close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...Ð´Ð¸Ð°Ð³Ð¾Ð½Ð°Ð»Ñ Ð½Ñ Ð¹ Ñ Ð»ÐµÐ¼ÐµÐ½Ñ Ð¼Ð°Ñ Ñ Ð¸Ñ Ñ Ñ Ñ Ð¾Ð»ÐºÐ½Ð¾Ð²ÐµÐ½Ð¸Ð¹ Ð¿Ñ Ð¸Ð½Ð¸Ð¼Ð°ÐµÑ Ð²Ð¸Ð´

код для вставкиСкачать
УДК 539.17
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРА ПОТЕНЦИАЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ И
ПАРАМЕТРИЗАЦИИ НЕЙТРОННЫХ СЕЧЕНИЙ В НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ
ОБЛАСТИ
Г.М. Новоселов, Л.Л. Литвинский
Государственный научно-инженерный центр систем контроля и аварийного реагирования
Минтопэнерго Украины, г. Киев, Украина
ON DETERMINATION OF POTENTIAL SCATTERING PARAMETER AND
PARAMETRIZATION OF NEUTRON CROSS SECTIONS IN THE LOW-ENERGY
REGION. The different ways of cross section parameterization in the low-energy region are
considered. It is shown that the value of potential scattering parameter determined from experimental cross-section data analysis essentially depends on the way of taking into account
nearest resonances. The formula describing this dependence is obtained. The results are verified by numerical model calculations.
Введение
Параметр потенциального рассеяния является одной из тех характеристик ядра, определению
которых уделяется значительное внимание при анализе экспериментальных данных о сечениях в
резонансной области [1]. В различных формализмах с этим параметром ассоциируются разные
величины: оптический радиус, радиус потенциального рассеяния R¢, параметр потенциального
рассеяния R¥ (R-матричный подход), сдвиг фазы j потенциального рассеяния (S-матричный подход) и др. Но все эти величины взаимно связаны и могут рассматриваться как один и тот же параметр.
Основная информация о параметре потенциального рассеяния получается из анализа данных о
сечениях в области разрешенных резонансов. Возникающие в этой области трудности обычно связываются с недостаточным экспериментальным разрешением, возможным частичным перекрыванием резонансов, допплер-эффектом и т. п.
Тем не менее, даже при сколь угодно высокой точности экспериментальных данных и достоверном знании других параметров резонансов восстановление параметра потенциального рассеяния может быть неоднозначным. Причина, как будет показано ниже, в некорректном учете вкладов ближайших резонансов.
1. Влияние чисел учитываемых резонансов на расчетные сечения
В качестве примера рассмотрим, как проявляется различие чисел учитываемых резонансов на
энергетической зависимости нейтронных сечений. Ограничимся простейшим случаем хорошо
изолированных резонансов неделящегося четно-четного ядра и учетом только s-волны. В этом
случае как в S-, так и в R-матричном формализме для описания энергетической зависимости сечений используются формулы типа Брейта-Вигнера [2-5]. В частности, полное сечение и сечение
радиационного захвата представляются в виде:
s t (E) =
G G cos 2j - 2( El - E )G ln sin 2j ù
4p é 2
sin j + å ln l
ú,
2 ê
k ëê
4( El - E ) 2 + G l2
l
ûú
s g (E) =
4p
k
2
å
l
G ln G lg
4( El - E ) 2 + G l2
,
(1a)
(1b)
где k - волновое число, j - сдвиг фазы потенциального рассеяния, Еl - энергия l-го резонанса, Гln,
Гlg и Гl - его нейтронная, радиационная и полная ширины: Гl=Гln+Гlg.
На верхнем рисунке точками изображены полные нейтронные сечения (1a) в энергетическом
интервале 1980-2020 эВ, рассчитанные по набору эквидистантных резонансов с одинаковыми радиационными (Glg= Gg ) и приведенными нейтронными ( G l0n = G n0 ) ширинами со средними значениями
G n0 =0,002 эВ, Gg =0,1 эВ, D =20 эВ, j = 0,0776.
(2)
В этих расчетах учитывалось 200 резонансов, расположенных симметрично относительно
энергии Е0=2000 эВ (этот случай нами обозначен как 100_100). Штриховыми кривыми представлены результаты двух других расчетов: для варианта 100_2, учитывающего 100 резонансов слева
от Е0 и 2 справа (верхняя кривая), и для противоположного случая 2_100 (нижняя кривая). Наконец, сплошная кривая (она почти совпадает с точками) соответствуют случаю 2_2, учитывающему
по 2 резонанса с каждой стороны от Е0.
Как видно из рисунка, различие чисел учитываемых резонансов, расположенных по разные
стороны от рассматриваемой энергии, приводит к определенному систематическому увеличению
или уменьшению полных сечений. Подобная же ситуация наблюдается и для сечений рассеяния
ss(E) = st(E) - s¡(E) (нижний рисунок).
Поскольку получаемые в результате отклонения невелики, то относительные изменения сечений st(E) или ss(E), обусловленные этими различиями, не значительны вблизи резонансов, но становятся заметны между резонансами, а особенно в интерференционных минимумах. Поэтому при
решении обратной задачи определения резонансных параметров по экспериментально наблюдаемым сечениям следует ожидать, что такие различия мало скажутся на значениях параметров самих резонансов, но могут заметно повлиять на величину определяемого фазового сдвига j.
Примечательно, что в сечениях радиационного захвата s¡(E) различия, обусловленные разными числами учитываемых резонансов, практически не проявляются.
2. Параметризация сечений в R-матричной теории
Для оценки влияния чисел учитываемых резонансов на определяемое значение параметра потенциального рассеяния воспользуемся R-матричным приближением. В формальной R-матричной
теории сечения выражаются через элементы матрицы столкновений U, которая, в свою очередь,
связывается с R-матрицей [4,5]
U = WP1/2(1-RL0)(1-RL0*)-1P-1/2W ,
(3)
где R - матрица с элементами
Rab = å
l
g lag lb
;
El - E
(4)
glc - амплитуды ширин в канале с; W, L0, P - диагональные матрицы с элементами Wс=exp(-ijc),
L0c = S c0 +iPc, Sc0 =Sc-Вс; Sc и Pc - факторы проницаемости и сдвига, Вс - параметр граничного условия.
Переходя от матрицы каналов (1-RL0*)-1 к матрице уровней, элементы матрицы (3) в случае
изолированных резонансов могут быть представлены в виде:
U ab » e
æ
ç
- i (j a + j b ) ç
ç
ç
è
d ab
ö
÷
÷.
+ iå
l E -E+D - i G ÷
l
l
l ÷
2
ø
Gl1a/ 2 G l1b/ 2
Здесь
Гlc=2Pc g l2c - парциальная ширина l-го резонанса в канале с,
(5)
Гl= å G ln~ - его полная ширина,
n~
Dl= - å S c0g l2c - энергетический сдвиг.
c
Для нейтральных частиц jс = fс - фаза рассеяния на непроницаемой сфере.
Суммирование в (4), (5) проводится по всем уровням, что на практике, очевидно, не осуществимо. Более приемлемые выражения получаются при разбиении R-матричного элемента (4) на две
~
¥
части - резонансную Rab , содержащую сумму по реально наблюдаемым уровням, и фоновую Rab
,
учитывающую вклады всех остальных резонансов:
~
¥
Rab = Rab + Rab
,
(6)
g g
~
Rab = å la lb .
l El - E
(7)
~
При этом выражения (3), (5) сохраняют свой вид при формальной замене R® R , L0® L' ,
S ® S ' , P® P' , j ® j¢,
где
0
L' c =
L0c
¥ 0
1 - Rcc
Lc
; S 'c =
¥
S c0 - ( S c02 + Pc2 ) Rcc
P
; P' c = c ;
dc
dc
¥ 0 2
¥
d c = (1 - Rcc
S c ) + ( Rcc
Pc ) 2 ; j ' c = j c - arctg
¥
Rcc
Pc
¥ 0
1 - Rcc
Sc
.
Для l=0 P0=r, S0=0, f0=r (здесь r=ka; а - радиус канала, обычно принимаемый a=1,35A1/3 фм
[1]; А - массовое число). Поэтому при разбиении (6) в рассмотренном выше случае одного нейтронного и множества радиационных каналов нейтронные сечения st(E) и s¡(E), выражаемые через элементы матрицы столкновений (5), могут быть представлено в виде (1), где
j = r - arctg ( rR ¥ ) ,
G ln =
(8a)
2r 2
2r 2
g ln , G lg =
g lg , d 0 = 1 + ( rR ¥ ) 2 ,
d0
d0
(8b)
1
G l rR ¥ .
2
(8c)
а El включают сдвиги
Dl »
В приведенных выше выражениях, как и далее, индексы нейтронного канала в обозначениях
¥
опускаются.
элемента Rnn
Формулы типа (1), ввиду своей простоты, широко используются для параметризации нейтронных сечений в низкоэнергетической области. Однако применимость этих формул, как и выражения (5), ограничивается условием [4]
G n << D ,
(9)
где G n - средняя нейтронная ширина, D - среднее расстояние между уровнями. В случае даже частичного перекрывания резонансов формулы (1), (5) оказываются не применимы. В частности, даже в рассмотренном выше примере 2_100 сечение рассеяния, определяемое как разность сечений
(1a) и (1b), в интерференционных минимумах оказывается отрицательным.
Следует отметить, что в отличие от (1a), выражение (1b) получается из (5) в результате еще
одного приближения - игнорирования перекрестных по уровням членов при расчете элементов
½Un¡½2. Тем не менее, использование для расчета сечений более детальных брейт-вигнеровских
формул, учитывающих эти члены [6], не меняет существенно ситуацию: в случае 2_100 расчетные
значения полного нейтронного сечения в интерференционных минимумах оказываются неравны-
ми сумме сечений рассеяния и радиационного захвата. Причина этого - в несохранении свойства
унитарности матрицы столкновений (5).
Более последовательный многоуровневый R-матричный подход, сохраняющий свойство унитарности, был предложен Райхом и Муром [7]. В рамках этого подхода при выборе граничного
условия Bc=Sc (при l=0 это эквивалентно B=0) в рассмотренном выше случае взаимодействия
s-нейтронов с неделящимся четно-четным ядром диагональный элемент матрицы столкновений
(3) может быть представлен в виде:
U nn = e -i 2j
1 + iK ( E )
,
1 - iK ( E )
(10a)
при
K (E) =
G ln
1
,
å
2 l E l - E - (i / 2)G lg
(10b)
а полное нейтронное сечение и сечение радиационного захвата, соответственно
st =
4p æç 2
(a 2 + b 2 + b) cos 2j - a sin 2j ö÷
+
sin
j
÷,
k 2 çè
(1 + b) 2 + a 2
ø
sg =
4p
b
2
k (1 + b) 2 + a 2
,
(11a)
(11b)
где a=Re K(E), b=Im K(E).
Хотя разбиение R-матрицы на резонансную и фоновую составляющие (6) в [7] не проводилось, рассмотренный там подход позволяет это легко осуществить. Разбиение (6) приводит к тому,
что в качестве используемой в работе матрицы С (нулевой в нашем случае) следует принять
C=P1/2R¥P1/2. Считая, что R¥ - квадратичная диагональная матрица,
Cij = Pi Ri¥d ij .
В результате диагональный элемент матрицы столкновений принимает вид:
U nn = e -i 2f
1 + i ( K + PR ¥ )
,
1 - i ( K + PR ¥ )
(12)
а в выражениях для сечений (11) следует считать a = Re K + PR¥ .
Можно показать [8], что в пределе (9) приведенные выше многоуровневые выражения для сечений переходят в соответствующие брейт-вигнеровские. При расчете сечений, представленных
на рисунке, многоуровневое приближение дает практически тот же результат, что и приближение
изолированных резонансов.
3. Оценка вклада резонансов
Оценка вклада различного числа резонансов в (4) в приближении эквидистантных резонансов
была проведена в [9]. Здесь мы рассмотрим, как такая оценка может быть выполнена с учетом
обоих типов флуктуаций: как амплитуд ширин, так и межуровневых расстояний.
Если амплитуды ширин считать распределенными по нормальному закону с нулевым средним
(для ширин это соответствует распределению Портера-Томаса [10]), то усреднение (7) по распределению амплитуд дает
~
R =g 2å
l
1
,
El - E
где g 2 - среднее значение квадрата амплитуды ширины.
(13)
Пусть Е0 - энергия ближайшего к точке Е резонанса. Принимая его за нулевой и присваивая
резонансам, расположенным справа от Е0 (с энергиями Еl>Е0), последовательно положительные
номера, а резонансам слева (Е-m<Е0) - отрицательные, имеем
l
-m
i =1
j =-1
Еl=Е0 + å Di , Е-m=Е0 - å D j .
(14)
Предположим, что в сумме (13) учитывается m резонансов слева от Е0 и n – справа. Тогда
æ
ç
~ g ç m
1
1 n
1
R=
+
+å
å
ç
-m
l
x l =1
D ç m =1
x + å di
dj
ç x - jå
i =1
=-1
è
2
где x =
ö
÷
÷
÷,
÷
÷
ø
(15)
E0 - E
D
, di = i .
D
D
Для усреднения (15) по распределениям величин di имеет смысл перейти к новым независимым переменным - фигурирующим в этом выражении суммам величин di. Согласно центральной
предельной теореме, независимо от конкретного закона распределения величин di, сумму k таких
слагаемых можно считать нормально распределенной величиной с математическим ожиданием k
и дисперсией kh2, где h2 - дисперсия di. В частности, для распределения Вигнера [11]
h2 =
4
-1 » 0,273.
p
(16)
k
Однако в нашем рассмотрении мы для простоты величины t k = å d i будем предполагать расi =1
пределенными по закону Коши:
p k (t ) =
Ik
1
; I k2 = 2kh 2 .
p (t - k ) 2 + I k2
(17)
Усреднение (15) по распределениям (17), а затем по возможным значениям х из интервала
(-1/2, 1/2), дает:
~ g 2 æç m (l - 1 / 2) 2 + I l2 n (l + 1 / 2) 2 + I l2
R=
+ å ln
å ln
2 D çè l =1 (l + 1 / 2) 2 + I l2 l =1 (l - 1 / 2) 2 + I l2
ö
÷.
÷
ø
(18)
Считая для определенности m<n,
(l + 1 / 2) 2 + I l2 g 2
(n + 1 / 2) 2 + I n2
~ g2 n
R=
ln
.
»
å ln
2 D l =m+1 (l - 1 / 2) 2 + I l2 2 D (m + 1 / 2) 2 + I m2 +1
(19)
При m=n®¥ выражение (19) приводит к известному предельному значению (4), а именно, R=0
[5]. Поэтому, в соответствии с (6), для оценки R¥ можно использовать формулу
R¥ =
g 2 (m + 1/ 2) 2 + I m2 +1
ln
,
2D
(n + 1/ 2) 2 + I n2
(20)
где, согласно (16), I n2 » 0,546 n.
Поскольку I n2 линейно зависит от n, то в большинстве случаев вторыми членами в числителе и
знаменателе (20) можно пренебречь по сравнению с квадратичными первыми членами. Тогда выражение (20) сводится к полученной ранее в приближении эквидистантных резонансов формуле
[9]
R¥ =
g 2 2m + 1
ln
.
D
2n + 1
(21)
4. Численная проверка
С целью проверки полученных формул были выполнены следующие расчеты. Аналогично тому, как это делалось при построении графиков на верхнем рисунке, для 160 равноотстоящих значений энергии Еi в интервале 1980-2020 эВ по формулам (1), (8) были рассчитаны полные нейтронные сечения s t0 ( Ei ) некоторого условного ядра (А=200). Помимо двух резонансов, изображенных на рисунке, с каждой стороны от рассматриваемого энергетического интервала учитывалось еще по 99 резонансов. Их энергии и квадраты амплитуд нейтронных ширин разыгрывались
методом Монте-Карло. Общая схема разыгрывания детально изложена в [12]. Межуровневые расстояния предполагались распределенными по закону Вигнера, приведенные нейтронные ширины по закону Портера-Томаса. Радиационные ширины считались не флуктуирующими: Glg= Gg . В качестве средних значений резонансных параметров использовался набор (2) с R¥=0.
Полученным значениям s t0 ( Ei ) были приписаны 1%-е ошибки; далее эти сечения рассматривались в качестве экспериментальных. Преимущество таких модельных сечений по сравнению с
реальными экспериментальными данными для какого-нибудь конкретного ядра состоит в априорном точном знании всех требуемых резонансных параметров, что позволяет избежать дополнительных неопределенностей.
Как и прежде, в каждом варианте расчета слева и справа от Е0 задавались разные числа резонансов (эти числа указаны в первой колонке таблицы). В рамках метода наименьших квадратов
значение R¥ варьировалось для подгонки расчетных сечений к “экспериментальным” s t0 ( Ei ) . Полученные таким путем значения R¥ представлены в четвертой колонке таблицы. Во второй и
третьей колонках этой таблицы - значения, рассчитанные по формулам (20) и (21).
На практике вместо параметра R¥ часто используется другой - радиус потенциального рассеяния R¢ =a(1-R¥) [1]. Поэтому, наряду с полученными значениями R¥, в пятой колонке таблицы даны соответствующие им значения R¢, а в шестой - фазовых сдвигов j (8а). Указанные в скобках
ошибки обусловлены исключительно использованием метода наименьших квадратов и не включают в себя флуктуационные погрешности, связанные с ограниченностью числа учитываемых резонансов [5, 13]. Как видно из таблицы, расчетные значения R¥ в целом вполне согласуются с оцененными по (20) или (21).
Проведенные расчеты показали также, что различия в числах учитываемых резонансов мало
сказываются при определении других резонансных параметров. Например, при заданной 1%-й
точности “экспериментальных” сечений в обоих случаях 100_1 и 1_100 нейтронные ширины двух
изображенных на рисунке резонансов восстанавливаются с точностью не ниже 3%.
5. Обсуждение и выводы
Численные расчеты подтверждают и другие важные выводы, следуемые из формул (20), (21).
В соответствии с ними корректное определение параметра потенциального рассеяния возможно
не только в пределе m=n®¥, но даже при небольших, но равных числах резонансов (m=n) с разных сторон от рассматриваемой энергии при одинаковых локальных силовых функциях. И наоборот, неравенство этих чисел приводит к неизбежным ошибкам.
Согласно (20) или (21), при изменении соотношения между m и n от m<<n до m>>n параметр
R¥ может, в принципе, меняться от -¥ до +¥, что соответствует изменению фазы (8а) в пределах
всего периода от r-p/2 до r+p/2. Конечно, на практике такой разброс маловероятен, хотя иногда
подобные ошибки могут быть значительными. В частности, обычной ситуацией при исследовании
нейтронных сечений в области очень низких (например, тепловых) энергий является наличие
большого числа известных резонансов со стороны более высоких энергий при полном отсутствии
информации о резонансах со стороны более низких энергий. Эта ситуация не существенно меняется и при введении для лучшего описания сечений ряда ядер одного, двух или трех отрицательных уровней [1].
В заключение отметим, что хотя в данной работе в качестве примера рассматривался простейший случай взаимодействия s-нейтронов с четно-четным ядром, полученные выводы справедливы
и в общем случае ненулевого спина ядра и произвольной парциальной волны, поскольку каждая
система резонансов Jp с определенным моментом J и четностью p может рассматриваться независимо. Эти же выводы, очевидно, справедливы и для перекрывающихся резонансов.
Работа выполнена при поддержке Международного Агентства по Атомной Энергии.
Список литературы
1. Mughabghab S.F. Neutron Cross Sections. Acad. Press Inc., 1987.
2. Kapur R,L,, Peierls R.E. // Proc.Roy.Soc. 1938. V. A166. P. 277.
3. Adler D.B., Adler F.T. // Proceedings Conference on Breeding in Fast Reactors. Argonne. ANL6792, 1963. P. 695.
4. Lane A.M., Thomas R.G. // Rev.Mod.Phys. 1958. V.30, No.2. P.257.
5. Lynn J.E. The Theory of Neutron Resonance Reactions. Oxford: Clarendon Press, 1968.
6. Rose P.F., Dunford C.L. ENDF-6 Formats Manual. IAEA-NDS-76, 1992.
7. Reich C.W., Moore M.S. // Phys. Rev. 1958. V.111. P. 929.
8. Новоселов Г.М., Коломиец В.М. // ВАНиТ. Сер.: Ядерные константы, 1981. Вып. 5(44). С. 10.
9. Новоселов Г.М., Литвинский Л.Л.//ЯФ. 1997. Т.60. №4. С.1.
10. Porter C.E., Thomas R.G. // Phys.Rev. 1956. V.104. P. 483.
11. Wigner E.P. // Proceedings Conference of Applied Mathematics in Toronto, 1959. Univ. Toronto
Press, 1959. P. 174.
12. Новоселов Г.М., Вертебный В.П. // Препринт КИЯИ-77-9. Киев, 1977.
13. Новоселов Г.М. // ЯФ. 1995. Т.58. Вып.1. С.21.
Полные нейтронные сечения (верхний рисунок) и сечения рассеяния (нижний), рассчитанные
с учетом разного числа резонансов слева и справа от энергии Ео=2000 эВ: 100_100 - по 100 резонансов
с каждой стороны (о); 100_2 и 2_100 - 100 резонансов слева, 2 справа и наоборот.
Сплошные кривые на обоих рисунках - случай 2_2, учитывающий по 2 резонанса с каждой стороны
Параметр потенциального рассеяния, получаемый при учете разного числа
резонансов слева и справа от рассматриваемого энергетического интервала
100_100
оценка
(20)
0,78.10-6
R¥
оценка
(21)
0,0
2_2
0,0010
0,0
1_1
0,0026
0,0
1_5
5_1
1_100
100_1
1_2000
-0,0330
0,0358
-0,116
0,118
-0,202
-0,0375
0,0375
-0,121
0,121
-0,207
Вариант
расчета
числ.
расчет
0,76(46).
10-5
0,0022(15)
0,0044(33)
-0,037(2)
0,023(1)
-0,156(4)
0,120(2)
-0,228(5)
R¢, фм
j
7,89(1)
0,0776
7,91(1)
0,0777(1)
7,93(3)
0,0779(3)
8,19(2)
7,71(1)
9,13(3)
6,95(2)
9,69(4)
0,0805(2)
0,0757(1)
0,0897(3)
0,0683(2)
0,0953(4)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа