close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Решение матричных игр в смешанных стратегиях
Задание 1.
Ответ оформляется в виде текстового файла, содержащего описание решения по аналогии
примера, рассмотренного в лекционном материале.
Предприятие выпускает два вида продуктов А и В. Себестоимость единицы А составляет Ca ден.
ед., а отпускная цена Pa ден. ед. Себестоимость единицы В равна Cb ден. ед., а отпускная цена Pb
ден. ед. Реализация продукции зависит от погоды: в хорошую погоду реализуется Ga единиц
продукции А и Gb единиц продукции В, а в плохую – Ba единиц продукции А и Bb единиц
продукции В. На реализацию всей продукции в день расходуется C ден. ед. Определить
ежедневное производство продукции каждого вида с целью получения наибольшей прибыли.
Показатели
Вариант
Pa
20
Ca
15
Pb
25
Cb
15
Ga
600
Gb
800
Ba
700
Bb
400
С
2000
Пример
Пусть предприятие ожидает поступления одного из двух взаимоисключающих крупных
заказов Z1 и Z2, требующих выполнения токарных и слесарных работ. По данным расчётов при
поступлении заказа Z1 максимальный объём затрат труда по токарным работам составит 600 чел.дней, а максимальный объём затрат труда слесарей составит 1900 чел.-дней. Аналогичные
показатели при поступлении заказа Z2 равны 1000 и 625 чел.-дней соответственно.
Согласно договорам заказчики возмещают затраты предприятия из расчёта 48 ден.ед. за 1 чел.день токарных работ и 16 ден.ед. за 1 чел.-день слесарных работ. Затраты предприятия, включая
оплату труда рабочих, занятых на выполнении заказов, составляют 27ден.ед. за 1 чел.-день для
токарей и 8 ден. ед. для слесарей.
Задача заключается в максимизации средней величины прибыли предприятия с учётом
неопределённости, так как неизвестно, какой из двух заказов поступит.
Решение
Предприятие в данных условиях должно определить оптимальную стратегию в выделении
трудовых ресурсов ,обеспечивающих при любой ситуации с заказами определённый средний
доход. Таким образом задача относится к теории игр, причём игра в данном случае
будет относится к типу игр с природой. Предприятие как игрок располагает в этих условиях двумя
чистыми стратегиями: стратегия P1 с расчётом на поступление заказа Z1 стратегия P2 с расчётом
на поступление заказа Z2
Природу будем рассматривать как второго
заказ Z1(стратегия Q1) и заказ Z2(стратегия Q2).
игрока
также
с
двумя
стратегиями:
Необходимо составить платёжную матрицу А:
Если предприятие выберет стратегию P1, то в случае поступления заказа Z1 доход будет равен
600(48-27)+1900(16-8)=27800ден.ед. (элемент а11).
А в случае поступления заказа Z2 доход составит
600(48-27)+625(16-8)-(1900-625)8=7400 ден. ед. (элемент а12).
Если предприятие выберет стратегию P2, то при поступлении заказа Z1 будет получен доход в
размере
600(48-27)+625(16-8)-(1000-600)27=6800 ден.ед. (элемент а21).
А при поступлении заказа Z2 доход будет равен
1000(48-27)+625(16-8)=26000 ден.ед. (элемент а22)
Таким образом, платёжная матрица данной игры имеет вид:
Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям P1 и P2 предприятия, а первый и
второй столбцы – стратегиям Q1и Q2 природы.
Из платёжной матрицы видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше
6800 ден.ед. Однако если реальная ситуация с заказами совпадёт с выбранной стратегией
предприятия, то его выигрыш (доход) составит 26000 или 27800ден. ед.
Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределённости с заказами наибольший
гарантированный доход предприятие получит, если оно будет применять то стратегию P1, то
стратегию P2. Такая стратегия , как отмечалось ранее, называется смешанной. Оптимизация
смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать среднее значение выигрыша
независимо от стратегии второго игрока.
Пусть х означает частоту применения первым игроком (предприятием) стратегии P1, тогда
частота применения им стратегииP2 будет равна (1-x).В случае оптимальной смешанной стратегии
первый игрок получит и при стратегии Q1(заказ Z1), и при стратегии Q2(заказ Z2) второго игрока
одинаковый средний доход, что соответствует следующему уравнению:
а11x+ а21(1-x) = а12x+ а22(1-x), что соответствует:
27800х+6800(1-х) = 7400х+26000(1-х)
В результате решения уравнения получаем: х=16/33; (1-х)=17/33. Следовательно, первый игрок,
применяя чистые стратегии P1 иP2 в соотношении 16:17, будет иметь оптимальную смешанную
стратегию, обеспечивающую ему в любом случае гарантированный средний доход в
размере 27800(16/33)+6800(17/33) = 16981,82 ден. ед., который и будет в данном случае ценой
игры.
Легко рассчитать количество ресурсов труда токарей и слесарей, которое должно
обеспечить предприятие при оптимальной стратегии:
(600 чел.-дн.
токарей+1900 чел.-дн. слес.)(16/33)
дн. Слес.)(17/33)=
+
(1000 чел.-дн. Ток.+625чел.-
=806 чел.-дн. токарей+1243,2 чел.-дн. слесарей.
Таким образом, оптимальная стратегия предприятия в управлении трудовыми ресурсами в
данных условиях заключается в обеспечении ресурса труда токарей в размере 806 чел.-дн.
и ресурса труда слесарей в размере 1243,2 чел.-дн. Эта стратегия гарантирует предприятию при
любом стечении обстоятельств средний доход в сумме 16981,82 ден.ед.
Построение сетевых графиков
Задание 2.
Постройте сетевой график проекта согласно. Ответ присылается в виде файла Word с
изображением сетевого графика с помощью средств рисования или в виде графического файла,
созданного в любом графическом редакторе (paint, fotoshop, corel fotopaint и др.), либо фотографии
сетевого графика, построенного вручную на бумаге.
Постройте сетевую модель перевода магазина на самообслуживание, используя следующее
упорядочение работ:
Содержание работы
Обозначение
Предшествующие работы
Составление сметы
a1
–
Приобретение оборудования
a2
a1
Подбор кадров
a3
a1
Монтаж оборудования
a4
a2
Подготовка кадров
a5
a3
Оформление торгового зала
a6
a4
Доставка товаров
a7
a1
Заказ и получение ценников
a8
Заказ и получение форменной одежды
a9
a3
Выкладка товаров
a10
a7, a6
Заполнение ценников
a11
a8
Открытие магазина
a12
a9, a10, a11
a1
Пример 1
Требуется построить сетевую модель программы опроса общественного мнения, которая
включает разработку (A; 1 день) и распечатку анкет (B; 0,5 дня), прием на работу (C; 2 дня) и
обучение (D; 2 дня) персонала, выбор опрашиваемых лиц (E; 2 дня), рассылку им анкет (F; 1 день)
и анализ полученных данных (G; 5 дней).
Решение
Из условия задачи нам известно содержание работ, но явно не указаны взаимосвязи между
работами. Поэтому для их установления необходимо проанализировать смысл каждой конкретной
работы и выяснить, какие из остальных работ должны ей непосредственно предшествовать.
Исходной работой, начинающей сетевой график, в данном случае является "прием на работу"
(С), поскольку все остальные работы должны выполняться уже принятыми на работу
сотрудниками. Перед выполнением всех работ по опросу общественного мнения сотрудников
необходимо обучить персонал (D).
Перед тем как разослать анкеты (F), их надо разработать (A), распечатать (B) и выбрать
опрашиваемых лиц (E), причем работу с анкетами и выбор лиц можно выполнять одновременно.
Завершающей работой проекта является анализ полученных данных (G), который нельзя
выполнить без предварительной рассылки анкет (F). В результате этих рассуждений построим
сетевую модель и пронумеруем события модели.
Алгоритм нумерации событий:
Шаг 1. Исходному событию присваивается начальный номер, например 1.
Шаг 2. Вычеркиваем (образно) все работы, выходящие из события 1.
Шаг 3. Находим событие без входящих в него работ и присваиваем ему номер 2.
Шаг 4. Вычеркиваем (образно) все работы, выходящие из события 2.
Шаг 3. Находим событие без входящих в него работ и присваиваем ему номер 3.
И так далее работы последовательными числами натурального ряда, начиная с наименьшего
еще не использованного числа в предыдущем шагеалгоритма пока не будут пронумерованы все
события.
Рис. 4 Готовый сетевой график
Пример 2
Рассмотрим следующую таблицу, описывающую проект:
Работа
Непосредственно
предшествующие работы
A
B
C
B
D
A,C
Время выполнения
tA
tB
tC
tD
В первом столбце указаны наименования всех работ проекта. Их четыре: А, В, С, D. Во
втором столбце указаны работы, непосредственно предшествующие данной. У работ А и В нет
предшествующих. Работе С непосредственно предшествует работа В. Это означает, что работа С
может быть начата только после того, как завершится работа В. Работе D непосредственно
предшествуют две работы: А и С. Это означает, что работа D может быть начата только после
того, как завершатся работы А и С. В третьем столбце таблицы для каждой работы указано время
ее выполнения. На основе этой таблицы может быть построен сетевой график проекта (рис. 5).
Рис. 5 Готовый сетевой график задачи примера 2
На рис. 5 проект представлен в виде графика с вершинами 1,2, 3, 4 и дугами А, В, С, D.
Каждая вершина графика отображает событие. Событие 1 означает начало выполнения проекта.
Событие 4 означает завершение проекта. Любая работа проекта — это упорядоченная пара двух
событии. Например, работа А есть упорядоченная пара событий (1, 3)(см. рис. 5). Работа D —
упорядоченная пара событий (3,4). Событие проекта состоит в том, что завершены все работы,
«входящие» в соответствующую вершину. Например, событие 3 состоит в том, что завершены
работы А и С.
Пример 3
Рассмотрим проект, представленный следующей таблицей:
Работа
Непосредственно предшествующие
работы
Время выполнения
A
-
tA
B
-
tB
C
B
tC
D
A,C
tD
E
C
tE
F
C
tF
G
D,E,F
tG
Графическое описание проекта, построенное по этой таблице, имеет вид, показанный на рис.
6.
Рис. 6 Готовый сетевой график задачи примера 3
В этом графическом описании проекта, кроме тех работ, которые указаны в таблице,
использованы две «фиктивные» работы (3, 4) и (5, 6). На рисунке они показаны штриховыми
линиями. Эти работы не требуют времени на их выполнение и используются в графическом
представлении проекта лишь для того, чтобы правильно отобразить взаимосвязь между работами.
Пример 4
Постройте сетевую модель, включающую работы A, B, C, ..., L, которая отображает
следующее упорядочение работ:
1) A, B и C – исходные операции проекта;
2) A и B предшествуют D;
3) B предшествует E, F и H;
4) F и C предшествует G;
5) E и H предшествуют I и J;
6) C, D, F и J предшествуют K;
7) K предшествует L.
Решение
В пункте 1) условия явно указано, что A, B и C являются исходными работами, поэтому
изобразим их тремя стрелками, выходящими из исходного события 1. Пункт 2) условия означает,
что стрелки работ A и B должны окончиться в одном событии, из которого выйдет стрелка работы
D. Но поскольку стрелки работ A и B также и начинаются в одном событии, то имеет место
параллельность работ, которая недопустима правилами построения сетевых моделей. Для ее
устранения введем дополнительное событие 2, в которое войдет работа B, после чего соединим
события 2 и 3, в которые входят работы A и B пунктирной стрелкой фиктивной работы. В данном
случае фиктивная работа (2,3) не соответствует никакой реальной работе, а лишь отображает
логическую связь между работами B и D. Согласно пункту 3) условия задачи из события 2,
выходят три стрелки работ E, F и H. Согласно пункту 4) условия задачи стрелки работ C и F
должны войти в общее событие, из которого выйдет стрелка работы G. Проблема с
параллельностью работ E и H [пункт 5) условия задачи] решается путем введения
дополнительного события 5 и фиктивной работы (5,6). Для отображения в сетевой модели пункта
6) условия задачи введем стрелки работ D и J в событие 7, а связь работ F и C с работой K
отобразим с помощью фиктивной работы (4,7). Стрелки работ F и C нельзя было напрямую
вводить в событие 7, потому что после них должна следовать работа G, которая с работами D и J
никак не связана. Стрелка работы L выходит из события 8, т.е. после окончания работы K в
соответствии с пунктом 7) условия задачи. Поскольку в условии не указано, что работы L, I и G
предшествуют каким-либо другим работам, то эти работы являются завершающими и их стрелки
войдут в завершающее событие 9. Нумерацию событий проводят после построения сетевого
графика, следя за тем, чтобы номер начального события каждой работы был меньше номера ее
конечного события. В результате построен сетевой график, изображённый на рисунке 7.
Рис. 7-Сетевой график задачи примера 4
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа