close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1
Сучасний урок математики
в школі
Купрійчук П.Т.
2
Зміст
Вступ…………………………………………………………………………….3
Розділ 1 Теоретичний аналіз організаційних форм і методів
навчання в школі………………………………………………………………..4
1.1 Сучасний урок: типи і структура……………………………………..4
1.2 Математика як навчальний предмет: загальноосвітні,
практичні та виховні цілі……………………………………………..13
Розділ 2 Сучасний урок математики………………………………………… 19
2.1 Особливості вивчення математики в профільних класах………….19
2.2 Використання комп’ютерів на уроках математики………………...23
Висновки………………………………………………………………………..32
Список використаної літератури……………………………………………...34
Додатки …………………………………………………………………………36
Купрійчук П.Т.
3
Вступ
Особливої актуальності на сучасному етапі розбудови нашої держави
набувають проблеми формування творчої особистості. Одним з основних
завдань української школи є виховання творчої особистості учня.
Підвищення інтелектуального потенціалу нації і розвиток творчої
особистості є однією з найактуальніших цілей освіти. З цією метою мають
бути створені максимально сприятливі умови для прояву та розвитку
здібностей і таланту дитини, для самовизначення і самореалізації.
Навчання учнів математиці це навчання їх математичній діяльності.
Математична діяльність - формування та розвиток розумової діяльності
визначеної структури. Загальноосвітня мета викладання математики вимагає
від учителя: передати учням певну систему математичних знань, навичок;
навчити усній і письмовій математичній мові; допомогти учням досягти
обов'язкових результатів навчання, навчити застосовувати набуті знання для
розв'язання найпростіших завдань життєвої практики та вивчення інших
навчальних предметів; ознайомити з шляхами пізнання реальної дійсності,
математичними
методами;
навчити
користуватися
математичними
інструментами та приладами, а також умінню самостійно здобувати знання
(робота з підручником, науково-популярною літературою).
Принцип доступності вимагає, щоб обсяг і зміст навчального матеріалу
були під силу учням, відповідали рівню їх розумового розвитку та запасу
знань, вмінь і навичок.
Навчально-творчі
завдання
в
навчальному
процесі
можуть
використовуватися з метою розвитку творчих здібностей особистості,
опанування нових знань про поняття, закони, теорії, опанування розумових і
практичних умінь, діагностики творчих здібностей особистості, контролю
знань і вмінь, актуалізації знань, умінь, творчих здібностей особистості.
Купрійчук П.Т.
4
Розділ 1
Теоретичний аналіз організаційних форм і методів
навчання в школі
1.1
Сучасний урок: типи і структура
Ключовим компонентом класно-урочної форми організації навчання є
урок – форма організації навчання, за якої навчальні заняття проводяться
вчителем із групою учнів постійного складу, одного віку й рівня
підготовленості протягом точно встановленого часу, за сталим розкладом.
Загальні вимоги до уроку такі:
• проведення уроку на основі сучасних наукових досягнень, передового
педагогічного досвіду, закономірностей навчального процесу;
• проведення уроку на основі методик гуманних дидактичних концепцій;
• особистісна спрямованість, тобто забезпечення учням умов для
самореалізації
та
ефективної
навчально-пізнавальної
діяльності
з
урахуванням їхніх інтересів, потреб, нахилів, здібностей та життєвих
настанов;
• оптимальне поєднання і системна реалізація на уроці дидактичних
принципів;
• встановлення міжпредметних зв'язків, які усвідомлюються учнями;
• зв'язок із раніше засвоєними знаннями, навичками, уміннями, опора на
досягнутий рівень розвитку учнів;
• актуалізація, стимулювання й активізація розвитку всіх сфер
особистості учня: мотиваційної, пізнавальної, емоційно-вольової, фізичної,
моральної тощо;
• логічність, вмотивованість і емоційність усіх етапів навчальнопізнавальної діяльності учнів;
• ефективне застосування сучасних дидактичних засобів, особливо —
комп'ютерних;
Купрійчук П.Т.
5
• тісний зв'язок із життям, першою чергою — з особистим досвідом
учня;
• формування практично необхідних знань, навичок, умінь, ефективної
методики навчально-пізнавальної діяльності;
• формування мотивації навчально-пізнавальних дій, професійного
становлення, потреби постійної самоосвіти;
• діагностика, прогнозування, проектування і планування кожного уроку.
Окрім цього, кожен урок має сприяти ефективній ререалізації основних
функцій дидактичного процесу — освітньої, розвиткової, виховної та
самовдосконалення. В контексті сучасних концепцій навчання на перший
план, замість освітньої, виходить виховна функція дидактичного процесу —
формування всебічно та гармонійно розвинутої особистості. Це вимагає,
безумовно, зміни парадигми уроку з метою формування духовного світу
учня, допомоги в його самоактуалізації та самореалізації, визнання права
бути суб'єктом навчального процесу і формування суб'єкт-суб'єктних
взаємин на кожному уроці. Така парадигма має бути гуманною і особистісно
спрямованою. Відповідно, грунтовно змінюється зміст цих функцій та
вимоги до уроку.
Виховні вимоги до уроку:
—
формування
і
розвиток
в
учнів
національної
свідомості,
самосвідомості та ментальності, провідних рис громадянина своєї держави;
— формування в учнів високої духовності, підвалину якої мають
становити загальнолюдські, національні та професійні цінності, широка
моральна, правова, екологічна, політична, художньо-естетична й фізична
культура;
— формування і розвиток в учнів активної життєвої настанови, допомога
в самоактуалізації та самореалізації у навчальному процесі та майбутній
професійній діяльності;
Купрійчук П.Т.
6
— вміле поєднання дидактичних, розвиткових і виховних завдань
кожного уроку та їх творче спрямування на формування і розвиток всебічно і
гармонійно розвиненої особистості;
— формування і розвиток мотивації постійного самовдосконалення і
змістовної
професійної
діяльності
шляхом
реалізації
потенційних
інтелектуальних, фізичних та інших можливостей;
— підпорядкування виховної мети кожного уроку загальній меті
виховання тощо.
Розвиткові вимоги до уроку:
— спрямованість кожного уроку на максимальний розвиток духовних,
інтелектуальних, фізичних і творчих здібностей кожного учня, його
провідних психічних рис;
— направленість кожного уроку на «зону найближчого розвитку» учня
та її творче проектування і реалізація;
—
проведення
занять
з
урахуванням
індивідуально-психічних
особливостей кожного учня та активна допомога в його самовдосконаленні
тощо.
Дидактичні вимоги до уроку:
— чітке визначення освітніх завдань кожного уроку та їх творче
поєднання із загальною метою вивчення конкретного предмета й формування
особистості учня в навчально-виховному процесі;
— оптимальне визначення змістового компонента кожного уроку з
урахуванням особистісної спрямованості навчально-виховного процесу;
— широке використання методів, прийомів і способів активізації
навчально-пізнавальної діяльності учнів та їхнього творчого розвитку;
— творчий підхід до обгрунтування методики проведення кожного
уроку;
— опора на загальнолюдські цінності в застосуванні принципів
навчання;
Купрійчук П.Т.
7
— забезпечення активного зворотного зв'язку, дієвого контролю і
управління тощо.
Крім зазначених, обов'язково слід мати на увазі й інші вимоги до уроку:
— організаційні (чіткість, раціональне використання часу, обладнання,
дисципліна тощо);
— управлінські (цілеспрямованість, оперативність, конкретність, стиль
управління тощо);
—
санітарно-гігієнічні
(температура,
освітленість,
працездатність,
перевтома тощо);
— етичні (рішучість, вимогливість, принциповість, справедливість,
тактовність тощо);
— психологічні (врахування індивідуально-психічних особливостей
учнів, психічного стану учнів і вчителя, настрою вчителя та ін.) тощо.
Класифікацій уроків є десятки. Проблема ця дуже складна і не вирішена
остаточно ні у світовій, ні у вітчизняній дидактиці.
Сучасна класифікація уроків здійснюється на основі дидактичної мети.
Авторами такої класифікації є В. О. Онищук, М. А. Сорокін, М. І. Махмутов
та ін.
Основні типи уроків у сучасній вітчизняній школі:
· комбіновані (змішані) уроки;
· уроки засвоєння нових знань;
· уроки формування навичок і вмінь;
· уроки узагальнення і систематизації знань;
· уроки практичного застосування знань, навичок і умінь;
· уроки контролю і корекції знань, навичок і вмінь.
Така класифікація є найзручнішою для планування, прогнозування
діяльності вчителя, обгрунтування методики кожного уроку.
Кожен тип уроку має свою структуру, тобто етапи побудови уроку, їх
послідовність, взаємозв'язки між ними. Характер елементів структури
визначається завданнями, які слід постійно вирішувати на уроках певного
Купрійчук П.Т.
8
типу, щоб найбільш оптимальним шляхом досягти тієї чи іншої дидактичної,
розвиткової та виховної мети уроку. Визначення і послідовність цих завдань
залежать від логіки і закономірностей навчального процесу. Зрозуміло, логіка
засвоєння знань відрізняється від логіки формування навичок і вмінь, а тому і
різниться структура уроків відповідних типів. Кожний тип уроку має свою
структуру.
• Комбінований урок: перевірка виконання учнями домашнього завдання
практичного характеру; перевірка, оцінка і корекція раніше засвоєних знань,
навичок і вмінь; відтворення і корекція опорних знань учнів; повідомлення
теми, мети і завдань уроку та формування мотивації учіння; сприймання й
усвідомлення учнями нового матеріалу; осмислення, узагальнення і
систематизація нових знань; підсумки уроку і повідомлення домашнього
завдання. З усіх зазначених типів комбінований урок найпоширеніший у сучасній загальноосвітній школі. Йому належить 75—80 відсотків загальної
кількості
уроків,
що
проводяться.
Цей
тип
уроку
здебільшого
використовується в початкових і середніх класах.
Розкриємо зміст основних етапів комбінованого уроку.
Підготовка вчителя до уроку. Цей етап передбачає: вивчення учнів
класу; стилю викладання інших вчителів у цьому класі; докладне вивчення
змісту навчального матеріалу; планування навчальної роботи; підготовку
навчально-матеріальної бази.
Підготовка вчителя до конкретного уроку. В. О. Сухомлинський
зазначав, що вчитель до уроку готується все своє життя. Його підготовка до
конкретного уроку включає: формулювання теми; визначення виховної,
розвиткової та дидактичної цілей уроку; підбір конкретного матеріалу до
теми; визначення структури вибраного типу уроку; визначення методики
уроку; підготовку дидактичних засобів і матеріалів; визначення форми
контролю й оцінки знань, навичок і вмінь; визначення місця й ролі
спостереження, демонстрування засобів наочності і опитування в рамках уроку; перевірку своєї готовності до уроку; перевірку готовності учнів до уроку.
Купрійчук П.Т.
9
Тематичне планування передбачає визначення типу уроку; визначення
обсягу навчального матеріалу; підготовку засобів наочності, використання
технічних засобів навчання й підбір фактичного матеріалу.
Поурочний план включає дату проведення уроку, його порядковий
номер за тематичним планом; назву, тип уроку і його мету; структуру уроку;
зміст уроку; методи роботи вчителя й учнів; навчальне обладнання і домашнє
завдання.
Початок уроку. Організація активної участі учнів в уроці є важливою
методичною проблемою. Вона не повинна забирати багато часу, тому учнів
бажано залучати до навчально-пізнавальної діяльності з першої хвилини
уроку. Для цього початок уроку має бути динамічним, давати учням заряд
енергії, бадьорості, діловитості. Урок починається так: взаємне вітання
вчителя й учнів; перевірка відсутніх; перевірка зовнішнього стану
приміщення; перевірка робочих місць та зовнішнього вигляду учнів;
організація уваги.
Важливість
повторювально-навчальної
роботи
зумовлена
трьома
причинами:
1) більш відповідальним ставленням учнів до підготовки до уроку, бо
їхні знання обов'язково перевіряються;
2) актуалізацією знань учнів під час перевірки, що сприяє усвідомленню,
поглибленню, систематизації та закріпленню навчального матеріалу;
3) спрямованістю повторення і перевірки знань на розвиток мовлення та
мислення учнів. Тому ця робота має бути творчою і, водночас, націленою як
на окремого учня, так і на весь клас.
З цією метою можна застосувати індивідуальне усне опитування,
фронтальне та інші види опитування з поурочним оцінюванням.
Повідомлення теми, цілі й завдань уроку. Тему кожного уроку вчитель
повідомляє на початку заняття або роботи над новим матеріалом. При цьому
важливо чітко її сформулювати, визначити завдання уроку й основні
питання, які учні мають засвоїти.
Купрійчук П.Т.
10
Мотивування вчителем навчально-пізнавальної діяльності учнів має
відбуватися протягом всього уроку. Воно спрямоване на формування і
розвиток в учнів широких інтересів, потреб в різноманітних знаннях, чітких
життєвих перспектив, професійної орієнтації та самовдосконалення. Мотиви
— це внутрішні імпульси, які спонукають учня до активної навчальнопізнавальної діяльності.
Пояснення матеріалу. Цей етап повинен відповідати таким вимогам:
учитель має продумати своє місце в класі, щоб його було чути і видно всім
учням; не ходити по класу; говорити голосно і чітко; темп розповіді має бути
розміреним; мова доступною. При цьому важливо спиратися на попередній
досвід учнів; виділяти істотне й головне в навчальному матеріалі; послідовно
викладати
тему;
використовувати
ілюстративний
і
демонстраційний
матеріал.
Сприймання, осмислення і засвоєння нового матеріалу. Сприймання є
першим етапом процесу засвоєння учнями нового матеріалу. Воно найбільш
успішне, коли правильно поєднано виклад матеріалу, наочні посібники та
самостійну роботу учнів. Осмислення знань — це заглиблення в суть явищ,
процесів, які вивчаються. Воно передбачає насамперед розкриття внутрішніх
закономірностей цих явиш. Основними прийомами такої роботи є аналіз і
синтез, абстрагування і конкретизація, порівняння й узагальнення, моделювання, класифікація тощо.
Формування навичок і вмінь. Разом із засвоєнням навчального матеріалу
учні засвоюють різноманітні навички та вміння, що формуються на основі
знань. Основні компоненти формування навичок і вмінь: розбір і засвоєння
правила, яке лежить в основі навички; подолання труднощів під час набуття
навички; вдосконалення й автоматизація навички; закріплення досягнутого
рівня навички та використання її на практиці. Основним методом
формування навичок є вправи.
Купрійчук П.Т.
11
Підбиваючи підсумки уроку, вчитель коротко повідомляє цілі уроку і
визначає, чи досягнуті вони, оцінює дисципліну як окремих учнів, так і
всього класу.
Домашнє завдання. Методика передбачає чітку систему домашніх
завдань; визначення і конкретизацію окремого домашнього завдання;
визначення часу на ознайомлення з ним учнів; дохідливість домашнього
завдання; інструктаж про його виконання.
• Урок засвоєння нових знань: перевірка домашнього завдання,
актуалізація і корекція опорних знань; повідомлення теми, цілей і завдань
уроку; мотивування учіння; сприймання й усвідомлення учнями фактичного
матеріалу, осмислення зв'язків і залежностей між елементами вивченого
матеріалу;
узагальнення
і
систематизація
знань;
підсумки
уроку;
повідомлення домашнього завдання.
• Урок формування навичок і вмінь: перевірка домашнього завдання,
актуалізація і корекція опорних знань, навичок і вмінь; повідомлення теми,
цілей і завдань уроку; актуалізація мотивації учіння учнів; вивчення нового
матеріалу
(вступні,
мотиваційні
та
пізнавальні
вправи);
первинне
застосування нових знань (пробні вправи); самостійне застосування учнями
знань у стандартних ситуаціях (тренувальні вправи за зразком, інструкцією,
завданням); творче перенесення знань і навичок у нові ситуації (творчі
вправи); підсумки уроку і повідомлення домашнього завдання.
• Урок узагальнення і систематизації знань: повідомлення теми, цілей та
завдань уроку;
актуалізація
мотивації
учіння
учнів;
відтворення
й
узагальнення понять і засвоєння відповідної їм системи знань; узагальнення
та систематизація основних теоретичних положень і відповіднихнаукових
ідей; підсумки уроку і повідомлення домашнього завдання.
• Урок практичного застосування знань, навичок і вмінь: перевірка
домашнього завдання, актуалізація і корекція опорних знань, навичок і вмінь;
повідомлення теми, цілей і завдань уроку; актуалізація мотивації учіння
учнів; осмислення змісту й послідовності застосування способів виконання
Купрійчук П.Т.
12
дій; самостійне виконання учнями завдань під контролем і за допомогою
вчителя; звіт учнів про роботу і теоретичне обгрунтування отриманих
результатів; підсумки уроку й повідомлення домашнього завдання.
• Урок контролю і корекції знань, навичок і вмінь: повідомлення теми,
цілей та завдань уроку; актуалізація мотивації учіння учнів; перевірка знання
учнями фактичного матеріалу й основних понять; перевірка глибини
осмислення учнями знань і ступеня їх узагальнення; застосування учнями
знань у стандартних і змінних умовах; перевірка, аналіз і оцінка виконаних
під час уроку робіт; підсумки уроку і повідомлення домашнього завдання.
Методика визначених типів уроків складається з трьох частин:
— організація роботи — 1—3 хв.;
— основна частина (формування знань, навичок і вмінь; їх засвоєння,
повторення, закріплення і контроль; застосування на практиці тощо) — 35—
40 хв.;
— підведення підсумку уроку і повідомлення домашнього завдання —
2—3 хв.
Творчі
педагоги
постійно
вдосконалюють
методику
проведення
класичного уроку, в результаті чого в навчальний процес впроваджуються
нестандартні уроки.
Нестандартний урок — це імпровізоване навчальне заняття, що має нетрадиційну структуру. Назви уроків дають деяке уявлення про цілі, завдання
і методику проведення таких занять. Найпоширеніші серед них — урокипрес-конференції, уроки-аукціони, уроки—ділові ігри, уроки-занурення,
уроки-змагання, уроки типу КВК, уроки-консультації, комп'ютерні уроки,
уроки-консиліуми,
уроки-твори,
уроки-винаходи,
уроки-заліки,
театралізовані уроки, уроки взаємного навчання учнів, уроки творчості,
уроки-сумніви, уроки-конкурси, уроки-фантазії, уроки-концерти, урокиекскурсії, інтегральні уроки тощо.
Нестандартні уроки спрямовані на активізацію навчально-пізнавальної
діяльності учнів, бо вони глибоко зачіпають емоційно-мотиваційну сферу,
Купрійчук П.Т.
13
формують дух змагальності, збуджують творчі сили, розвивають творче
мислення, формують мотивацію навчально-пізнавальної та майбутньої
професійної діяльності. Тому такі уроки найбільше подобаються учням і
викликають у них творчий інтерес.
Отже, форма організації навчання є важливою дидактичною проблемою,
яка безпосередньо впливає на результатив ний компонент навчального
процесу. Вона тісно пов'язана з методами і засобами навчання, бо кінцевий
результат визначається комплексом дидактичних умов, серед яких важливе
місце посідають організаційні форми навчання.
1.2 Математика як навчальний предмет: загальноосвітні, практичні та
виховні цілі
Математика вивчає просторові форми і кількіснівідношення, наприклад,
який-небудь педмет. Нас може цікавити, яка його густина, міцність,
теплопровідність. Ф. Енгельс так описав змsст математики: “Чиста
математика має своїм обєктом просторові форми і кількісні відношення
дійсного світу.”
Математика, як наука сформувалася в Стародавній Греції в VII-IIIст. Да
аншої ери, коли Фалес, Піфагор, Евклід та інші вчені систематизували відомі
на той час математичні знання і викликали їх з точним обгрунтуванням. Тоді
ж виникло і слово “математика”, яке в перекладі з грецької означає “знання”,
“наука”.
Тепер математика потрібна всім. Без математичних обчислень не можна
побудувати не тільки космічного корабля, електростанції, підводного човна,
а й звичайного будинку.
Збільшується не тільки кількість наук, які вже не можуть обходитись без
математики, а й обсяг математичних знань, використовуваних цими науками.
Купрійчук П.Т.
14
Ось чому так важливо, щоб наша молодь мала грунтовну математичну
підготовку.
Коротко мету викладання математикив загальноосвітній середній школі
можна визначити так. Шкільний курс математики має забезпечити міцне і
свідоме оволодіння системою математичних знань, умінь, які потрібні для
загального розвитку учнів, для їх практичної діяльності в умовах сучасного
виробництва, для вивчення для достатньо високому рівні споріднених
шкільних предметів (фізики, креслення, хімії та ін.) і для продовження
освіти.
Загальноосвітні цілі.
Під загальним розвитком людини розуміють насамперед знання нею
основ наук про природу, суспільство і людське мислення, найважливіших
галузей виробництва, мистецтва і т. п. Школа повинна готувати освідчених
людей з широким кругозором, які знали б основи науки, розбиралися в
основних галузях виробництва, володіли методами наукового пізнаня
Для загальної освіти дуже важливо теж ознайомити учнів з науковими
методами дослідження, такими, як аналіз, синтез, індукція, дедукція, аналогія
тощо. І не лише ознайомити, а й озброїти учнів цими методами, щоб вони
могли практично в конкретнихситуаціях аналізувати різні твердження,
явища,
проблеми,
виділяти
з
них
важливіші,
систематизувати
та
класифікувати їх. Вивчення математики в цьому відношенні може дати дуже
багато. Взагалі, математика і властивий їй стиль мислення – істотні елементи
загальної культури сучасної людини.
Ознайомити учнів з цими елементами культури, дати їм мінімум
математичних знань, які потрібно кожній людині, - це завдання покладене на
вчителів математики. Одне з найважливіших завдань шкільної математики –
розвивати логічне мислення учнів.
Під логічним мисленням учнів розуміють послідовне і доказове
мислення. Звичайно, у найпростіших випадках логічно мислити може кожна
людина. Але там, де доводиться мати справу із складнішими обєктами
Купрійчук П.Т.
15
мислення, наприклад розрізняти н6еобхідні і достатні умови. Класифікувати
тощо, людина з недосить розвиненим логічним мисленням пасуватиме. Отже,
учням потрібні певні знання і навички. Зрозуміло, що розвивати логічне
мислення можна і треба при вивченні всіх навчальних предметів, а не тільки
математики. На уроках математики учні вчаться давати означення, наводити
аналогії, доводити, ознайомлюються з основними законами логіки.
Багато можуть і повинні дати уроки математики для розвитку
операційно-алгоритмічного мислення, яке в епоху компютерів відіграє
особливо важливу роль для розвитку пізнавальних інтересів учнів, їх
просторової уяви, раціоналізаторських здібностей.
Практичні цілі.
Щоб підготувати учнів до життя, суспільно-корисної праці, школа
повинна особливу увагу звертати на ті питання програми, з якими можуть
зустічатися її вихованці в житті. В цьому і полягають практичні цілі навчання
математики.
Кожному учневі доведеться в майбутньому не раз лічити, вимірювати,
обчислювати площі, обєми тощо. Тому вчитель повинен подбати, щоб його
учні робили все це впевнено і швидко. Багатьом доведеться користуватися
мікрокалькулятором,
таблицями,
графіками.
Отже,
школа,
повинна
підготувати до цьго всіх випускників. Учнів треба озброїти мінімумом знань,
умінь, які необхіні їм для вивчення фізики, хімії, біології та інших предметів
як у школі, так і в ВУЗах.
Говорячи про практичні застосування про практичні застосування, не
треба забувати і міжпредметні звязки. З одного боку, на уроках математики
бажано наводити приклади, відомі учням з курсу креслення, фізики, хімії та
іншихнавчальних предметів, щоб вони, використовуючи математичні
поняття, формули, теореми, дотримувались сучасної трактовки, сучасної
термінології, сучасних методів розвязування задач. Треба, наприклад, щоб
учителі математики і фізики однаково розуміли поняття “функція”,
Купрійчук П.Т.
16
“переміщення”, “вектор”, “величина” ці поняття по-різному, то про це слід
чітко повідомити учнів.
Молодий вчитель працюючи з кількома десятками учнів, нерідко
задумується над таким. Скільки його вихованців виберуть математику або
близьку до неї науку своєю спеціальністю? Одиниці. Того чи ж пригодиьться
їм у итті все те, про що говорить учитель на уроках математики?
Щоб правильно відповісти на це запитання, треба бачити не лише
математичні факти, а й усе те, що дає математика для розвитку логічного
мислення, просторові уяви, для загального розвитку.
Відомо, що математика, як ніякий інший шкільний предмет, виховує
логічне мислення, а воно тому потрібне всім людям. Вивчення математики,
особливо геометрії, сприяє розвитку просторової уяви, а вона також потрібна
не лише математикам.
Треба мати на увазі, що плануючи рівень математичної підготовки,
намагаються забезпечити і “запас міцності”. З того, що учень засвоїть у
школі, через кілька років залишиться у нього в памяті лише половина. Коли б
ми давали учням значно менше, то через кілька років вони памятали б
занадто мало.
Виховні цілі.
Виховні цілі навчання математики в школі зводяться головним чином до
розвитку в учнів культури, мислення, виховання в них діалектикоматеріалістичного світогляду, патріотизму, наполегливості та інихкорисних
рис характеру.
Одне з важливих завдань, що стоять перед радянським учителем
математики, - виховувати в учнів матеріалістичний світогляд. Як відомо,
матеріалізм стверджує, що кожна наука, у тому числі й математика,
відображає ті або інші сторони матеріального світу, який існує незалежно від
свідомості людей. Ідеалісти, заперечуючи це, вважають що математика
нічого спільного не має з реальною дійсністю, що всю математику можна
Купрійчук П.Т.
17
вивести апріорно, тобто не вдаючись до договору, якого ми набуваємо в
зовнішньому світі. Ці погляди ідеалісті піддівались нищівній критиці.
“Але зовсім невірно, ніби в чистій математиці розум має справу тільки з
продуктами своєї власної творчості і уяви. Поняття числа і фігури взято не
звідки-небуть, а тільки з дійсного світу. Десять пальців, на яких люди
вчилися лічити, тобто робити першу арифметичну операцію, являють собою
все, що завгодно, тільки не продукт вільної творчості розуму. Щоб лічити
треба мати не тільки предмети, які підлягають лічбі, але й мати вже здібність
абстрагування при розгляді цих предметів від усіх інших їх властивостей,
крім числа, а це здібність є результат довгого історичного розвитку, що
спирається на досвід. Як поняття числа, так і поняття фігури, взяті виключно
із зовнішнього світу, а не виникли в голові з чистого мислення.повиння були
існувати речі, які мають певну форму, і ці форми повинні були
порівнюватись, перш ніж можна було дійти до поняття фігури. Чиста
математика має своїм обєктом просторові форми і кількісні відношення
дійсного світу, отже дуже реальний матеріал. Той факт, що цей матеріал
набирає надзвичайно абстрактної форми, може лише слабо затушувати його
походження із зовнішнього світу. Але щоб бути спроможним дослідити ці
форми і віношення у чистому вигляді, треба цілком відокремити їх від
їхнього змісту, залишити цей останній осторонь, як щось неістотне; таким
шляхом ми дістаємо точки, позбавлені вимірів, лінії, позбавлені товщини і
ширини, різні а і в, х і у, постійні і змінні величини, і лише в самому кінці ми
доходимо до продуктів вільної творчості і уяви самого розуму .”
Тепер існує ілий ряд ідеалістичних шкіл і напрямів (логінізм,
інтуіціонізм, формалізм, логічний позитивізм та ін.), які висувають свої теорії
про суть сучасної математики. Для обслуговування їх вони наводять
найрізноманітніші аргументи, які, до речі, суперечать один одному, але всі
намагаються “довести”, що положення чистої математики начебто нічого не
свідчать про дійсність і що ніяке твердження будь-якої математичної теорії
не доводить відносно явищ, які відбуваються в дійсності.
Купрійчук П.Т.
18
Це зовсім неправильно. Хоч у сучасній математиці і розглядаються деякі
форми і відношення, що безпосередньо не відбражають відомих просторових
форм і кількісних відношень матеріального світу, а тільки аналогічні до них
(n–вимірні простори, неевклідові геометрії), проте, по-перше, вони далеко не
вичерпують сучасної математики, а по-друге, розглядають ці абстрактні
форми і відношеннядля того, щоб глибше вивчити просторові форми і
кількісні відношення матеріального світу.
Зрозуміло, що учням неповної середньої школи передчосно говорити
про матеріалістичні та ідеалістичні погляди про математику, критикувати
ідеалістив. У цих класах досить наголосити на практичному походженні
математики. Учнів треба переконати, що математика виникла і розвивається
для задоволення практичних потреб людни. Наприклад, якщо учитель
вводить поняття дробу, то він може зауважити, що ввести це поняття про
геометрію і про дроби людей примусила їх діяльність. Про поняття геометрії
учительповинен наголосити на практичному походженні цієї науки. Такі
історичні екскурси і зауваження про практитчне походження математики
зацікавлюють учнів, поглиблюють їх знання, а разом з тим сприяють
вихованню в них матеріалістичного світогляду.
Слід використовувати уроки математики для виховання учнів. На
прикладах з історії математики треба пояснити, як релігія стримувала
розвиток науки, розповісти, що священники протягом багатьох століть
забороняли займатись математичними дослідженнями. Саме тому після
Vст.н.е. в Європі більше тисячі років математика зовсім не розвивалась і
перебувала на значно нижчому рівні, ніж в античну епоху.
Вивчення математики може сприяти вихованню почуття значимості
математики. Учням треба показати, що в розвиток математики внесли
великий вклад відомі всьому світу вчені – М.І. Лобачевський, П.Л. Чебишов,
С.В. Ковалевська, О.М. Ляпунов та інші українські математики – М.В.
Остроградський, Г.Ф. Вороний, М.Ф. Кравчук та інші.
Купрійчук П.Т.
19
Розділ 2 Сучасний урок математики
2.1 Особливості вивчення математики в профільних класах
Математика є універсальною мовою, яка широко застосовується в усіх
сферах людської діяльності. На сучасному етапі різко зростає її значення у
розвитку суспільства. Велике значення має математика і в розвитку
особистості, в становленні її світогляду, розвитку мислення і інших якостей.
Ці дві обставини і визначають роль математики в системі шкільної освіти, в
підготовці кожного члена сучасного суспільства до повсякденного життя і
трудової діяльності.
Поряд з розв'язанням цієї основної задачі навчання математиці в
середніх навчальних закладах виникає необхідність забезпечити суспільство
спеціалістами різного рівня і профілю, а також створити умови для розвитку
особистості у відповідності до її можливостей і потреб. А для цього
необхідна профільна диференціація навчання взагалі і математики зокрема
[16].
Головною задачею вивчення математики є забезпечення міцного і
свідомого оволодіння учнями системою математичних знань і вмінь,
необхідних у повсякденному житті, а також достатніх для вивчення суміжних
дисциплін і продовження освіти. Поряд з вирішенням головної задачі,
оволодінням
конкретними
обов'язковими
математичними
знаннями,
профільне навчання математики передбачає формування стійкого інтересу
учнів до предмету, виявлення і розвиток їх математичних здібностей,
підготовку до навчання у вищому учбовому закладі [18].
Профільне навчання породжує проблему викладання математики
відповідно до профілю, але навчання математики повинно здійснюватися
відповідно до основних положень і принципів концепції математичної освіти
в Україні:
Купрійчук П.Т.
20
- система математичної освіти є цілісною системою формування
особистості на основі досягнень математики, психолого-педагогічної науки,
педагогічного досвіду у вітчизняних і закордонних закладах освіти
різних типів;
- система математичної освіти повинна бути безупинною і забезпечувати
наступність в освіті між різними ланками системи освіти;
- ця система базується на основах гуманізації навчально-виховного
процесу і гуманітаризації змісту освіти;
- система математичної освіти повинна реалізувати рівневу і профільну
диференціацію на основі базового змісту;
- навчання математики повинно мати розвиваючий характер і прикладну
спрямованість;
- у змісті навчання математики має бути виділена інваріантна базисна
частина і варіативна;
- пріоритетними в організації навчання математики повинні бути активні
методи навчання і сучасні технології;
- необхідним є застосування інформаційних технологій навчання.
Реалізація профільного навчання математики повинна здійснювати з
урахуванням його мети, його особливостей змісту й форми у порівнянні з
навчанням математики в загальноосвітніх класах.
Профільна диференціація навчання математики повинна:
- забезпечити необхідний загальнокультурний рівень математичної
підготовки
молоді,
який
визначається
замовленням
суспільства
й
можливостями учнів даного віку;
- задовольнити потреби профільної підготовки в розвитку пізнавальних і
математичних видів діяльності учнів, що характерні для даного профілю;
- формувати засобами математики професійні нахили учнів.
Профільна диференціація навчання математики передбачає:
- створення умов для свідомого вибору учнями профілю;
Купрійчук П.Т.
21
- наступність з допрофільним навчанням математики і навчанням
математики у звичайних класах загальноосвітньої школи;
- досягнення всіма учнями базового рівня навчання математики;
- розробку державних стандартів з математики для різних профілів
навчання;
-
реалізацію
прикладної
спрямованості
навчання
математики,
орієнтованої на профіль навчання як одного з головних засобів формування
профільних інтересів засобами математики;
- відмінність змісту навчання математики в профільних класах і
звичайних класах;
- реалізацію рівневої диференціації, що підсилює диференціацію
навчання математики для кожного профілю;
- розмаїтість форм і видів класної та позакласної роботи;
- поглиблене вивчення математики як одного з видів профільного
навчання [16].
Провідним принципом, який визначає структуру профільного навчання
математики, є принцип поступового моделювання у навчальному процесі
математичної діяльності спеціалістів відповідного профілю. Цей принцип у
певній мірі може бути реалізований такою структурою змісту профільного
навчання:
- адекватним профілю змістом основного курсу математики у
відповідності до базового навчального плану (базова профільна математична
підготовка);
- системою курсів за вибором (за рахунок варіативного компоненту), які
складаються з невеликих за змістом навчальних модулів, враховують
різноманіття
інтересів
і
можливостей
учнів
даного
профілю,
які
поглиблюють та розширюють основний курс математики у відповідності до
профілю навчання (варіативна математична підготовка);
-
організацією
індивідуальних
Купрійчук П.Т.
самостійної
завдань,
творчої
спрямованих
на
роботи
учнів,
розвинення
системою
професійних
22
схильностей учнів, їхнього інтересу до застосувань математики (особистісноорієнтована математична підготовка).
Такі особливості профільного навчання математики найбільш повно
враховують індивідуальні потреби, здібності та нахили учнів, така освіта
передбачає наукове вивчення дитячої природи, раціональну організацію
навчання дитини.
Формування базового змісту навчання математики здійснюється на
засадах:
- гуманізації та гуманітаризації;
- профільної спрямованості;
- забезпечення узагальнених видів діяльності .
Профільне навчання математиці повинно бути складною системою, що
будується за принципами гуманності та відкритості.
Структура навчально-методичного забезпечення профільного навчання
математики така ж, як і для будь-якого предмета. Вона складається з:
- нормативного комплексу (програма і робоча програма);
- навчального комплексу (підручник, дидактичні матеріали, набори
навчальних тестів, збірники задач, наочні прилади);
- загально-методичного комплекту (посібники для вчителів);
- методичного комплекту (матеріали розроблені викладачем);
- системи контролю (тексти тематичних, підсумкових контрольних робіт,
набори контролюючих тестів).
Навчально-методичне забезпечення повинне містити матеріали для
курсів на вибір і для організації індивідуальної роботи з учнями. Навчальнометодичне забезпечення повинно бути для кожного напряму профільного
навчання математики [16].
Профільне
навчання
математики
потребує
і
робить
можливим
використання специфічних форм та методів навчання. Можливість їх
використання зумовлена наявністю більш розвинених мотивів учнів
профільних класів та шкіл до навчання порівняно із загальноосвітніми
Купрійчук П.Т.
23
навчальним закладами. Невід'ємною складовою профільного навчання
математики є виконання кожним учнем індивідуальної роботи творчого
характеру. При їх виконанні поряд з реферуванням літературних джерел,
теоретичним
розв'язанням
математичної
задачі
використовуються
спостереження, проведення експериментів як фізичних, так і імітаційних за
допомогою ПЕОМ .
2.2 Використання комп’ютерів на уроках математики
Широке впровадження в навчальний процес нових інформаційних
технологій навчання, що базуються на комп’ютерній підтримці навчальнопізнавальної діяльності, відкриває перспективи щодо гуманізації навчального
процесу, розширення та поглиблення теоретичної бази знань і надання
результатам
навчання
практичної
значущості,
інтеграції
навчальних
предметів і диференціації навчання відповідно до запитів, нахилів та
здібностей
учнів,
інтенсифікації
навчального
процесу
й
активізації
навчально-пізнавальної діяльності, посилення спілкування учнів і вчителя та
учнів між собою і збільшення питомої ваги самостійної навчальної діяльності
дослідницького характеру, розкриття творчого потенціалу учнів і вчителів з
урахуванням їхніх позицій та вподобань, специфіки перебігу навчального
процесу.
При цьому насамперед ідеться про поступове і неантагоністичне, без
руйнівних перебудов і реформ, вбудовування нових інформаційних
технологій навчання різних навчальних предметів у діючі дидактичні
системи, гармонійне поєднання традиційних та комп’ютерно-орієнтованих
методичних систем навчання.
Нові інформаційні технології навчання надають потужні й універсальні
засоби
отримання,
опрацювання,
зберігання,
передавання,
подання
різноманітної інформації, наперед розроблені засоби виконання рутинних,
Купрійчук П.Т.
24
технічних, нетворчих операцій, пов’язаних із дослідженням різних процесів і
явищ або їх моделей, розкривають широкі можливості щодо істотного
зменшення навчального навантаження і водночас інтенсифікації навчального
процесу,
надання
навчально-пізнавальній
діяльності
творчого,
дослідницького спрямування, яка природно приваблює дитину і притаманна
їй, результати якої приносять учню задоволення, стимулюють бажання
працювати, набувати нових знань.
Необхідність якомога ширшого використання нових інформаційних
технологій навчання різних навчальних предметів пов’язана перш за все зі
значно ширшими (порівняно з традиційними технологіями навчання)
можливостями розкриття загальноосвітніх функцій навчальних дисциплін,
розв’язання загальних завдань навчання, виховання і розвитку школярів.
Значну роль нові інформаційні технології навчання відіграють
у
формуванні загальнонаукових умінь та навичок (організаційних, загально
пізнавальних, контрольно-оцінювальних), до яких належать і вміння
адекватно добирати програмний засіб для розв’язування поставленого
завдання, і
формування
та розвиток в учнів потреби неперервно
розширювати та поглиблювати свої знання.
Попередні намагання проводити навчання за допомогою комп’ютерних
програм, що здійснювалися ще на початку та в середині 80-х років,
закінчилися невдачею. Це було викликано тим, що недосконалість
програмових засобів не дозволяло отримати явну перевагу комп’ютерних
технологій перед традиційними формами навчання. Іншою важливою
причиною являлося те, що комп’ютер не був доступним засобом навчання. Ні
вчителя, ні учні не були готові сприйняти комп’ютер як регулярний
навчальний засіб.
На даний момент ситуація змінюється, сучасні персональні комп’ютери
і програми дозволяють не тільки організовувати найпростіші тести, але і
моделювати навчальні ситуації, за допомогою анімації, звука, фотографічної
точності.
Купрійчук П.Т.
25
Розглянемо питання про способи використання комп’ютера у навчанні.
Найприродніша форма роботи вчителя – урок. Урок, на якому в якості
технічного засобу навчання використовується комп’ютер, можна назвати
уроком з комп’ютерною підтримкою (УКП). Такі уроки мають особливу
структуру, але теорія УКП, на жаль, ще не розроблена. УКП мають особливі
цілі, форми і особливу методику визначення результативності. Головним
завданням є організація такого уроку.
Ще одне важливе теоретичне питання: для яких категорій учнів
комп’ютерні технології можуть дати найбільший ефект, а для яких
використання комп’ютера не приводить до значних змін результатів
навчання.
Однак використання комп’ютера в навчанні не обмежується уроками з
комп’ютерною підтримкою. Уроки навіть не найважливіша частина цього
процесу. Реальна перспектива – використання домашнього комп’ютера в
якості навчального засобу, самостійна навчальна діяльність, активне
втручання вчителя в домашню освіту через персональний комп’ютер при
дистанційному навчанні.
Можна виділити позитивні особливості роботи з комп’ютерною
навчальною програмою:

скорочення часу вироблення технічних навичок учнів;

збільшення кількості тренувальних завдань;

досягнення оптимального темпу роботи учня;

перетворення учня на суб’єкт навчання (так як програма вимагає
від нього активного управління);

застосування
в
навчальній
діяльності
комп’ютерного
моделювання реальних процесів;

забезпечення навчання матеріалами із віддалених баз даних,
використовуючи засоби телекомунікацій;

набуття діалогу з програмою характеру навчальної гри, що у
більшості учнів підвищує мотивацію навчальної діяльності.
Купрійчук П.Т.
26
Потрібно враховувати і недоліки:

відсутність емоційності діалогу з програмою;

не завжди враховані програмістами особливості конкретної групи
учнів;

майже повна відсутність розвитку мовлення, графічної та
писемної культури учнів;

виникнення, крім помилок у вивченні навчального предмету,
яких учень допускається і на традиційних уроках, також
технологічних помилок – помилок роботи з комп’ютерною
програмою;

подання навчального матеріалу, як правило, в умовній, надто
стиснутій та одноманітній формі;

обмеження контролю знань кількома формами – тестами або
програмованим опитуванням;

наявність спеціальних знань самого вчителя.
Недоліків у комп’ютерного навчання не менше, ніж переваг.
Відмовлятися від комп’ютера в навчанні не можна, але не можна і
зловживати комп’ютеризацією. Потрібно виробити критерії корисності
використання комп’ютерів на уроці для кожної вікової групи по окремих
темах, критерії оцінювання програмових засобів.
Зрозуміло, що та чи інша комп’ютерна технологія потрібна, якщо вона
дозволяє отримати такі результати навчання, які не можна отримати без її
використання. Наприклад, якщо програма дозволяє швидко виробити
технічний навик побудови симетричних фігур на площині – така програма
потрібна. Тому що без комп’ютера робота буде перевантажена масою
додаткових рутинних побудов і найпростіших дій, а через велику кількість
додаткових дій важко сформувати і проконтролювати потрібне вміння.
Однак пізніше набуті вміння потрібно закріпити реальними побудовами,
інакше справжні навички не розвинуться.
Купрійчук П.Т.
27
Які ж особливості комп’ютеризованого уроку. Особливо потрібно
виділити наступне: крім звичайної мети уроку, урок з комп’ютерною
підтримкою має технологічну мету: навчання новому методу навчальної
діяльності, використанню конкретної навчальної комп’ютерної програми.
Головною особливістю такого уроку є те, що перевизначаються потоки
інформації на уроці – діалог вчителя з учнем відбувається через комп’ютер,
який виступає в ролі третього компоненту навчання, індивідуального для
кожного учня.
Можна виділити три основні задачі, які необхідно розв’язати для
успішного проведення комп’ютеризованого уроку: дидактичну, методичну та
організаційну.
Під
дидактичним
забезпеченням
розуміють
навчальні
матеріали уроку, конкретна навчальна програма та апаратура. Методична
задача – визначення методів використання комп’ютерів при викладанні теми,
аналіз
результатів
уроку
і
постановка
наступної
навчальної
мети.
Організаційна задача, яка легко вирішується під час традиційного уроку,
стає головною. Вона полягає в тому, щоб виробити і закріпити в учнів
навички роботи з навчальною програмою, організувати роботу, уникаючи
перевантаження учнів та нераціонального використання часу.
При використанні навчальних програм потрібно враховувати слабкість
комп’ютерного опитування – не прослідковується хід розв’язування задачі,
відсутня можливість перевірки графічних навичок і навичок проведення
доведень. Отже, не можна вважати комп’ютерні тести переважаючою
формою контролю. Однак для багатьох учнів робота з комп’ютерними
тестами буде значно більш значущою, ніж при традиційній формі
опитування. До таких дітей відносяться інтелектуально обдаровані діти, які,
до того ж часто відчувають серйозні труднощі у спілкуванні із вчителем, що
пов’язане із низькою комунікативною культурою. До таких учнів відносяться
і невстигаючі учні. Для них не надто складний тест на комп’ютері може стати
засобом самоствердження.
Купрійчук П.Т.
28
Постає питання: як ставитися до автоматичного виставлення оцінок
учню комп’ютерною програмою. Напевно не треба довіряти цю справу
комп’ютеру. Оцінка завжди суб’єктивна. Вона визначається багатьма
факторами, в першу чергу, особистими якостями і взаємовідносинами
вчителя і учня.
Розглянемо деякі фактори, що найбільше впливають на побудову
уроку:

методична мета уроку і тип уроку, який нею визначається
(пояснення
нового
матеріалу,
закріплення,
узагальнення
матеріалу,
проміжний контроль тощо);

кількість учнів у класі і кількість комп’ютерів в навчальному
кабінеті;

гігієнічні вимоги до роботи учнів за комп’ютером;

рівень підготовки класу;

готовність учнів до нового виду навчальної діяльності (від того,
наскільки учні добре володіють прийомами роботи з комп’ютерними
програмами залежить темп і успіх уроку).
Потрібно пам’ятати, що основна перевага, яку комп’ютер дає на уроці,
полягає в тому, що учень сам визначає темп своєї роботи з програмою. Під
час традиційного уроку вчитель чітко по часу розділяє етапи уроку і
відводить конкретний час на розв’язування кожної задачі. При цьому деякі
учні „все виконали, що далі?..”, а інші не встигають за вчителем. Намагання
таким чином побудувати комп’ютерний урок не дасть можливості
реалізувати основну перевагу уроку з комп’ютерною підтримкою. Програма
повинна вступити в діалог з кожним учнем, причому інтелектуальний рівень
цього діалогу задається вчителем і програмою, а темп та смислові акценти –
учнем.
Отже, вчитель не може керувати комп’ютерним уроком за допомогою
голосу. Вихід із цієї ситуації в тому, що учень отримує програму дій на урок.
Ця програма представляє собою хід уроку. Рівень деталізації навчальних
Купрійчук П.Т.
29
етапів та керівництва діями учня залежить від викладених вище факторів.
Якщо клас різнорівневий, то можна розробити окремий модуль для кожної
підгрупи. Програма дій може бути представленою у різних формах. Для
технологічно слабких учнів, які недостатньо добре вміють працювати з
комп’ютером, краще запропонувати віддрукований на папері план. Для
інших учнів можна підготувати спеціальний файл, який можна переглядати
за допомогою текстового редактора. На уроках з комп’ютерною підтримкою
не слід принижувати значення традиційного робочого зошита. При вивченні
будь-якого матеріалу за допомогою
комп’ютера потрібні означення,
правила, властивості та теореми необхідно записувати в зошит, як на
традиційному уроці.
Розглянемо найменш сприятливу ситуацію при підготовці до уроку з
комп’ютерною
підтримкою:
клас,
з
яким
доведеться
працювати
неоднорідний за математичною підготовкою, технологічно готовий погано. В
такій ситуації урок по новому матеріалу проводити не потрібно. Головною
метою такого уроку повинна бути мета технологічна – навчити учнів
працювати з потрібною вам програмою. Для кожної підгрупи можна
виділити окрему мету уроку. Отримуємо два-три уроки в одному.
Використання комп’ютера дає змогу диференціювати завдання не тільки за
рівнем складності, а і за метою уроку.
Клас можна розбити на 3 групи. Кожній групі потрібно підготувати
невеличке програмне завдання, яке розраховане на 10-12 хвилин самостійної
роботи з комп’ютером. До уроку кожен учень знає номер свого комп’ютера
(комп’ютери в класі повинні бути пронумеровані). Один і той же номер
повідомляється трьом учням, що належать до різних підгруп.
Завдання учня із сильної підгрупи можна побудувати за такою схемою:

постановка мети уроку – 2хв.;

робота з комп’ютером – 10-12хв.;

робота з підручником – 10-12хв.;

розв’язування задач – 10-20хв.;
Купрійчук П.Т.
30

підведення підсумків уроку, домашнє завдання – 4-5хв.
Завдання учня із середньої підгрупи:

постановка мети уроку -2хв.;

робота з підручником – 10-12хв.;

робота з комп’ютером – 10-12хв.;

розв’язування задач – 10-20хв.;

підведення підсумків уроку, домашнє завдання – 4-5хв.
Завдання учня із слабкої підгрупи може мати такий вигляд6

постановка мети уроку – 2хв.;

робота з вчителем – 10-12хв.;

робота з підручником та зошитом – 10-12хв.;

робота з комп’ютером – 10-20хв.;

підведення підсумків уроку, домашнє завдання – 4-5хв.
З точки зору вчителя урок можна представити у вигляді наступної
схеми:
Етап
1 підгрупа
2 підгрупа
3 підгрупа
Організаційний момент, постановка мети
1.
Час
2 хв.
2.
Робота з
комп’ютером
Інші форми
роботи
Інші форми роботи
10-12 хв..
3.
Інші форми
роботи
Робота з
комп’ютером
Інші форми роботи
10-12 хв.
4.
Інші форми
роботи
Інші форми
роботи
Робота з комп’ютером
10-20 хв.
Підведення підсумків, домашнє завдання
5
4-5 хв.
Така схема побудови уроку з успіхом виправдовує себе. На такому
уроці вчитель виступає в якості консультанта, а не в якості „джерела знань”.
Впровадження в навчальний процес школи нових інформаційних
технологій потребує переосмислення традиційної системи навчання, її
змісту, методів і форм організації, залишаючи при цьому незмінними цілі
Купрійчук П.Т.
31
навчання. Це пов’язано з тим, що будь-який засіб (у нашому випадку таким
засобом є комп’ютер), включений в ту чи іншу діяльність, впливає на саму
діяльність, а особливо тоді, коли йому властиві специфічні, характерні тільки
для нього функції. Однак нові інформаційні технології можуть принципово
вплинути на процес навчання тільки в тому випадку, коли ці технології
будуть включені в нову модель навчання, а їх засоби повною мірою
реалізують притаманні тільки їм функції. Основна мета такої моделі
навчання – сприяти розвитку учня як особистості, формувати в нього потребу
і здібності до дослідницької діяльності, самоосвіти, самовираження та ін.
Модель такого навчального процесу повинна базуватися на формулі:
діяльність – рефлексія – теоретичні знання і практичні навички. Учень у
даній діяльності повинен виступати в ролі активного суб’єкта, а педагог – у
ролі організатора комунікацій у тріаді учитель-учень-комп’ютер.
Якщо розглядати комп’ютер як результат технічного, технологічного
досягнення людства в школі, то він виступає тут і як предмет вивчення, і як
предмет, який формує навчальне середовище, і як засіб управління
навчальною діяльністю, і як засіб зв’язку, і як засіб навчальної діяльності.
Останній підхід до визначення місця комп’ютера в навчально-виховному
процесі все більше поширюється в освітянській громадськості. Ці якості
комп’ютера, його властивість виступати у різних іпостасях (залежно від
педагогічного завдання та педагогічної ситуації) суттєво відрізняють його від
традиційних
технічних
засобів
навчання.
Залучення
комп’ютера
до
навчально-виховного процесу – це залучення не тільки техніки, а й того
зовнішнього інтелекту, який презентовано через технологію та програмне
забезпечення. Таким чином, застосування
комп’ютера в навчально-
виховному процесі за умови правильного визначення його місця дає підстави
сподіватися на певні зрушення, поворот дидактичного простору обличчям до
майбутнього, яке проектується сьогодні.
Купрійчук П.Т.
32
Висновки
Організаційні
форми
навчання
дуже
різноманітні
за
змістом,
структурою, способами організації навчальної діяльності. Визначаючи
методику
проведення
уроків,
класоводові
треба
врахувати
змістові
особливості різних предметів, істотні відмінності розвитку 10-17 річних
дітей, умови, в яких працюють класи в різних типах шкіл, матеріальне
забезпечення тощо.
Довгі роки в школі розглядали окремо такі взаємопов’язані поняття, як
засоби досягнення результатів навчання та їх вплив на розвиток і
самопочуття учнів. Стосовно уроку це виявилось (а подекуди і виявляється) у
перевантаженості дітей, їх надмірній заорганізованості, зацікавленості
школярів, батьків і самого вчителя в оцінках, а не в якості роботи,
невиправдано
великій
кількості
одноманітних
тренувальних
завдань,
зневажливому ставленні до так званих другорядних предметів (музики, праці,
малювання,
фізичного
виховання).
Шкідливо
позначилося
на
результативності уроків намагання частини вчителів будувати й аналізувати
їх, беручи до уваги насамперед зовнішній бік справи.
Наприклад, до
уроків, різних за змістом і метою, застосувати єдину структуру, підганяти
зміст конкретного уроку під універсальний тип комбінованого, механічно
йти за методичними розробками. Для якісного оновлення уроку у центрі
уваги вчителя має бути організація навчальної діяльності учнів залежно від її
змісту і готовності дітей. Саме це особливо впливає на навчальні результати,
розвиток особистості, її емоції та почуття. Вчителеві доводиться самостійно
розв’язувати щодня різноманітні педагогічні завдання. Як найкраще
поєднати методи і прийоми під час пояснення даного матеріалу? Як
диференціювати самостійну роботу? Як вивчати особистість учня? Як
вплинути на байдужих дітей? Як знайти довготривалі стимули до праці? Як
краще
перевірити
домашнє
завдання?
Як
подолати
мовленнєву
нерозвиненість учнів? Цих проблем безліч. І скільки б не було методичних
Купрійчук П.Т.
33
рекомендацій, щоразу, коли виникає потреба їх застосувати, учителеві слід
обміркувати різні варіанти. Щоб не помилитися, маємо добре орієнтуватися в
тому надбанні, яке є в сучасних посібниках, статтях, збірниках із досвіду
роботи найкращих учителів. Щоб опанувати на творчому рівні нові
методики, потрібно, аби на окремому уроці й у системі уроків класовод
досягав
взаємозв’язку
навчального
розливального
й
мотиваційного
компонентів навчальної діяльності, утверджував гуманні взаємовідносини в
класі, активно використовував різні форми співробітництва з учнями. Чим
повніше, надійніше й послідовніше на уроці вдається пов’язати змістовий,
процесуальний і мотиваційний компоненти навчальної діяльності, тим
сильніше система уроків впливатиме на виховання і розвиток школяра.
Купрійчук П.Т.
34
Список використаної літератури
1. Буркова Л. Дванадцятирічна освіта: реалії і перспективи // Рідна
школа. - 2000. - Листопад. - С. 3-6.
2.
Диференціація
загальноосвітніх
та
стандартизація
навчально-виховних
математичної
закладах
та
вищих
освіти
в
навчальних
закладах першого та другого рівнів акредитації: Звіт про НДР (заключний) /
www.home.skif.net
3. Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В.
Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. - 1990. - №
4. - С. 18-21.
4. Дунець Л., Дунець О. Формування професійних інтересів у майбутніх
фахівців // Рідна школа. - 2001. - Січень. - С. 48-49.
5. Інструктивно-методичний лист про вивчення математики у 2003/2004
навчальному році // Математика в школі. - 2003. - № 6. - С. 2-7.
6. Кабардін О. Профільна школа / Завуч. - 2002. - № 16. - С. 2-3.
7. Кизенко В. Дидактичні засади організації шкільного факультативного
навчання // Освіта і управління. - 2003. - Т. 6, № 2. - С. 117-124.
8. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Фёдорова Н. Е. О создании курса
математики для школ и классов экономического направления // Математика в
школе. - 1993. - № 3. - С. 43-45.
9. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. Профильная
дифференциация обучения математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. С. 21-27.
Купрійчук П.Т.
35
10. Концепція профільного навчання в старшій школі / Освіта України. 2003. - № 42-43. - С. 8-9.
11. Концепція розвитку загальної середньої освіти / Освіта України. 2000. - № 3. - С. 8-12. . Кремень В. Старша школа має перейти на профільне
навчання / Освіта України. - 2002. - № 49. - С. 3.
13. Лернер П. Профільна освіта старшокласників: якою їй бути? / Завуч.
- 2003. - № 14. - С. 6-7.
14. Матізин Т. Новій державі - нову школу // Рідна школа. - 2000. - № 2. С. 65-66.
15. Олійник В. Дистанційне навчання - не розкіш, а шлях до... відкритої
освіти / Освіта України. - 2002. - № 49. - С. 4.
16. Петренко С. В., Мартиненко О. В. Особливості навчання математики
в профільній школі / Діяльність навчального закладу як умова розбудови
освітнього простору регіону. Матеріали Всеукраїнської науково-практичної
конференції. - Чернігів: РВВЧДПУ, 2004. - С. 63-66.
17. Пустовая Є. Профорієнтація: проблеми, досвід, перспективи / Завуч. 2003. - № 9. - С. 2-3.
18. Слєпкань З. І. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат.
спеціальностей пед. навч. закладів. - К.: Зодіак-ЕКО, 2000. - 512 с.
Купрійчук П.Т.
36
Додаток А
Маловживані теореми з геометрії. Їх використання до розв’язання
планіметричних задач
Теорема Птолемея
В епоху середньовіччя книга Птолемея „Альмагест”, як називали її астрономи
(найвеличніше), мала велике поширення в країнах арабського Сходу. Вона містила широкі
відомості з астрономії і математики.
Теорема. Якщо чотирикутник ABCD вписаний, то AB∙CD+BC∙АD=AC∙BD.
Доведення
Візьмемо на діагоналі AC таку
точку E, що < ABE= < DBC.
Тоді ∆ABE ≈ ∆DBC, бо < BAE = < BAC = < BDC. Тому AB:DB=AE:DC, тобто
AB∙DC=AE∙DB. (*)
< CBE= < DBA, отже, ∆CBE ≈ ∆DBA, бо < BCE = < BDA. Тому CB:DB=EC:DA, тобто
CB∙DA=DB∙EC (**).
Додавши почленно рівності * і ** , маємо: AB∙CD+BC∙AD=AC∙BD.
Ця теорема знадобилась олександрійському астроному Птолемею для складання таблиці
синусів, точніше таблиці довжини хорд. Якщо AC – діаметр кола, то теорема Птолемея
переписується у вигляді cosα sinβ+sinαcosβ=sin(α+β). Якщо за діаметр взяти сторону AB,
то одержимо формулу sin(α-β).
Теорема Птолемея широко використовується для розв’язування задач.
Задача. Нехай AD і BC – основи рівнобічної трапеції ABCD.
Довести, що AC2=AD∙BC+AB2.
Розв’язання.
Так як рівнобічну трапецію завжди можна вписати в коло, то за теоремою Птолемея
маємо:
AC∙BD=AD∙BC+AB∙CD або AC2=AD∙BC+AB2.
Варіанти задач
1. На колі, описаному навколо рівностороннього трикутника ABC,
взято довільну точку Х. Довести, що кожний з найбільших відрізків
ХA,
ХB,
ХC,
дорівнює
сумі
двох
інших.
Розв'язання: Застосуємо теорему Птолемея до чотирикутника ХАВС.
Позначимо а сторону рівностороннього трикутника АВС. Дістанемо
ХВ•а = ХА•а+ХС•а або ХВ=ХА+ХС.
Купрійчук П.Т.
37
2. Довільне коло, проведене через вершину кута, відсікає від його
сторін відрізки m та n, а від бісектриси цього кута відрізок l. Довести,
що відношення (m+n)/l не залежить від положення кола та його
радіуса.
Розв'язання: Нехай коло перетинає кут з вершиною А у точках В і С.
Позначимо М точку перетину бісектриси кута А з цим колом. Тоді
АС = m, АВ = n, AM = l. Позначимо ВС = а, ВМ = СМ = х, < ВАС = α.
За теоремою Птолемея, застосованою до чотирикутника АВМС,
маємо:
х•m+x•n=l•a
або
x•(m+n)=l•a,
звідки
(m+n)/l=a/x.
Запишемо a/x так:a/x=2(a/2)/x . Позначимо М, середину відрізка ВС.
Тоді a/x=2СМ1/СМ. Але СМ1/СМ = cos < MCM1 =cos < MAB = cos
α/2. Отже (m+n)/l = 2 cos α/2, тобто не залежить від положення кола
та його радіуса.
3. На гіпотенузі прямокутного трикутника ABC, сума катетів якого
дорівнює m, поза трикутником побудовано квадрат AEDB. Визначити
відстань від вершини С прямого кута трикутника до центра квадрата
О.
Розв'язання: Оскільки кути АСВ і АОВ прямі, то їх сума 180º. Отже,
чотирикутник АСВО можна вписати в коло. Тому АВ•СО
=АС•ВО+ВС•АО. Але АО=ВО= АВ/√2. таким чином АВ•СО =
(АС+ВС)•АВ/√2 , тобто СО = (AC+BC)/√2 = m/√2.
4. Навколо трикутника ABC описано коло. Позначимо m, n ,k відстані
від точки Х кола до сторін BC, AC, AB. Довести, що a/m=(b/n)+(c/k),
де
a,
b,
c
–
довжини
сторін
BC,
AC,
AB.
Розв'язання: Нехай Х1, Х2, Х3 – проекції точки Х на сторони ВС, АС,
АВ. Тоді ХХ1 = m, ХХ2 = n, ХХ3 = k. Сполучимо точку Х з точками А,
В і С. До чотирикутника АВХС застосуємо теорему Птолемея:
ВС•АХ=ВХ•АС+СХ•АВ
або
а•АХ=b•ВХ
+
с•СХ
(1)
З подібності трикутників ВХХ1 і АХХ2 випливає ВХ/АХ=ХХ1/ХХ2
або
ВХ=
m•АХ
/n
(2)
З подібності трикутників СХХ1 і АХХ3 маємо CX/AX=ХХ1/ХХ3 або
СХ=m•АХ
/k
(3)
Підставивши (2) і (3) в (1), дістанемо а•АХ = b•(m/n)•АХ+с•(m/k)•АХ,
тобто a/m=b/n+c/k.
5. Якщо АВСDEFJ – правильний семикутник, то 1/AC+1/AD=1/AB.
Розв'язання: Правильний семикутник можна вписати в коло. Тому до
чотирикутника ACDE можна застосувати теорему Птолемея:
АD•ЕС=АЕ•СD+АС•DЕ. Але АЕ=АD, СЕ=АС, СD=DЕ=АВ. Тому
маємо: АD•АС=АD•АВ+АС•АВ. Поділивши обидві частини рівності
на АВ•АС•АD, дістанемо: 1/AC+1/AD+1/AB.
Купрійчук П.Т.
38
6. У гострокутному трикутнику сума відстаней від центра описаного
кола до сторін трикутника дорівнює сумі радіусів вписаного і
описаного
кіл.
Розв'язання: Навколо кожного з чотирикутників ОМ1ВМ3 , ОМ1СМ2
, ОМ2АМ3 можна описати коло, отже, застосувати теорему
Птолемея:
ОМ1•с/2+ОМ3•а/2=R•в/2;
ОМ1•b/2+ОМ2•а/2=R•с/2;
ОМ2•с/2+ОМ3•b/2=R•а/2.
Крім
того,
S=r•(а+b+с)/2=ОМ1•а/2+ОМ2•b/2+ОМ3•с/2.
Додамо
всі
чотири
співвідношення:
ОМ1(а+b+с)/2+ОМ2(а+b+с)/2+ОМ3(а+b+с)/2=R(а+b+с)/2+r(а+b+с)/2.
Або ОМ1+ОМ2+ОМ3=R+r.
7. У трикутник ABC вписано півколо так, що діаметр півкола
належить стороні BC, а бічних сторін воно дотикається у точках F1 і
F2. Бісектриса кута BAC перетинає описане навколо трикутника коло
у точці М. Довести, що S=(F1F2 ∙AM)/2, де S – площа трикутника
ABC.
Розв'язання: Позначимо О1 центр півкола. До чотирикутника АВМС
застосуємо теорему Птолемея: b•ВМ+с•СМ=а•АМ. Оскільки
ВМ=СМ,
то
(b+с)ВМ=а•АМ
(1)
Трикутники ВМС і F1OF2 подібні (вони рівнобедрені і < F1О1F2= <
СМВ.
Отже, F1О1/BM=F1F2/a, BM=aF1О1/F1F2. Але F2О1•b/2+F1О1•с=S.
Отже,
F1О1=2S/(b+c)
,
тому
ВМ=a•2S/(b+c)F1F2
.
(2)
Підставимо (2) в (1) і матимемо: (b+ с)•a•2S/(b+c)F1F2= а•АМ. Або S=
F1•F2•АМ/2.
Теорема Чеви
Чева Джованні (1648-1734) – відомий італійський інженер-гідравлік і геометр. Він створив
учення
про
січні,
що
започаткувало
нову
синтетичну
геометрію.
Теорема. Нехай точки A, B, C, лежать відповідно на сторонах BC, AC, AB трикутника
ABC. Відрізки AA1, BB1, CC1 перетинаються в одній точці О всередині трикутника тоді і
тільки тоді, коли (AB1/B1C)∙(СA1/A1B)∙(BC1/C1A) = 1.
Доведення. Через вершину С проводимо пряму, паралельну
стороні АВ. Точки перетину цієї прямої з прямими АА1 і ВВ1
позначимо відповідно M і N. При гомотетії з центром О і
коефіцієнтом k=OC/OC1 точки А, В і С1 відображаються
відповідно на точки M,N і С. Отже (AC1/C1B)=(MC/CN).
Трикутники АВА1 і МСА1, АВВ1 і CNB1 гомотетичні. Тому
(BA1/A1C)=(BA/MC), (CB1/B1A)=(CN/BA). Перемноживши
знайдені
три
рівності
почленно,
одержимо
(AС1/С1C)∙(СA1/A1B)∙(BC1/C1A)
=
1.
Обернену теорему можна довести від супротивного, допустивши, що прямі АА1 і ВВ1
перетинаються в якійсь точці О, а пряма СО перетинає АВ в якійсь точці D. Потім
Купрійчук П.Т.
39
доводимо, що точка D співпадає з точкою С1, використавши для цього пряму теорему.
Застосовуючи теорему Чеви, можна легко розв’язувати задачі на доведення того факту ,
що висоти, медіани, бісектриси трикутників перетинаються в одній точці.
Розв’язання.
Нехай AHa, BHb, CHc – висоти трикутника ABC. Із трикутника CHcA маємо AHc=hc∙ctg A.
Аналогічно BHa=ha∙ctg B, BHc=hc∙ctgA. Тоді, (AHc/ВHc)∙(BHa/СHa)∙(СHb/АHb)
=(hc∙ctgА/hc∙ctgВ)∙
(ha∙ctgB/ha∙ctgC)∙(hb∙ctgС/hb∙ctgA)=1.
За
теоремою
Чеви
твердження
доведено.
Варіанти задач
1. Довести, що бісектриси трикутника перетинаються в одній
точці.
Розв'язання: Нехай АА1, ВВ1, СС1 – бісектриси трикутника АВС.
Використовуючи теорему про бісектрису трикутника, маємо:
(AB1/B1C)∙(CA1/A1B)∙(BC1/C1A)=(AB/BC)∙(AC/AB)∙(BC/AC)=1.
2. Довести , що відрізки, які сполучають вершини трикутника з
точками дотику вписаного в цей трикутник кола, перетинаються
в
одній
точці.
Розв'язання: Нехай у трикутник АВС вписане коло. М, N, K –
відповідно точки дотику кола до сторін АС, АВ і ВС. Тоді
АМ=АN,
СМ=СК,
ВК=ВN.
АМ=АN=р–а,
СМ=СК=р–с,
ВК=ВN=р–b.
Отже, (AM/MC)∙(CK/BK)∙(BN/AN)=(p-a)∙(p-c)∙(p-b)/(p-c)∙(p-b)∙(pa)=1.
За теоремою Чеви відрізки AK,CN, BM перетинаються в одній
точці Т.
3. Довести, що відрізки, які сполучають вершини трикутника з
точками дотику до сторін трикутника зовнівписаних кіл,
перетинаються
в
одній
точці.
Розв'язання: Нехай зовні вписані кола дотикаються до сторін
АВ, ВС, СА трикутника АВС відповідно в точках F, E, D. Тоді
маємо:
АD=ВЕ=р–с,
СD=ВF=р–а,
СЕ=АF=р–b.
(AD/CD)∙(CE/BE)∙(BF/AF)=(p-c)∙(p-b)∙(p-a)/(p-a)∙(p-c)∙(p-b)=1.
За теоремою Чеви відрізки АЕ, ВD, СF перетинаються в одній
точці.
Купрійчук П.Т.
40
Теорема Менелая
Теорема. Якщо на прямих ВС, СА, АВ, що визначають трикутник ABC, дано точки А 1,
В1,С1, то ці точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли
(АС1/С1В)∙(ВА1/А1С)∙(СВ1/В1А)= –1.
Доведення Нехай точки А1, В1, С1 належать одній
прямій. Через вершину С трикутника ABC проведено
пряму, паралельну стороні АВ, яка перетинає пряму
А1В1 в точці D. Трикутники В1АС1 і В1СD, а також
трикутники А1ВС1 і А1СD гомотетичні. Отже,
АС1/CD=В1А/В1С,
CD/С1В=А1С/ВА1.
Перемноживши ці дві рівності почленно, одержуємо співвідношення, яке потрібно
довести. Обернену теорему легко довести методом від супротивного.
Задача.
Довести
теорему
Чеви,
користуючись
теоремою
Менелая.
Розв’язання.
Нехай прямі АА1, ВВ1, СС1 перетинаються в точці О. Застосуємо
теорему Менелая до трикутника АСС1 і січної ВВ1, а потім до
трикутника
ВСС1
і
січної
АА1.
Маємо
(CB1/B1A)∙(AB/BC1)∙(C1O/OC)=–1
(BA1/A1C)∙(CO/OC1)∙(C1A/AB)= –1. Перемноживши рівності
почленно,
одержимо
шуканий
вираз
теореми
Чеви.
Варіанти задач
1. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці О.
Через середину М сторони АВ проведена пряма МО, що
перетинає сторону CD в точці N. Знайти CN/ND, якщо AO=OC
і
BO/OD=2.
Розв'язання: Через вершину D чотирикутника АВСD проведемо
пряму паралельно стороні АВ. Ця пряма перетинає АС в точці
Е, а MN – в точці F. Тоді DF = FЕ і ОС = 2•ОЕ. Застосовуючи
до трикутника СDЕ і січної ОN теорему Менелая, одержимо:
CN/ND=2.
В загальному випадку, якщо AO/OC=a/c і BD/OD=b/d, то задача
розв’язується аналогічно і CN/ND=bc/ad.
Купрійчук П.Т.
41
2. На сторонах BC, CA і AB трикутника ABC взяті точки A1, B1,
C1, такі що AC1/AB=BA1/BC=CB1/CA=1/3. Знайти площу
трикутника, обмеженого прямими AA1, BB1, CC1, якщо площа
трикутника
ABC=S.
Розв'язання: Застосуємо теорему Менелая до трикутника АСС1
і січної ВВ1, одержуємо: CK/KC1=3/4. Отже, СК=3СС1/7. Площі
трикутників СВ1К і САС1 відносяться як добутки довжин
сторін,
що
містять
спільний
кут.
Отже, S(ΔCB1K)=S(ΔACC1)/7=S/21. S(ΔBCK)=(1/3-1/21)S=2S/7.
Таку ж площу має кожен з трикутників АСZ і АВМ. Отже,
SΔKZM)=S/7.
Теореми Ньютона
Одним з визначних геніїв наукової думки в історії людства є видатний англійський фізик,
математик і філософ Ісаак Ньютон (1643-1724). Ньютонова механіка була викладена в
його „Началах”. Основним методом, за допомогою якого Ньютон довів свої твердження,
був геометричний метод, більше того, всю свою механіку він побудував по зразку
евклідової геометрії. Розробляючи свою механіку, Ньютон відкрив цілий ряд красивих
геометричних
фактів.
Зокрема,
з
його
іменем
пов’язані
теореми.
Теорема 1. В усякому описаному чотирикутнику середини діагоналей і центр вписаного
кола лежать на одній прямій.
Доведення.
Спочатку
доведемо
лему.
Лема. Розглянемо рівнобедрений трикутник PQZ, в якому PQ=QZ.
Побудуємо коло з центром на PZ, що дотикається до сторін PQ і
QZ. Нехай довільна дотична до цього кола перетинає прямі PQ і
QZ
в
точках
E
і
F.
Тоді
PE∙
ZF=PZ2/4.
Доведення. Нехай О – середина PZ. EО і FО – бісектриси відповідно < РEF і < EFZ.
Позначимо < EPО= < FZО=α, < PEF= 2β, < EFZ=2γ. Оскільки 2α+2β+2γ=3600, то
α+β+γ=1800
і,
значить,
<
EОP=1800-α-β=γ.
<
FОZ=1800–α–γ=β.
Таким
чином
∆PEО~∆ZОF,
тому
PE/PО=ОZ/ZF.
Звідки
2
PE∙ZF=PО∙ОZ=PZ /4.
Тепер доведемо теорему
Нехай ABCD – описаний чотирикутник. О – центр вписаного в нього
кола. М і К – відповідно середини діагоналей AC і BD. Позначимо
через B1 і C1 точки, симетричні відповідно точкам B і C відносно
точки О.
Оскільки AC1||МО (МО – середня лінія в ∆ACC1), а B1D||ОК, то для
того, щоб точки М, O, К лежали на одній прямій, необхідно і
Купрійчук П.Т.
42
достатньо, щоб AC1 і B1D були паралельні.
Провівши дотичну C1P (де P лежить на AB), паралельну CD, і дотичну B1Z, паралельну
AB, і позначивши через Q і Q1 точки перетину PB і CZ, PC1 і ZB1, відповідно, одержимо
паралелограм PQZQ1, описаний навколо кола . Значить, PQZQ1– ромб.
Застосовуючи до ∆PQZ і ∆PQ1Z доведене вище твердження, одержимо: AP∙ZD=PZ2/4.
PC1∙ZB1=PZ2/4, тобто AP∙ZD=PC1∙ZB1, AP:PC1=ZB1:ZD. Враховуючи, що < APC1=< B1ZD,
одержимо
подібність
∆APC1
і
∆B1ZD.
З того, що дві пари сторін цих трикутників паралельні, слідує паралельність третьої пари,
тобто AC1||B1D , що і потрібно було довести.
Теорема 2. Нехай на площині дано 4 прямі в загальному положенні, тобто ніякі дві з цих
прямих не паралельні, ніякі три з них не проходять через одну точку. Тоді середини трьох
відрізків, кінцям яких є точки попарного перетину цих прямих, розміщені на одній прямій.
(Цю пряму часто називають прямою Гаусса – Ньютона).
Доведення. Введемо такі позначення. Нехай на площині задана пряма AB. Ця пряма
розбиває площину на дві півплощини. Назвемо одну з них
додатньою (+), а другу від’ємною (-). Для довільної точки
М площини позначимо Q (ABМ) площу трикутника ABМ,
взяту зі знаком „+” чи „-”, в залежності від того, в якій з
двох півплощин знаходиться точка М.
Так само для прямої CD одну із півплощин позначимо
через „+”, другу через „-” і введемо позначення Q (CDМ).
Лема. Геометричним місцем точок площини, для яких Q(ABМ)+ Q(CМD) є константа, є
пряма лінія.
Доведення. Відкладемо від точки О – точки перетину AB і CD – відрізки ОE=AB, OF=CD.
Точка М може належати куту між AB і CD, що є перетином додатніх або від’ємних
півплощин. Тоді точка описує відрізок прямої, паралельної EF. Нехай М в другій частині
площини. Тоді Q(ABМ)+Q(CМD)=SABМ-SCМD=SEОМ-SFОМ=SEОF+SEFМ. Оскільки ∆EОF
постійний, то сталим буде і SEFМ, тобто М лежить на прямій, паралельній EF. Це буде та
сама пряма, що і в середині позитивного кута (ці прямі перетинають DС в одній і тій же
точці).
Тепер доведемо теорему 2
Нехай M1, M2, M3 – відповідно середини AС, BD, ЕF. У
відповідності з лемою досить показати, що Q(ABMi)+
Q(СDMi) одне і те ж при і =1, 2, 3. Оскільки Q(ABM1)+
Q(СDM1)= =Q(ABM2)+ Q(СDM2)=SABСD/2, то нам потрібно
довести,
що
Q(ABM3)+Q(СDM3)=SABСD/2.
Так,
як SABM3=SABF/2 і SСDM3=SСDF/2 (точка М–середина FЕ), то маємо Q(ABM3)+Q(СDM3)=
SABM3-SСDM3=SABF/2-SСDF=SАBСD/2, що і вимагалось. Отже M1, M2, M3 лежать на одній
прямій.
Купрійчук П.Т.
43
Задача 1.
Вписане у трикутник ABD коло дотикається до сторони BD у точці K.
Довести, що пряма, яка сполучає середину Е сторони BD з центром
вписаного кола, поділяє відрізок АК на дві рівні частини.
Розв’язання
Доведемо, що ця задача є частинним випадком теореми Ньютона.
Розглянемо цю теорему для випадку, коли чотирикутник
„вироджується” у трикутник. Це буде тоді, коли один з кутів,
наприклад кут BСD чотирикутника буде близьким до 1800 або рівний
Варіанти задач
1. Побудувати трикутник ABС за точками M1, І, H1, де M1 –
середина сторони BС, І – центр вписаного кола, H1 – основа
висоти,
проведеної
з
вершини
А.
Розв'язання: Через точки М1 і Н1 проведемо пряму l. З точки І
опустимо на цю пряму перпендикуляр ІК 1. З точки Н1
проведемо пряму h, паралельну прямій ІК1. Далі проведемо
пряму М1І до перетину з прямою h у точці Е. Відкладемо на
прямій h відрізок ЕА = =ІК1. Дістанемо точку А (АЕ=r).
Побудуємо коло з центром у точці І радіуса r. З точки А до
цього кола проведемо дотичні АВ і АС.
2. Побудувати трикутник ABС за висотою ha, різницею сторін
b-c , радіусом r, вписаного в трикутник ABС кола.
Розв'язання: Позначимо К1 точку дотику сторони ВС і
вписаного кола. Тоді М1К1=(b-с)/2.Трикутник М1ІК1 –
базисний. Через точки М1, К1 проведемо пряму і на відстані
ha/2 – паралельну їй пряму l. Ця пряма перетне пряму М1І у
точці F. За задачею 1 маємо К1F=FА. Отже, знайдемо
вершину А трикутника АВС, з якої проведемо дотичні до
кола з центром у точці І, радіуса r.
3. Побудувати трикутник ABС за центроїдом M, інцентром І,
прямою
l,
якій
належить
сторона
BС.
Розв'язання: З точки І опустимо перпендикуляр ІК1 на пряму
l. Відрізок МК1 ділимо у відношенні 1:3. Дістанемо точку N.
Пряма ІN перетинає пряму l у точці М1. Таким чином маємо
відрізок М1М, отже, і вершину А.(Використали твердження:
якщо у трикутнику АВС відрізки МК1 і М1І перетинаються у
точці N, то МN : NК1 = 1:3. К1 – основа перпендикуляра,
опущеного з інцентра на ВС, М1 – середина ВС.
1800. У цьому випадку ламана BСD перетворюється у відрізок BD – сторону трикутника
ABD. Коло, яке було вписане в чотирикутник ABСD, мало спільні точки зі сторонами BС і
СD. У трикутнику ABD ці точки збігаються з точкою дотику K вписаного кола до сторони
BD. За теоремою Ньютона середини відрізків AK і BD, а також центр кола О належать
одній прямій.
Купрійчук П.Т.
44
Отже у трикутнику АВС центр кола О буде інцентром І, точка F –серединою відрізка AK,
де K – точка дотику вписаного кола до сторони BС, точка Е збігається з точкою М1 –
серединою сторони BС. Точки M, І, F належать одній прямій за теоремою Ньютона.
Задача 2. У трикутник ABС через середину M1 сторони BС і центр вписаного в цей
трикутник кола проведена пряма M1O , яка перетинає висоту AH у точці Е. Довести, що
відрізок
AЕ
дорівнює
радіусу
вписаного
кола.
Доведення
1.
Опишемо навколо ΔАВС коло і продовжимо бісектрису кута ВАС до
перетину з ним у точці М. Позначимо І – центр вписаного кола; Н1 –
основу висоти, що проведена з вершини А; М1 – середину сторони
ВС, К – точку дотику кола із стороною АС. Нехай пряма М1І
перетинає висоту АН1 у точці Е, бісектриса кута ВАС перетинає
пряму ВС у точці Z1; АЕ=х. Оскільки трикутники ІАЕ і ІММ1 подібні,
то
х/ММ1
=
АІ
/ІМ.
З подібності трикутників АІК і СММ1 випливає r/М1М = АІ/СМ.
Враховуючи,
що
СМ
=
ІМ,
маємо
х
=
r.
Доведення
2.
Нехай коло дотикається до сторони ВС в точці К. За задачею 1 маємо КF=AF.
Оскільки ОК паралельно АН, то трикутники ОFК і ЕFА рівні між собою і ОК=АЕ=r.
Задачі 1 і 2 часто використовують для розв’язання інших задач, зокрема, на побудову.
Купрійчук П.Т.
45
Купрійчук П.Т.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа