close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Задания для математического конкурса « Смекалистых» 10-11 классы
1. Решите неравенство: х4 – 4х3 + 12х2 – 12х + 24 < 0.
2. Решите уравнение:
x 2
2x  5 
x  2  3 2x  5  7 2 .
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается на 33, оканчивается на 33,
имеет сумму цифр 33 и делится на 33.
4. Вычислить без таблиц: sin 4
π
16
 sin
4
3π
16
 sin
4
5π
16
 sin
4
7π
16
.
5. При каких значениях а разность корней уравнения ax 2  x  2  0
равна 3?
Задания для математического конкурса « Смекалистых» 10-11 классы
1. Решите неравенство: х4 – 4х3 + 12х2 – 12х + 24 < 0.
2. Решите уравнение:
x 2
2x  5 
x  2  3 2x  5  7 2 .
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается на 33, оканчивается на 33,
имеет сумму цифр 33 и делится на 33.
4. Вычислить без таблиц: sin 4
π
16
 sin
4
3π
16
 sin
4
5π
16
 sin
4
7π
16
.
5. При каких значениях а разность корней уравнения ax 2  x  2  0
равна 3?
Ответы и решения:
1. Ответ: решений нет
Решение. Прибавим и вычтем 4х2, получим: х4 – 4х3 + 4х2  4х2 + 12х2 – 12х + 24 < 0.
(х2 – 2х)2 + (8х2  12х + 24) < 0. Но для любых значений х трехчлен 8х2  12х + 24 > 0
(дискриминант отрицательный и 8 > 0) и (х2 – 2х)2 ≥ 0. Следовательно,
(х2 – 2х)2 + (8х2  12х + 24) > 0.
2. Ответ: 15.
Решение. В уравнении
x 2
2x  5 
x  2  3 2 x  5  7 2 делая замену переменной
2
2
2 x  5  t , t  0 , получим 2 x  5  t , откуда x 
2
Подставив в уравнение, получим
2
t  2t  1
2
t 5
2
t 5
2
.
2
2t 
t 5
2
 2  3t  7 2
2

t  6t  9
2
Поскольку t  0 , то t  5 .
7 2
 2 , откуда t  1  t  3  14 .
2 x  5  5 , т.е. х = 15.
3.Ответ: 3375933.
Решение. Так как сумма всех цифр равна 33, а сумма двух начальных цифр и двух
последних цифр равна 12, то сумма оставшихся цифр равна 21. Следовательно, в этом
числе еще не менее трех цифр. Так как число с суммой цифр 33 делится на 3, то для
делимости искомого числа на 33 достаточно делимости на 11. Для поиска остальных цифр
воспользуемся признаком делимости на 11. Пусть искомое семизначное число имеет вид:
33abc33. Тогда a + b + c = 21, и a + c – b кратно 11, то есть равно 0 или 11. Равенство 0 не
возможно, так как сумма двух цифр всегда не меньше 12, следовательно a + c – b = 11.
Решая систему из двух уравнений, находим, что b = 5. Для a и c имеется две возможности:
8, 8 и 7, 9. Наименьшее искомое число дает второй набор: 3375933.
π

 α , то
2

4.Решение. Поскольку sin α  cos 
sin
sin
sin
5π
5π 
3π
π
 cos  
,
  cos
16
16
 2 16 
7π
7π 
π
π
 cos  
, имеем:
  cos
16
16
 2 16 
π
4
16
 sin
3π
4
16

4 π
  sin
 cos
16


2 π
  sin
 cos
16


  sin

1
 2
 2
2
4
π  
   sin
16  
3π
4
 cos
2
sin
π
16
2
3π 
  2 sin
16 
8
1
 sin
2
2
π
8
2
 cos
3π
2
8
2
3π
1
1
 sin
2

16
3π
2
cos
16
π
2

16
π 
1
  1   4 sin
16 
2
2
sin
2
3π 
 
16 
4
 cos
π 
2 π
cos
  2 sin
16 
16
1


16
2
2
1
2 π
cos
 4 sin
2
16
2
16
7π
4
 sin
2
3π
16
1
5π
4
 sin
2
2
3π
16
π
8
cos
 sin
2
2
3π 
 
16 
3π 
 
8 
π 
  2  0 ,5  1,5 .
8
Ответ: 1,5.
5.Решение. I способ:
Пусть x 1  x 2  3, откуда x 1  x 2  3, тогда согласно т. Виета имеем:
x1  x 2  
1
a
, x 1x 2  
2
a
.
Составим
систему
1

x

3

x


,
2
2

a

  x  3 x   2 ;
2
 2
a
уравнений
1  3a

 x 2   2a ,


   1  3 a  3    1  3 a    2 ;
 
2a
2a 
a


2
3  9a
2
 1  3a 

 0;

 
2a 
2a
a

1  6a  9a
4a
откуда получим a  1, a  
1
9
2

2
3  9a  8 a
2a
1  6a  9a
 0;
2
 6a  18 a
4a
2
.
II способ:
D  1  8a , x 1 
x1  x 2 
1
1
1  8a
2a
1  8a
2a

;
1
x2 
1  8a
2a
1
2a

1
решая последнее, получим a  1, a  
Ответ: a  1, a  
1
9
.
1  8a
, где a  
1  8a  1 
2a
1
9
.
1
8
, тогда
1  8a

1  8a
a
 3,
2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа