close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1
Шепетівська міська рада
Управління освіти виконавчого комітету
Методичний кабінет
УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ДУШІ
Авторський колектив методоб’єднання
вчителів математики м. Шепетівки
2014
2
Авторський колектив методоб’єднання вчителів математики
м. Шепетівки
УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ДУШІ
Шепетівка
2014
3
УДК 51
ББК 22.1я721
Ш-77
Автори:
Авторський колектив методоб’єднання вчителів математики м.Шепетівки
Посібник для вчителів та учнів 6 класу, які хочуть знати більше, ніж
вивчається у школі. Шепетівка, 2014. – 129с.
У посібнику містяться історичні довідки, методичні рекомендації, творчі
завдання та завдання практичного змісту для підготовки та проведення уроків
математики у 6 класі.
Учителеві це дасть змогу урізноманітнити, зробити цікавішими уроки,
активізувати самостійну роботу учнів. Учневі – ще раз переконатися, що
задача – захоплюючий сюжет, а її розв’язання – насолода.
ББК 22.1я721
ISBN 978-966-07-0846-4
4
ЗМІСТ
ПЕРЕДМОВА .............................................................................................................. 5
РОЗДІЛ 1 ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ ............................................. 6
РОЗДІЛ 2 ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ ................... 20
РОЗДІЛ 3 МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ ............................. 35
РОЗДІЛ 4 ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ .............................................................. 41
РОЗДІЛ 5 КОЛО І КРУГ .......................................................................................... 47
РОЗДІЛ 6 ДОДАТНІ І ВІД’ЄМНІ ЧИСЛА. ЧИСЛО 0 ......................................... 60
РОЗДІЛ 7 ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ ............. 69
РОЗДІЛ 8 МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ ....................... 76
РОЗДІЛ 9 РІВНЯННЯ ............................................................................................... 83
РОЗДІЛ 10 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ І ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ. КООРДИНАТНА
ПЛОЩИНА ................................................................................................................ 98
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ............................................................... 128
5
ПЕРЕДМОВА
Якщо судити про математику лише за шкільним підручником, то може
скластися враження, що наука ця є раз і назавжди даною, а на Землю її
принесли не інакше, як інопланетяни. Насправді ж вона створювалася
людським розумом у продовж багатьох століть і продовжує розвиватися й досі,
а її застосування охоплюють все ширші і ширші кола буття. Про те скласти
бодай найменше уявлення, як відбувається цей розвиток, неможливо, якщо не
ознайомитися з історією математики і не спробувати самому долучитися до
математичної творчості. Допоможе в цьому вчителеві та учнем даний посібник.
Колективний досвід авторів посібника свідчить, що розкрити особистість
учня можна, якщо учитель йтиме на урок не тільки із знанням навчального
матеріалу, методів і прийомів навчання, а й із різноманітними і цікавими
способами і прийомами організації праці учнів.
Цей посібник скарбничка. Кожен знайде тут матеріал для душі: історичні
довідки, цікаві факти з математики, задачі творчого та практичного змісту.
6
РОЗДІЛ 1 ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
7
1.1. Історична довідка
1. Прості і складені числа
Про числа першим почав міркувати Піфагор, який народився на острові
Самос у шостому столітті до нашої ери. Тому його часто називають Піфагором
Сомоським. Піфагор зробив великий внесок у розвиток науки . Він займався
музикою, саме йому вдалося встановити зв’язок між довжиною струни
музичного інструменту та її звуком. Піфагор вирішив, що не тільки закони
музики, але й все на світі можна показати за допомогою чисел. “Числа керують
світом!” – проголосив він.
Звичайно, про те, що натуральні числа бувають парними і непарними, ще
до Піфагора знав кожний продавець на базарі його рідного міста Сомоса, бо
йому потрібно було розкладати свій товар парами. Іноді це вдавалося, а іноді
яблуко, мішок борошна або баран виявлялися зайвими. Тому Піфагор став
розмірковувати про властивості парних і непарних чисел.
Першими чотирма числами 1, 2, 3, 4 він позначав чотири елементи, із
яких складається світ: вогонь, землю, воду й повітря. Числу 10 Піфагор надавав
неабиякого значення – це число дорівнювало сумі всіх елементів, тому
зображало ввесь світ.
Піфагор також шанував число 7. Один з його учнів навіть написав твір
про незвичайні властивості цього числа, його роль у земних та небесних
справах.
Піфагор та його учні вивчали питання про подільність чисел.Число,що
дорівнює сумі всіх його дільників (окрім самого числа),називали досконалим
числом.Наприклад, число 6 (6=1+2+3).
Дослідіть,яке з чисел,яке більше за 25,але менше за 30,є досконалим.
Дільники числа 28: 1,2,4,7,14,28. 1+2+4+7+14=28.)
Інтерес математиків до простих чисел був величезний, починаючи з
найдавніших часів. Саме поняття простого числа було введене давньогрецьким
вченим Піфагором ще у IV столітті до н.е. А в ІІІ столітті до н.е. Евклід довів,
8
що простих чисел нескінченно багато (тобто за кожним простим числом є ще
більш просте число.
Інший давньогрецький математик того ж часу – Ератосфен придумав
дотепний спосіб складання списку простих чисел, який іноді використовується
в практичних обчисленнях і сьогодні.
Оскільки греки робили записи на вкритих воском табличках, а числа не
закреслювали, а виколювали голкою, то таблиця в кінці обчислень нагадувала
решето. Відтоді метод Ератосфена називають “решетом Ератосфена”: у цьому
решеті прості числа “відсіваються” від решти. Досконаліші способи знаходити
прості числа розробили вчені тільки в ХХ ст. Було складено чимало таблиць
простих чисел. Тепер пошук простих чисел ведуть за допомогою комп’ютерів.
Знайдено, зокрема, просте число, яке складається із 750 цифр, і навіть просте
число з 1000 цифр (щоб записати таке довге число, потрібна паперова стрічка
завдовжки 3 метри).
2. Ератосфен (життя,творчість)
Ератосфен (бл. 275 – 194 до н. е.), давньогрецький вчений і письменник.
Один із надзвичайно різнобічних вчених античності. Ератосфен займався
філологією, філософією, хронологією, математикою, астрономією, геодезією,
географією, сам писав вірші і музику. За це сучасники дали йому
прізвисько Пентатл, тобто Багатоборець. Інше його прізвисько, Бета, тобто
«другий», очевидно, свідчило про те, що у всіх науках Ератосфен досягає не
найвищого, але чудового результату.
Ератосфен
народився
в Африці,
у Кірені.
Навчався
спочатку
в Александрії, можливо, у Каллімаха, а потім в Афінах у відомих наставників:
Зенона Кіфеонського, Платоніка Аркесілая і перипатетика Арістона з Хіоса,
граматика Лісанія. Імовірно, саме завдяки настільки широкій освіті і
розмаїтості інтересів бл. 245 до н. е. Ератосфен отримав від Птолемея III
Евергета
запрошення повернутися в Александрію, щоб стати вихователем
спадкоємця
престолу
(згодом Птолемея
IV
Філопатра)
й
очолити
Александрійську бібліотеку. Ератосфен пристав на цю пропозицію й обіймав
9
посаду бібліотекаря до кінця життя. Його наукові таланти удостоїлися високої
оцінки сучасника Ератосфена, Архімеда, який присвятив йому свою книгу
Ефодик (тобто Метод).
Серед
математичних
творів
Ератосфена
виділяється твір «Платоники» (Platonikos), свого роду
коментар
до
діалогу
«Тімей»
Платона,
у
якому
розглядалися питання з області математики і музики.
Ератосфен звертається до математичних і музичних
основ платонівської філософії. Вихідним пунктом було
так зване делійське питання, тобто подвоєння куба,
якому автор присвятив трактат «Подвоєння куба».
Геометричний зміст мав твір «Про середні величини»
(Peri mesotenon) у 2 частинах, присвячений розв'язуванню геометричних та
арифметичних задач. Широко відомий трактат «Решето». В ньому вчений
виклав спрощену методику визначення простих чисел (так зване «решето
Ератосфена»).
3. Прості числа-близнюки
Прості числа-близнюки – це пара простих чисел, різниця між якими
становить 2.
Найменшими числами-близнюками є: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19),
(29,31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151),
(179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283),
(311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571),
(599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829),
(857, 859), (881, 883).
Найбільші з відомих на сьогоднішній день:
1 000 000 000 149 341 і 1 000 000 000 149 343.
Всі пари простих-близнюків крім (3, 5) мають вид 6n±1. Справді, для
будь-якої пари простих чисел-близнюків число, що знаходиться між ними є
очевидно парним. Також воно ділиться на 3, оскільки з трьох послідовних
10
чисел одне має ділитися на три. Тому дане число також ділиться на 6, а двоє
сусідніх чисел мають вид 6n±1.
Ще в давнину вчених цікавило питання, за яким законом розміщені
прості числа в натуральному ряді. Але відтоді як Евклід довів, що не існує
найбільшого простого числа, спливло понад 2 тисячі років, а закону
розміщення простих чисел досі не знайдено. З одного боку, є прості числа, які
відрізняються одне від одного на 2, – так звані «числа-близнюки», наприклад 5 і
7, 11 і 13, 17 і 19. З іншого боку, якщо розмістити всі прості числа за
зростанням, то, і це доведено, серед них завжди можна знайти два простих
числа, різниця між якими є більшою від будь-якого заданого числа. Жодної
закономірності не виявлено і відносно кількості простих чисел у певних
інтервалах. Проте для обчислення кількості простих чисел у ряді натуральних
чисел від 1 до n формулу знайти вдалося. Її вивів у XIX ст. російський учений
П. Л. Чебишов.
4. Досконалі числа
Числа, в яких сума власних дільників, тобто дільників, менших від самого
числа, дорівнює самому числу, називаються досконалими . Наприклад, числа 6 і
28:
6=1+2+3,
28=1+2+4+7+14.
Перші два досконалі числа були відомі ще піфарійцям в глибоку давнину.
Наступні два – 496 і 8128 знайшов в IV столітті до н. е. Евклід.
І тільки через півтори тисячі років було знайдене ще одне досконале
число – 33 550 336. До середини XX століття було знайдено ще 7 таких чисел. З
1952 року в пошуки включились ЕОМ і якщо перше досконале число (6)
однозначне, то 24-те має понад 12 000 знаків. Пошук досконалих чисел триває і
нині.
В XVII столітті досконалі числа шукав французький математик Марен
Мерсенн. Він припустив, що при р=17, 19, 31, 67, 127 і 257 формула Евкліда дає
досконале число. Проте перевірити своє припущення не зумів через складність
11
обчислень. Правоту Мерсенна для р=17, 19 і 31 довів в XVIII столітті Леонард
Ейлер. Пізніше виявилась помилковість передбачень для р=67 і 257, що не
заважає називати числа вигляду
числами Мерсенна. Той же Ейлер також
довів, що формула Евкліда правильна для парних досконалих чисел.
На сьогодні відомо 48 чисел Мерсенна і відповідних їм парних
досконалих чисел. Починаючи з 1997 року їх пошуком займається команда
розподілених обчислень з мережі Інтернет GIMPS. До речі, 48-е число було
знайдене саме так у лютому 2013 року. Це 257885161–1 – найбільше з відомих
просте число Мерсенна.
Для прикладу М2=22-1=4-1=3; М3=23-1=8-1=7; М5=25–1=31…
Свою назву досконалі числа отримали тому що в давнину їм
приписувалося особливе містичне значення. Існувало також переконання, що
світ саме тому прекрасний, що створений за 6 днів, Місяць обертається навколо
Землі приблизно за 28 днів, а руки людини можна назвати досконалим
знаряддям, оскільки в 10 пальцях знаходиться 28 фаланг.
Властивості:

Всі парні досконалі числа (крім 6) можна записати у вигляді суми
кубів послідовних непарних натуральних чисел: (28=13+33; 496=13+33+53+73).

Всі парні досконалі числа є трикутними числами, тобто мажуть бути
представленими як
n( n  1)
2
; крім того, вони є шестикутними числами тобто,
можуть бути заданими у вигляді n(2n−1) для деякого натурального числа n.

Сума всіх чисел, обернених до дільників досконалого числа
(включаючи його самого), дорівнює 2.
5. Напівдосконалі числа
Напівдоскона́ле число́ – натуральне число, сума всіх або деяких дільників
якого дорівню самому числу. Список перших декількох напівдосконалих чисел:
6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40,… . Найменшим непарним напівдосконалим
числом є 945.
Зрозуміло, що всі досконалі числа є також і напівдосконалими.
12
6. Дружні числа
Два натуральних числа називають дружніми числами, сума всіх дільників
першого (за винятком самого числа) дорівнює другому числу, а сума всіх
дільників другого числа (за винятком самого числа) дорівнює першому числу.
Наприклад для 220 такими дільниками є числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44,
55 і 110 сума яких дорівнює 284, а для 284 дільниками є 1, 2, 4, 71, і 142 сума
яких дорівнює 220.
Отже, (220, 284) є парою дружніх чисел. Їх було знайдено учнями
Піфагорійської школи.
Найменшими парами дружніх чисел є (220, 284), (1184, 1210), (2620,
2924) (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416),
(63020, 76084).
В історії математики вони були обчислені в різних країнах і в різний час:
1. 220 і 284 (Піфагор, близько 500 до н. е.)
2. 1184 і 1210 (Ніколо Паганіні (тезка великого скрипаля), 1860)
3. 2620 і 2924 (Л.Ейлер, 1747)
4. 5020 і 5564 (Л.Ейлер, 1747)
5. 6232 і 6368 (Л. Ейлер, 1750)
6. 10744 і 10856 (Л.Ейлер, 1747)
7. 12285 і 14595 (Браун, 1939)
8. 17296 і 18416 (Ібн ал-Банна, близько 1300, П'єр Ферма, 1636)
9. 63020 і 76084 (Л.Ейлер, 1747)
10. 66928 і 66992 (Л. Ейлер, 1750)
11. 67095 і 71145 (Л.Ейлер, 1747)
12. 69615 і 87633 (Л.Ейлер, 1747)
13. 79750 і 88730 (Рольф (Rolf), 1964). Зараз відкрито понад 600 пар
дружніх чисел.
13
1.2. Мотивація навчальної діяльності
1. Дільники і кратні
Потрібно розв’язати задачу: Поділити порівну між кількома дітьми 24
горіхи. Скільки може бути дітей? Що необхідно знати?
2. Ознаки подільності на 10, на 5 і на 2
Сьогодні на уроці ми з вами станемо
маленькими чарівниками. Поглянувши на число,
зможемо сказати, чи ділиться воно на 2, 5, 10.
3. Ознаки подільності на 9 і на 3
Запишіть на дошці будь-яке багатоцифрове число. Наприклад: 123456789.
Чи можна не виконуючи дію ділення на 3 і 9 встановити чи буде це число
ділитися на 3 або на 9. Так. Якщо знати ознаки подільності на 3 і 9.
4. Прості і складені числа
На цьому уроці ми маємо встановити, чи мають числа назви, чому їх так
називають. І спробуємо самі зробити висновки, чому саме їх так називають.
14
5. Найбільший спільний дільник
Проблемна ситуація. Знайдіть найбільшу кількість однакових подарунків,
які можна скласти з 48 цукерок одного сорту і 36 цукерок іншого сорту.
Щоб її розв’язати, потрібно вміти знаходити найбільший спільний
дільник декількох чисел.
6. Найменше спільне кратне
Проблемна ситуація. Під час тренування на стадіоні два велосипедисти
стартували одночасно. Перший велосипедист долає повне коло за 75 с, а другий
– за 100 с. Через який час спортсмени знову зустрінуться на стадіоні?
Щоб її розв’язати, потрібно вміти знаходити найменше спільне кратне
декількох чисел.
1.3. Прикладні та творчі завдання
Завдання 1.Як називаються числа, у яких сума дільників одного з них
дорівнює другому ?
1, 5,
Дільники
1, 2, 4, 8 Дільники
18 і 48
р
1,
32 і 48
ж
Дільники
Дільники
1,3,13
15 і 50
д
Дільники
1, 2, 4, Дільники
15
2, 3, 6
24 і 32
у
25 і 17
8,16
і
36 і 39
н
1
Відповідь. Дружні.
Завдання 2. Підставити цифри замість * так, щоб отримане число
ділилось на 2. Записати всі можливі варіанти; в контрольну відповідь вписати у
певній послідовності кількість можливих варіантів для кожного числа.
2
20*
47*
*60
5*2
55*
68*
9*4
Відповідь. 5 5 9 10 5 5 10.
Завдання 3. Хрестики-нулики
1. Ряд чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... – ряд простих чисел.
2. Найменший дільник будь-якого числа – число 0.
3. Найменше просте число – 1 .
4. Найбільше просте число 997.
5. Число 7 має безліч кратних.
6. Прості числа мають по одному дільнику.
7. Ряд чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... – ряд простих чисел.
8. Парними називаються числа, що закінчуються на 1, 3, 5, 7, 9.
9. Число 467 ділиться на 2.
Відповідь.
16
Х 0 0
0 Х 0
Х 0 0
Завдання 4.Заповнити таблицю, зафарбувавши відповідні порожні
клітинки:
Числа
Діляться на :
135
243
108
531
615
414
220
1060
270
620
2
3
5
9
10
У відповідь записати отримане число.
Завдання 5. З’єднати у відповідному порядку зірки та записати назву
отриманого сузір’я.
1. НСД( 135, 30 );
5. НСД( 32, 64 );
2. НСД( 148, 32 );
6. НСД( 60, 80 );
3. НСД( 27, 126 );
7. НСД( 12, 36 ).
4. НСД( 119, 51 );
17
15
6
4
9
33
45
17
13
12
32
20
Відповідь: Ведмедиця
Завдання 6. Кросворд
1
2
3
4
5
1. Число, що дорівнює сумі своїх дільників за винятком самого себе.
2. Як називається правило, що допомагає встановити, чи ділиться задане
число на інше?
3. Як називаються 2 прості числа, різниця яких дорівнює 2
4. Числа, що мають лише 2 дільника.
5. Числа, що мають більше двох дільників.
Відповідь. Добре.
18
Завдання 7. Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із
24 троянд і 32 гвоздик, використавши усі квіти?
Розв’язання. З однакових квітів можна, наприклад, скласти 2 букети, у
кожному з яких буде 12 троянд та 16 гвоздик. Не можна скласти три букети, бо
32 гвоздики не можна розділити на 3 однакові частини. Можна скласти 4
однакові букети, бо і 24 троянди і 32 гвоздикии можна розділити на 4 однакові
частини. Очевидно, що для розв’язання задачі потрібно знайти найбільше
число, на яке можна розділити числа 24 і 32, тобто знайти найбільший спільний
дільник чисел 24 і 32. Оскільки НСД (24;32)=8, то можна скласти 8 однакових
букетів. Кожен такий букет складатиметься із 24:8=3 троянд та 32:8=4 гвоздик.
Завдання 8. Маринка запитали у Юрка «Скільки карасів ти спіймав»? Він
відповів: «Менше, ніж 100, і якби я розклав їх на купки або по 3, або по 4, або
по 7, то в кожному випадку остачі б не було ». Скільки карасів спіймав
хлопчик?
Розв’язання. Потрібно з’ясувати яке число, менше 100 одночасно ділиться
на 3, 4 і 7. По-перше, це число парне, а по-друге, сума його цифр кратна 3.
Виберемо парні числа, що діляться на 7: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98.Із цих чисел на
3 діляться : 42, 84. На 4 ділиться тільки 84. Отже, Юрко спіймав 84 карасі.
Завдання 9. Вставити необхідне число в клітинку:
Діляться на 9;
Парною цифрою;
На;
Діляться;
Нулем;
Цифрою 5;
Сума цифр яких ;
Які закінчуються;
Діляться на 3;
Натуральні числа;
19
Завдання 10. Чи ділиться число 101996 + 8 на 9? Відповідь обгрунтувати.
Розв’язання. Ділиться.101996 + 8 = 100...008 (всього 1995 нулів). Сума
цифр цього числа ділиться на 9, отже, і саме число ділиться на 9.
Завдання 11. Записавши шість різних чисел,серед яких немає 1, у
порядку зростання та перемноживши їх, учень отримав число 135135. Запишіть
числа, які перемножив учень.
Розв’язання.
135135=1001*135,
135=3*5*9,
1001=7*11*13,
135135=3*5*7*9*11*13.
Завдання 12. Задача. Петро перемножив перші 10 простих чисел і
отримав число 6469693250. – Ти помилився, – сказала Ірина.Чому?
Розв’язання. Наприклад, тому, що отримане число не ділиться на 3 або,
оскільки, ділиться на 25. Ні того, ні іншого бути не може.
Завдання 13. Щоб зберегти продукти харчування на довгий час, люди
заморожували, сушили або в’ялили їх. Технологію консервування запропонував
француз Ніколя Аппер. В якому році це відбулося, якщо відомо наступне:
число це чотирьохзначне, кратне 10; перша і третя цифри його не є простими,
не є складеними числами; друга і третя цифри утворюють число, яке кратне 9.
Розв’язання. 1810.
20
РОЗДІЛ 2 ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ
21
2.1. Історична довідка
1. Основна властивість дробів. Скорочення дробів
Дроби виникли дуже давно.
Вавилоняни користувалися всього двома цифрами. Вертикальна рисочка
означала одну одиницю, а кут між двома похилими рисочками – десять.
Свої рукописи вони писали загостреними паличками на глиняних
дощечках, які потім випалювали на вогні.
В Древньому Єгипті культура була на високому рівні. Треба було
будувати архітектурні будівлі, храми, піраміди. А це вимагало знань з
арифметики.
Вчені з папірусів дізналися, що єгиптяни 4 000 років тому користувалися
десятковою системою числення, уміли розв’язувати різноманітні задачі.
Пов’язані з мореплавством, будівництвом, торгівлею.
В Древньому Римі рахували шляхом ділення міри на 12 рівних частин.
Дванадцяту частину називали “унція”.
У Стародавньому Китаї вже користувалися десятковою системою заходів,
позначали дріб словами, використовуючи міри довжини чи: цуні, частки,
порядкові, шерстинки, найтонші, павутинки. Дріб виду 2,135436 виглядала так:
2 чи, 1 цунь, 3 частки, 5 порядкових, 4 шерстинки, 3 найтонших, 6 павутинок.
22
Так записувалися дроби протягом двох століть, а в V столітті китайський
вчений Цзю-Чун-Чжі прийняв за одиницю не чі, а чжан = 10 чи, тоді ця частина
виглядала так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 часток, 4 порядкових, 3 шерстинки, 6
найтонших, 0 павутинок.
Наші
предки
–
слов’яни користувалися
десятковою
алфавітною
нумерацією.
Над буквами та числами ставився особливий знак, – титло ~
Користувалися також такими одиницями вимірювання:
1/2- половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8- полчеть
1/12- полполтреть
1/10- десятина (1,09 га)
2. Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів
Відомо, що натуральні числа виникли в результаті практичної діяльності
людей, яким треба було лічити тварин, предмети, вимірювати довжини площі,
об’єми. Але результат вимірювання не завжди можна позначати натуральним
числом, бо внаслідок вимірювань найчастіше дістаємо частини прийнятої
площі. Так на основі потреб практики виникло поняття дробу.
В Єгипті з дробами оперували ще 4000 років тому. Про це свідчать
стародавні документи, які збереглися з тих часів. Проте загального способу для
позначення всіх дробів, як це прийнято тепер, коли чисельник записують
зверху, знаменник знизу, а між ними ставлять риску, в єгиптян не було. При
виконанні обчислень стародавні єгиптяни застосовували лише так звані
одиничні дроби – дроби з чисельником 1 і дріб . Такі дроби єгиптяни
зображали, ставлячи крапку над знаменником. Усі інші дроби вони зводили до
одиничних. Наприклад, дріб подавали у вигляді суми одиничних дробів і . Для
зведення дробів до одиничних було складено спеціальні таблиці.
23
У стародавній Греції звичайні дроби були відомі. Понад 2,5 тисячі років
тому греки вміли виконувати арифметичні дії з звичайними дробами. Вони
користувались і одиничними дробами, і дробами загального виду.
У стародавній Русі дроби називали частками, а згодом ламаними
числами. Окремі дроби мали спеціальні назви. Наприклад, треть, півтреть,
п’ятина, десятина,тощо.
Запис дробів за допомогою риски став загальноприйнятим з ХVІ ст.
Колись дії з звичайними дробами завдавали людям надзвичайних
труднощів.
Англійський чернець Беда, який був ученою людиною свого часу, писав:
“світі є багато речей, але немає нічого важчого, як чотири дії арифметики”. Тоді
ж, мабуть, і виникло німецьке прислів’я “попасти в дроби”, що означало
опинитися в скрутному становищі. А причина, звичайно, полягала в тому, що
не було встановлено правил виконання дій з дробами, не було створено
відповідної теорії.
3. Додавання і віднімання звичайних дробів з різними знаменниками
Колись дії зі звичайними дробами завдавали людям неабияких труднощів.
Ці труднощі у Вавилоні пояснювали «втручанням злих духів».
Англійський чернець Бєда (VII ст.), який був ученою людиною свого
часу, писав: «У світі є багато речей, але немає нічого важчого, як чотири дії
арифметики».
Тоді ж, мабуть, і виникло німецьке прислів’я «потрапити в дроби», що
означало опинитись у скрутному становищі. А причина полягала в тому, що не
було встановлено загальних правил виконання дій з дробами, не було створено
відповідної теорії.
Поряд із цим у VII ст. відомий вірменський учений Ананія Ширакаці (з
Ширака) умів додавати до восьми дробів з різними знаменниками.
24
2.2. Мотивація навчальної діяльності
1. Основна властивість дробів. Скорочення дробів
Різні дроби – великі та малі – зустрілися на одній сторінці задачника і
засперечалися: хто з них більший. Особливо пишалися дроби, в яких були
великі чисельники та знаменники. Так, дріб
120
кричав своєму сусідові дробові
180
2
, щоб той відсунувся далі, бо з таким «дрібним» числом йому навіть стояти
3
поруч незручно... І тоді між ними став Знак Рівності – найсправедливіший знак
у математиці. Ось що вийшло:
120 2
 .
180 3
Виходить, марно так вихвалявся дріб
120
величиною своїх чисельника і
180
знаменника.
А Знак Рівності знай своє робить: відшукує рівні між собою пари дробів і
стає між ними. І так усі пари дробів вишикував у колону, поставивши в перший
ряд найменших, потім – більших і т. д.
Такий маленький Знак Рівності, а за його командою швидко було наведено лад між дробами. А все тому, що він добре знав основну властивість
дробу.
— А чи знаєте ви цю властивість? Нумо ж, перевірмо. Вишикуйте парами рівні дроби:
12 4 27 36 32 4 7 21 7 28
; ;
;
;
; ; ;
; ;
.
15 5 45 60 72 9 8 24 9 36
Натуральні числа виникли в результаті практичної діяльності людей,
яким необхідно було знати, скільки тварин в стаді, предметів для обміну чи
продажу; вимірювати і обчислювати довжини, площі, об’єми. Результати
вимірювань не завжди були натуральним числом, іноді в процесі вимірювання
отримували частину від цілого числа. Виникла необхідність в дробових числах.
Кожний звичайний дріб можна розглядати як частку від ділення його
чисельника на знаменник. Дійсно,
7 : 10  0,7 
частка
7
10
дріб
25
Тому, очевидно, існує і основна властивість дробу, бо ділене можна
розглядати як чисельник дробу, дільник – як знаменник дробу.
2. Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів
Застосовуючи комп’ютерну техніку в практичній діяльності людини,
створено спеціальне прикладне програмне забезпечення. Це програми, які
допомагають людині обробляти числову інформацію, навчальні програми,
ігрові програми і т. д.
Комп’ютер впорядковує числа за зростанням, спаданням, сортує їх за
певними умовами і т. д. Комп’ютер не обробляє числову інформацію, яка
виражається звичайними дробами. Чому? Бо вони не мають широкого
застосування в житті. Звичайні дроби можна записати десятковими, і таку
інформацію комп’ютер обробить. А людина повинна знати, що таке розмістити
числа в порядку зростання, спадання, оволодівати багатьма навичками, щоб
складати програми для комп’ютерів, використовувати їх для полегшення
виконання розрахунків. І тому, сьогодні, ми навчимось швидко впорядковувати
числа на основі операції порівняння.
3. Додавання і віднімання звичайних дробів з різними знаменниками
Тракторист зорав до обіду половину поля, а після обіду ще його четверту
частину. Яку частину поля зорав тракторист за день?
Ця задача демонструється набором “Дроби” і приходимо до дії:
тепер частинку
1
2
1
4
1 1
 ,
2 4
1
1 1
3
замінимо  і знайдемо суму .
4 4
2
4
Частина учнів зразу догадалися, що ці дроби доцільно
звести до спільного знаменника. Отже, додавання
звичайних дробів з різними знаменниками виникло з
практичної діяльності людини. Зауважимо, що дробові
числа в Єгипті відомі ще 4000 років тому, і записували їх
одиничними дробами (чисельник таких дробів 1) або сумами одиничних дробів.
Так, на папірусі Ахмеса (ХVІ століття до н. е.) була така задача: “Треба порівну
26
розділити 7 хлібин між 8 людьми” (ця задача на стор. 113 “Історичні
відомості”). Розв’язуючи задачу, ми записали б
1
2
1
4
іншу відповідь: “  
7
хлібини, а в папірусі дано
8
1
1 1 1 7
хлібини”. Переконайтесь, що    .
8
2 4 8 8
На галявині ростуть чарівні квіти,
Кожна квітка загадку ховає.
І той учень її відгадає,
Хто дії додавання і віднімання з звичайними дробами знає.
2.3. Прикладні та творчі завдання
1. Основна властивість дробів. Скорочення дробів
Завдання 1. Зібралися три пірати – Біллі Бонс, Кульгавий Джо і капітан
Флінт – і стали сперечатися хто з них може більше рому випити.
-Я можу випити
5
великої бочки! – кричав Біллі Бонс
7
-А я можу випити
15
великої бочки! – не відставав від нього Кульгавий
21
Джо.
- І все ж таки я випиваю білше вас –
35
великої бочки! – заявив капітан
49
Флін.
Хто з них може випити більше рому?
Завдання 2. Від дома до харчевні «Три рибки» пірат Біллі Бонс іде
години, а назад –
3
5
6
години . Менше чи більше витрачає часу Біллі Бонс,
10
повертаючись з харчевні.
Завдання 3. З чисел 7, 14, 21, 36 вибрати два числа так, щоб дріб
складений із них був нескоротним.
Завдання 4. Марійка Кмітливенька скоротила дріб знайменником якого
було двоцифрове число, та отримала
15
. Який дріб скорочувала Марійка?
43
27
8
9
Завдання 5. Петрик Пят’очкін записав дріб , помножив чисельник і
займенник на 5, потім чисельник і займенник отриманого дробу помножив на 7
і замислився: чомуж ж дорівнює різниця отриманого та початкового дробів?
Допоможи йому це підрахувати.
Завдання 6. Заміни зірочки цифрами так, щоб отримати нескоротні дроби
(можливі варіанти) а)

;
12
б)
18
;

в)

;
24
г)
60
;

д)

;
144
е)
36
.

Завдання 7. Заміни зірочки цифрами так, щоб отримати правильні
рівності: а)
19

36 18
 1
54 18

; б)


; в)  ; г)
;
34 102
54 
28 4
72 
д)
12

128 8


; е)
144 12

9
Завдання 8. На полі розміром 10  10 клітинок для гри у «морський бій»
поставили корабель прямокутної форми розміром 1  3 клітинки. Чи можна
зробивши 33 постріли, гарантовано у нього влучити?
Завдання 9. Із старовинної книги випала частина сторінок, які йдуть
поспіль. Перша сторінка, що випала, має номер 251, а номер останньої записано
тими самими цифрами в іншому порядку. Який номер останньої сторінки, що
випала
Завдання 10. Державним прапором України є прямокутне полотнище,
яке складається з двох рівних за шириною горизонтально розташованих смуг:
верхньої – синього кольору, нижньої – жовтого кольору, із співвідношенням
ширини
прапора
до
його
довжини
2:3.
Яким
дробом
виражається
співвідношення ширини прапора до його довжини? Чи може прапор мати
ширину 6 метрів, а довжину 9 метрів? А ширину 18 метрів та довжину 24
метри?
Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів
Завдання 1. «Закінчи візерунок».
В порожніх кружках поставити знаки « = », « < », « >».
28
8
45
1
2
41
8
41
8
13
41
8
40
41
Завдання 2. Ведмідь сперечається з вовком: у кого важчій мішок.
Ведмідь каже, що у нього мішок заповнений на
1
1
, а у вовка на , і так як 4>3,
4
3
то у нього мішок важчій. Допоможіть їм розв’язати цю проблему.
Завдання 3. Петрик помножив знаменник і чисельник деякого дробу на 5,
а Марійка додала 5 до чисельника і знаменника такого ж дробу. Хто з них
отримав більший результат? Доведи це.
Завдання 4. Перший зайчик проїхав
2
9
км всього шляху, а другий –
5
9
км. Хто із зайців проїхав більшу відстань.
Завдання
Обчислити
5.
і
дізнатися,
як
називають
учасників
математичного значення, якщо розмістити дроби в порядку зростання і
кожному з них присвоїти букву:
1–
3
4
8
9
7
8
10
11
5
6
6
7
4
5
9
10
2
3
29
1
6
1
9
р
1
11
1
3
н
к
а
т
1
4
1
7
я
у
е
1
5
г
1
8
1
10
Завдання 6. З чашки з молоком одну ложку молока переливають у чашку
з кавою і ретельно розмішують. Після того одну ложку суміші переливають у
чашку з молоком. Чого тепер більше: кави в чашці з молоком чи молока в
чашці з кавою?
Завдання 7. Звести дроби до спільного знаменника:
а)
1
1
і
;
2 235 2 237
г)
б)
m
n
і
;
a  b  b  b  c a  (a  1)  b  c
1
1
і
; ;
2 a 35 33b
д)
в)
2
3
і
;
a a bc a bbc
a
b
і
.
24  (a  1)  b  5 25  a  36  (b  1)
Завдання 8. Старенька Сова задумала полетіти до своєї доньки –
Совички. Вона пролетіла
пролетіти ще
2
частини шляху без відпочинку. Їй залишилось
7
5
. Допоможіть старенькій з’ясувати: вона пролетіла більшу чи
7
меншу частину шляху?
Завдання 9. Петрик П’яточкин зводив дроби до спільного знаменника, а
потім замінив деякі числа зірочками. Заміни зірочки числами так, щоб зведення
було виконано правильно:
а)
г)
5  * 32
 ; 
;
12 * 15 *
7 35 *
24

, 
;
*  15 120
б)
* 14 7 21

, 
;
18 36 * 36
в)
15 * * 63
 , 
;
* 14 10
*
д)
17  11 99
 , 
;
18 * * 180
е) 
*
8
18 5 
,  .
* 18 
30
Завдання 10. Лисичка задумала обгородити город, що має прямокутну
форму.
2
1
частини городу вона вже обгородила, залишилось їй ще . Лисичка
3
3
просить з’ясувати, яку частину огорожі їй потрібно обгородити: більшу чи
меншу?
Додавання і віднімання звичайних дробів з різними знаменниками
Завдання 1. Петрик розбив чашку. Він почав підбирати скалки з надією
знов склеїти з них чашку.
2
розбитої чашки він витягнув з-під столу, на чверть
7
більшу скалочку він знайшов підстільцем, біля дверей валявся шматок, на
3
14
менший за той, що був під столом. Не вистачало ще одного кусочка – хитрий
пацюк встиг утягнути його до своєї нории. Яку частину чашки утягнук пацюк?
Завдання 2. Заміни зірочки знаками «+» або «-» так, щоб отримати
правильні рівності:
а)
1 1
1
 
;
12 15 60
1 1
3 6
б)
1
2
в)   ;
г)
1 1
1
 
6 15 10
1 1 1 2
  
12 3 4 3
Завдання 3. Заповни порожні клітинки числами так, щоб отримати
павильні рівності:
а)

2
15
7
9

1
2
+

3
8
-
23
45
2
15
б)

1
2
19
24
+0,6
0.15
31
Завдання 4. У порожні клітинки впиши деякі дроби щоб сума чисел по
горизонталі, вертикалі та головних діагоналях дорівнювала
1
:
3
1
30
1
12
1
15
Завдання 5. Знайдіть закономірність і заповніть порожні кружечки
потрібними числами.
?
?
7
12
1
3
1
4
5
18
1
4
8
9
?
1
24
1
4
?
Завдання 6. Закопавши скарби на острові Тортуга ,пірати відмітили це
місце на карті, а карту розірвали на нерівні шматки і поділили їх між собою.
Через деякий час Біллі Бонс і капітан Флінт, сидячи в трактирі, стали
домовлятися:
32
1
4
-Ти , Біллі Бонс, віддай свою карти, я дам свою третину карти, у Сліпого
П’ю заберемо його частину, та ще Кульгавий дасть нам свою чверть карти-і
карта буде ціла, можемо викопувати скарб.
Яка частина карти знаходиться у Сліпого П’ю?
Завдання 7. До
1
додали ще один дріб, і результат став у два рази
2
більший за перший доданок. Який результат отримали?
Завдання 8 Заповни порожні клітинки числами так, щоб додавання було
виконано правильно:
1
11
20
2
15
+
+
+
Завдання 9. Мавпочка, Слоненя, Удав і Папуга святкували день
народження Мавпочки. Вона спекла смачний торт і пригостила друзів. Слоненя
з’їло
5
1
1
тортика, Мавпочка-- на менше, ніж Слоненя, Удав – на
більше ніж
18
12
24
Мавпочка. Все інше доїв папуга? Хто з них з’їв більше за всіх?
Завдання 10. Використавши кожну з цифр 1, 2,3, 4 по 1 разу, Петрик
Пяточкін зміг скласти такі дроби, що їх сума дорівнювала
11
. А ти зможеш це
12
зробити?
Кросворд
1) Число записане під рискою дробу.
2) Одна з дій першого ступеня.
3)
Числа
зображені
горизонтальною рискою.
двома
натуральними
числами
відокремлені
33
4) Число записане над рискою дробу.
5) Дріб, у якого чисельник менший від знаменника.
6) Знаменник, до якого зводять дроби з різними знаменниками.
7) Ділення чисельника та знаменника на їх спільний дільник.
8) Дробову риску можна розуміти як знак …
9) У виділеному стовпчику усі разом прочитали слово «Звичайні».
7)
С
К
1)
З
Н
А
М
Е
А
Н
Н
Я
Н
Н
И
К
И
К
2)
Д
О
Д
А
В
3)
Д
Р
О
Б
И
4)
Ч
И
С
Е
Л
Ь
Н
О
Р
5)
П
Р
А
В
И
Л
Ь
Н
І
6)
Н
А
Й
М
Е
Н
Ш
И
Й
О
Ч
Е
Н
Н
Я
8)
Д
І
Л
Е
Н
Н
Я
В огорожі круглих дужок
Сперечались дроби дуже.
Що ж у дужках круглих сталося?
Додавання не вдавалось!
10/3 дріб порядний
Створити суму був би радий,
Але впертий 3/10
Не бажав з ним додаватись
І викрикнув він гнівно:
«Ти як дріб мені не рівня !
Ти поглянь на моє личко:
мій чисельник – невеличкий,
а знаменник зовсім інший,
за чисельник значно більший.
Я такий дріб, як і треба.
А тепер поглянь на себе.
10/3, твій чисельник
34
Чомусь більший за знаменник,
Тому ти карикатурний,
Нестандартний, не фігурний,
Мабуть, ти як дріб не вдався,
Бо неправильно складався».
Не бажає 3/10
З10/3 суму мати!
Через сварку числу 30
Довелося зупиниться,
Біля дужок число стало,
І, подумавши, сказало:
«Я на суму їх помножусь,
І це всім їм допоможе».
30 діло своє знало Дробів два ліквідувало.
Дробів зовсім не лишилося,
Й сварка зразу ж зупинилася.
Хоч ця байка і звичайна,
Є у ній мораль повчальна:
Хто закон шанує всюди,
Ліквідований не буде!
35
РОЗДІЛ 3 МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ
36
3.1. Історична довідка
Результати вимірювання довжин, площ, об’ємів, мас, часу та інших
величин не завжди можна виразити натуральними числами, адже слід
враховувати і частини міри. Так історично виникли дроби. Перший дріб, який
люди почали використовувати, – половина. Потім виникли дроби тощо, які
називали одиничними. У цих дробах чисельник – завжди одиниця. У
Стародавньому Єгипті архітектура досягла високого рівня, і щоб будувати
грандіозні піраміди і храми, щоб обчислювати довжини, площі та об’єми фігур,
необхідно було знати не лише натуральні, але й дробові числа, вміти
виконувати дії над ними. Давні єгиптяни виражали дріб у вигляді суми
основних дробів. Значно пізніше в Греції, потім в Індії та інших країнах почали
використовувати дроби загального виду, у яких чисельник і знаменник –
довільні натуральні числа. Їх назвали звичайними. Без дробів не може існувати
жодна сфера людської діяльності, тому важко переоцінити необхідність та
важливість розуміння дробів і вміння виконувати дії над ними.
3.2. Мотивація навчальної діяльності
Якщо пісню заспівати,
Треба ноти рахувати.
Якщо нота біла,
То нота ціла
Поділимо ноту цілу
На половинки білі.
У кожній ноті половині
По дві чорні четвертини.
У кожній четвертинці
Точно дві восьмушки –
По дві чорнушки.
Палички і точки
На паличках крючечки.
Учитель. Бачите без дробів і пісні не заспіваєш.
37
Ви вмієте додавати і віднімати звичайні дроби, а на
сьогоднішньому уроці ви навчитесь виконувати множення звичайних
дробів.
Казковий лабіринт
Слово «лабіринт» грецького походження. У Стародавній Греції
цим словом називали палац із багатьма кімнатами і складним їх
сполученням, внаслідок чого було важко знайти вихід з нього.
Два казкових герої – Зайчик і Песик – заблукали у лісі. Сильно
втомившись, вони побачили хатинку на курячих ніжках. Наші герої
зраділи і постукали у двері. Двері відчинила старенька бабуся. Вона
пообіцяла допомогти їм, якщо вони знайдуть вихід із лабіринту.
На дошці вивішуються таблиці 3 і 4. Учні мають скласти вирази,
значення яких дорівнює: а) 1 і б) 5.
Таблиця 3
38
Таблиця 4
Відповіді:
а)
1 1
1
1
 1    2   1
2 2
2
2
б)
5
1 
  1  4   4  5
4
4 
або
або
1 2 5 3 5
     1
5 5 3 5 3
5 5
5
2
 1    2   5.
7 2
2
7
Діти, ви молодці! Допомогли казковим героям вийти з
лабіринту, адже самі вони з цим не впоралися б. Живіть і далі в країні
милосердя і добра!
3.3. Прикладні та творчі завдання
1 4
1 3
1 2
Завдання 1. Доведіть,що якщо  = (1 ) ∙ (1 ) ∙ (1 ) ,то х задовольняє
2
3
4
нерівність 18<x<19.
Завдання 2. Від стрічки спочатку відрізали
4
5
її довжини, а потім
7
12
решти. Скільки відсотків від початкової довжини становить частина стрічки,
що залишилась?
Завдання 3. Які чотири сірники треба забрати, щоб залишилося п'ять
квадратів?
39
1
Завдання 4. Порівняйте числа x і y, якщо x: =1 і х<1.

Завдання 5. Обчисліть
1
2016
+
1
2016
∙
1
2015
+
1
2015
∙
1
2014
+
1
2014
Завдання 6. Червоне світло світлофора горить протягом
∙
3
4
1
2013
+
2012
2013
.
x в, а зелене –
вдвічі менше. Скільки часу горить зелене світло?
Завдання 7. Як, не використовуючи вимірювальних інструментів, від
2
1
3
2
шнура довжиною 1 м відрізати м?
Завдання 8. Якщо киця впродовж дня тільки лежить, то за день вона
випиває 60 мл молока. Якщо ж вона ловить мишей, то п'є молока на третину
більше. Скільки молока випиває киця за день, якщо вона ловить мишей.
Відповідь: 80 мл.
Завдання 9. Восьма частина відстані від Марічки до Світлани дорівнює
100 м. Яка відстань між подругами?
Відповідь: 800м.
Завдання 10. Василько упіймав декілька рибин. Якщо б він упіймав
втричі більше, то мав би ще 12 рибин. Скільки рибин упіймав Василько?
Відповідь: 6 рибин.
Завдання 11. Знайти число, третина п'ятої частини цього числа менша від
третьої частини цього числа на 60.
Відповідь: 225.
Завдання 12. Після 24 вмивань мило зменшилося на половину у висоту,
на третину в довжину і на четвертину в ширину. На скільки вмивань ще
вистачить мила?
Відповідь: 8 вмивань
Завдання 13. Вага молока на
4
5
m більша, ніж
4
5
цього молока. Яка вага
молока?
Відповідь: 4 кг.
Завдання 14. Площа всього прямокутника дорівнює 1. Знайдіть площу
затемненої частини.
Відповідь:
1
16
.
40
Завдання 15. Комп'ютерний вірус знищує об'єм диска. Протягом першого
дня вірус знищив половину цього об'єму, протягом другого –
Протягом третього дня вірус знищив
1
4
1
3
решти об'єму.
об'єму диска,що залишився, на
1
четвертий день – решти об'єму. Яка частина початкового об'єму залишилася?
5
1
Відповідь: .
5
Завдання 16. У магазині є іграшкові кенгуру сірого та рудого кольору.
Співвідношення кількості сірого кенгуру до кількості рудих спочатку
3
становила . Зі складу привезли ще 18 іграшкових кенгуру тих самих кольорів.
5
Яким може стати співвідношення кількості сірих кенгуру до рудих?
7
Відповідь: .
5
5
Завдання 17. Іра і Оля пішли по гриби. Вони знайшли 70 грибів. грибів,
9
які знайшла Іра,є лисички, а
2
17
грибів, які знайшла Оля,є маслята. Скільки
грибів знайшла Іра?
Відповідь:36 .
Завдання 18. Скільки годин є
в половині від третини від четвертої
частини доби?
Відповідь:1.
Завдання 19. Знайдіть половину однієї сотої. Відповідь:
5
=
1
1000 200
.
41
РОЗДІЛ 4 ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ
42
4.1. Історична довідка
Відношення. Основна властивість відношення. Масштаб
Першими відношення та пропорції вивчали давньогрецькі філософи. У
VII ст. до н. е. тобто 2500 років тому. У Греції існувала велика філософськоматематична школа, послідовники якої називали себе піфагорійцями. Усе що
робилося в цій школі, ховалося за завісою таємниці та містики. Отримані
результати піфагорійці приписували одній і тій самій особі – своєму
божественному вчителю – Піфагору. Хоч не відомо остаточно. Де жив Піфагор,
проте відома досить детальна та цікава його біографія.
Кажуть, що Піфагор народився у 520 році до н. е. на о. Самосі, тому його
називають Самоським. щоб не сплутати з іншим Піфагором – Регійським. Який
також народився на о.Самос, але жив і працював скульптором в м. Регії.
Не всі послідовники Піфагора мали право бачити свого божественного
вчителя. Тому кімната для різних учнів поділялась на дві частини полотняною
перегородкою: в одній знаходився Піфагор і його учні. в іншій сиділи ті, хто
мав право лише слухати вчителя.
Найулюбленішою галуззю математики у піфагорійців була теорія чисел.
Вони вважали, що все на світі підпорядковується тим самим законам, що й
відношення цілих чисел. Вони виявили, що струни, відношення довжин яких
при однаковому натязі дорівнюють відношенням 2:3. 3:4 і т. д., утворюють при
одночасному звучанні акорд, тобто «злиття звуків». Такі ж самі акорди ніби
утворюються під час руху Землі, Сонця, Місяця.
Пропорція. Основна властивість пропорції. Пряма і обернена
пропорційність
За допомогою пропорцій розв’язували різні задачі ще в стародавні часи.
Повну теорію пропорцій було створено в Стародавній Греції в IV ст. до н.е. в
основному працями видатних давньогрецьких учених Евдокса Кнідського і
Теетета. Цю теорію докладно виклав Евклід у «Началах». Там доведено і
основну властивість пропорції (ІІІ ст. до н.е.). Учення про відношення і
43
пропорції стародавні
греки
називали
музикою, яку вважали
галуззю
математики.
Відсоткові розрахунки
Слово «відсоток» походить від латинського pro centum, що буквально
означає «за сотню» або «зі ста». Відсотками дуже зручно користуватися на
практиці, так як вони виражають цілі частини чисел в одних і тих же сотих
частках. Знак «%» походить, як вважають, від італійського слова cento (сто), яке
в процентних розрахунках часто писалося скорочено cto. Існує й інша версія
виникнення цього знака. Передбачається, що цей знак стався в результаті
безглуздої помилки, вчиненої складачем. У 1685 році в Парижі була
опублікована книга – керівництво по комерційній арифметиці, де помилково
складач замість cto ввів %.
Вперше опублікував таблиці для розрахунку відсотків в 1584 році Симон
Стевін – інженер з міста Брюгге
Відсотки застосовувалися тільки в торгових і грошових угодах. Потім
область їх застосування розширилася, відсотки зустрічаються в господарських і
фінансових розрахунках, статистиці, науці і техніці. Нині відсоток – це
приватний вид десяткових дробів, сота частка цілого (прийнятого за одиницю)
4.2. Мотивація навчальної діяльності
Відношення. Основна властивість відношення. Масштаб
Працюючи з мапою на уроках географії, вам доводилося бачити запис на
зразок М 1:10000. Що означає цей запис? Розв’язуючи задачі на ділення. Часто
доводиться шукати відповіді на запитання, у скільки разів одне з чисел більше
від іншого або яку частину одного з чисел становить інше. Відповідь є
результатом ділення двох чисел – часткою двох чисел. Але є ще одна назва
результату ділення – відношення.
44
Пропорція. Основна властивість пропорції. Пряма і обернена
пропорційність
Створити проблемну ситуацію – запропонувати розв’язати таку задачу.
Мама сплатила 39 грн. за 1,5 кг борошна, а бабуся – 52 грн. за 2 кг. Чи за
однакову ціну куплено борошно? Щоб дізнатися, скільки коштує 1 кг борошна,
потрібно знайти два відношення –
і
. В обох випадках 1 кг борошна
коштуватиме 26 грн. Отже, можна записати:
. Ми отримали рівність
двох відношень.
Відсоткові розрахунки
Із задачами на відсоткові розрахунки ми зустрічаємось в повсякденному
житті. Наведемо приклади: підвищення або зниження цін на товари; об’яви
комерційних банків, що залучають кошти населення на різних умовах;
відсоткові ставки по кредитам; відомості про доходи по акціям підприємств та
фондів; рівень інфляції; вологість повітря; концентрація речовини в суміші
(розчині, сплаві); кількість випаруваної речовини.
4.3. Прикладні та творчі завдання
Відношення. Основна властивість відношення. Масштаб
Завдання 1. Вовк і заєць били пенальки один одному. Заєць бив з відстані
5,5 м, а Вовк з 11 м. Відношення забитих м’ячів було 2:1, на користь Зайця. «Ну
постривай Заєць!» – вирішив Вовк. «Я теж буду бити з відстані 5,5 м!»
Відношення забитих м’ячів стало рівним 3:1 на користь Вовка. Хто виграв за
двома серіями пенальті, якщо в першій було забито 15 голів, а в другій – 20.
Яке загальне відношення м’ячів?
Завдання 2. Скільки відсотків становить частина, відрізана від мотузки
15 м, якщо відношення відрізаної частини до тієї, що залишилася, рівна 2:3?
Завдання 3. Одна транспортна бригада при перевезені 800 т вантажу з
економила 600кг бензину. А інша при перевезені 1150 т вантажу на ту ж саму
45
відстань з економила 897 кг бензину. Яка з бригад одержала більшу економію
бензину при перевезені 1 т вантажу і в якому розмірі?
Завдання 4. 6 піратів можуть випити бочку рому за 9 днів. За скільки
днів вип’ють цю бочку рому 27 піратів?
Завдання 5. Капітан Флінт вирішив одягнути свій екіпаж в однакову
форму. Він підрахував, що для того щоб пошити форму для 24 піратів, потрібно
2
54 м тканини. Але потім він вирішив збільшити свій екіпаж на 3 . Скільки
метрів тканини йому тепер потрібно?
Завдання 6. Маса 1 л соку «Сандора», який виготовляють у
Миколаївській області дорівнює 0,8 кг. Знайдіть масу 2 л, 3 л, 4 л, 5 л, 6 л соку.
Пропорція. Основна властивість пропорції. Пряма і обернена
пропорційність
Завдання 1. Наташа зателефонувала до Вікторії рівно о 14 годині і
проговорила з нею на кухні цілу годину. А коли закінчила розмову і зайшла до
кімнати мама зробила дівчині зауваження про те, що розмовляючи по телефону
на кухні, дочка не виключила світло і телевізора в кімнаті. Наталка образилася і
сказала: «Нічого ж поганого не сталося?». Обчисліть, скільки коштів витратить
даремно родина, якщо щодня забуватиме на 1 годину вимикати люстру з 4
лампочками на 100 Вт і телевізор на 150 Вт за місяць і за рік?
Завдання 2. 8 солодунчиків за 12 днів зїдають 360 кг солодощів. Скільки
солодощів зїдять 36 солодунчиків за 5 днів?
Завдання 3. Роки батька відносяться до років сина як 8:3. Скільки років
синові, якщо батькові 48років?
Завдання 4. 5 тракторів можуть зорати поле за 30 год. Скільки тракторів
зможуть зорати це поле за 75 год?
Завдання 5. У 6 т мідної руди міститься 75 кг чистої міді. Скільки міді
міститься у 27 т такої руди?
Завдання 6. В спекотний день 6 косарів випивають діжку квасу за 8 год.
Треба взнати, скільки косарів за 3 год вип’ють таку ж діжечку квасу.
46
Завдання 7. Швидкість теплохода відноситься до швидкості течії, як
41:5. За течією теплохід рухається 7 год 12 хв. Скільки часу потрібно
теплоходові, щоб повернутися назад?
Завдання 8. Щоб зварити 4 порції пшоняної каші, потрібно взяти 220 г
пшона, 1 л молока і 30 г цукру. Скільки потрібно цих продуктів, щоб зварити 14
порцій каші?
Відсоткові розрахунки
Завдання 1. Банк дав підприємцеві кредит 20 000 грн. на 9 місяців зі
ставкою 8% річних. Яку суму підприємець повинен повернути через 9 місяців?
Завдання 2. Ціну на товар, що коштував 150 грн., спочатку збільшили на
20%, а потім нову ціну зменшили на 20%. Знайдіть ціну товару після двох
переоцінок.
Завдання 3. З 1,6 га землі, що становить 8% площі всього поля, зібрали
48 ц пшениці. Скільки центнерів пшениці зібрали з поля, якщо врожайність на
усьому полі однакова?
Завдання 4. Периметр трикутника дорівнює 36 см. Довжина першої
сторони становить 25% периметра і 75% довжини другої сторони. Знайдіть
довжину кожної сторони трикутника.
Завдання 5. Фермер засіяв соняшником 1,8 га поля, що на 20% більше,
ніж торік. Яку площу фермер засівав соняшником торік?
Завдання 6. Відстань між будинками Вінні-Пуха та П’ятачка становить 2
км. Одного дня Вінні-Пух пішов відвідати П'ятачка і витратив на дорогу 25хв, а
наступного дня П'ятачок пішов відвідати Вінні-Пуха і витратив на дорогу 20 хв.
Чия швидкість з них більша і на скільки відсотків?
Завдання 7. Ціну на товар знизили на 20%. На скільки відсотків потрібно
підвищити нову ціну, щоб отримати початкову?
47
РОЗДІЛ 5 КОЛО І КРУГ
48
5.1. Історична довідка
1. Число π
Позначення грецькою буквою π для відношення довжини кола до
діаметра ввів визначний математик Леонард Ейлер у 1737 році, π – перша буква
грецького слова «периферія», що означає коло. До Ейлера в математичних
науках це відношення не позначали ніяк або позначали щоразу по-різному. Ще
вавилоняни (близько 2000 р. до н.е.) встановили, що радіус шість разів
уміщується в колі, як хорда; звідки було зроблено припущення, що довжина
кола дорівнює 6r або 3d. Архімед одним з перших визначив числове значення
22
цього відношення   . Були праці й інших відомих математиків, присвячені
 7 
цьому питанню. У 1597 р. бельгієць А. Ван Ромен (1561 – 1615), працюючи над
проблемами геометрії і тригонометрії, визначив число π з 17 десятковими
знаками після коми. На той час це була найвища точність для Європи.
Рекорд до комп’ютерної ери обчислення числа π – 707 знаків установив
англійський математик Вільям Шенкс. У 1937 р. їх помістили на купол галереї
паризького Палацу Відкриттів. Проте пізніше комп’ютерна перевірка показала,
що в 518-му знаку Шенкс припустився помилки, і останні 180 знаків його
обчислення неправильні.
У 1949 р. американський математик Дон фон Непман обчислив на одній з
перших обчислювальних машин 2037 знаків числа π. Пізніше в 1958р. було
обчислено 10000 знаків числа π, у 1961 р. – 100000, у 1973 р. – один мільйон.
49
Сучасні комп’ютери дають можливість обчислювати значення π з будь-якою
точністю десяткових знаків.
Те, що відношення довжини кола до його діаметра є величиною сталою,
було видатним відкриттям. Ще в давнину люди широко використовували це
число під час побудови пірамід і зрошувальних систем, нарахуванні податків
тощо. У Вавилоні за це відношення брали число 3. Така неточність призводила
до похибок у будівництві. Вважається, що Вавилонська вежа впала тому, що
люди розгнівали Всевишнього. А можливо, це відбулося через число π –
розрахунки були неточними?
Римський архітектор Витривій (І ст. до н.е.) використовував грубе
наближення числа π, що призвело до прорахунків у будівництві відомого
Римського театру.
І у наш час деякі ультрамодні конструкції не витримують випробувань на
міцність через «витівки» числа π. Наприклад, московський «Аквапарк»
зруйнувався, можливо, саме з цієї причини.
Для того щоб запам’ятати значення числа π, вигадували багато «правил».
Ось одне з них: «Три я взяв у кошик». У цій фразі номер слова є номером
цифри числа, а кількість літер у слові відповідає цифрі, яка стоїть у
відповідному розряді.
Наведемо ще одне правило (початок ХХ ст.): «Кто и шутя и скоро
пожелаетъ пи узнать, число уже знаетъ». Воно «працює» за принципом
попереднього. Причому треба зберігати стару орфографію, враховувати і
твердий знак наприкінці слова.
Спробуйте вигадати своє «правило».
Рекорд запам’ятовування числа π встановив у 2004 р. український лікар зі
Львова Андрій Слюсарчук. Він за 10 днів завчив 500000 знаків числа π. До того
«рекордсменом числа π» був японець, який завчив 42000 знаків за 10 років.
Чи знаєте ви, третього місяця чотирнадцятого дня кожного року
святкується Всесвітній день числа π – фанати легендарного числа збираються в
Інтернеті? Будь-хто із землян може взяти участь у глобальному проекті «Рі
Нех». І це не просто розваги комп’ютерних гурманів, а серйозний науковий
50
проект. Так, у 2000 р. наукова команда планети Земля обчислювала окремі
знаки у двійковій системі запису числа π.
Це досить оригінальне свято відзначають з 1988 року. Придумали свято
співробітники науково-популярного музею Експлораторіум, який знаходиться в
Сан-Франциско. Міжнародний день числа π також збігається з днем
народження видатного вченого Альберта Ейнштейна.
Святкування Міжнародного дня числа π проводиться досить весело,
незважаючи на те, що головними винуватцями урочистостей є серйозні
математики. У багатьох країнах на честь цього свята навіть організовують
кулінарні поєдинки.
2. Винайдення колеса і візка
Одним з найбільших відкриттів в історії людства був винахід колеса.
Вважається, що його прообразом, можливо, стали ковзанки, що підкладалися
під важкі стовбури дерев, човни і камені при їхньому перетягуванні з місця на
місце. Можливо, тоді ж були зроблені перші спостереження над властивостями
обертових тіл. Наприклад, якщо колода-ковзанка з якоїсь причини в центрі була
тоншою, ніж по краях, вона пересувалася під вантажем більш рівномірно і
вантаж не заносило убік. Помітивши це, люди стали навмисне обпалювати
ковзанки таким чином, що середня частина ставала тоншою, а бічні залишалися
незмінними.
У ході подальших удосконалень у цьому напрямку від цільної колоди
залишилися тільки два валики на його кінцях, а між ними з'явилася вісь.
Пізніше вали (колеса) стали виготовляти окремо, а потім жорстко скріплювати
між собою. Так було відкрите колесо та з'явився перший візок.
У наступні століття безліч поколінь майстрів потрудилися над
удосконаленням
цього
винаходу.
Спочатку
суцільні
колеса
жорстко
скріплювалися з віссю й оберталися разом з нею.
При пересуванні по рівній дорозі такі візки були цілком придатні для
використання. На повороті, коли колеса повинні обертатися з різною
швидкістю, це з'єднання створювало великі незручності, візок міг легко
51
зламатися або перевернутися. Самі колеса були ще дуже недосконалі. Їх робили
з цільного шматка дерева. Тому візки були важкими і неповороткими.
Пересувалися вони повільно, і звичайно в них запрягали неквапливих, але
могутніх волів. Один з найдавніших візків описуваної конструкції знайдено при
розкопках у Мохенджо-Даро (близько 4,5 тис. років тому).
Великим кроком вперед у розвитку техніки пересування став винахід
колеса зі ступицею, насаженою на нерухому вісь. У цьому випадку колеса
оберталися незалежно. А щоб колесо менше терлося об вісь, її стали змазувати
жиром або дьогтем. Заради зменшення ваги колеса в ньому випилювали вирізи,
а для твердості зміцнювали поперечинами. Після відкриття металів стали
виготовляти колеса з металевим ободом і спицями. Таке колесо могло
обертатися в десятки разів швидше і не боялося ударів об камені. Запрягаючи у
візок швидконогих коней, людина значно збільшила швидкість свого
пересування.
Мабуть, важко знайти інше відкриття, що дало б такий могутній поштовх
розвиткові техніки. Візок, гончарний круг, млин, водяне колесо. Кожне з цих
винаходів склало епоху в житті людства. Їхній сукупний вплив на життя людей
був таким великим, що без усякого перебільшення можна сказати колесо
зрушило історію з “мертвої точки”.
3. Циркова арена
У більшості цирків світу діаметр арени дорівнює 13 м (42 англійських
футів). Так повелося з 1769 року. Тоді відставний британський драгунський
офіцер Філіп Естлі організував перший у світі цирк, який виступав не під
шатром, а в будівлі круглої форми. Естлі був власником вищої школи верхової
їзди, тому більшу частину його циркової трупи становили наїзники. Будівлю
цирку проектували так, щоб їм було зручно працювати. Сам досвідчений
кавалерист, Естлі розрахував, що на арені діаметром 42 фути коню доведеться
бігти, нахиляючись до центра арени. Відцентрова сила, що виникає при цьому,
притискає наїзника, який стоїть на спині коня, ногами до сідла. Колом більшого
52
діаметра кінь біг би пряміше і наїзникові було б складніше утриматися на
ньому. А колом меншого діаметра коню було б важко бігти.
4. Циліндр. Конус. Куля
Для первісних людей важливу роль відігравала форма оточуючих їх
предметів. За формою і кольором вони відрізняли їстівні гриби від неїстівних,
смачні горіхи від гірких або отруйних. Особливо смачними їм були горіхи
кокосової пальми. Ці горіх схожі на кулю. А добуваючи кам’яну сіль, люди
зустріли кристали, які мають форму куба. Так, оволодіваючи оточуючим
світом, наші предки знайомилися з найпростішими геометричними формами.
Ці форми вони використовували, виготовляючи кам’яні знаряддя. Спеціальних
назв для геометричних фігур спочатку, звісно, не було. Говорили: «такий, як
кокосовий горіх» або «такий же як сіль».
Коли люди почали будувати будівлі, прийшлося переміщувати важкі
камені. Для цього здавен застосовували катки. Помітили, що перекотити
важкий камінь стане легше, якщо взяти для катка пряме дерево і від нього
відрізати частину. Так люди познайомилися з однією з найважливіших фігур–
циліндром. Качалками циліндричної форми користувалися і жінки, прасуючи
білизну після прання. Перевозити вантажі на катках було досить важко, тому
що самі стовбури дерев багато важили. Щоб полегшити роботу, стали вирізати
із стовбурів тонкі круглі пластини і за їх допомогою переміщувати вантажі. Так
з’явилося перше колесо. Це було чудовим відкриттям!
Але не тільки в процесі роботи люди знайомилися з геометричними
фігурами. Здавна вони любили прикрашати себе, свій одяг, свій дім. Створені
ними прикраси мали ту чи іншу геометричну форму. Намиста стали
кулеподібними, браслети і каблучки мали форму кола і т.д.
В стародавній Греції люди почали називати геометричні фігури словами,
які нагадували оточуючі предмети схожої форми. Наприклад, пристрій для
прасування білизни вони називали «каландер». Тому всі витягнуті тіла з
округлим перерізом отримали назву циліндра. А тіла, схожі на ялинкову шишку
53
греки називали «конос». Тому тіла такої форми отримали назву конуса. М’яч, з
яким грали грецькі діти, назвали сфера.
5.2. Мотивація навчальної діяльності
Вважають, що колесо – один з найважливіших винаходів людини.
Неможливо уявити світ без колеса. Секрет його чудових можливостей криється
у властивостях дивовижної лінії – кола.
Циліндр. Конус. Куля
Багато предметів, які нас оточують, нагадують такі геометричні фігури,
як циліндр, конус, куля (учитель демонструє відповідні моделі). Що в класній
кімнаті має форму цих фігур? Чи потрібні знання про їх властивості?
Кругові та стовпчасті діаграми
Кожного дня нам приходиться працювати з великою кількістю
інформації. Всю інформацію, яка до нас надходить, запам’ятати неможливо.
Тому саму необхідну для нас ми записуємо. Причому, намагаємось записати
таким чином, щоб надалі цією інформацією можна було легко скористатися –
вибрати потрібні дані, щось порівняти.
Таблиця – самий простий спосіб впорядкування даних. З деякими
таблицями ми вже знайомі (таблиця множення, розклад уроків, сторінка
щоденника).
Таблиці зручні для впорядкування інформації і пошуку даних. Однак
вони не дають наочного представлення. Тому варто познайомитись з ще одним
способом подачі інформації, який буде наочніший, ніж таблиця.
Щоб дізнатись тему уроку, вам потрібно розгадати зашифроване слово.
Ви легко впораєтесь із завданням, якщо згадаєте, як розкладати числа на прості
множники.
300
90
120
54
60
120
84
75
54
2∙2∙3∙7
М
2∙2∙3∙5
Р
2∙3∙3∙5
І
2∙3∙3∙3
Г
3∙5∙5
И
2∙2∙3∙5∙5
Д
2∙2∙2∙3∙5
А
Випадкові події. Ймовірність випадкової події
Характерною особливістю шкільної математики, яка вивчалась до цього
часу, є визначеність шуканих невідомих, які потрібно шукати під час
розв’язування задач. Наприклад, об’єм куба визначається довжиною його
ребра, площа круга – його радіусом, шлях, пройдений тілом, – його швидкістю
та часом тощо.
Але в житті та практичній діяльності людей часто доводиться мати
справу з явищами, перебіг яких неможливо передбачити заздалегідь, вони
залежать від багатьох умов. Про такі явища кажуть, що вони є випадковими.
Наприклад:
1) попадання (непопадання) баскетболіста за одного чи кількох киданнях
м’яча;
2) виграш (програш) в лотереї;
3) число зерен в колосі, що виросте із зерна висіяної пшениці;
4) кількість пасажирів в автобусі в даний момент чи протягом певного
часу тощо.
Взагалі, людська діяльність – це неперервний процес прийняття рішень в
обставинах невизначеності чи випадковості. Яку встановити ціну, щоб продати
товар і одержати прибуток? Яким повинен бути внесок при страхуванні, щоб
страхова компанія не мала збитків? З такими та подібними їм запитаннями
люди постійно стикаються в повсякденному житті. Тому варто вміти
працювати з випадковими явищами і використовувати їх в житті, наукових
дослідженнях тощо.
55
Наукою, що займається математичним аналізом випадкових явищ,
зокрема, випадкових подій, є «Теорія ймовірностей», її предмет – це вивчення
закономірностей масових випадкових явищ.
5.3. Прикладні та творчі завдання
Завдання 1. Хитрість Дідони
В одному з міфів стародавньої Греції йдеться про те, як царська дочка
Дідона, рятуючи своє життя, втекла з фінського міста Тіра в Африку. Там вона
попросила короля Нумідії Ярба продати їй за незначну суму «стільки землі,
скільки можна оперезати шкірою одного вола». Ярб дав згоду продати таку
мізерну ділянку. Тоді Дідона звеліла порізати шкіру вола на вузенькі смужки і
оперезала ними значну територію у вигляді круга.
Завдання 2. Мишка чи кішка?
Уявіть собі, що земну кулю щільно обтягнули по екватору дротиною.
Потім довжину дротини збільшили на 1 м, внаслідок чого між поверхнею
земної кулі та дротиною утворилась щілина. Чи змогла б пролізти в цю щілину
миша?
Розв’язання. Маємо C  2R , або R 
x  R1  R 
C
;
2
C  1  2R1
або R1 
C 1
;
2
C 1 C
1
1



 0,16 м .
2
2 2 6,28
Отже, щілина матиме розмір близько 16 см. У таку щілину вільно можна
пролізти не тільки мишка, а й кішка!
Здивування викликає те, що величина щілини не залежить від радіуса
кола. Це випливає з формули х 
1
. Отже, коли замість земної кулі взяти,
2
наприклад, футбольний м’яч, то відповідь до задачі буде та ж.
Завдання 3. Допоможи татові вибрати розмір сорочки. Тато купив
сорочку, але виявилось, що її комір дуже щільно прилягає до шиї. На скільки
номерів більшу потрібно взяти сорочку за розміром коміра, щоб зазор між
56
шиєю і коміром становив 3 мм, якщо довжина коміра сорочки кожного
наступного номера більша від попереднього на 1 см?
Розв’язання. Як відомо, що в результаті збільшення довжини коміра на 1
см (на один номер) між шиєю і коміром утвориться зазор приблизно 0,16см=1,6
мм. Щоб зазор був 3 мм, розмір коміра потрібно взяти на два номера більший.
Завдання 4. Історичний жарт
Розповідають, що відомий англійський фізик і математик Ісаак Ньютон
дуже не любив, щоб його відволікали від наукових досліджень. Тому він, аби
щоразу не відчиняти кішці двері, зробив у них круглий отвір. Коли у кішки
з’явилися котенята, він для кожного з них зробив такий же отвір, але меншого
розміру. А коли один його друг зауважив, що кошенята могли б користуватися
тим же отвором, що й кішка, Ньютон відповів:
- Бач, а я до цього й не додумався!
Завдання 5. Скільки потрібно насіння для того, щоб засіяти клумбу
діаметром 4 м, якщо на 1 м2 знадобиться 2,5 г насіння?
Завдання 6. За реорганізації системи водопостачання селища було
висловлено пропозицію: замінити дві труби діаметрами 4,5 см і 6 см, що
вийшли з ладу, однією. Обчислити діаметр нової труби, за якого не порушиться
пропускна здатність води в системі водопостачання.
Завдання 7. Тато Валі і Каті запропонував дівчаткам зробити дві клумби.
Він дав їм мотузку довжиною 6 м, щоб з її допомогою намітити межу кожної
клумби. Валя вирішила зробити клумбу квадратною, а Катя – круглою. Чия
клумба буде мати найбільшу площу? Радіус круглої клумби обчисліть з
точністю до сотих. У скільки разів площа однієї клумби більша за площу
другої?
Завдання 8. Скільки квадратних метрів тканини потрібно взяти, щоб
пошити спідницю типу «сонце» для дівчинки з обхватом талії 45 см? Бажана
довжина спідниці – 30 см.
Завдання 9. Якщо сторона квадрата дорівнює 4, то периметр і площа
цього квадрата виражаються одним і тим самим числом. Чи існує такий круг,
щоб його площа і довжина його кола виражались одним і тим же числом?
57
Завдання 10. Біля водоспаду Вікторія в центральній Африці росте
баобаб, обхват стовбура якого 26,2 м, а обхват стовбура кипариса, який росте в
Мексиці, на 22,6 м більший. Визначте діаметр поперечного перерізу стовбура
баобаба і кипариса.
Завдання 11. Мавпеня пробігло три кола цирковою ареною. Яку відстань
пробігло мавпеня?
Завдання 12. На скільки кілометрів верхівка вашої голови пройшла б
більше, ніж кінцівка вашої ноги, якби ви мали змогу пройти земну кулю за її
екватором?
Завдання 13. Уявіть, що ви вирішили протягом години кататися на колесі
огляду. Яку відстань ви «проїдете» за цей час, якщо діаметр колеса огляду
дорівнює 50 м, а один оберт воно виконує за 20 хв?
Циліндр. Конус. Куля
Завдання 1. Із стопки картону взяли лист і вирізали круг. Дістали
циліндр з дуже малою висотою. Як практично визначити його висоту?
Завдання 2. Кусок тонкого дроту можна вважати циліндром, у якого
радіус дуже малий. Як практично визначити цей радіус?
Завдання 3. Скільки матеріалу потрібно для покриття альтанки, дах якої
має форму конуса з діаметром основи 4 м, і твірною 5 м?
Завдання
4.
Скільки
метрів
стикових
швів
довелося
зварити
електрозварникам, які споруджували газопровід завдовжки 1450 км, якщо
зварено його з двадцятиметрових труб діаметром 1420 мм?
Завдання 5. Висота консервної банки циліндричної форми дорівнює 4см,
а радіус основи – 6 см. Скільки таких банок можна виготовити з 15000м2
жерсті, якщо 10% матеріалу іде на відходи та шви?
Завдання 6. Кавун розрізали на 4 частини і з’їли. Чи може при цьому
залишитися 5 шкірок?
Завдання 7. Яка відстань відділяла б вас від вашого антипода, якщо б він
існував? (За казками Льюїса Керрола, антиподи – люди, які живуть у
«протилежній» для нас, тобто симетричній нам точці Землі відносно її центра.)
58
Кругові та стовпчасті діаграми
Завдання 1. Людина, яка біжить, досягає швидкості наближено
40 км/год, жирафа – 50, лев – 60, кінь – 64, собака – 72, гепард – 120. На
рисунку показано частину діаграми, в якій швидкості
зображаються
горизонтальними відрізками. Виміряйте відрізки і з’ясуйте, яку швидкість
зображає відрізок довжиною 1 мм. Побудуйте повністю діаграму швидкостей.
Людин
40
аЖираф
50
км/год
а
км/год
Завдання 2. При виверженні вулкану спостерігається виділення газів, які
складаються із 68% водяної пари, 13% вуглекислого газу, 8% азоту і 11% сірого
диму. За цими даними побудуйте кругову діаграму складу газів при виверженні
вулканів.
Завдання 3. Для нормального розвитку дитини щодня потрібно: молока –
0,5 л, м’яса – 170 г, овочів – 0,3 кг, риби – 0, 06 кг, цукру – 0,1 кг, твердого сиру
– 30 г. Виконайте відповідні перетворення і побудуйте діаграму.
Завдання 4. Людина в спокійному стані робить до 20 вдихів і видихів за
хвилину, частота дихання коня – 12 дихальних рухів, щура – 60, а канарки – 108
дихальних рухів. Побудуйте стовпчасту діаграму дихальних рухів живих істот.
Завдання 5. Побудувати стовпчасту діаграму відвідування учнями
вашого класу гуртків.
Завдання 6. Побудувати кругову діаграму розподілу свого добового часу.
Випадкові події. Ймовірність випадкової події
Завдання 1. Послухайте казку. Один володар, якому набрид його звіздар
зі своїми неправильними пророкуваннями, вирішив його стратити. Однак,
будучи добрим володарем, він дав йому останній шанс. Звіздареві велено
розподілити по двох урнах чотири кулі – дві чорні й дві білі. Кат вибере
навмання одну з урн і витягне з неї кулю: якщо куля буде чорна, звіздаря
стратять, а якщо ні, то його життя буде врятовано. Яким чином звіздар повинен
59
розмістити кулі в урнах, щоб забезпечити собі максимальну можливість
зберегти життя?
Завдання 2. Ви директор відділу технічного контролю. Цей відділ
контролює якість продукції, що випускає підприємство, і відправляє
споживачам. За якість, звичайно, підприємство несе повну відповідальність
перед споживачами. Для контролю поступила партія автопокришок, ліків,
авіадвигунів, сірників, черевиків, телевізорів, автомобілів тощо. Запропонуйте
методику контролю виробів. Партія містить не менше ніж 1000 виробів.
Завдання 3. Школяр їде автобусом до школи. Пільговий квиток коштує
50 копійок. Хлопчик-ласунка підраховує, скільки зміг би він купити морозива
на цю суму на зекономлені за тиждень гроші. Він вирішив їхати без квитка.
Звичайно безбілетника може виявити контролер, і тоді йому загрожує штраф і
неприємності вдома, але дитячий раціоналізм приводить до вічної боротьби з
елементарними правилами. І він діє за принципом «ризик – шляхетна справа».
Придумайте оцінку ризику школяра, якщо штраф за безквитковий проїзд
становить 3 грн. У якому випадку варто ризикувати, а в якому – ні? Яких
заходів ви б ужили як директор авто підприємства, щоб знизити рівень «зайців»
на маршруті? Скільки контролерів ви задієте для цього?
Завдання 4. Люди залишають свої капелюхи в гардеробі ресторану.
Гардеробниця після нестандартної ситуації повісила капелюхи назад навмання.
Чи ймовірно, що принаймні один відвідувач одержить власний капелюх? Чи
залежить результат від кількості відвідувачів?
60
РОЗДІЛ 6 ДОДАТНІ І ВІД’ЄМНІ ЧИСЛА. ЧИСЛО 0
61
6.1. Історична довідка
1. Від’ємні числа
Перша згадка про від’ємні числа з’явилася в Китаї в 1 ст. до н.е. в зв’язку
з розв’язуванням рівнянь. Оскільки у ті часи знаків «плюс» і «мінус» ще не
було, то від’ємні числа, на відміну від додатних, зображували іншим кольором.
Додатними числами позначали майно, наявні гроші, прибуток. Їм раділи і
зображували їх червоним кольором (китайці їх назвали «чен»), від’ємними
числами позначали борг, збиток і зображали їх чорним кольором (їх називали
«фу»).
У Європі вперше про від’ємні числа згадує італійський математик
Леонардо Пізанський (Фібоначчі, ХІІ-ХІІІ ст.). Він називає їх «числами,
меншими ніж ніщо» (меншими від 0), і пише «Нуль міститься між істинними і
абсурдними числами».
У ХІІ ст. французький математик Рене Декарт у відомій книзі «Геометрія
зобразив від’ємні числа за допомогою монорейкової дороги. «Монос» слово
грецьке і означає «один». Отже, монорейкова дорога – дорога з однією рейкою,
як лінійка. Але на лінійці відкладено лише додатні числа (праворуч від нуля). А
на монорейковій дорозі, крім того, ліворуч від нуля відкладають від’ємні числа.
Від’ємні числа важко проникали в математику. Німецькі релігійні
фанатики називали їх «числами від сатани», «породженням диявола».
Німецький математик М.Штіфель (1486 – 1567) називав від’ємні числа
“абсурдними», бо «все в них навпаки». Італійський математик Дж. Кардано
(1501 – 1576) при розв’язуванні рівнянь користувався від’ємними числами, але
називав їх «фіктивними».
2. Використання від’ємних чисел
Першими зустрілися з потребою у від'ємних числах географи, моряки,
картографи, оскільки їм необхідно було характеризувати положення міст,
розміщених на північ чи південь від головного міста, і на захід чи схід від
нього. Головними місцями відліку були вибрані екватор і Грінвічський
62
меридіан. Пізніше в археологів, істориків виникла потреба характеризувати
шкалу часу. Геологам потрібно було характеризувати нерівності земного
рельєфу, а саме – висоту гір, глибину впадин морів і океанів, приймаючи за
початок рівень моря. Фізикам, інженерам, астрономам, лікарям потрібно було
вимірювати температуру. У XVIII ст. шведським ученим Цельсієм (1701 - 1744)
була запропонована вимірювальна шкала, у якій за початок відліку (нуль) була
прийнята температура плавлення льоду, а температура кипіння води – за 100°С.
Від'ємні числа люди винайшли значно пізніше, ніж натуральні числа і
звичайні дроби. До ідеї від'ємного числа першими прийшли китайці у II ст. до
н. е. Необхідність введення нових на той час чисел обумовлювалась
проблемами самої математики – від'ємні числа потрібні були для розв'язування
рівнянь. Потім індуси дали тлумачення додатних і від'ємних чисел у вигляді
«майна» і «боргу».
У Європі від'ємні числа почали використовувати, починаючи з XII ст.
Однак ставились до від'ємних чисел з недовірою, називаючи їх «фіктивними»,
«абсурдними», «хибними» тощо. «Справжніми» числами вважали лише додатні
числа. Тільки у XVII ст., коли видатний французький математик Рене Декарт
(1596 – 1650) запропонував зображувати від'ємні та додатні числа точками
координатної прямої, від'ємні числа були повністю визнані й стали
повноправним атрибутом математики.
3. Числа «чен» і «фу»
Введення від’ємних чисел було зумовлене, в першу чергу, розвитком
алгебри як науки, що дає загальні способи розв’язування арифметичних задач
незалежно від вихідних числових даних. Від’ємні числа були необхідні вже при
розв’язуванні задач, які зводяться до рівнянь першого степеня з однією
змінною. Можливий від’ємний розв’язок у таких задачах можна пояснити
прикладами
протилежних
величин
(протилежно
напрямлені
вектори,
температура, вища і нижча від нуля, майно – борг і т. д.).
Додатні і від’ємні кількості вперше в історії науки розрізняли в Китаї ще
понад 2000 років тому. Уже у 8-й книзі збірника «Математика в дев’яти
63
книгах» автори вільно користувалися від’ємними кількостями. У цій книжці є
рівняння з від’ємними першими коефіцієнтами і вільними членами; тут же
сформульовано правила додавання і віднімання від’ємних кількостей.
Додатні кількості в китайській математиці назвали «чен», від’ємні – «фу»;
їх зображали різними кольорами: «чен» – червоним, «фу» – чорним. Такий
спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XIII ст., поки Лі Є не
запропонував зручніше позначення від’ємних чисел – цифри, що зображали
від’ємні числа, перекреслювали рискою навскіс справа наліво.
Символ типу а фігурує в китайській науці не тільки в різницях,
зменшуване яких більше за від’ємник, а й як результат віднімання великої
кількості від напевне меншої. Більше того, учені Китаю підійшли до
найпростішого реального тлумачення від’ємних чисел, як це видно з 8-ої книги
збірника «Математика в 9 книгах», в якій нестача грошей виражається числом
«фу».
У V – VI ст. від’ємні числа поширюються в індійській математиці. В Індії
від’ємні числа систематично застосовували і тлумачили в основному так само,
як це ми робимо тепер.
Уже в творі Брамхагупти «Перегляд системи Брами» (628 р.) ми читаємо:
«Майно» і «майно» є «майно», сума двох «боргів» є «борг»; сума «майна» і
нуля є «майно»; сума двох нулів є нуль… Борг, який віднімають від нуля, стає
«майном», а «майно» – «боргом». Якщо треба відняти «майно» від «боргу», а
«борг» від «майна», то беруть їх суму…».
Від’ємними числами індійські математики користувалися під час
розв’язування рівнянь, причому віднімання замінювали додаванням до рівного
й протилежного числа. Про те, як індійські вчені відкрили від’ємні числа,
достовірно ми нічого не знаємо.
Слід зазначити, що основною особливістю індійської математики є
переважання обчислювальних прийомів, які давалися в догматичній формі.
Розв’язуючи задачі на рух, виграш і. програш та інші, індійці, очевидно,
на досвіді переконалися в зручності від’ємних чисел. Так, у творі видатного
індійського математика й астронома Аріабхати І (476 – бл. 550) подано
64
розв’язування задачі, в якій йдеться про «момент зустрічі в минулому і
майбутньому».
Проте, запровадивши від’ємні числа, індійські математики вважали їх не
рівноправними елементами математики, а чимось подібним до логічних
можливостей, бо, за висловом індійського математика Бхаскари, люди з ними
не згодні.
Таким чином, при розв’язуванні алгебраїчних рівнянь математики
зустрілися з від’ємними величинами, але почали вважати їх об’єктивними
поняттями тільки тоді, коли реально розтлумачили.
6.2. Мотивація навчальної діяльності
Завдання 1. Команда «Темп» під час гри забила 6 м’ячів у ворота
суперника і тим самим набрала 6 очок. Але за багаторазові видалення гравців в
ході гри арбітр присудив команді 7 штрафних очок. Скільки очок має команда
на своєму рахунку за підсумками гри?
-Штрафне очко – це добре, чи погано?
-Яким би математичним символом ви позначили «добре» і «погано»? (+,-)
Завдання 2. Підібрати антоніми до слів:
виграш
-
(програш);
аванс
-
( борг);
прибуток
-
(втрата);
холод
-
( тепло);
вище рівня моря
-
(нижче рівня моря)
Якими математичними символами ви позначили б ці слова?
Завдання 3. Гроші, які вносять до банку, касир записує зі знаком «+», а
які бере з банку – зі знаком «-». Як змінилась сума грошей у касі після того, як
касир обслужив 5 вкладників? (Див. таблицю)
Вкладник
Грошова операція
1
+300
2
-250
65
3
-200
4
+700
5
-400
Модуль
Завдання 1. На координатній прямій з точки О в протилежних напрямках
поповзли дві комахи. Одна з них опинилась через деякий час у точці А(5), а
друга – у точці В(-4). Яку відстань проповзла кожна комаха?
Ігровий момент «Розшифруй слово»
1)
│-9│-│-4│;
2)
│-2│∙│2│;
3)
│-3,3│:│1,1│;
4)
│1│:│-0,5│;
5)
│-12│-│-6│;
6) │-0,7│+│-0,3│.
Результат виконання дій
1
2
3
4
5
6
Порядковий номер букв
6
4
3
2
1
5
Букви
ь
у
д
о
м
л
(модуль)
Завдання 2. Розгадай кросворд
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1. Відстань від початку відліку до точки.
2. Знак, який використовується для порівняння чисел.
3. Число, що відповідає положенню точки на координатній прямій
66
4. Компонент дії додавання
5. Компонент дії віднімання.
6. Старовинна назва шкільного курсу математики
Відповіді
1.Модуль. 2.Менше 3. Координата 4. Доданок 5.Різниця 6. Арифметика
Якщо правильно надані відповіді, то по горизонталі отримаємо прізвище
вченого,який ввів поняття координатної прямої (Декарт)
Порівняння чисел
Число 100 пихато заявило: «Я надто велике в порівнянні з 5». А число 5
заявило, що більше від 0. Хто з них правий?
Завдання 1. Розставити червоні числа в порядку зростання, а сині – в
порядку спадання
3,2
-7
9
1
2
- 0,3
4
3,2
-9
-4,7
-4,2
- 4,1
-5
-2
2
7
1
3
Завдання 2. На уроці Незнайко отримав завдання: «Чи можна сказати, що
завжди»:
1) а більше -а?;
2) х менше 2х?;
3) с більше -
с
?
10
Незнайко відповів так:
1) а завжди більше – а, так як додатне число завжди більше від’ємного;
2) х менше 2х, так як 2х – це х та ще х, а це більше, ніж один х;
3) с завжди більше -
с
, так як десята частина числа менша самого числа.
10
Всі відповіді були неправильними. Вчитель сказав, що він забув про від’ємні
числа. А як би ви відповіли на це запитання
Завдання 3. Заповни таблицю
67
Число
Більше -2
Менше 6
Більше 0
Менше 0
Додатне
Від’ємне
6.3. Прикладні та творчі завдання
Координатна пряма
Завдання 1. Хто вперше ввів поняття координатної прямої? Відповідь на
це запитання ви дізнаєтеся, якщо правильно нанесете точки із заданими
координатами на координатну пряму.
Е(-5), Р(3), К(-2), Т(5), Д(-7), А(2) (Декарт)
Завдання 2.В якому європейському місті знаходиться пам’ятник нулю?
А(1), Ш(6), П(3), У(-6), Т(8),Д(-3), Е(4), Б(-7) (Будапешт)
Завдання 3. Яку рослину можна пов’язати з математикою ви дізнаєтесь,
якщо правильно нанесете числа на координатну пряму О (0), С(-6), И (-8), Л(3),
Т(11), Т(-15), Я(-4), С(8), Н(10), И(7), К(12), Ч(-2) (Тисячолисник – деревій
звичайний)
Завдання 4. Які числа утворюються в результаті об’єднання цілих і
дробових чисел ви дізнаєтесь, якщо правильно нанесете числа на координатну
пряму Ц(-3), Н (0), І(10), А(-5), Н(7), Р(-7), Ь(5 ), О(-1), А(2), І(-2,5), Л(4),
(Раціональні)
Завдання 5.
1. Назвати три числа, які є цілими, але не є натуральними
2. Вказати координату точки,яка віддалена від початку відліку на 15
одиничних відрізки. Скільки розв’язків має задача?
1
3
3. Які з чисел 5; -12,3; 2014; -56; -4 ; 101 можуть виражати відстань від
початку відліку до точки координатної прямої?
Завдання 6. На дошці записане від’ємне число. Наприклад – 15.
Учень швидко відповідає на запитання вчителя.
1) Яке це число?
68
2) Його модуль?
3)Де це число розташоване на координатній прямій?
4)Які сусідні з ним числа?
5) Назвати два числа менші від нього.
6) Назвати протилежне число.
7) Яка відстань між точками з координатами -15 і 15?
Фізкульхвилинка
Вчитель називає число, учні мають зреагувати. Якщо вчитель називає
додатне число, то учень – сидить. Якщо від’ємне – піднімається. Додатній
дріб – піднімається і плескає в долоні. Від’ємний дріб – сідає і плескає в долоні.
69
РОЗДІЛ 7 ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
70
7.1. Історична довідка
Від’ємні числа важко проникали в математику. Німецькі релігійні
фанатики називали їх «числами від сатани, породженням диявола». Міхаель
Штихель називав їх абсурдними, бо в них усе навпаки: додавання їх зменшує
суму, а віднімання збільшує результат. Італійський математик Джиролано
Карнадо називав ці числа фіктивними. Рене Декарт вважав від'ємні корені
рівнянь брехливими, а Етьєн Паскаль вважав абсурдним називати числом те,
що менше нуля.
У Європі вперше про від’ємн числа згадує італійський математик
Леонардо Пізанський (Фібоначчі, ХІІ-ХІІІ ст.). Він називає їх «числами,
меншими ніж ніщо» (меншими від 0), і пише «Нуль міститься між істинними і
абсурдними числами».
У
Росії
від’ємними
числами
вперше
почав
займатись
М.В.Остроградський.
Сучасне позначення додатних і від'ємних чисел знаками «+» і «-» увів
наприкінці XV ст. німецький математик Ян Відман (1460- І пол. XVI ст).
У ХІІ ст. французький математик Рене Декарт у відомій книзі
«Геометрія» зобразив від’ємн числа за допомогою монорейкової дороги.
«Монос» слово грецьке і означає «один». Отже, монорейкова дорога – дорога з
однією рейкою, як лінійка. Але на лінійці відкладено лише додатні числа
(праворуч від нуля). А на монорейковій дорозі, крім того, ліворуч від нуля
відкладають від’ємні числа.
7.2. Мотивація навчальної діяльності
Завдання 1. Проблемне запитання: гілки смородини витримують
температуру -19,50С, а якщо їх загартувати, то можуть витримати температуру
на 580С нижчу. Яку температуру можуть витримати гілки смородини після
загартування?
71
Завдання 2. Хто ввів знаки «+» і «-» для позначення чисел додатніх та
від’ємних чисел? Дізнаємось, розв’язавши дані приклади і розмістивши
розв’язки в порядку зростання
Розв’язання. Ян Відман. Чеський математик. Ці позначення є в його книзі
«Арифметика». Книга видана в 1489 році.
Завдання 3. Відомий факт , що сама тепла країна це Лівія, там
температура досягає +56 градусів. Найбільш низька температура в Антарктиді
-88. Чи зможете ви, відкривши правило віднімання обчислити різницю між
найбільшою і найменшою температурою на Землі?
Завдання
4.
Видатний
німецький
математик
Р.
Вінер
сказав:
«Математика – наука молодих. Інакше й бути не може. Заняття математикою –
це така гімнастика розуму, для якої потрібні вся гнучкість і вся витривалість
молодості».
Ми, в свій час, тренували мозок не лише у школі, на уроках – а і вдома.
А наш урок ми пройдемо сторінками журналу, який ми створимо разом.
Завдання 5. Ігровий момент
Візьмемо два ігрових кубики – чорного і білого кольору, на гранях яких
точками позначено числа від 1 до 6. У роботі на уроці знак «+» означатиме
виграш, а знак «-»– програш. Білий кубик буде показувати «виграшне» число
очок, а чорний – «програшне».
1) Додавання раціональних чисел з однаковими знаками
Розглянемо випадки, коли кидають 2 білих кубика і 2 чорних. Результати
записуються на дошці. Учні роблять висновок. (читають запис на дошці)
72
Формулюємо правило додавання чисел з різними однаковими знаками: щоб
додати два від’ємні числа, треба додати їх модулі і перед результатом
поставити знак мінус.
2) Додавання раціональних чисел з різними знаками
Повторюємо роботу з кубиками, але вже будемо кидати кубики різних
кольорів і результати записувати на дошці. Формулюємо правило: щоб додати
додатне і від’ємне число, треба знайти різницю їх модулів і перед результатом
поставити знак числа з більшим модулем.
3) Сума двох протилежних чисел
- Скільки може бути випадків, коли кидають білий і чорний кубики і
випадає сума, що дорівнює нулю? Яку суму ми тут розглядаємо?
Чому дорівнює сума:
7+(-7)=?
-9+9=?
Учні роблять висновки (завдання прикріплюються на дошку).
Завдання 6. Знайдіть всі значення х, які розташовані між числами -32,56 і
– 38, 123.
7.3. Прикладні та творчі завдання
Завдання 1. Знайдіть суму:
1) Усіх цілих чисел від найбільшого цілого від’ємного числа до
найменшого натурального числа;
73
2) трьох послідовних цілих від’ємних чисел, починаючи з -5;
3) найбільшого і найменшого двозначних від’ємних чисел і найбільшого
двозначного натурального числа.
Завдання 2. Запишіть і обчисліть різницю:
1) між найменшим натуральним числом і найбільшим цілим від’ємним
числом;
2) між найменшим цілим двозначним від’ємним числом і найменшим
однозначним цілим від’ємним числом .
Завдання 3. Вкажіть такі значення a i b, для яких різниця a-b більша за
суму a+b.
Завдання 4. Запишіть і обчисліть різницю між найбільшим двозначним
числом і йому протилежним.
Завдання 5. Відніміть від числа -2 таке число, щоб здобута різниця була
протилежна зменшуваному.
Завдання 6. Нехай m i n – числа або протилежні, або рівні. В якому
випадку:
1) m-n=0
2) m-n=2m
3) m-n=-2n?
Розв’язання:
1) m-n=0, якщо m=0, n=0
2) m-n=2m,якщо m>0 i n<0
3) m-n=-2n, якщо m<0 i n>0
Завдання 7. Замість зірочки поставити знак «+» або «-».
1.(*5) + (*7,5) = 2,5;
2.(*8) + (*8) = 0;
3.(*9,7) + (*4) = - 5,7;
4.(*15) +(*5) =10;
5.(*7,2) +(*5,3) = 12,5;
6.(*3,7) + (*6,9) = -10,6;
7.(*4,9) + (*1,7) = - 3,2;
8.(*3,6) + (*8,1) = - 4,5;
9. (*7) – (*3) = -4
10. 80*10*70*50*(-90)=100
Завдання 8. Гра – тест «Так» чи «Ні»
74
Варіант І
Варіант ІІ
1. 100 + (- 35)<0
1. – 27 + 47<0
2. – 130 + 200<200
2. 230 + ( - 100)>50
3. – 3 – 5,73<7
3. – 15 + ( - 15) = 0
4. 1 – 5,17 – 31>12
4. – 8 – 4,2<2
5. – 18 + (- 18) + ( -3)>0
5. 1- 3,9 1 – 1 14,21<7,25
Завдання 9. Скільки цілих чисел розташовано на координатній прямій
між числами -34 та 36. Обчисліть суму цих чисел найзручнішим способом.
Завдання 10. Кросворд
Запитання кросворду:
1) Компонент віднімання (різниця).
2) Щоб від одного числа відняти друге число, досить до зменшуваного...
число, протилежне від’ємнику (додати).
3) Натуральні
числа,
протилежні
до
натуральних
та
число
0
називаються... (цілими).
4) Сума двох від’ємних чисел – це число... (від’ємне).
5) Властивість додавання (сполучна).
6) Сума двох протилежних чисел дорівнює... (нулю).
7) Коли зменшуване більше за від’ємник, то різниця... (додатна).
8) Знак для позначення суми чисел (плюс).
9) Відстань від початку відліку до точки, що зображає число на
координатній прямій, називається... (модуль).
10) Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак..., потрібно опустити
дужки та знак, і всі доданки переписати з протилежними знаками (мінус).
75
11) Властивість a+b=b+a (переставна).
76
РОЗДІЛ 8 МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
77
8.1. Історична довідка
На ранніх ступенях розвитку люди знали тільки натуральні числа, але з
розвитком цивілізації перед людством постає запитання: як відняти більше
число від меншого? Уже в VII ст. до н. є. індійські вчені (а китайські – ще
раніше) намагалися знайти в житті зразки такого віднімання і підійшли до нього з
точки зору торгових розрахунків. Наприклад, якщо торговець має 5000 грн і
закуповує товару на 3000 грн, то в нього залишається 5000-3000=2000 (грн). А
якщо він має 3000 грн, а бере товару на 5000 грн, то він матиме борг 2000 грн.
Відповідно вважали такі числа “борговими”. Довгий час від’ємні числа дуже рідко
застосовували, вважаючи їх “хибними”. У XIII–XVI ст. європейці розглядали їх
лише в окремих випадках. З відкриттям кубічних рівнянь, від’ємні числа
поступово знаходять місце в алгебрі. Тільки в 1629 р. французький математик
А.Жірар увів їх сучасну інтерпретацію.
Від’ємні числа в Стародавній Азії
Позитивні кількості в китайській математики називали «чен», негативні –
«фу»; їх
зображували
різними
кольорами: «чен» –
червоним, «фу» –
чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII
століття, поки Лі Е не запропонував більш зручне позначення негативних
чисел – цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали рискою
навскіс праворуч ліворуч.
У V-VI століттях від'ємні числа з'являються і дуже широко поширюються
в індійській математиці. В Індії негативні числа систематично використовували
в основному так, як це ми робимо зараз.
Індійські математики Брахмагупта (VІІ ст. н.е.) і Бхаскара (ХІІ ст.) склали
правила дій для від’ємних і додатних чисел:
«Сума майна є майно».
«Сума двох боргів є борг».
«Сума майна ы боргу дорівнює їх різниці».
«Сума майна і такого самого боргу дорівнює нулю».
«Добуток боргу на борг є майно» і т.д.
78
Але важко було уявити, як це з боргів (перемножених) може вийти
«майно». Тому довгий час від’ємних чисел не визнавали, вважали нас
несправжніми, абсурдними, фіктивними. Бхаскара так і писав: «Люди не
схвалюють від’ємних чисел».
Негативними
розв’язанні
числами
рівнянь,
індійські
причому
математики
віднімання
користувалися
замінювали
при
додаванням
з
протилежним числом.
Разом з негативними числами індійські математики ввели поняття нуль,
що дозволило їм створити десяткову систему числення. Але довгий час нуль не
визнавали числом, «nullus» по-латині – ніякої, відсутність числа. І лише через X
століть, у XVII-му столітті з введенням системи координат нуль стає числом.
Розвиток негативного числа в Європі
У Європі до ідеї негативного кількості досить близько підійшов на
початку XIII століття Леонардо Пізанський, проте в явному вигляді негативні
числа застосував вперше в кінці XV століття французький математик
Шюке. Німецький математик Михайло Штіфель (ХVІ ст.) називає від’ємні
числа «меншими ніж ніщо». Він пише: «Нуль міститься між істинними і
абсурдними числами».
Сучасне позначення позитивних і негативних чисел із знаками «+» і «-»
застосував
німецький
математик
Відман,
однак
ще
в
ХVI
столітті
багато математиків (наприклад, Вієт) не визнавали від'ємних чисел.
Протягом 18 століть математики різних країн незалежно один від одного
приходили до поняття від’ємного числа, але навіть у XVI-XVII ст. більшість
європейських вчених ще не визнавали від’ємних чисел. Сучасне розуміння
від’ємних чисел пов’язане з рухом ліворуч від нуля по числовій осі, прийшло з
працями французького математика і філософа Р.Декарта (1596-1650). І тільки з
початку ХІХ ст. від’ємні числа стали у математиці такими ж звичайними як і
додатні.
Натуральні
числа,
нуль називаються цілими
протилежні
числами. Цілі
їм
і
(негативні)
дробові
числана
числа
2-му
і
рівні
79
узагальнення отримали загальну назву – раціональні числа. Їх називали
також відносними, бо кожне з них можна представити відношенням двох цілих
чисел. Кожне раціональне число можна представити як нескінченну періодичну
десяткову дріб.
За допомогою раціональних чисел можна здійснювати різні вимірювання
(наприклад, довжини відрізка при обраній одиниці масштабу) з будь-якою
точністю. Тобто сукупність раціональних чисел достатня для задоволення
більшості практичних потреб.
Стародавній Єгипет, Вавилон і Стародавня Греція не використовували
від'ємних чисел, а якщо отримували від'ємні корені рівнянь, вони відкидалися
як неможливі. Винятком був Діофант, який в III ст. вже знав правило знаків і
вмів множити від'ємні числа. Однак і він розглядав їх лише як проміжний етап,
корисний для обчислення остаточного додатнього результату.
У XVII столітті, з появою аналітичної геометрії, від'ємні числа одержали
наочне геометричне представлення на числовій осі. З цього моменту настає їх
повна рівноправність. Проте теорія від'ємних чисел довго перебувала в стадії
становлення. Жваво обговорювалася, наприклад, дивна пропорція 1:(-1)=(-1):1
– в ній перший член зліва більше другого, а праворуч – навпаки, і виходить, що
більше рівне меншому («парадокс Арно»). Незрозуміло було також, який сенс
має множення негативних чисел, і чому добуток від'ємних чисел є додатнім; на
цю тему проходили запеклі дискусії. Гаусс у 1831 році вважав за потрібне
роз'яснити, що від'ємні числа принципово мають ті ж права, що і додатні, а те,
що вони застосовні не до всіх речей, нічого не означає, тому що дроби теж
застосовні не до всіх речей (наприклад, незастосовні при рахунку людей).
Повна і цілком строга теорія від'ємних чисел була створена тільки
в XIX ст. (Вільям Гамільтон і Герман Грассман).
А ось правила знаків, якими користувалися арабські математики під час
множення цілих чисел.
Друг мого друга – мій друг
Друг мого ворога – мій ворог
Ворог мого друга – мій ворог
Ворог мого ворога – мій друг.
80
Як виникли знаки плюс і мінус?
Сучасні знаки + і – стали загальновизнаними, починаючи з ХVІІ ст.
Уперше ці знаки з’явилися в праці Лейпцігського професора Й. Відмана (1489).
Вважають, що знаки + і – виникли з торговельної практики: знак – для
позначення недостачі, збитку, з знак + для позначення прибутку.
У різних народів знаки додавання і віднімання спочатку мали різну
форму. Так, у стародавніх єгиптян знак плюс нагадував зображення двох ніг,
що рухалися вперед:
, а знак мінус – зображення двох ніг, що рухалися назад:
.
8.2. Мотивація навчальної діяльності
Завдання 1. За кожний день рівень води в річці змінюється на -2 см. На
скільки сантиметрів зміниться рівень води в річці за 7 днів?
Відповідь до цієї задачі знайти неважко. Якщо кожного дня рівень води
спадає на 2 см, то за 7 днів він спаде на 14 см, тобто зміниться на -14 см.
Подібні задачі з додатними числовими значеннями розв'язуються
множенням. Щоб і цю задачу розв'язати множенням, вважатимемо, що
(-2)·7=-14, тобто при множенні від'ємного числа на додатне треба перемножити
модулі множників і перед результатом поставити знак першого множника.
Завдання 2. Нехай у лютому, березні й квітні фермер брав у банку
кредити по 5 тис. грн. щомісячно. Тоді за ці три місяці він узяв кредит на суму
5·3 = 15 (тис. грн.). Оскільки кредити є боргами фермера перед банком,то ми
позначали їх від'ємними числами: -5 тис.грн.;-15 тис. грн. Тоді увесь кредит
фермера у банку за 3 місяці в тисячах гривень можна записати так: -5·3=-15.
Завдання 3. Температура повітря на цю годину підвищується на 2 °С.
Зараз термометр показує 0 °С. Яку температуру повітря буде показувати
термометр через три години?
Розв'язання. Оскільки температура щогодини підвищується на 0 °С, то
через три години вона буде: +2+(+2)+(+2)=2·(+3)=+6. Маємо: +2·(+3)=+6.
81
Завдання 4. Температура повітря знижується щогодини на 2 °С. Зараз
термометр показує 0 °С. Яку температуру показував термометр три години
тому?
Розв'язання. Очевидно, що оскільки температура щогодини знижувалась
на 2 °С, а зараз 0 °С, то три години тому вона була 6 °С. Оскільки температура
знижувалась, то щогодинна зміна температури позначається -2 °С, час, що
пройшов, – 3 год. Тоді, щоб дістати відповідь, достатньо (-2)·(-3)=+6.
Завдання 5. Температура повітря знижується щогодини на 2 °С. Зараз
термометр показує 0 °С. Яку температуру повітря буде показувати термометр
через 3 год?
Розв'язання. Оскільки зараз температура 0 °С, і щогодини вона
знижується на 2 °С, то через три години вона буде -2+(-2)+(-2)=-6 градусів. Цей
самий результат можна було дістати, позначивши погодинне зниження
температури як -2 °С, а наступний час + 3 год й виконати дію: (-2)·(+3)=-6.
Отже, (-2)∙(+3)=-6.
Завдання 6. Зараз температура повітря 0 °С і щогодини вона
підвищується на 2 °С. Яку температуру показував термометр 3 год тому?
Розв'язання. Оскільки зараз 0 °С, і щогодини температура підвищувалась
на 2 °С, то зрозуміло, що три години тому вона була -6 °С. Цей же самий
результат можемо дістати, позначивши щогодинну зміну температури як+2 °С,
а час, що пройшов, -3 год (ми «повертаємось»у часі назад). Тоді маємо:
+2·(-3)=-6.
Завдання 7. Невідоме число помножили на -3, дістали 15. Яке невідоме
число?
Розв'язання. Очевидно, що умову задачі мовою математики записують
так: якщо х – невідоме число, то x·(-3)=15; зрозуміло, що x=15:(-3); х=-5.
8.3. Прикладні та творчі завдання
Завдання 1. «Магічний квадрат»
82
Чи можна в клітинки таблиці записати числа -1; 2;-3;4;-5;6;-7;8;-9 так, щоб
їх добуток в кожній стрічці, кожному стовпчику, по діагоналі були від’ємними
числами?
Завдання 2. Підберіть такі значення a і b, щоб вираз -20(a+b) дорівнював:
а) -40; б) 20; в) 0; г) -0,2; д) 1.
Завдання 3. Серед трьох різних чисел a, b і c число а є найменшим, а
число с – найбільшим. Знайдіть знак числа b , якщо:
а) abc>0, ac<0;
б) abc>0, ac>0;
в) abc>0, a+c=0;
г) abc<0, ab<0;
д) abc<0, c>0;
е) a+b=0.
Завдання 4. Доведіть, що (-a)(-b)>0, якщо a·b>0.
Завдання 5. Сума дванадцяти чисел, кожне з яких дорівнює 1 або -1,
дорівнює 0. Знайдіть добуток цих чисел.
Завдання 6. Поставте замість зірочки знак «+» або «-», а замість …
число, щоб утворилась правильна рівність:
а) (*2,4)·(+5)=-…;
б) (*…)·(*4)=0;
в) (*3)·(*…)·(*…)=(-3);
г) (-1)·(*1)·(*…)=(+1).
Завдання 7. Які знаки може мати a і b в кожній нерівності:
а) a·b>0;
б) a:b<0;
г) -5:(-2a)>0;
д) a·b·(-6)>0?
в) a·(-b)<0;
Завдання 8. Записати множину значень математичного виразу, якщо
k={-1; 0}, m={-5; 1}: (2-k)·m+2km.
Завдання 9. Софізм. Будь-яке від’ємне число дорівнює додатному.
-6+6=+6-6; -6(1-1)=6(1-1); -6=(6·(1-1)):(1-1); -6=6.
Завдання 10. Які це числа? Знайдіть два числа сума яких, добуток і
частка від ділення одного з них на друге рівні між собою: a+b=ab=a:b.
(Відповідь. 0,5; -1)
83
РОЗДІЛ 9 РІВНЯННЯ
84
9.1. Історична довідка
1. Про рівняння
Вчені Стародавнього Єгипту найпростіші рівняння та деякі задачі за
допомогою рівнянь розв’язували ще 4 тисячі років тому. Оскільки в ті часи ще
не було буквеної символіки, то все записували словами.
Великий грецький математик Діофант (ІІІ ст. н. е.) дуже багато зробив
для розвитку математики. Саме він ввів буквені позначення для запису та
розв’язування рівнянь, проте коефіцієнт ставив після змінної(а не перед, як це
робимо ми).
Але розв’язування деяких задач зводилося до складання таких рівнянь, де
невідома величина знаходилась одночасно в обох частинах рівняння. І тоді
було знайдено дуже важливу властивість, яка дала можливість порівняно легко
розв’язувати багато рівнянь. Уперше цю властивість виявив узбекський вчений
ІХ століття Мухаммед бен-Муси з Хорезмута описав у праці «Кітаб алджебр
ал-мукабала» («Книга про відновлення та протиставлення»), що стало
причиною виникнення алгебри як науки про розв’язання рівнянь.
Вірш про рівняння
Рівняння – це не просто рівність
З одною змінною чи кількома.
Рівняння – це думок активність,
Це інтелекту боротьба.
Так будьте творчими, активно розвивайтесь,
Долайте труднощі у своєму житті,
Але з рівняннями, прошу, не розлучайтесь,
Вони послужать вам іще у майбутті.
9.2. Мотивація навчальної діяльності
1. Вам відомі вже такі поняття, як вираз, рівність, нерівність, рівняння. У
старших класах ви будете з ними працювати на уроках алгебри. Сьогодні на вас
85
чекає цікаве відкриття щодо розв’язуваннярівнянь, і майже до 11 класу, буде
широко застосовуватися вами, в тому числі й для розв’язування різноманітних
математичних задач. До речі, переважно ним користуються дорослі люди під
час розв’язування математичних задач.Отже, звернемося спочатку до наших
знань та вмінь — фундаменту для вивчення нового.
2.
Сьогодні
ми
продовжуємо
вчитися
розв’язувати
рівняння.
Сподіваємось, що ви вже зрозуміли, з якою метою ми вчили і тренувалися
застосувати правила знаходження невідомого компонента. Це потрібно не лише
для розв’язування відповідних видів задач, а й для розв’язування рівнянь. За
допомогою рівняння зручно розв’язувати деякі види задач. Саме цим ми і
будемо займатися сьогодні на уроці, тому прошу бути уважними до себе —
помічати свої успіхи і проблеми. Якщо щось не вдається, необхідно
зосередитись на подоланні труднощів. Бажаю всім успішної роботи.
3. Сьогодні дуже важливий урок, протягом якого ми маємо з’ясувати, що
вам вдається краще, над чим ще слід попрацювати. Оскільки на наступному
уроці ми будемо розв’язувати складніші рівняння, сьогодні намагайтесь бути
дуже уважними до себе, щоб вчасно виявити труднощі і спрямувати всі зусилля
на їх подолання. Наприкінці уроку кожний із вас розкаже про результати
власних навчальних досягнень. Отже, бажаю всім успішної роботи на уроці.
9.3. Прикладні та творчі завдання
Завдання 1. Заміни зірочки одним і тим же числом, якщо відомо, що ці
два рівняння мають однакові корені: 2(х −∗) + 15 = 5 та ∗ −3(х − 3) = 0.
Знайти корінь цих рівнянь.
Завдання 2. Розв’яжіть рівняння та знайдіть х та а, якщо відомо, що при
заміні в умові х на а ми знов отримаємо правильну рівність:
3х − 7а + 8 = 2х + а
Завдання 3. Яке число потрібно підставити замість а, щоб коренем
рівняння 56 − (х − а) = 28 було число 43.
86
Завдання 4. Замінити зірочки числами так, щоб отримати правильні
рівності:
а) ∗ х + 5х − 12х + 6(х − 2) = 6х +∗
б)∗ (3х − 5) + 14х − 8 = 8х + 2
в)−5х +∗ у − (−11х + 7) − 15у =∗ х +∗
г) ∗ (3х + 2у) − 6(х − 3у) + 12 = 27х +∗ у + 12
Завдання 5. Злий чаклун мав 2 розчини чарівної настойки: 10% та 30%.
Він змішав їх та отримав 800 г 25 % розчин. Скільки грамів 10% та 30%
розчинів він мав спочатку?
Завдання 6. У трьох альбомах 300 марок. Кількість марок у другому
альбомі становить 60 % кількості марок у першому, а кількість марок у
2
третьому кількості марок у другому. Скільки марок у кожному альбомі?
3
Розв’язання. Рівняння х + 0,6х + 0,4х = 300.
Відповідь 150 марок, 90 марок, 60 марок
Завдання 7. Летіла зграя гусей, а на зустріч їм ще один гусак. Гусак каже:
«Здрастуйте сто гусей». А йому відповідають: «Нас не сто гусей, а менше.
Якщо б нас було стільки, тай ще стільки ж, та ще й півстільки, та ще чверть
стільки, та ще ти гусак, ось тоді було б сто гусей». Скільки гусей було у зграї?
(Старовинна задача)
1
1
2
4
Розв’язання. Рівняння х + х + х + х + 1 = 10
Відповідь. 36 гусей
Завдання 8. З усіх квітів лотоса третина була принесена в дар Шиві,
п’ята – віщну, шоста – Сонцю. Одну четверту частину отримав Бхавані, а шість
квіток, що залишилось, було віддано поважному вчителю. Скажіть, скільки
було квіток лотоса? (Індуська задача)
Завдання 9. У пастуха, який вів 60 биків, запитали: «яку чпстину биків
своєї численної череди ти ведеш?». Він відповів: «Я веду половину від третини
худоби». Скільки биків було у череді?
1 1
Розв’язання. Рівняння ( + х) = 60
2 3
Відповідь 360 биків
87
Завдання 10. Дідусеві 70 років, а внучці – 16. Через скільки років дідусь
буде в 10 разів старший від внучки?
Розв’язання. Нехай дідусь буде в 10 разів старший від внучки через х
років. Тоді дідусеві буде (70+х) років, а внучці – (16+х) років. Оскільки 70+х
більше від 16+х в 10 разів, то складемо і розв’яжемо рівняння:
70+х=10(16+х)
х-10х=160-70
-9х=90
х=-10
Отже, через -10 років означає 10 років тому
Відповідь: дідусь був старший від внучки у 10 разів 10 років тому.
Завдання 11. Турист 3 год їхав на велосипеді і 2 год йшов пішки,
причому пішки він йшов на 6 км/год повільніше, ніж їхав нв велосипеді. З
якою швидкістю їхав турист, якщо він подолав 38 км?
Розв’язання. Рівняння 3(х + 6) + 2х = 38
Відповідь 4 км/год
Завдання 12. Троє мисливців, ідучи на плювання, не помітили, як
опинились на березі невеличкої ріки. Тут-то трапилась неприємність:
переходячи вбрід річку, двоє мисливців підмочили свої патронташі. Довелося
частину патронів викинути, а ті патрони, що збереглися, мисливці поділили між
собою порівну. Коли кожний мисливець зробив по 4 постріли, то в них разом
залишилося стільки патронів,скільки їх було після поділу в кожного. Скільки
патронів було у всіх мисливців у момент поділу?
Розв’язання. Рівняння: 3х − 4 ∙ 3 = х, х=6. У момент поділу було всього
3х патронів, тобто 18.
Відповідь. 18 патронів
Завдання 13. Мій брат на 2 роки старший за мене, моя сестра на 4 роки
старша за брата, моїй мамі було 28 років, коли я народився, а вчора я
підрахував, що загальний вік усіх чотирьох – 84 роки. Скільки кожному років?
Розв’язання. Рівняння:х + (х + 2) + (х + 2 + 4) + (х + 28) = 84
Відповідь. 12 років хлопчику, 14років брату, 18 років сестрі, 40 років мамі
88
Завдання 14. Летіли голуби і сіли на дуби:як сядуть по одному на дуб, то
дуба не вистачить, як сядуть по двоє, - один дуб вільний. Скільки було голубів і
скільки дубів?
Розв’язання. Рівняння: 2 ∙ (х − 1) = х + 1
Відповідь. 4 голуби і 3 дуби
Завдання 15. У хлопчика стільки ж сестер, скільки й братів, а в його
сестри сестер вдвоє менше, ніж братів. Скільки в сім,ї сестер і скільки братів?
Розв’язання. Рівняння: (х − 1) ∙ 2 = х + 1
Відповідь. 3 сестри і 4 брата
Завдання 16. По мосту їхало 40 автомобілів і велосипедів, а коліс
100.Чого було більше автомобілів чи велосипедів?
Розв’язання. Рівняння: 4 ∙ х + 2 ∙ (40 − х) = 100
Відповідь. 10 авто і 30 велосипедів
Завдання 17. Математичні фокуси на складання рівнянь:
Задумай оцінку – відгадаю
Помножте задуману оцінку на 2 , до результату додайте 5, знайдену сусу
помножте на 5. Назвіть результат.
Ведучий-фокусник від названого результату віднімає 25. Перші зліва
цифри різниці дають задуману оцінку.
Розв’язання. Нехай задумано оцінку а=4, тоді(2а + 5) ∙ 5 = 10а + 25
65-25=40, отже оцінка 4.
Завжди число 5
Задумайте число. Додайте до нього наступне за ним число. До суми
додайте 9. Поділіть нову суму на 2. Відніміть задумане число. Ось ви отримали
число 5!
Розв’язання. (а + (а + 1) + 9): 2 − а = а + 5 − а = 5
Завдання 18. Загадки
1. У одній коробці в мене є жуки,
У другій такій коробці - павуки.
Небагато їх, і легко полічить:
89
Павуків з жуками разом шість.
Став лічити скільки всього ніг,
Але швидко це зробити я не зміг.
Сорок ніг я налічив, нарешті, там
І загадку всім загадати хочу вам:
Відгадайте, скільки маю я жуків
І окремо скільки в мене павуків
(6 ∙ х + 8 ∙ (6 − х) = 40 4 жуки і 2 павуки)
2. Він у зубів,
Він є у слів
І у рослини в полі.
Ти здогадатися зумів,
Що мова йде про … (корінь)
3. Загадкове, нам знайоме,
В ньому є щось невідоме.
Його треба розв’язати,
Тобто корінь відшукати.
Кожен знає без вагання
Відповість, що це … (рівняння)
Завдання 19. Дивовижний, чарівний світ казок, що полонив його у
дитинстві, продовжував манити і притягувати до себе. Ще в дев’ять років
І.Франко почав записувати народні казки, а у зрілому віці не тільки
продовжував цю роботу, а й сам створив цілий ряд казок про тварин,
об’єднаних спільним заголовком «Коли ще звірі говорили».
Розв’язання. -Постає питання: Скільки казок написав І.Франко?
- Розв’язавши рівняння ми дізнаємося відповідь на це питання.
7
5
2
1
(18 + 24 х) : 3 3 = 3.
90
Якщо число, що дорівнює 50% кореня рівняння, помножити на 25, то
одержимо кількість казок, які написав І. Франко.
Тести з теми «Рівняння»
Варіант 1
1. Яке з наведених чисел є коренем рівняння – 3х= –12:
А) – 4;
Б) 4;
В) –
1
;
4
Г)
1
.
4
2.Якщо в рівнянні 5х + 6 = –8 доданок 6 перенести у праву частину, то
отримаємо рівняння:
А)5х= –8+6 ;
Б) 5х= –8–6;
В) 5х=8–6;
Г) 5х=8+6 .
3.Одне з чисел на 7,4 більше за друге. Якщо менше з чисел позначити
через х, то більше з чисел буде дорівнювати:
А)х + 7,4;
Б) 7,4х;
В) х – 7,4;
Г) х : 7,4 .
4. Які два з наведених тверджень правильні?
А) Якщо обидві частини рівняння поділити на одне й те саме відмінне від
нуля число, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане тільки
зменшені в дане число раз;
Б) Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число, то
отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане;
В) Якщо обидві частини рівняння помножити на одне й те саме число, то
отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане;
Г) Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння до
іншої, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння,
яке має ті самі корені, що й дане.
5. В яких з наведених прикладів правильно розв’язані рівняння?
А)– х + 1 = –2х – 10;
Б) –2х – 8 = 4х + 4;
– х –2х = – 10 +1
–2х – 4х = 4 + 8
– 3х = –9
– 6х = 12
х = –9:( –3)
х = 12:( –6)
х=3
х = –2
В) 1 – 4х = 2х +7;
Г) – 6х –2 = –12 – х.
91
– 4х – 2х = 7 – 1
–6х + х = –12 + 2
–6х = 6
–5х = – 10
х = 6:( –6)
х = –10+5
х = –1
х = –5
6. Встановити відповідність між даними умовами задач та відповідними
їм, правильно складеними рівняннями, необхідними для їх розв’язання:
А) 36–3х +3=36–х
А) В великій діжці меду в 3 більше, ніж у
малій. Після того як з великої діжки взяли 36
кг меду, в обох діжках меду залишилося
порівну. Скільки кілограм меду було в кожній
діжці?
Б) х + 3х = 36
Б) В першій діжці меду в 3 більше, ніж у
другій. Після того як з першої діжки взяли 36
кг меду і переклали в другу, в обох діжках
меду стало порівну. Скільки кілограм меду
було в кожній діжці?
В) 3х – 36 = х
В) В великій діжці меду в 3 більше, ніж у
малій. Після того як з великої діжки взяли 36
кг меду, в обох діжках меду залишилося
36 кг. Скільки кілограм меду було в кожній
діжці?
Г) 3х–36 + х = 36
Г) В двох діжках було по 36 кг меду. Після
того, як з першої взяли в 3 рази меду більше,
ніж з другої, в ній стало на 3кг меду менше,
ніж
у
другій.
Скільки
кілограм
меду
залишилося в кожній діжці?
Д) 3х–36 = х + 36
92
7. Розв’язати рівняння: А) – 4х + 16 = – 20 + 2х; Б) – 23х – 15 = – 20х – 9;
В)7,2 + 3,6 х = – 10,6 + 3,2х.
Завдання відкритої форми. Виконується письмово з необхідними
поясненнями.
8. Розв’язати рівняння:
А) 2·( 3х – 1,5) – 4( 1–2х ) = 20х – 8; Б)
х х
х  2 3х  1
  6 ; В)

 2.
7 2
3
2
9. Розв’язати задачу.
Малюк і Карлсон вирішили зібрати колекцію марок. Малюк зібрав марок
у 4 рази більше, ніж Карлсон і тому вирішив подарувати своєму товаришу 10
марок. Навіть після цього у Малюка залишилося марок в два рази більше, ніж
їх стало у Карлсона. Скільки марок вдалося зібрати Малюку і Карлсону разом?
Варіант 2
1. Яке з наведених чисел є коренем рівняння – 7х = 21:
А) – 3;
Б) 3;
В) –
1
;
3
Г)
1
.
3
2.Якщо в рівнянні 3х = – 2х + 10 доданок -2х перенести у ліву частину, то
отримаємо рівняння:
А)3х – 2х = 10 ; Б) 3х + 2х = 10; В) 3х + 2х = – 10;
Г) –3х + 2х = 10 .
3.Одне з чисел у 2,8 рази більше за друге. Якщо менше з чисел позначити
через х, то більше з чисел буде дорівнювати:
А)х + 2,8;
Б) 2,8х;
В) х – 2,8;
Г) 2,8 : х .
4. Які два з наведених тверджень правильні?
А) Якщо обидві частини рівняння поділити на одне й те саме відмінне від
нуля число, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане ;
Б) Якщо від обох частин рівняння відняти одне й те саме число, то
отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане ;
В) Якщо обидві частини рівняння помножити на одне й те саме число, то
отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане ;
93
Г) Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння до
іншої, не змінюючи при цьому його знак на протилежний, то отримаємо
рівняння, яке має ті самі корені, що й дане.
5. В яких з наведених прикладів правильно розв’язані рівняння?
А)–5х + 1 = –2х + 16;
Б) –8х – 4 = 2х + 10;
–5х + 2х = 16 – 1
–8х + 2х = 10 – 4
– 3х = 15
– 6х = 6
х = 15:( –3)
х = 6:( –6)
х=–5
х = –1
В) – 1 – 3х = 2х – 6;
Г) – 7х + 3 = – 9 – х.
– 3х – 2х = – 6 + 1
–7х + х = –9 – 3
– 5х = – 5
–6х = – 12
х = – 5:( –5)
х = –12 :(– 6)
х=1
х=2
6. Встановити відповідність між даними умовами задач та відповідними
їм, правильно складеними рівняннями, необхідними для їх розв’язання:
А) 2х – 12 +х = 12
А)У великому бідоні молока в 2 рази більше,
ніж у малому. Після того як з великого бідона
взяли 12л молока, в обох бідонах разом молока
залишилося 12л. Скільки літрів молока було в
кожному бідоні?
Б) 2х – 12 = х + 2
Б)У великому бідоні молока в 2 рази більше,
ніж у малому. Після того як з великого бідона
забрали 12л молока, а в малий долили 2л в обох
бідонах
молока залишилося
порівну. Скільки
літрів молока було в кожному бідоні?
В)2х – 12 = х
В)У великому бідоні молока в 2 рази більше,
ніж у малому. Після того як з великого бідона
94
перелили у малий 12л молока, в обох бідонах
молока залишилося
порівну. Скільки літрів
молока було в кожному бідоні?
Г)12–2х +2 = 12– х
Г)У двох бідонах було по 12л кг молока. Після
того, як з першого взяли в 2 рази молока більше,
ніж з другого, в ньому стало на 2л молока менше,
ніж у другому. Скільки літрів молока залишилося
в кожному бідоні?
Д) 2х – 12 = х +12
7. Розв’язати рівняння: А) – 8х – 13 = 7 + 2х; Б) – 17х + 18 = – 28х – 15;
В)2,9 – 5,8 х = – 3,7 – 5,6х;
Завдання відкритої форми. Виконується письмово з необхідними
поясненнями.
8. Розв’язати рівняння: А) 8·( 2х – 2,5) – 2( 8 – х ) = 10х – 6;
Б)
х х
  3;
4 3
В)
х  1 5х  2

 1.
2
3
9. Розв’язати задачу.
Мальвіна і Буратіно збирали білі гриби. Мальвіна зібрала грибів марок у
5 раз більше, ніж Буратіно і тому, щоб заспокоїти засмученого товариша
непомітно переклала в його корзину 12 грибів. Навіть після цього у Мальвіни
залишилося грибів у два рази більше, ніж їх стало у Буратіно. Скільки білих
грибів вдалося зібрати Мальвіні і Буратіно разом?
Тематика задач – «Здоров’я людини».
Учитель. Своїм ритмічним постійним скороченням серце змушує кров
рухатися по судинах, забезпечуючи клітини організму киснем і поживними
речовинами. Чи задумувалися ви над тим, якийоб’єм серця?
Щоб більше дізнатися про серце, пропонуюрозв’язати задачі, кожну з
яких починатимемоз прислів’я.
Прислів’я: «Найбільше багатство – … ». (Здоров’я.)
95
Завдання 1. У дорослої людини об’єм серця вдвічібільший, ніж у
семирічної дитини. А об’єм серцяпідлітка 13 – 14 років є середнім
арифметичним об’єму серця дитини та дорослої людини і на 45 мл менше, ніж
у дорослого. Який об’єм серця підлітка?
Розв’язання. Нехай об’єм серця семирічної дитини х мл, тодіоб’єм серця
дорослої людини 2х мл, а підлітка - (2х – 45) мл, або (x + 2x):2
Маємо рівняння:(x + 2x):2=2х – 45.
1,5х – 2х = –45,
0,5х = 45,
х = 90.
Отже, об’єм серця семирічної дитини – 90 мл,дорослої людини –
2∙90=180 (мл), а підлітка – 180–45=135 (мл).
Відповідь. 135 мл.
Учитель. Продовжимо нашу розмову про серце. Як ви думаєте, скільки
крові перекачує ваше серцеза одну добу? До вашої уваги наступна задача.
Прислів’я: «… виходить пудами, а входить золотниками». (Здоров’я.)
Завдання 2. За добу серце семирічної дитини перекачує 70 % крові від
маси крові, яку перекачує серцепідлітка 13-14 років, і на 4,5 т крові менше, ніж
серце дорослої людини. При цьому серце підліткаперекачує на 3 т менше крові,
ніж серце дорослоїлюдини. Яку масу крові перекачує серце підлітка за добу?
Розв’язання. Нехай серце підлітка перекачує за добу х т крові,тоді серце
семирічної дитини перекачує 0,7х т крові, а дорослої людини – (0,7х +4,5) т або
(х+ 3) т.
Маємо рівняння:
0,7х + 4,5 = х + 3;
0,7х – х = 3 – 4,5;
–0,3х = –1,5;
х = 1,5 : 0,3;
х = 5.
Отже, серце підлітка за добу перекачує 5 т крові.
Відповідь. 5 т.
96
Учитель. За добу серце підлітка перекачує 5 ткрові. Це число
характеризує роботу серця у спокійному стані. Під час напруження фізичного
чи емоційного воно може збільшуватися вдвічі. Які висновки можна зробити?
Для нормального розвитку серця важливо, щобвоно мало достатнє
тренування: спортивне чи трудове, бо це розвиває серцеві м’язи, але слід
уникатиперенавантажень.Робота серця пов’язана з роботою дихальної системи,
оскільки кров переносить кисень.
Прислів’я: «… маємо — не дбаємо, а загубивши - плачемо». (Здоров’я.)
Завдання 3. Десятирічна дитина за добу вдихаєна 4 000 л повітря менше,
ніж п’ятнадцятирічнийпідліток. Разом вони вдихають за добу 18 000 л повітря.
Скільки літрів повітря за добу вдихає підліток?
Розв’язання. Нехай дитина за добу вдихає х л повітря, тодіпідліток –
(х + 4) л, а разом – 18 000 л. Маєморівняння:
х + х + 4 = 18;
2х = 14;
х = 7.
Отже, дитина вдихає за добу 7 000 л повітря, а підліток –
7000+4000=11000 (л).
Відповідь. 11 000 л.
Учитель. Про що говорить вам ця інформація?
Важливо, щоб повітря було чистим, свіжим, безпилу та диму. Крім того,
важливо розвивати м’язита кістки грудної клітини, правильно сидіти за столом,
не сутулитися, робити дихальну гімнастику,займатися спортом та фізичною
працею.Якщо не відводити достатньо часу для сну, серце й інші органи будуть
перевантажені. Скільки часуви спите?
Пропоную задачу, розв’язавши яку ви дізнаєтеся, які існують норми часу
для сну.
Прислів’я: «Хвороб безліч, а … - одне». (Здоров’я.)
Завдання 4. Підлітки 10-11 років повинні спатина 1 год більше, ніж
підлітки 14-15 років. А часдля сну підлітків 14-15 років становить 90 % часу,
97
відведеного на сон для підлітків 10-11 років. Якінорми часу для сну підлітків
14-15 років?
Розв’язання. Нехай норма часу для сну підлітків 10-11 роківстановить х
год, тоді норма часу для сну підлітків14-15 років – 0,9х год, а їх різниця
дорівнює 1.
х – 0,9х = 1;
0,1х = 1;
х = 10.
Отже, підлітки 10-11 років мають відводитина сон 10 год, а підлітки 14-15
років – 0,9 ∙10 = 9 (год).
Відповідь. 9 год.
Учитель. Чим, на вашу думку, шкідливе недосипання?
Очікувана
відповідь.
Недосипання
шкідливовпливає
на
організм,
ослаблює його, зменшує працездатність, порушує нервову систему.
Учитель. Погодьтеся, але однією з причин недосипання є… надмірне
захоплення комп’ютером.Які ж існують санітарні норми відносно часу,
проведеного за комп’ютером?
Прислів’я: «У … тілі … дух». (Здоровому.) (Здоровий.)
Завдання 5. Згідно санітарних норм учень 1-гокласу може знаходитися за
комп’ютером 50 % відтого часу, що учень 6-го класу. А учень 6-го классу може
знаходитися за комп’ютером на 10 хв більше,ніж учень 1-го класу. Скільки часу
згідно санітарнихнорм дозволяється знаходитися за комп’ютеромучню 6-го
класу?
Розв’язання. Нехай учень 6-го класу знаходиться за комп’ютером х хв,
тоді учень 1-го класу – 0,5х хв, а їхрізниця дорівнює 10 хв.
х – 0,5х = 10;
0,5х = 10;
х = 20.
Отже, згідно санітарних норм учень 6-го класуможе знаходитися за
комп’ютером 20 хв.
Відповідь. 20 хв.
98
РОЗДІЛ 10 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ І ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ. КООРДИНАТНА
ПЛОЩИНА
99
10.1. Історична довідка
Перпендикулярні прямі
Слово «Перпендикуляр» (лат. perpendicularis – прямовисний, від
perpendiculum – схил) до даної прямої (плоскість), пряма, що пересікає дану
пряму (плоскість) під прямим кутом.
Цей термін з'явився у середні віки. Знак перпендикулярності було
введено у XVIIст.
Паралельні прямі. Властивості паралельних прямих.
Слово
«паралельний»
грецького
походження. Грецьке «паралелей» означає ті, що
йдуть поряд. Цей термін почали застосовувати ще
в IVст. до н.е. піфагорійці.
Основна властивість паралельних прямих –
це п’ятий постулат Евкліда. Постулат – це
математичне твердження, яке приймається без
доведення. Цей постулат першої книги «Начал» Евкліда безуспішно намагалися
довести вчені протягом двох тисяч років, і ці спроби привели до відкриття
Лобачевским у першій половині 19 століття геометрії неевклідової, яку було
названо геометрією Лобачевского.
Аксіома паралельності Евкліда, або п'ятий постулат: «Якщо пряма, що
перетинає дві інші прямі, утворює внутрішні односторонні кути, які менші, ніж
два прямі кути, то ці дві прямі перетнуться як
завгодно далеко з тієї сторони, де кути»
Евклід (грец. Ευκλείδης; близько 365 –
близько 300 до н. е.) – старогрецький математик
і визнаний основоположник математики. Родом
з Афін, був учнем Платона. Автор найдавніших
трактатів
з
математики,
що
дійшли
до
сьогодення. В них підсумовано досягнення
100
давньогрецької
математики.
Наукова
діяльність
Евкліда
проходила
в
Александрійській бібліотеці – суспільній інституції, що являла собою
бібліотечний,
науковий,
навчальний,
інформаційно-аналітичний,
і
культурологічний комплекс.
Основна праця Евкліда «Начала» (латинізована назва «Елементи»)
включає в себе 15 книжок, у яких міститься систематизований виклад геометрії,
а також деяких питань теорії чисел.
«Начала» відіграли винятково важливу роль у подальшому розвитку
математичної науки. Історичне значення цієї праці полягає в тому, що в ній
уперше здійснено спробу логічної побудови геометрії на основі аксіоматики.
«Начала» Евкліда витримали понад 500 перевидань усіма мовами світу.
Мав також роботи з астрономії, оптики, теорії музики
Побудова паралельних прямих за допомогою лінійки і косинця
Паралельність і перпендикулярність настільки важливі, що їх не
залишили без уваги навіть люди, дуже далекі від математики. На початку XX
століття
в
живописі
зародилося
авангардистський
напрямок,
що
характеризується використанням геометрізованних умовних форм, прагненням
«роздрібнити» реальні об'єкти на стереометричні примітиви. Цей напрям був
названо кубізмом.
ПаблоПікассо «Чоловіча голова»Л.
Попова «Портрет філософа»
101
Прямокутна система координат
Більш ніж за 100 років до н.е. грецький вчений
Гіппархзапропонував опоясати на мапі земну кулю
паралелями і меридіанами та ввести зараз добре відомі
географічні координати: широту та довготу і позначати
їх числами.
Гіппарх (грец. Ἳππαρχος), близько 190 до н. е. –
після 126 до н. е.) – давньогрецький астроном, один з найвизначніших
астрономів давнього світу.
Народився, імовірно, в Нікеї (Віфінія). Більшу частину життя мешкав на
острові Родос. Там у 160 до н. е. – 125 до н. е. роках створив більшу частину
своїх наукових праць. Найважливіші його праці не збереглися, але вони були
відомі філософам та вченим тих часів, зокрема Птоломею, який спирався на
його праці в «Альмагесті».
Вніс визначний внесок у розвиток астрономії.
Запровадив поділ зір на шість груп за їх блиском (видима зоряна
величина), створив зоряний каталог, що містив координати та яскравість
близько 850 зір.
Обчислив тривалість тропічного тропічного року із похибкою менше 6
хвилин.
Розвинув ідею асторономівЕвктемона і Калліппа щодо неоднакової
тривалості сезонів року: за власними, точнішими, ніж у його попередників,
спостереженнями вирахував, що інтервал між весняним рівноденням і літнім
сонцестоянням становить 94,5 дні, а між літнім сонцестоянням та осіннім
рівноденням – 92,5 дні. Довів, що зміни у швидкості видимого руху Сонця
можна пояснити припущенням, що Земля розташована не у центрі кола, яким
рухається Сонце.
Гіппарх (грец. Ἳππαρχος), близько 190 до н. е. – після 126 до н. е.) –
давньогрецький астроном, один з найвизначніших астрономів давнього світу.
Народився, імовірно, в Нікеї (Віфінія). Більшу частину життя мешкав на
острові Родос. Там у 160 до н. е. – 125 до н. е. роках створив більшу частину
102
своїх наукових праць. Найважливіші його праці не збереглися, але вони були
відомі філософам та вченим тих часів, зокрема Птоломею, який спирався на
його праці в «Альмагесті».
Вніс визначний внесок у розвиток астрономії.
Запровадив поділ зір на шість груп за їх блиском (видима зоряна
величина) створив зоряний каталог, що містив координати та яскравість
близько 850 зір.
Висловив дуже важливу для астрономії ідею, що для виявлення
повільних, малопомітних змін на небосхилі слід порівнювати спостереження,
здійснені протягом кількох поколінь. Порівнюючи свої спостереження зі
спостереженнями Аристіла і Тімохаріса відкрив явище прецесії (випередження
рівнодення).
Обчислив тривалість тропічного тропічного року із похибкою менше 6
хвилин.
Розвинув ідею асторономівЕвктемона і Калліппа щодо неоднакової
тривалості сезонів року: за власними, точнішими, ніж у його попередників,
спостереженнями вирахував, що інтервал між весняним рівноденням і літнім
сонцестоянням становить 94,5 дні, а між літнім сонцестоянням та осіннім
рівноденням – 92,5 дні. Довів, що зміни у швидкості видимого руху Сонця
можна пояснити припущенням, що Земля розташована не у центрі кола, яким
рухається Сонце.
Запровадив географічні координати (широту і довготу)
У ІІ віці н.е. відомий давньогрецький астроном Клавдій Птолемей вже
користувався довготою і широтою в якості географічних координат.
Клавдій Птолемейгрец. Κλαύδιος Πτολεμαῖος
(близько
87
–
165)
–
давньогрецький
вчений
(математик, астроном, географ, астролог), твори якого
мали великий вплив на розвиток астрономії, географії
та оптики.
Дані про життя Птолемея мізерні. Жив у
римській провінції Єгипет і працював в Александрії.
103
Створив геоцентричну систему світу, розробив математичну теорію руху
планет навколо нерухомої Землі, яка дозволяла обчислювати їхнє положення на
небі. Система Птолемея викладена в його головній праці «Альмагест» –
енциклопедії астрономічних знань давнини. У 1543 польський астроном
Миколай Копернік запропонував альтернативну, геліоцентричну систему. У
праці
Птолемея
«Географія»
були
представлені
географічні
відомості
античного світу, нею користувалися аж до 16 століття.
Широко відомим був твір Птолемея «Посібник з географії» у восьми
книгах. У 1475 – 1600 роках побачили світ 42 видання цього твору. В ньому
дано повне, добре систематизоване зведення тогочасних географічних знань.
Птолемей особливо багато зробив для розвитку та застосування теорії
картографічних проекцій. Він навів координати восьми тисяч пунктів (по
широті – від Скандинавії до верхів'я Нілу, по довготі – від Атлантичного океану
до Індокитаю). Ці дані базувалися майже винятково на відомостях про
маршрути купців і мандрівників, а не на астрономічних розрахунках. До
трактату додано одну загальну та 26 спеціальних карт земної поверхні.Та
вперше провів паралелі і меридіани.
Вперше прямокутну систему координат ввів Рене Декарт у своїй роботі
"Міркування про метод" в 1637. Тому прямокутну систему координат
називають також – Декартова система координат. Координатний метод опису
геометричних об'єктів поклав початок аналітичної геометрії. Вклад у розвиток
координатного методу вніс також П'єр Ферма, проте його роботи були вперше
опубліковані вже після його смерті. Декарт і Ферма застосовували
координатний метод тільки на площині.
Рене Декарт народився 31 березня 1596
року в місті Лае (тепер Декарт), Франція. Його
мати померла, коли йому був лише рік. Батько
Декарта був міським суддею в Ренні, і в Лае
з'являвся
рідко.
Вихованням
хлопчика
займалася бабуся по матері. В дитинстві Рене
відрізнявся тендітним здоров'ям і неймовірною
104
допитливістю.
Початкову освіту він здобув у єзуїтському коледжі.
Після закінчення освіти Декарт проводив у Парижі
безтурботне життя, повне насолоди. Але врешті решт
такий спосіб життя став тягарем для нього, і він
усамітнився для того, щоб присвятити себе математичним
дослідженням.
Йому подобались бали та азартні ігри – при цьому
гравцем він був дуже вдалим, в чому велику роль зіграв
його математичний талант.
Деякий час він був військовим, подорожував. У 1628 – 1649 роках жив в
Голландії. Але все ж математична точність і логіка привела його в лоно науки.
Його наукові дослідження в галузі фізики відносяться головним чином до
механіки, оптики і будовою Всесвіту.
Глибоко вивчивши психологію творчості, Декарт склав свої знамениті
"Правила для керівництва розуму". В них він вчив, як треба аналізувати
проблему, розкладаючи важкі питання на більш прості до тих пір, поки не
з'явиться можливість успішно їх вирішити.
І ось якось у хвилину натхнення йому здалося, що такий універсальний
метод знайдений – це метод координат, на якому заснована аналітична
геометрія.
Узагальнюючи і об'єднуючи відомі йому методи координат і буквеної
алгебри, Декарт надав своєму методу точну і ясну математичну форму. Суть
методу Декарта полягає встановлення найтіснішого зв'язку між геометричними
об'єктами і алгебраїчними формулами. Цей взаємозв'язок встановлюється за
допомогою системи координат. Якщо на площині дана система координат, то
для кожної точки можна визначити пару чисел, її координати, і, назад, якщо
дана пара чисел, причому вказаний порядок їх відповідності осях координат, то
по ним завжди можна побудувати на площині єдину точку. Декарт обмежився
застосуванням методу координат у площині.
105
Декартовий спосіб встановлення зв'язку між точками і числами виявився
настільки плідним, що, по суті справи, поклав початок нової, сучасної
математики. Великий математик і механік П. Лаплас писав, що день, коли
Декарт усвідомив собі свій метод, можна вважати офіційним днем народження
сучасної математики. (Історія зберегла нам цю дату – 10 листопада 1619 р.)
Терміни
«абсциса»,
«ордината»,
«координати»
першим
почав
використовувати в кінці 17 століття Готфрід Вільгельм Лейбніц.
10.2. Мотивація навчальної діяльності
Перпендикулярні прямі
Знайомство з перпендикулярними прямими.
Виконайте завдання. Давайте уявимо, що ви купаєтеся в морі недалеко
від берега. Раптом з'являється акула!
Звичайно, ви для неї делікатес, тому найкраще, що ви можете зробити, пливти до берега (він обмежений прямою лінією). Намалюйте ваш шлях.
Врахуйте, що акула пливе за вами.
Відповідь: потрібно вибрати найкоротший шлях від точки (ви самі) до
прямої (лінії берега) за допомогою трикутника. Цей шлях буде називатися
перпендикуляром. І якщо ми його продовжимо, то отримаємо перпендикулярні
прямі.
Перпендикулярні прямі – це прямі, які перетинаються на площині під
прямим кутом.
Як в зошиті накреслити перпендикулярні прямі?
Як на білому аркуші накреслити ці прямі?
Саме на ці запитання ми будемо давати відповіді протягом даного уроку.
Прямокутна система координат
Звертаючись один до одного, люди часто говорять: «Залиште свої
координати». Для чого? Щоб людину можна було легко знайти. Це може бути
телефон, домашня адреса, місце роботи, електронна адреса та інше.
106
Математика як наука виникла зі спостережень людини за навколишнім
світом і потреби виразити закономірності цього навколишнього світу мовою
чисел.
Але потім, розвиваючись, математичні знання стали допомагати людям у
розв'язуванні різноманітних задач. Наприклад, задача на визначення положення
якого-небудь об'єкта на земній поверхні або більш проста: визначення певної
особи в глядацькому залі кінотеатру. Зрозуміло, що в першому випадку ми
визначаємо географічні координати місця (широта і довгота), а в другому ми
визначаємо місце в залі за номером ряду та номером місця в ньому. Виникає
запитання: а чи існує загальна система визначення положення об'єкта на
площині і якщо так, то як ця система побудована і як вона «працює»? Сьогодні
на уроці ми це з’ясуємо.
Приклади графіків залежностей між величинами
Учитель. Друзі! Ви вже знаєте, що координатна площина відрізняється
від звичайної площини тим, що на ній задано систему координат Система
координат не дозволяє задати положення будь-якої точки на площині за
допомогою двох чисел (її координат) Але виявляється, що цим фактом не
обмежується «користь» системи координат У нашому повсякденному житті, в
науці и техніці постійно розглядаються величини та залежності між ними
мабуть, ваші батьки, спостерігаючи, як ви підростаєте, роблять помітки, якого
зросту ви були в один, два, три і т.д. років, на уроках природознавства
спостерігаєте за зміною температури упродовж місяця і т. ін.
Ви, мабуть, знаєте, що такі спостереження можна записувати у вигляді
таблиці Тепер виникає питання, а чи можна «побачити» ці залежності (як
міняється одна величина залежно від зміни іншої).
На це питання ми і будемо шукати відповідь на уроці.
10.3. Прикладні та творчі завдання
Перпендикулярні прямі
107
Завдання 1. Гра «Кодувальник»
Учні
«ланцюжком»
виконують
усні
вправи,
знайдена
відповідь
зіставляється з кодом, що записаний на дошці. В кінцевому результаті, склавши
усі літери, отримуємо тему уроку «Перпендикулярні прямі»
Завдання 2. Завдання для обчислення:
5*4 = 20 (П)
49:7=7 (Е)
-10,5+31,5=21 (Р)
100:5=20 (П)
-77 : (-11)=7 (Е)
-26+44=18 (Н)
-42: (-7) =6 (Д)
-20+31=11 (И)
-3*(-5)=15 (К)
6*4=24 (У)
-4+20=16 (Л)
3*11=33 (Я)
3*7= 21 (Р)
100-82=18 (Н)
2*6=12 (І)
40:2=20 (П)
108
138-117=21(Р)
36+7=33(Я)
34:2=17 (М)
144:12=12 (І)
Завдання 3. Гра світлофор
Актуалізація опорних знань
Кожен учень отримує по три кольорові карточки.
Правила гри
Якщо Ви не згодні із зачитаним твердженням, то піднімаєте червону
картку, як би кажучи «Стоп! Я не погоджуюся!
Якщо Ви не знаєте, то піднімаєте жовту картку.
Якщо Ви згодні, то піднімаємо зелену картку, ніби говорячи «Правильно,
йдемо далі!»
Твердження можуть бути наступними:
- Кути бувають розгорнуті і згорнуті (ні – піднімають червону картку)
- Розрізняють тупі, гострі, розгорнуті та прямі кути (так – піднімають
зелену картку)
- Всі кути мають градусну міру (так – піднімають зелену картку)
- Всі фігури, зображені на дошці – кути (ні – підіймають червону картку)
- Кут, градусна міра якого становить 90 градусів, називається прямим
(так – піднімають зелену картку)
- При побудові прямих кутів використовують транспортир і креслярський
косинець (так – піднімають зелену картку).
Завдання 4. Побудуйте квадрат ABCD зі стороною 25 мм. Запишіть:
а) які прямі перпендикулярні до прямої АВ;
б) перпендикуляри до прямої CD та їх довжини.
109
Завдання 5. На дошці накреслено прямокутник ABCD. Учитель витирає
його, зберігши вершини А, В і С. Як відновити прямокутник ABCD?
Завдання 6. Встав пропущені слова.
1) Якщо а  b, то при перетині прямих а і b утворюється чотири прямі
кути.
2) Якщо пряма а не перпендикулярна до прямої
b, то при перетині
прямих а і bне утвориться чотири прямих кути.
3) Якщо при перетині прямих а і b утворюється чотири прямі кути, то а 
b.
4) Якщо при перетині прямих а і b не утворюється чотири прямі кути, то
пряма а не перпендикулярна до прямої b.
Завдання 7. Знайти на рисунку перпендикулярні прямі, записати це за
допомогою символів.
Завдання 8. На рисунку АВ  CD,  FOE=80o,  СОЕ=25о. Знайдіть
градусну міру кутів АОF та ЕОВ.
Завдання 9. На рисунку АВ  CD. Кут COLв два рази менший за кут
BOL. Знайдіть градусні міри кутів COL, LОВ, МОВ та LОN.
110
Завдання 10. Два батька і два сина з'їли за сніданком три яйця, причому
кожному з них дісталося по цілому яйцю. Як це могло трапитися? (Відповідь: 3
особи: дідусь, його син і його внук).
Завдання 11. Число 66 збільшить на половину цього числа, не
виконуючих арифметичних дій (Відповідь: переверніть числа).
Побудова перпендикулярних прямих за допомогою косинця
Завдання 1. На готовому рисунку, який виконано на відкидній дошці
заздалегідь, учні мають знайти перпендикулярні прямі та записати їх у зошити,
використовуючи вивчені на попередньому уроці символи.
Завдання 2. Гра «Вірю – не вірю»
Вчитель зачитує твердження, серед яких є правильні і неправильні. Якщо
вона правильне, то учні хлопають в долоні, якщо ні, то тупотять ногою.
Твердження:
1) Дві прямі перетинаються, якщо вони мають дві спільні точки.
2) Через точку, що не лежить на даній прямій можна провести пряму,
перпендикулярну до даної, і до того ж тільки одну.
3) Внаслідок перетину прямих один із утворених кутів дорівнює 100 о. Ці
прямі перпендикулярні.
4) Промені або відрізки, що лежать на перпендикулярних прямих, також
вважають перпендикулярними.
111
Завдання 3. Вказати назву перпендикуляра, проведеним з точки K до
прямої BS.
Завдання 4. На рисунку АВ  CD,  MON=70о,  СОМ=60о. Знайдіть
градусні міри кутів МОВ та NOB.
Завдання 5.Проведіть перпендикулярні прямі від точки О до кожної зі
сторін трикутника.
О
Завдання 6. Побудуй прямокутник FEHG, сторона якого EH = 8 см і
FE=12 см. Визнач відстань:
а) від вершини G до сторони ЕН;
б) від сторони ЕН до точки перетину діагоналей прямокутника.
Завдання 7. Побудуй квадрат EFGH, сторона якого дорівнює 10 см.
Визнач відстань:
a) від вершини E до відрізка GF;
б) від точки перетину діагоналей до відрізка GF.
Завдання 8. Встановіть чи є зазначена на малюнку точка точкою
перетину перпендикулярних відрізків.
112
Завдання 9. Задача-жарт. Чотири брата володіли спільно одним ослом:
кожному брату належала одна нога цієї тварини. Трапилося, що осел поранив
ногу, що належала
брату Івану. Нога розболілася, і осел не міг більш
працювати. Так як від цього страждали і три інших брата, то всі четверо
вирішили лікувати осла разом, для чого надумали приложити до хворої ноги
клоччя і підпалити її. Коли вони це зробили, осел, злякавшись вогню і відчувши
біль, вирвався і кинувся бігти, куди очі дивляться. Незабаром він опинився у
володінні одного поміщика, де були складені снопи хліба. Від того, що клоччя
горіло, солома моментально спалахнула, і весь складений хліб згорів. Поміщик
зажадав від братів відшкодування понесених ним збитків в розмірі 3000 грн.
Хто з братів, і в якому розмірі повинен сплатити цю суму? (Відповідь: суму
3000 грн. повинні заплатити ті три брата, яким належать здорові ноги, так як
осел біг тільки на здорових ногах).
Завдання 10. «Дідусю, скільки тобі років?» – Запитав діда онучок. – «А
ось додай до кожного повного десятку моїх років по 2 роки і отримаєш 84
роки» – відповідав старенький. Скільки років дідові? (Відповідь: 70 років).
Паралельні прямі. Властивості паралельних прямих.
Завдання 1. Вставте пропущені слова так, щоб вийшли правильні
висловлювання.

Дві
прямі,
які
не
перетинаються
на
площині,
називаються
паралельними.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, то
вони паралельні між собою.

Через довільну точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести
лише одну пряму, паралельну даній.
113
Завдання 2. Знаючи, що серед прямих a, b, c, d, e, f, m, n є три пари
паралельних прямих, визначте їх на око. Зробіть запис, використовуючи знак
b
а
с
def
m
n
Завдання 3. Визначте «на око» чи паралельні прямі, зображені на
рисунках.
Ілюзія Герінга
Ілюзія Вундта (1896)
Ілюзія кафе "Wall"
114
Ілюзія виявлена Р. Грегорі в кафе "Wall" в Брістолі (RichardGregory,
1979).
Ілюзія Цолльнера
Ілюзія з крученими мотузками
(Zolliner, 1860)(JamesFrazer, 1908)
Виявляється, що на кожному з рисунків прямі паралельні, хоча на перший
погляд, здається, що ні (через зорові спотворення).
Завдання 4. Через точку М проведіть прямі, паралельні сторонам кута
АВС. Розфарбуйте фігуру, що утворилася.
А
М
А
М
С
В
а)
В
С
б)
Завдання 5. Через точку Р проведіть прямі, паралельні сторонам
трикутника АВС.
Завдання 6. Гра «Знайди слова та склади з них речення»
Підказка! Букви кожного слова знаходяться на клітинках, зафарбовані
одним кольором.
115
п
п
п
е
р
а
р
р
е
а
т
и
н
я
л
а
м
е
л
ю
н
т
ь
ь
е
с
н
і
я
і
«Паралельні прямі не перетинаються»
Завдання 7. Накресліть чотирикутник, у якого:
а) дві сторони паралельні;
б) тільки дві сторони паралельні;
в) дві сторони паралельні і є перпендикулярні сторони;
г) тільки дві сторони перпендикулярні;
д) немає паралельних і перпендикулярних прямих.
Завдання 8. Тест. Прапор даної країни містить в собі паралельні та
перпендикулярні прямі.Щоб дізнатися про яку країну йде мова, дай відповідь
на питання тесту і випиши по порядку букви правильних відповідей.
У завданнях 1–3 дайте відповідь на запитання: «Чи правильне
твердження?»
1. Перпендикулярні прямі утворюють при перетині прямі кути.
С. НіГ. Так
2. Дві прямі, які перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, можуть
перетнутися не більше ніж в одній точці
Р. НіП. Так
3. Відрізки, що лежать на паралельних прямих не перетинаються.
І. Ні Е. Так
4. Вкажіть вірний результат перенесення доданків в рівнянні -8х+7=3х-4.
116
Щ. -8х-3х = -4 + 7 Ц. -8х-3х = -7-4
5. Розв'яжіть рівняння -8х+7=3х-4. Знайдіть вірну відповідь.
І. 1 Е. -1
6.Спростіть вираз -12х+43+7х-31, запишіть правильну відповідь
Я. -5х + 12 Ю.-5х + 74
Яке слово вийшло? (Греція)
Завдання 9. В школі навчаються 13 дітей. У хлопчиків стільки зубів,
скільки у дівчаток пальців на руках і на ногах. Скільки в школі хлопчиків і
скільки дівчаток? Передбачається, що у кожного хлопчика і кожної дівчинки по
32 зуба як у дорослих людей. (Відповідь: хлопчиків – 5, а дівчаток – 8)
Завдання 10. На наступному рисунку за допомогою паралельних і
перпендикулярний прямих зашифроване слово. Прочитай його.
Побудова паралельних прямих за допомогою лінійки і косинця
Завдання 1. Ребус
Яке слово тут зашифровано?
117
Завдання 2. Знайдіть та запишіть паралельні прямі, зображені на
рисунку.
Завдання 3. Назвіть паралельні прямі
Завдання 4. Розділіть фігуру (трапецію) на чотири рівні частини
Завдання 5. Дано три прямі. На кожній прямій – дві точки. Скільки
всього точок?
Завдання 6. Зобразіть дві паралельні прямі. Придумайте спосіб
визначення відстані між ними.
Завдання 7. Знайди слова, математичні терміни.
п
е
р
п
е
н
д
и
к
п
т
о
ч
к
а
п
р
у
а
п
е
р
е
т
и
я
л
р
л
і
н
і
я
н
м
я
а
л
е
л
ь
н
і
а
р
Завдання 8. Три брата розділили між собою 24 яблука так, що кожен з
них отримав стільки яблук, скільки йому років. Молодший брат, якому
дісталося менше всіх яблук, залишився незадоволений і запропонував братам
118
наступне: «Я залишу собі тільки половину своїх яблук, а решта розділю між
вами порівну, а потім нехай спочатку середній, а потім і старший брат вчинять
так само, як і я ». Брати, не подумавши, погодилися ... і прогадали: яблук у всіх
в результаті виявилося порівну. Скільки років було кожному з братів?
(Відповідь: 4 роки, 7 років, 13 років)
Завдання 9. Число 82** ділиться на 90. Знайдіть ділене. (Відповідь: 8280)
Завдання 10. У сім'ї шестеро дітей. П'ятеро з них відповідно на 2, 6, 8, 12
і 14 років старші від самого молодшого, причому вік кожної дитини в роках
позначається простим числом. Скільки років молодшій дитині в родині?
(Відповідь: 5 років)
Прямокутна система координат
Завдання 1. На магнітній дошці зображено систему координат До дошки
викликається учень, який повинен швидко розмістити точку (магніт) у системі
координат, щоб й координати задовольняли умови, які називає вчитель
Питання вчителя
а) х > 0, у > 0,
б) х < 0, у < 0,
в) х > 0, у = 0,
г) х = 0, у > 0,
д) х < 0, у > 0,
е) х = 0, у <0.
Завдання 2. Гра «шифрувальник».
119
Знайти слова, записане із букв з наступними координатами: (-11; -6), (9; 4), (-2; -12 ), (9; -4); (0; -7), (9; -4), (3;6), (5; 1), (-11; -6), (7; 3). (Рене Декарт)
Завдання 3. Кросворд.
5
4
1
2
3
6

Якою латинською літерою позначається вісь абсцис? (Ікс)

Яке число є абсцисою точки А (1;5) (Один)

Вчений, ім'ям якого називається прямокутна система координат.
(Декарт)

Які числа розташовані вниз від нуля на осі ординат? (Від’ємні)

Для точки М (-5; 8) 8 – це … ? (Ордината)

Що потрібно знати, щоб визначити положення точки на площині?
(Координати)
Завдання 4. Послідовно з’єднуючи задані точки, побудуйте літачок.
(0;-6), (-4;-10), (-2;-2), (2;-10), (6;-8), (18;14), (-2;-2), (-4;-10), (-4;0),
120
(-12;1), (-8;6), (18;14), (-4;0)
Завдання 5. Послідовно з’єднуючи задані точки, побудуйте листочок.
(-9;-9), (-10;-9), (-6;-4), (-8;-3), (-8;-1), (-7;0), (-6;-1), (-6;4), (-4;6), (-3;5), (-3;4), (2;5), (-1;-8), (1;10), (2;10), (3;8), (6;10), (8;10), (9;9), (9;7), (7;4), (9;3), (9;2), (7;0),
(4;-1), (3;-2), (4;-2), (5;-3), (3;-5), (-2;-5), (-1;-6), (-2;-7), (-4;-7),
(-5;-5), (-9;-9).
Завдання 6. Самостійно побудувати тварину чи рослину в прямокутній
системі координат.
Задати координати точок для побудови. Наприклад:
121
Рис. 1
Рис. 3
Рис.2
Рис. 4
(Рисунки 2-4 були опубліковані в журналі «Математика в школі» №10 від
2001 року. (автор О.А.Леонова))
Завдання 7. Гра "Улучення в ціль" – зберемо гроно винограду.
На координатній площині дано точки-липучки (ягоди). Учні називають
координати зазначених точок і поруч на прозорій плівці розфарбовують
виноградне гроно (листячко вже розмальоване). Ягідка вважається зірваної,
якщо правильно зазначені її координати.
122
Завдання 8. Побудуйте в системі координат (за допомогою точок) власне
ім’я. Випишіть координати точок.
Завдання 9. Підійшовши до річки, мандрівники (їх було шестеро)
попросили власника човна переправити їх на протилежний берег. Так як до
чужоземним грошей човняр відчував недовіру, то мандрівники запропонували
йому як плату золотий ланцюжок, що складається з шести кілець. Човняр
погодився, але з умовою, що перевозити він буде всіх мандрівників по одному,
так як човен витримує тільки двох людей, і плату треба виробляти за кожен
рейс по одному кільцю ланцюжка, причому розпиляти можна не більше одного
кільця. Мандрівники, трохи подумавши, виконали таку умову. Як це їм
вдалося? (Відповідь: мандрівники розпиляли третє кільце, розділивши, таким
чином, ланцюжок на 3 частини. За перший рейс вони заплатили одним кільцем
(розпиляним); за другий дали човняру два кільця, отримавши від нього здачу в
одне кільце; за третій дали 3 кільця, отримавши здачу в двакільця; за четвертий
заплатили розпиляним кільцем; за п'ятий – два кільця, отримавши здачу в одне
кільце, і, нарешті, за шостий – одне кільце.)
Завдання 10. У записі 52*2* замініть зірочки цифрами так, щоб отримане
число ділилося на 36. Вкажіть всі можливі варіанти. (Відповідь: 52524;
52122228; 52020; 52920.)
Координатна площина
Завдання 1. Гра «Рибалка»
(Координати точок записані всередині «рибки», її вирізають, згинають
навпіл, до кожної прикріпляють скрепку. Учні по черзі беруть вудочку, на кінці
123
якої знаходиться магніт і ловлять рибку з картонного акваріума і позначають
точку на координатній площині, на дошці)
Завдання 2. Позначте на координатній площині точки М(6;6), N (-2;2),
К(4;1) та Р (-2;4). Побудуйте прямі МN та КР. Знайдіть координати точок
перетину:
а) прямих МN та КР;
б) прямої МN з віссю абсцис;
в) прямої КР з віссю ординат.
Завдання 3. Побудуйте на координатній площині усі точки, у яких
ордината та абсциса – додатні точки і їх сума дорівнює 5. Яка фігура
утвориться, якщо ці точки нанести на координатну площину?
Завдання 4. Гра “Змагання художників”
На дошці записані координати точок.
І варіант. Літак.(-7;0), (-5;2), (7;2), (9;5), (10;5), (10;1), (9;0), (-7;0); (0;2),
(5;6), (7;6), (4;2); (0;1), (6;-3), (8;-3), (4;1), (0;1)
ІІ варіант. Парусник. (0;0), (-10;1), (0;16), (-1;2), (0;0); (-9;0), (-8;-1),
(-6;-2), (-3;-3), (5;-3), (10;-2), (12;-1), (13;0), (-9;0); (0;0), (0;16), (12;2), (0;0).
Якщо на координатній площині кожну точку з’єднати з попереднім
відрізком, то в результаті отримаємо певний малюнок.
Завдання 5. Математичний диктант
Варіант 1 (2)
124

Скільки чисел потрібно вказати,щоб задати положення точки на
координатній площині?(Як називаються числа,що задають положення точки на
координатній площині?)

Як називаються перше(друге) з чисел,що задають положення точки
на координатній площині?

Запишіть позначення точки А (В),якщо її абсциса дорівнює 0,а
ордината 8 (абсциса 8,а ордината0).

Чому дорівнює ордината(абсциса) точки К(-5; 3),[М(8;-3)]

У Якій чверті координатної площині розташована точка (6;-3),[(-2;-4)].
Завдання 6. Запишіть координати точок, зображених на рисунку.
Завдання 7. Знайди помилку:
Завдання 8. Розшифруй ім’я або прізвище відомих вчених.
а)
б)
(-2;2) (2;0)
(4;-3)
(2;-2)
(0;0)
(-2;2)
Н
Ь
Ю
Т
О
Н
(4;2)
(-3;4)
(-4;-3) (3;-4)
(-3;4)
(5;1)
(2;0)
П
А
С
А
Л
Ь
К
125
Завдання 9. В неділю шестикласники вирушили в похід. Хлопчиків було
втричі більше, ніж дівчаток. Коли 4 хлопчика і 4 дівчинки пішли до річки
готувати обід, то хлопчиків залишилося вчетверо більше, ніж дівчаток.
Знайдіть, скільки шестикласників вирушило в похід. (Відповідь: 48 осіб).
Завдання 10. Дріжджові грибки при сприятливих умовах розмножуються
з великою швидкістю, збільшуючись в об'ємі в два рази за кожну хвилину. В
колбу помістили невелику кількість цих грибків, і вже до кінця п'ятої хвилини
дріжджі заповнили половину посудини. Знайдіть, через скільки хвилин після
цього вони заповнять весь посудину. (Відповідь: через 1 хв.)
Приклади графіків залежностей між величинами
Завдання 1. Графік показує, як змінювалася температура повітря
протягом доби.
Використовуючи графік, дайте відповідь на питання і заповніть таблиці:
126
t,год.
6 год.
14 год. 7 год.
20 год.
Т, С0
Т, С0
-60 -20 00
60
70
t, год.
а) Яка температура була максимальною в цей день?
б) Коли протягом доби температура підвищувалася?
в) Коли протягом доби температура була додатною?
Завдання 2. Побудуйте графік руху туристів за даними таблиці.
Час, год.
2
3
5
7
10
Відстань, км
10
10
20
20
30
За графіком визначте:
1) Скільки годин туристи були в дорозі?
2) Скільки кілометрів вони пройшли?
3) Скільки разів вони відпочивали і по скільки годин?
4) Яка початкова швидкість туристів?
Завдання 3. «Прочитайте графік» залежності між часом та відстанню. За
даними графіка складіть таблицю з даними.
Завдання 4. Перед вами модель куба, яку потрібно зафарбувати фарбою.
127
Скільки буде потрібно фарби, якщо на 1 см² доводиться 0,2 грама фарби?
Складіть формулу залежності площі всієї поверхні куба S від довжини ребра
куба a. Виміряйте довжину ребра куба і знайдіть відповідь задачі.
Завдання 5. За таблицею встановіть формулу залежності Y від Х.
Х
1
2
3
4
5
Y
1
4
9
16
25
Завдання 6. Для нормального освітлення школи потрібно 3000 лампочок.
Кожен місяць потрібно заміняти 10% лампочок. Скільки лампочок потрібно
купити, щоб забезпечити нормальне освітлення в школі протягом 4 місяців?
Запишіть формулу для обчислення необхідної кількості лампочок для п місяців.
Побудуйте графік залежності кількості лампочок, які потрібно замінити від
кількості місяців.
Завдання 7. Побудуйте графік , заданий формулою у=2х-4.
Завдання 8. Відомо, що площа круга S=  r2, де r – довжина його радіуса.
Складіть таблицю залежності площі круга від його радіуса, якщо r = 1 см; 2 см;
2,5 см; 3 см; 4 см. Побудуйте графік залежності.
Завдання 9. У морській порт теплохід «Щасливий» прибуває один раз в
три дні, теплохід «Вдалий» – один раз в чотири дні і теплохід «Надійний» –
один раз в 5 днів. Минулого понеділка всі три теплохода були в цьому порту.
Через яку найменшу кількість днів вони все знову прибудуть в цей порт, і який
це буде день тижня? (Відповідь: п'ятниця, так як НСД чисел 3, 4, 5 дорівнює 60,
60 = 7 ⋅8 + 4, п'ятниця – четвертий день після вівторка.)
Завдання 10. У гаражі 40 автомобілів трьох типів: вантажні, легкові і
автобуси. Відомо, що автобусів менше, ніж легкових, а легкових в 12 разів
менше, ніж вантажних автомобілів. Знайдіть число автомобілів кожного типу.
(Відповідь: 36, 3, 1)
128
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Насадюк Т.О. Застосовуємо математику. Використання прикладних
задач під час вивчення понять довжини кола та площі круга. // Математика в
школах України, №5, травень 2013.
2. Апостолова Г.В. Геометрія: 9: дворів. підруч. для загальноосвіт. навч.
закл. – К.: Ґенеза, 2009. – 304 с.
3. Павлова Л. В., Дітчук Р. Л. Елементи комбінаторики та стохастики. –
Тернопіль: Підручники і посібники, 2005. – 160 с.
4. Рафальська О.Д. Теоретичні та методичні засади реалізації нового
Державного стандарту освітньої галузі «Математика» в 6 класах. // Математика
в школах України, №16-18, червень 2014.
5. Рижков М.О. Практичні задачі та ситуації у викладанні математики.–
Х.: Вид. група «Основа», 2014. – 93 с.
6. Шмигевський М. В. Коротка історія теорії ймовірностей. //
Математика в школах України, №5, лютий 2011.
7. «Занимательные математические задачи» Дополнительные занятия
для учащихся 6 классов , Учебное пособие Издание второе, исправленное,
Новосибирск, 2010
8. Г.Янченко, В.Кравчук «Математика. 6 клас», Тернопіль, Видавництво
«Підручники і посібники», 2006
9. Л.Кондратьєва «Математика. Вправи для актуалізації, засвоєння і
застосування знань. 6 клас», Тернопіль, «Підручники &посібники», 2001.
10. «Цікава математика», 1981.
11. Рурукин А.Н.,Чайковская И.В.Задания по курсу Математика 5-6, – М:
ЗШ МИФИ, 2011.
12. Велдбрехт Д.О. Розвиток креативних здібностей учнів через систему
креативних вправ / Д.О.Вельдбрехт, Н.Г.Токар // Математика в школах
України. – 2007. – № 29. – С. 2-6.
129
13. Абдулаєва Н.П. Формування творчої особистості учня у процесі
позакласної роботи з математики / Н.П.Абдулаєва // Обдарована дитина. –
2010. – № 2. – С. 18-21.
14. Возняк Г.М. Уроки математики у 6 класі. – Тернопіль: Навчальна
книга-Богдан, 2001.-160с.
15. Вихор С. Нестандартні уроки математики.5-6 класи. – Тернопіль:
Підручники та посібники, 2005р. – 64с.
16. Бабенко С.П. Уроки математики 6 клас. – Харків: «Основа» 2006р. –
432с.
17. Скляренко О.В. Математика. 6 клас. Задачі для розвитку мислення. –
Х: ТОРСІНГ ПЛЮС,2006. – 96 с.
18. Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Якір М.С. Математика: Підручник
для 6 класу. – Х.: Гімназія, 2006. – 304 с.
19. Тадеєв В.О. Неформальна математика. 6-9 класи: Навч. посіб. для
учнів, які хочуть знати більше, ніж вивчається у школі. – Тернопіль: Навчальна
книга – Богдан, 2003.
20. Шиманська Г.Д., Черватюк О.Г. Елементи цікавої математики на
уроках математики. – К.: Рад. шк.., 1968.
21. Газета «Математика», №39(99), жовтень 2000; №41 (245), листопад
2003.
22. Інтернет ресурси:
1. http://mathworld.ru/content/zritelnye-iskazheniya.
2. http://ludmilaefremov.blogspot.com/2011/04/blog-post_4396.html.
23. matematikavshkoli.blogspot.com/2014/01/blog-post_13.html.
24. matem-inf.at.ua/.../z_istoriji_viniknennja_matematichnikh_ponjat.docx.
25. http://subject.com.ua/lesson/mathematics/mathematics6/index.html.
26. http://uk.wikipedia.org.
27. http://habrahabr.ru/post/168417.
28. http:// kirdey.com.
29. http://5fan.ru/wievjob.php?id=55420.
30. http://oipopp.ed-sp.net/component/option,com_dcr/catid,1631/Itemid,50.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа