close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
№20. Найдите все значения а, при которых попарно различные корни
уравнения
x
4
 (a  5) x
2
 (a  2)
2
являются
0
четырьмя
последовательными членами арифметической прогрессии.
 x 4  ( a  5 ) x 2  ( a  2 ) 2  0 (1). Пусть y  x 2 ( y  0 ). Тогда уравнение (1)
примет вид y 2  ( a  5 ) y  ( a  2 ) 2  0 (2).
Требование задачи выполняется лишь тогда, когда уравнение (1) имеет
четыре различных действительных корня. Это возможно в том случае, если
квадратное уравнение (2) имеет два различных положительных корня.
Используя
теорему
Виета,
получим
 9  a  1 ,
  3 a 2  26 a  9  0 ,
3



5

a

0
,

a

5
,


(a  2) 2  0
a  2.


систему
 D  0,

 y1  y 2  0 ,
 y  y  0;
 1 2
Решение системы: (  9 ;  2 )    2 ;

1
.
3
Если квадратное уравнение (2) имеет два различных положительных
корня y 1 и y 2
( y 1 < y 2 ), то корни уравнения (1) – числа 
y1
и 
y2
.
Они будут являться четырьмя последовательными членами арифметической
прогрессии, если будут расположены в порядке возрастания или убывания:

y2 ; 
y1 ;
y1 ;
y2
или
y2 ;
y1 ; 
случаев выполняется соотношение 3 y1 
y1 ; 
y2
y2
. В каждом из этих
(*), откуда y 2  9 y 1 .
Рассмотрим систему уравнений, составленную на основе теоремы Виета для
 y1  ( 9 y1 )  5  a ,
уравнения (2): 
2
 y1  ( 9 y1 )  ( a  2 ) .
Она выполняется при а=-5 или a   5 .
Оба значения а входят в объединение промежутков
Ответ: а = – 5 или a   5 .
13
13
1

(  9;  2 )    2;  .
3

1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа