 N 1
h
 sin
 2 
N 1
2


t 


 N 1 1

N 1
 N 1
 2

h ( i )  cos i   t  cos( N  1  i )   t   h 
t  
 cos
 

2
 2 
i0

 

  N 1 1

 2
N 1
N 1

 N  1 
  arctg    h ( i ) cos  i 
t
  t  h
  sin
2
2
2




 i0




 N 1 1

2

N

1
N

1
N

1





h
(
i
)
cos
i



t

h
cos


t








2
2
2





 i0




N 1
N 1


  arctg  tg
t   
  t.
2
2


(9.2)
Комплексная частотная характеристика (8.7) для этого вида НЦФ
такова:
N 1
H 1 (e
j  t
 N 1
)  h

 2 
2
 N 1
 2h
k 1

2

 j ( N  1)  t
 k  cos k   t e

2
.
(9.3)
Фильтр вида 2. В этом случае N делится пополам и суммы в АЧХ и
ФЧХ содержат только парные составляющие, поэтому после
тригонометрических преобразований и линейной переиндексации
i
N
1 k
2
получаем
N
A2 (  ) 
1
2
N
1


 1  k  cos  k     t ,
2
 2


 2h
k 0
606
(9.4)
 2 ()  
N 1
N
H 2 (e
j  t
(9.5)
 t ,
2
1
N
1


 j ( N  1)  t 2
 1  k  cos  k     t e
.
2
 2


2
 2h
)
k 0
(9.6)
Фильтр вида 3. Для этого фильтра среднее значение его импульсной
характеристики равно нулю, т.е.
 N 1
h
0
 2 
. Кроме того, для него и
следующего фильтра вида 4 суммы в АЧХ и ФЧХ будут содержать разности
тригонометрических функций. Используя формулы таких разностей,
получим
N 1
A3 (  ) 
 N 1
2
 2h

k 1
 3 () 

2
N 1

2

 k  sin k   t ,

(9.8)
 t ,
2
N 1
H 3 (e
j  t
(9.7)

 j 
 N 1

2
)   2h
 k  sin k   t e 
 2

k 1
2
N 1
2

 t 

.
(9.9)
Фильтр вида 4. В этом случае
N
A4 () 
1
2
N
1


 1  k  sin  k     t ,
2
 2


 2h
k 0
 4 () 
N
H 4 (e
j  t

2

N 1
(9.10)
(9.11)
 t ,
2
1

 j 
1
N


2
)   2h
 1  k  sin  k     t e 
2
 2


k 0
2
N 1
2

 t 

.
(9.12)
Таким образом, полученные результаты подтверждают линейный
характер ФЧХ НЦФ с симметричными и антисимметричными импульсными
характеристиками. АЧХ в таких фильтрах представляются линейными
аналитическими выражениями относительно импульсной характеристики,
что может быть использовано при расчете НЦФ по заданной АЧХ.
607
Запись АЧХ в виде линейной суперпозиции взвешенных косинусоид
или синусоид позволяет определить область применения различных видов
НЦФ с точно линейными ФЧХ. АЧХ фильтров вида 1 не имеет особых точек
и может принимать различные значения в зависимости от значений ИХ
h (i ) .
Поэтому такие фильтры могут быть использованы для проектирования
любых частотных и функциональных фильтров.
АЧХ фильтров второго вида равна нулю при    независимо от
значений ИХ. Отсюда следует, что такие фильтры нельзя использовать для
аппроксимации частотных фильтров с частотной характеристикой, отличной
от нуля в точке    (например, фильтров верхних частот). АЧХ фильтров
вида 3 равна нулю при   0 и    , а ФЧХ без учета множителя с линейным
j2
изменением фазы являются чисто мнимой функцией (так как e  j ).
Поэтому этот вид фильтров не пригоден для проектирования ФНЧ и ФВЧ, но
пригоден для аппроксимации ПФ и особенно ПГ. АЧХ фильтров вида 4
равна нулю при   0 . Следовательно, фильтры этого вида не могут быть
использованы для фильтрации низких частот, однако хорошо подходят для
разработки ПФ, ФВЧ и ПГ.
При использовании нормированной частоты
w частотные
характеристики НЦФ принимают следующий вид:
а) фильтр вида 1
N 1
 N 1
A1 ( w )  h 

 2 
2
 N 1
 2h
k 1

2

 k  cos 2  k w ,

 1 ( w )    ( N  1) w ;
(9.13)
(9.14)
б) фильтр вида 2
N
A2 ( w ) 
1
2
N

 1  k  cos 2  ( k  0 ,5 ) w ,
 2

 2h
k 0
(9.15)
(9.16)
 2 ( w )    ( N  1) w ;
в) фильтр вида 3
N 1
A3 ( w ) 
2
 N 1
 2h
k 1

2
608

 k  sin 2  kw ,

(9.17)
3 (w) 

(9.18)
  ( N  1) w ;
2
г) фильтр вида 4
N
A4 ( w ) 
1
2


 1  k  sin 2  ( k  0 , 5 ) w ,
 2

(9.19)
  ( N  1) w .
(9.20)
k 0
4 (w) 
N
 2h
2
Эти зависимости в дальнейшем будут использованы для решения
задачи аналитического синтеза частотных фильтров.
9.3. Основные этапы проектирования нерекурсивных фильтров
Процесс проектирования нерекурсивных фильтров включает в себя ряд
этапов, каждый из которых, в свою очередь, содержит определенные
подэтапы. Состав этапов зависит от назначения фильтра.
Для частотных фильтров на первом этапе осуществляют
математическую постановку задачи аппроксимации, поскольку, как
отмечалось ранее, точное воспроизведение исходно задаваемых частотных
характеристик невозможно. Этот этап включает в себя следующие подэтапы:
- выбор типа фильтра (с линейной ФЧХ определенного вида или
минимально-фазового);
- выбор аппроксимируемой функции
B (w ) ,
задающей требования к
заданной частотной характеристике;
- выбор аппроксимирующей функции
 ( w , {c})
, значения которой
определяют требуемую частотную характеристику фильтра (например,
АЧХ). Здесь
импульсной
{c }
‒ вектор коэффициентов, совпадающий с вектором значений
характеристики
фильтра
{ h ( i )}
либо
достаточно
просто
аналитически связанный с ним;
- обеспечение приблизительного равенства аппроксимирующей и
аппроксимируемой функций:
 ( w , { c})  B ( w )
(9.21)
при заданных значениях w. При этом, если равенство (9.21) обеспечивается
без всякого критерия, уточняющего его смысл, то аппроксимационная задача
является неоптимизационной, если же для выполнения равенства
609
используется какой-либо критерий приближения (аппроксимации), то
аппроксимационная задача является оптимизационной. Для ее решения
необходимо на этом подэтапе выбрать критерий приближения;
- определение весовой функции аппроксимации q(w), задающей
требования по точности приближения на различных участках диапазона
изменения нормированной частоты w.
Таким образом, целью первого этапа является математическая
формулировка задачи вычисления коэффициентов {c} (или импульсной
характеристики h(i)) по заданным требованиям к характеристикам фильтра.
Второй этап проектирования частотных НЦФ состоит в решении
задачи вычисления коэффициентов {c}. По сути дела это этап расчета НЦФ,
его называют еще этапом аналитического синтеза НЦФ. Этот этап включает
в себя следующие подэтапы:
- оценка необходимого порядка N фильтра;
- расчет вектора коэффициентов {c} и связанных с ним значений ИХ
фильтра;
- оценка точности воспроизведения задаваемых характеристик и ее
сравнение с предъявляемыми требованиями.
Если требования к характеристикам выполняются, то второй этап
завершается, в противном случае необходимо вернуться ко второму подэтапу
и рассчитать вектор коэффициентов {c} для большего значения N.
Целью второго этапа является определение всех параметров НЦФ
(порядка N и значений ИХ h(i)).
Третий этап заключается в программной или аппаратной реализации
НЦФ. Он содержит следующие основные подэтапы:
- выбор формы реализации и оценка реализационных характеристик;
- оценка разрядности представления входных и выходных сигналов,
значений импульсной характеристики НЦФ и промежуточных данных;
- выбор элементной базы, разработка функциональной и
принципиальной схем при аппаратной реализации НЦФ в виде
специализированного устройства;
- программирование на языке используемого процессора (общего
назначения или специализированного, например какого-либо сигнального
процессора [1]) при программной реализации фильтра;
610
- оценка точности реализации требуемых характеристик фильтра при
ограниченной разрядной сетке (оценка собственных шумов фильтра).
При выполнении третьего этапа возможна ситуация, когда полученные
оценки по разрядности элементов НЦФ и точности воспроизведения
характеристик не могут быть выполнены на реальных устройствах. В этом
случае необходимо вновь вернуться ко второму этапу и решить задачу
аналитического синтеза НЦФ более точными методами при большем
значении порядка фильтра N и снова перейти к третьему этапу.
Для
функциональных
фильтров
последовательность
этапов
проектирования остается той же. Отличие состоит только в исходных данных
для проектирования и в содержании некоторых подэтапов и методов решения
оптимизационной задачи аппроксимации. Исходными данными для
проектирования являются требования по точности оценки искомых
параметров полезного сигнала, априорные сведения о входном полезном
сигнале (монотонность, дифференцируемость, полоса частот и т.п.), а также
корреляционно-спектральные характеристики помехи. Порядок фильтра,
связанный в этом случае с временем наблюдения Tн (наблюдательным
временем) процесса, описываемого входным сигналом, является системной
характеристикой, определяемой на более высоком уровне проектирования
всей системы обработки, включающей в себя НЦФ. Выбор типа фильтра
обычно не требуется, поскольку существующие методы оптимизации
приводят, как правило, к НЦФ с точно линейными ФЧХ (см. главу 10).
9.4. Требования к аппроксимируемой и аппроксимирующей функциям
В частотных фильтрах аппроксимируемая функция строится на основе
задаваемых частотных характеристик НЦФ. Для избирательных фильтров
она имеет следующий вид: в полосах пропускания B(w) = 1; в полосах
задерживания B(w) = 0; в промежуточных полосах (полосах безразличия)
значения B(w) не заданы и могут быть приняты любыми в пределах от нуля
до единицы. Полезно в полосах безразличия доопределить B(w) любым
простым законом изменения (обычно линейным) с целью уменьшить
систематические погрешности аппроксимации, обусловленные явлением
Гиббса [45, 59].
Пример 9.3. Записать аппроксимируемую функцию для ФНЧ.
611
В (w )
1
0
w гп
w гз
w
0,5
Рис. 9.2. АЧХ ФНЧ
Решение. Для ФНЧ
1 при 0  w  w ,
ГП

 w  w ГЗ
B (w)  
при w ГП  w  w ГЗ ,
 w ГП  w ГЗ
 0 при w  w  0, 5.
ГЗ

График функции
B (w )
(9.22)
приведен на рис. 9.2.
_______________ . _______________
Пример 9.4. Записать аппроксимируемую функцию для ФВЧ.
Решение. Функция
B (w )
имеет вид
 0 при 0  w  w ,
ГЗ

w

w

ГЗ
B (w)  
при w ГЗ  w  w ГП ,
 w ГЗ  w ГП
1 при w
 w  0, 5.
ГП

График функции
B (w )
(9.23)
изображен на рис. 9.3.
В (w )
1
0
w гз
w гп
Рис. 9.3. АЧХ ФВЧ
612
0,5
w
_______________ . _______________
Пример 9.5. Записать аппроксимируемую функцию для ПФ.
Решение.
 0 при 0  w

 w гз1  w

w
w
 гз1
гп1

B ( w )  1 при w гп1
 ww
гз2

w
w
гз2
 гп2
0
при
w

гз2

График функции
B (w )
w
гз1
,
при w
гз1
ww
при w
гп2
гп2
ww
гп1
,
(9.24)
,
ww
гз2
,
 w  0 ,5 .
представлен на рис. 9.4.
В (w )
1
0
w гз1
w гп1
w гп2
w гз2
0,5
w
Рис. 9.4. АЧХ ПФ
_______________ . _______________
Пример 9.6. Записать аппроксимируемую функцию для РФ.
Решение. Для режекторного фильтра
1 при 0  w  w гп 1 ,

 w ГЗ 1  w
при w ГП 1  w  w ГЗ 1 ,
w

w
ГЗ 1
ГП 1

B ( w )   0 при w ГЗ 1  w  w ГЗ 2 ,
 ww
ГЗ 2

при w ГЗ 2  w  w ГП 2 ,
 w ГП 2  w ГЗ 2

1 при w ГП 2  w  0, 5.
График функции
B (w )
приведен на рис. 9.5.
613
(9.25)
В (w )
1
0
w гп1
w гз1
w гз2
w гп2
0,5
w
Рис. 9.5. АЧХ РФ
_______________ . _______________
В функциональных фильтрах аппроксимируемая функция как таковая
не образуется. В качестве аппроксимируемой функции выступает входной
сигнал, состоящий из смеси полезной составляющей и помехи.
Аппроксимирующая функция
в частотных фильтрах должна
 ( w , {c})
удовлетворять следующим требованиям:
вектор коэффициентов {c} должен быть связан с вектором значений
импульсной характеристики
функция
 ( w , {c})
{ h ( i )} ;
должна просто зависеть от вектора {c};
при заданных значениях w должно выполняться соотношение (9.21).
Наиболее простой и удобной для решения задачи аппроксимации
является линейная зависимость функции
 ( w , {c})
от вектора {c}:
K
 ( w , { c }) 
c
k
 k ( w ),
(9.26)
k 0
где
k (w)
‒ известные функции частоты. Поскольку в НЦФ с линейной ФЧХ
частотные
характеристики
относительно
h (i )
выражаются
линейными
зависимостями
с тригонометрическими функциями (см. зависимости
(9.13)- (9.19)), то целесообразно в аппроксимирующих функциях принять в
качестве
k (w)
функции косинуса или синуса.
Пример 9.7. Записать аппроксимирующие функции для избирательных
фильтров.
Решение. Для ФНЧ
614
 N 1
2

c cos 2  kw при N нечетном,
 k
k 0
 ( w , { c })   N
1
2
  c k cos  ( 2 k  1) w при N четном.
 k 0
 N 1
h
  c0
 2 
Для первого выражения формулы (9.27)
k  0 , 1,  ,
N 1
2
1,
для второго ‒ h ( k )  c N 1  k 2 ,
(9.27)
k  0 , 1,  ,
N 1
2
2
; h ( k )  c N 1  k 2 ,
2
1.
Для ФВЧ
 N 1
2

c cos 2  kw при N нечетном,
 k
 ( w , { c })   Nk  0
1
2
  c k sin  ( 2 k  1) w при N четном.
 k 0
Для первого выражения формулы (9.28)
k  0 , 1,  ,
N 1
2
1,
второго ‒ h ( k )  c N 1  k 2 ,
 N 1
h
  c0
 2 
k  0 , 1,  ,
N 1
2
2
(9.28)
;
h ( k )  c N 1
k
2,
2
1.
Для ПФ
 N 1
 2
  ck
 Nk  0
 2 1

 ck
 k 0
 ( w , { c })   N  1
 2
  ck
 k 0
 N 1
2
  ck
 k 0
cos 2  k w при N нечетном,
cos  ( 2 k  1) w при N четном,
(9.29)
sin 2  k w при N нечетном,
sin  ( 2 k  1) w при N четном.
Для первого выражения формулы (9.29)
k  0 , 1,  ,
N 1
2
1,
для второго ‒
h(k )  c N
1 k
2
615
2
,
 N 1
h
  c0
 2 
k  0 , 1,  ,
N 1
2
1,
;
h ( k )  c N 1
k
2,
2
для третьего ‒
h(k )  c N
1 k
2
2
h(k )  c N
 N 1
h
0
 2 
2 , k  0 , 1,  ..., N  1  1 ,
1  k
2,
k  0 , 1,  ,
N 1
2
2
,
для
четвертого
—
1.
Для РФ
N 1
 ( w , { c }) 
2
c
k
cos 2  kw .
(9.30)
k 0
В формуле (9.30) h ( k )  c N  1  k
2,
k  0 , 1,  ,
N 1
2
2
 N 1
  c0 .
 2 
 1 , h
_______________ . _______________
Если для ФНЧ w гп  w гз  0 ,5 , требования к точности аппроксимации в
полосах
пропускания
и
задерживания
N ‒ нечетное, то часть коэффициентов
ck
одинаковы
и
оказывается известной заранее:
c 0  0 , 5 ; c 2 k  0 при 2  2 k 
N 1
.
(9.31)
2
Такие фильтры называют равнополосными или полуполосными, у них
N  3  4 l , l  0 , 1, 2 , 
, и реализационные характеристики лучше, чем у обычных
избирательных фильтров с линейной ФЧХ:
Q  N  1, B  ( N  3) 4  1, M  ( N  3) 4  1, A  ( N  1) 2
.
Пример 9.8. Записать аппроксимирующую и аппроксимируемую
функции для преобразователя Гильберта.
Решение. При построении ПГ в виде нерекурсивного фильтра
целесообразно использовать фильтр вида 3, причем аппроксимирующая и
аппроксимируемая функции имеют вид
N 1
 ( w , { c }) 
2
 c k sin
2 k w,
(9.32)
k 1
(9.33)
B ( w )   1 при w1  w  w 2  0 ,5 ,
где
w1 , w 2
‒ граничные значения заданной полосы частот. При
выборе постоянной весовой функции
q ( w )  const
и
ПГ реализуется в виде
равнополосного нерекурсивного фильтра.
_______________ . _______________
616
w1  w 2  0 ,5
Для
минимально-фазовых
фильтров
обычно
формулируют
основные задачи аппроксимации. В первой задаче заданы АЧХ
(w)
фильтра;
требуется
определить
H (z)
так,
чтобы
A (w )
две
и ФЧХ
выполнялись
приближенные равенства [19, 45]:
j 2 w
H (e
arg H ( e
)  A ( w ),
j 2 w
(9.34)
)   ( w ).
При этом вводятся аппроксимируемые функции
B1 ( w )  A ( w ) cos  ( w ),
B 2 ( w )  A ( w ) sin  ( w )
и аппроксимирующие функции
N 1
 h ( k ) cos 2  kw ,
 1 ( w , { h ( k )}) 
k 0
N 1
 2 ( w , { h ( k )}) 
 h ( k ) sin
2  kw ,
k 0
так что вместо (9.34) рассматриваются эквивалентные им приближенные
равенства
 1 ( w , { h ( k )})  B1 ( w ),
(9.35)
 2 ( w , { h ( k )})  B 2 ( w ).
Во второй задаче аппроксимации задана лишь АЧХ
A (w ) ,
а ФЧХ может
быть произвольной. В этом случае аппроксимируемая и аппроксимирующая
функции имеют вид
B ( w )  A ( w ),
2
N 1
 ( w , { c }) 
2
 c k cos 2  k w ,
k 0
причем функция
 ( w , {c})
не должна иметь вещественных корней нечетной
кратности. Тогда, используя (9.3), можно построить функцию
H ( z ) 
N 1
 h ( k ) z
k
k 0
(N ‒ нечетное), вычислить корни
H (z)
H ( z )
и построить передаточную функцию
искомого минимально-фазового фильтра так, чтобы корни
совпадали с корнями
H ( z )
H (z)
, лежащими внутри и на единичной окружности в
комплексной z-плоскости. Тогда
H (e
j 2 w
)  A ( w ).
617
В функциональных фильтрах аппроксимирующая функция должна
быть наиболее просто аналитически связана с оцениваемыми параметрами, в
то же время характер ее изменения должен соответствовать характеру
изменения полезной составляющей сигнала. Обычно это достигается
аппроксимирующей функцией линейного вида:
r
 ( i ,{ p }) 

p k g k ( i ),
(9.36)
k 0
где
{ pk }
‒ вектор искомых параметров входного сигнала, а
g k (i )
‒ известные
функции времени. Величину r в дифференцирующе-сглаживающих фильтрах
называют еще порядком фильтра (не путать в величиной N). Вид функций
g k (i )
то
зависит от характера полезного сигнала. Если сигнал полиномиальный,
g k (i )
g k (i )
могут быть степенными функциями, если сигнал гармонический, то
выбирают тригонометрическими (косинус либо синус). В случае
полезного сигнала более сложной формы, хорошо представляемого гладкими
функциями с ограниченной вариацией, в качестве функций
g k (i )
также
используют степенные функции, так как гладкие функции с достаточной
степенью точности аппроксимируются конечными степенными рядами
(например, рядом Тейлора).
Пример
9.9.
Записать
аппроксимирующую
функцию
для
дифференцирующе-сглаживающего фильтра r-го порядка.
Решение. Цифровой дифференцирующе-сглаживающий фильтр (ЦДСФ)
предназначен для оценки производных входного сигнала x(i), искаженного
аддитивным шумом n(i), т.е. для многократного дифференцирования сигнала
в условиях действия шумов. В таких фильтрах полезная составляющая может
быть описана рядом Тейлора:
r
u (i ) 

k
pki ,
(9.37)
k 0
где параметры
pk  u
(k )
t
k
k!
( u ( k ) ‒ k-я производная сигнала). Наличие шума
не позволяет использовать простые разностные методы дифференцирования
в силу их малой точности. Поэтому задача дифференцирования со
сглаживанием реализуется как задача аппроксимации входного сигнала x(i)
аппроксимирующим сигналом (функцией) полиномиального вида:
618
r
 ( i , { p k }) 

k
pk i
(9.38)
k 0
на интервале дискретного времени
искомых параметров
pk
[0, N ) .
Величины
pk
являются оценками
. При несмещенной оценке, т.е. при условии
отсутствия шумов во входном сигнале (когда
n ( i )  0 ),
параметр и его оценка
совпадают.
При текущем режиме дифференцирования интервал аппроксимации
(его называют еще интервалом наблюдения) перемещается (скользит) по оси
дискретного времени. При этом (см. §7.1) возможны два варианта его
организации. В первом варианте конец интервала совмещается с отсчетом
x ( i  N  1) .
При такой организации интервала аппроксимации все параметры
будут определены к дискретному моменту i  N  1 и потребуется их
дополнительный пересчет к текущему моменту времени.
Во втором варианте начало интервала совмещается с текущим
отсчетом сигнала x(i), а конец ‒ с отсчетом
x ( i  N  1) .
При этом порядок
следования отсчетов фактически изменяется на обратный, что приводит к
скользящей выборке
x (i  l ) .
Ее аппроксимация рядом Тейлора (9.37)
позволяет получать оценки четных производных со своим знаком, а оценки
нечетных ‒ с обратным. Для устранения знаковой инверсии параметров
аппроксимирующую функцию преобразуют к виду
r
 ( l , { p k ( i )}) 
 (  1)
k 0
k
k
p k (i )l .
(9.39)
_______________ . _______________
Функция (9.39) будет использована в главе 10 при аналитическом
синтезе ЦДСФ r-го порядка. В силу полиномиального характера
аппроксимирующей функции в ЦДСФ их относят к классу полиномиальных
фильтров [7, 48].
9.5. Неоптимизационные методы расчета частотных фильтров
Наиболее распространенными неоптимизационными методами расчета
частотных НЦФ являются методы взвешивания, частотной выборки и
разложения аппроксимируемой функции в тригонометрический ряд Фурье
619
[19, 45]. Все три метода используют взаимосвязь ИХ h(i) НЦФ с частотной
характеристикой H ( e j   t ) в виде пары преобразований Фурье (8.16).
Метод взвешивания
Из соотношений (8.16) следует, что коэффициенты Фурье – разложения
частотной характеристики H ( e j   t )
характеристики
h (i )
цифрового
совпадают со значениями импульсной
фильтра. Однако
использование этих
соотношений для
проектирования КИХ – фильтров связано с двумя
трудностями. Во-первых, ИХ ЦФ имеет бесконечную длину, поскольку
суммирование в (8.16) проводится в бесконечных пределах. Во-вторых,
получаемый фильтр является физическим нереализуемым, т.к. его ИХ
начинается в -  и никакой её сдвиг не сделает ЦФ физически реализуемым.
Естественным
способом преодоления этих трудностей является
усечение бесконечного ряда Фурье в (8.16) до
N членов
( i   N / 2,
 N / 2  1, ..., N / 2  1
при четном N и
i   ( N  1) / 2,  ( N  3) / 2, ..., ( N  1) / 2
при N нечетном). Однако простое усечение ряда приводит к известному
явлению Гиббса, связанному с особенностью сходимости рядов Фурье по
тригонометрическим
и
комплексно-экспоненциальным
функциям и
проявляющемуся в виде выбросов и пульсаций определенного уровня до и
после точки разрыва аппроксимируемой частотной характеристики. Показано
в работе [45], что, например, при аппроксимации ЦФ типа идеальных ФНЧ
или ПФ максимальная амплитуда пульсаций частотной характеристики может
достигать 9% и не уменьшается с увеличением длины импульсной
характеристики, т.е. учет все большего числа членов ряда Фурье не приводит к
уменьшению максимальной амплитуды пульсаций, а только сужает частотный
диапазон, на котором они проявляются.
Усечение ряда Фурье можно рассматривать еще как умножение
бесконечной ИХ
h ( i ) на
весовую
дискретную функцию
v П (i )
с конечным
числом отсчетов, имеющую следующий вид:
1
v П (i )  
0
при  ( N  1) / 2  i  ( N  1) / 2,
для остальны х значений i
(9.40)
(здесь и далее при рассмотрении весовых функций предполагается, что N –
нечетное; очевидно, что несложно получить аналогичные результаты и для
620
четного N). Весовая функция
v П (i )
играет роль своеобразного окна, поэтому её
называют еще оконной функцией или просто окном. Окно (9.40) имеет вид
прямоугольника и является прямоугольным окном.
Его частотная характеристика [45]
V П (e
j t
)  sin( N   t / 2) / sin(   t / 2)
(9.41)
имеет лепестковую форму и содержит один главный лепесток шириной 4  / N
и ряд боковых лепестков с затухающей амплитудой и шириной, зависящей от
N. Когда N возрастает, ширина лепестков уменьшается, однако площадь под
каждым лепестком остается неизменной. Частотная характеристика окна
позволяет интерпретировать операцию усечения ряда Фурье в частотной
области. Передаточную функцию усеченного фильтра можно получить путем
свертки передаточной функции неусеченного фильтра и частотной
характеристики окна. Когда частотная точка удалена от места разрыва, вклад
обеих частей частотной
характеристики окна в интеграл свертки
приблизительно одинаков,
что приводит к малой погрешности
аппроксимации. Вблизи точек разрыва свертка приводит к появлению двух
эффектов: во-первых, к появлению погрешности в частотной характеристике
ЦФ из-за неравного вклада обеих частей частотной характеристики окна и, вовторых, к «размыванию» разрыва в пределах некоторой полосы частот
конечной ширины.
Ширина этой полосы частот зависит от ширины главного лепестка, а
пульсация зависит от амплитуды боковых лепестков. Учитывая форму
частотной характеристики (9.41) прямоугольного окна, можно понять, почему
погрешность в полученной частотной характеристике фильтра не зависит от
числа N, поскольку она
является функцией площади под боковыми
лепестками.
Таким образом, проведенный качественный анализ показывает, что
простое усечение ряда Фурье может не привести к приемлемой аппроксимации
частотных характеристик и поэтому может казаться непригодным для
проектирования нерекурсивных частотных ЦФ. С другой стороны, оно
подсказывает идею управления сходимостью ряда Фурье с помощью других
окон, форма которых должна иметь малую ширину главного лепестка
частотной характеристики и малую площадь под боковыми лепестками. В
идеале в таких окнах большая часть энергии должна содержаться в главном
621
лепестке частотной характеристики, а энергия в боковых лепестках должна
быстро уменьшаться при приближении ω к  /  t .
К сожалению, эти два требования несовместимы и возможно только их
компромиссное выполнение. Тем не менее в ЦОС известны оконные весовые
функции, состоящие из главного лепестка, содержащего почти всю энергию
окна, и боковых лепестков, которые быстро затухают. К ним относятся окна
Ганна, Хэмминга, Кайзера, Блэкмана, Фейера, Долфи-Чебышева, Ланцоша,
Каппелини и другие. В качестве примера рассмотрим только окна Ганна и
Хэмминга. Описание других окон можно найти в литературе [1, 18, 28, 42, 48,
62].
Окна Ганна и Хэмминга являются частными случаями более общего
окна, называемого еще обобщенным окном Хэмминга [62]. Обобщенное окно
имеет следующий вид
   (1   ) cos(2  i / N ),  ( N  1) / 2  i  ( N  1) / 2,
v X (i )  
при других значениях i ,
0
(9.42)
причем параметр  лежит в диапазоне 0    1 . При  =0,5 из окна (9.42)
следует окно Ганна, а
при  =0,54 – окно Хэмминга. Частотную
характеристику обобщенного окна Хэмминга можно легко получить, если
учесть, что оно может быть представлено в виде произведения прямоугольного
окна и окна, определяемого формулой (9.42), но для всех значений i, т.е.
v X ( i )  v П ( i )[   (1   ) cos(2  i / N )],
где
v П (i )
(9.43)
‒ прямоугольное окно (9.40). Тогда частотная
характеристика
обобщенного окна будет равна круговой свертке частотной характеристики
прямоугольного
импульсов
V X (e
окна
V П (e
jw  t
с
)
последовательностью единичных
 ()
j t
)  V П (e
j t
)  [  () 
1 
 (   2  /(  tN )) 
1 
2
 (   2  /( N  t ))]
2
и принимает следующий вид:
V X (e
j t
)   V П (e
j t
)
1 
2
j (
V П (e
2
N t
) t
)
1 
2
j (
V П (e
2
N t
) t
).
(9.44)
Анализ показывает, что ширина главного лепестка частной
характеристики окна Хэмминга в два раза больше, чем для прямоугольного
окна, а уровень боковых лепестков значительно ниже, чем у характеристики
622
прямоугольного окна. При  =0,54, т.е. для обычного окна Хэмминга, 99,96%
общей энергии спектра сдержится в главном лепестке, а максимумы боковых
лепестков на 40 дБ ниже главного максимума (для прямоугольного окна
максимум боковых лепестков ниже главного максимума всего на 14 дБ).
Достигается это тем, что боковые лепестки функции V П ( e
j (
2
N t
) t
) находятся
j t
) , поэтому общий уровень
в противофазе с боковыми лепестками V П ( e
боковых лепестков значительно уменьшается. В то же время
пропорционально увеличивается ширина главного лепестка частотной
характеристики. Для ФНЧ расширение главного лепесток соответствует
расширению полосы безразличия между полосами пропускания и
задерживания, тогда как уменьшение уровня боковых лепестков соответствует
меньшим пульсациям в полосе пропускания и лучшему подавлению в полосе
задерживания фильтра.
Методика синтеза НЦФ по методу взвешивания включает в себя
следующие три этапа. На первом этапе по заданной частотной характеристике
фильтра с помощью
прямого преобразования Фурье
определяется
невзвешенная последовательность значений ИХ ЦФ
h1 ( i ) 
t
2
h1 ( i ) :
 / t

j t
H (e
)e
jit
d .
(9.45)
  / t
j t
) имеет сложный вид или не может быть просто
Когда характеристика H ( e
преобразована в замкнутое математическое выражение, формула (9.45)
оказывается громоздкой или неудобной для интегрирования. В этом случае
можно использовать численное интегрирование либо аппроксимировать
интеграл (9.45) суммой и вычислять приближенную последовательность

h1 ( i )
по формуле [45]

1
h (i ) 
1
M
M / 2 1

j
H (e
2
M
k
j
)e
2
M
ki
.
(9.46)
k  M / 2
j  t
j it
По этой формуле значения H ( e ) e
рассчитываются в М точках
 k  2 k / M
.
Поскольку формула (9.46) является дискретизированным аналогом формулы
(9.45), то
623



1
h (i ) 
h1 ( i  kM ).
k  
Отсюда следует, что с ростом М различие между h1 ( i ) и h1 ( i ) уменьшается,
особенно вблизи
i 0.
Поскольку окно выделяет только N точек
h1 ( i ) ,
должно
выполняться условие M   N .
На втором этапе синтеза формируется взвешенная последовательность
g (i )
т.е
путем умножения невзвешенной ИХ на весовую последовательность окна,
g ( i )  h1 ( i ) v ( i ) .
За
пределами
интервала
-(N
 1) / 2  i  ( N  1) / 2
последовательность в точности равна нулю.
На третьем этапе с помощью временного
нереализуемая
последовательность
g (i )
сдвига
преобразуется
в
эта
физически
физически
реализуемую
h (i )  g (i 
N 1
i  0, 1, ..., N  1,
),
2
которая и используется в качестве искомой ИХ фильтра.
Пример 9.10. Рассчитать идеальные ФНЧ
w ГП  0,125;  t  0,1c , N  11
и
N  15
с
параметрами
методом взвешивания с прямоугольным
окном и окном Хэмминга. Вычислить также АЧХ каждого варианта ФНЧ для
девяти равноотстоящих значений частоты w , начиная с w =0 при шаге  w
=0,0625.
Решение. Преобразуя уравнение (9.45) к нормированной частоте w
0 ,5
h1 ( i ) 

H (e
j 2 w
)e
j 2 w i
dw ,
 0 ,5
принимая
H (e
j 2 w
0  w  w ГП ,
1 при
)  A(w)  
 0 при стальны х значениях w
и выбирая для синтеза ФНЧ ЦФ вида 1, после интегрирования, взвешивания и
временного сдвига импульсной характеристики получаем
- для прямоугольного окна:
624
sin[2  w Г П ( i 
h (i )  h ( N  1  i ) 
 (i 
N 1
N 1
2
)]
i  0, 1, ...,
,
N 1
2
)
2
h(
N 1
2
)  2 w ГП ,


 1; 





(9.47)
- для окна Хэмминга:
h (i )  h ( N  1  i ) 
sin[2  w Г П ( i 
N 1
)]  {0, 54  0, 46 cos[
2
2
(i 
N
 (i 
N 1
N 1
2
)
2
i  0, 1, ...,
N 1
 1;
2
h(
N 1
2
)  2 w ГП .
)]}


, 










(9.48)
Таблица 9.1
Значение ИХ
i
N=11
0
1
2
3
4
5
6
7
-0,0450158
-0,0000000
0,0750264
0,1591549
0,2250791
0,2500000
-
h (i )  h ( N  1  i )
N=15
-0,0321542
-0,0530516
-0,0450158
0,0000000
0,0750264
0,1591549
0,2250791
0,2500000
Результаты расчетов импульсных характеристик по этим формулам приведены
в табл. 9.1 и 9.2 соответственно, причем приведена только первая половина
симметричных
значений ИХ. Реальную АЧХ вычисляем по общей
зависимости (8.13) с учетом соотношения (8.17). Её значения,
соответствующие ФНЧ с ИХ (9.47) и (9.48), приведены в табл. 9.3 и 9.4. Из их
сравнения следует более высокая точность синтеза ФНЧ с окном Хэмминга по
625
сравнению с ФНЧ с прямоугольным окном, особенно в полосе задерживания
фильтра.
Таблица 9.2
Значение ИХ
i
N=11
0
1
2
3
4
5
6
7
-0,0044401
0,0000000
0,0356026
0,1163567
0,2086430
0,2500000
-
h (i )  h ( N  1  i )
N=15
-0,0028955
-0,0089048
-0,0139549
0,0000000
0,0511791
0,1349316
0,2161279
0,2500000
Таблица 9.3
Значение АЧХ A ( w )
w
0,0000
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
N=11
N=15
1,0784891
0,9828473
0,5258686
0,0246200
0,0683099
0,0744619
0,0258686
0,0326891
0,0581306
0,9080775
1,1172868
0,4803957
0,0750367
0,0377934
0,0251742
0,0196043
0,0170759
0,0163357
Таблица 9.4
Значение АЧХ A ( w )
w
0,0000
N=11
N=15
0,9623247
1,0029665
626
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
0,8307227
0,5009953
0,1711459
0,0172865
0,0002525
0,0009953
0,0016162
0,0031022
0,9079693
0,4989131
0,0938660
0,0020535
0,0006968
0,0010869
0,0011385
0,0011405
_______________ . _______________
Применение метода оконного взвешивания не ограничивается только
рамками синтеза частотных фильтров. Он оказывается весьма полезным при
вычислении любых частотных характеристик сигналов по их ограниченным
выборкам. В частности, он широко используется при экспериментальном
исследовании корреляционных функций и функций спектральной плотности
детерминированных и случайных сигналов [45].
Метод частотной выборки
Если в (8.16) использовать не все значения непрерывной частоты , а
только N некоторых выборочных значений k   , где   ‒ постоянный шаг
дискретизации по частоте, то пара интегрально-дискретных преобразований
Фурье (8.16) превращается в пару конечных дискретных преобразований
Фурье:
N 1
H (k ) 
 h (i ) e
 j
2
ki
N
,
(9.49)
,
(9.50)
i0
h (i ) 
1
N
где
H (k )
N 1

j
H (k )c
2
N
ki
k 0
‒ выборочные значения частотной характеристики в точках,
кратных   . Формулы (9.40), (9.50) и определяют метод частотной выборки
расчета НЦФ.
При их использовании получаемый НЦФ с некоторой точностью
аппроксимирует заданную частотную характеристику. Погрешность
аппроксимации возникает из-за ограниченности бесконечного ряда в (8.16)
N первыми членами, она точно равна нулю в точках частот взятия выборки и
627
имеет конечную величину в промежуточных точках. Чем более гладкой
является задаваемая частотная характеристика, тем меньше погрешность
аппроксимации между частотными отсчетами. С увеличением N погрешность
аппроксимации так же уменьшается.
Для частотных НЦФ с точно линейной фазовой характеристикой можно
получить удобные аналитические выражения для
H (k ) ,
вид которых зависит от
способа выбора N равноотстоящих отсчетов частотной характеристики.
Существует два способа выбора отсчетных точек, пригодных для расчета НЦФ
методом частотной выборки [45]. При первом способе используют отсчеты в
точках
k 
2
N t

, N  1, 

, N  1, 

k , k  0, 1,
w k  k / N , k  0, 1,
(9.51)
при втором ‒ в точках
k 
2
N t
( k  0, 5) , k  0, 1,
w k  ( k  0, 5) / N , k  0, 1,

, N  1, 

, N  1. 

(9.52)
Наличие двух способов дискретизации частоты дает дополнительные
возможности при расчете фильтров с заданной частотной характеристикой.
Например, если граничная частота полосы фильтра оказывается намного
ближе к точке выборки, используемой при втором способе дискретизации
частоты, чем при первом, то целесообразно использовать для решения задачи
аппроксимации второй способ дискретизации частоты. В противном случае
применяют первый способ дискретизации частоты.
Для практического вычисления h(i) НЦФ с точно линейной ФЧХ по
формуле (9.50) необходимо, чтобы дискретная АЧХ
функцией, а дискретная ФЧХ
(k )
A(k )
была четной
‒ нечетной. Этого можно добиться только
с помощью фильтров вида 1 и 2. В них целесообразно представить H(k) в
показательной форме записи. Для первого способа дискретизации частоты
H (k )  A(k )e
j ( k )
,
k  0 , 1,  , N  1,
(9.53)
причем
A ( k )  A ( N  k ), k  0 , 1,  , N  1,
и при четном N
628
(9.54)
 2  N  1 
N
k
 1,
 п ри k  0, 1, ,

N  2 
2

 2
N
 N 1
(k )  
(N  k)
 1, , N  1,
 п ри k 
2
 2 
 N

 0 п ри k  N / 2,

(9.55)
H ( N / 2)  A ( N / 2)  0,
а при нечетном N
 2
k

 N
(k )  
 2 (N
 N
 N 1

 при k  0, 1,
 2 
,
N 1
,
2
(9.56)
N 1
 N 1
 k)
,
 при k 
2
 2 
, N  1.
При втором способе дискретизации частоты
h (i ) 
1
N
N 1
 H (k )e
j
2
( k  0 .5 ) i
N
(9.57)
,
k 0
(9.58)
A ( k )  A ( N  1  k ), k  0 , 1,  , N  1,
и при четном N
2   N 1


j
( k  0 ,5 ) 

N
N  2

при k  0 , 1,  ,
 1,

 A(k )e
2
H (k )  
2   N 1 
j

 ( N  k  0 ,5 )

N  2 

A
(
k
)
e
при k  N / 2 ,  , N  1,

(9.59)
а при нечетном N
2   N 1 

 j

 ( k  0 ,5 )
N 3
N  2 
при k  0, 1, ,
,
 A(k )e
2

  N 1
N 1
H (k )   A 
,
 при k 
2
2



2   N 1 

j

  N  k  0 ,5 
N 1
 A(k )e N  2 
при k 
, , N  1.

2
В формулах (9.53), (9.54), (9.58) ‒ (9.60)
фильтра
A( k )
A (k )
(9.60)
есть дискретная АЧХ
или A ( w k ) .
Зависимости (9.50) – (9.60) позволяют получить более удобные
аналитические выражения для расчета импульсных характеристик фильтров
методом частотной выборки. Действительно, например, при первом методе
629
дискретизации частоты и четном N, используя в формуле (9.50) соотношения
(9.53) и (9.55) для частотной характеристики, получаем
 N2  1
1 
 j ( 2  / N )[( N  1) / 2  i ] k
h (i ) 

  A (k )e
N  k 0

Подстановка
m  N k
N 1

k
N
A (k )e
j ( 2  / N )[( N  k )( N 1) / 2  ik ]
1
2


.


во вторую сумму дает
 N2  1
1 
 j ( 2  / N )[( N  1) / 2  i ] k
h (i ) 

  A(k )e
N  k 0

N
1
2

A ( N  m )e
j ( 2  / N )[ m ( N  1) / 2  i ( N  m )]
m 1


.


Учитывая свойство (9.54) АЧХ и то, что
e
j ( 2  / N )[ m ( N 1) / 2  i ( N  m )]
e
j ( 2  / N )[( N 1) / 2  i ] m
e
( 2  / N ) Ni
,
а
e
j ( 2  / N ) Ni
 1,
после объединения членов в выражении для
N
h (i ) 
A (0)

N

N
A ( k )[e
A (0)

N
2
N
1
2
h (i ) 
B (0)

N
2
N
e
j ( 2  / N )[( N 1) / 2  i ] k

k 1
N 1

2(
 i)k

2
A ( k ) cos 
N


Потребовав выполнения равенства
N
 j ( 2  / N )[( N  1) / 2  i ] k
]
k 1
N

находим
1
2
1
h (i )
1
2

k 1
A(k )  B (k ) ,


.


окончательно получаем
N 1

2(
 i)k

2
B ( k ) cos 
N




,


i  0, 1, ...,
N
 1.
2
Для нечетных значений N использование зависимостей (9.53), (9.56) и
(9.50) приводит к похожему соотношению для ИХ:
N 1
h (i ) 
B (0)
N

2
N
2

k 1
N 1

2  (i 
)k

2
B ( k ) cos 
N




,


i  0, 1, ...,
N 1
2
.
(9.61)
Аналогичных результатов можно добиться и для второго способа
дискретизации частоты, если в ряде (9.57)
использовать частотные
630
характеристики (9.59) и (9.60). В этом случае после математических
преобразований получаем:
- при четном N
N
h (i ) 
2
N
1
2

k 0
N 1


2(
 i )( k  0, 5)


2
B ( k ) cos 
,
N




i  0, 1, ...,
N
 1,
2
- при нечетном N
N 3
h (i ) 
2
2

N
k 0
N 1
N 1


i
2(
 i )( k  0, 5)
(  1) B (
)


2
2
B ( k ) cos 
,

N
N




N 1
i  0, 1, ...,
.
2
Найденные выражения для ИХ фильтра определяют алгоритм его расчета
методом
частотной
выборки.
В
нем
дискретные
значения
аппроксимируемой функции B ( k ) равны:
- для первого способа дискретизации частоты
 B [2  k /( N  t )]
B (k )  
 B (k / N )
при ненорм ированной частоте ω,
при норм ированной частоте w ,
- для второго способа дискретизации частоты
 B [2  ( k  0, 5) /( N  t )]
B (k )  
 B [( k  0, 5) / N )]
при ненорм ированной частоте ω ,
при норм ированной частоте w .
Пример 9.11. Рассчитать равнополосные ФНЧ с параметрами
w ГЗ
=0,375 при
t
w ГП
=0,125,
=0,1с и N=11; 15 методом частотной выборки с первым
способом дискретизации частоты. Вычислить также АЧХ каждого фильтра с
шагом  w =0,0625.
Решение. Используя в алгоритме (9.61)
B (w)
(9.22), найдем значения ИХ
по формуле (8.13) рассчитаем реальную АЧХ
A( w)
фильтров для
h (i )
,а
N=11 и
N=15. Результаты расчетов приведены в табл. 9.5 и 9.6, причем в табл. 9.5
представлена только первая половина симметричных значений ИХ.
Таблица 9.5
Значение ИХ
h (i )  h ( N  1  i )
i
N=11
N=15
0
1
2
3
-0,0106270
0,0064917
-0,0319200
0,0018905
0,0060344
0,0029472
-0,0111111
-0,0028297
631
4
5
6
7
0,2862309
0,4958678
-
-0,0318361
-0,0007230
0,2864073
0,5022222
Таблица 9.6
Значение АЧХ А(w)
w
0,0000
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
N=11
N=15
1,0000000
1,0111301
0,9478464
0,7516102
0,5050703
0,2347783
0,0179221
0,0140475
0,0252644
1,0000000
0,9992311
0,9821931
0,7602956
0,4921145
0,2545298
0,0335702
0,0051677
0,0020222
_______________ . _______________
Метод разложения аппроксимируемой функции
в тригонометрический ряд Фурье
Метод
разложения
аппроксимируемой
функции
в
тригонометрический ряд Фурье применим для расчета ИХ фильтров с
линейной ФЧХ и решения второй задачи для минимально-фазовых фильтров.
Если аппроксимирующая функция имеет вид (9.26), причем
тригонометрическими функциями частоты,
k (w)
является
то этим методом можно
получить удобные аналитические выражения для расчета значений ИХ
h (i ) .
Найдем эти выражения для всех четырех видов фильтров, потребовав
выполнения равенства (9.21).
Для фильтра вида 1 примем (см. (9.13))
N 1
B (w) 
2
c
i
cos(2  iw ),
(9.62)
i0
где коэффициенты
c i связаны
с ИХ фильтра следующими соотношениями:
632
c0  h (
N 1
2
); c i  2 h (
N 1
 i ),
i  1, 2, ...,
2
N 1
Умножим правую и левую части уравнения (9.62) на функцию
проинтегрируем результат по
w
(9.63)
.
2
cos(2  w k )
и
в пределах от 0 до 0,5. Тогда получим
N 1
0 ,5
2
0 ,5
 c  cos(2  iw ) cos(2  kw ) dw  
i
i0
0
B ( w ) cos(2  kw ) dw .
0
Но
0 ,5

0
при k  i ,
0

cos(2  iw ) cos(2  kw ) dw   0, 5 при k  i  0,
 0, 25 при k  i  0.

Поэтому имеем
0 ,5

c0  2
B ( w ) dw ,
0
0 ,5
ci  4

B ( w ) cos(2  iw ) dw ,
0




N 1 
i  1, 2, ...,
,

2

(9.64)
а из этих уравнений с помощью соотношений (9.63) получаем искомые
выражения для определения ИХ фильтра


2
0

0 ,5

1
N 1

h ( i )  c N 1  2  B ( w ) cos[2  (
 i ) w ] dw , 
2 2 i
2
0


N 3
i  0, 1, ...,
.

2

h(
N 1
0 ,5
)  c0  2

B ( w ) dw ,
(9.65)
Для фильтра 2 в соответствии с (9.15) принимаем
N 1
B (w) 
2
c
i
cos[  (2 i  1) w ] dw ,
i0
где
ci  2 h (
Умножая первое
N
 1  i ).
2
равенство теперь уже на функцию
интегрируя полученные произведения по
и в ЦФ вида 1, получить
633
w
cos[  (2 k  1) w ]
и
в пределах от 0 до 0,5, можно, как
N
1
0 ,5
2
0 ,5
 c  cos[(  (2 i  1) w ] cos[  (2 k  1) w ]dw  
i
i0
0
B ( w ) cos[  (2 k  1) w ] dw .
0
Учитывая, что
0 ,5

0
0
cos[  (2 i  1)w ] cos[  (2 k  1) w ] dw  
 0, 25
при
i  k,
при
i  k,
после преобразований получаем следующие выражения для коэффициентов ci
и значений ИХ
h (i ) :
0 ,5
ci  4

B ( w ) cos[2  ( i  0, 5) w ] dw ,
i  0, 1, ...,
h (i ) 
2
0 ,5
cN
2
1 i
 1,
(9.66)
2
0
1
N

2
B ( w ) cos[2  (
N 1
 i ) w ] dw ,
i  0, 1, ...,
2
0
N
2
 1.
(9.67)
Для фильтра вида 3, используя (9.17) и принимая
N 1
B (w) 
2
c
sin(2  iw ),
i
i 1
где
ci  2 h (
после умножения
в пределах
B (w)
на функцию
N 1
 i ),
2
sin(2  kw )
и последующего интегрирования
, получаем
0  w  0, 5
N 1
0 ,5
2
0 ,5
 c  sin(2  iw ) sin (2  kw ) dw  
i
i 1
0
B ( w ) sin(2  kw ) dw .
0
Отсюда, поскольку
0 ,5
0
при
i  k,

при
i  k,
 sin(2  iw ) sin(2  kw ) dw   0, 25
0
имеем
0 ,5
ci  4

B ( w ) sin(2  iw ) dw ,
i  1, 2, ...,
N 1
2
0
634
,
(9.68)
h (i ) 
0 ,5
1
c N 1
2
i
2
2

B ( w ) sin[2  (
N 1
2
0
N 1
i  0, 1, ...,
 1,
2
h(
N 1
)  0.
2

 i ) w ] dw , 







(9.69)
Ну и, наконец, для фильтра вида 4, принимая с учетом (9.19), что
N
B (w) 
1
2
c
i
sin[  (2 i  1) w ],
i0
где
ci  2 h (
N 1
 i ),
2
и используя умножение на функцию
sin[  (2 k  1) w ]
с последующим
интегрированием, получаем
N
1
0 ,5
2
0 ,5
 c  sin[  (2 i  1) w ] sin[  (2 k  1) w ] dw  
i
i0
0
B ( w ) sin[  (2 k  1) w )] dw.
0
Так как
0 ,5
0
при
i  k,

при
i  k,
 sin[  (2 i  1) w ] sin[  (2 i  1) w ] dw   0, 25
0
то
0 ,5
ci  4

B ( w ) sin[2  ( i  0, 5) w ] dw ,
i  0, 1, ...,
h (i ) 
2
0 ,5
cN
2
1 i
 1,
(9.70)
2
0
1
N
2

B ( w ) sin[2  (
0
N 1
 i ) w ] dw ,
i  0, 1, ...,
2
N
2
 1.
(9.71)
Формулы (9.64)÷(9.71) и определяют аналитическое описание метода
разложения в тригонометрический ряд Фурье для аппроксимирующих
функций косинусоидального и синусоидального видов. Из соотношений
(9.64), (9.66), (9.68) и (9.70) ясно, что коэффициенты
ci ,
просто связанные со
значениями ИХ, в этом случае представляются в форме коэффициентов рядов
Фурье аппроксимируемой функции
B (w)
по системам обычных или сдвинутых
тригонометрических функций, откуда и следует название этого метода. Из
сравнения алгоритмов вычисления ИХ методами разложения в
635
тригонометрический ряд Фурье и частотной выборки следует, что второй
метод является дискретным вариантом первого метода для фильтров вида
1 и 2.
Для фильтров с простыми частотными характеристиками формулы
(9.65), (9.67), (9.69) и (9.71) позволяют получить удобные в использовании
аналитические зависимости для импульсных характеристик ЦФ различных
видов. Выведем эти
зависимости для основных типов избирательных
фильтров: ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.
Как отмечалось ранее, ФНЧ с АЧХ (9.22) может быть реализован с
помощью ЦФ вида 1 и 2, ФВЧ с АЧХ (9.23) – с помощью ЦФ вида 1 и 4, РФ с
АЧХ (9.25) – с помощью ЦФ вида 1, а ПФ с АЧХ (9.24) - с помощью ЦФ всех
четырех видов. Ограничившись для ПФ двумя видами ЦФ, для всех этих
фильтров, используя соотношения (9.65), (9.67), (9.69) и (9.71), получаем:
- для ФНЧ вида 1
h(
N 1
)  2[
2

N 1
cos[2  (
N 1
2


w ГП
w  w ГЗ
w ГП  w ГЗ
w ГЗ
 i ) w ] dw  2
2
0
cos[2  (

dw 
0
w ГП
h (i )  2
w ГЗ
w ГП
2 (
2
w ГП
 i ) w ГЗ ]  cos[2  (
N 1
2

N 1
w  w ГЗ
w ГП  w ГЗ
 i ) w ГП ]
2
dw ]  w ГП  w ГЗ ,
cos[2  (
(9.72)
N 1
 i ) w ] dw 
2
, i  0, 1, ...,
N 1
 1,
(9.73)
2
 i ) ( w ГП  w ГЗ )
2
- для ФНЧ вида 2
w ГП

h (i )  2
cos[2  (
N 1
w ГЗ
 i ) w ] dw  2
2
0
cos[2  (
N 1
2

w ГП
 i ) w ГЗ ]  cos[2  (
N 1
2 (
2

2
w  w ГЗ
w ГП  w ГЗ
N 1
2
 i ) w ГП ]
,
cos[2  (
N 1
 i ) w ] dw 
2
i  0, 1, ...,
N
 1.
2
 i ) ( w ГП  w ГЗ )
2
- для ФВЧ вида 1
h(
N 1
w ГП
)2
2
w ГП
h (i )  2

w ГЗ
w ГЗ  w
w ГЗ  w ГП

w ГЗ
0 ,5
w ГЗ  w
w ГЗ  w ГП
cos[2  (
N 1

dw  2
w
dw  1  w ГЗ  w ГП ,
ГП
0 ,5

 i ) w ] dw  2
2
w
636
ГП
cos[2  (
N 1
2
 i ) w ] dw 
cos[2  (
N 1
2

 (
2
 i ) w ГЗ ]  cos[2  (
N 1
2
N 1
2
 i ) w ГП ]
N 1
, i  0, 1, ...,
 1,
2
 i ) ( w ГЗ  w ГП )
2
- для ФВЧ вида 4
w ГП
w ГЗ  w

h (i )  2
sin[2  (
w ГЗ  w ГП
w ГЗ
sin[2  (
0 ,5
2
w
 i ) w ГЗ ]  sin[2  (
2 (
2
N 1
2

 i ) w ] dw  2
2
N 1

N 1
N 1
2
sin[2  (
N 1
 i ) w ] dw 
2
ГП
 i ) w ГП ]
, i  0, 1, ...,
N
 1,
2
 i ) ( w ГЗ  w ГП )
2
-для ПФ вида 1
h(
N 1
w ГП 1

)2
2
w ГЗ 1
w ГП 1  w ГЗ 1
w ГП 1
h (i )  2

w ГЗ 1
w  w ГЗ 1
w ГП 1  w ГЗ 1
w Г 32
2
dw  2
cos[2  (
dw  2

w ГП 2
N 1
w  w ГЗ 2
w ГП 2  w ГЗ 2
dw  w ГП 2  w ГЗ 2  w ГЗ 1  w ГП 1 ,
w ГП 2

 i ) w ] dw  2
2
w ГП 2  w ГЗ 2
w ГП 2

w ГП 1
w  w ГЗ 2

w ГЗ 2
w ГП 2
w  w ГЗ 1
w
cos[2  (
N 1
cos[2  (
N 1
 i ) w ] dw 
2
ГП 1
 i ) w ] dw 
2
N 1
N 1

cos[2  (
 i ) w ГЗ 1 ]  cos[2  (
 i ) w ГП 1 ]

2
2



w ГЗ 1  w ГП 1
2 N 1
2

2 (
 i)
2

1
cos[2  (
N 1
2

 1) w ГП 2 ]  cos[2  (
N 1
2
 i ) w ГЗ 2 ]
w ГЗ 2  w ГП 2


,


i  0, 1, ...,
N 1
 1,
2
- для вида ПФ вида 2
w ГП 1
h (i )  2

w ГЗ 1
w  w ГЗ 1
w ГП 1  w ГЗ 1
w ГЗ 2
2

w ГП 2
cos[2  (
w  w ГЗ 2
w ГП 2  w ГЗ 2
N 1
w ГП 2
 i ) w ] dw  2
2
cos[2  (

w ГП 1
N 1
2
637
 i ) w ] dw 
cos[2  (
N 1
2
 i ) w ] dw 
N 1
N 1

cos[2  (
 i ) w ГЗ 1 ]  cos[2  (
) w ГП 1 ]

2
2



w ГЗ 1  w ГП 1
2 N 1
2
2 (
 i) 
2

1
cos[2  (
N 1
2

 i ) w ГП 2 ]  cos[2  (
N 1
2
 i ) w ГЗ 2 ]
w ГЗ 2  w ГП 2


,


i  0, 1, ...,
N
 1,
2
- для РФ вида 1
h(
N 1
w ГЗ 1
w ГП 1
)2
2


dw  2
0
w
ГП 1
w
w ГЗ 1  w
w ГЗ 1  w ГП 1
ГП 2

dw  2
w
ГЗ 2
0 ,5
w  w ГЗ 2
w ГП 2  w ГЗ 2

dw  2
w
dw 
ГП 2
 w ГП 1  w ГЗ 1  w ГП 2  w ГЗ 2 ,
w ГП 1
h (i )  2

cos[2  (
2

w ГЗ 2
w ГЗ 1
w  w ГЗ 2
w ГП 2  w ГЗ 2

 i ) w ] dw  2
2
0
w ГП 2
N 1
w
cos[2  (
N 1
ГП 1
w ГЗ 1  w
w ГЗ 1  w ГП 1
cos[2  (
2

 i ) w ] dw 
2
0 ,5
 i ) w ] dw  2
N 1
cos[2  (
N 1
 i ) w ] dw 
2
w ГП 2
N 1
N 1

cos[2  (
 i ) w ГЗ 1 ]  cos[2  (
) w ГП 1 ]

2
2



w

w
2 N 1
2
ГЗ 1
ГП 1
2 (
 i) 
2

1
cos[2  (

N 1
2
 i ) w ГЗ 2 ]  cos[2  (
N 1
2
w ГЗ 2  w ГП 2
 i ) w ГП 2 ]


,


i  0, 1, ...,
Таблица 9.7
i
Значение ИХ
h (i )  h ( N  1  i )
N = 11
N = 15
0
-0,0114632
0,0058486
1
0,0000000
0,0000000
2
-0,0318422
-0,0114632
3
0,0000000
0,0000000
4
0,2665796
-0,0318422
5
0,5000000
0,0000000
6
—
0,2865796
7
—
0,5000000
638
N 1
2
 1.
Таблица 9.8
Значение АЧХ A(w)
w
0,0000
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
N = 11
N = 15
0,9865485
0,9783654
0,9665278
0,7436831
0,5000000
0,2347864
0,0334722
0,0235831
0,0134514
0,9982456
0,9867547
0,9747989
0,7832679
0,5000000
0,2578671
0,0252012
0,0091256
0,0017544
Пример 9.12. Выполнить расчет двух равнополосных ФНЧ методом
разложения в ряд Фурье (условия примера 9.11).
Решение. Для реализации этих ФНЧ воспользуемся ЦФ вида 1.
Результаты расчета ИХ
h (i )
по зависимостям (9.72) и (9.73) и АЧХ по
зависимости (8.13) для конкретных значения
w ГП
,
wГ 3
и N приведены в табл.
9.7 и 9.8.
_______________ . _______________
9.6. Оптимизационные методы расчета частотных фильтров
Оптимизационные методы различаются критерием аппроксимации,
уточняющим смысл соотношения (9.21). Наиболее часто используют два
основных критерия аппроксимации: среднеквадратический критерий,
минимизирующий среднеквадратическую погрешность аппроксимации
w2

2
q ( w ) B ( w )   ( w , { c }) dw  min
(9.74)
w1
и наилучший равномерный (чебышевский) критерий, минимизирующий
абсолютную погрешность аппроксимации
max q ( w ) B ( w )   ( w , {c})  min,
w1  w  w 2 .
(9.75)
Критерии (9.74) и (9.75) могут применяться раздельно и совместно —
каждый для определенной области частот. Функция q(w) в них является
639
весовой функцией, влияющей на точность аппроксимации на различных
диапазонах частоты. Общие
принципы определения значений
q(w)
сформулированы в §2.4, а конкретный пример разработан в примере 2.6.
При использовании критерия (9.75) в цифровой фильтрации для
отдельных интервалов частот w1j  w   w2j задаются значениями j, такими,
чтобы на этих интервалах выполнялось неравенство
B ( w )   ( w , { c })   j .
(9.76)
Тогда для j -го интервала
q (w)  R /  j ,
(9.77)
где R ‒ произвольная константа, общая для всех интервалов (нормирующий
множитель).
По (9.75) и (9.77) определяем оптимальную функцию
 ( w , {c})
,
удовлетворяющую (9.76). Соотношение (9.77) можно использовать и
совместно с (9.74). Однако в этом случае (9.77) следует рассматривать как
эвристическую рекомендацию.
Существуют два метода расчета НЦФ, соответствующие указанным
критериям аппроксимации. Первый метод ‒ метод наименьших квадратов ‒
позволяет при заданных величинах w1, w2 и функциях q(w), B(w) и
 ( w , {c})
определить вектор коэффициентов{c}, минимизирующий целевую функцию:
w2
G ({ c }) 
 q ( w )[ B ( w )   ( w , {c})]
2
dw .
(9.78)
w1
Необходимые и достаточные условия минимума (9.78) [19] имеют вид
уравнений
 G ({ c })
cm
 0 , m  0 , 1,  , K
,
(9.79)
где K в зависимости от четности или нечетности N принимает значения
( N  1) / 2
или
N 2 1,
которые с учетом (9.26) сводятся к системе линейных
алгебраических уравнений относительно коэффициентов
следовательно, значений импульсной характеристики h(i):
{ci}
и,
K
d
m ,i
c i  d m , K  1 , m  0, 1,
, K,
(9.80)
i0
где
w2
d m ,i 
 q ( w )  m ( w )  i ( w ) dw ;
w1
640
(9.81)
w2
d m , K 1 
 q ( w ) B ( w )
m
( w ) dw .
(9.82)
w1
Пример 9.13. Рассчитать два равнополосных ФНЧ (условия примера
9.11) при w1 = 0, w2 = 0,5 и
1 при 0  w  w гп ,

q ( w )   0 при w гп  w  w гз ,
 g при w  w  0 , 5 ,
гз

где
g  const
.
Решение. Выбирая функции
B (w )
и
 ( w , {c})
такими же, как в примере
9.12, из (9.81), (9.82) получаем [19]
d m ,i


w  g / 2  gw ГЗ
 ГП
 w ГП sin( m  i )2  w ГП
g gw ГЗ

 


2
4( m  i ) 
4
2

 g sin( m  i )2  w ГЗ
 
4( m  i ) 

 sin( m  i )2  w
sin( m  i )2  w ГП
ГП



4( m  i ) 
4( m  i ) 

 g sin( m  i )2  w
g sin( m  i )2  w ГЗ
ГЗ


4( m  i ) 
4( m  i ) 

d m , K 1
при m  i  0;
при m  i  0;
при m  i ;
 w ГП при m  0;

  sin( m 2  w ГП ) /(2 m  ) при m  0;
 m  0, 1, ..., K ; i  0, 1, ..., K .

Таблица 9.9
i
0
1
3
4
5
6
7
Значения ИХ
h (i )  h ( N  1  i )
N = 11
N = 15
0,0118785
-0,0000003
-0,0621937
0,0000008
0,3007862
0,4999980
-
-0,0033884
0,0000021
0,0197280
-0,0000073
-0,0713280
0,0001370
0,3049177
0,4999840
641
Результаты расчета ИХ по уравнению (9.80) и АЧХ по формуле (9.13)
при g = 1 приведены в табл. 9.9 и 9.10.
Таблица 9.10
Значение АЧХ A(w)
w
N = 11
0,0000
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
N = 15
1,0009418
0,9987452
0,9965320
0,6734561
0,4999968
0,2463425
0,0034674
0,0010103
0,0009420
0,9998589
0,9995361
0,9993988
0,6601352
0,4999387
0,2510380
0,0005983
0,0003612
0,0001417
_______________ . _______________
Пример 9.14. Решить задачу аналитического синтеза амплитуднофазового корректора по методу наименьших квадратов.
Решение. Амплитудно-фазовый корректор, т.е. фильтр, у которого
АЧХ и ФЧХ близки к заданным желаемым функциям A*(w) и *(w), можно
построить в виде нерекурсивного фильтра, используя метод наименьших
квадратов [23], если определять ИХ h(i) из условия минимума функции:
0 ,5
G ( h ( i )) 
 q ( w )[ D1 ( w )  D 2 ( w )] dw .
2
2
0
Здесь
N 1
D1 ( w )  A ( w ) cos  ( w ) 
*
*
 h ( i ) cos 2  iw ,
i0
N 1
D 2 ( w )  A ( w ) sin  ( w ) 
*
*
 h ( i ) sin
2  iw .
i0
Необходимые и достаточные условия минимума
 G ( h ( i ))
 h (i )
G ( h ( i ))
 0 , i  0 , 1,  , N  1,
приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно
значений ИХ h(i):
642
N 1
0 ,5
i0
0
 h ( i )  q ( w ) cos[( i 
j ) 2  w ] dw 
0 ,5

 q(w) A
*
( w ) cos[  ( w )  j 2  w ] dw , j  0 , 1,  , N  1 .
*
0
Решив эту систему, можно определить импульсную характеристику
амплитудно-фазового корректора. В частном случае при
q(w)  1
система
может быть решена аналитически и значения импульсной характеристики
рассчитаны по формуле [19]
0 ,5
h (i )  2
A
*
( w ) cos[  ( w )  2  iw ] dw .
*
0
_______________ . _______________
Второй метод ‒ метод наилучшей равномерной аппроксимации —
основывается на чебышевской теории равномерного приближения [19, 45]. В
соответствии с этой теорией для заданного класса функций
K
 k ( w , { c }) 
 c k cos k 2  w , аппроксимируемой функции
B (w ) ,
весовой функции
k 0
q(w)
и замкнутого интервала
 k ( w , { c })
[ w1 ; w 2 ]
аппроксимации существует функция
наилучшего равномерного приближения с такими значениями
коэффициентов
ck
, которые соответствуют минимальному значению
 ({ c})  max  ( w , {c}) , w1  w  w 2 ,
(9.83)
где
 ( w , { c })  q ( w )[ B ( w )   ( w , { c })].
Величина
({c})
представляет
собой
максимальное
значение
абсолютной погрешности аппроксимации на интервале [w1, w2].
Очевидно, что функция наилучшего равномерного приближения точно
соответствует критерию (9.75). Для ее отыскания используют теорему
Чебышева [19], которая утверждает, что для того, чтобы функция Ф(w, {c})
была функцией наилучшего равномерного приближения к функции B(w) с
весовой функцией q(w), необходимо и достаточно, чтобы функция (w, {c})
принимала наибольшие и равные друг другу по абсолютной величине и
чередующиеся по знаку значения в K + 2 последовательно расположенных
точках (точках альтернанса)
w1 , w 2 , ..., w K  2
интервала [w1, w2], т.е.
 ( w1 , {c})    ( w 2 , {c})    (  1)
643
K 1
 ( w K  2 , {c}),
(9.84)
w1  w1  w 2  ...  w K  2  w 2 ,
 ( w j , { c })   ( w , { c }) ,
j  1, 2 ,  , K  2 .
Последнее соотношение истинно при любом значении w, принадлежащем
интервалу [w1, w2].
Теорема Чебышева справедлива и для аппроксимируемых функций,
заданных на отдельных интервалах, не имеющих общих точек. В этом случае
функция должна быть доопределена на промежуточных интервалах так,
чтобы в целом получилась непрерывная функция на замкнутом интервале,
включающая все заданные интервалы. При этом все точки альтернанса
должны располагаться только на заданных интервалах.
Как правило, аналитически функцию наилучшего равномерного
приближения определить невозможно. Одним из наиболее эффективных
численных методов определения функций чебышевского приближения
является алгоритм Ремеза [19, 45]. Суть этого алгоритма сводится к
последовательной модификации коэффициентов аппроксимирующей
функции до тех пор, пока с заданной степенью точности не оказываются
выполненными условия теоремы Чебышева. Алгоритм Ремеза ориентирован
на применение ЭВМ.
Пример 9.15. Решить задачу чебышевской аппроксимации для ФНЧ с
линейной ФЧХ минимального порядка N = Nmin.
Решение. Определим Nmin по оценочной эмпирической формуле,
справедливой для ФНЧ [19]:
N min 
где
3
P1 (  п ,  з )  [ 5 ,309  10
3
P1 (  п ,  з )
w гз  w гп
 P2 (  п ,  з )( w гз  w гп )  1,
(lg  п )  7 ,114  10
2
2
lg  п  4 , 761  10
(9.85)
1
] lg ε з 
[  2, 66  10 (lg  п ) 
 5 ,941  10
а
п
и
з
1
2
lg  п  4 , 278  10
1
]; P2 (  п ,  з )  11, 01217  0, 51244(lg  п  lg  з ),
‒ максимально допустимые отклонения АЧХ от аппроксимируемой
функции B(w) соответственно в полосах пропускания и задерживания.
Очевидно, что фильтру наименьшего порядка N  Nmin (оптимальному
фильтру) соответствует оптимальная функция
определить функцию
 оп т ( w ,{ c }) ,
 оп т ( w ,{ c }) .
Для того чтобы
нужно построить несколько функций
644
наилучшего равномерного приближения к B(w) с весом q(w) различных
порядков, начиная с K = Kн = (N – 2)/2 (для четных Nmin). Если при K = Kн
условие (9.76) не выполняется хотя бы для одного j, необходимо увеличить
K. Процесс вычислений заканчивается тогда, когда
(9.76), а
(или
 K  1 ( w , { c })
удовлетворяет, причем
 K  2 ( w , { c })
 K ( w , {c })
удовлетворяет
для равнополосных фильтров) не
 опт ( w , { c })   K { w , { c }} .
_______________ . _______________
Пример 9.16. Рассчитать по алгоритму Ремеза равнополосный ФНЧ
(условия см. в примере 9.11) для
 п   з  3  10
4
.
Решение. Для заданных п и з Nmin, в соответствии с (9.75), равно 14.
Так как фильтр равнополосный, Kн = 8. С помощью алгоритма Ремеза
строим функции наилучшего равномерного приближения
 6 ( w , { c })
 8 ( w , { c })
и
, аппроксимирующие функцию
1 при 0  w  0 ,125 ,
B (w)  
 0 при 0 ,375  w  0 ,5
с весовой функцией
K  Kн  8
q(w)  1
в полосах пропускания и задерживания. При
требования к АЧХ выполняются:
 8 ( w , { c })  3  10
4
при
выполняются, т.е.
аппроксимации
0 , 375  w  0 , 5
N min  15
; при
1   8 ( w , { c })  3  10
K 6
п  з
0  w  0 ,125
и
требования к АЧХ не
при
0  w  0 ,125
и
Таблица 9.11
0
1
2
3
4
5
6
7
при
. В табл. 9.11 приведены абсолютные погрешности
 п   з  max B ( w )   ( w , {c})
i
4
Значения ИХ
N = 11
h (i )  h ( N  1  i )
N = 15
0,0130539
0,0000000
-0,0638686
0,0000000
0,3013116
0,5000000
0,0015943
645
-0,0037370
0,0000000
0,0205680
0,0000000
-0,0723199
0,0000000
0,3053691
0,5000000
0,0002395
0 , 375  w  0 , 5
.
_______________ . _______________
Пример 9.17. Решить задачу чебышевской аппроксимации для
минимально-фазового
ФНЧ
порядка
N
по
заданной
АЧХ.
Даны условия:
1  A ( w )   п1 при 0  w  w гп ,
A ( w )   з1
(9.86)
при w гз  w  0 , 5 .
Решение. Точный алгоритм решения сводится к следующему [19].
Необходимо
1.
построить
оптимальную
функцию
 опт ( w , {c})
,
удовлетворяющую соотношениям
1   П 1   З 1 / 2   К ( w ,{ c })  2  П при 0  w  w ГП ,
2
2
 K ( w ,{ { c } )   З / 2 п р и w Г З  w  0, 5,
2
где
K
 K ( w ,{ c }) 
c
i
cos 2  iw .
i0
Каждая функция последовательности, которую следует построить для
определения
 опт ( w , {c})
, строится как функция наилучшего приближения к
аппроксимируемой функции
1   п1   з1 / 2 при 0  w  w гп ,
B (w)  
 0 при w гз  w  0 ,5
2
2
с весовой функцией
1 при 0  w  w гп ,
q(w)  
2
 4  п1 /  з1 при w гз  w  0 , 5 .
(9.87)
Ориентировочная оценка величины начального порядка Kн функции
 k ( w , { c })
может быть найдена так же, как в примере 9.15, если принять
K н  ( N  1) / 2
и
 п  2  п1 ,  з   з1 / 2 .
2
Строим
2.
функцию

( )
( w ,{ c})   опт ( w ,{ c})  M   M
имеющую вещественных корней. Величина
 M  (10
2
 10
3
)M
M  max  ( w , {c})
.
( )
3. По коэффициентам  ( w ,{c}) строим функцию
646
(9.88)
при
,
не
w гз  w  0 , 5 ;
H ( z ) 
2K
 h ( i ) z .
i
i0
4. Вычисляем корни функции
H ( z )
.
K 1
5.
Строим
 h ( i ) z
H ( z ) 
функцию
i
z
K
корни
,
которой
i0
совпадают с корнями
H ( z )
, лежащими внутри и на единичной окружности.
6. Строим передаточную функцию искомого минимально-фазового
K
фильтра
H ( z )  h ( K ) H ( z ) 
 h (i ) z
i
h ( i )  h ( i ) h ( K ) .
,
Значение
h(K )
i0
определяем
K

из
условия
H (  )
H () 
,
эквивалентного
равенству
2K
h(K ) 
i0
 h ( i ) . Из последнего равенства и выражений для
H  ( z )
и
H (z)
i0
следует, что
 K 1

  h  ( i )  1  .
 i0

2K
h(K ) 
 h ( i )
i0
_________________ . ________________
Пример 9.18. Рассчитать минимально-фазовый равнополосный ФНЧ
наименьшего порядка N при wгп = 0,125, wгз = 0,375;
п1 = 0,02, з1 = 0,003.
Решение. По формулам (9.88) находим п = 0,04; з = 4,510–8. Тогда из
формулы (9.85) следует, что Kн = 6. Аппроксимируемая функция примет вид
1  3,99995  10  4  1 при 0  w  0 ,125 ,
B (w)  
 0 при 0 ,375  w  0 ,5 .
Находим по формуле (9.87) весовую функцию:
1 при 0  w  0 ,125 ,
q(w)  
 888889 при 0 ,375  w  0 , 5 .
С помощью алгоритма Ремеза определяем
последовательно построены функции
 6 ( w , {c})
[19, 45]. Анализ показал, что функция
требованиям, т.е.
 опт ( w , {c})   9 ( w , {c})
647
 опт ( w , {c})
,
 7 ( w , { c })
 9 ( w , { c })
,
. Для этого были
 8 ( w , { c })
и
 9 ( w , { c })
удовлетворяет заданным
. По полученной функции строим
функцию

( )
( w ,{ c })   опт ( w ,{ c })  0,19  10
7
, а по коэффициентам последней
‒ передаточную функцию
H ( z ) 
18
 h ( i ) z .
i
i0
Таблица 9.12
i
Значения ИХ h(i)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0390416
0,1895547
0,3880348
0,3955276
0,1442823
–0,0923005
–0,1018407
–0,0049612
0,02901673
0,01067023
мп
0,00828240
мз
0,00019770
Определив ее корни, записываем передаточную функцию
9
H (z) 
 h (i ) z ,
i
i0
корни которой совпадают с корнями
H ( z )
, лежащими внутри единичной
окружности (корней, лежащих на единичной окружности, в данном примере
9
18
i0
i0
нет), причем  h ( i )   h ( i ) . Значения импульсной характеристики этого
фильтра
и
максимальные
аппроксимации
значения
 мп  max 1  H (  )
 мз  max H (  )
абсолютных
при 0  w  0 ,125 ,
при 0 ,375  w  0 ,5
приведены в табл. 9.12.
_____________________ . ____________________
648
погрешностей
Сравним приведенные методы синтеза нерекурсивных фильтров. Метод
взвешивания для АЧХ простой формы легко реализуется, однако дает
невысокую точность аппроксимации вблизи точек разрыва частотных
характеристик. Использование сложных окон (например, окна Кайзера)
уменьшает погрешность аппроксимации, однако существенно усложняет
процедуру расчета фильтра и не позволяет получать удобные математические
формулы для вычисления импульсных характеристик ЦФ. Более эффективным
способом борьбы с систематическими погрешностями аппроксимации из-за
явления Гиббса остается линейное доопределение АЧХ в полосе безразличия с
последующим применением других методов синтеза НЦФ.
Методы частотной выборки и разложения в тригонометрический ряд
Фурье для частотных фильтров также просты в реализации, причем метод
разложения в ряд Фурье позволяет для избирательных фильтров получить
аналитические выражения (формулы) для вычисления ИХ фильтров, что
удобно как при практических расчетах, так и в теоретических исследованиях
фильтров. При увеличении порядка проектируемого ЦФ использование этого
метода позволяет рассчитать только новые значения ИХ, поскольку ранее
рассчитанные значения сохраняются, изменяя только свою нумерацию (см.
пример 9.12).
По точности представления частотных характеристик метод частотной
выборки при одинаковых условиях обычно превосходит метод взвешивания,
но уступает методу разложения аппроксимируемой функции в
тригонометрический ряд Фурье. Последнее связано с тем, что метод частотной
выборки является дискретным вариантом непрерывного метода разложения в
ряд Фурье для фильтров вида 1 и 2 (сравните алгоритмы вычисления для этих
методов), а замена непрерывной формулы на дискретную приводит к
дополнительной погрешности. Погрешность в методе частотной выборки
возникает только между точками частотных отсчетов (в самих точках
частотная характеристика воспроизводится без погрешности, т.е. имеет место
её интерполяция), а при использовании метода разложения в
тригонометрический ряд погрешность распределяется по всем значениям
частоты в диапазоне от 0 до 0,5.
С увеличением порядка фильтра N погрешность аппроксимации в этих
методах уменьшается. Поэтому их целесообразно использовать при больших
649
порядках проектируемых фильтров (N=5000…10000), когда применение
других методов становится практически невозможным. Фильтры такого
высокого порядка представляют собой почти идеальные избирательные
фильтры, которые применяются при моделировании сложных систем на ЭВМ.
Оптимизационные методы расчета НЦФ (метод наименьших квадратов
и метод наилучшего равномерного приближения) по точности аппроксимации
значительно превосходят неоптимизационные методы. Как отмечено в [19] и
следует из приведенных ранее примеров синтеза частотных фильтров, при
одних и тех же значениях N максимальная погрешность аппроксимации в
полосах пропускания и задерживания даже для метода разложения в ряд Фурье
оказывается примерно в 40 раз больше, чем для метода наименьших квадратов,
и примерно в 100 раз больше, чем для метода чебышевской аппроксимации.
Метод наименьших квадратов требует для своей реализации
значительного объёма вычислений, так как для решения задачи
аппроксимации в этом случае необходимо определять коэффициенты и правые
части системы линейных алгебраических уравнений и решить эту систему (см.
(9.80)). Его целесообразно использовать в тех случаях, когда применяется
сложная целевая функция, минимум которой соответствует искомому
решению (см. пример 9.15), или когда необходимо учитывать дополнительные
ограничения на ИХ фильтра. По точности аппроксимации метод занимает
промежуточное положение между методами разложения в ряд Фурье и
наилучшей равномерной аппроксимации.
Метод наилучшего равномерного приближения реализуется, как
правило, в виде эффективного алгоритма Ремеза. Он позволяет [19]:
- рассчитать фильтр заданного порядка N, для которого максимальная
абсолютная погрешность аппроксимации в полосах пропускания и
задерживания будет минимальна;
- по заданной максимальной абсолютной погрешности аппроксимации в
полосах пропускания и задерживания рассчитать фильтр наименьшего порядка
N m in , АЧХ которого удовлетворяет поставленным требованиям;
- точно задать отношения между абсолютными погрешностями
аппроксимации в различных частотных полосах с помощью весовой функции.
Алгоритм
Ремеза
целесообразно
использовать
для
расчета
нерекурсивных частотных фильтров всегда, за исключением тех случаев, когда
650
следует использовать методы частотной выборки, разложения в ряд Фурье или
наименьших квадратов, поскольку он наиболее точный из всех методов.
Следует, однако, иметь в виду, что этот алгоритм весьма сложен в реализации
и его использование невозможно без ЭВМ и специального программного
обеспечения.
9.7. Методы расчета рекурсивных цифровых фильтров
В отличие от НЦФ устойчивые физически реализуемые рекурсивные
фильтры в общем случае не обладают точно линейной фазовой
характеристикой (за исключением частного случая, когда все полюсы H(z)
размещаются на единичной окружности). В связи с этим при расчете РЦФ
всегда приходится рассматривать заданные и амплитудную, и фазовую
характеристики.
Решение задачи расчета РЦФ сводится к определению значений его
коэффициентов bj и aj (коэффициенты фильтра в РЦФ не совпадают со
значениями
его
импульсной
характеристики),
обеспечивающих
воспроизведение заданных характеристик фильтра, в качестве которых могут
быть использованы импульсная и частотная характеристики, характеристика
группового времени замедления и т.д. Поскольку точное воспроизведение
этих характеристик невозможно, задача расчета РЦФ также является
аппроксимационной задачей и может быть решена чисто математическими
методами.
Область, в которой производится аппроксимация, определяется
назначением фильтра. Так, если аппроксимация производится в z-плоскости,
результирующий фильтр будет цифровым. Если же она производится в sплоскости, результирующий фильтр будет аналоговым и потребуется
дополнительный этап его дискретизации. В соответствии с этим все методы
проектирования РЦФ можно разделить на три группы.
Первая группа методов основывается на аппроксимации данных
характеристик в непрерывной s-области с последующим применением
простых методов отображения в z-область. Вторую группу методов расчета
РЦФ образуют прямые методы расчета в z-области. Часто удается найти такое
расположение полюсов и нулей фильтра, при котором обеспечивается
аппроксимация непосредственно заданной характеристики фильтра. Третья
651
группа методов базируется на использовании процедуры оптимизации для
нахождения такого расположения полюсов и нулей в z-плоскости, при
котором обеспечивается аппроксимация заданной характеристики фильтра.
При этом обычно не удается получить формулы, связывающие коэффициенты
фильтра с известными параметрами заданной характеристики. Расчет
фильтров производится, как правило, численно ‒ методом последовательных
приближений.
Наибольшее распространение на практике получила первая группа
методов, особенно при расчете частотных фильтров. Это связано с тем, что при
таком подходе нет необходимости в создании специальной теории расчета
цифровых фильтров. Для этого можно использовать хорошо разработанную
теорию расчета фильтров непрерывного времени, базирующуюся на широком
классе известных аналоговых фильтров: Баттерворта, Бесселя, Чебышева,
Кауэра и др. [19, 45]. Последующее применение известных методов
дискретизации (перехода от непрерывной области к дискретной) позволяет
относительно просто решать поставленную задачу проектирования РЦФ.
Методы расчета по фильтрам непрерывного времени различаются
между собой способами дискретизации передаточной функции H(s)
непрерывного
фильтра.
Наиболее
распространенными
методами
дискретизации являются [45]:
- метод отображения дифференциалов;
- метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;
- метод билинейного преобразования;
- метод согласованного z-преобразования.
Для иллюстрации методики проектирования РЦФ рассмотрим метод
билинейного преобразования.
Билинейное преобразование представляет собой конформное
отображение s-плоскости в точки z-плоскости и использует замену
переменной вида
s   (1  z
1
) (1  z
1
),
(9.89)
где  ‒ постоянный множитель, значение которого не меняет форму
преобразования.
652
Применение (9.89) обеспечивает
однозначное преобразование
передаточной функции H(s) аналогового фильтра-прототипа в передаточную
функцию H(z) рекурсивного цифрового фильтра:
H ( z)  H (s)
s   (1  z
При
этом
s-плоскости ( s   
преобразовании
j
плоскости ( z  exp((  
1
) (1  z
1
(9.90)
).
каждой
точке
комплексной
) ставится в соответствие определенная точка z-
jw )  t ) ).
Мнимая ось s-плоскости ( s 
j
для
отображается в единичную окружность z-плоскости ( z  exp(
    )
jw  t )
). Левая
половина s-плоскости ( Re( s )  0 ) отображается в часть z-плоскости внутри
единичного круга (
z  1 ),
что позволяет из устойчивого аналогового фильтра
получить устойчивый цифровой рекурсивный фильтр.
Соотношение между частотами аналогового фильтра («аналоговыми»
частотами)  и цифрового фильтра («цифровыми» частотами»)  можно
j  t
определить из (9.89) подстановкой s = j и z  e
. Оно выражается
следующим соотношением:
   tg(   t 2 )   tg  w .
(9.91)
На рис. 9.6 представлен график зависимости (9.91) для случая  = 1.

3
2
1
0
0,25
0,5
w
Рис. 9.6. График зависимости между частотами аналогового и
цифрового фильтров
Из соотношения (9.91) и его графика следует, что при небольших
значениях w отображение частот почти линейно, однако для основной части
частотной шкалы оно существенно нелинейно и сильно ограничивает область
применения билинейного преобразования. Действительно, в общем случае
при использовании преобразования (9.91) частотная характеристика
цифрового фильтра будет представлять собой деформированную частотную
653
характеристику преобразуемого аналогового фильтра. По этой причине,
например, билинейное преобразование нельзя использовать для
преобразования аналогового дифференцирующего фильтра в цифровой
дифференциатор.
Для довольно большого практически важного класса частотноизбирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ) частотная деформация,
описываемая соотношением (9.91), может быть скомпенсирована. Метод
компенсации деформации достаточно прост. Совокупность характерных
частот среза полос пропускания и задерживания ЦФ известна. Используя
соотношение (9.91), по ним можно найти все граничные частоты среза
аналогового фильтра, на основе которых рассчитать соответствующий
аналоговый фильтр. Выполнив последующее билинейное преобразование
этого фильтра, можно получить цифровой фильтр, все частоты которого
будут совпадать с заданными. При этом следует иметь в виду, что
компенсация касается только АЧХ фильтра; ни ФЧХ, ни импульсная
характеристика аналогового и цифрового фильтров совпадать не будут.
Выбор параметра  по формуле
  ctg(  гп  t / 2 )  ctg  w гп
(9.92)
приводит к нормированному аналоговому фильтру-прототипу (п = 1), что
удобно при использовании справочников по аналоговым фильтрам.
Пример 9.19. Проиллюстрировать процедуру синтеза рекурсивного
цифрового ФНЧ методом билинейного преобразования при следующих
требованиях к АЧХ: неравномерность АЧХ в полосе пропускания не более
Ап, максимальное отклонение от нуля в полосе задерживания Аз,
граничные нормированные частоты полос пропускания wгп и задерживания
wгз,  = 1.
Решение. По выражению (9.91) находим граничные «аналоговые»
частоты полосы пропускания п и полосы задерживания з:
 п  tg  w гп ,  з  tg  w гз
Определяем
по
этим
частотам
.
передаточную
функцию
H (s)
аналогового фильтра-прототипа с неравномерностью АЧХ в полосе
пропускания [ 0 ,  п ]  Aп и отклонением от нуля в полосе задерживания
[  з ,  ] , равным  A з . После этого, выполняя билинейное преобразование
654
(9.89), получаем РЦФ, удовлетворяющий поставленным требованиям.
Описанную процедуру синтеза иллюстрирует рис. 9.7.


з
п
A ( ) 1 1 –  А п
Аз
0
0
w
A (w )
1
1 – Ап
Аз
0
w гп
w гз
0,5
w
Рис. 9.7. Иллюстрация процедуры синтеза цифрового фильтра
по аналоговому
_______________ . _______________
Пример 9.20. Рассчитать рекурсивный цифровой ФНЧ с
использованием результатов расчета аналоговых фильтров, приведенных в
справочнике [19], для следующих исходных данных: частота дискретизации
fд = 8 кГц, граничная частота полосы пропускания fгп = 1 кГц, граничная
частота полосы задерживания fгз= 3 кГц, верхняя граница рабочего затухания
в полосе пропускания а = 1,4 дБ, гарантированное затухание в полосе
задерживания а0 = 40 дБ.
(  a   20 lg(1   A п ), a 0   20 lg  A з ) .
Решение. Алгоритм расчета РЦФ по справочнику [19] включает в себя
следующие этапы.
1. Расчет нормированных «цифровых» граничных частот
w гп  f гп / f д ; w гз  f гз / f д .
2. Определение значения параметра  (см. формулу (9.92).
3.
Нахождение
граничной
«аналоговой»
задерживания аналогового фильтра-прототипа.
655
частоты
з
полосы
4. Определение передаточной функции аналогового фильтра-прототипа
нижних частот требуемого типа (на базе фильтров Баттерворта, Чебышева,
Кайзера и т.д.) [19, 45]:
а) определение модуля коэффициента отражения | p| по заданной верхней
границе рабочего затухания a в полосе пропускания;
б) определение порядка фильтра по номограммам [19].
в) запись передаточной функции H(s) аналогового фильтра данного
типа и его порядка в общем виде;
г) определение численных значений коэффициентов передаточной
функции с учетом модуля коэффициента отражения | p| по таблицам
справочника ([19], с. 44—387);
д) запись передаточной функции H(s) с численными значениями
коэффициентов.
5. Определение передаточной функции H(z) цифрового ФНЧ с
помощью билинейного преобразования (9.89).
6. Контрольный расчет АЧХ полученного ЦФ.
Выполним представленный алгоритм расчета для заданных исходных
данных.
1.
w гп  1  10 /( 8  10 )  0 ,125
2.
  ctg   0 ,125  2 , 414214
3
и
3
w гз  3  10 /( 8  10 )  0 ,375
3
3
.
.
3.  з  2 , 414214  tg  0 ,375  5 ,82 .
4. Передаточная
Баттерворта:
функция
аналогового
фильтра
типа
фильтра
а) для а = 1,4 дБ следует выбрать | p| = 50 %;
б) порядок фильтра при | p| = 50 % и а0 = 40 дБ получается равным 3
(см. [4]).
в) общий вид H(s):
H ( s )  (1 / c )  1 /( s  a 0 ) /[ s  2 a1 s  ( a1  a 2 )];
2
г) коэффициенты H(s) [4]:
2
c  0 , 57735 ;
2
a 0   1, 200937 ;
a 2  1, 040042 ;
д) передаточная функция c H(s) с коэффициентами:
H ( s )  1, 732052 /( s  1, 200937 ) /( s  1, 200936 s  1, 472249 ).
2
656
a1   0, 600468;
5. Передаточная функция ЦФ H(z), получаемая из H(s) подстановкой
(9.89):
H ( z )  1, 732052  (1  z
( 3, 615151  1, 213278 z
1
1
)  (1  z
1 2
)
) /(10 ,169994  8 , 77236 z
1
 4 ,371362 z
2
).
Из полученной передаточной функции могут быть определены значения
всех коэффициентов аj и bk ФНЧ рекурсивного типа.
_______________ . _______________
Завершим главу небольшим сравнением нерекурсивных
и
рекурсивных фильтров. Оба класса фильтров обладают рядом преимуществ и
недостатков. Преимущества НЦФ по сравнению с РЦФ сводятся к
следующему.
Нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ.
Мощность собственных шумов (дисперсия погрешностей округления)
НЦФ, как правило, гораздо меньше, чем у РЦФ, и не имеет тенденции к
накапливанию в силу отсутствия обратных связей в таких фильтрах. Она
равна нулю, т.е. у НЦФ отсутствуют собственные шумы в том случае, если
операции сложения и умножения выполняются без округлений. В РЦФ
мощность собственных шумов принципиально не может равняться нулю,
поскольку в цепи обратной связи этих фильтров всегда должно выполняться
округление при вычислении произведений отсчетов сигнала на
коэффициенты фильтра.
Для НЦФ проще вычисление коэффициентов, что объясняется
линейной зависимостью аппроксимирующей функции от коэффициентов.
НЦФ являются принципиально устойчивыми системами, в то время как
устойчивость РЦФ априори гарантировать нельзя. Устойчивость РЦФ всегда
необходимо проверять по тому или иному критерию устойчивости (см. §8.6).
Для РЦФ, находящихся на границе устойчивости, накопление внутренних
шумов может привести к потере устойчивой работы.
Главным недостатком НЦФ по сравнению с РЦФ является то, что при
одинаковых требованиях к АЧХ, отсутствии требований к линейности ФЧХ и
постоянной частоте дискретизации они требуют при своей реализации
выполнения существенно большего числа арифметических операций. Этот
недостаток для некоторых фильтров удается уменьшить разработкой
специальных быстрых алгоритмов нерекурсивной фильтрации либо переходом
657
к более простым алгоритмам квазиоптимального типа (например, применение
робастного подхода к цифровой фильтрации сигналов) [7, 45]. Такие алгоритмы
мы рассмотрим в последующих главах применительно к полиномиальным
фильтрам.
Вопросы и задачи для самопроверки
1. Приведите классификацию НЦФ по виду ИХ.
2. Какие виды НЦФ с линейной ФЧХ вы знаете?
3. Какими особенностями обладают минимально-фазовые НЦФ?
4. Запишите АЧХ и ФЧХ всех видов НЦФ в функции нормированной
частоты w.
5. Определите области применения всех видов НЦФ с линейной
ФЧХ при проектировании типовых избирательных фильтров.
6. Сформулируйте основные этапы проектирования НЦФ.
7. Приведите
графики
аппроксимируемых
АЧХ
типовых
избирательных фильтров.
8. Запишите
аппроксимирующие
функции
для
типовых
избирательных фильтров и преобразователей Гильберта.
9. Сформулируйте задачу аппроксимации для минимально-фазовых
фильтров.
10. Запишите аппроксимирующую функцию для дифференцирующесглаживающего фильтра.
11. Опишите метод взвешивания для проектирования частотных
фильтров.
12. Объясните
причину
возникновения
систематических
переменностей
аппроксимации
АЧХ при использовании метода
взвешивания.
13. Объясните назначение оконных функций в методе взвешивания.
Какие оконные функции вам известны?
14. Рассчитайте с помощью метода взвешивания с окнами Ганна и
Хэмминга ФВЧ с параметрами: N=11; 15; wгз = 0,125; wгп =0,375.
15. Рассчитайте с помощью метода взвешивания с окнами Ганна и
Хэмминга ПФ с параметрами: N=11; 15; wгз1 = 0,1; wгп1 =0,2; wгп2 =0,3; wгз2
= 0,4.
658
16. Рассчитайте с помощью метода взвешивания с окнами Ганна и
Хэмминга РФ с параметрами: N=11; 15; wгп1 =0,1; wгз1 = 0,2; wгз2 = 0,3; wгп2
=0,4.
17. Поясните суть метода частотной выборки при проектировании
частотных НЦФ. Какие способы дискретизации частных характеристик в нем
используются?
18. Рассчитайте методом частотной выборки типовые избирательные
фильтры с параметрами, приведенными в задачах 14-16.
19. Рассчитайте методом разложения в тригонометрический ряд
избирательные фильтры с параметрами, приведенными в задачах 14-16.
20. Рассчитайте с помощью метода наименьших квадратов НЦФ с
параметрами, приведенными в задачах 14-16.
21. Рассчитайте с помощью алгоритма Ремеза ФВЧ с параметрами,
приведенными в задаче 14.
22. Назовите все известные вам методы проектирования РЦФ.
23. Поясните суть метода билинейного преобразования.
ГЛАВА 10
МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ
ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
10.1. Синтез оптимальных полиномиальных фильтров при помехе с
корреляционной функцией общего вида
Как уже отмечалось, функциональные фильтры часто используются в
системах обработки и управления для оценки параметров входного
полезного сигнала в условиях действия случайных помех. В зависимости от
решаемых задач обработки находят применение различные математические
модели полезного сигнала [34, 48], причем наиболее распространенными
являются полиномиальные модели, описывающие широкий класс входных
сигналов. Функциональные фильтры, служащие для оценки параметров
полиномиальных сигналов, называют еще полиномиальными фильтрами. К
659
их числу принадлежат и цифровые дифференцирующее-сглаживающие
фильтры (ЦДСФ), предназначенные для сглаживания, дифференцирования и
экстраполяции сигналов, искаженных случайными помехами [7, 48].
В
общем
случае
входной
сигнал
полиномиального
x (i )
ЦФ
представляется в виде аддитивной смеси полезного детерминированного
сигнала
u (i )
и случайной помехи
n (i ) :
x (i )  u (i )  n (i ) .
(10.1)
Полезная составляющая входного сигнала является полиномом r-го порядка
r
u (i ) 

p k g k (i )
(10.2)
k 0
с неизвестными коэффициентами (параметрами)
функциями
g k (i )
pk
и
известными
, а помеховая составляющая есть случайная функция
времени с известными статистическими характеристиками.
полиномиального ЦФ состоит в определении всех параметров
При наличии помехи точное определение
помощью ЦФ получаются оценки
p k , k  0, 1, ..., r
.
невозможно. Поэтому с
pk
параметров
pk
Назначение
pk
, в том или ином смысле
приближающиеся к их истинным значениям.
Необходимость определения всех
( r  1)
параметров приводит к
многоканальной структуре полиномиального ЦФ, каждый из каналов
которого может быть реализован в рекурсивном или нерекурсивном виде. В
данной книге рассматриваются только нерекурсивные полиномиальные ЦФ.
В этом случае оценка k-го параметра к j-му моменту текущего времени
представляется в виде уравнения
N 1
p k ( j) 
 x( j  i)h
r
k
( i ),
(10.3)
i0
где
x( j  i)
есть скользящая выборка входного сигнала, а
r
hk ( i )
‒ ИХ k-го
канала полиномиального ЦФ, что соответствует аппроксимации сигнала
x( j  i)
аппроксимирующей функцией
r
Ф [ i ,{ p k ( j )}] 

p k ( j ) g k ( i ).
(10.4)
k 0
Здесь и далее переменная j снова, как и в главе 7, означает текущее
дискретное время, а величина r, использующаяся в обозначении ИХ
660
r
hk ( i )
и
являющаяся максимальным порядком полиномов (10.2) и (10.4), называется
еще и порядком полиномиальных ЦФ (не путать с величиной N, называемой
порядком в частотных нерекурсивных фильтрах).
Показателем качества полиномиального ЦФ r-го порядка является
точность получаемых выходных оценок
p k ( j)
характеризуется математическим ожиданием
, которая количественно
M [ p k ( j )]
и дисперсией  k2 ( j ) .
Для входной помехи, представляемой стационарным случайным процессом с
нулевым математическим ожиданием и известной корреляционной функцией
R n ( ) (или
функцией спектральной плотности мощности
S n ( ) ),
эти величины
будут равны
(10.5)
M [ p k ( j )]   k p k ( j ),
 ( j)  
2
k
Здесь величины
k
2
k

t

 / t
2
S n ( ) Ak ( ) d  .

(10.6)
 / t
зависят от вида функций
g k (i )
,а
Ak ( ) является
АЧХ ЦФ
k-го канала.
Соотношение (10.5) выражает условие несмещенности оценки. Из него
следует, что при входном сигнале, содержащем только полезную
составляющую, оценка на выходе k-го канала должна с точностью до
множителя
k
совпадать
с
самим
параметром.
В
этом
случае
полиномиальный фильтр будет иметь заданную (в частном случае –
нулевую) систематическую (динамическую) выходную погрешность. Это
условие можно записать в другом эквивалентном и более удобном для
использования виде. Если
N 1
p k ( j) 
r

i0 m 0
x (i )  u (i )
, то из выражения (10.3) следует, что
r
N 1
p m ( j ) g m ( i ) h k ( i )   p m ( j )  g m ( i ) h k ( i ).
r
r
m0
i0
Тогда условие (10.5) представится так:
N 1
g
( i ) h k ( i )   k  m , k , m  0, 1, ..., r ,
r
m
(10.7)
i0
где
 m ,k
‒ символ Кронекера.
Дисперсия (10.6) случайных погрешностей оценки k-го параметра через
АЧХ
Аk ( )
фильтра зависит от ИХ
полиномиального ЦФ, ИХ
r
hk ( i )
r
hk ( i )
. Ставя задачу оптимального синтеза
следует искать из уравнения
661
 k  m in
2
,
(10.8)
добавив к нему в виде ограничения требование (10.7) несмещенности оценки.
В такой постановке задача синтеза оптимальных полиномиальных фильтров
известна как задача Заде-Рагацини [34].
Непосредственная минимизация показателя (10.6) затруднительна,
поэтому целесообразно его представить в другой эквивалентной и более
удобной для решения задачи синтеза ЦФ форме, обеспечивающей
выполнение условий (10.8) и (10.7). Рассмотрим оценку
pk ( j)
как случайную
функцию времени j и найдем ее корреляционную функцию
N 1
N 1
R k ( j1 , j 2 )  M [ p k ( j1 ) p k ( j 2 )]  M {[  x ( j1  i1 ) h k ( i1 )][  x ( j 2  i 2 ) h k ( i 2 )]} 
r
r
i1  0
i2  0
N 1 N 1

h
r
k
( i1 )hk ( i2 )  M [ x ( j1  i1 ) x ( j 2  i2 )],
r
i1  0 i2  0
где M означает операцию
математическое ожидание
вычисления математического
ожидания. Но
M [ x ( j1  i1 ) x ( j 2  i2 )]  M [ n ( j1  i1 ) n ( j 2  i 2 )]  R n ( j1  i1 , j 2  i 2 ).
Поэтому получаем
N 1 N 1
R k ( j1 , j 2 ) 
R
( j1  i1 , j 2  i2 ) hk ( i1 ) hk ( i2 ).
r
n
r
i1  0 i2  0
Из этой формулы можно найти зависимость для дисперсии оценки k-го
параметра:
N 1 N 1
 k  R k (0, 0) 
2
R
r
n
r
( i1 , i2 ) h k ( i1 ) h k ( i 2 ),
(10.9)
i1  0 i2  0
отражающей её связь с искомой ИХ
r
hk ( i )
фильтра и корреляционной
функцией входной помехи.
Условие несмещенности оценки превращает задачу аналитического
синтеза оптимального полиномиального фильтра в задачу нахождения
условного экстремума функционала (10.9) при наличии системы ограничений
вида (10.7). Решение такой задачи может быть выполнено методом
неопределенных множителей Лагранжа [23, 48]. В соответствии с ним
условный экстремум (10.9) эквивалентен безусловному экстремуму
лагранжиана
662
N 1 N 1
L [ h ( i ),{  m }] 
r
k

i1  0 i2  0
где
m
N 1
N 1
R n ( i1 , i2 ) hk ( i1 ) hk ( i2 )  2   m [  g m ( i ) hk ( i )   m  m , k ]
r
r
r
m0
i0
‒ неопределенные множители Лагранжа.
Экстремум лангражиана достигается путем решения системы
алгебраических уравнений, получаемых с помощью его дифференцирования
по неизвестным
r
hk ( i )
и
m :
 L [ hk ( i ),{ m }]
r
 hk ( i )
r
 0,
 L [ hk ( i ),{  m }]
i  0, 1, ..., N  1,
r
m
 0,
m  0,1, ..., r .
В развернутой форме записи эта система имеет следующий вид:
N 1
R
r
n

( j , i ) h (i ) 
r
k
i0
m
g m ( j )  0,
m0
N 1
g
m
(i ) h (i )   m  m ,k ,
r
k
i0

j  0, 1, ..., N  1, 



m  0, 1, ..., r

(10.10)
и может быть записана так же в компактной блочно-матричной форме:
R G   H   0 
 T
    ,
G 0   λ   M 
(10.11)
где приведенные матрицы равны
 R n (0, 0)
.
R  
 R n ( N  1, 0)
R n (0,1)
...
.
.
R n ( N  1,1)
...
 g 0 (0)
.
G  
 g 0 ( N  1)
T
H
λ
T
M
g 1 (0)
...
.
.
g 1 ( N  1)
...
R n (0, N  1)


.
,

R n ( N  1, N  1) 


.
,

g r ( N  1) 
g r (0)
 [ hk (0) hk (1) ... hk ( N  1)],
r
r
r
 [  0 1 ...  r ],
T
 [  0  1 ...  r ],
а матрица – столбец 0 является нулевой матрицей.
Решение системы (10.11) позволяет получить
вычисления оптимальной ИХ [48]:
1
1
1
Η  R G (G R G ) M .
T
При этом дисперсия оценки k-го параметра будет равна
663
выражение
для
(10.12)
 k  H RH .
2
(10.13)
T
В общем случае нахождение окончательных выражений для ИХ
r
hk ( i )
по формуле (10.12) затруднительно, поскольку требует выполнения
большого объема расчетной работы. При этом основная трудность состоит в
обращении матриц:
сначала
R
, а затем
T
1
( G R G ).
Те же проблемы
сохраняются и при использовании формулы (10.12) для расчета численных
r
значений ИХ h k ( i ) , хотя в этом случае можно эффективно использовать
ЭВМ.
Следует отметить, что общее решение задачи синтеза оптимального
ЦФ в виде (10.12) является некорректным по Тихонову [58], поскольку
обладает высокой
чувствительностью по отношению к изменениям
используемой корреляционной функции. Если реальная корреляционная
функция помехи, поступающей на вход фильтра, отличается от
алгоритмической
R ( ) ,
используемой при расчете фильтра, то реальная и
алгоритмическая (10.13) дисперсии оценок тоже будут различаться. При этом
различие в дисперсии может оказаться существенным даже при малом
расхождении в корреляционных функциях. Математически это может быть
связано с плохой обусловленностью матрицы R (её определитель близок к
нулю) и с возникающими при этом сложностями в вычислении обратной
матрицы R 1 . Для снижения чувствительности решения (10.12) к изменениям
корреляционной функции используют различные существующие методы его
регуляризации [58]. Одним из таких методов является спектральный метод
синтеза оптимальных полиномиальных ЦФ, рассмотренный в следующей
главе.
Для случая некоррелированной помехи решение (10.12) является
корректным и при помехи типа физического белого шума ИХ фильтра могут
быть найдены из общей формулы (10.12) с использованием
автокорреляционной функции
 n sin[ в  t ( i1  i2 )]
2
R ( i1 , i2 ) 
где
n
2
 в  t ( i1  i2 )
‒ дисперсия входной помехи
n (i ) ,
а
,
в
(10.14)
‒ верхняя частота частотного
спектра помехи (частота среза). При помехе типа математического белого
шума матрица
664
R  nE
2
(Е – единичная матрица), решение (10.12) значительно упрощается и ИХ
фильтра можно вычислить по формуле
1
Η  G (G G ) M .
T
(10.15)
В этом случае импульсные характеристики полиномиального фильтра
зависят только от вида функций
g k (i )
.
Для этого случая упрощается и запись дисперсии оценки, которая
принимает следующий вид:
N 1
 k   n H H   n  [ hk ( i )]
2
2
T
2
r
2
(10.16)
i0
и зависит только от дисперсии входного шума и вида ИХ фильтра.
Чтобы сделать показатель качества полиномиальных фильтров
инвариантным по отношению к дисперсии входной помехи, часто в
полиномиальной фильтрации вместо дисперсии пользуются коэффициентом
сглаживания (коэффициентом фильтрации)
k   k /  n
r
2
2
.
(10.17)
Для некоррелированной помехи типа математического белого шума он будет
равен
N 1
 
r
k
 [h
r
k
2
( i )] .
(10.18)
i0
Коэффициент сглаживания особенно полезен при сравнительном анализе
различных полиномиальных фильтров.
10.2. Синтез оптимальных цифровых дифференцирующе-сглаживающих
фильтров
ЦДСФ используются для многократного дифференцирования
полезного
сигнала,
искаженного
случайной
помехой.
В
них
аппроксимирующая функция представляется степенным полиномом (9.39) с
параметрами
p k ( j)
, с точностью до постоянного множителя
совпадающими с оценкой k-й производной
(k )
u
( j)
полезного сигнала, т.е.
p k ( j )  u ( j )  t / k !.
k
По этой причине для них функции
665
k
t / k !
k
g k (i )  i ,
k
а элементы
 k  (  1) , k  0, 1, .., r .
k
Значения ИХ для оптимальных ЦДСФ могут быть найдены из общих
матричных уравнений (10.12) и (10.15), если принять в них
1

1
G  
.

1
0


1


.
r 
(N - 1) 
...
1
1
0
r
...
.
.
(N - 1)
1
...
и
M
T
 [0...0(  1) 0...0].
k
Пример 10.1. Определить ИХ оптимального ЦДСФ 1-го порядка для
случая представления помехи в виде математического белого шума. Найти
также его коэффициенты сглаживания.
Решение. В этом случае r =1, k=0; 1 и матрица
1

1
G  
 ...

1
Алгоритмы вычисления ИХ
1
h0 ( i )
и


1
.
... 

N  1
0
1
h1 ( i )
следуют из общего уравнения (10.15)
и отличаются только видом матриц-столбцов М, которые соответственно
равны
M 0  [1 0],
T
M 1  [0  1].
T
Расчеты по формуле (10.15) тогда дают следующие результаты:
 N 1
 1
i0
Т
G G 
N 1

 i
 i0
Т
(G G )
1
N 1


N

i0

N 1
2
 N ( N  1)
i
   2
i0

i


2
,
N ( N  1)(2 N  1) 
6

 N ( N  1)(2 N  1)

6

12
 2
.
.

2
N ( N  1)

N ( N  1)



2
666
N ( N  1)
N ( N  1) 

2

.
. ,

N



Т
C = G (G G )
1
N ( N  1)(2 N  1)


6

 N ( N  1)(2 N  1)  1  N ( N  1)

6
2
12


.
.
.
.
2
2
N ( N  1) 
 N ( N  1)(2 N  1)
N ( N  1)
 ( N  1) 

6
2



N ( N  1)


2

N ( N  1)


 1 N

2

.
. ,


N ( N  1)

 ( N  1)  N 
2




а матрицы значений ИХ равны
N ( N  1)(2 N  1)




6


 N ( N  1)(2 N  1)  1  N ( N  1)



6
2
12


H 0  CM 0  2
.
.
.
. ,
2


N ( N  1)
 N ( N  1)(2 N  1)
N ( N  1) 
 ( N  1) 


6
2






N ( N  1)




2


 N ( N  1)  1  N



2
12


H1  CM 1 
.
.
. .
2
2


N ( N  1)
 N ( N  1)

 ( N  1)  N 

2






Из этих матриц несложно получить аналитические выражения для ИХ ЦДСФ
1-го порядка:
2(2 N  1)  6 i 
,
N ( N  1)


6( N  1)  12 i 
1
h1 ( i ) 
,
2

N ( N  1)
h0 ( i ) 
1
(10.19)
а с их помощью по формуле (10.18) найти коэффициенты сглаживания для
параметров
p 0 ( j)
и
p1 ( j)
4N  2

, 
N ( N  1) 

12
1

1 
.
2

N ( N  1) 
0 
1
667
(10.20)
При выводе зависимостей (10.19) и (10.20) использованы известные
формулы для сумм натурального ряда чисел и квадратов натурального ряда
чисел.
_______________ . _______________
Вычисление ИХ оптимальных ЦДСФ по общим формулам (10.12) и
(10.15) остается весьма трудоемкой задачей. Для случая представления
помехи в виде математического белого шума, который часто применяется на
практике, эту задачу можно существенно упростить, если использовать при
синтезе ЦДСФ метод наименьших квадратов (см. §2.4).
В этом случае задача синтеза ЦДСФ
сводится к задаче
аппроксимации во временной области функционального пространства l 2 и
минимизируется общая погрешность аппроксимации входного сигнала
x( j  i)
рядом (9.39), а искомые параметры
N 1
 [ x ( j  i )   ( i ,{ p m ( j )}] 
2
i0
N 1
 [ x( j  i) 
i0
решение
которого
эквивалентно
алгебраических уравнений:
N 1
r
 (  1)
m0
m
p m ( j) i
i0
mk
находятся из уравнения
p k ( j)
r
 (  1)
m
p m ( j ) i ]  m in,
m
2
(10.21)
m0
решению
следующей
системы
N 1

 x ( j  i )i
k
, k = 0, 1, ..., r.
(10.22)
i0
Использование способа Крамера позволяет получить общее решение
системы (10.22) в виде
p k ( j)   k / ,
где

(10.23)
‒ главный определитель системы (10.22), а
k
‒ k-й частный
определитель, получающийся из главного заменой его k-го столбца на
столбец свободных членов системы. Выражая
k
через элементы столбца
свободных членов, решение (10.23) можно представить следующим образом:
N 1
p k ( j) 

r
x ( j  i )[(  1)
i0
где
 k (m )
k
i
m
 k ( m ) /  ],
(10.24)
m0
означают алгебраические дополнения k-го определителя по
элементам m-го столбца.
Из сравнения зависимостей (10.3) и (10.24) следует, что решение,
получаемое с помощью метода наименьших квадратов, представляется в
виде нерекурсивного цифрового фильтра с импульсной характеристикой
668
(  1)
h (i ) 
r
k
k

r
i
m
 k ( m ).
(10.25)
m 0
Это решение является корректным, несмещенным и совпадает с общим
решением(10.15) оптимизационной задачи для случая некоррелированной
помехи.
Пример 10.2. Найти ИХ ЦДСФ 1-го порядка по условию предыдущего
примера.
Решение. В этом случае r=1 и система (10.22) содержит два уравнения:
N 1
N 1
N 1



i0
i0
i0

N 1
N 1
N 1
2
p 0 ( j )  1  p 1 ( j )  i   x ( j  i ) i.

i0
i0
i0

p 0 ( j ) 1  p1 ( j ) i 
 x ( j  i ),
(10.26)
Главный определитель этой системы
N 1
i
 
i0
N 1
i
i0
N 1
 i
i0
N ( N  1)
N ( N  1)
2

N ( N  1)(2 N  1)
2
i0
N ( N  1)
2
2

N 1
 i

N
 
2
,
12
6
а частные определители имеют следующий вид:
N 1

0 
x( j  i)
N 1
N ( N  1)

2
i0
N 1
 x ( j  i )i

N ( N  1)(2 N  1)
, 1 
i0
N ( N  1)
6
i0
 x( j  i)
N
2
N 1
.
 x ( j  i )i
i0
Их алгебраические дополнения равны
 0 (0)  
N ( N  1)(2 N  1)
6
,  0 (1) 
N ( N  1)
2
, 1 (0)  
N ( N  1)
2
, 1 (1)  N .
Поэтому
h0 ( i ) 
1
h1 ( i ) 
1
1

1

[  0 (0)   0 (1) i ] 
[ 1 (0)  1 (1) i ] 
2( N  1)  6 i
N ( N  1)
6( N  1)  12 i
N ( N  1)
2
,
.
Данное решение совпадает с результатами предыдущего примера. При этом
получено оно более простым путем.
_______________ . _______________
669
Есть еще один способ решения системы алгебраических уравнений –
способ Гаусса [6]. Применение его к системе (10.22) позволяет получить
другую форму записи искомых параметров, в которой каждый k-й параметр
выражается через параметры с более высокими номерами:
N 1
p k ( j) 

r
x ( j  i )h k ( i ) 
k
i0
где

k  0, 1, ..., r  1,
p m ( j ) d ( N , k , m ),
(10.27)
m  k 1
величины
представляют
d (N , k, m)
собой
коэффициенты
компенсационных членов при учете параметров с высшими номерами,а
hk ( i ) ,
k
как и прежде, являются ИХ k-го канала ЦДСФ k-го порядка. Для заданного r
ИХ
k
hk ( i )
и компенсационные коэффициенты
d (N , k, m)
могут быть найдены из
решения системы уравнений (10.22). Представление уравнений ЦДСФ r-го
порядка в форме (10.27) носит название компенсационной формы их записи.
При компенсационной форме записи уравнений ЦДСФ коэффициенты
сглаживания так же можно представить в виде компенсационного
выражения:
r

  
r
k
k
k
 m [ d ( N , k , m )] .
r
2
(10.28)
m  k 1
Пример 10.3.
Записать уравнения ЦДСФ первого порядка в
компенсационной форме.
Решение. Перепишем систему уравнения (10.26) с вычисленными
суммами степенных функций
N p 0 ( j) 
N ( N  1)
2
p1 ( j ) 
0
1
i ,i ,i
2
N ( N  1)
2
N 1
p1 ( j ) 
 x ( j  i ),
i0
N ( N  1)(2 Т  1)
6
N 1
p1 ( j ) 
 x( j  i)
i0
и, применив к ней процедуру Гаусса, в результате получим следующую
ступенчатую систему:
N p 0 ( j) 
N ( N  1)
N ( N  1)
2
 x ( j  i ),
i0
N 1
2
12
N 1
p1 ( j ) 
p1 ( j ) 

i0
Из нее легко находим, что
670
x ( j  i )(
N 1
2
 i ).
N 1
p1 ( j ) 
 x ( j  i )h
1
1
( i ),
i0
N 1
p 0 ( j) 
 x ( j  i )h
0
0
(i ) 
N 1
2
i0
p 1 ( j ),
где
6( N  1)  12 i
h1 ( i ) 
1
и совпадает с ИХ
1
h1 ( i )
N ( N  1)
2
предыдущих примеров, а
h0 ( i )  1 / N
0
и является ИХ нулевого параметра ЦДСФ нулевого порядка (сглаживающего
фильтра).
В рассмотренном ЦДСФ 1-го порядка компенсация вносится только в
параметр
по параметру
p 0 ( j)
p1 ( j) .
Поэтому в нем только один
компенсационный коэффициент
d ( N , 0,1)  ( N  1) / 2.
Коэффициент сглаживания
коэффициенты
0
0
и
1 .
1
можно найти по формуле (10.28), зная
0
1
Первый из них равен
N 1
0 ( j) 
0
1
 (N )
2
1/ N,
(10.29)
i0
а второй можно заимствовать из примера 10.1. Тогда получим
0 
1
1
N
(
N 1
2
) 
2
12
N ( N  1)
2

4N  2
N ( N  1)
.
Результат совпадает с результатом примера 10.1 (см. (10.20)).
_______________ . _______________
Пример 10.4. Записать уравнения ЦДСФ второго порядка в
компенсационной форме. Найти коэффициенты сглаживания для всех трех
его параметров.
Решение. В этом случае r =2 и система (10.22) будет содержать три
уравнения, в которые будут входить суммы степенных функций
2
i, i , i
3
и
i
4
.
Вычисляя эти суммы и решая уравнения способом Гаусса, можно получить
следующие выражения для искомых параметров:
671
N 1


i0

N 1

1
p 1 ( j )   x ( j  i ) h1 ( i )  ( N  1) p 2 ( j ),

i0

N 1

( N  1)
( N  1)(2 N  1)
0
p 0 ( j )   x ( j  i ) h0 ( i ) 
p1 ( j) 
p 2 ( j ), 
2
6
i0

p 2 ( j) 
 x( j  i)h
2
2
( i ),
(10.30)
где ИХ
h (i ) 
2
2
30( N  2)( N  1)  180( N  1) i  180 i
N ( N  4)( N  1)
2
2
2
.
(10.31)
Коэффициенты сглаживания, вычисленные по формулам (10.18) и (10.23),
будут равны


N ( N  1)( N  4)

2

192 N  360 N  132
2
1 
,

2
2
N ( N  1)( N  4)

3
2
69 N  177 N  144 N  42 
2
0 
.
2
N ( N  1)( N  4)

45
2 
2
2
2
,
(10.32)
В ЦДСФ 2-го порядка (10.30) компенсация вносится уже в два параметра: в
параметр
p 2 ( j ).
p1 ( j)
по параметру
p 2 ( j)
и в параметр
p 0 ( j)
по параметрам
p1 ( j)
и
Поэтому в нем используются три компенсационных коэффициента:
d ( N ,1, 2)  N  1, d ( N , 0,1)  ( N  1) / 2, d ( N , 0, 2)   ( N  1)(2 N  1) / 6.
_______________ . _______________
Компенсационная форма записи уравнений ЦДСФ оказывается
особенно удобной при построении адаптивных полиномиальных фильтров,
структура которых может подстраиваться под реально имеющуюся
полезную составляющую во входном сигнале. Число компенсационных
коэффициентов в ЦДСФ r-го порядка равно
r ( r  1) / 2 .
Из результатов приведенных примеров 10.1-10.4 следует, что в ЦДСФ,
где аппроксимирующая функция
имеет вид степенного полинома,
импульсная характеристика так же представляется степенным полиномом.
Причем максимальные степени аппроксимирующей
функции и ИХ
совпадают (т.е. равны r). Этот вывод справедлив для ЦДСФ любых
порядков. Кроме того, ИХ
k
hk ( i )
с четными номерами k являются четными
функциями i относительно середины интервала определения [0,N), а с
672
нечетными номерами – нечетными функциями. Следовательно, ФЧХ таких
ЦФ являются линейными функциями частоты.
10.3. Адаптивные полиномиальные фильтры
Под адаптивными фильтрами понимаются фильтры, параметры и
структура которых могут изменяться на основе текущей информации с целью
достижения некоторого заданного состояния при
начальной
неопределенности и изменяющихся условий работы. Адаптивные фильтры
могут приспосабливаться к изменению внешних и внутренних условий.
В полиномиальных фильтрах можно выделить два основных фактора
проявления неопределенности: 1) в начальных сведениях о статистике
помехи и 2) в сведениях о полезном сигнале. Отклонение реальных сведений
от тех, что были использованы при расчете фильтра, может привести к
существенному снижению качества фильтрации. Бороться с этим
недостатком можно с помощью использования двух возможных здесь видов
адаптаций: по помехе и по полезному сигналу.
При реализации полиномиальных фильтров с адаптацией по помехе
необходимо в процессе текущей работы фильтра вести статистическую
обработку входного сигнала, уточняя функцию спектральной плотности или
корреляционную функцию помехи. Полученные новые характеристики
помехи используются для расчета новых импульсных характеристик
фильтра. Таким образом, адаптивный по помехе полиномиальный фильтр
должен в своей структуре содержать блоки статистической обработки и
расчета импульсных характеристик. При этом используются известные
алгоритмы вычисления
S ( )
и
R ( )
[45]
и приведенные ранее
аналитические зависимости для расчета ИХ полиномиального ЦФ.
Следует иметь в виду, что практическая реализация полиномиального
ЦФ с адаптацией по помехе требует значительных затрат вычислительных
ресурсов из-за вычисления статистических характеристик помехи и ИХ
фильтра в реальном масштабе времени. В случае использования в структуре
фильтра только модели помехи в виде математического белого шума
адаптация по помехе не требуется.
Необходимость в адаптации по полезному сигналу возникает в тех
случаях использования полиномиальных ЦФ, когда реальный полезный
673
сигнал недоступен разработчику фильтра. Примером такой ситуации может
служить применение полиномиальных ЦФ в системах оценки параметров
движения объекта, принадлежащего противоборствующей стороне. Не
смотря на то, что реальные законы движения, описываемые с помощью
полезного сигнала, в большинстве своем хорошо представляются в классе
степенных
полиномов времени [34, 48], что позволяет эффективно
использовать ЦДСФ, реальный порядок полинома входного полезного
сигнала может отличаться от максимального, на который обычно
настраивается ЦДСФ. Это приводит к тому, что, во-первых, будут
вычислены параметры, не содержащиеся в реальном входном сигнале (эти
параметры из-за помеховой составляющей не будут равными нулю), а, вовторых, имеющиеся в реальном сигнале параметры будут вычислены с
меньшей возможной точностью. Для иллюстрации этого приведем
следующий простой пример.
Пример 10.5. Оценить точность вычисления постоянного сигнала с
помощью ЦДСФ 0-го и 1-го порядков.
Решение. В соответствии с формулами (10.20) и (10.29) имеем
0
1

0
0

4N  2
N 1
 4.
Отсюда следует, что оценка постоянного сигнала в ЦДСФ 1-го прядка почти
в 4 раза менее точная по сравнению с его оценкой в ЦДСФ 0-го порядка.
Таким образом, если фильтр настроен на полезную составляющую входного
сигнала в виде полинома первой степени, а реальный сигнал содержит только
постоянную составляющую, то полученная её оценка будет неоптимальной.
_______________ . _______________
Рассмотренная в примере 10.5 ситуация имеет место и для входных
сигналов, содержащих полиномы более высокого порядка.
Чтобы получать оптимальные оценки при любом порядке полиномов
полезного сигнала, необходимо перестраивать структуру ЦДСФ под порядок
реального сигнала. Реализовать это можно двумя способами. В первом
r
r
0
1
1
способе используются ИХ h0 ( i ), h 0 ( i ), h1 ( i ), ..., h 0 ( i ), ..., h r ( i ) всех ЦДСФ
m
m
m
с нулевого по максимально возможный для заданного класса входных
сигналов порядок
rm
. Настройка на реальный порядок
r в этом случае
осуществляется следующим образом. Сначала с помощью ЦДСФ
674
rm
-го
порядка
p r m ( j)
вычисляется значение
параметра
p r m ( j ) . Затем
выявляется его наличие в реальном сигнале, для чего это значение
сравнивается с его пороговой величиной  r m
p r m ( j)   r m .
(10.33)
Если условие (10.33) не выполняется, то реальный порядок полинома r
принимается равным максимальному порядку
осуществляется с помощью ЦДСФ
rm
rm
и оценка всех параметров
-го порядка. Если же условие (10.33)
выполняется, то порядок уменьшается на 1 и с помощью ( rm -1)-го канала с
rm  1
m 1
ИХ h r
ЦДСФ ( rm -1)-го порядка вычисляется значение
(i )
параметра
p r m 1 ( j )
p r m  1 ( j ) , которое сравнивается со своим порогом  r m  1 .
Процедура сравнения заканчивается при первом невыполнении условия вида
(10.33). То значение порядка, при котором это происходит, принимается в
качестве реального порядка.
Реализация этого способа требует хранения значений всех импульсных
характеристик
равно
0
1
r
1
r
h 0 ( i ), h 0 ( i ), h1 ( i ), ..., h 0 m ( i ), ..., h rmm ( i ) ,
rm ( rm  1) / 2 .
число
которых
Сравнение в условиях вида (10.33) параметра с его
пороговым значением, а не с нулем, объясняется тем, что фильтрация в
ЦДСФ не подавляет помеху полностью и в вычисленных значениях
параметров всегда присутствует остаточная случайная составляющая.
Пороги влияют
на вероятность и точность оценки параметров и
эффективный их выбор является важной математической и прикладной
задачей.
При втором способе адаптации по полезному сигналу осуществляется
автоматическая настройка структуры ЦДСФ на реальный полезный сигнал
путем внесения или невнесения в уравнения ЦДСФ компенсации по
параметрам более высокого порядка в зависимости от устанавливаемого
факта их наличия или отсутствия в реальном входном сигнале. При этом
используется компенсационная форма (10.27) записи уравнений ЦДСФ.
Общий вид алгоритма адаптивного ЦДСФ
следующий:
675
rm
-го порядка в этом случае

p  ( j ) d ( N , k ,  ), 
i0
  k 1


 p ( j ) при p ( j )   ( k ) ,
k
k
 k

p k ( j)  

(k )
0
при
p
(
j
)


,


k
k




k  rm , rm  1, ..., 1,

N 1
p k ( j) 
 x( j  i)h
rm
k
k

(i ) 
(10.34)
(k )
где  k является пороговой величиной k-го параметра ЦДСФ k-го порядка.
Пример 10.5. Записать уравнения адаптивного ЦДСФ 1-го порядка.
Решение. В соответствии с общим алгоритмом (10.34) получаем:
N 1
p1 ( j) 

i0
 p ( j)
 1
1
x ( j  i ) h1 ( i )  
0

N 1
p 0 ( j) 
 x( j  i)h
0
0
(i ) 
i0
при
p1 ( j)  1 ,
при
p1 ( j )  1 ,
(1)
N 1
2
(1)
p 1 ( j ).
_______________ . _______________
В адаптивных ЦДСФ при втором способе адаптации необходимо
хранить значения только
( rm  1)
k
ИХ h k ( i ) ,
k  rm , rm  1, ..., 0.
10.4. Выбор пороговых величин в адаптивных ЦДСФ
Пороговые величины играют важную роль в адаптивных ЦДСФ,
поскольку от них зависит вероятность выявления (обнаружения) искомых
параметров в составе сигнала и точность их оценки. Методика расчета
пороговых величин была разработана Потаповым Е.С. [48] и зависит от
прядка ЦДСФ. Рассмотрим её для ЦДСФ 1-го порядка. Примеры расчета
порогов в ЦДСФ других порядков приведены в книге [48].
Пусть помеха во входном сигнале подчиняется нормальному закону
распределения (что соответствует преобладающему большинству реальных
сигналов в задачах их обнаружения и оценки). Обозначим плотности
вероятности случайных отклонений значений постоянной составляющей
сигнала от истинного значения в виде
f0 (y )
(  y ‒ случайная величина
отклонения), а плотность вероятности случайного отклонения значений его
первой производной в виде
f1 (  y ) .
Эти плотности вероятности будут равны
676
f0 (y ) 
где
и
0
2
1
2
1
exp[ 
 0 2
y
2
]; f 1 (  y ) 
2
2 0
1
 1 2
y
exp[ 
2
2 1
2
(10.35)
],
являются дисперсиями оценки постоянной составляющей и
производной с помощью ЦДСФ 0-го и 1-го порядков соответственно(  1   0 ),
а их графики приведены на рис. 10.1.
В общем случае точка 0 на оси абсцисс (см. рис. 10.1) характеризует
точное значение постоянного сигнала, а функция
f0 (y )
‒ разброс
(отклонения) его значений после фильтрации его фильтром с ИХ
h0 ( i ) .
0
При
этом
заштрихованная область размером  определяет
вероятность
совпадения сглаженного значения сигнала с точным в пределах   / 2 . Точки
1, 2, 3 на оси абсцисс определяют точные значения линейно изменяющегося
сигнала с различными значениями производных, а функции
f12 (  y ),
с ИХ
f11 (  y ), f13 (  y )
и
характеризуют отклонения его значений после фильтрации фильтром
1
h0 ( i )
. При этом сигнал в точке 2 имеет большую производную, чем
сигнал в точке 1, а в точке 3 – большую, чем в точке 2.
y
2
.
2.
1.
.
0
3
3
y3
y2 y
1
f1 (y)

f (y)
1 13
f11 (y)
f12 (y)
f
f0 (y)
Рис. 10.1 Иллюстрация процесса выбора порога
по первой производной
Предположим теперь, что полезная составляющая входного сигнала
изменяется линейно, а точное значение его в текущий момент определяется
677
точкой 1. При сглаживании входного сигнала фильтром с ИХ
1
h0 ( i )
из-за
наличия случайных погрешностей вероятность того, что сглаженное
значение сигнала совпадает с точным его значением в окрестности точки 1,
определяется заштрихованной площадью под кривой
f11 (  y ) .
Предположим
также, что при сглаживании этого же сигнала фильтром с ИХ
0
h0 ( i )
среднее
сглаженное его значение совпадет с точкой 0. Из графиков рис. 10.1. видно,
что вероятность совпадения сглаженного значения сигнала, полезная
составляющая которого линейно изменяется, с выхода фильтра с ИХ
0
h0 ( i )
(т.е. без компенсации по 1-й производной) с точным значением этого
сигнала, задаваемым окрестностью точки 1, определяется заштрихованной
площадью под кривой
f0 (y )
в районе точки 1 и эта вероятность больше, чем
при применении фильтра с ИХ
1
h0 ( i )
(т.е. с компенсацией по 1-й
производной). Следовательно, введение компенсации по 1-й производной в
данном
конкретном
случае
нецелесообразно,
т.к.
уменьшается
достоверность совпадения сглаженного сигнала с его истинным значением в
точке 1.
Проводя аналогичные рассуждения и сравнения по отношению к
сигналу, точное значение которого определяется точкой 3, получаем, что
вероятность совпадения сглаженного значения сигнала с выхода фильтра с
ИХ
0
h0 ( i )
с точным значением этого сигнала (окрестность точки 3)
определяется заштрихованной площадью под кривой
f0 (y )
в области точки
3 и эта вероятность меньше, чем при применении фильтра с компенсацией по
1-й производной. Следовательно, в этом случае введение компенсации по 1-й
производной (или использование фильтра с ИХ
1
h0 ( i )
) оказывается
целесообразным.
Из рис. 10.1 видно, что точка 2 характеризует сигнал с таким
значением производной, после увеличения которой целесообразно введение
компенсации по 1-й
производной. Значение порога для введения
компенсации можно определить из неравенства
 f1 (0)   f 0 (  y ) ,
которое выполняется при
 y   y1
и
y  y2
(10.36)
и не выполняется при
 y   y3
(см. рис. 10.1). Подставив в (10.36) значения функций из (10.35) и
прологарифмировав обе его части, получим
678
ln(1 /  1 )  ln(1 /  0 )  0, 5  y /  1 ;  y  0, 5 y m ( N  1),
2
где y m ‒ максимальное
(умноженной на
t
2
(10.37)
нормированное значение первой производной
) на выходе фильтра с ИХ
1
h1 ( i )
.
Разрешив (10.37) относительно y m , получим значение пороговой
величины для параметра
p1 ( j ) :
ym 
2 0
2 ln( 1 /  0 )
N 1
 1 .
(1)
Изложенное выше нетрудно распространить на ЦДСФ более высокого
прядка и вычислить пороговые значения для других производных. Данная
методика применима и в случае действия шумов с другими известными
статистическими характеристиками, отличными от нормальных.
10.5. Квазиоптимальные полиномиальные фильтры
В практике проектирования систем обработки сигналов возможны
задачи, в которых допустимо использование ЦФ со сниженными
требованиями по качеству фильтрации. К числу таких задач можно отнести,
например, задачи первичной и вторичной обработки радиолокационных
сигналов [34].
Отклонение показателя качества от его оптимального значения в
допустимых пределах приводит к возможности построения особого класса
квазиоптимальных ЦФ, в которых допустимые отклонения показателя
качества используются для упрощения их структуры и сокращения затрат
вычислительных ресурсов. Задачу синтеза квазиоптимальных ЦФ можно
проиллюстрировать с помощью геометрического представления алгоритмов
фильтрации в пространстве их показателя качества. Пусть оптимальный
алгоритм с минимальным функциональным показателем качества
соответствует в этом пространстве некоторой точке О. Выделим вокруг этой
точки сферическую область с радиусом, равным допустимому значению
отклонения показателя качества от оптимальной величины. Тогда любая
точка
А
внутри
области
будет
соответствовать
параметрам
квазиоптимального алгоритма, удовлетворяющего условию не превышения
допуска по отклонению показателя качества. Переход из точки О в точку А
может быть выполнен различными путями. Каждый такой путь или их
679
некоторая совокупность будет соответствовать определенному методу
синтеза алгоритмов квазиоптимальной фильтрации. Поскольку точек
допустимой области бесчисленное множество и путей перехода в них из
точки оптимума также бесконечное число, то задача синтеза
квазиоптимальных ЦФ в принципе является неоднозначной задачей и
допускает самые различные методы её решения. Примерами этого могут
служить приведенные
в главе 9 неоптимизационные
методы
проектирования частотных фильтров, метод Бобикова-Коршунова синтеза
полиномиальных ЦФ [7] и метод минимального числа отсчетов Потапова
для ЦДСФ малых порядков [48].
В
данной
книге
предлагаются
новые
методы
синтеза
квазиоптимальных полиномиальных фильтров, использующие как
временное, так и спектральное представление сигналов, и базирующие на
следующих основных принципах.
1. Из всех путей перехода, обеспечиваемых данным методом,
выбирается такой, который
приводит к алгоритмам наименьшей
вычислительной сложности.
Выполнение этого принципа практически оправдано, поскольку в
противном случае решение задачи квазиоптимальной фильтрации будет
иметь только чисто теоретическое значение.
2. Из всех путей перехода, обеспечиваемых данным методом,
выбирается такой, который позволяет получить минимальное значение
отклонения показателя качества.
Выполнение этого принципа в совокупности с первым позволяет
строить эффективные квазиоптимальные алгоритмы для различных
(больших и малых) допустимых областей.
3. В частном случае при предельных значениях управляемых
параметров алгоритмов квазиоптимальный метод синтеза приводит к
оптимальным решениям.
Выполнение этого принципа гарантирует сходимость используемого
метода и позволяет при синтезе квазиоптимальных ЦФ выбирать за основу
оптимальные ЦФ с последующим упрощением их структуры.
10.6. Синтез квазиоптимальных полиномиальных фильтров в классе
680
кусачно-постоянных импульсных характеристик
Рассмотрим метод синтеза квазиптимальных полиномиальных ЦФ,
удовлетворяющий всем ранее сформулированным принципам и основанный
на кусочно-постоянном представлении ИХ ЦФ. Суть метода состоит в
следующем. Вся накопленная к j-му текущему моменту времени выборка
входного сигнала
секций так, чтобы
i  ( N / n)m  
x( j  i)
из N отсчетов разбивается на n соприкасающихся
в каждую m-ю секцию входили отсчеты с номерами
m  0,1, ..., n  1,   0, 1, ..., ( N / n )  1.
,
Процедура разбиения на
секции в этом случае совпадает с той, что использовалась при вычислении
дискретных сверток методом перекрытия с суммированием (см. §2.3).
После этого путем усреднения отсчетов в пределах каждой секции
получается новая выборка
{ z ( j  m )} ,
N
z( j  m) 
n
N
в которой
1
n

x( j 
N
m   ).
(10.38)
n
 0
Эта выборка подвергается оптимальной фильтрации с целью получения
оценки параметра
p k ( j)
входного сигнала, алгоритм которой записывается в
виде следующего разностного уравнения:
n 1
p k ( j) 
 z ( j  m )h
r
k
( m ).
(10.39)
m 0
Уменьшение числа значений ИХ в N/n раз в алгоритме (10.39) позволяет во
столько же раз уменьшить число умножений при его реализации по
сравнению с общим оптимальным алгоритмом (10.3).
Дисперсия оценки (10.39) зависит от n и равна
N
 (n) 
2
k
n
2
N
2
n 1
n 1
 
n
r
k
r
k
h ( m1 ) h ( m 2 )
m1  0 m 2  0
1
N
1
n

1  0  2  0
Rn (
N
n
m 1  1 ,
N
n
m 2   2 ) . (10.40)
Данная формула следует из общей формулы (10.9), если в ней учесть, что
i1  ( N / n ) m1  1 ,
а
i2  ( N / n ) m 2   2 .
Рассматриваемый
метод
позволяет
получать разнообразные алгоритмы, зависящие от n и различающиеся по
дисперсии. В соответствии со вторым принципом разработки
квазиоптимальных алгоритмов выберем из них алгоритмы с минимальной
дисперсией оценки. Соответствующую им ИХ можно найти, минимизируя
выражение для дисперсии (10.40) при выполнении условия несмещенности
681
оценки, которое по аналогии с (10.7) в данном случае
следующей системой равенств:
N
n 1
h
m0
r
k
представляется
1
n
N
 0
n
(m )  g (
m   )   k   ,k ,
  0, 1, ..., r .
(10.41)
Минимизацию
(10.40) при ограничениях (10.41) также можно
выполнить методом неопределнных множителей Лагранжа, в результате чего
приходим к решению, по форме записи совпадающему с оптимальным
решением (10.12) и отличающемуся только значениями элементов матриц R
и G.
Из выражения (10.40) следует, что
элементы матрицы
R в
квазиоптимальном решении образуются
из сумм элементов матрицы
коррелиционной функции помехи. Поэтому матрица R в квазиоптимальном
решении может иметь ненулевой определитель даже при плохой
обусловленности матрицы корреляционной функции. Это говорит о том, что
общее квазиоптимальное решение обладает регуляризирующим свойством и
является корректным по Тихонову.
Дисперсия квазиоптимальной оценки k-го параметра по форме записи
совпадает с дисперсией (10.13) оптимальной оценки и зависит от вида
матрицы R и величины n:
 k (n)  H R H .
2
T
Для некоррелированной помехи с дисперсией
n n
n
2
матрица
2
R=
E
N
и дисперсия квазиоптимальной оценки принимает следующий вид:
nn
2
 (n) 
2
k
nn
2
T
H H =
N
N
n 1
 [h
r
k
2
( m )] .
(10.42)
m 0
Коэффициент сглаживания при этом будет равен
 k (n) 
r
кв
а ИХ
r
hk ( m )
n
N
n 1
 [h
r
k
2
( m )] ,
(10.43)
m0
можно определить по матричному уравнению (10.15) с
соответствующими значениями элементов матрицы G.
Для ЦДСФ
682
gk (
N
m  )  (
n
N
 )
k
m
и элементы матрицы G равны
N
1
n
g k ,m 
N
(n
m  ) .
k
 0
Для случая некоррелированной помехи алгоритм квазиоптимального
ЦДСФ можно получить путем сведения задачи синтеза ЦФ к задаче
аппроксимации во временной области с использованием для её решения
метода наименьших квадратов. Аппроксимировать в этом случае необходимо
сигнал
z( j  m)
полиномом степени r
r
 ( m ,{ p k ( j )}) 
 (i)
k
k
p k ( j)m (
N
( N / n)
усредненном сигнале
(10.44)
n
k 0
Наличие множителя
k
) .
в формуле (10.44) связано с тем, что в
k
и в аппроксимирующем полиноме (10.44)
z( j  m)
отсчеты располагаются с шагом
 Т  N  t / n.
(10.45)
Критерий аппроксимации по методу наименьших квадратов в этом
случае принимает следующий вид записи:
n 1
r
 [ z ( j  m )   (  1) p k ( j ) m ( N / n ) ]  m in
k
m0
k
k
2
(10.46)
k 0
и приводит к системе алгебраических уравнений относительно оценок
r
 (  1)
 0

(
N
n
n 1
) p  ( j) m

m0
 k
p k ( j)
n 1

 z ( j  m )m
k
, k  0, 1, ..., r ,
(10.47)
m0
структура которой подобна структуре аналогичной системы (10.22) в
оптимальных ЦДСФ и отличается только тем, что вместо числа отсчетов N
используется число секций n, а также наличием множителей
( N / n)

. Это
позволяет при синтезе квазиоптимальных
ЦДСФ использовать ИХ
оптимальных ЦДСФ, если в последних заменить N на n и учесть множители
вида N / n . Действительно, если для ИХ k-го параметра квазиоптимального
ЦДСФ k-го порядка сохранить обозначение в виде
параметра оптимального ЦДСФ
hk ( m ) ,
k
а ИХ того же
k-го порядка обозначить как
hk ( i , N ) ,
k
то
можно показать, что между этими характеристиками существует следующая
простая связь:
683
h k ( m )  ( n / N ) h k ( m , n ).
k
k
k
(10.48)
Используя способ Гаусса, из системы уравнений (10.47) можно
получить алгоритм квазиоптимального ЦДСФ в компенсационной форме
записи
n 1
p k ( j) 

r
z ( j  m ) hk ( m ) 
k

p  ( j ) d кв ( n , k ,  ),
k  0, 1, ..., r  1,
(10.49)
  k 1
m0
аналогичной форме записи (10.27) оптимального ЦДСФ. При этом
квазиоптимальные
компенсационные
выразить через оптимальные
d ( N , k , ) ,
коэффициенты
d кв ( n , k ,  )
можно
если учесть, что
d кв ( n , k ,  )  ( N / n ) d ( n , k ,  ).
k
(10.50)
Это равенство является следствием различия интервалов дискретизации в
сигналах
Т
x( j  i)
и
z( j  m)
(в сигнале
он равен
x( j  i)
t
, а в сигнале
z( j  m)
‒
(10.45)). Следует, однако, отметить, что получаемая в этом случае оценка
p k ( j)
будет несмещенной по отношению к сигналу
отношению к сигналу
x( j  i) ,
z( j  m) ,
но смещенной по
поскольку при осреднении отсчетов
x( j  i)
в
(10.38) переменные во времени параметры изменяются. Для исключения
этого смещения необходимо ввести дополнительную компенсацию по
параметрам более высокого порядка. Дополнительные компенсационные
коэффициенты при этом будут равны
n
d доп ( N / n , k ,  )  (  1)
k 1
k
C
n
N
1
N
i
 k
,
(10.51)
i0
k
где C  ‒ биномиальные коэффициенты. Объединение двух компенсаций
приводит к суммарной компенсации, совпадающей с компенсацией в
оптимальных ЦДСФ, т.е.
d кв ( n , k ,  )  d доп ( N / n , k ,  )  d ( N , k ,  ) .
(10.52)
Это позволяет алгоритм (10.49) переписать в следующем виде
N
n 1
p k (i ) 

m 0
n
N
1
n

 0
x( j 
N
n
r
m   )h (m ) 
k
k

  k 1
684
p  ( j ) d ( N , k ,  ),
k  0, 1, ..., r  1.
С вычислительной точки зрения множитель n/N в этом выражении
целесообразно объединить с ИХ
hk ( m ) ,
получив при этом полную
k
импульсную характеристику k-го квазиоптимального ЦДСФ
h k кв ( m ) 
k
n
hk ( m )  (
k
N
n
)
k 1
N
k
hk ( m , n )
(10.53)
(здесь учтено соотношение (10.48)) и окончательную запись алгоритма
функционирования квазиоптимального ЦДСФ r-го порядка:
N
n 1 n
p k (i ) 
1
  x( j 
m 0  0
N
r
m   )h
n
k
k кв
(m ) 

p  ( j ) d ( N , k ,  ),
k  0, 1, ..., r  1.
  k 1
(10.54)
Пример 10.7. Записать алгоритм квазиоптимального ЦДСФ 1-го
порядка.
Решение. Алгоритм можно получить двумя способами: 1) из решения
системы уравнений (10.47) при r =1 с последующим преобразованием
полученных ИХ и компенсационного коэффициента либо 2) сразу,
используя связь (10.50)-(10.53) оптимальных и квазиоптимальных ИХ и
компенсационных
коэффициентов
и
результаты
примера
10.3.
Воспользуемся вторым способом. Тогда
h (m ) 
1
1кв
n
N
2
2
h (m , n) 
1
1
N
h0 кв ( m ) 
0
n
N
6( n  1)  12 m
2
n ( n  1)
2
2
h0 ( m , n ) 
n
0
( n  1) N
d кв ( n , 0,1) 
а
n
2n
N n


N ( n  1)
2
1
2
,
,
N
, d доп ( N / n , 0,1) 
d кв ( n , 0,1)  d доп ( N / n , 0,1) 
6 n ( n  1)  12 m n
N 1
N n
,
2n
 d ( N , 0,1).
2
С учетом этого из общего уравнения (10.54) получаем следующий алгоритм
квазиоптимального ЦДСФ 1-го прядка:
N
n 1 n
p1 ( j ) 
1

m 0  0
x( j 
N
m  )
n
685
6 n ( n  1)  12 m n
N ( n  1)
2
2
,
p 0 ( j) 
1
N
N 1
N 1
 x( j  i) 
2
i0
p 1 ( j ).
_______________ . _______________
Пример 10.8. Записать алгоритм квазиоптимального ЦДСФ 2-го
порядка.
Решение. Используя результаты примера 10.4 и поступая так же, как в
предыдущем примере, получим
h
2
2 кв
(m ) 
n
N
3
3
h (m , n) 
N
n 1 n
И
p 2 ( j) 

N
n 1 n
x( j 
N
N
2
x( j 
N 1
N
2
30 n ( n  1)( n  2)  180 m n ( n  1)  180 m n
2
m  )
N ( n  4)( n  1)
2
n
m 0  0
p 0 ( j) 
2
1

1
N ( n  4)( n  1)
1
m 0  0
p1 ( j ) 
30 n ( n  1)( n  2)  180 m n ( n  1)  180 m n
2
2
2
m  )
6 n ( n  1)  12 m n
N ( n  1)
2
n
 x( j  i) 
N 1
2
i0
2
2
p1 ( j ) 
2
 ( N  1) p 2 ( j ),
( N  1)(2 N  1)
6
,
p 2 ( j ).
_______________ . _______________
Вычислительная и функциональная эффективность получаемых
алгоритмов квазиоптимальной фильтрации зависит от числа секций n. Это
число может лежать в диапазоне
[ r  1, N ].
При n=N квазиоптимальные
алгоритмы совпадают с оптимальными, что отражает соответствие
предложенного метода третьему принципу построения квазиоптимальных
алгоритмов. С уменьшением величины n уменьшается вычислительная
сложность алгоритмов оценки параметров сигнала, однако возрастает
дисперсия такой оценки. Очевидно, что в этом случае целесообразно
выбирать n из условия непревышения уровня случайных погрешностей
оценки заданной допустимой величины. Для аналитического решения
задачи выбора n удобно воспользоваться относительным коэффициентом
сглаживания
 k (n)
r
 ( n ) 
r
k
и определять n из условия
686
кв

r
k опт
(N )
(10.55)
 k ( n )   k
r
где
 k
r
r
‒ допустимое отклонение
доп
,
доп
(10.56)
относительного коэффициента
сглаживания для k-го параметра в ЦДСФ r-го порядка.
r
В выражении (10.55)  k ( N ) есть коэффициент сглаживания k-го
опт
параметра для оптимального ЦДСФ k-го порядка, который в предыдущих
k , а
 k (n)
r
параграфах обозначался как
r
является коэффициентом
кв
сглаживания k-го параметра для квазиоптимального ЦДСФ k-го порядка. Его
можно найти либо из общего выражения (10.43), либо из следующего
уравнения
r

 k (n)   k (n) 
r
k
кв
кв
  ( n ) d ( N , k ,  ),
r
2
(10.57)
кв
  k 1
где в свою очередь
 k (n)  (n / N )
r
2 k 1
кв
k
r
опт
( n ).
(10.58)
Пример 10.9. Оценить фильтрующие свойства алгоритмов примеров
10.7 и 10.8.
1
2
Решение. Рассчитаем коэффициенты сглаживания  1 ( n ) и  2
кв
(n) .
кв
1
2
соответствии с общей формулой (10.58) и значениями  1 ( N ) и  2
опт
опт
В
(N ) ,
полученными в примерах 10.1и 10.4, имеем


2
2 кв
1
1кв
n
(n) 
N
n
(n) 
3
N
5
5
12

n ( n  1)
3
2
45

n ( n  1)( n  4)
2
2
12 n
2
,
N ( n  1)
3
2
45 n
4
N ( n  1)( n  4)
5
2
2
,
а относительные коэффициенты сглаживания запишутся так:
n ( N  1)
2
 1 ( n ) 
1
2
N ( n  1)
2
2
n ( N  1)( N  4)
4
,
Рассмотрим сначала коэффициент
 2 ( n ) 
2
 1 ( n ) .
2
2
N ( n  1)( n  4)
4
2
2
.
(10.59)
Он зависит от переменных n и N.
1
Однако уже начиная с N=8-10 его можно упростить, пренебрегая в первой
формуле из (10.59) величиной
близкой к единице. В этом случае
( N  1) / N ,
2
2
 1 ( n ) 
n
1
2
n 1
687
2
и из условия (10.56) можно получить удобное аналитическое выражение для
определения n:
 1 доп / ( 1 доп  1)
n
1
1
.
(10.60)
Из него следует, что при увеличении дисперсии оценки первого параметра в
1,07-1,15 раз (на 7-15%) значение n лежит в пределах от 4 до 3. При
увеличении дисперсии на 33,3% величина n принимает минимально
возможное значение, равное двум.
Относительный коэффициент сглаживания
 2 ( n )
2
для второго
параметра при N>10 так же можно упростить и представить в виде
 ( n ) 
2
2
n
4
( n  1)( n  4)
2
Тогда величину n для параметра
n
2
p2 ( j)

n
2
n 5
2
,
n  3.
можно оценить по формуле
5  2 доп / ( 2 доп  1).
Сравнение её с выражением (10.60) показывает, что оценка n для параметра
p2 ( j)
в
5
раз выше оценки n для параметра
p1 ( j ) .
допуске по дисперсии до 15% число секций для оценки
Следовательно, при
p2 ( j)
можно выбрать
равным семи.
_______________ . _______________
Из результатов расчета квазиоптимальных ЦДСФ различных порядков
следует, что с увеличением величины порядка ЦДСФ возрастает и число
допустимых секций в квазиоптимальных алгоритмах. Возрастает,
естественно, и число умножений, необходимых для их реализации.
Поэтому высокой вычислительной эффективностью алгоритмы обладают
только
для ЦДСФ малых порядков. Это, однако, не снижает их
практическую значимость, поскольку на практике преимущественное
применение находят именно ЦДСФ малых порядков [48].
Область применения рассмотренного квазиоптимального метода не
ограничивается только полиномиальными фильтрами. Его можно
использовать и при проектировании других видов ЦФ, в том числе и
частотных. В связи с этим следует обратить внимание на следующее. Если
будет использовано разностное уравнение частотного НЦФ в виде
688
N
n 1
y( j) 
[N 
h(m , n)
x( j 
N
m   )] h ( m , n ),
(10.61)
n
 0
m0
где
1
n
n
‒ импульсная характеристика частотного фильтра порядка n для
осредненных отсчетов
друга с шагом
Т
z( j  m)
(10.38) входного сигнала, отстоящих друг от
(10.45), то передаточная функция ЦФ
H ( z, N ) ,
соответствующая уравнению (10.61), представляется в виде произведения
двух передаточных функций
H ( z , N )  H o ( z , N / n ) H ( z , n ),
(10.62)
первая из которых
N
n
H o ( z, N / n) 
N
1
n
z

(10.63)
 0
соответствует однородному НЦФ [19], выполняющему операцию усреднения
отсчетов, а вторая
n 1
H ( z, n) 
 h(m , n) z
m
(10.64)
m 0
является передаточной функцией частотного НЦФ n-го порядка. В
соответствии с этим и частотная комплексная характеристика фильтра
(10.61)
H ( , N )  H o ( , N / n ) H ( , n ),
где    1 . Из последней формулы нетрудно получить зависимости для
АЧХ и ФЧХ квазиоптимального НЦФ (10.61):
A ( , N )  Ao ( , N / n ) A ( , n ),
(10.65)
 ( , N )   o ( , N / n )   ( , n ),
(10.66)
где
Ao (  , N / n ) 
n sin( N  t /(2 n ))
 o ( , N / n )   (
N sin(  t / 2)
N
n
 1)
t
(10.67)
,
.
(10.68)
2
Из этих зависимостей следует, что обработка отсчетов сигнала во
временной области по разностному уравнению (10.61) приводит в частотной
области к умножению АЧХ фильтра n-го порядка на функцию
суммированию его ФЧХ с функцией
689
 o ( , N / n ) .
При
Ao ( , N / n )
этом АЧХ
и
A ( , n )
фильтра с интервалом между отсчетами, равном
функцией с периодом
2 /  Т  2 n / ( N  t ) ,
интервалом между отсчетами в
t
Т
, является периодической
а АЧХ
A ( , N )
, периодична с периодом
на одном периоде характеристики
АЧХ
A ( , N )
повторяется N/n раз, т.е. по сравнению с
A ( , N )
A ( , n )
фильтра с
2 /  t
. Поэтому
периодически
представляется сжатой в N/n
раз.
АЧХ
A ( , N )
и ФЧХ
 ( , N )
должны с определенной точностью
воспроизводить желаемые характеристики фильтра. Поскольку вид функции
Ao ( , N / n )
и
 o ( , N / n )
известен, то точность аппроксимации будет зависеть
от порядка фильтра N, числа секций n и вида импульсной характеристики
h(m , n)
h(m , n)
. При зафиксированных N и n точность будет определяться только
и будет максимальной, если
h(m , n)
выбрана оптимальной
по
принятому критерию
оптимизации. В этом случае процедура
квазиоптимальной фильтрации будет представлять из себя две
последовательно выполняемые процедуры: однородную фильтрацию и
оптимальную фильтрацию меньшего порядка.
Функции
Ao ( , N / n )
и
 o ( , N / n )
во многом определяют возможности
применения данного метода квазиоптимальной фильтрации для различных
типов частотных фильтров, поэтому рассмотрим их подробнее. АЧХ
Ao ( , N / n )
(10.67) однородного фильтра порядка N/n является периодической
колебательно-затухающей функцией с периодом
 k  2 nk / N  t ,
2 /  t
. Она имеет нули
k  0, 1, ...
и полюса
 i  2 i /  t ,
i  0, 1, ... .
На одном периоде возможно N/n нулей и только один полюс, причем
значения полюса и нуля совпадают и в этой точке АЧХ
ФЧХ однородного фильтра
 o ( , N / n )
(10.68)
Ao ( , N / n )
является
равна 1.
линейной
функцией частоты, угловой коэффициент которой зависит от n. При N=n
 o ( , N / n )  0 ,
а
Ao ( , N / n ) =1
и
квазиоптимальный фильтр становится
оптимальным.
Посмотрим, как вид и свойства характеристик однородного фильтра
могут повлиять на область применения квазиоптимальной фильтрации в
частотных фильтрах. Рассмотрим сначала ФЧХ квазиоптимального НЦФ. В
690
соответствии с (10.66) она аддитивно изменяется по сравнению с ФЧХ
оптимального фильтра, что в общем случае может привести к изменению её
формы. Однако для практически важных НЦФ с линейными ФЧХ фазовые
характеристики остаются неизменными. Для подтверждения этого
рассмотрим НЦФ 1-го вида (с нечетным N и симметричным ИХ). В этом
случае (см. (9.2)) для оптимального НЦФ
квазиоптимального
T  N t / n
 oп ( , N )   ( N  1)  t / 2 ,
 кв ( , N )   ( n  1)  Т / 2  ( N / n  1)  t / 2 .
окончательно получаем
а для
Но учитывая, что
 кв ( , N )   ( N  1)  t / 2 .
Аналогичные
результаты получаем и для остальных видов НЦФ.
Относительно АЧХ ситуация несколько другая. Так как на интервале
 / t
Ao ( , N / n )
имеет
N /n
нулей, то в силу (10.65) столько же нулей будет
иметь и АЧХ квазиоптимального фильтра вне зависимости от вида АЧХ
оптимального фильтра
A ( , n ) .
В соответствии с этим метод может быть
использован только для тех частотных фильтров, нули АЧХ которых
совпадают с нулями функции
Ao ( , N / n ) .
Из рассмотренных ранее в §8.7
типов частотных фильтров метод применим только к ФНЧ и ПФ, причем
полоса пропускания ФНЧ должна лежать до точки первого нуля функции
Ao ( , N / n ) ,
а полоса пропускания ПФ – в промежутке между двумя
соседними нулями
принципиально не
Ao ( , N / n ) .
Для ФВЧ квазиоптимальный
применим, т.к. в точке
должна равняться 1, функция
Ao ( , N / n )
   / t
метод
, где АЧХ фильтра
всегда меньше единицы, а при N/n
четном вообще равна 0.
Точность аппроксимации частотных характеристик и вычислительная
эффективность рассмотренного метода зависит от числа секций n.
Рассмотрим методику выбора n на примере ФНЧ с линейными ФЧХ.
Нижнюю границу величины n можно выбрать из ранее сформулированного
требования непопадания первого нуля функции
Ao ( , N / n )
в полосу
пропускания ФНЧ:
n  N  ГП  t / 2 .
(10.69)
Однако выполнение этого условия не гарантирует точного воспроизведения
АЧХ даже при идеальном оптимальном фильтре. Вследствии «сжатия» АЧХ
A ( , n )
оптимального фильтра и особой формы функции
691
Ao ( , N / n )
возникают искажения в результирующей АЧХ
вблизи
граничной частоты пропускания
A ( , n ) ,
особенно большие
фильтра. Для уменьшения
 ГП
методических погрешностей аппроксимации АЧХ в полосе пропускания
можно предложить следующий способ коррекции. Будем определять ИХ
оптимального ФНЧ по сжимаемой АЧХ не с параметрами
же АЧХ, но с параметрами


 N  ГП / n
ГП
и
 ГЗ
 ГП
и
 ГЗ
, а по той
, искусственно растянув полосу
пропускания, и потребуем, чтобы максимальная методическая погрешность
воспроизведения АЧХ
m ax B ( , N )  A ( , N )
0     ГП
не превышала заданной допустимой величины
аппроксимируемая АЧХ).
погрешность будет при
(здесь
 доп
B ( , N )
‒
Если при этом учесть, что максимальной
и
   ГП
B ( ГП , N )  1 ,
а
А ( ГП , N )  А0 ( ГП , N / n ) ,
то
можно получить зависимость для определения n:
N
sin( n
 ГП  t
2
)  (1   доп )
N
 sin(
 ГП  t
n
(10.70)
).
2
Максимальная методическая погрешность в полосе задержания может быть
найдена по выражению

N
sin(

t

n

n
m ax  A ( , n ) N
t
 ГЗ     /  t 
sin(
)

2




.



(10.71)
При выходе её величины за допустимые пределы следует увеличить значение
n.
Определение n по зависимости (10.70) и (10.71) целесообразно
выполнять численным путем для конкретных значений параметров фильтра и
 доп .
Расчеты показали, что при допустимой методической погрешности в
полосе пропускания в пределах 10-15% число секций для различных ФНЧ
может достигать величины N/5÷N/10, что позволяет в 5-10 раз уменьшить
число умножений при реализации ФНЧ.
Наличие методической погрешности и необходимость коррекции АЧХ
накладывает дополнительные ограничения на n. Так как
больше
 ГЗ
, то
692


ГП
не может быть
n  N  ГП /  ГЗ
и, следовательно, данный метод фильтрации может быть эффективно
использован только для узкополосных ФНЧ.
Вопросы и задачи для самопроверки
1.
Сформулируйте задачу синтеза оптимальных ЦДСФ.
2.
Объясните
причину
возникновения
систематических
погрешностей при оценке параметров в ЦДСФ.
3.
Запишите условие несмещенности оценки.
4.
Решите задачу синтеза оптимального ЦДСФ 2-го порядка для
некоррелированного шума способом Крамера.
5.
Какие виды адаптации возможны в ЦДСФ?
6.
Почему необходимо использовать в ЦДСФ адаптацию по
полезному сигналу?
7.
Сравните точность оценки параметра
p1 ( j )
с помощью ЦДСФ 1-
го и 2-го порядков.
8.
Почему в адаптивных ЦДСФ осуществляется сравнение
параметров с их пороговыми величинами, а не с нулевыми значениями?
9.
На что влияют значения пороговых величин?
10. Поясните суть методики выбора пороговой величины в ЦДСФ 1го порядка.
11. Сформулируйте
основные
принципы
построения
квазиоптимальных ЦДСФ.
12. Поясните основную суть метода синтеза квазиоптимальных
ЦДСФ в классе кусочно-постоянных импульсных характеристик.
13.
Почему квазиоптимальный метод эффективен только для ЦДСФ
малых порядков?
14. Какие
ограничения
существуют
при
использовании
квазиоптимального метода при синтезе частотных ЦФ?
15.
Опишите алгоритм уменьшения методических погрешностей при
разработке квазиоптимальных ФНЧ.
693
16.
w ГП
Решите задачу синтеза квазиоптимального ФНЧ с параметрами
=0,1, N=12, n=2, 3, 4, 6 и N=15, n =3,5. Постройте АЧХ и ФЧХ
полученных ФНЧ.
ГЛАВА 11
СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
11.1 Основы спектральной теории цифровых фильтров
Для исследования линейных динамических систем, к классу которых
относятся и ЦФ, используются
различные методы, в том числе и
спектральные [51]. Однако, как правило, применение последних
ограничивалось только задачами анализа динамических систем. В данной
книге, как и в работе [48], спектральный подход ориентирован в первую
очередь на решение задач синтеза ЦФ, включая и их структурную
реализацию.
Переход в спектральную область не может изменить функциональные
свойства ЦФ, однако влияет на реализационные характеристики фильтров,
зависящие от используемых систем базисных функций. Выбирая СБФ
рациональным образом, можно разработать быстрые алгоритмы цифровой
фильтрации, представляющие интерес как для теории, так и для практики
цифровой обработки сигналов.
Спектральная теория ЦФ по аналогии с теорией ЦФ во временной
области должна содержать способы описания фильтров в спектральной
области, а также постановку и решение задач их аналитического синтеза.
694
Кроме того, она должна включать еще одну отличительную, но важную
составляющую ‒ задачу выбора рационального базиса с учетом
реализационных требований к алгоритмам ЦФ.
Для получения спектрального описания ЦФ обратимся к разностному
уравнению (8.1) рекурсивного фильтра. Заменим в нем для удобства индекс
текущего времени i на j и представим скользящую выборку
ортогонального ряда в базисе
x( j  i)
в виде
{ ( k ,i )}
N 1
x( j  i) 
X
j
( k ) ( k , i )
(11.1)
k 0
со скользящим спектром
X j (k ) 
(здесь, как и ранее,
Pk
1
NP k
N 1
 x ( j  i ) ( k , i )
(11.2)
i0
является мощностью базисной функции
 ( k ,i ) ).
Тогда
получим
N 1
y (i ) 
N 1
 bi  X j ( k ) ( k , i ) 
i0
N 1

X
k 0
N 1
j
k 0
( k )  b j ( k , i ) 
i0
L 1
a
m
y( j  m) 
m 1
L 1
a
m
y ( j  m ).
(11.3)
m 1
Но вторая сумма в первой части последнего выражения с точностью до
постоянного множителя
совпадает со спектром B(k) дискретной
1 /( NPk )
функции, образованной из весовых коэффициентов
1
B (k ) 
NP k
bi
фильтра:
N 1
 b  ( k , i ).
i
i0
Назвав ее спектральной весовой функцией и представив в виде
b ( k )  NPk B ( k ),
из соотношения (11.3) получим разностное уравнение рекурсивного ЦФ в
спектральной области
N 1
y (i ) 
 b(k ) X
k 0
L 1
j
( k )   a m Y ( j  m ).
(11.4)
m 1
Из него следует соответствующее уравнение нерекурсивного ЦФ
N 1
y (i ) 
 b(k ) X
k 0
N 1
j
(k )   X j (k ) H (k ) ,
k 0
695
(11.5)
где учтено, что в НЦФ
bi  h (i )
и поэтому
N 1
b(k )  H (k ) 
 h ( i ) ( k , i ).
(11.6)
i0
Дискретную функцию
H (k ) ,
связанную со спектром ИХ h(i) ЦФ, можно
рассматривать в качестве спектральной импульсной характеристики (СИХ)
НЦФ.
Формула (11.2) и уравнения (11.4) и (11.5) определяют алгоритмы
РЦФ и НЦФ в спектральной области. Из них следует, что структурно РЦФ в
спектральной области в общем случае состоят из анализатора спектра (АС),
осуществляющего переход из временной области представления входного
сигнала в спектральную область по формуле (11.2), спектрального фильтра
(СФ), выполняющего взвешенную обработку скользящего спектра входного
сигнала, и блока рекурсии (БР), обеспечивающего взвешенный вклад
предыдущих значений выходного сигнала в его текущее значение. В
структуре спектрального НЦФ БР отсутствует и фильтр будет состоять
только из АС и СФ, работа которых описывается выражениями (11.2) и (11.5)
соответственно. На рис. 11.1 приведена структурная схема обобщенного
НЦФ в спектральной области, где АС реализован на основе генератора
базисных функций (ГБФ), N умножителей и N сумматоров накапливающего
типа, а СФ – с помощью генератора спектральной импульсной
характеристики (ГСИХ), N умножителей и одного N-входового сумматора.
На практике функции ГСИХ может выполнить запоминающее устройство,
хранящее отсчеты СИХ H(k).
696
.
y(j)
.
.

 (0, i)  ( N1, i)
ГБФ

.
...
.
.
.
{x(j-i)}

H(0)
H(N--1)
ГСИХ
АС
СФ
Рис. 11.1 Структурная схема обобщенного НЦФ
в спектральной области
В случае необходимости для спектральных ЦФ также можно записать
передаточную функцию и частотные характеристики, выразив их через
спектральные характеристики фильтра. Так передаточную функцию РЦФ
можно получить, применив z-преобразование к разностному уравнению
(11.3). В этом случае
Y (z) 
N 1
L 1
k 0
m 1
 b ( k ) Z { X j ( k )}   a m Y ( z ) z
m
и
N 1
Y (z) 
 b(k )Z { X
k 0
L 1
j
( k )} /( 1   a m z
m
).
(11.7)
m 1
Здесь z-преобразование выходного сигнала ЦФ выражается через zпреобразование спектра входного сигнала. Последнее можно найти из
выражения
(11.2), воспользовавшись теоремой
о свертке для zпреобразований (см. §2.7):
Z { X j ( k )}  X ( z ) Z { ( k , i )} /( NP k )  X ( z )Ф k ( z ),
Фk ( z) 
1
NP k
N 1
  (k i) z
i
i
.
i0
Подставляя выражение (11.8) в уравнение (11.7), получим
697
(11.8)
(11.9)
N 1
Y (z) 
X ( z )  b ( k )Ф k ( z )
k 0
L 1
1
a
m
z
m
m 1
и окончательно
N 1
H p (z)  Y (z) / X (z) 
L 1
 b ( k )Ф k ( z ) /  a m z
k 0
где
ao  1 .
m
(11.10)
,
m0
Передаточную функцию НЦФ легко можно найти из передаточной
функции РЦФ,
равным 1:
если
в последней
принять знаменатель тождественно
N 1
H н (z) 
 H ( k )Ф
k
( z ).
(11.11)
k 0
Частотные характеристики спектральных ЦФ получаются из их
передаточных функций обычной подстановкой
z  exp(   t ) ,  
и будут
1
иметь следующий вид:
N 1
N 1
[  b ( k )Ф ( )]  [  b ( k )Ф k ( )]
ч
k
A p ( ) 
Н
2
k 0
L 1
2
k 0
L 1
,
[  a m cos   tm ]  [  a m sin   tm ]
2
m 0
m 0
N 1
L 1
N 1
L 1
[  b ( k )Ф k ( )][  a m sin   tm ]  [  b ( k )Ф k ( )][  a m cos   tm ]
ч
 p ( )  arctg
(11.12)
2
H
k 0
N 1
m0
L 1
k 0
N 1
m0
L 1
,
[  b ( k )Ф ( )][  a m cos   tm ]  [  b ( k )Ф ( )][  a m sin   tm ]
ч
k
(11.13)
H
k
k 0
m0
k 0
N 1
m 0
N 1
[  Н ( k )Ф k ( )]  [  Н ( k )Ф k ( )] ,
A Н ( ) 
ч
Н
2
k 0
2
(11.14)
k 0
N 1
 Н ( )   аrctg
 Н ( k )Ф
H
k

ч
k
( )
k 0
N 1
,
Н ( k )Ф ( )
(11.15)
k 0
где
Ф ( ) 
ч
k
1
NP k
N 1
 cos(   ti ) ( k i ) ,
i
i0
698
(11.16)
Ф ( ) 
Н
k
1
NP k
N 1
 sin(   ti ) ( k i ) .
i
(11.17)
i0
Передаточная функция и частотные характеристики также содержат полную
информацию о ЦФ и могут быть использованы как для анализа, так и синтеза
ЦФ в спектральной области. Частотные характеристики можно записать и в
функции нормированной частоты w , если положить в них   2 w /  t .
Полученные зависимости
алгоритмов, передаточной функции и
частотных характеристик ЦФ в спектральной области являются
инвариантными относительно системы базисных функций и справедливы
для любых действительных и комплексных ортогональных СБФ. Они носят
обобщенный характер и из них в частном случае при использовании системы
единичных функций
{ ( k  i )}
(см. §4.1) могут быть получены известные
результаты во временной области, приведенные в главе 8.
В соответствии с общей структурой ЦФ в спектральной области их
реализационные характеристики в преобладающей степени зависят от
сложности анализатора спектра и спектрального фильтра, а та в свою очередь
во многом определяется используемой СБФ. Поэтому вычислительная
сложность ЦФ в спектральной
области не является инвариантной
относительно СБФ. Ставя задачу получения более простых в реализации ЦФ
(и особенно НЦФ), можно сформулировать конкретные требования к СБФ,
рекомендуемые для применения в цифровой
фильтрации сигналов.
Основными из них являются: 1) простота базисных функций, позволяющая
исключить из анализа спектра трудоемкие операции умножения; 2) наличие
быстрых алгоритмов анализа скользящего спектра, что сокращает число
вычислительных операций в АС; 3) адекватность СБФ классу ИХ фильтра,
проявляющаяся в соответствии свойств СБФ и ИХ, что может привести к
спектральным характеристикам ЦФ
b (k )
и
H (k )
с большим числом нулевых
значений. Это в свою очередь позволяет дополнительно сократить число
операций, как при анализе спектра, так и при реализации спектрального
фильтра по уравнениям (11.4) и (11.5).
Сущность задачи аналитического синтеза ЦФ в спектральной области
состоит в определении коэффициентов
значений СИХ
H (k )
b (k )
и
am
в рекурсисных фильтрах и
для нерекурсивных ЦФ. Возможны два подхода к ее
решению. Первый подход основывается на использовании формул связи
699
спектральных характеристик ЦФ в спектральной области с параметрами
h (i ) ЦФ
во
временной
области
и
предполагает
решение
bi
и
задачи
аналитического синтеза ЦФ существующими методами во временной
области с последующим переходом в спектральную область. Этот подход
удобен применительно к ЦФ с известными алгоритмами функционирования
во временной области.
Второй подход основывается на прямой постановке и решении задачи
аналитического синтеза в спектральной области. Его применение
целесообразно для вновь разрабатываемых ЦФ. Он является более общим.
Кроме того, при его использовании за счет учета особенностей конкретных
базисных систем возможно получение новых результатов, не достижимых
известными методами во временной области.
Сама постановка задачи синтеза ЦФ в спектральной области и методы
ее решения зависят от класса и типа ЦФ. В данной книге это задача
рассматривается только применительно к нерекурсивным частотным и
полиномиальным фильтрам. Ограничение только классом НЦФ объясняется
их традиционной вычислительной сложностью и
возможностью ее
уменьшения за счет перехода в спектральную область.
Задача синтеза частотных НЦФ в спектральной области так же, как во
временной области, является аппроксимационной задачей и ее постановка
требует
определения
Ф ( , { H ( k )})
аппроксимируемой
B ( )
и
аппроксимирующей
функций и выбора критерия приближения (см. главу 9). При этом
аппроксимируемая функция зависит от вида желаемых частотных
характеристик и имеет точно такой же вид, как и во временной области (см.
§9.4).
Аппроксимирующая
функция
должна
приближаться
к
аппроксимируемой и относительно просто зависеть от СИХ
выбрать удобную для решения задачи аппроксимации функцию
H (k ) .
Чтобы
Ф ( , { H ( k )} ),
рассмотрим частотные характеристики НЦФ с точно линейной ФЧХ. Учет
четности или нечетности N, а также свойств симметрии или асимметрии ИХ
возможных видов частотных НЦФ относительно середины их интервала
определения в общих формулах (11.14), (11.16) и (11.17) приводит к
следующим результатам:
1. Для НЦФ 1-го вида:
700
N 1
H 1 ( k )  h1 (
N 1
) ( k ,
N 1
2
2
)
2
h(
N 1
1
 i )[  ( k ,
2
i 1
N 1
 i)   (k ,
2
N 1
 i )],
2
N 1
A1 ( ) 
H
( k )Ф 1, k ( ),
1
k 0
где
N 1
Ф 1 , k ( ) 
1
N 1
 (k ,
NP k
2
)
2
NP k
2
N 1
i 1
2
 cos( i   t )[  ( k ,
 i)   (k ,
N 1
2
2. Для НЦФ 2-го вида:
N 2
2
H 2 (k ) 
h
(
2
N 2
N 2
 i )[  ( k ,
2
i0
 i)   (k ,
N 2
2
 i )],
2
N 1
A2 ( ) 
H
2
( k )Ф 2 , k ( ),
k 0
где
N 2
Ф 2 , k ( ) 
2
NP k
2
N 2
i0
2
 cos[( i  0 ,5 )  t )][  ( k ,
N 2
 i)   (k ,
2
3. Для НЦФ 3-го вида:
N 1
2
h
H 3 (k ) 
3
(
N 1
N 1
 i )[  ( k ,
2
i 1
 i)   (k ,
N 1
2
 i )],
2
N 1
A3 (  ) 
H
3
( k )Ф 3 , k ( ),
k 0
где
N 1
Ф 3 , k ( ) 
2
2
 sin(
NP k
i   t )[  ( k ,
N 1
 i)   (k ,
N 1
2
i 1
 i )].
2
4. Для НЦФ 4-го вида:
N 2
2
H 4 (k ) 
h
i0
4
(
N 2
N 2
 i )[  ( k ,
2
 i)   (k ,
2
N 1
A4 ( ) 
H
4
( k )Ф 4 , k ( ),
k 0
где
701
N 2
2
 i )],
 i )].
 i )].
N 2
Ф 4 , k ( ) 
2
2
NP k
 sin[(
N 2
i  0 ,5 )  t ][  ( k ,
 i)   (k ,
N 2
2
i0
 i )].
2
Фазочастотные характеристики приведенных НЦФ в спектральной области
совпадают с ФЧХ соответствующих НЦФ во временной области.
Полученные зависимости для АЧХ удовлетворяют требованиям,
предъявляемым к аппроксимирующей функции, и могут быть использованы
в ее качестве как для фильтров с линейной ФЧХ, так и для минимальнофазовых фильтров. В табл. 11.1 приведены аналитические зависимости
аппроксимирующих функций
Ф ( , { H ( k )})
при нормированной частоте для
всех основных типов избирательных фильтров с линейной
минимально-фазовых НЦФ, когда
аппроксимируемые функции
В1 (  )
заданы
и
A ( )
и
 ( )
В 2 ( ) , представляемые
ФЧХ. Для
и вводятся две
выражениями
В1 ( )  A ( ) cos  ( ), В 2 ( )  A ( ) sin  ( ),
аппроксимирующие функции могут быть приняты равными
N 1
 H ( k )Ф
Ф 1 ( , { H ( k )}) 
ч
k
( ),
k 0
N 1
Ф 2 ( , { H ( k )}) 
 H ( k )Ф
Н
k
( ),
k 0
где по-прежнему
Ф ( ) 
ч
k
NP k
Ф k ( ) 
H
1
1
NP k
N 1
 cos( i   t ) ( k , i ) ,
i0
N 1
 sin(
i   t ) ( k , i ) ,
i0
а в случае, когда задана только АЧХ
A ( ) ,
аппроксимирующую функцию
удобно принять такой же, как в избирательных фильтрах с линейной ФЧХ,
потребовав при этом, чтобы нули передаточной функции находились внутри
и на единичной окружности на z-плоскости.
Показатель качества в спектральных частных фильтрах формируется
так же, как и в НЦФ во временной области. Поэтому здесь так же возможны
неоптимизационные методы расчета, при которых выполняется условие
Ф ( , { H ( k )})  B ( ),
(11.18)
и оптимизационные методы, соответствующие условию минимума
среднеквадратического или равномерного критерия оптимизации:
702
Таблица 11.1
НЦФ
N
нечет
ФНЧ
Ф ( w , { H ( k )})
N 1
N 1

H 1 ( k )Ф 1 , k ( w )
k 0
четн
ФВЧ

ПФ

2
NP k
( k )Ф 3 , k ( w )
3
i 1
2
2
N 2
i0
2
NP k
 sin(
2  wi )[  ( k ,
N 1
 i)   (k ,
N 1
 i )]
2
 i)   (k ,
N 2
 i )]
2
 i)   (k ,
N 1
2
i 1
 i )]
2
N 2
H 4 ( k )Ф 4 , k ( w )
2
1
NP k
 sin[
2  w ( i  0 ,5 )][  ( k ,
N 1
 i)   (k ,
N 1
2
i 1
 i )]
2
N 1
N 1
H 1 ( k )Ф 1 , k ( w )
1
N 1
 (k ,
NP k
)
2
1
NP k
2
N 1
i 1
2
 cos ( 2 wi )[  ( k ,
 i)   (k ,
N 1
 i )]
2
N 2
N 1

N 1
 cos( 2 wi )[  ( k ,
 cos[ 2 w ( i  0 ,5 )][  ( k ,
2
1
N 1

2
N 1
N 1
H
k 0
четн
1
NP k
k 0
нечет
1
N 2
H 2 ( k )Ф 2 , k ( w )

N 1
 (k ,
N 1
k 0
четн
1
NP k
k 0
нечет
Ф k (w )
H 2 ( k )Ф 2 , k ( w )
k 0
1
NP k
2
N 2
i0
2
 cos[ 2 w ( i  0 ,5 )][  ( k ,
 i)   (k ,
N 2
 i )]
2
 / t

[ B ( )  Ф ( , { H ( k )})] d   min,
(11.19)
max B (  )  Ф (  , { H ( k )} )  min .
(11.20)
2
0
0     / t
Для функциональных спектральных НЦФ аппроксимирующая функция
остается такой же, как для НЦФ во временной области. Для полиномиальных
НЦФ она сохраняет общий вид (9.36), а для ЦДСФ – (9.39). Дисперсия
оценки k-го параметра в этом случае будет зависеть от СИХ
при помехе с
зависящую от
R n ( )
общего вида связь
H k (m )
k
2
H k (m ) ,
причем
с СИХ выражается через АЧХ
A ( ) ,
(см. формулу (8.25)), а при некоррелированной помехе
дисперсия непосредственно выражается через
2 N 1
k 
2
n
N

[ H k ( m )]
m0
703
Pm
H k (m ) :
2
(11.21)
Формула (11.21) достаточно просто получается из формулы (8.26), если
учесть равенство Парсеваля при спектральном представлении ИХ
hk (i )
в
базисе { ( k , i )} .
11.2 Синтез частотных нерекурсивных цифровых фильтров в спектральной
области
Особенности прямого подхода к синтезу нерекурсивных частотных
фильтров продемонстрируем на примере неоптимизационного метода
синтеза с использованием разложения аппроксимируемой функции в
тригонометрический ряд Фурье (см. §9.5). В этом случае условие (11.18) для
нормированной частоты будет выполняться при следующем способе
вычисления СИХ:
0 ,5

H (k ) 
B ( w )Ф k ( w ) dw ,
(11.22)
0
где
функции
Ф k (w )
конкретных
аппроксимируемая функция
B (w)
НЦФ
указаны
в
табл.
11.1,
а
строится на основе соответствующей
желаемой АЧХ (см. формулы (9.22)-(9.25)). Приведенный алгоритм (11.22)
синтеза спектральных частотных НЦФ носит общий характер и справедлив
для любой ортогональной базисной системы. Применение в нем, например,
системы единичных функций приводит к существующим (см. §9.5)
результатам во временной области. Использование других базисов должно
обуславливаться практической целесообразностью структур получаемых
фильтров. Наличие в функциях
H (k ) ,
Ф k ( ) ,
входящих в формулу (11.22) для СИХ
сумм или разностей симметричных значений базисных функций (см.
табл. 11.1) позволяет сделать вывод в пользу базисных систем, состоящих из
четных и нечетных относительно середины интервала определения базисных
функций (например, составных систем), поскольку в этом случае половина
значений
H (k )
будет равна нулю. Из множества возможных составных
систем в этом случае следует выбирать такие, которые обладают быстрыми
алгоритмами анализа скользящего спектра и функции которых имеют
простые значения.
Из известных систем последнему условию удовлетворяют системы
Уолша и Хаара, принимающие значения  1 и 0 и обладающие
704
высокоэффективными БА скользящего анализа спектра, причем БПХ
являются более быстрыми по сравнению с БПУ (см. главу 7). Однако все
системы Уолша состоят из четных и нечетных функций (а система УолшаХармута является еще и составной системой). Поэтому в базисах Уолша
СИХ будут иметь только N/2 ненулевых значений, а сигнальный граф
скользящего БПУ будет носить прореженный характер. В результате
реализация спектрального частотного НЦФ в базисе Уолша потребует затрат
не более чем (2N-3) сложений и N/2 умножений, причем реальное число
сложений для конкретных значений N может быть и меньшим.
В базисе Хаара только две функции (нулевая и первая) обладают
свойствами четности и нечетности и поэтому только одно значение СИХ
будет равно нулю. Поэтому для частотных НЦФ в этом базисе в общем
случае даже при использовании скользящего БПХ реализационные
характеристики равны
A  N  2 log
2
N 2
и
M  N 1
и НЦФ в базисе Хаара по
количеству умножений уступают НЦФ в базисе Уолша, а по числу сложений
– НЦФ в базисе единичных функций.
Следует отметить, что в системах Уолша и Хаара N является только
четным числом (т.к. там N  2 n ). Это вдвое сокращает число возможных
видов НЦФ с линейными ФЧХ, которые могут быть использованы для
построения избирательных частотных фильтров в спектральной области этих
базисов.
Общий алгоритм расчета СИХ (11.22) по методу разложения в
тригонометрический ряд Фурье для конкретных фильтров может быть
упрощен. Действительно, при подстановке в (11.22) конкретных функций
Ф k (w )
с последующим изменением прядка следования интегрирования по
частоте и суммирования по i в формуле (11.22) появятся интегралы от
произведения
В (w)
на тригонометрические функции косинуса либо синуса,
которые при заданных
В (w)
могут быть вычислены аналитически. В
табл. 11.2 приведены формульные зависимости для СИХ в произвольном
ортогональном базисе для основных типов избирательных фильтров с
В (w) ,
задаваемыми выражениями (9.22)-(9.25), а в табл. 11.3 – модификации этих
зависимостей применительно к системам Уолша.
Таблица 11.2
705
НЦФ
N
ФНЧ
нечет
H (k )
H 1 (k ) 
( w ГП  w ГЗ )
 (k ,
N  1)
Pk

2
N 1
2


[cos( 2  iw ГЗ )  cos( 2  iw ГП )]
4  Pk i ( w ГП  w ГЗ )
2
i 1
четн
2
[ ( k ,
N 1
 i)   (k ,
N 1
2
 i )]
2
H 2 (k ) 
N 2
2


[cos( 2  ( i  0 , 5 ) w ГЗ )  cos( 2  ( i  0 ,5 ) w ГП )]
4  Pk ( i  0 ,5 ) ( w ГП  w ГЗ )
2
i0
ФВЧ
нечет
H 3 (k ) 
2
(1  w ГЗ  w ГП )
 (k ,
N  1)
Pk
[ ( k ,
N 2
 i)   (k ,
N 2
2
 i)]
2

2
N 1
2


[cos( 2  iw ГЗ )  cos( 2  iw ГП )]
4  Pk i ( w ГЗ  w ГП )
2
i 1
четн
2
[ ( k , (
N 1
 i)   (k ,
N 1
2
 i)]
2
H 4 (k ) 
N 2
2


[sin( 2  ( i  0 ,5 ) w ГЗ )  sin( 2  ( i  0 ,5 ) w ГП )]
4  Pk ( i  0 ,5 ) ( w ГЗ  w ГП )
2
i 1
ПФ
2
N 2
[ ( k ,
 i)   (k ,
N 2
2
нечет
 i)]
2
N 1
H 1(k ) 

( w ГП 2  w ГЗ 2  w ГЗ 1  w ГП 2 )
 (k ,
Pk
4  Pk i ( w ГЗ 2  w ГП 2 )
четн
2
)
2
cos( 2  iw ГП 2 )  cos( 2  iw ГЗ 2 )
2
N 1
2
]  [ ( k ,
N 1
[
cos( 2  iw ГЗ 1 )  cos( 2  iw ГП 1 )
4  Pk i ( w ГП 1  w ГЗ 1 )
2
i 1
 i)   (k ,
N 1
2
2
 i )]
2
N 2
2
[
H 2 (k ) 
cos( 2  ( i  0 , 5 ) w ГП 1 )  cos( 2  ( i  0 ,5 ) w ГЗ 1 )
4  ( i  0 ,5 ) Pk ( w ГЗ 1  w ГП 1 )
2
i0

2
cos( 2  ( i  0 ,5 ) w ГЗ 2 )  cos( 2  ( i  0 ,5 ) w ГП 2 )
4  ( i  0 ,5 ) Pk ( w ГП 2  w ГЗ 2 )
2
2
]  [ ( k ,

N 2
 i)   (k ,
N 2
2
 i )]
2
Таблица 11.3
НЦФ
ФНЧ
H (k )
H 2 (k ) 
N 2
2

cos( 2  ( i  0 , 5 ) w ГП )  cos( 2  ( i  0 , 5 ) w ГЗ )
i0
ФВЧ
2  ( i  0 ,5 ) ( w ГП  w ГЗ )
2
2
[ wal ( k ,
N 2
2
H 4 (k ) 
706
 i )  wal ( k ,
N 2
2
 i )]

N 2
2

sin( 2  ( i  0 ,5 ) w ГЗ )  sin( 2  ( i  0 , 5 ) w ГП )
2  ( i  0 ,5 ) ( w ГЗ  w ГП )
2
i 1
ПФ
2
[ wal ( k ,
N 2
 i )  wal ( k ,
N 2
2
 i )]
2
N 2
2
H 2 (k ) 
[
cos( 2  ( i  0 ,5 ) w ГП )  cos( 2  ( i  0 , 5 ) w ГЗ )
2  ( i  0 , 5 ) ( w ГЗ 1  w ГП 1 )
2
i0

2
cos( 2  ( i  0 ,5 ) w ГЗ 2 )  cos( 2 ( i  0 ,5 ) w ГЗ 2 )
2 ( i  0 ,5 ) ( w ГП 2  w ГЗ 2 )
2
2
][ wal ( k ,

N 2
 i )  wal ( k ,
2
N 2
 i )]
2
Пример 11.1. Рассчитать три типа избирательных фильтров ФНЧ, ФВЧ
и ПФ в базисе Уолша-Пэли для N=8 с параметрами: ФНЧ ‒ w ГП
w ГЗ  0 ,38
; ФВЧ ‒
w ГЗ 2  0 ,38
w ГЗ  0 ,13 , w ГП  0 , 38
, ПФ ‒
w ГЗ 1  0 ,13
;
 0 ,13
,
w ГП 1  0 , 21 ; w ГП 2  0 , 3 ;
.
Решение. В базисной системе Уолша-Пэли для N=8 четными являются
нулевая, третья, пятая и шестая функции, а нечетными – остальные функции.
Поэтому для ФНЧ и ПФ не равны нулю значения СИХ H(0), H(3), H(5) и
Н(6), а для ФВЧ - H(1), H(2), H(4) и Н(7). В табл. 11.4 приведены все
значения СИХ данных фильтров.
Таблица 1.4
H(k)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
ФНЧ
ФВЧ
ПФ
1,008082
0,000000
0,000000
-1,221969
0,000000
-0,591748
0,742306
0,000000
0,000000
-0,559238
0,675347
0,000000
1,012058
0,000000
0,000000
-1,207214
-0,037045
0,000000
0,000000
-0,089321
0,000000
-0,368071
1,445201
0,000000
Сигнальные графы ФНЧ и ФВЧ приведены на рис. 11.2 и 11.3.
Сигнальный граф ПФ совпадает с сигнальным графом ФНЧ. Для реализации
каждого графа требуется 13 сложений и 4 умножений. Если потребуется
одновременная реализация двух и более типов фильтров, то за счет
объединения графов можно получить дополнительную экономию операций
сложения.
707
x(j)
x(j-4)
.
.
(2)
Xj-2
(0)
(2)
Xj-2
(1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H(0)
.
y(j)
H(3)
(1)
Xj-1
(0)
H(5)
X(1)
j-1(1)
X(1)
j-1(2)
H(6)
X(1)
j-1(3)
Рис. 11.2 Сигнальный граф ФНЧ в базисе Уолша-Пэли
для N=8
x(j)
x(j-4)
.
.
(2)
Xj-2
(0)
(2)
Xj-2
(1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H(1)
.
.
y(j)
H(2)
H(4)
(1)
Xj-1
(0)
.
X(1)
j-1(1)
X(1)
j-1(2)
.
X(1)
j-1(3)
H(7)
Рис. 11.3 Сигнальный граф ФВЧ в базисе Уолша-Пэли
для N=8
_______________ . _______________
Даже после упрощения алгоритм расчета СИХ остается трудоемким
для ручного счета и должен быть ориентирован на использование ЭВМ. Это
замечание касается и других методов прямого расчета СИХ частотных
фильтров.
708
11.3 Решение задачи синтеза оптимальных полиномиальных фильтров в
спектральной области при помехе с корреляционной функцией общего вида
Рассмотрим общую задачу аналитического синтеза полиномиальных
фильтров в спектральной области произвольного ортогонального базиса при
представлении входного сигнала в виде суммы (10.1) случайной помехи n(i)
с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией
R n ( )
и
полезного сигнала полиномиальнго вида (10.2). Оценка (10.3) k-го параметра
входного сигнала может быть преобразована в спектральную область
ортогонального базиса
{ ( k , i )}
с помощью уравнения
N 1
p k ( j) 
X
r
j
(11.23)
(m ) H k (m )
m0
r
где
H k (m )
являются СИХ спектрального
НЦФ
k-го параметра
полиномиального фильтра r –го порядка
N 1
H k (m ) 
r
h
r
k
( i ) ( m , i ) ,
(11.24)
i0
а
X j (m )
представляет собой, как и ранее, спектр входного сигнала (10.1) в
том же базисе. Дисперсию такой оценки и условие ее несмещенности в
спектральной области несложно получить из дисперсии (10.9) и условия
(10.7) во временной области, используя в них спектральное представление
r
(11.24) ИХ hk (i ) . В результате получим, что
N 1 N 1

2
k

  D (m , m
1
r
2
r
)H k ( m1 ) H k ( m 2 ),
(11.25)
m1  0 m 2  0
где
D ( m1 , m 2 ) 
N 1 N 1
1
2
N Pm1 Pm 2
R
n
( i1 , i 2 ) ( m 1 , i1 ) ( m 2 , i 2 )
(11.26)
i1  0 i2  0
является двумерным спектром корреляционной функции в базисе
{ ( m , i )} , и
N 1
 G (m , ) H
r
k
(m )   k  ,k ,
  0 , 1, ..., r ,
(11.27)
m0
где
G (m , ) 
N 1
1
NP m
 g  ( i ) ( m , i ),
i0
709
(11.28)
а величины
k
принимают те же значения, что и во временной области (см.
§10.1).
Оценка
(11.23)
будет
оптимальной,
если
СИХ
r
H k (m )
будут
определяться из условия минимума дисперсии (11.25) при выполнении
системы ограничений (11.27). В этом случае задача синтеза полиномиальных
ЦФ становится спектральным вариантом задачи Заде-Рагоцини. Ее решение
достигается безусловной минимизацией лагранжиана
N 1 N 1
L [ H ( m ), { }] 
r
k
H
r
k
( m1 ) H k ( m 2 ) D ( m1 , m 2 ) 
r
m1  0 m 2  0
N 1
r
 2   [  G ( m ,  ) H k ( m )      , k ] ,
r
 0
(11.29)
m0
получаемой с помощью решения системы уравнений

 0 , m  0 , 1, ..., N  1, 
H (m )


r
 L [ H k ( m ), {   }]
 0 ,   0 , 1, ..., N  1 . 

 

 L [ H k ( m ), {   }]
r
r
k
(11.30)
Это решение так же, как в временной области можно записать в
компактной матричной форме
1
1
1
H  D G (G D G ) M ,
T
(11.31)
совпадающей по виду с решением во временной области (10.12), однако
отличающейся содержанием матрицы H , D и G (в (11.31) матрица H ‒ это
матрица-столбец СИХ
r
H k (m ) , а матрицы
D
и G являются соответственно
матрицами спектров (11.26) и (11.28) корреляционной функции и функций
g  (i ) ). Дисперсия оценки k-го параметра в этом случае будет равна
 k  H DH
2
T
(11.32)
и зависит от СИХ и корреляционной функции помехи.
Решение задачи оптимальной полиномиальной фильтрации в форме
(11.31) с точки зрения качества фильтрации (равенства нулю
систематических и минимума дисперсии случайных погрешностей)
инвариантно относительно систем базисных функций и справедливо для
любого ортогонального базиса. Это решение общее и позволяет, применяя
различные
базисные системы, записывать алгоритмы оптимальной
фильтрации в различных областях функционального пространства
710
2
lN .
Например, при использовании системы единичных дискретных функций из
(11.31) следует решение (10.12) во временной области.
Поскольку в общем решении (11.31) присутствуют не сами значения
корреляционной функции, а её спектральные составляющие, близкие к нулю
при больших значениях индексов
и
m1
m2
, то это решение обладает
регуляризующим свойством и является корректным по Тихонову. Это
свойство спектральных представлений плохо
обусловленных матриц
отмечалось в работах [48, 58].
Так как с точки зрения качества фильтрации оптимальные
полиномиальные ЦФ в различных базисах эквивалентны, то базисную
систему при конкретном построении фильтров можно выбирать из
требований практической реализации, добиваясь в первую
очередь
минимальных затрат вычислительных ресурсов ЦФ. Это
позволяет
сформулировать определенные соображения по выбору рационального
базиса в полиномиальных фильтрах.
На затраты вычислительных ресурсов при реализации ЦФ в
спектральной области, как уже отмечалось, влияют два фактора: 1) анализ
спектра входного сигнала и 2) число ненулевых отсчетов СИХ спектральных
фильтров и их вид. Из соображений минимизации вычислительных затрат
при анализе спектра наиболее предпочтительны системы функций Уолша и
Хаара. Число ненулевых отсчетов СИХ зависит от вида корреляционной
функции помехи и типовых функций
g  (i )
. Для некоррелированного шума
оно будет минимальным в случае адекватности базисных функций классу
типовых функций
g  (i )
, т.к. в этом случае размерность функционального
пространства для функций
g  (i )
в базисе { ( m , i )} будет минимальной.
В случае некоррелированного шума для нормированных базисных
систем матрица D спектра корреляционной функции с точностью до
постоянного множителя совпадает с единичной матрицей E :
n
2
D 
E
N
и общий алгоритм (11.31) вычисления СИХ можно существенно упростить,
приведя его к более удобному для расчетов виду:
1
H  G (G G ) M .
T
711
(11.33)
Для ненормированных
базисных систем матрица
единичной матрицей, но имеет диагональную структуру
 P01


2 

D  n 
N 



где все
Pm , m  0 , 1, ..., N  1
1
P0
.
.
.
D
не совпадает с




,



1
PN  1 
(11.34)
означают мощности соответствующих базисных
функций. Поэтому в этом случае запись алгоритма определения СИХ
сохраняет прежний вид (уравнение (11.31), хотя сама процедура вычислений
все же упрощается.
Выбор рационального базиса для случая некоррелированного шума
зависит только от вида типовых функций.
11.4 Спектральные алгоритмы оптимальных дифференцирующесглаживающих фильтров для случая некоррелированного шума
СИХ ЦДСФ в общем случае могут быть получены из выражения
(11.31), а в случае некоррелированной помехи в зависимости от
нормированности или ненормированности используемого базиса – из
выражения (11.33) либо из выражения (11.31) при матрице D в виде (11.34).
Поскольку в ЦДСФ полезный сигнал имеет вид степенного полинома и

функции g  ( i )  i ,   0 , 1, ..., r (см. §10.2), то для них матрица
G
с учетом
соотношением (11.28) представляется следующим образом:
 b 00
 0
b1
G  
 .
 0
 b N -1
где элементы
b0
1
...
b1
1
...
.
...
1
...
b N -1
r
b0 
r 
b1 
,
. 

r
b N -1 

b m ( m  0 , 1, ..., N  1;   0 , 1, ..., r )
степенных функций i

и равны

bm 
1
NP m
N 1
i
i0
712

 ( m , i ).
(11.35)
являются спектрами
Введенное здесь специальное, новое по сравнению с главой 4, обозначение
спектра степенных функций использовано для отличия его от обозначения
спектра входного сигнала.
Подставляя в выражения (11.31) или (11.33) значения элементов
матрицы G (11.35) и матриц M из §10.2, можно получить для конкретных r
не только значения СИХ в ненормированных или нормированных базисах, но
и их аналитические зависимости.
Пример 11.2. Определить СИХ и записать уравнения спектрального
ЦДСФ 1-го порядка в нормированном базисе общего вида.
Решение. Используя матрицу
и
M1
G
в виде (11.35) при r=1 и матрицы
M0
из примера 10.1, из выражения (11.33) после преобразований получаем:
H0
N 1
 0 N 1 1 2

1
0 1
 b0  ( b m )  b0  ( b m b m )

m 0
 m 0

N 1
N 1
 0

1 2
1
0 1
1
 b1  ( b m )  b 0  ( b m b m )

 N 1
,
m 0
m 0
N 1
N 1


0 2
1 2
0 1 2
 ( b m )  ( b m )  (  b m b m ) .......... .......... .......... .......... . 
m 0
m 0
m 0


N 1
N 1
0
1
2
1
0
1
b
 ( b )  b N 1  ( b m b m ) 
 N 1 m  0 m
m 0

N 1
 0 N 1 0 1

1
0 2
b
(
b
b
)

b
(
b
)


0
m
m
0
m


m 0
 m 0

N 1
 0 N 1 0 1

1
0
1
 b1  ( b m b m )  b1  ( b m )

H 1  N 1
.
m 0
m 0
N 1
N 1


0 2
1 2
0 1 2
 ( b m )  ( b m )  (  b m b m ) .......... .......... .......... .......... . 
m 0
m 0
m 0


N 1
N 1
0 1
1
0 2
b 0
 ( b b )  b N 1  ( b m ) 
 N 1 m  0 m m
m 0

Матрицы-столбцы
H0
и
можно
H1
упростить, если учесть, что
преобладающее большинство базисных систем содержит нулевую функцию
 (0, i)  1
с мощностью
P0  1 ,
а среднее значение остальных базисных
функций равно 0. Поэтому для них
b0  1 ,
0
713
а все
0
bm
с
m 0
равны 0. Тогда
 N 1 1 2 
  (bm ) 
 m 1

1
1 1
  b 0 b1  ,
H 0  N 1

1 2 
 ( b m ) ...

m 1
  b 1b 1 
0 N 1 

0



1

b
1
1


H 1  N 1


1 2 ...
(
b
)
 m  1 
m 1
  b N  1 
и уравнения спектрального ЦДСФ 1-го порядка принимают следующий вид:
p1 ( j )  
N 1
1
X
N 1
 (b
1
m
)
1
j
( m )bm ,
2 m 1
m 1
N 1
1
b0
p0 ( j )  X j (0) 
X
N 1
 (b
1
m
)
( m ) b m  X j ( 0 )  b 0 p1 ( j ).
1
j
1
2 m 1
m 1
Уравнение для
представлено как в прямой, так и в компенсационной
p 0 (i )
формах записи.
_______________ . _______________
Пример 11.3. Определить СИХ и записать уравнения спектрального
ЦДСФ 1-го порядка в ненормированном базисе.
Решение. Подставляя в общее уравнение (11.31) матрицы D (11.34) и
G
(11.35) при r=1, а также матрицы
M0
и
M1
из примера 10.1, после его
решения получаем
 N 1 1 2

  ( b m ) Pm 
 m 1

1
1 1

,
 b 0 b1 P1
H 0  N 1


1 2
 ( b m ) Pm ...

m 1
1
1
 b b P 
0 N 1 N 1 

0



1

P
b
1
1 1


H 1  N 1


...
1 2
(
b
)
P

 m m
1
m 1
  PN  1b N  1 
и
N 1
1
p1  
X
N 1
 (b
1
m
2
) Pm
1
j
( m ) Pm b m ,
m 1
m 1
N 1
1
p0  X j (0) 
b0
X
N 1
 (b
1
m
2
) Pm
( m ) Pm b m  X j ( 0 )  b 0 p1 ( j ).
1
j
m 1
m 1
714
1
При этом было использовано то же ограничение на базисную систему, что и
в предыдущем примере, а именно: ненормированная система имеет  ( 0 , i )  1
и средние значения всех остальных ее функций равны нулю.
_______________ . _______________
Сравнение результатов приведенных примеров показывает, что
решение в ненормированном базисе отличается от своего аналога в
нормированном базисе только наличием в итоговых уравнениях мощностей
базисных функций
Pm .
При всех
Pm  1
решения, естественно, совпадают.
Из приведенных примеров также следует,
что вычислительная
сложность ЦДСФ 1-го порядка, связанная с числом ненулевых значений его
СИХ, зависит от числа ненулевых элементов матрицы G (11.35) Этот вывод
будет справедлив и для ЦДСФ других порядков.
Матрица G будет содержать минимальное число ненулевых элементов,
если базисные функции будут адекватными классу степенных функций.
Такими базисными функциями являются ортогональные решетчатые
полиномы (см. §4.6).
Для систем
{ Pol ( m , i / N )}

все составляющие b m с
m 
равны нулю,
поэтому матрица G приобретает треугольный вид:
 b00



G  




b0
1
...
1
...
b1
b0 
r
b1 
. 
. 

. 
r
b r 
r
,
в результате чего число ненулевых отсчетов СИХ для заданного r будет
минимальным.
Пример 11.4. Записать СИХ и уравнения спектрального ЦДСФ 1-го
порядка в полиномиальном базисе.
Решение. В этом случае матрица
 b00
G  
0
Pol ( 0 , i / N )  1 , P m  0
1
b0   1
 
1
b1   0
b0 
,
1
b1 
1
при m>0 и
N 1

Pol ( m , i / N )  0 , m  1, 2 , ..., N  1 .
i0
715
Поэтому векторы СИХ
ЦДСФ, получаемые из уравнения (11.31) при
матрице D вида (11.34) и матрицах
H0
M0
и
предыдущих примеров, равны
M1
1
 ( b11 ) 2 P1 
1  b1 
 1 2 
 1
,
( b1 ) P1   b01b11 P1  b1   b01 
1
H1 
0

1 0 
 1  ,

1 2
1
( b1 ) P1   P1b1  b1   1
1
а алгоритм спектрального ЦДСФ запишется в виде следующих уравнений:
p1 ( j )  
1
1
b1
X j (1),
1
p0 ( j )  X j (0) 
b0
1
1
b
X j (1)  X j ( 0 )  b0 p1 ( j ).
1
Спектральные импульсные характеристики
0
H 0 (m )
и
1
H 1 (m )
содержат в этом
случае только по одному ненулевому отсчету.
_______________ . _______________
Результаты, полученные в примере 11.4, могут быть обобщены. Можно
показать, что СИХ к-го канала ЦДСФ r-го порядка в полиномиальном базисе
содержит только одно ненулевое значение и уравнение оценки параметра
pk ( j )
имеет простейший вид:
pk ( j) 
(  1)
k
k
bk
(11.36)
X j ( k ),
где
1
b 
k
k
NP k
N 1
i
k
Pol ( k , i / N ).
(11.37)
i0
Следует отметить, что из уравнения (11.36) можно получить полезную
формулу для ИХ ЦДСФ во временной области:
h (i ) 
k
k
Если функции
1
N
N 1

k
H k (m )
m 0
Pol ( k , i / N )
Pol ( m , i / N ) 
Pm
(  1)
k
k
Nb k Pk
Pol ( k , i / N ).
(11.38)
k
известны, а для величин b k по формуле (11.37)
получены аналитические выражения, то соотношение (11.38) задает удобный
способ получения общего математического описания ЦДСФ во временной
области.
716
Пример
11.5.
Записать
уравнения
ЦДСФ
полиномиальном базисе Лежандра. Вычислить ИХ
Решение.
В
базисе
P0  1 ,
Pol (1, i / N )  i  ( N  1) / 2 ,
Лежандра
1
h1 ( i )
(см.
, а
P1  ( N  1) / 12
2
1-го
через СИХ
§4.6)
b0  1 ,
0
порядка
H 1 (m ) .
1
Pol ( 0 , i / N )  1 ,
b0  ( N  1) / 2 ,
1
в
b1  1 .
1
Поэтому
p1 ( j )   X j (1),
p0 ( j )  X j (0) 
N 1
2
p1 ( j )
.
Импульсная характеристика
h1 ( i ) 
1
и совпадает с ИХ
h1 ( i ) ,
1
 12 [ i  ( N  1) / 2 ]
N ( N  1)
2

6 ( N  1)  12 i
N ( N  1)
2
полученной в примере 10.1 из решения общего
матричного уравнения (10.15).
_______________ . _______________
Анализ спектра в полиномиальных базисах весьма трудоемок, что
обусловлено достаточно сложной для вычислений аналитической записью
самих функций этих систем, особенно функций с большими номерами, и
отсутствием в них алгоритмов быстрых преобразований. В соответствии с
этим, несмотря на минимальную размерность спектральных фильтров,
реализация ЦДСФ в полиномиальных базисах остается достаточно сложной
и соизмеримой с реализацией ЦДСФ во временной области. Однако запись
ЦДСФ в полиномиальных базисах оказывается весьма полезной в
теоретическом плане, т.к. из нее следует удобное общее описание ИХ ЦДСФ
любого порядка во временной области.
С другой стороны, именно зависимость СИХ от спектра степенных
функций делает целесообразным применение функций Уолша при синтезе
оптимальных ЦДСФ, поскольку, во-первых, для класса степенных функций
спектр Уолша имеет размерность, меньшую N (см. §4.7); во-вторых, данные
функции принимают только значения +1 и -1 и для них существуют
эффективные методы БПУ; в-третьих, для упорядочения Пэли спектр Уолша
степенных функций имеет аналитическое описание в виде показательных
функций с основанием 2. Все это приводит к тому, что СИХ в базисе Уолша
содержат ряд нулевых составляющих, а ненулевые составляющие
представляются в двоично-рациональном виде. Это в свою очередь позволяет
717
исключить часть умножений, а оставшиеся умножения заменить на более
короткие операции сдвига.
Пример 11.6. Записать уравнения ЦДСФ 0-го и 1-го порядков в базисе
Уолша-Пэли.
Решение. Система Уолша-Пэли является ортонормированной системой
и для нее
при m>0,
b0  1 , bm  0
0
0
отличном от 0 и
2

(
b2   
b0  ( N  1) / 2 ,
1
1
N
2

а
,
4
bm  0
1
при m,
Поэтому алгоритмы ЦДСФ в базисе
 0 , 1, ..., n  1) .
Уолша-Пэли легко можно получить из результатов примера 11.2:
r=0
p 0 ( j )  X j ( 0 ),
r=1
p1 ( j ) 
N

1
N
2

1

X j (2 )2

,
 0
n 1
3N
p0 ( j )  X j (0) 
n 1
3N

X j (2 )2

 X j (0) 
N 1
2
 0
p1 ( j ).
_______________ . _______________
Пример 11.7. Записать алгоритм ЦДСФ 2-го порядка в базисе УолшаПэли.
Решение. В этом случае матрицы
b0  ( N  1)( 2 N  1) / 6
2
M 0  [1 0 0 ] , M 1  [ 0  1 0 ] , M 2  [ 0 0 1] ,
T
T
2
(  2)
2
, b 2   N ( N  1) 2
, b2


m, отличном от 0, 2  и 2 
1
2
1
2
T
 N 2
2
 ( 1   2  3)
(  1  0 , 1, ..., n  2 ;  2   1  1, ..., n  1 )
и все
2
bm
а
с
равны нулю
(см. §4.7). Поэтому решение общего матричного уравнения (11.33) при
матрице G в виде (11.35) с r=2 приводит к следующему результату:
p2 ( j) 
p1 ( j ) 
3N
N
2
45 N
2 ( N  1)( N  4 )
2
n 1

1
2

X j (2 )2


 0

3N
2( N
2

 1)
1
2
2
)2
 ( 1   2 )
,
 1  0 2   1 1
n2
2

X j (2 )2

n 1
 
2 ( N  1)( N  4 )
X j (2
1
2
2
)2
 ( 1   2 )

 1  0 2   1 1
 ( N  1) p 2 ( j ),
 0

X j (2 )2

 0
 X j (0) 
X j (2
2

1
n 1
n 1
 
45 N
n 1
3N
N
p0 ( j )  X j (0) 
n2
2
N 1
2

15 ( 2 N  1) N
2
4 ( N  1)( N  4 )
2
p1 ( j ) 
n2
 
 1  0 2   2 1
( N  1)( 2 N  1)
718
6
n 1
p2 ( j) .
X j (2
1
2
2
)2
 ( 1   2 )

Уравнения ЦДСФ приведены здесь как в прямой, так и в компенсационной
формах записи.
________________ . _______________
Из алгоритмов ЦДСФ 0-го ÷ 2-го порядков, полученных в примерах
11.6 и 11.7, следует, что в терминах спектров Уолша-Пэли в ЦДСФ нулевого
порядка не равно нулю только значение СИХ нулевого ранга
первого порядка не равны нулю значения СИХ нулевого
1

H 1 (2 )
0
H 0 (0) ,
1
H 0 (0)
в ЦДСФ
и первого
рангов, а в ЦДСФ второго порядка не равные нулю значения СИХ
нулевого
H 0 (0) ,
2
первого
2
и второго H 22 ( 2   2  ) рангов. Все

1
H 0 (2 )
2
ненулевые значения
с
точностью до постоянного множителя
представляются в виде двойки в определенной степени. Эти свойства
проявляются и в ЦДСФ более высоких порядков. Можно показать (см.
следующий параграф), что в общем случае в ЦДСФ r-го порядка не равны
нулю только значения СИХ от нулевого до r-го рангов, т.е. максимальной
ранг ненулевых значений СИХ в базисе Уолша-Пэли совпадает с порядком
ЦДСФ, а все ненулевые значения СИХ можно представить в двоичнорациональном виде. Это является отличительной особенностью ЦДСФ в
базисе Уолша-Пэли.
Базис Хаара имеет более эффективные алгоритмы анализа спектра по
сравнению с базисом Уолша, но все

bm
в этом базисе не равны нулю и имеют
двоично-рациональный вид только для   1 (см. §4.8). Поэтому практическая
целесообразность применения ЦДСФ в базисе Хаара не выходит за рамки
ЦДСФ 1-го порядка.
Пример 11.8. Записать алгоритм ЦДСФ 1-го порядка в базисе Хаара.
Решение. Алгоритм ЦДСФ 1-го порядка в базисе Хаара можно
получить различными способами. Рассмотрим два их них.
Первый способ основывается на использовании общего результата,
полученного в примере 11.3 для произвольного ненормированного базиса.
Подставляя в него значения спектров
из §4.8 и мощностей
1
bm
функций Хаара, получим:
p1 ( j ) 
3N
N
2
n 1

2 1
 [
1
 0

X j ( 2   )] 2
 0
p0 ( j )  X j (0) 
719
N 1
2
p1 ( j )
.
 2
,
Pm
, базисных
Во втором способе используются алгоритм ЦДСФ 1-го порядка в
базисе Уолша-Пэли и уравнение (4.129) взаимосвязи спектров Уолша и
Хаара. Действительно, если в алгоритме для

X j (2 )  2

2

1
X
pk ( j)
примера 11.6 учесть, что

j
( 2   ),
 0
то
p1 ( j ) 
3N
N
2
n 1

1
 0
2

2

1
[  X j ( 2   )] 2



 0
3N
n 1 2
1
 [  X j ( 2   )] 2
N  1  0
2


2
.
 0
Результаты, полученные с помощью
двух рассмотренных
способов
совпадают.
_______________ . _______________
Дисперсии случайных погрешностей оценки параметров сигнала с
помощью спектральных ЦДСФ и соответствующие им коэффициенты
сглаживания не зависят от базиса, поэтому для их вычисления могут быть
использованы те же соотношения, что были получены в главе 10 для ЦДСФ
во временной области. В случае необходимости их можно определить и
непосредственно в спектральной области, причем дисперсии – по общей
формуле (11.32), а коэффициенты сглаживания для некоррелированной
помехи в виде математического белого шума – по формуле
1
 
r
k
N
N 1

r
[ H k ( m )]
2
, k  0 , 1, ..., r ,
Pm
m0
получаемой из равенства Парсеваля для ИХ и СИХ, а также из формулы для
дисперсии (11.21).
Пример 11.9. Определить коэффициенты сглаживания оценки первого
параметра в ЦДСФ 1-го порядка в базисах Лежандра, Уолша и Хаара.
Решение. В базисе Лежандра (см. пример 11.5) СИХ
только одно ненулевое значение
H 1 (1)  1
1 
1
1
1

NP1
и
P1  ( N  1) / 12
2
12
N ( N  1)
2
1
H 1 (m )
имеет
, поэтому
.
В базисе Уолша-Пэли СИХ первого параметра содержит n ненулевых
значений первого ранга (см. пример 11.6)

H 1 (2 ) 
1
3N
N 1
2
2

,   0 , 1, ..., n  1
720
и все
поэтому
Pm  1,
 
1
1
1
N
n 1
3N
 (N
 0
2
2
1
) 2
2

12
N ( N  1)
2
.
В базисе Хаара (см. пример 11.8) не равны нулю все значения СИХ
и

H 1 (2   ) 
1
3N
N 1
2
2
2

H 1 (2   )
1

,   0 , 1, ..., n  1;
  0 , 1, ..., 2  1,

P2     2 .
Поэтому для него

 
1
1
1
N
n 1 2 1

(
 0  0
3N
N 1
2
2
) 2
 4

2 
1
N
n 1

 0
(
3N
2
N 1
2
) 2
 2

12
N ( N  1)
2
.
Все полученные результаты совпадают между собой и с результатом во
временной области примера 10.1. Этот вывод будет справедлив и для ЦДСФ
других порядков.
_______________ . _______________
11.5 Синтез оптимальных полиномиальных фильтров методом
аппроксимации в спектральной области
2
lN
функционального пространства
Общий метод расчета ЦДСФ на основе матричных решений (11.31) и
(11.33) при всей своей полезности достаточно трудоемок. С его помощью
затруднительно получение общего аналитического выражения для СИХ
ЦДСФ произвольных порядков. Для случая некоррелированного шума
можно предложить другой метод аналитического синтеза ЦДСФ,
приводящий к аналитическому описанию алгоритм фильтрации любых
порядков. Метод основывается на сведении задачи аналитического синтеза
ЦДСФ к задаче аппроксимации в спектральной области
2
lN
функционального
пространства ортогонального базиса и представляет собой по сути метод
наименьших квадратов, записанный в спектральной области.
При использовании этого метода параметры
функции
Ф ( i , { p m ( j )})
pm ( j)
аппроксимирующей
, имеющей вид (9.39), находятся в результате решения
уравнения, представляющего собой математическую запись критерия
минимума дисперсии погрешности оценки в спектральной области
произвольного ортогонального базиса для некоррелированного входного
шума:
721
2
x ( j  i )  Ф ( i , { p m ( j )})
N 1

[X
( k )  Ф j ( k )] Pk  min .
2
j
(11.39)
k 0
При записи уравнения (11.39) использовано выражение (3.8) для метрики
пространства
. В этом уравнении величины
2
lN
аппроксимирующей функции
базисе с мощностью
Ф j (k ) 
1
NP k
Pk
являются спектром
Ф j (k )
в произвольном ортогональном
Ф ( i , { p m ( j )})
. Его можно выразить через искомые параметры
N 1
 Ф (i ,{ p
pm ( j) :
r
( j )} ( k , i )   (  1) p m ( j ) b k ,
m
m
i0
m
(11.40)
m0
где, как и ранее,
m
k
b
N 1
1

NP k
i
m
 ( k , i ).
i0
Тогда уравнение (11.39) можно привести к следующему виду
N 1
 [ X j (k ) 
k 0
r
 (  1)
m
p m ( j ) b k ] Pk  min .
m
2
(11.41)
m 0
Решение уравнения (11.41) эквивалентно решению системы
лгебраических уравнений с r  1 неизвестными
N 1
r
 (  1)
m 0
m
N 1
p m ( j )  b b k Pk   X j ( k ) b k Pk ,
m
k

k 0

  0 , 1, ..., r ,
r 1
(11.42)
k 0
которая по структуре близка к аналогичной системе уравнений (10.22) во
временной области, но носит более общий характер и справедлива для
любого ортогонального базиса. В частном случае, при базисе в виде системы
единичных функций, система уравнений (11.42) совпадет с системой
уравнений (10.22).
Применяя способ Крамера, из системы (11.42) можно получить
решение, по форме записи совпадающем с решением (10.23) во временной
области, но с другим представлением главного

и частных
m
определителей. Выражая, как и в §10.2, частные определители через
элементы столбца свободных членов, можно найти общее решение в
спектральной области в прямой форме записи:
N 1
pm ( j) 
 (  1)
k 0
r
m
X j ( k )  b k Pk  m (  ) /  .

 0
Это решение можно выразить и через СИХ, если принять
722
(11.43)
H (k ) 
r
m
(  1)
m

r


m
(  ) b k Pk .
(11.44)
 0
В выражениях (11.43) и (11.44) величины
 m ( )
означают алгебраические
дополнения m-го определителя по элементам  -го столбца системы
уравнений (11.42).
Если для решения системы уравнений (11.42) использовать способ
Гаусса, то можно получить ее решение в компенсационной форме записи:
N 1
pm ( j) 

r

X j (k ) H (k ) 
m
m
p  ( j ) d ( N , m ,  ), m  0 , 1, ..., r  1 .
(11.45)
  k 1
k 0
Компенсационные коэффициенты
d (N , m, )
решения в спектральной области
не зависят от базиса и должны совпадать с компенсационными
коэффициентами в временной области. При использовании системы
единичных функций решение (11.45) переходит в решение (10.27) во
временной области. Коэффициенты сглаживания определяются так же, как и
в предыдущих параграфах.
Решения (11.43) и (11.45) совпадают с решениями, полученными ранее
в §11.4. Если спектры степенных функций конкретных базисных систем
содержат нулевые значения, то систему уравнений (11.42) можно упростить,
а следовательно, упростить и саму процедуру ее решения. Из приведенных
ранее систем базисных функций таким свойством обладают спектры
степенных функций в базисах Хаара, Уолша и в полиномиальных базисах.
Для систем Хаара
b 0  1 , а все b k  b 2   m  0 (см. §4.8), поэтому
0
0
0
система уравнений (11.42) принимает следующий вид
r
p0 ( j ) 
 (  1)


p  ( j ) b0  X j ( 0 ),
 1

r
p0 ( j ) 
 (  1)



p  ( j )( b0 b0 
 1
n 1 2 1
 b
 0 m 0


2 m

b2   m 2

)


 X j ( 0 ) b0 
n 1 2 1
X
 0 m 0

j

( 2  m ) b2  m 2

,   1, 2 , ..., r .
Для малых значений r ее решение приводит к простым алгоритмам ЦДСФ,
совпадающим с алгоритмами, полученными в предыдущем параграфе на
основе общего матричного уравнения (11.31).
723
Пример 11.10. Записать алгоритм оптимального ЦДСФ 1-го порядка в
базисе Хаара.
Решение. При r=1 система уравнений в базисе Хаара содержит всего
два уравнения
p 0 ( j )  p1 ( j ) b0  X j ( 0 ),
1


n 1 2 1
p 0 ( j )  p1 ( j )[( b0 ) 
1
2
  (b
0 m 0
n 1 2 1

) 2 ]  X j ( 0 ) b0 
1
2

2 m
1

0 m 0

X j ( 2  m ) b2
1

m
2
и имеет решение

n 1 2 1
X

j
 0 m0
p1 ( j )  
( 2  m )b2   m 2
1

,

n 1 2 1
  (b
 0 m0
1
2

2 m
) 2

p 0 ( j )  X j ( 0 )  b0 p1 ( j ),
1
которое при использовании зависимостей спектров Хаара линейной функции
(см. пример 4.27) приводится к следующему виду

n 1 2 1
3N
p1 ( j ) 
N
2
[ X
1
 0

j
( 2  m )] 2
 2
,
m 0
p0 ( j )  X j (0) 
N 1
2
p1 ( j ).
Выведенный алгоритм ЦДСФ совпадает с алгоритмом, полученным в
примере 11.8 матричным методом.
______________ . _______________
В базисе Уолша-Пэли в
спектрах
степенных

bk
функций все
составляющие с номерами ранга выше показателя степени  равны нулю (см.
§4.7), поэтому система уравнений (11.42) может быть упрощена и приведена
к следующему виду:
r
 (  1)


p  ( j ) b0  X j ( 0 ),
 0
r
 (  1)


p ( j )
 1

bk bk 
1
k ( R 1)

1
X j ( k ) bk ,
k ( R 1)
........
(  1) p r ( j )
r

bk bk 
r
r
k ( Rr )

k ( Rr )
724
r
X j ( k )bk .

Специфика данной системы такова, что последнее уравнение включает в
себя
только один неизвестный параметр
параметра
параметров
pr ( j)
p ( j )
и
p r 1 ( j )
pr ( j) ,
предпоследние – два
и т.д. В соответствии с этим процесс вычисления
целесообразно проводить, начиная с параметра высшего
порядка. В общем виде значение параметра
на выходе ЦДСФ r-го
pm ( j)
порядка можно записать так
pm ( j) 
X
(  1) b
m
j
( k )[

k(Rm)
m
k
m
k
(b )
r
2
 (  1)
]
 m
b
p  ( j )[
  m 1
k (Rm)

k
m
bk
k (Rm)

m
( bk )
2
].
k(Rm)
Его можно представить и в компенсационной форме записи
pm ( j) 
X
r
j

(k ) H (k ) 
m
m
p  ( j ) d ( N , m ,  ),
(11.46)
  m 1
k (R m)
если принять
 (b
H m ( k )  (  1) b k /
m
m
m
m
k
2
) ,
(11.47)
k ( R m )
d ( N , m ,  )  (  1)
b
 m

k
m
bk /
k (R m)
 (b
m
k
)
2
(11.48)
k (R m)
Как следует из формул (11.47) и (11.48) и СИХ, и компенсационные
коэффициенты зависят только от значений спектра Уолша-Пэли степенных
функций, причем в ЦДСФ r-го порядка используются спектры ранга не
более r. Используя их общую запись в виде формулы (4.114), СИХ m-го
параметра, например, можно представить как
(  1)
H ( k ( R  m )) 
m
m
m 1
nm
2
N m !  ...
m
 0
2m
2
 (  1  ...   m )
, m  1, 2 , ..., r .
n 1

2
 2 (  1  ...   m )
(11.49)
 m   m 1  1
Используя формулу (4.114), в развернутом виде можно записать и
компенсационные коэффициенты. Результаты преобразований показывают,
что значения компенсационных коэффициентов в базисе Уолша-Пэли
совпадают с их значениями в базисах Хаара и единичных функций. Это
подтверждает уже отмечавшийся факт независимости компенсационных
коэффициентов от используемой системы базисных функций.
725
Пример 11.11. Синтезировать алгоритм ЦДСФ 1-го порядка методом
аппроксимации в спектральной области
функционального пространства с
2
lN
базисом Уолша-Пэли.
Решение. Для r=1 из уравнения (11.46) и формул (11.47)-(11.49)
получаем
1
3N

H 1 ( k ( R  1))  H 1 ( 2 ) 
1
N 1
2
2

,
H 0 ( k ( R  1))  H 0 ( 0 )  1,
0
1
d ( N , 0 ,1)   ( N  1) / 2
и

p1 ( j ) 
X j (k ) H 1 (k ) 
k ( R 1)
p0 ( j ) 
X
3N
1
N
2
n 1
X
1

j
(2 )2
,
 0
( k ) H 0 ( k )  d ( N , 0 ,1) p1 ( j )  X j ( 0 ) 
0
j

N 1
2
k (R 0)
p1 ( j ) .
Результат этого примера совпадает с результатом примера 11.6.
_______________ . _______________
Для полиномиальных базисных систем все составляющие

bk
с
k 
равны нулю, поэтому система уравнений (11.42) приобретает вид
r
 (  1)
m
p m ( j ) b 0  X j ( 0 ),
m
m 0

r

(  1) p m ( j )  b k b k Pk 
m
m 0
m

k 0


k 0
  1, 2 , ..., r .





X j ( k ) b k Pk 




(11.50)
Ее решение позволяет получить уравнения оптимальных ЦДСФ любых
порядков в различных полиномиальных базисах.
Пример 11.12. Записать алгоритм оптимального ЦДСФ 1-го порядка в
базисе Лежандра.
Решение. При r=1 из (11.50) имеем
p 0 ( j ) b0  p1 ( j ) b0  X j ( 0 ),
0
1
p 0 ( j ) b0 b0  p1 ( j )[( b0 )  ( b1 ) P1 ]  X j ( 0 ) b0  X j (1) b1 P1 .
0
При этом учтено, что
1
P0  1 .
1 2
1 2
1
1
Решая записанную систему из двух уравнений,
получаем
726
p1 ( j )  
1
1
b1
X j (1),
p 0 ( j )  X j ( 0 )  b0 p1 ( j ) ,
1
а, используя значения спектров Лежандра
1
b0
и
1
b1
линейной функции (см.
§4.6), приходим к следующему окончательному результату:
p1 ( j )   X j (1), p 0 ( j )  X j ( 0 ) 
N 1
2
p1 ( j ).
Он совпадает с результатом примера 11.5.
_______________ . _______________
Зависимость СИХ и алгоритмов ЦДСФ от свойств спектров степенных
функций, которые в свою очередь зависят от используемых систем базисных
функций, подсказывает еще один полезный подход к аналитическому
синтезу ЦДСФ. Этот подход рассмотрим в следующем параграфе.
11.6 Аналитический синтез полиномиальных фильтров методом подбора
базиса
Этот метод позволяет записать задачу цифровой фильтрации в
терминах выбранной системы базисных функций, что в конечном счете и
обуславливает одну из важных его особенностей – возможность на единой
математической основе решать задачи синтеза
оптимальных и
квазиоптимальных фильтров [48].
Обратимся к общей постановке задачи синтеза ЦДСФ, считая, что
входной сигнал представляется в виде (10.1). Его спектр по некоторой
системе базисных функций
{ ( k , i )}
записывается выражением (11.2) и в
следствии свойств аддитивности помехи состоит из двух составляющих
X j ( k )  U j ( k )  N j ( k ).
Первая из них определяет спектр полезного сигнала
помехи
(11.51)
u ( j  i) ,
а вторая - спектр
n( j  i) :
N j (k ) 
1
NP k
Если система базисных функций
N 1
 n ( j  i ) ( k , i ) .
i0
{ ( k , i )}
выбрана таким образом, что часть
спектральных коэффициентов полезного сигнала равна нулю, то данные
коэффициенты в соответствии с выражением (11.51) будут содержать только
727
помеховую составляющую и, следовательно, могут быть исключены без
искажения полезного сигнала.
При восстановлении сигнала по оставшемуся спектру образуется
сигнал
x( j  i) ,
состоящий из той же полезной составляющей
оставшейся не отфильтрованной части помехи
x ( j  i ) = u ( j  i ) + n ( j  i ) =
и
n ( j  i ) :
X
kk
u ( j  i)
j
( k ) ( k , i ) .
(11.52)

В выражении (11.52) суммирование проводится по номерам, принадлежащим

области k номеров неисключенных спектральных коэффициентов.
Сигнал
x( j  i)
по виду совпадает с полезной составляющей
(9.37), однако имеет другие значения параметров
собой оценку искомых параметров
p ( j) ,
u ( j  i)
представляющих
p ( j ) :
r


x ( j  i ) =  (  1) p  ( j ) i .
(11.53)
 0
Таким образом, при этом способе преобразования сигнал
x( j  i)
является отфильтрованным сигналом, с определенной степенью точности
аппроксимирующим исследуемый входной сигнал
рассматривать в качестве аппроксимирующей функции
x( j  i) .
Ф ( i , { p m ( i )})
11.4а приведена геометрическая интерпретация процесса
полезного сигнала
u ( j  i ) (кривая
Его можно
. На рис.
аппроксимации
1) с наложенным случайным шумом
(кривая 2). Аппроксимирующая функция имеет вид кривой 3. На рис. 11.4б
представлено изображение этого процесса в спектральной области базиса
{ ( k , i )} ,
причем неучитываемые (исключаемые) коэффициенты условно
отмечены «крестиком».
Для определения параметров аппроксимирующего полинома (11.53)
разложим сигнал
x( j  i)
функций
Тогда
{ ( k , i )} .
r
 (  1)
 0

(11.52) с учетом его записи в виде (11.53) по системе
p ( j)
1
NP m
N 1
i
i0


X
k k

j
(k )
1
NP m
N 1
  ( k , i ) ( m , i ).
i0
Из данного выражения, используя свойство ортогональности СБФ, нетрудно
получить следующую систему алгебраических уравнений:
728
r
 (  1)


p  ( j ) b k  X j ( k ),

kk .
(11.54)
 0
Из возможных структурных организация этой
системы уравнений,
зависящих от вида выбранного базиса, практическое значение имеют
системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и в которых
число уравнений больше числа неизвестных.
x, n, u
3
2
1
0
1
2
3
. . .
4
N-2 N-1
i
а)
X (k)

0
1

2 3
k
N-2 N-1
. . .
4
б)
Рис. 11.4 Аппроксимация полезного сигнала
а) во временной области;
б) в спектральной области
В первом случае система (11.54) имеет единственное решение
pm ( j) 
 (  1)
kk

r
m
X ( k )  bk  m (  ) /  ,
 0
729

(11.55)
по виду записи близкое к решению (11.43) и для некоррелированной помехи
совпадающее с ним в смысле равенства нулю систематических и минимума
дисперсии случайных погрешностей. Коэффициент сглаживания оценки mго параметра при этом будет иметь следующий вид
 
r
m
1
N
r
 [ b
k k


k
 m (  ) /  ] / Pk
2
 0
(11.56)
и совпадет с его оптимальной записью (см. §11.4).
Во втором случае для решения системы (11.54) можно использовать
различные методы, приводящие к различным видам
фильтрующих
алгоритмов. Если применить к ней известный метод нормальных уравнений
Гаусса, то параметры
pm ( j)
можно найти из решения эквивалентной системы
уравнений
r
 (  1)
m0
m
p m ( j )  bk bk 

k k
X
m

k k

j
( k )bk ,   0 , 1, ..., r ,

так же приводящей к алгоритмам оптимальной оценки с коэффициентом
сглаживания в виде (11.56). Можно изменить процедуру Гаусса и учитывать
при формировании каждого эквивалентного уравнения не все уравнения
системы (11.54), а только некоторую ее часть. Такая модификация метода
Гаусса упрощает получаемые при этом алгоритмы фильтрации за счет
уменьшения размерности спектрального фильтра, однако приводит к
увеличению уровня случайных погрешностей по сравнению с их
минимальной величиной в оптимальном фильтре. Если это увеличение
допустимо, то с помощью модифицированного метода нормальных
уравнений Гаусса на основе системы (11.54) можно решать задачу синтеза
квазиоптимальных ЦДСФ. Выбор количества и вида используемых
уравнений системы (11.54) можно осуществлять в этом случае из решения
неравенства
m  m
r
где
m
r
ДОП
r
ДОП
,
(11.57)
‒ допустимое значение коэффициента сглаживания m-го
параметра, связанное с допустимым уровнем дисперсии случайных
погрешностей в оценке m-го параметра ЦДСФ r-го порядка.
Задачу квазиоптимальной оценки параметров в подобной постановке
можно решить и с использованием другого метода решения системы
730
уравнений (11.54). В работе [48] этот метод назван методом конечных сумм.
Суть его состоит в том, что каждое уравнение эквивалентной системы
формируется простым суммированием правых и левых частей определенного
числа уравнений системы (11.54). Получаемая при этом система в общем
виде записывается так:
r
 (  1)
m 0
m
p m ( j )  bk 
m

k k 
где в каждом

X
j
( k ) ,   0 , 1, ..., r ,

(11.58)
k k 
-м уравнении суммирование проводится по всем значениям
индекса k, принадлежащим подобласти
k


области
k

.
Решение системы (11.58) так же можно представить в форме уравнения
(11.55) с соответствующими записями алгебраических дополнений
 m ( )
и
главного определителя  . При этом коэффициент сглаживания определится
выражением (11.56), а вид и необходимое число уравнений системы (11.54),
используемых
при формировании каждого уравнения эквивалентной
системы (11.58), ‒ из условия (11.57).
Модифицированный метод нормальных уравнений Гаусса и метод
конечных сумм позволяют найти алгоритмы фильтрации, отличающиеся по
сложности реализации. Выбор конкретного метода зависит от допустимого
уровня случайных погрешностей и сложностных требований, предъявляемым
к ЦФ.
Проиллюстрируем возможности приведенных методов синтеза ЦДСФ
на примерах использования полиномиальных базисных функций и функций
Уолша. В соответствии со свойством спектров степенных сигналов в
полиномиальном ортогональном базисе
{ Pol ( m , i )}
система уравнений (11.54)
в развернутой форме записи представляется так:
p 0 ( j ) b 0  p1 ( j ) b 0  ...  (  1) p r ( j ) b 0  X j ( 0 ), 

1
r
r
 p1 ( j ) b1  ...  (  1) p r ( j ) b 0  X j (1), 

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . 

r
r
(  1) p r ( j ) b r  X j ( 0 ), 
0
1
r
r
(11.59)
где
X j (m ) 
1
NP m
N 1

x ( j  i ) Pol ( m , i );
i0
731
bm 
k
1
NP m
N 1
i
i0
k
Pol ( m , i ).
Система (11.59) совместна и имеет единственное решение, которое можно
записать в виде (11.55). Однако треугольный вид этой системы позволяет
получить более удобное аналитическое описание ее решения в
компенсационной форме записи:
pk ( j) 
(  1)
k
bk
k
r
X j (k ) 

(  1)
 k

p ( j )
  k 1
bk
k
,
k  0 , 1, ..., r .
(11.60)
bk
Выражение (11.60) определяет алгоритм работы r-го порядка в базисе
{ Pol ( m , i )} .
k
Здесь ( 1) k / b k ‒ спектральная ИХ k-го
параметра ЦФ k-го
порядка; (  1)   k bk / bkk ‒ компенсационные члены по параметрам более
высокого порядка. При r =k выражение (11.60) приобретает простой вид:
pk ( j) 
(  1)
k
X j (k )
k
bk
и совпадает с выражением (11.36).
Пример 11.13. Записать уравнения оптимального ЦДСФ 1-го порядка в
полиномиальном базисе Лежандра.
Решение. При r=1 система (11.59) приобретает следующий вид:
p 0 ( j ) b0  p1 ( j ) b0  X j ( 0 ),
0
1
 p1 ( j ) b1  X j (1)
1
и имеет решение
p1 ( j )  
p1 ( j ) 
совпадающее
с
1
1
b1
1
b
решением
0
0
X j (1)   X j (1),
1
X j ( 0 )  p1 ( j )
примеров
b0
b
0
0
 X j (0) 
11.5
N 1
и
2
p1 ( j ),
11.12.
результирующих уравнений учтены значения спектров
При
0
b0
записи
и
1
b0
в
полиномиальном базисе Лежандра.
_______________ . _______________
В спектре Уолша-Пэли дискретных степенных функций i k все
составляющие ранга более k (см. §4.7) равны нулю. Поэтому в базисе УолшаПэли
{ pal ( m , i / N )}
система уравнений (11.54) имеет вид
732


 0

r



1
 (  1) p  ( j ) bk ( R  1)  X j ( k ( R  1)) (( n ) уравнений ); 
 1

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .


r
r
r
(  1) p r ( j ) b k ( R  r )  X j ( k ( R  1)) (( n ) уравнений ). 
r
 (  1)


p  ( j ) b 0  X j ( 0 );
(11.61)
Здесь
X j (k ) 
1
N
N 1
 x ( j  i ) pal ( k , i / N ),

bk 
i0
1
N
N 1
i
k
pal ( k , i / N ).
i0
В системе (11.61) число неизвестных (r) меньше числа уравнений. Это
позволяет в базисе Уолша-Пэли решать задачи синтеза как оптимальных, так
и квазиоптимальных ЦДСФ.
Если применить метод нормальных уравнений Гаусса, то на основе
системы (11.61) можно получить ранее найденные алгоритмы оптимальных
ЦДСФ для некоррелированного шума (см. (11.46)-(11.48)). Действительно,
используя процедуру Гаусса для последних уравнений системы (11.61),
содержащих только один параметр
и
pr ( j) ,
решая относительно его
полученное эквивалентное уравнение, приходим к выражению
(  1)
pr ( j) 

(b
r
r
k(Rr)
)
2
b
r
k
X j ( k ),
(11.62)
k(Rr)
k(Rr)
совпадающему с (11.46) при m=r. Применяя процедуру Гаусса для всех
остальных уравнений системы (11.61), можно найти общее решение в форме
(11.46)-(11.48) и его частные решения, полученные в примерах 11.6, 11.7 и
11.11.
Рассмотрим теперь решение системы (11.61) модифицированным
методом нормальных уравнений Гаусса. Для этого выпишем
r
(n )
последних
уравнений этой системы:
(  1) p r ( j ) b k ( R  r )  X j ( k ( R  r )) .
r
r
(11.63)
Для образования эквивалентного уравнения применим процедуру Гаусса к α
уравнениям системы (11.63). Из него найдем искомый параметр:

p1 ( j ) 


r
X j ( k )[ b k /
k (R r)
 (b
k (R r)
733
r
k
2
) ].
(11.64)
Индекс α в верхнем пределе суммы означает, что суммирование проводится
только по α значениям номера
k (R  r) .
Таким образом, для полной записи алгоритма определения r-го
параметра требуется найти число необходимых уравнений системы (11.63) и
их номера (номером уравнения фактически является номер спектрального
коэффициента
X
j
(k ) ,
входящего в него). Их
можно получить по
допустимому значению коэффициента сглаживания этого параметра. Для
некоррелированного шума коэффициент сглаживания
1
 
r
r
N

 [b
2

r
k
/
k ( Rr )
 (b
r
k
2
) ] .
k ( Rr )
Учитывая общее выражение для спектра Уолша-Пэли степенной функции
(4.114), его можно преобразовать к более удобному для анализа виду:
2
 
r
r
N
2 r 1
( r!)
2
4r
.
(11.65)
 i ( i  1, 2 , ..., r )
в этом уравнении
 ...  2
1
Каждая комбинация переменных
 2 (  1  ...   r )
r
соответствует определенным номерам спектральных коэффициентов (так как
k (R  r)  2
1
2
2
 ...  2
r
, см. §4.7) и, следовательно, номерам уравнений
системы (11.63), а конкретные пределы суммирования зависят от числа
используемых уравнений этой системы. Значения
i
связаны системой
соотношений (4.82).
Используем для
r
r
(11.65) условие (11.57). Получаемое при этом
выражение
2
N
2 r 1
( r!)
2
4r
 ...  2
1
  r ДОП
r
 2 (  1  ...   r )
(11.66)
r
и позволит определить все те номера уравнений системы (11.63), которые в
пределах заданного допуска на коэффициент сглаживания следует
использовать для построения алгоритма определения параметра
p ( j )
в виде
(11.64).
Процесс нахождения номеров можно выполнять последовательным
исключением различных уравнений с обязательной проверкой условия
(11.66). Ставя задачу наибольшего упрощения алгоритма работы ЦДСФ,
734
процедуру исключения необходимо начинать в первую очередь с тех
переменных, суммы значений которых больше других, поскольку в этом
случае увеличение коэффициента сглаживания будет наименьшим. Это будет
соответствовать исключению из рассмотрения уравнений системы (11.63),
содержащих
спектральные
коэффициенты Уолша-Пэли наибольших
порядков и рангов.
Изменение составляющих коэффициента сглаживания в (11.66) по
резко убывающему закону обратной показательной функции с основанием 2
приводит к тому, что даже при небольших допустимых отклонениях
коэффициента сглаживания от оптимального значения, число отбрасываемых
уравнений может быть существенным, чем достигается значительное
сокращение размерности спектрального фильтра таких алгоритмов. Это
обстоятельство создает хорошие предпосылки для получения простых в
реализации алгоритмов полиномиальной фильтрации и делает эффективным
использование данного метода синтеза ЦДСФ.
В общем случае сложность процесса определения номеров уравнений
для ЦДСФ r-го порядка связана с необходимостью анализа многомерной
суммы функции многих переменных, в соответствии с чем не удается найти
его аналитическое описание в общем виде. Однако в каждом конкретном
случае номера уравнений можно получить непосредственным расчетом в
соответствии с выражением (11.66) без особых затруднений. Для ЦДСФ
малых порядков можно вывести зависимости, позволяющие получать
аналитические описания работы ЦФ для различных значений допуска
r
r
ДОП
[48].
Пример 11.14. Решить задачу синтеза квазиоптимальных ЦДСФ 1-го
порядка модифицированным методом нормальных уравнений Гаусса.
Решение. В соответствии с общим алгоритмом (11.64) уравнения
ЦДСФ 1-го порядка можно записать так:
p0 ( j )  X j (0) 
4
p1 ( j ) 
 1
N
2
 0
N 1
2
 1

2  0




 
X j (2 )  2 .



p1 ( j ),
735
(11.67)
Число уравнений α системы (11.63) при r=1, задающeе размерность
спектрального фильтра в алгоритме (11.67), можно определить по заданному
допуску
1
1
ДОП
:
16
N
3

 1
1
 1
2
2
(11.68)
ДОП .
 0
При конкретном значении N величина α является функцией только допуска и
неравенство (11.68) может быть преобразовано к виду
12  2
3
N (2
2
2
 1
1
 1)
ДОП .
Задачу синтеза ЦДСФ можно упростить, если квазиоптимальные
ЦДСФ анализировать в сравнении с оптимальными. В этом случае α можно
выразить в виде функции относительного коэффициента сглаживания
 1   1 /  1 ОПТ
1
1
:
( N  1) 2
2
2
N (2
где
 1
ДОП
2
2
 1)
  1
ДОП
,
(11.69)
‒ допустимое значение относительного коэффициента
сглаживания для первого параметра в ЦДСФ 1-го порядка.
При N>10 выражение в левой части неравенства (11.69) практически не
зависит от N и из него можно получить полезное соотношение для
определения α:
 
1
2
log 2 [
 1
 1
ДОП
ДОП
1
].
(11.70)
Нижняя граница α, соответствующая выражению (11.70), по отношению к
допуску носит резко убывающий характер, что позволяет получить по этому
методу эффективные в вычислительном плане квазиоптимальные алгоритмы
даже при небольших отклонениях по качеству фильтрации. Так при
 1
 1, 05 ,
1
ДОП
что соответствует 5% увеличению уровня дисперсии
случайных погрешностей по отношению к её минимальной величине, α=3, а
при
 1
1
ДОП
в пределах 1,1-1,25 (10-25%) α не превышает двух. Алгоритм
ЦДСФ 1-го порядка в этом случае примет следующий вид:
p1 ( j ) 
8
3N
[ X j (1) 
736
1
2
X j ( 2 )],
N 1
p0 ( j )  X j (0) 
p1 ( j ).
2
При его реализации необходимо вычислять всего три спектральных
коэффициента Уолша-Пэли входного сигнала.
_______________ . _______________
Рассмотрим теперь синтез ЦДСФ методом конечных сумм.
Просуммируем правые и левые части некоторого α числа уравнений
системы (11.63). Полученное при этом эквивалентное уравнение примет вид

pr ( j)


bk 
r
k (Rr)
X
j
( k ).
(11.71)
k(Rr)
В результате его решения получим параметр

1

pr ( j) 
X j ( k ),

k (Rr)
b
r
k
k(Rr)
коэффициент сглаживания которого

 
r
r


[1 /
k (R r)
b
r
k
2
] .
k (R r)
Применяя условие (11.57), можно определить номер уравнений системы
(11.63), необходимые для синтеза алгоритмов фильтрации.
Метод конечных сумм, как и модифицированный метод нормальных
уравнений Гаусса, позволяет построить некоторое конечное множество
алгоритмов ЦДСФ, отличающихся по качеству фильтрации. Из этого
множества можно найти такой, который характеризуется минимальной
дисперсией (для модифицированного метода им является оптимальный
алгоритм). Для этого несколько изменим процедуру определения числа и
номеров используемых уравнений системы (11.63) и будем их искать из
условия

 
r
r

k (R r)

[1 /
b
r
k
]  min,
2
k (R r)
которое после учета общей записи спектра Уолша-Пэли степенной функции
r
b k ( R  r ) r-го ранга и соответствующих преобразований можно переписать в
виде
737


{
k(Rr)
1
[  ...  2
1
где области изменения всех
 (  1  ...   r ) 2
}  min,
(11.72)
]
r
i
по-прежнему задаются заданы системой
соотношений (4.82). Таким образом, в терминах дискретного базиса УолшаПэли задача синтеза алгоритмов фильтрации по данному методу сводится к
минимизации функции r переменных (11.72) при системе ограничений (4.82).
Функция (11.72) является монотонно возрастающей и ее минимум
находится на нижней границе области определения аргументов
i .
В
соответствии с этим дисперсия r-го параметра будет минимальной при
суммировании  первых уравнений системы (11.63). В этом случае
уравнение (11.72) и система ограничений принимают вид

[  ...  2
1
 (  1  ...   r ) 2
}  min,
(11.73)
]
r
 1  0 ,1,...,   1;  2   1  1,...  ; ...  r   r  1  1,...,   r  2 .
Для решения уравнения (11.73) воспользуемся методом динамического
программирования.
Зафиксируем все переменные
i ,
кроме
1 .
В этом
случае вследствии монотонности функции (11.73) ее минимум будет иметь
место при значениях
i ,
связанных с
1
системой равенств
 2   1  1;  3   1  2; ...  r   1  r  1 .
Подставив значения
i
(11.74)
из соотношений (11.74) в (11.73), получим функцию
одной переменной

(1  2
 r
)
2
,
экстремум которой в области целочисленных значений достигается при   1
(если r>1) и   2 (если r=1). Таким образом, в общем случае (r>1)
переменная
1
может принимать только одно нулевое значение.
Подставляя полученное значение
его
оптимизацию
относительно
1
в функционал (11.73), проводим
параметра
2 .
После
аналогичных
преобразований приходим к выводу, что данная переменная в общем случае
принимает только одно граничное значение:
738
 2 =1.
Осуществив указанную
процедуру i-1 раз,
аргументов
к i-му
шагу определим оптимальные значения всех
 1 ,  2 ,...,  i 1 :
 1  0 ,  2  1,...,  i  1  i  2 .
Используя эти значения в уравнении (11.73) и учитывая, что все
оптимальные
значения
 i 1 ,  i  2 ,...,  r
переменных
связаны
с
i
равенствами
 i  1   i  1 ,  i  2   i  2 ,...,  r   i  r  i ,
на i-м шаге приходим к необходимости минимизации функции

 1
[ 2
 ( r  i  1)  i
]
2
i 0
условие минимума которой может быть найдено из уравнения
2
( r  i  1)
 1  2 ( r  i  1) l n ( 2 ).
В области целочисленных значений из его решения следует, что все
переменные
значение
i
для
i  i  1
могут принимать только единственное граничное
i r
и только параметр
граничных значения:
 r  r  1,
r
(т.е. при
i r
) принимает два
r  r .
Таким образом, дисперсия (коэффициент сглаживания) для параметра
pr ( j)
будет минимальной
в том случае, если эквивалентное уравнение
получается суммированием правых и левых частей двух уравнений (α=2)
системы (11.63) со следующими значениями переменных
 1  0 ,  2  1,...,  r  1  r  2 ,  r  r  1; 


(11.75)
искомый параметр и
его коэффициент
 1  0 ,  2  1,...,  r  1  r  2 ,  r  r .
В этом случае аналитически
сглаживания запишутся в виде
pr ( j) 
(  1)
r 1
[
r ( r  1)
2
2
[ X j ( 2  1)  X j ( 3  2
r
r
3 N r!
r  2
r
 1]
r ( r  3)  3
/[ 9 N
( 2 r  1)
r 1
 1)],
2
( r ! ) ].
(11.76)
(11.77)
r 1
Параметр p r  1 ( j ) можно найти из ( n ) предпоследних уравнений
системы (11.61) подстановкой в них значений p r  1 ( j )
эквивалентных преобразований можно получить
739
из (11.76). Путем
p r 1 ( j )  p r 1 ( j )
r 1
r 1
 p r ( j )( b2 r 1 1  b32 r  2 1 ) /( b2 r 1 1  b32 r  2 1 ),
r
r  r 1
r
где p r 1 ( j ) r  r 1 является (r-1)-м параметром аппроксимирующего полинома
при условии представления входного сигнала полиномом степени r-1. Его
можно найти из (11.76) формальной заменой r на r-1. Второй член в
приведенном выражении обеспечивает компенсацию по параметру более
высокого порядка.
В общем случае можно записать параметр p r  m ( j ) и компенсационные
коэффициенты
d (N , r  m,  ) :
m
pr  m ( j)  pr  m ( j)r  r  m 

p r  m   ( j ) d ( N , r  m ,  ),
(11.78)
 1
d ( N , r  m ,  )  (  1)
 rm
rm
rm
rm
rm
( b 2 r  m  1  b3  2 r  m 1  1 ) /( b 2 r  m  1  b3  2 r  m 1  1 ).
(11.79)
Формулы (11.76)-(11.79) справедливы для r  1 . Для ЦДСФ нулевого
порядка (r=0) уравнение его работы совпадает с соответствующим
уравнением оптимального ЦДСФ и имеет вид
p 0 ( j )  X j ( 0 ).
Пример 11.15. Синтезировать алгоритм квазиоптимального ЦДСФ 1-го
порядка по методу конечных сумм и оценить его фильтрующие свойства.
Решение. Подставляя в общие уравнения (11.76)-(11.79) r=1, получаем
p1 ( j ) 
8
3N
[ X j (1)  X j ( 2 )],
p0 ( j )  X j (0) 
N 1
2
p1 ( j ).
Коэффициенты сглаживания для параметров
p1 ( j )
и
p0 ( j)
будут равны
 1 кв 
128
1
9N
3
,
41 N  64 N  32
2
 0 кв 
1
9N
3
,
а относительный коэффициент сглаживания для параметра
 1 кв
1
 1 
1
 1 опт
1
32 ( N  1)
2

27 N
2
и не превышает 1,186 (18,6%).
_______________ . _______________
740
p1 ( j )
‒
при этом
Метод конечных сумм приводит к наиболее эффективным
вычислительным алгоритмам спектральных ЦДСФ, поскольку в них при
любом значении r  1 спектральные фильтры по всем параметрам, кроме
нулевого, содержат только по два спектральных коэффициента Уолша-Пэли
входного сигнала. Общее число таких коэффициентов в фильтре r-го порядка
равно (2r-1) и меньше N. Поэтому сигнальные графы БПУ (и статические, и
скользящие) в анализаторах спектра в этом случае будут иметь наиболее
прореженный вид, что приведет к значительной экономии вычислительных
операций.
Для ЦДСФ по методу конечных сумм в общем случае характерно
существенное ухудшение качества фильтрации по отношению к
оптимальным ЦДСФ с увеличением величины порядка фильтра [48]. В этом
смысле они уступают ЦДСФ, синтезированным с
использованием
модифицированного метода нормальных уравнений Гаусса. Однако для
малых r
(r  2)
увеличение уровня дисперсии случайных погрешностей в
оценке параметров для ЦДСФ по методу конечных сумм лежит в пределах
20-30% (см. пример 11.15 и работу [48]), что не превышает 6% в величине
среднеквадратической погрешности и часто допустимо на практике. Это
позволяет сделать вывод о практической перспективности и этого метода
цифровой обработки сигналов малых порядков.
Вопросы и задачи для самопроверки
1.
Запишите спектральную импульсную характеристику и
объясните ее физический смысл.
2.
Запишите уравнения рекурсивных и нерекурсивных ЦФ в
спектральной области произвольного ортогонального базиса.
3.
Представьте структурную схему обобщенного НЦФ в
спектральной области.
4.
Сформулируйте требования, предъявляемые к системам
базисных функций в спектральных ЦФ.
5.
Какие существуют подходы к решению задачи синтеза НЦФ в
спектральной области?
741
6.
Перечислите основные этапы синтеза частотных НЦФ в
спектральной области.
7.
Решите задачу синтеза частотных фильтров в спектральной
области методом наименьших квадратов.
Выполните
8.
( w ГЗ  0 , 2 ; w ГП  0 , 4 )
расчет
ФНЧ
( w ГП  0 , 2 ; w ГЗ  0 , 4 )
и
ФВЧ
в базисах Уолша и Хаара для N=16 с использованием
метода разложения аппроксимируемой функции в тригонометрический ряд
Фурье.
9.
Запишите общее решение задачи синтеза оптимального
полиномиального НЦФ
в спектральной области при помехе с
корреляционной функцией общего вида.
10. Решите задачи синтеза спектральных ЦДСФ 2-го порядка в
нормированной и ненормированном базисах для случая некоррелированной
помехи.
11. Используя общую формулу для ИХ ЦДСФ через
полиномиальные функции, запишите ИХ ЦДСФ 2-го порядка и сравните с
результатом во временной области.
12. Выполните синтез алгоритмов ЦДСФ 2-го порядка в базисе
Хаара матричным методом и методом аппроксимации в спектральной
области
2
lN
функционального пространства.
13. Решите задачи синтеза квазиоптимальных ЦДСФ 2-го порядка
модифицированным методом нормальных уравнений Гаусса и методом
конечных сумм и сравните полученные результаты по сложности и качеству
фильтрации.
742
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В обозримом будущем интерес к цифровой обработке сигналов будет
только расти, а её развитие как с академической, так и промышленной
точки зрения, будет продолжаться. В данном пособии изложены наиболее
фундаментальные вопросы теории ЦОС, находящие широкое применение
на практике. Однако считать его исчерпывающей работой по ЦОС нельзя.
За рамками пособия остался интересный и обширный материал,
перспективы использования которого в учебном процессе весьма
привлекательны. Отметим лишь некоторые
важные
имеющиеся
результаты либо перспективные направления развития ЦОС:
• исследование систем базисных функций с
использованием
многоосновной системы счисления, позволяющих значительно расширить
ассортимент базисных функций за счет изменения оснований системы
счисления и различных способов переупорядочения базисных функций,
что, в свою очередь, позволит поставить и решить задачу определения
оптимального базиса для представления или обработки сигналов,
согласованного с их статистическими или другими характеристиками;
• обобщенное спектральное и каноническое представления сигналов с
энергетическими характеристиками,
инвариантными к временному
сдвигу в виде поразрядного модулярного сложения в системе счисления с
переменным основанием; имитация псевдослучайных процессов с
задаваемыми энергетическими характеристиками;
• параметрические методы оценивания характеристик сигналов на
основе нерекурсивного и рекурсивного методов наименьших квадратов;
винеровская и калмановская фильтрация сигналов;
• частотно-временная локализация сигналов, интегральные и
дискретные вэйвлет-преобразования, двойственные вэйвлеты, фреймы,
сплайн-вэйвлеты, вэйвлет-зумы, применение вэйвлетов в ЦОС;
• сжатие и кодирование сигналов, расширение пропускной способности
каналов связи, новые принципы построения машинных интерфейсов;
• методы и алгоритмы обработки звуковых сигналов и изображений,
многомерные временные и спектральные преобразования;
743
• современное аппаратное обеспечение ЦОС; сигнальные процессоры
ведущих фирм - производителей (Texas Instruments, Motorola и др.);
• современные программные средства автоматизации проектирования
алгоритмов обработки сигналов, существующие программные пакеты для
анализа сигналов, расчета цифровых фильтров и Фурье- и вэйвлетпреобразования.
Автор надеется, что данное пособие пробудит интерес и послужит
стимулом к углубленному изучению и практическому освоению этой
интересной, важной и современной области математики, информатики и
вычислительной техники - цифровой обработки сигналов.
744
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический
подход, 2-е издание: Пер с англ. -М.: Издательский дом «Вильямс»,
2004. -992с.
Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке
цифровых сигналов: Пер. с англ. –М.: Связь, 1980. -248с.
Балакришнан А. Теория фильтрации Калмана: Пер. с англ. –М.:Мир,
1988. -168с.
Басараб М.А. и др. Цифровая обработка сигналов и изображений в
радиофизических приложениях / Под ред. В.Ф.Кравченко. –М.:
Физматлит, 2007. -544с.
Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: Пер. с
англ. –М.: Мир, 1989. -448с.
Блох Э.Л., Лощинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгебры и
некоторые её приложения. Учебн. пособие. –М.: Высшая школа, 1971.
-256с.
Бобиков А.И., Коршунов Ю.М. Цифровые сглаживающие и
преобразующие системы. –М.: Энергия, 1976. -203с.
Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли: Пер. с англ. –М.: Мир, 1990. 175с.
Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Раков М.А. Абстрактные
алгебраические системы и цифровая обработка сигналов. – Киев:
Наукова думка, 1986. -248с.
Виленкин Н.Я. Об одном классе ортогональных систем // Изв. АН
СССР. Сер. мат., 1947, №11.
Виноград С. О вычислении дискретного преобразования Фурье //
Макклеллан Дж. Г., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в
цифровой обработке сигналов. –М: Радио и связь, 1983. – С. 117-136.
Виноградов И.М. Основы теории чисел: Пер с англ. –М.: Наука, 1965.
-172с.
Власенко В.А. Лаппа Ю.М., Ярославский Л.П. Методы синтеза
быстрых алгоритмов свертки и спектрального анализа сигналов. –М.:
Наука, 1990. -180с.
745
14. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вэйвлетпреобразования. – СПб.: Изд-во ВУС, 1999.
15. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. –М.:, Наука, 1984. -144с.
16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. –М.: Наука, 1988. -552с.
17. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования
Уолша: Теория и применения. –М.: Наука, 1987. -344с.
18. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка
сигналов: Учебн. пособие. –М.: Радио и связь, 1990. -256с.
19. Гольденберг Л.М., Матбшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка
сигналов: Справочник. –М.: Радио и связь, 1985. -312с.
20. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в
среде MATLAB: Пер. с англ. –М.: Техносфера, 2006. – 616с.
21. Дагман Э.Е., Кухарев Г.А. Быстрые дискретные ортогональные
преобразования. – Новосибирск: Наука, 1984.- 144с.
22. Добеши И. Десять лекций по вэйвлетам: Пер. с англ. –М.: РХД, 2001.
23. Дринфельд Г.И. Интерполирование и способ наименьших квадратов.
– Киев: Вища школа, 1984.- 103с
24. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: Солон-Р, 2002. 448с.
25. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их
применение в управлении, связи и других областях. –М. : Наука, 1989.
-496с.
26. Зеленков А.В. Быстрые преобразования спектра сигнала из базиса
функций Уолша в базис дискретных экспоненциальных функций //
Радиотехника и электроника. 1977. Т.22, №3, с. 552-565.
27. Зеленков А.В. N-канальный цифровой фильтр для дискретного
комплексного преобразования Адамара на скользящем интервале. //
Изв. вузов. Приборостроение, 1982. Т.25, №8, С.43-46.
28. Каппелини В., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые
фильтры и их применение: Пер. с англ. –М.: Энергоатомиздат, 1983. –
360с.
29. Карташов В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых
фильтров: Учебн. пособие. –М.: Высшая школа, 1982. -110с.
30. Карповский М.Г., Москалев Э.С. Спектральные методы анализа и
синтеза дискретных устройств. – Л.: Энергия, 1973. -144с.
746
31. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. –М.: АФЦ, 1999.
32. Костров Б.В. Основы цифровой передачи и кодирования информации.
–М.: ТехБук, 2007. -192с.
33. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Алгебра логики, атомарные функции и
вейвлеты в физических приложениях. –М: Физматлит, 2006. – 416с.
34. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки
радиолокационной информации. –М.: Радио и связь, 1986. – 352с.
35. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1. Числа: Учебное
пособие. – М. : Просвящение, 1974. – 383с.
36. Макклеллан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в
цифровой обработке сигналов: Пер. с англ. –М. : Радио и связь, 1983. 264с.
37. Мала С. Вэйвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. – М.: Мир, 2005.
– 671с.
38. Мизин И.А., Матвеев А.А. Цифровые фильтры (анализ, синтез,
реализация с использованием ЭВМ).- М.: связь, 1973. – 240с.
39. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков //
Фундаментальная и прикладная математика, 1997, Т.3, Вып. 4.
40. Нуссбаумер Г. Быстрые преобразования Фурье и алгоритмы
вычисления сверток: Пер с англ. –М.: Радио и связь, 1985. – 248с.
41. Оботнин А.Н., Страшинин Е.Э. Алгоритмы определения скользящего
спектра // Автометрия. 1975, №1, С. 30-36.
42. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов: Пер с англ.,
2-е издание. –М.: Техносфера, 2007. – 856с.
43. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных базисах. –Мн.: Наука
и техника, 1978. – 136с.
44. Поляк Б.Т., Шрейдер Ю.А. Применение полиномов Уолша в
приближенных вычислениях. – В сб. Вопросы теории математических
машин, 1962, №2,С. 174-190.
45. Рабинер Л.Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки
сигналов: Пер. с англ. –М.: Мир, 1978. -848с.
46. Садыхов Р.Х., Чеголин П.М., Шмерко В.П. Методы и средства
обработки сигналов в дискретных базисах. –Мн.: Наука и техника,
1987. – 296с.
747
47. Сато Ю. Без паники! Цифровая обработка сигналов: Пер. с япон. –М:
Додэка – ХХ1, 2010. -176с.
48. Смирнов Ю.М., Воробьев Г.Н., Потапов Е.С., Сюзев В.В.
Проектирование
специализированных
информационновычислительных систем : Учебн. пособие. Под ред. Ю.М. Смирнова. –
М: Высшая школа, 1984, -359с.
49. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. –М.:
Физматгиз, 1961. -108с.
50. Собль И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара.
–М.: Наука, 1969. – 288с.
51. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральный метод расчета
нестационарных систем управления летательными аппаратами. –М.:
Машиностроение, 1975. -272с.
52. Сюзев В.В., Иванов И.П. Теоретические основы цифровых фильтров:
Учебн. пособие. –М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. -72с.
53. Сюзев В.В. Быстрые преобразования Фурье для скользящего анализа
спектра // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборстроение».
1998, №2, С.29-38.
54. Сюзев В.В. Синтез частотных нерекурсивных цифровых фильтров в
спектральной области произвольного ортогонального
базиса //
Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2000, №2,
С. 19-33.
55. Сюзев В.В. Быстрые преобразования Хаара на скользящих интервалах
времени // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение».
2000, №2, С.106-111.
56. Сюзев В.В. Энергетические спектры сигналов в базисе ВиленкинаКрестенсона, инвариантные к циклическому сдвигу // Вестник МГТУ
им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2007, №2, С.
57. Сюзев В.В. Спектральный анализ в базисах функций Хаара // Вестник
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 20011, №2, С. 4867.
58. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.
–М.: Наука, 1979. – 375с.
59. Трахтман А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию
сигналов. –М.: Радио, 1972. – 352с.
748
60. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов
на конечных интервалах. –М.: Сов. Радио, 1975. – 208с.
61. Хармут Х. Теория секвентного анализа. Основы и применения: Пер. с
англ. –М.: Мир, 1980. – 574с.
62. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. –М.: Недра, 1987. 221с.
63. Чуи К. Введение в вэйвлеты: Пер. с англ.-М.: Мир, 2001. – 412с.
64. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике: Цикл лекций. –
М.: Радио и связь, 2000. – 584с.
65. Штарк Г.-Г. Применение вейвлетов для ЦОС: Пер. с англ. –М.:
Техносфера, 2007. - 192с.
66. Chrestenson H.E. А class of generalized Walsh functions // Pacific J.Math.,
1955, V.5.
67. Cooley J.W., Tukey J.W. An algorithm for machine computation of
complex Fourier series // Math. Comput., 1965, №19, P.297-301.
68. Glassman J.A. A generalization of the fast Fourier transform // IEEE
Trans., 1970, V. C-19, №2.
69. Good I.J. The Interaction Algorithm and Practical Fourier Analysis // J.
Royal Statist. Soc. Ser., 1960, V. B-22, P. 372-375.
70. Haar A. Zur Theorie der Orthogonalen Funktion – ensysteme // Math.
Annalen, 1910, №69, S. 331-371.
71. Meyer Y. Wavelets, Vibrations and Scaling. GRM, Universite de Montreal,
- Montreal, 1997. Cours de la chaire Aisenstadt.
72. Paley R.E. On Orthogonal Matrices // J.Math. Phys., 1933, №12, P. 311320.
73. Pichler F. Walsh Functions and Linear System Teory // Proc. Symp. Walsh
Function Applications. Washington, Aprel, 1970. – P. 175-182.
74. Rademacher H. Einige Sätze über reihen von allgemeinen
orthogonalfunktionen // Math. Annalen, 1922, Bd. 87.
75. Thomas L.H. Using a Computer to solve Problems in Physics, in
Applications of Digital Computers. Ginn and Co.-Boston, Mass., 1963.
76. Walsh J.L. A closed of Normal Orthogonal Functions // Amer. J. Math., V.
45, 1923. – P. 5-24.
77. Winograd S. On computing the discrete Fourier transform // Math.
Comput. 1978, V.32, №141, P. 175-199.
749
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа