close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Учебное пособие. Преобразования, ортогональность, собственные векторы и собственные значения.
Йэн Ф. Джонс
(принято для публикации в журнале «First Break», январь 2013 г)
Аннотация
При обработке сейсмических сигналов часто возникает необходимость в проведении различных
преобразований сейсмических данных. В данной работе мы уточняем определение понятия «преобразование
данных» наряду с параметром «ортогональности», который является одной из важнейших характеристик,
способствующих повышению эффективности целого ряда преобразований в процессе выделения составляющих
компонентов входных сигналов. Кроме того, при дискретизации непрерывных функций наблюдается
образование артефактов преобразований, основной причиной которых является сам процесс дискретизации.
В работе подробно рассматриваются причины и условия образования соответствующих артефактов.
Введение
Преобразование данных в той или иной степени является основой современных технологий обработки сигналов
в таких областях, как геофизика, связь или обработка изображений и видео. В данной работе мы, прежде всего,
рассмотрим область применения преобразований и определим их основные характеристики. Анализ будет
проводиться на примере трех наиболее известных, хотя и абсолютно разных групп преобразований:
преобразование Фурье, преобразование Радона и преобразование собственного вектора. Несмотря на коренные
различия между перечисленными видами преобразований их объединяют общие характеристики, которые
можно использовать в качестве примера для описания принципа действия большинства таких преобразований.
Существует целый ряд причин, по которым использование преобразований представляется целесообразным.
К таким причинам, например, относятся следующие:
- представление некоего объекта исходных данных, в котором возможно выделение полезной
составляющей входного сигнала из общей информационной массы (например, выделение полезных и кратных
волн при обработке сейсмических данных);
- разработка метода более компактного представления и/или хранения данных (как в процессе сжатия
данных);
- выявление общих свойств некоего набора информационных объектов для упрощения характеристики
и определения свойств соответствующего набора объектов, а также иных объектов.
Прежде, чем дать определение термину «преобразование», рассмотрим основные теоретические принципы
описания объектов. В качестве информационного объекта можно использовать, например, единичную
сейсмотрассу, сейсмограмму 2D, фотографию лица человека или трехмерный рентгеновский снимок груди.
В случае преобразования Фурье основной принцип описания объекта заключается в следующем: единичный
набор одномерных единиц данных может быть представлен в виде суммы гармонических волн (каждая волна
характеризуется амплитудой и относительным запаздыванием по фазе). Или при обработке фотографий лица
для опознания человека можно исходить из предположения о том, что набор фотографий лица будет
представляться в виде некоего усредненного типа лица с дополнением двухмерных корректировок, которые
будут компенсировать отклонение от усредненного типа лица.
Начальный объект — это исходные данные, а характеристики, которые используются для представления
начального объекта, называются объектами преобразования. Набор объектов преобразования, которые
используются для описания исходных данных, называют базисом преобразования (т. к. они являются базисом,
на основании которого осуществляется описание начального объекта). В разных литературных источниках
объекты преобразования могут называться по-разному, например, базисными функциями, базисными
векторами, а в некоторых случаях и основными компонентами.
Цифровые характеристики данных задают область определения данных. Например, трехмерный куб
сейсмических данных включает следующие размерности: полное время пробега в секундах, направление вдоль
линий приема (в метрах) и направление вкрест линий приема (в метрах). Таким образом, областью определения
для сейсмических данных является область (t, x, y). Как указывалось ранее, одномерная сейсмотрасса находится
во временной области. При преобразовании данной сейсмотрассы по методу Фурье мы получаем данные
в частотной области.
Далее, с учетом рассмотренных выше положений, необходимо определить вклад исходных данных в каждый
объект, находящийся в области преобразования. Вместо этого можно также определить вес каждого объекта
преобразования при суммировании объектов с целью воспроизведения исходного объекта. Чтобы определить
вес объектов преобразования, необходимо поочередно установить степень соответствия каждого объекта
преобразования исходному объекту. Иными словами, необходимо определить характеристики преобразования.
Для некоторых классов преобразований вес или степень влияния преобразований является элементом
собственных векторов (в немецком языке слово «eigen» обозначает «собственный»).
1
Для оценки доли каждого объекта преобразования в общем объеме исходных данных или доли исходных
данных, заключенной в каждом объекте преобразования, необходимо ввести понятие «подобия» (или сходства).
Подобие
Для определения понятия «численное подобие» рассмотрим следующий пример. Предположим, мы сделали два
цифровых снимка одного и того же лица, при этом допустим, что цветовая шкала для каждого пикселя
на фотографии представлена в диапазоне ±100, а в целом все числа, которыми представлена фотография,
составляют в среднем 0. Если фотографии идентичны, то наложив одну фотографию на другую и сравнив
значения по соответствующим пикселям, получим совершенно одинаковые численные значения для каждой
пары соответствующих пикселей. Путем умножения числовых значений в соответствующих парах пикселей
и последующего суммирования полученных значений (иными словами, после выполнения корреляции при
нулевой задержке) можно получить единое числовое значение, которое будет характеризовать степень сходства
между двумя анализируемыми фотографиями (если среднее значение в каждом распределении равно нулю,
то данный параметр называется вариантностью). Если фотографии незначительно отличаются друг от друга,
то сумма произведений числовых значений парных пикселей будет меньше, чем аналогичный показатель при
полной сходимости фотографий. Более того, если возьмем совершенно разные фотографии, то сумма
произведений будет стремиться к нулю.
Ортогональность, собственные векторы и собственные значения.
Теперь возьмем несколько фотографий, которые имеют отдаленное сходство, и проведем попарную
корреляцию фотографий при нулевом отставании. В результате получаем таблицу (или матрицу) отличий
между фотографиями (ковариационная матрица). Далее составим усредненный репрезентативный портрет
(например, путем выравнивания по методу наименьших квадратов) и вычтем средневзвешенный образ из всех
исходных фотографий. В результате получаем новый набор фотографий, изображение на каждой из которых
будет отличаться от усредненного изображения (т. к. мы вычли элементы усредненного изображения из каждой
фотографии). Таким образом, все полученные изображения будут ортогональны относительно усредненного
изображения, т. к. сходство любого из полученных изображений с усредненным изображением будет равно
нулю. Иными словами, общая вариантность будет отсутствовать. Данный тип анализа положен в основу
компьютерных программ для опознания по фотографиям (например, методика разделения на компоненты
eigenface, описанная в работах Мюллера и др. (Muller et al.), 2004 г; Парадакиса и др. (Papadakis et al.), 2007 г.).
Если продолжить вычленение и изъятие общих характеристик изображений, то мы получим комплект новых
изображений, каждое из которых является ортогональным относительно других изображений того же
комплекта. В этом случае каждое исходное изображение можно представить как взвешенную сумму новых
ортогональных изображений. Новые ортогональные изображения являются основными составляющими
изображениями комплекта исходных изображений, и весовые функции представляют собственные векторы
системы. Расчетная сумма квадратов числовых значений, составляющих каждое ортогональное изображение,
характеризует количество энергии каждого изображения основных компонентов. Единичное репрезентативное
значение энергии называют собственным значением (корень квадратный из собственного значения называют
сингулярным значением).
Аналогичные разложения можно выполнять не только для фотографических изображений, но и для набора
единичных сейсмотрасс или кубов 2D или более крупных и сложных объектов. Например, геофизикам хорошо
известно преобразование Фурье, в процессе которого осуществляется разложение единичной сейсмотрассы
на комплект репрезентативных синусоид, причем каждая синусоида является ортогональной относительно
других синусоид или, иными словами, полученные синусоиды не имеют общей вариантности (корреляция
указанных синусоид равна нулю). Весовая функция (иными словами, амплитудный спектр) представляет собой
весовую функцию собственного вектора и спектральную функцию (энергию каждой синусоиды). Такая весовая
функция характеризует собственное значение для каждой частотной составляющей (напр., Истон, 2010 г.).
Тем не менее, в данном контексте графики таких спектров могут вводить в заблуждение, т. к. их масштабы
часто нормализованы или представлены в относительных dB. Преобразование Фурье получило широкое
распространение при проведении геофизических исследований и используется как для анализа одномерных
изображений, так и изображений 2D и 3D (такой анализа называют разложением плоских волн).
При одномерном преобразовании Фурье основные ортогональные компоненты являются заданными
и представляют собой набор синусоид, форма каждой из которых независима от формы исходных трасс,
которые подлежат разложению. Существует целый ряд иных видов преобразований, характеризующихся
предварительно заданными базисными функциями. К таким преобразованиям относятся, например,
преобразование Уолша, которое применяется для разложения трассы по форме прямоугольных волн (например,
Бичем, 1975 г.). Метод разложения по прямоугольным волнам используется в археологии при реконструкции
карт поверхностных магнитостатических волн или сопротивления для определения линейных и угловых
характеристик при анализе фундаментов разрушенных зданий в процессе раскопок. Процесс разложения
двухмерных и более объектов предусматривает разложение на предварительно заданные (детерминистические)
функции (например, преобразования Фурье и Уолша) или разложение на наборы ортогональных функций,
полученных непосредственно из исходных данных (например, преобразование Карунена-Лоэва (KL) и иные
2
методы разложения по сингулярным числам матрицы (методы SVD)). В статьях по геологии последний
упомянутый метод комбинируют с определенными допущениями и называют «факторным анализом» (напр.,
Дэвис (Davis), 1973 г.).
Неортогональные преобразования
Параметр ортогональности является удобным инструментом для выделения различных компонентов объектов,
представленных в цифровом виде. Как указывалось ранее, основные компоненты считаются ортогональными,
если не имеют общей вариантности. Тем не менее, некоторые преобразования позволяют выполнять
разложение исходных данных на основные компоненты, которые характеризуются наличием общей
вариантности. Такие преобразования называют неортогональными (например, преобразование Брауна,
2009 г.). Существует целый ряд других преобразований (например, преобразование Радона), которые также
не являются изначально ортогональными и характеризуются неортогональными базисными функциями,
но могут использоваться для восстановления практически ортогональных подмножеств исходных данных (Трад
и др. (Trad et al.), 2003 г.).
Математические основы преобразований
Математические основы рассмотренных выше преобразований различны, однако в рамках данной работы мы
подробнее остановимся только на сходных свойствах указанных преобразований, которые являются полезными
с практической точки зрения. Например, непрерывное преобразование Фурье выражается через интегральное
уравнение сопряженных операторов (прямое преобразование имеет такой же вид, как и обратное
преобразование). Преобразование KL также характеризуется обратимостью и выражается в виде проекций
матрицы и ее транспозиций. В то же время, дискретное преобразование Радона можно записать в виде суммы
ограниченного множества трасс, находящихся в области преобразования.
В упрощенном случае рассматриваемые пары преобразований можно записать в следующем виде. В случае
преобразования Фурье производится суммирование набора синусоид с целью записи произвольного входного
сигнала f(t) в виде синусоид F(f):
( )
∫
( )
( )
∫
( )
Необходимо помнить, что показатель сложной экспоненты в данном случае одновременно характеризует
частотную и фазовую задержку синусоиды:
(
)
(
)
Переменные t и f могут обозначать, например, время и частоту. Полученная пара функций, которые
практически не отличаются друг от друга, являются парой функций прямого и обратного преобразования.
Таким образом, для преобразования дискретных данных мы заменяем интеграл на сумму по ограниченному
интервалу частот. Далее мы подробнее рассмотрим данный вид преобразования. Преобразование Фурье,
особенно многомерные преобразования (2D и 3D), играет особую роль при обработке сейсмических данных,
т. к. является удобным инструментом для записи тангенса углов, измеренных в области (t, x) для двухмерных
данных через соответствующие обратные тангенсы в области (f, k). Указанные касательные обозначают
скорости и используются для некоторых разновидностей фильтрации с целью подавления шумов
и многократных волн.
В случае преобразования KL, в рамках которого разложение данных на предварительно заданные наборы
функций не предусматривается, получаем следующие пары преобразований:
( )
∑
( )
( )
∑
( )
Переменные wik, предназначенные для взвешивания суммы (собственные векторы), определяются путем
преобразования ковариационной матрицы и поиска одинаковых компонентов исходных данных (наиболее
эффективным методом является метод разложения сингулярных значений, например, метод Стрэнга, 1980 г.).
Трассы преобразования Pk(t) являются n основными компонентами, которые соответствуют n исходным
трассам.
3
В конечном итоге, для преобразования Радона, записанного в виде дискретной суммы, получаем следующую
пару преобразований, выраженных через переменные скорости v и удаления h:
(
)
∑
(
{
})
(
)
∑
(
{
})
Функция записывается в виде x(h,t), а не x(h,t), т. к. полного восстановления функции x(h,t) с помощью данного
преобразования не происходит. В данном случае скорее только ее часть охватывается суммируемыми
⁄ }) являются выражениями для обозначения направления
значениями. Переменные t и τ (как здесь {
вектора, вдоль которого определяется сумма. В этом случае формула описывает гиперболу, которую в других
видах преобразования Радона можно заменить параболой или прямой. Принимая во внимание, что данное
преобразование не обеспечивает полного восстановления исходной функции, данное преобразование Радона
можно представить в виде задачи минимизации с целью максимальной подгонки данных в ограниченном
интервале используемого вектора. Например, такое преобразование можно записать в виде задачи
минимизации погрешности по методу наименьших квадратов, чтобы получить оптимальную модель описания
исходных данных x для набора заданных пользователем векторов (более подробно понятие «неполного»
преобразования, которое не позволяет (и не способно) полностью восстановить исходные данные,
рассматривается далее). В любых разновидностях преобразований направляющие векторы обычно называют
значениями ‘p’ (см. рис. 2).
Направляющий вектор для расчета параметра подобия
Основой всех рассмотренных видов преобразований является попытка обнаружить подобие или сходство
между каждой исходной трассой (или группой трасс) и основными компонентами, которые выделяются
в процессе разложения. Тем не менее, при сравнении трасс (путем расчета ковариационной матрицы или
сопоставления с предварительно заданными основными компонентами, такими как синусоида), сравнительный
анализ может выполняться в различных направлениях. На рис. 1 показана сейсмограмма 2D с различными
траекториями. Рассматриваемый набор трасс 2D может представлять собой сейсмограмму ОПВ, сейсмограмму
после ввода кинематических поправок, сейсмический разрез или оцифрованное изображение лица человека
(преобразованное, например, в растровый формат с помощью векторов вертикальной колонки). В данном
случае природа объекта 2D не имеет особого значения. Если сравнение трасс выполняется путем сопоставления
трасс по горизонтали, то речь идет о сравнении трасс по горизонтальной траектории (трасса а) на рис. 1).
Результаты сравнительного анализа трасс будут совершенно иными в случае сопоставления трасс вдоль
линейной плоскости падения (трасса b)). Направления анализа и сопоставления называют направлениями
направляющего вектора анализа. Кроме того, вместо прямых можно анализировать кривые, например,
траекторию параболы с) или гиперболы d). Можно также рассчитать показатель подобия или схожести более
чем для одного направляющего вектора (т. е., для целого набора векторов). Например, таким образом
осуществляется преобразование Радона (см. Сакки и Улрич (Sacchi and Ulrych), 1995 г.) для определения
подобия путем суммирования (интеграл) значений вдоль направляющих векторов (в отличие от определения
подобия методом анализа ковариационной матрицы). Такое суммирование можно выполнить для набора
линейных траекторий с целью линейного разложения (τ-p) по методу Радона (Стоффа и др.(Stoffa, et al.),
1981 г.); или параболических траекторий с целью параболического преобразования Радона (Чэпмен (Chapman),
1981 г.; Хэмпсон (Hampson), 1986 г.); и/или гиперболических траекторий с целью гиперболического
преобразования Радона (которое в упрощенном виде используется для анализа скоростей и называется
спектром скоростей: Танер и Келер (Taner and Koehler), 1969 г.; Йылмаз (Yilmaz), 1989 г.). В области значений
преобразования единичный направляющий вектор отображается в виде точки, т. е. независимо
от геометрической формы трассы (линия, парабола или гипербола) любая трасса отображается в базисном
пространстве в виде точки (рис. 2). Необходимо также отметить, что направляющий вектор для преобразования
Радона проходит через ось удалений в нулевой точке. Другими словами, смещение вершины параболы или
гиперболы равно нулю. Таким образом, в случаях, когда смещение вершины параболы не равно нулю, базовое
преобразование Радона не применяется.
Аналогичная картина наблюдается для преобразований, которые предусматривают определение базисных
функций на основе ковариационной матрицы, в случаях, когда ковариационная матрица строится методом
наложения, умножения и суммирования элементов объектов после сдвига отдельных трасс или объектов
относительно друг друга.
4
Время (с)
Удаление (м)
Рис. 1. Примеры возможных траекторий, вдоль которых рассчитывается потрассовый показатель подобия
(направляющие векторы).
Преобразование Радона
(линейная траектория)
Преобразование Радона
(параболическая траектория)
Преобразование Радона
(гиперболическая траектория)
Рис. 2. Любая линия в исходных данных (t,x) в процессе преобразования Радона изображается в виде точки
(tau, наклон или изгиб). Преобразования могут осуществляться для различных траекторий (направляющие
векторы), по которым выполняется анализ трасс с целью определения сходства. В каждом отдельном случае
значение параметра ‘p’ будут различными.
Можно рассчитать один основной компонент с наиболее высокой степенью подобия для набора направляющих
векторов (как, например, в случае преобразования Радона) или все основные компоненты одного
направляющего вектора (как, например, в случае преобразования KL, см. Хемон и Мэйс (Hemon and Mace),
1978 г.; Джонс (Jones), 1985 г.) или все основные компоненты для полного комплекта направляющих векторов
(как, например, в случае наклонного преобразования KL, см. Джонс и Леви (Jones and Levy), 1987 г.).
В преобразованиях, предусматривающих определение всех основных компонентов, весовые векторы, которые
называют собственными векторами, позволяют определять весовую долю каждого основного компонента
в единичной трассе. В то же время при выполнении преобразования Радона рассчитывается только один
основной компонент для каждого направляющего вектора, поэтому доля соответствующего основного
компонента в каждой исходной трассе будет задаваться константой. Таким образом, при восстановлении
исходных данных с использованием одного направляющего вектора единственный основной компонент
не будет учитывать латеральные изменения. Чтобы восстановить исходные характеристики AVO, необходимо
использовать суперпозицию различных векторов с целью восстановления латерального изменения амплитуд.
Следовательно, преобразование KL и иные преобразования методом разложения собственных векторов можно
рассматривать как преобразования, предоставляющие все ортогональные основные компоненты для
единичного направляющего вектора, в то время как преобразование Радона предоставляет только первый
(неортогональный) основной компонент для набора разнонаправленных прямолинейных векторов.
5
Пример преобразования KL показан на рис. 3. Практически плоские сигналы (плоскопараллельная отражающая
граница), характеризующие геологическое строение (а), добавляются к помехам от наклона пластов (b),
что приводит к построению сейсмического разреза с большим количеством помех (c). После разложения
на ортогональные основные компоненты мы выполнили два цикла восстановления данных. На рис. 3d показаны
результаты восстановления данных с использованием первых пяти основных компонентов (в данном случае
на эти компоненты приходится 75% общего объема входной энергии). На рис. 3e показано восстановление
«несоответствия» с использованием остальных основных компонентов. С учетом того, что направляющий
вектор предназначался для анализа плоских сигналов, результаты восстановления, показанные на рис. 3d
являются оптимальными для отображения плоскопараллельных границ (плоский сигнал), а все остальные
характеристики похожи на помехи, возникающие при падении границ.
Рис. 3: a) сигнал, отраженный от плоскопараллельной поверхности; b) помехи отражения от падающей
поверхности; c) сумма a) и b), отображающая исходный сигнал; d) реконструкция сигнала по методу KL
с использованием первых пяти основных компонентов , e) реконструкция невязок шумов по методу KL
(формируется по основным компонентам 6-24), f) основные компоненты (по методу Джонса и Леви (Jones and
Levy), 1987 г.).
Уменьшение размерности
Рассмотрим графическую функцию двух переменных по осям x и y, как показано на рис. 4a. Предположим, что
в плоскости (x,y) имеется множество разбросанных значений. Для оптимальной характеристики данного
распределения необходимы только две координаты (или размерности): х и у. Теперь предположим, что
вводится третья (абсолютно ненужная) координата (по оси z), как показано на рис. 4b. Дополнительная
координата является избыточной и не несет никакой смысловой нагрузки для характеристики распределения.
Тем не менее, если мы выполним вращение имеющегося множества значений в новой системе координат (x’, y’,
z’), то потребуются все три характеристики (оси координат) для описания распределения множества значений
(рис. 4c). Анализ трехмерного распределения заданного множества значений, показанного на рис. 4c, позволяет
построить новую проекцию в исходной двухмерной системе координат (х и у), с помощью которой можно
корректно описать заданное множество значений. Правильный выбор методики определения минимального
количества размерностей для адекватной характеристики распределения значений является важнейшим
условием достоверного выполнения ортогональных преобразований. К таким методикам относят, например,
метод сингулярного разложения (SVD). Установлено, что собственные значения любых избыточных
размерностей, которые вводятся для характеристики заданного распределения значений, представляют собой
малые величины (а, следовательно, ими можно пренебречь).
В контексте анализа сейсмотрасс множество значений на рис. 4с может описывать атрибуты некоторых трасс
в зависимости от положения ПВ и ПП, хотя в данном случае адекватной характеристики распределения можно
добиться за счет построения графика зависимости атрибутов от ОГТ.
6
Рис. 4. То же множество значений, представленное в двухмерной плоскости: (a) построение 2D;
(b) построение 3D, где третья ось (z) избыточна; (c) Построение 3D с вращением в системе координат.
С другой стороны, если рассматривать сейсмограмму ОГТ в составе 100 сейсмотрасс, которая характеризуется
неполным сглаживанием всех осей синфазности после ввода кинематических поправок, сложностью
и разнообразием отраженных волн, которые создают целый ряд разнообразных и отличающихся друг от друга
траекторий с остаточными приращениями времени пробега на сейсмограмме, то можно выполнить
параболическое преобразование Радона, чтобы получить 100 трасс со значением p в области преобразования.
Необходимо оговориться, что это не приведет с уменьшению количества размерностей. Однако, если нам
удастся получить всего, скажем, семь уникальных параболических траекторий для исходной сейсмограммы
ОГТ после ввода кинематических поправок (как показано на рис. 5), то в этом случае мы сможем адекватно
описать данные с помощью семи значений р. Таким образом, количество размерностей для решения данной
задачи будет уменьшено (в практических условиях для решения такой задачи потребуется большее количество
р значений вследствие характерного для преобразований размывания данных и ограниченного диапазона частот
данных). Необходимо отметить, что чрезмерное уменьшение количества р значений не приведет к уменьшению
количества размерностей, т.к. в этом случае мы не сможем обеспечить адекватное представление данных.
Как показано на рис. 6, данная методика демонстрирует высокую эффективность при обработке реальных
сейсмических данных морской сейсморазведки.
Рис. 5. Слева: тринадцать траекторий приращения времени, семь из которых одинаковые (плоские).
В результате получаем семь различных траекторий — нулевая остаточная траектория после ввода
кинематических поправок для различных плоских сигналов (отображение полезных волн), плюс шесть других
траекторий (многократно отраженные волны). Справа: параболическое преобразование исходных данных
по методу Радона. Если не принимать во внимание эффект размывания при преобразовании, то исходные
данные можно представить с помощью всего семи трасс значений р, а не использовать все 100 исходных
сейсмотрасс. Такую операцию называют сжатием данных. Выбранные трассы не являются ортогональными
относительно друг друга, т. к. корреляция р трасс, содержащих оси синфазности с одинаковым временем
пробега по центральному лучу (tau), не равна нулю. Однако реконструкция данных для характеристик
с выделенными продольными волнами будет иметь ортогональный характер. Ось 'р' имеет единицы измерения
в мс задержки при наблюдении дальней трассы.
7
Рис. 6. Применение параболического преобразования Радона при обработке реальных сейсмограмм ОГТ после
ввода кинематических поправок (проект глубоководной сейсморазведки). Исходные данные ОГТ содержат
многократные волны с зеркальными частотами. Методика одновременного подавления многократных волн
на базе данной технологии характеризуется высокой эффективностью (источник: Стюарт и др., 2007 г.).
Полное и неполное преобразование
Качество преобразований и восстановления исходных данных можно оценить путем последовательного
проведения прямого и обратного преобразования. Полное преобразование — преобразование без потерь,
обеспечивающее полное восстановление исходных данных (в пределах допустимой математической
погрешности). Примеры: преобразование Фурье и преобразование KL. Если полного восстановления исходных
данных не наблюдается, то преобразование называют неполным (например, преобразование Радона). При
преобразовании Радона (независимо от разновидности: линейное, параболическое, гиперболическое или
анизотропное преобразование более высокого порядка) анализируется ограниченное количество заданных
пользователем векторов направлений и только самый общий компонент каждого направляющего вектора.
Таким образом, (прямое) преобразование Радона охватывает лишь ограниченную часть области значений.
Следовательно, при проведении обратного преобразования полное восстановление исходных данных
невозможно. Это одна из причин, по которым при выполнении преобразования Радона исследователи
применяют обратное добавление немоделируемой части исходных данных, особенно в тех случаях, когда
планируется проведение анализа AVO (т. к. изменение амплитуды в зависимости от удаления также может
быть потеряно в процессе преобразования).
Предположим, что на сейсмограмме ОГТ имеется единичная плоскопараллельная характеристика (плоское
пятно) после ввода кинематических поправок при вертикальном времени t=τ0, тогда в области значений
параболического преобразования Радона в идеальном случае будет находиться точка с координатами (τ0, p=0),
а в результате обратного преобразования в этой точке мы получим адекватную реконструкцию плоской
характеристики на сейсмограмме ОГТ. Тем не менее, в случае проведения анализа AVO по плоским волнам
на исходной сейсмограмме ОГТ мы не сможем адекватно представить данные с помощью одной точки
в области значений преобразования. Для характеристики параметров AVO в исходных данных потребуется
суперпозиция нескольких точек, аналогичных имеющейся. На рис. 7 наглядно показано, что плоский сигнал
(плоское пятно) характеризуется более высокой амплитудой по дальним трассам, а, следовательно,
восстановление такого сигнала по одному значению р невозможно. В данном случае необходимо использовать
дополнительные траектории для эффективного суммирования с целью получения более широкого диапазона
амплитуд на больших удалениях. В случае расчета всех основных компонентов для данного плоского сигнала
AVO, например, в процессе преобразования KL, мы можем восстановить характеристики AVO, однако при
более низкой скорости вычислений по сравнению с расчетами на основе единичного основного компонента, как
в преобразовании Радона. Тем не менее, если выполняется анализ реальной сейсмограммы, на которой
присутствуют многочисленные плоскопараллельные и неплоскопараллельные характеристики, каждая
из которых имеет различные характеристики AVO, то даже преобразование KL позволяет получать
достоверные результаты только в том случае, если рассчитываются все основные компоненты для всех
направляющих векторов. В такой ситуации наиболее эффективным с экономической точки зрения методом
разложения является преобразование Радона, которое обеспечивает выделение разных направляющих векторов
(то есть разделение многократных и однократных волн) при достаточно качественном отображении
характеристик AVO.
8
Рис. 7. Характеристики AVO для плоскопараллельного отражения невозможно определить на основе всего
одного значения р. Для увеличения амплитуд по дальним трассам необходимо использовать суперпозицию
многочисленных колебаний (ослабляющая интерференция должна обеспечивать подавление нежелательных
компонентов, которые привносятся траекториями р со значениями, не равными нулю при иных удалениях).
На графике a) показана единичная плоскопараллельная характеристика с увеличением амплитуд по дальним
трассам в три раза. На графике b) (в центре) показаны результаты параболического преобразования Радона
по этим данным с отображением линейной наклонной характеристики, которая изображена на графике
с помощью гипотетических красных кривых a). Красными кривыми отображены-дополнительные
параболические траектории, которые необходимы для реконструкции увеличения амплитуд по дальним
трассам. На графике справа показано преобразование Радона для плоского пятна без учета AVO
характеристик. Все графики построены в таком масштабе, который позволяет более детально
проанализировать рассматриваемые характеристики. (Обратите внимание, что некоторые из необходимых
траекторий возникают при отрицательных значениях времени). Ось 'р' имеет единицы измерения
мс задержки при наблюдении дальней трассы.
Одномерные и многомерные преобразования
Как указывалось ранее, преобразования Фурье, Радона и KL можно рассматривать как методы разложения
отдельных исходных трасс на элементарные базисные функции, но при этом каждый основной компонент
является одномерным объектом. В этом случае формат исходных данных (2D или 3D) не играет существенной
роли. Мы просто выполняем сравнительный анализ для определения подобия вдоль заданного направления
вектора или схожести характеристик трассы с точки зрения доли базисных векторов (например,
синусоидальные волны в случае преобразования Фурье).
Тем не менее, в случае анализа комплекта оцифрованных фотографий лица человека сопоставление
характеристик между двумя разными векторами-столбцами на одной и той же фотографии не даст желаемого
результата, т. к. между разными вертикальными полосами одной фотографии нет никакого исходного сходства.
Однако при работе с двухмерным объектом, каким является фотография, мы можем непосредственно
сопоставить набор двухмерных изображений (фотографии лица человека) за счет формирования
ковариационной матрицы для набора двухмерных изображений. В этом случае мы можем определить долю
«обобщенного» изображения (с наиболее схожими чертами) и второго наиболее схожего изображения
в исходных фотографиях. Полученные таким образом двухмерные изображения (основные компоненты)
в литературе, посвященной теории компьютерной идентификации людей по фотографиям, называют
собственными лицами. В отличие от рассмотренных выше преобразований Радона и KL, которые
характеризуются только одномерными основными компонентами (т. е. набор одномерных основных
компонентов, описывающих набор одномерных трасс, которые входят в состав двухмерного объекта), данная
технология позволяет описывать объекты 2D с помощью двухмерных основных компонентов. Аналогичная
ситуация наблюдается в медицинской отрасли, когда трехмерные объемные снимки грудной клетки человека
сопоставляются с множеством других объемных изображений. В данном случае могут использоваться
трехмерные основные компоненты. Такую технологию можно использовать для выявления зараженных
внутренних органов пациентов.
На рис. 8 показано три изображения собственного лица, полученных на основе двухмерного разложения 600
фотографий лиц (Источник: д-р Нейл Мюллер, Стелленбосский Университет). На рисунке показано первое,
десятое и сотое собственное лицо из набора в составе 600 фотографий. Собственные значения, используемые
при разложении, показаны на рис. 9. Результаты анализа показывают, что любую исходную фотографию можно
9
восстановить с высокой степенью достоверности на основе линейных комбинаций порядка 300 собственных
изображений. Определение необходимого и достаточного количества собственных значений представляется
весьма сложной задачей. Обычно пользователь задает параметр количества энергии исходного изображения,
которая подлежит восстановлению в процессе реконструкции, и выполняет суммирование по собственным
изображениям с целью учета заданной доли энергии от общего объема входной энергии (Джонс (Jones),
1985 г.). (В данном контексте под энергией понимают сумму квадратов оцифрованных компонентов исходных
изображений).
Рис. 8. Выборка собственных изображений (изображения основных компонентов) по результатам
двухмерного разложения набора цифровых изображений лица человека на 600 фотографиях.
Слева направо показаны следующие собственные изображения: 1-е изображение, 10-е изображение и 100-е
изображение. (Источник: д-р Нейл Мюллер, Стелленбосский Университет (Мюллер и др., 2004 г.).
Рис. 9. Распределение собственных значений (спектр) для двухмерного разложения 600 исходных
фотографий лиц.
На рис. 10 показаны результаты восстановления одной из 600 фотографий методом суммирования первых
наиболее выразительных собственных изображений: 40, 100 и 450 собственных изображений, соответственно.
Полного восстановления черт лица анализируемого исходного изображения можно добиться только в случае
суммирования всего набора из 600 собственных изображений с учетом весовых характеристик
соответствующих собственных векторов. С другой стороны, на рис. 11 показаны результаты аналогичной
реконструкции, выполненной на основе суммирования первых 450 собственных изображений, однако в данном
случае реконструкции подлежало изображение, которое не входило в исходный комплект из 600 фотографий,
использовавшихся для создания базисного набора основных компонентов. Анализ результатов новой
реконструкции показывает, что корреляция нового входного изображения путем сопоставления со всеми 600
собственными изображениями позволяет определить весовые характеристики (собственные векторы), однако
10
полная или даже более-менее достоверная реконструкция исходного изображения на основе полученных
весовых характеристик, скорее всего, невозможна в связи с тем, что новое изображение не учитывалось при
расчете базисного набора компонентов.
Рис. 10. Результаты восстановления одного из 600 исходных изображений методом суммирования
первых собственных изображений: 40, 100 и 450 собственных изображений, соответственно. Полного
восстановления черт лица анализируемого исходного изображения можно добиться только в случае
суммирования всего набора из 600 собственных изображений с учетом весовых характеристик
соответствующих собственных векторов. (Источник: д-р Нейл Мюллер, Стелленбосский Университет).
Рис. 11. Результаты реконструкции изображения, которое не входило в состав исходных 600 фотографий,
использовавшихся для создания базисного набора основных компонентов преобразования. Реконструкция
выполнена методом суммирования первых наиболее выразительных собственных изображений в составе 450
собственных изображений. В данном случае восстановление исходного изображения с высокой степенью
достоверности маловероятно, т. к. свойства исходного изображения не учитываются в составе базисного
набора компонентов. (Источник: д-р Нейл Мюллер, Стелленбосский Университет).
Артефакты преобразования: последствия дискретизации
В математическом смысле приведенные далее преобразования являются интегральными и предусматривают
интегрирование по непрерывной (аналоговой) функции. При проведении дискретизации данных, подлежащих
преобразованию, необходимо оценить влияние процесса дискретизации на базовое представление непрерывной
функции в пространстве преобразования (см. Брэйсуэлл (Bracewell), 1978 г.; Канасевич (Kanasewich), 1981 г.;
Чэпмен (Chapman), 1981 г.).
Мы уже рассматривали математическую форму трех типов преобразований, которые анализируются в данной
статье: преобразования Фурье, KL и Радона. Все перечисленные преобразования можно записать
в интегральной форме, однако в дискретных компьютерных расчетах вместо интегралов используется
суммирование. Например, интегральная пара Радона (прямое и обратное преобразование) представляет собой
11
суммирование бесконечно малых интервалов по контуру интеграла (направление вектора), однако в цифровом
представлении задачи все данные располагаются на регулярной сетке дискретизации (например, по времени
и удалению). При этом очень маловероятно, что линия, вдоль которой мы хотим провести суммирование, точно
накладывается на регулярную сетку дискретных данных. В связи с этим, незамедлительно возникает первая
проблема, которую необходимо устранить, а именно отсутствие дискретных данных в тех точках пространства,
где мы планируем проводить суммирование. Как следствие, нам приходится смириться со снижением качества
данных в процессе преобразования или ввести некие сложные схемы прогнозирования значений параметров
в необходимых точках контура интегрирования на основе использования соседних фактических данных сетки
дискретизации. Решение данной задачи показано на рис. 12.
Удаление (шаг дискретизации — 100 м)
Требуемый контур
интегрирования
Время (шаг дискретизации — 4 мс)
Рис. 12. Желательное положение данных (на линии-контуре интегрирования), чтобы провести суммирование
в рамках преобразования, и фактическое положение дискретных данных. В случае некорректного решения
данная задача дискретизации может привести к искажению формы сигнала.
Кроме того, после дискретизации функции мы не можем более получать информацию за пределами заданного
диапазона частот. В известной теореме Найквиста цифровое квантование данных увязывается с максимальной
частотой, которая может присутствовать в сигнале. Согласно этой теореме, для отображения сигнала некоторой
частоты Р необходима дискретизация исходного сигнала с частотой не менее 2Р, т. е. величина,
соответствующая половине частоты дискретизации (SR). Таким образом, при шаге дискретизации 4 мс
максимальная частота составит 1/(2*SR) = 125 Гц; или для удалений с пространственной дискретизацией при
шаге 50 м волновое число максимальной пространственной частоты составит 0,01 м −1. В практических
условиях максимальная частота, которую можно адекватно охарактеризовать при стабильной амплитуде,
составляет всего приблизительно 2/3 от частоты Найквиста.
Скачкообразно прерывающаяся функция (т. е. прекращение или начало измерений после некоторого интервала
времени или расстояния) называется ступенчатой функцией (в математике также называется функцией
Хэвисайда). При проведении эксперимента различают такие стадии, как начало эксперимента и окончание
эксперимента, которые соответствуют началу и окончанию измерений процесса. Данную процедуру можно
представить в виде умножения в теоретически непрерывном процессе, представленном двухступенчатыми
функциями или, иными словами, умножение непрерывных данных на ноль в период перед началом измерений
и присвоение нулей в период после окончания измерений. Двойная функция Хэвисайда, рассмотренная выше,
учитывает частотную характеристику преобразования Фурье, которая является функцией колебаний (а именно
синусоидальной функцией), а эффект усечения спектра фактических сигналов налагается путем конволюции
спектра данных с применением оператора усечения (Брэйсуэлл (Bracewell), 1978 г.), в результате чего
наблюдается образование кольцевого эффекта в фактическом спектре сглаженных данных.
На рис. 13 в динамике иллюстрируется преобразование Фурье для непрерывной временной функции, а также
преобразование Фурье для сетки дискретизации и операторы усечения для выполнения измерений. Сетка
дискретизации в исходной временной области значений умножается на непрерывную временную функцию для
получения цифровых данных, которые можно обрабатывать на компьютере. Кроме того, после начала
и прекращения измерений непрерывная функция подвергается усечению за счет ступенчатых функций.
В области значений преобразования Фурье результаты преобразование операторов усечения и дискретизации
подвергаются свертке путем преобразования непрерывного сигнала. Традиционно, на график наносится только
положительная половина первого воспроизведения общего сигнала частотного диапазона.
12
В случае преобразования Радона, принимая во внимание, что непрерывное преобразование единичной
параболической траектории (рис. 2, середина) является единственной известной точкой в области значений
параболического преобразования Радона, процесс дискретизации влияет на указанную точку и размывает
характеристики преобразования вследствие чего данная «точка» принимает вид наклонной петлеобразоной оси
синфазности. В данном случае квантование выполняется по временным и пространственным характеристикам,
что позволяет получать временную выборку при шаге 4 мс и выполнять пространственную дискретизацию
трассы с шагом 100 м. Чтобы лучше понять определение оператора размывания, можно рассматривать оператор
как вклад каждого единичного исходного сигнала с характеристикой времени при нулевом удалении =τ0
и удалении x. На рис. 14 показана доля единичного сигнала (форма импульса) при удалениях x=0, 3 и 6 км.
Суперпозиция характеристик сигналов при всех исходных удалениях позволяет получить общую
характеристику преобразования (см. рис. 15).
Одним из способов предотвращения образования кольцевого эффекта или иных артефактов, возникающих при
вводе операторов усечения, является видоизменение формы оператора усечения с целью снижения
интенсивности проявления кольцевого эффекта. Именно по этой причине перед преобразованием производится
обрезание краев данных, при преобразовании Фурье — обрезание всех краев, а при преобразовании Радона —
обрезание крайних данных по дальним трассам. Кроме того, в практической работе широкое распространение
получил метод интерполяции исходных данных перед преобразованием с целью снижения неблагоприятного
влияния дискретизации на качество преобразований.
Регулярность дискретизации
Если дискретизация проводится с регулярным шагом, то параметр регулярности можно использовать для
ускорения расчетов с помощью, например, быстрого преобразования Фурье (Кули и Тьюки (Cooley, Tukey),
1965 г.). Исходя из этого, большинство методов обработки основаны на допущении, что входные данные имеют
регулярный шаг дискретизации. Тем не менее, при проведении полевых работ в реальных условиях
большинство сейсмических данных регистрируются по сетке профилей, которая не является регулярной,
вследствие чего могут появляться обширные пробелы в данных, требующие интерполяции до проведения
обработки. В связи с этим, значительные усилия исследователей были направлены на разработку методов
регуляризации нерегулярных и/или редких данных, например, дискретное преобразования Фурье
и предотвращение рассеяния (Сакки и Улрих (Sacchi, Ulrych), 1996 г.; Даиндам и Схонвиль (Duijndam,
Schonewille), 1997 г.; Сюй и др. (Xu et al.), 2005 г.).
Временная область
Частотная область
Рис. 13: а) Входной аналоговый (непрерывный сигнал) и соответствующий ему спектр частот Фурье.
Для аналогового сигнала, ось частотного спектра имеет диапазон ± ∞, при этом спектр сигнала может быть
ограничен некоторой полосой (как показано здесь); б) Оператор усечения (функция с узкополосным фильтром)
имеет спектр, представленный синусоидальной функцией; в) Дискретизация данных с шагом квантования,
например, 4 мс, по существу, означает умножение аналогового отсчета с шагом 4 мс гребенчатой функции
с заполнением нулями интервала между действующими точками через каждые 4 мс. Спектр гребенчатой
функции при времени дискретизации L секунд представляет собой функцию с разносом частот 1/2L Гц;
г) Во временной области умножение аналогового сигнала на узкополосный фильтр и шаг гребенчатой функции
соответствуют свертке частотной области и получению заданного спектра. Обычно, мы показываем первый
«прогон» частотного спектра при максимальной частоте ± 1/2L (ограничение дискретизации по теории
Найквиста). При шаге дискретизации 4 мс для временной области частота Найквиста составит 125 Гц.
13
Рис. 14. Слева: сигнал ближней трассы можно рассматривать как сумму множества кривых,
пересекающихся при нулевом удалении одинаково, но имеющих разный угол падения, поэтому преобразование
рассматривает все возможные углы падения (в пределах интервала сканирования) для одного постоянного
времени вступления. Середина: сигнал средних удалений состоит из ограниченного набора кривых,
охватывающих небольшой промежуток времени. Слева: сигнал дальних удалений представлен более широким
диапазоном углов наклона при более широком промежутке времени. Ось 'р' имеет единицы измерения
в мс задержки при наблюдении дальней трассы.
Помехи
на дальних
удалениях
Помехи
на ближних
удалениях
Рис. 15. Граничные артефакты для параболического преобразования Радона. Вследствие помехи между
ближним и дальним удалениями сигнал не виден; при этом боковые лепестки сигнала часто отпадают,
так как они находятся не в фазе, оставляя только граничные артефакты ближнего и дальнего удаления.
Исторические примеры погрешностей дискретизации
Динамические характеристики цифровых данных зависят от используемой процедуры дискретизации данных.
Таким образом, понимание результатов, полученных при использовании дискретизированных данных
в пределах определенного диапазона измерений, неявно означает понимание результатов фильтрации,
применяемой при проведении дискретизации и применении ограничений в экспериментах.
Одним из первых известных мне примеров неверного представления о рассматриваемых процессах являются
работы Нотта (Knott), который в 1897 г. проводил анализ периодичности землетрясений, вызываемых лунными
приливами (Джонс (Jones), 1980 г.). Любой бесконечно длинный временной ряд характеризуется определенным
спектром частот Фурье. Однако если обрезать этот ряд таким образом, чтобы он включал в себя только
измерения, сделанные в течение определенного периода времени (например, за 1 год), то на такой частотный
спектр будут влиять эффекты усечения, наложенные на временной ряд (который является синусоидальной
функцией, имеющей нулевое значение на частотах, кратных обратной длине окна усечения). Нотт
интерпретировал периодичность кольцевого эффекта оператора усечения, как наложение периода приливов
на наблюденные землетрясения, вызванные лунными приливами, поскольку кольцевой эффект случайно совпал
с ожидаемым периодом лунного цикла (и его гармониками), который составляет приблизительно 28 суток.
В том же 1897 году Шустер (Schuster) указал на ошибку метода Нотта, продемонстрировав, что в других
обстоятельствах совершенно плоский спектр будет отражать такую периодичность в случае применения к нему
оператора усечения. Другими словами, результаты анализа Нотта имели смещение из-за характеристик
фильтра, который, возможно, привел к маскировке значимых исходных данных. Тем не менее, позднее в свое
оправдание Нотт обосновал исходную интерпретацию тем, что сами по себе границы усечения не могут
объяснить периодичность наблюдений.
После этого случая теория о влиянии лунных приливов на наземную сейсмическую активность не обсуждалась
на протяжении последующих практически 100 лет, пока астронавты «Аполлона» не установили на Луне
геофоны (см. Бжостовский и Бжостовский (Brzostowski, Brzostowski) 2009 г.), анализ записи которых позднее
14
подтвердил возникновение сейсмической активности на Луне под влиянием земных приливов и отливов
(Гоулти (Goulty), 1979 г.). На основе новых материалов было выполнено уточнение каталога землетрясений,
особенно в части землетрясений малой магнитуды. В любом случае, связь между лунными приливами
и землетрясениями действительно существует (например, Датта и Камал (Datta, Kamal), 2011 г.; Танака
(Tanaka), 2012 г.).
Заключение
Ортогональность можно рассматривать как отсутствие общей дисперсии (вариативности). Использование
свойства ортогональности позволяет осуществлять выделение разных составляющих компонентов входного
сигнала, что находит широкое применение во многих областях обработки данных. Неортогональные
преобразования, хотя они и не характеризуются наличием столь важного свойства как ортогональность, также
могут иметь широкое применение, т. к. позволяют удалять нежелательные компоненты входного сигнала при
высокой экономической эффективности. Знание различных типов преобразований и связанных с ними
артефактов дискретизации имеет важнейшее значение для понимания современной методов обработки
сейсмических данных.
Выражение признательности
Автор выражает искреннюю признательность Брайану Расселу (Brian Russell) за редактирование материалов
и конструктивные замечания по повышению качества данной работы, а также Джону Бриттену (John Brittan)
и Джо Чжоу (Joe Zhou) за многочисленные полезные советы и предложения. Хотелось бы также поблагодарить
Общество специалистов по разведочной геофизике, которое способствовало тому, чтобы у меня появилось
свободное время для написания данной работы во время ожидания рейсов в различных аэропортах во время
моего турне с курсом лекций в 2012 г., и компанию ION-GX Technology за разрешение на публикацию
материалов.
Литература
К. Дж. Бичем. Функции Уолша и область их применения. — L: Академик Пресс, 1975. — 249 c. / Beauchamp,
K.G., 1975, Walsh functions and their applications. Academic Press, London, 249p.
Р. Н. Брэйсуэлл. Преобразование Фурье и область его применения. — N. Y.: МакГроу-Хилл, 1978. — 444 с. /
Bracewell, R.N., 1978, The Fourier transform and its applications. McGraw-Hill, New York, 444p.
Дж. Д. Браун. Статистика. Вопросы и ответы о языке тестирования статистических показателей. Выбор
правильного направления вращения в PCA и EFA // Shiken: JALT Testing & Evaluation SIG Newsletter. —
2009. 13(3). — с. 20-25. / Brown, J. D., 2009. Statistics Corner. Questions and answers about language testing
statistics: Choosing the Right Type of Rotation in PCA and EFA. Shiken: JALT Testing & Evaluation SIG
Newsletter, 13(3), 20-25. http://jalt.org/test/PDF/Brown31.pdf
М. Бжостовский и А. Бжостовский. Архивирование сейсмических данных Apollo // The Leading Edge. — 2009.
28(4). — с. 414-416. / Brzostowski, M., and Brzostowski, A., 2009, Archiving the Apollo active seismic data, The
Leading Edge 28(4), 414-416.
Ч. Г. Чэпмен. Обобщенное преобразование Радона и разрезы наклонного суммирования // Geophysical Journal of
the Royal Astronomical Society. — 1981. 66, #2. — с. 445–453. / Chapman, C. H., 1981, Generalized Radon
transforms and slant stacks, Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 66, #2, 445–453.
Дж. У. Кули и Дж. У. Тьюки. Алгоритм компьютерных расчетов сложных рядов Фурье // Mathematics of
Computation. — 1965. 19. — с. 297-301. / Cooley, J.W., and Tukey, J.W., 1965, An algorithm for the machine
calculation of complex Fourier series. Mathematics of Computation, 19, 297-301.
А. Датта и Камал. Причины подземных толчков после землетрясения в Японии 2011 г., приливные
землетрясения. — 2011. / Datta, A., and Kamal, 2011, Triggering of Aftershocks of the Japan 2011 Earthquake by
Earth Tides. http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1106/1106.2938.pdf
Дж. Ч. Дэвис. Статистика и анализ данных в геологии. — N. Y.: Wiley International edition, 1973. — 564 с. /
Davis, J.C., 1973, Statistics and data analysis in Geology. Wiley International edition, New York, 564p.
А. Даиндам и М. Схонвиль. Неунифицированное ускоренное преобразования Фурье // Ежегодная конференция
Общества специалистов по разведочной геофизике (SEG). — 1997. / Duijndam, A., and Schonewille, M., 1997,
Nonuniform Fast Fourier Transform, SEG Annual Meeting.
Р. Л. Истон-мл. Преобразования Фурье при построении изображений. — John Wiley and Sons, 2010. — 954 с. /
Easton, R. L. Jr., 2010, Fourier Methods in Imaging, John Wiley and Sons, 954p.
Н. Р. Гоулти. Влияние приливной деятельности на сейсмические явления на Луне // Physics of the Earth and
Planetary Interiors. — 1979, том 19, вып. 1. — с. 52–58. / Goulty, N.R. 1979, Tidal triggering of deep
moonquakes, Physics of the Earth and Planetary Interiors, v19, Issue 1, 52–58.
Д. Хэмпсон. Обратное суммирование скоростей для подавления многократных волн // Ежегодная конференция
Общества специалистов по разведочной геофизике (SEG). — 1986 / Hampson, D., 1986, Inverse Velocity
Stacking For Multiple Elimination, SEG Annual Meeting.
Й. Ф. Джонс. Анализ сейсмичности: миграция землетрясений и зависимость частоты от магнитуды:
диссертация. — Университет Восточного Онтарио, 1980. /Jones, I.F., 1980, Analyses of global seismicity:
earthquake migration and the frequency-magnitude relation. MSc Thesis, Univ. Western Ontario.
Й. Ф. Джонс. Применение преобразования Карунена-Лоэва при обработке сейсмических данных: диссертация.
— Университет British Columbia, Канада, 1985. — 256 с. / Jones, I.F., 1985, Applications of the Karhunen-
15
Loève transformation in reflection seismology: Ph.D. Thesis, 256 pages, The University of British Columbia,
Canada.
Й. Ф. Джонс и С. Леви. Повышение точности определения отношения сигнал-помеха в многоканальных
сейсмических данных путем применения преобразования Карунена-Лоэва: заказная статья // Geophysical
Prospecting. — 1987, 35. — с. 12-32. / Jones, I.F., and Levy, S., 1987, Signal-to-noise ratio enhancement in
multichannel seismic data via the Karhunen- Loève transform: (invited paper) Geophysical Prospecting, 35, 12-32.
Е. Р. Канасевич. Анализ временного ряда в геофизике. — Эдмонтон: Университет Альберты, 1981. — 480 с. /
Kanasewich, E.R., 1981, Time Series Analysis in Geophysics, Univ. of Alberta Press, Edmonton, 480p.
К. Г. Нотт. Частота землетрясений на Луне // Proc. Roy. Soc. — 1897, том 60. — с. 457-466 / Knott, C.G., 1897,
On lunar periodicities in earthquake frequency, Proc. Roy. Soc, v60, 457-466.
Н. Мюллер, Л. О. Магайя, Б. М. Хербст. Метод сингулярного разложения, собственные изображения лиц и
трехмерная реконструкция // SIAM REVIEW-c Society for Industrial and Applied Mathematics. — 2004, том 46,
№ 3. — с. 518–545. / Muller, N., Magaia, L.O., Herbst, B. M., 2004, Singular Value Decomposition, Eigenfaces,
and 3D Reconstructions, SIAM REVIEW-c Society for Industrial and Applied Mathematics, v 46, No. 3, pp. 518–
545.
П. Пападакис, И. Пратикакис, С. Перантонис, Т. Теохарис. Эффективное сопоставление и извлечение
изображений 3D на основе конкретного представления радиальной сферической проекции // Распознавание
изображений. — 2007, том 40, вып. 9. — с. 2437–2452. / Papadakis. P., Pratikakis, I., Perantonis, S., Theoharis,
T., 2007, Efficient 3D shape matching and retrieval using a concrete radialized spherical projection representation,
Pattern Recognition, v40, Issue 9, 2437–2452.
М. Д. Сакки, Т. Ж. Улрич. Сейсмограммы высокого разрешения для анализа скоростей и реконструкция
расстояний источник-приемник // Geophysics. — 1995, том 60, № 4. — с. 1169-1177. / Sacchi, M.D., Ulrych,
T.J., 1995, High-resolution velocity gathers and offset space reconstruction, Geophysics, v60, No. 4, p1169-1177.
М. Д. Сакки, Т. Ж. Улрич. Расчеты дискретного преобразования Фурье: методика линейной инверсии //
Geophysics. — 1996, том 61, № 4. — с. 1128-1136. / Sacchi, M.D., and Ulrych, T.J, 1996, Estimation of the
discrete Fourier transform: a linear inversion approach: Geophysics, 61, 4, 1128-1136.
А. Шустер. Периодичность землетрясений на поверхности луны и солнца // Proc. Roy. Soc. — 1897, том 61. — с.
455-464. / Schuster, A,. 1897, On lunar and solar periodicities of earthquakes, Proc. Roy. Soc, v61, 455-464.
П. Г. Стюарт, Й. Ф. Джонс, П. Б. Харди. Построение изображений на глубоководных площадях // Geohorizons.
— 2007, январь, с. 8-22. / Stewart, P.G., Jones, I.F., Hardy, P.B., 2007, Solutions for deep water imaging,
Geohorizons, January, 8-22.
П. Л. Стоффа, П. Буль, Ж. Б. Диболд и Ф. Вензел. Прямой метод картирования сейсмических данных в области
пересечения времен и лучевых характеристик — разложение плоских волн // Geophysics. — 1981, 46. — с.
255–267 / Stoffa, P. L., Buhl, P., Diebold, J. B., and Wenzel, F., 1981, Direct mapping of seismic data to the domain
of intercept time and ray parameter—A plane-wave decomposition: Geophysics, 46, 255–267.
Г. Стрэнг. Линейная алгебра и область ее применения. — Academic Press, 1980. — 414 с. / Strang, G., 1980,
Linear Algebra and its applications. Academic Press, 414 pages.
С. Танака. Приливная деятельность как причина землетрясения (Mw 9.1) в Тохоку-Оки в 2011 г. — Geophys. Res.
Lett., 39, 2012. — doi:10.1029/2012GL051179, 2012. / Tanaka, S., 2012, Tidal triggering of earthquakes prior to
the 2011 Tohoku-Oki earthquake (Mw 9.1), Geophys. Res. Lett., 39, doi:10.1029/2012GL051179, 2012.
М. Т. Танер и Ф. Келер. Машинные расчеты цифрового спектра скоростей и применение функций скорости //
Geophysics. — 1969, 41. — с. 441–463. / Taner, M. T., and Koehler, F., 1969, Velocity spectra-digital computer
derivation and applications of velocity functions: Geophysics, 41, 441–463.
Д. Трад, Т. Улрич, М. Сакки. Новый взгляд на рассеянное преобразование Радона // Geophysics. — 2003, том 68,
№ 1. — с. 386–399 / Trad, D., Ulrych, T., Sacchi, M., 2003, Latest views of the sparse Radon transform,
Geophysics, v68, No. 1,P. 386–399.
С. Сюй, Ю. Чжан, Д. Фам и Г. Ламбер. Преобразование Фурье для предотвращения рассеяния // Geophysics. —
2005, 70. — с. 87-95. / Xu, S., Zhang, Y., Pham, D., and Lambare, G., 2005, Anti-leakage Fourier transform for
seismic data regularization. Geophysics, 70, 87-95.
О. Йылмаз. Обработка скоростного разреза // Geophys. Prosp. — 1989, 37. — с. 357-382. / Yilmaz, O., 1989,
Velocity-stack processing: Geophys. Prosp., 37, 357-382.
16
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа