close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...4 дифференциальное исчисление функций одной и нескольких

код для вставкиСкачать
РАЗДЕЛ 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Часть I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Производная функции, ее геометрический и физический смысл
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел
отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он
существует:
f ( x)  lim
x0
f ( x  x)  f ( x)
.
x
у
f(x)
f(x0 +x)
f(x0)
P
f

M

0
x0
x
x0 + x
x
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда tg 
f

x
тангенс угла наклона секущей МР к графику функции:
f
 f ( x0 )  tg ,
x 0 x
lim tg  lim
x 0
где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными,
проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой: y  y0  f ( x0 )( x  x0 )
1
( x  x0 ) .
Уравнение нормали к кривой: y  y 0  
f ( x0 )
Фактически производная функции показывает скорость изменения функции
– как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t) – мгновенная скорость движения, где t – время и f(t) – закон движения (изменения координат).
Соответственно вторая производная функции – скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Односторонние производные функции в точке
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения
ношение существует:
f
x 0  x
f
при условии, что это отx
f
x 0  x
f  ( x0 )  lim
f  ( x0 )  lim
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет
в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во-первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во-вторых, даже если
функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f(x) = x – имеет в точке х = 0 и левую и правую производную,
непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция
f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования
Обозначим f(x) = u, g(x) = v – функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u  v) = u  v
2) (uv) = uv + uv

 u  u v  v u
3)   
, если v  0.
v2
v
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций

9) sin x   cos x
1) С = 0;

10) cos x    sin x
1

11) tgx  
cos 2 x
2) (xm) = mxm-1;

1
3) x 
2 x

1
1
4)     2
x
 x
 
   e
x
5) e
x
   a
x
6) a

12) ctgx   
13)
x
 1
7) ln x  
x

8) log a x  
ln a
14)
15)
1
x ln a
16)
2
1
sin 2 x
arcsin x   1 2
1 x
arccos x    1 2
1 x
arctgx   1 2
1 x
arcctgx    1 2
1 x
Производная сложной функции
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда
y   f (u)  u 
Доказательство.
y y u


x u x
y
y
u
lim
 lim
 lim
x 0 x
u 0 u x 0 x
( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция).
Тогда
dy dy du


.
dx du dx
Теорема доказана.
Логарифмическое дифференцирование
ln x, при x  0
Рассмотрим функцию y  ln x  
.
ln(  x), при x  0
1
(  x)  1
 1
 .
Тогда (lnx)= , т.к. ln x   ; (ln( x)) 
х
x
x
x
 f ( x)
Учитывая полученный результат, можно записать ln f ( x)  
.
f ( x)
Отношение
f ( x)
называется логарифмической производной функции
f ( x)
f(x).
Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой
функции по формуле:
f ( x)  (ln f ( x) )  f ( x) .
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для
нахождения производных сложных, показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.
Производная показательно-степенной функции
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в
показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же
и основание, и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет
показательно – степенной.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu;
3
y
u
 v  ln u  v ;
y
u
 u

y   u v  v  v  ln u  ;
 u

u   vu
v
u   u v v ln u .
v 1
Пример. Найдем производную функции f ( x)  ( x  3x)
2
x cos x
.
v  x cos x; производные
По формуле выше получаем: u  x  3x;
этих функций: u  2 x  3; v  cos x  x sin x. Окончательно
f ( x)  x cos x  ( x 2  3x) x cos x1  (2 x  3)  ( x 2  3x) x cos x (cos x  x sin x) ln( x 2  3x) .
2
Производная обратных функций
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
1  g ( y) y  ,
dy
1
1

т.к. g(y)  0, то y  
и
.
g ( y ) dx dx
dy
Т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найдем формулу для производной функции arctgx.
Функция arctgx является функцией, обратной функции tgx, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:
y  tgx;
x  arctgy.
Известно, что y   (tgx ) 
1
.
cos 2 x
По приведенной выше формуле получаем:
y 
1
;
d (arctgy ) / dx
d (arctgy )
1

.
dy
1 / cos 2 x
1
 1  tg 2 x  1  y 2 , то можно записать окончательную формулу
2
cos x
для производной арктангенса:
1
(arctgy ) 
.
1 y2
Аналогично получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
Т.к.
4
Дифференциал функции
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
y
 f ( x) .
x 0 x
lim
Тогда можно записать:
y
 f (x)   , где 0, при х0.
x
Следовательно: y  f ( x)  x    x .
Величина x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е.
f(x)x- главная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня
линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx.
Можно также записать: f ( x) 
dy
.
dx
Геометрический смысл дифференциала
y
f(x)
K
y
M
dy
L

x
x + x
x
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx.
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению
ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
Свойства дифференциала
Если u = f(x) и v = g(x) – функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1)
d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv
2)
d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
3)
d(Cu) = Cdu
 u  vdu  udv
d  
4)
v2
v
5
Дифференциал сложной функции, инвариантная форма записи
дифференциала
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у – сложная функция. Тогда
dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х
независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с
чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Если х – независимая переменная, то
dx = x,
но если х зависит от t, то
х  dx.
Таким образом, форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
1
2
Пример. Найдем производную функции y  x cos x sin x  cos x .
2
1
1
2
Сначала преобразуем данную функцию: y  x  sin 2 x  cos x ;
2
2
1
1
1
1
y  sin 2 x  x  2 cos 2 x  2 cos x( sin x)  sin 2 x  x  cos 2 x  sin x cos x  x cos 2 x.
2
2
2
2
2
x 2e x
Пример. Найдем производную функции y  2
.
x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
(2 xe x  x 2 2 xe x )( x 2  1)  (2 x) x 2 e x
2 x 3 e x  2 x 5 e x  2 xe x  2 x 3 e x  2 x 3 e x
y 


( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
2 xe x ( x 4  1  x 2 )

.
( x 2  1) 2
2
x
x

2 sin x
1
1
1 sin x  x cos x
1
sin x  x cos x sin x  sin x  x cos x
y 

 




2
2
2
x
x
x
sin
x
sin
x
sin
x
2 x 2
tg
cos
2 sin cos
2
2
2
2
x cos x

.
sin 2 x
Пример. Найдем производную функции y  ln tg
2x 4
Пример. Найдем производную функции y  arctg
1  x8
8 x 3 (1  x 8 )  (8 x 7 )2 x 4 (1  x 8 ) 2 (8 x 3 8 x11  16 x11 ) 8 x 3  8 x11




(1  x 8 ) 2
(1  x 8 ) 2 (1  x 8 ) 2
(1  x 8 ) 2

4x8 
1 

8 2 
(
1

x
)


3
8
8 x (1  x )
8x 3


.
(1  x 8 ) 2
1  x8
y 
1
2
2 x
Пример. Найдем производную функции y  x e ln x
6

y  x 2 e x
2
 ln x  x e
2 x2


2
2
2
2
2
1
 2 xe x  x 2 e x 2 x ln x  xe x  2 xe x (1  x 2 ) ln x  xe x 
x
 xe x (1  2 ln x  2 x 2 ln x).
2
Формула Тейлора
Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее
окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{Т.е. и все предыдущие
до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой
окрестности}.
2) Пусть х – любое значение из этой окрестности, но х  а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива
формула:
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
f ( n1) ( )
f ( x)  f ( a ) 
( x  a) 
( x  a) 2  ... 
( x  a) n 
( x  a) n1 ,
1!
2!
n!
(n  1)!
это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
f ( n 1) ( )
n 1
(n  1)!
( x  a)
 Rn1 ( x)
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена
Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения
его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.
Pn (a)  f (a); Pn (a)  f (a); Pn(a)  f (a); ... Pn( n) (a)  f ( n) (a)
(1)
Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем
ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.
Представим этот многочлен с неопределенными коэффициентами:
Pn ( x)  C0  C1 ( x  a)  C2 ( x  a) 2  ...  Cn ( x  a) n
(2)
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные
многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:
 Pn ( x)  C1  2C 2 ( x  a)  3C3 ( x  a) 2  ...  nC n ( x  a) n 1

n2
 Pn( x)  2C 2  3  2C3 ( x  a)  ...  n(n  1)C n ( x  a)

..........................................................................................
 P ( n ) ( x)  n(n  1)(n  2)...2  1C
n
 n
Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:
f (a)  C 0
f (a)  C1
f (a)  2  1C2
f (a)  3  2  1C3
…………………….
7
(3)
f ( n) (a)  n(n  1)(n  2)...2  1Cn
Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
2
Pn ( x)  f (a) 
( x  a) 
( x  a)  ... 
( x  a) n
1
2
n!
Как было замечено выше, многочлен примерно совпадает с функцией f(x),
т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x).
Тогда:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x).
Теорема доказана.
Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).
Как видно на рисунке, в
точке х = а значение многочлена в точности совпадает со значением функции.
y
f(x)
Rn+1(x)
Pn(x)
0
a
x
x
Однако при удалении от точки x=a расхождение значений увеличивается.
Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка (a, x), то
найдется такое число  из интервала 0 <  < 1, что  = a + (x – a).
Тогда можно записать:
f ( n 1) [a   ( x  a)]
Rn 1 ( x) 
( x  a) n1 .
(n  1)!
Если принять a = x0, x – a = x, x = x0 + x, формулу Тейлора можно записать в виде:
f ( n ) ( x0 )
f ( n1) ( x0  x)
f ( x)
f ( x)
2
n
f ( x0  x)  f ( x0 ) 
x 
(x)  ... 
(x) 
(x) n1 ,
1!
2!
n!
(n  1)!
где 0 <  < 1.
Если принять n =0, получим: f(x0 + x) – f(x0) = f(x0 + x)x – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических
преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций,
интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д. При изучении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
Формула Маклорена
Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
8
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
x
x  ... 
x  Rn ( x)
1!
2!
n!
f ( n 1) (x) n1
Rn ( x) 
x ;
0    1.
(n  1)!
f ( x)  f (0) 
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в
форме Лагранжа.
Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы
Маклорена предпочтительнее применения непосредственно формулы Тейлора,
т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой-либо другой
точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.
Выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том,
что при вычислении значения функции в точке, расположенной достаточно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении
тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции
практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для
получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых для
формулы Тейлора, что неудобно.
Таким образом, чем больше по модулю значение разности (х – а) тем больше точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.
Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е.
Rn1 ( x)   ([ x  a]n ) .
Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.
Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд
широко используется и имеет огромное значение в проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых
функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических
функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих
многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то
значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью.
Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20
знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов
разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления
на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных
технических задач.
9
Функция f(x) = ex
Последовательно находим:
f(x) = ex, f(0) = 1
f(x) = ex, f(0) = 1
……………………
f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1
x x 2 x3
xn
x n1 x
x
e , 0    1.
Тогда: e  1     ...  
1 2! 3!
n! (n  1)!
Пример: Найдем значение числа е.
В полученной выше формуле положим х = 1.
e  11
1 1 1
1
   ... 
e
2 3! 4!
(n  1)!
Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003
Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451
Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553
2. 75
2. 5
2. 25
2
1. 75
1. 5
1. 25
2
4
6
8
10
На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа
членов разложения в ряд Тейлора.
Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.
Функция f(x) = sinx
Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0
f(x) = cosx = sin( x + /2);
f(0) = 1;
f(x) = -sinx = sin(x + 2/2); f(0) = 0;
f(x) = -cosx = sin(x + 3/2); f(0)=-1;
…………………………………………
f(n)(x) = sin(x + n/2);
f(n)(0) = sin(n/2);
f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)/2); f(n+1)() = sin( + (n + 1)/2);
10
Итого:
x3 x5
x 2 n1
n 1
sin x  x    ...  (1)
 R2 n ( x)
3! 5!
(2n  1)!
f ( 2 n1) ( ) 2 n1
cos  2 n1
R2 n ( x) 
x

x .
(2n  1)!
(2n  1)!
Функция f(x) = cosx
Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:
2n
x2 x4
n x
cos x  1 

 ...  (1)
 R2 n1 ( x)
2! 4!
(2n)!
f ( 2 n 2) ( ) 2 n 2
cos 
R2 n1 ( x) 
x

x 2 n 2 .
(2n  2)!
(2n  2)!
Функция f(x) = (1 + x)
( - действительное число)
f ( x)   (1  x) 1 ; f (0)   ;
f ( x)   (  1)(1  x) 2 ; f (0)   (  1);
…………………………………………………..
( n)
f ( x)   (  1)(  2)...(  (n  1))(1  x) n ; f ( n) (0)   (  1)(  2)...(  n  1)
Тогда:

 (  1) 2
 (  1)...(  n  1) n

(1  x)  1 
x  ... 
2 1
n!
 (  1)...(  n)
Rn1 ( x) 
(1  x) ( n1) ;
(n  1)!
f
(n+1)
1
x
x  Rn1 ( x)
0    1.
Если в полученной формуле принять  = n, где n – натуральное число и
(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда
(1  x) n  1 
n
n(n  1) 2
x
x  ...  x n .
1!
2!
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
Пример. Применим полученную формулу для нахождения синуса любого
угла с любой степенью точности.
На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения
функции и значений разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов
разложения.
Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения в формуле Тейлора необходимо в качестве параметра а
выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.
Для примера вычислим значение sin200.
Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = /9.
11
4
2
- 10
- 5
5
10
- 2
- 4
Рис. 1. Два члена разложения
4
2
- 10
- 5
5
10
- 2
- 4
Рис. 2. Четыре члена разложения
4
2
- 10
- 5
5
10
- 2
- 4
Рис. 3. Шесть членов разложения
4
2
- 10
- 5
5
10
- 2
- 4
Рис. 4. Десять членов разложения
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:
1   1  
sin 20  sin         0,348889  0,007078  0,000043  0,341854.
9 9 3!  9  5!  9 
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
0


3
5
12
Выше говорилось, что при х0 функция sinx является бесконечно малой и
может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую
функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx  x.
Пример. Вычислим sin2801315.
Для того чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

28
10 =
;
280 
;
180
1 
1 
2801315 

60  180
180
13
13 
;
60  180
15
15 
;
60  60  180
;

60  60  180
;
28
13
15
  28  60  60  60  13  15 




  0,492544 рад
180 60  180 60  60  180 180 
60  60

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми
x3 x5
 0,492544  0,019915  0,000242  0,472871 .
членами, получим: sinx = x  
6 120
Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,
sin 2801315 = 0,472869017612759812
видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.
Функция f(x) = ln(1 + x)
f(x) = ln(1 + x);
f(0) = 0;
1
;
1 x
1
f ( x) 
;
(1  x) 2
 1  (2)
f ( x) 
;
(1  x) 3
f(x) =
f (0)  1;
f (0)  1;
f (0)  2;
………………………………………
f ( n ) ( x)  (1) n 1
(n  1)!
;
(1  x) n
f ( n) ( x)  (1) n1 (n  1)!;
1 2 1 2 3
(1) n1 (n  1)! n
x  ... 
x  Rn1 ( x);
Итого: ln(1  x)  x  x 
2
3!
n!
x2 x3
(1) n1 n
ln(1  x)  x 

 ... 
x  Rn1 ( x)
2
3
n
13
(1) n n!  x 
Rn1 ( x) 


(n  1)!  1   
n 1
.
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не
только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.
ln1,5 = 0,405465108108164381
0,5 2 0,53 0,5 4 0,55 0,56 0,5 7
ln 1,5  ln(1  0,5)  0,5 





 0,4058035
2
3
4
5
6
7
Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что
для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено
непосредственно.
В дальнейшем будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора
не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений (2-ой курс) и к вычислению интегралов (1-ый курс).
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью
приращения х.
Можно воспользоваться формулой:
dy  f ( x)dx.
Тогда абсолютная погрешность:
y  dy .
Относительная погрешность:
y  dy
dy
Более подробно применение дифференциала к приближенным вычислениям
будет описано далее.
Теоремы о среднем, теорема Ролля
(Ролль (1652-1719)- французский математик)
Если функция f(x) – непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка , a <  < b, в которой производная функция f(x)
равна нулю: f() = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы
на интервале (a, b) существует точка  такая, что в соответствующей точке кривой
y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и
несколько, но теорема утверждает существование, по крайней мере, одной такой
точки.
14
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция
f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим
эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M
 m.
Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное
значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за
 можно принять любую точку интервала.
Пусть М  m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из
значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим , a <  <
b точку, в которой f() = M. Так как М – наибольшее значение функции, то для
любого х ( будем считать, что точка  + х находится внутри рассматриваемого
интервала) верно неравенство:
f() = f( + x) – f()  0.
f ( )  0, если x  0

При этом
x
 0, если x  0
Но так как по условию производная в точке  существует, то существует и
f ( )
предел lim
.
x 0 x
f ( )
f ( )
 0 и lim
 0 , то можно сделать вывод:
Т.к. lim
x 0 x
x 0 x
x  0
x  0
f ( )
 0, т.е.
x 0 x
lim
f ( )  0.
Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет несколько следствий:
1)
Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = 0, то существует, по крайней мере, одна точка , a <  < b, такая,
что f() = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
2)
Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует, по крайней
мере, одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.
Теорема Лагранжа
(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка ,
a <  < b, такая, что
f (b)  f (a)
 f ( ) .
ba
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
15
Отношение
f (b)  f (a)
равно угловому коэффициенту секущей АВ.
ba
у
В
А
0 а 
b
x
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b)
существует точка  такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и
несколько, но одна существует точно.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – yсек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
f (b)  f (a)
( x  a)
ba
f (b)  f (a)
F ( x)  f ( x)  f (a ) 
( x  a)
ba
y  f (a) 
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна
на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка , a <  < b, такая что F() = 0.
Т.к. F ( x)  f ( x) 
f (b)  f (a)
f (b)  f (a)
 0 , следователь, то F ( )  f ( ) 
ba
ba
но
f ( ) 
f (b)  f (a)
.
ba
Теорема доказана.
Определение. Выражение f (a)  f (b)  f ( )(b  a) называется формулой
Лагранжа или формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
y  f ( x  x)x ,
где 0 <  < 1, x = b – a, y = f(b) – f(a).
Теорема Коши
( Коши (1789-1857)- французский математик)
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы
на интервале (a, b) и g(x)  0 на интервале (a, b), то существует, по крайней мере, одна точка , a <  < b, такая, что
16
f (b)  f (a) f ( )

.
g (b)  g (a) g ( )
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению
производных в точке .
Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой
функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка  для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это – очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может
быть использовано для доказательства теоремы.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F ( x)  f ( x)  f (a ) 
f (b)  f (a)
( g ( x)  g (a)) ,
g (b)  g (a)
которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть,
что при х = а и х = b: F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая
точка , a <  < b, такая, что F() = 0. Т.к.
f (b)  f (a)
g ( x) , то
g (b)  g (a)
f (b)  f (a)
F ( )  0  f ( ) 
g ( )
g (b)  g (a)
f (b)  f (a) f ( x)

А т.к. g ( )  0 , то
.
g (b)  g (a) g ( x)
F ( x)  f ( x) 
Теорема доказана.
Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является
частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши
очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей.
Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс
вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.
Раскрытие неопределенностей, правило Лопиталя.
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
0 
; ;   0;  0 ; 1 ;   
0 
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в
вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a)
= 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
lim
x a
f ( x)
f ( x)
 lim
g ( x) xa g ( x)
Доказательство. Применив формулу Коши, получим:
17
f ( x)  f (a) f ( )

g ( x)  g (a) g ( )
где  - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:
f ( x) f ( )

.
g ( x) g ( )
Пусть при ха отношение
f ( x)
стремится к некоторому пределу. Т.к. точg ( x)
ка  лежит между точками а и х, то при ха получим а, а, следовательно, и
f ( )
отношение
стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать
g ( )
lim
x a
f ( x)
f ( x)
 lim
.
g ( x) xa g ( x)
Теорема доказана.
x 2  1  ln x
Пример. Найдем предел lim
.
x 1
ex  e
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается
неопределенность вида
0
. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби
0
удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
1
; g(x) = ex;
х
1
2x 
f ( x)
x  2 1  3 .
lim

x
x 1 g ( x )
e
e
e
f(x) = 2x +
Пример. Найдем предел lim
x 
  2arctgx
3
x
.
e 1
3
2
3
f ( x)  
g ( x)  e x  2 ;
2 ;
x
1 x


2x 2
2
2


lim 
 .
3
 (0  1)  1  (3) 3
x  
2
x
 (1  x )e (3) 
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка
вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат.
Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции
в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример. Найдем предел lim
x 
x
2
xe
.
x  ex
x
2
f ( x)  e (1 
1
x) ; g ( x)  1  e x ;
2
18
x
x
x
x
1 2 1 2 x 2 1 2
e  e  e  e (4  x) ; g ( x)  e x ;
2
2
4
4
x
1 2
1
e (4  x)
(4  x)
4
lim  4

lim
x
x 
x 
ex
2
e
x
1
1
1
 0.
f ( x)  ; g ( x)  e 2 ; lim
x
x 
2
4
2
f ( x) 
2e
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов
вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя
может быть использован и какой–либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).
e x  e  x  2x
lim
Пример: Найдем предел x0
.
x  sin x
f ( x)  e x  e  x  2 ; g ( x)  1  cos x ;
e x  ex  2 1  1  2 0


– опять получилась неопределенность. Приx 0
1  cos x
11
0
x
x
меним правило Лопиталя еще раз: f ( x)  e  e ; g ( x)  sin x .
e x  ex 1 1 0
lim

 – применяем правило Лопиталя еще раз:
x 0
sin x
0
0
e x  ex 2
x
x
  2.
f ( x)  e  e ; g ( x)  cos x ; lim
x 0
cos x
1
0

0
Неопределенности вида 0 ; 1 ;  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов
g ( x)
функций вида y   f ( x) , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
x
Пример: Найдем предел lim x .
lim
x 0
x 0
Здесь y = xx, lny = xlnx.
ln x правило 
1/ x
ln y  lim x ln x  lim

 lim
  lim x  0;

Тогда lim
x 0
x 0
x 0 1
x 0  1 / x 2
x 0
Лопиталя


x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
Следовательно lim ln y  ln lim y  0;  lim y  lim x  1 .
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x2
Пример: Найдем предел lim
.
x  e 2 x
19
x 0
x 0
f ( x)  2 x;
g ( x)  2e 2 x ; lim
x
Применяем
правило
1
1
lim 2 x   0 ;
x  2e

Лопиталя
x


– получили неопределенность.
2x
e

f ( x)  2;
g ( x)  4e 2 x ;
еще
раз:
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция f(x) – дифференцируема на некотором интервале. Тогда,
дифференцируя ее, получаем первую производную
y   f ( x) 
df ( x)
dx
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную
функции f(x): y   f ( x) 
d 2 y d  dy 
d 2 f ( x)
, т.е. y = (y) или 2    .
dx  dx 
dx
dx 2
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
d n y d  d n 1 y 
.
 
dx n dx  dx n 1 
Общие правила нахождения высших производных
Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то
1)
(Сu)(n) = Cu(n);
2)
(u  v)(n) = u(n)  v(n);
3) (u  v) ( n )  vu( n )  nu ( n1) v 
n(n  1) ( n2)
n(n  1)...[n  (k  1)] ( nk ) ( k )
u
v  ... 
u
v  ...
2!
k!
...  uv ( n ) .
Это выражение называется формулой Лейбница.
Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го
порядка.
Исследование функций с помощью производной, возрастание и убывание
функций
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна,
т.е. f(x)  0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Доказательство.
1)
Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) <
f(x) при х<0. Тогда:
f ( x  x)  f ( x)
 0,
x
lim
x 0
f ( x  x)  f ( x)
 0.
x
2) Пусть f(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2. Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f()(x2 – x1), x1 <  < x2
20
По условию f()>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возраста-
ет.
Теорема доказана.
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на
отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x)
убывает на отрезке [a, b]. Конечно, данные утверждения справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).
Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:
y
y



x

x
Точки экстремума
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в
этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего
точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом
х (х может быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и
минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на
отрезке – это понятия принципиально различные.
Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция
f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то
производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум. Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:
f ( x1  x)  f ( x1 ) ,
f ( x1  x)  f ( x1 )  0
Тогда
f ( x1  x)  f ( x1 )
0
x
f ( x1  x)  f ( x1 )
0
x
при х  0
при х  0
По определению
lim
x 0
f ( x1  x)  f ( x1 )
 f ( x1 ) .
x
21
Т.е. если х0, но х<0, то f(x1)  0, а если х0, но х>0, то f(x1)  0.
Это возможно только в том случае, если при х0 f(x1) = 0.
Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в
некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб,
а не максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.
Пример: f(x) = x
Пример: f(x) =
y
3
х
y
x
x
В точке х = 0 функция имеет миВ точке х = 0 функция не имеет
нимум, но не имеет производной
ни максимума, ни минимума, ни производной
Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит
критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала
(кроме, может быть, самой точки х1).
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x)
меняет знак с «+» на «-«, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если
производная меняет знак с «-« на «+»- то функция имеет минимум.
Доказательство.
 f ( x)  0 при
x  x1
Пусть 
 f ( x)  0 при x  x1
По теореме Лагранжа: f(x) – f(x1) = f()(x – x1), где x <  < x1.
Тогда: 1) Если х < x1, то  < x1; f()>0; f()(x – x1)<0, следовательно
22
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
2) Если х > x1, то  > x1 f()<0; f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках
вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума.
Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.
Теорема доказана.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий
при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1) Найти критические точки функции.
2) Найти значения функции в критических точках.
3) Найти значения функции на концах отрезка.
4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
Исследование функции на экстремум с помощью производных высших
порядков
Пусть в точке х = х1, f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой
окрестности точки х1.
Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.
Доказательство. Пусть f(x1) = 0 и f(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то
f(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.
Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но
f(x1)=0, т.е. f(x) > 0 при х<x1 и f(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе
через точку х = х1 производная f(x) меняет знак с «+» на «-«, т.е. в этой точке
функция f(x) имеет максимум.
Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.
Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.
Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
у
x
23
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство. Пусть х0  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой
точке.
Уравнение кривой: y = f(x).
Уравнение касательной: y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ).
Следует доказать, что y  y  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) .
По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): y  y  f (c)( x  x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) ,
для x0 < c < x, т.е. y  y  ( x  x0 )[ f (c)  f ( x0 )] .
По теореме Лагранжа для f (c)  f ( x0 ) :
y  y  f (c1 )(c  x0 )( x  x0 ),
x0  c1  c
Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по
условию f (c1 )  0 , следовательно, y  y  0 .
Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию
f (c1 )  0, то y  y  0 .
Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая
y=f(x) вогнута на интервале (a, b).
Теорема доказана.
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой,
называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая
производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а
f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда при
x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.
2)
Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая
обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка
перегиба.
Теорема доказана.
Асимптоты
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х
точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой
прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от
переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность
стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут
быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет
большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
24
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте,
может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном

x
3
ниже графике функции y  x  e sin x . Ее наклонная асимптота у = х.
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Из
определения
Вертикальные асимптоты
f ( x)  
асимптоты следует, что если xlim
a  0
или
lim f ( x)   или lim f ( x)   , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
x a
x a  0
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
- 20
2
прямая х = 5 является вертикальной
x5
Например, для функции f ( x) 
асимптотой.
Наклонные асимптоты
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
15
12. 5
10
7. 5
5
2. 5
1
2
3
4
М

N
P

Q
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р
– точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой
25
и осью Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = y - ордината точки N на
асимптоте.
MP  0 , NMP = , NM 
По условию: lim
x 
MP
cos 
.
Угол  - постоянный и не равный 900, тогда
lim MP  lim NM cos   lim NM  0
x 
x 
x 
NM  MQ  QN  y  y  f ( x)  (kx  b)
[ f ( x)  (kx  b)]  0 .
Тогда lim
x 
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой
прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
b
 f ( x)
lim x 
k    0.
x 
x
 x
b
b
 f ( x)

k


0
lim
 0; lim k  k .
Т.к. х, то lim
,
т.к.
b
=
const,
то
x   x
x  x
x 
x 

f ( x)
f ( x)
 k  0  0 , следовательно, k  lim
Тогда lim
.
x 
x 
x
x
 f ( x)  (kx  b)  0 , то lim
 f ( x)  kx  lim
b  0 , следовательно,
Т.к. lim
x 
x 
x 
b  lim  f ( x)  kx
x 
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем
наклонных асимптот при k =0.
x 2  2x  1
Пример. Найдем асимптоты и построим график функции y 
.
x
1) Вертикальные асимптоты: y+, x0-0: y- x0+0, следовательно,
х = 0 – вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
x 2  2x  1
 2 1 
k  lim

lim
1   2   1
x 
x 
x2
 x x 
 x 2  2x  1

 x 2  2x  1  x 2 
1
 2x  1 

  lim 
b  lim ( f ( x)  x)  lim 
 x   lim 
  lim  2    2
x 
x 
x
x
x

 x
 x x  x
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
26
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
Пример. Найдем асимптоты и построим график функции y 
9x
.
9  x2
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
9
 0;
Найдем наклонные асимптоты: k  lim
x  9  x 2
9
x
9x
 lim
 0.
x  9  x 2
x  9
1
x2
b  lim
y = 0 – горизонтальная асимптота.
6
4
2
- 7. 5
-5
- 2. 5
2. 5
5
7. 5
-2
-4
-6
x 2  2x  3
Пример. Найдем асимптоты и построим график функции y 
.
x2
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
x  2x  3
x  2x  3
 lim
 lim
x  x ( x  2)
x 
x 
x 2  2x
k  lim
2
2
2 3

x x 2  1.
2
1
x
1
3
 x  2x  3

 x  2x  3  x  2x 
 4x  3
x  4
  lim
b  lim 
 x   lim 
 lim
x 
x 
2
x2
 x2
 x  
 x  x  2
1
x
2
2
2
4
Таким образом, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
27
20
15
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
- 20
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения
функции.
2) Точки разрыва (если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба (если они имеются).
8) Асимптоты (если они имеются).
9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
x3
Пример. Исследуем функцию y  2
и построим ее график.
x 1
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными
асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции:
y 
3x 2 ( x 2  1)  2 x  x 3 3x 4  3x 2  2 x 4 x 4  3x 2

 2
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
( x  1) 2
Критические точки: x = 0; x = - 3 ; x = 3 ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции:
y  
(4 x 3  6 x)( x 2  1) 2  ( x 4  3x 2 )4 x( x 2  1)

( x 2  1) 4
28


(4 x 3  6 x)( x 4  2 x 2  1)  ( x 4  3x 2 )(4 x 3  4 x)

( x 2  1) 4
4 x 7  8 x 5  4 x 3  6 x 5  12 x 3  6 x  4 x 7  4 x 5  12 x 5  12 x 3

( x 2  1) 4
2 x 5  4 x 3  6 x 2 x( x 4  2 x 2  3) 2 x( x 2  3)( x 2  1) 2 x( x 2  3)




.
( x 2  1) 4
( x 2  1) 4
( x 2  1) 4
( x 2  1) 3
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках:
- < x < - 3 , y < 0, кривая выпуклая
- 3 < x < -1,
y < 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0,
y > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1,
y < 0, кривая выпуклая
1 < x < 3,
y > 0, кривая вогнутая
3 < x < ,
y > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках:
- < x < - 3 , y > 0, функция возрастает
- 3 < x < -1,
y < 0, функция убывает
-1 < x < 0,
y < 0, функция убывает
0 < x < 1,
y < 0, функция убывает
1 < x < 3,
y < 0, функция убывает
3 < x < ,
y > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 3 является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно
3 3 /2 и -3 3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные асимптоты.
x2
1
k  lim 2
 lim
 1;
x  x  1
x 
1
1 2
x
1
x
 x

 x  x  x
x
  lim 2
b  lim  2
 x   lim 
 lim
0
2
x  x  1
x 
x  x  1
x 
1
x

1




1 2
x
3
3
3
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:
29
4
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
Векторная функция скалярного аргумента
z
A(x, y, z)
r (t )  r0
r
r0
0
y
x
Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:
x = (t); y = (t); z = f(t);
Радиус-вектор произвольной точки кривой:


 


r  xi  yj  zk   (t )i   (t ) j  f (t )k .
Таким образом, радиус-вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t

изменяется величина и направление вектора r .
Запишем соотношения для некоторой точки t0:
lim  (t )   0 ; lim (t )   0 ; lim f (t )  f 0 ;
t t0
t t0
t t0







r (t )  r0 .
Тогда вектор r0   0 i   0 j  f 0 k – предел функции r (t). lim
t t
0
30


2
2
2
r (t )  r0  lim  (t )   0    (t )   0    f (t )  f 0   0 .
Очевидно, что lim
t t
t t


Тогда lim r (t )  r0 .
0
0
t t 0
Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

r (t )

r (t )

dr
dt

r (t  t )



 


r (t  t )   (t  t )i   (t  t ) j  f (t  t )k ; r  r (t  t )  r (t ) ;




r  ( (t  t )   (t ))i  ( (t  t )   (t )) j  ( f (t  t )  f (t ))k

r  (t  t )   (t )   (t  t )   (t )  f (t  t )  f (t ) 

i
j
k
t
t
t
t
или, если существуют производные (t), (t), f(t), то

 


r
lim
  (t )i   (t ) j  f (t )k  r 
t 0 t

Это выражение – вектор производная вектора r .

dr

dt

dr dx  dy  dz 

i
j k
dt dt
dt
dt
 (t )2   (t )2   f (t )2
Если имеется уравнение кривой:
x = (t); y = (t); z = f(t);
то в произвольной точке кривой А(xА, yА, zА) с радиус- вектором


 


r  xi  yj  zk  (t )i  (t ) j  f (t )k
можно провести прямую с уравнением
x  xA y  yA z  z A


m
n
p

dr
Т.к. производная
– вектор, направленный по касательной к кривой, то
dt
x  xA y  yA z  z A


.
dx A
dy A
dz A
dt
dt
dt
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента



dr1 dr2 dr3
d   
(r1  r2  r3 ) 


1)
dt
dt
dt
dt
31


d ( r )
dr
  , где  = (t) – скалярная функция
2)
dt
dt
 


d (r1  r2 ) dr1   dr2

 r2  r1 
3)
dt
dt
dt
 


d (r1  r2 ) dr1   dr2

 r2  r1 
4)
dt
dt
dt
Уравнение нормальной плоскости к кривой будет иметь вид:
dx A
dy
dz
(x  xA )  A ( y  y A )  A (z  z A )  0
dt
dt
dt
Пример. Составим уравнения касательной и нормальной плоскости к линии,


 
заданной уравнением r  i cos t  j sin t  3tk в точке t = /2.
Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:
x(t) = cost; y(t) = sint; z(t) = 3t ;
Находим значения функций и их производных в заданной точке:
z (t )  3
x(t) = -sint;
y(t) = cost;
x(/2) = -1;
x(/2) = 0;
x
y 1


1
0
y(/2) = 0;
y(/2) = 1;
z
z(/2)= 3
z(/2)=  3 /2
 3
2 – это уравнение касательной.
3
Нормальная плоскость имеет уравнение:
 1  ( x  0)  0  3 ( z 
3
 3
 0.
)  0 ,  x  3z 
2
2
Параметрическое задание функции
Исследование и построение графика кривой, которая задана системой урав x  (t )
, производится в общем то аналогично исследованию функ y  (t )
нений вида 
ции вида y = f(x).
 dx
 dt  (t )
Находим производные 
 dy   (t )
 dt
Теперь можно найти производную
dy  (t )

. Далее находятся значения паdx (t )
раметра t, при которых хотя бы одна из производных (t) или (t) равна нулю
или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.
32
Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий
интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной
dy
на кажdx
дом из полученных интервалов, тем самым, определяя промежутки возрастания и
убывания функции.
Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и,
определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.
Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к
которым х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении
к которым и х и у стремится к бесконечности.
В остальном исследование производится аналогичным так же, как и исследование функции, заданной непосредственно.
На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.
Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме
Окружность
Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее точки могут быть найдены по формулам:
 x  r cos t

0  t  3600.
y

r
sin
t

Если исключить параметр t, то получим
каноническое уравнение окружности
x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2.
Эллипс
x2 y2
Каноническое уравнение: 2  2  1 .
a
b
В
C
M(x, y)
t
О
N P
33
Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений
x
y
 a из ОВР и
 b из OCN, где а – большая полуось
можно записать:
cos t
sin t
эллипса, а b – меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.
Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:
 x  a cos t

где 0  t  2.
 y  b sin t
Угол t называется эксцентрическим углом.
Циклоида
Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая
точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.
у
С
М
К
О Р В
а
2а
х
Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать: OB =  МВ = at; PB =
MK= asint; MCB = t. Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).
x = at – asint = a(t – sint).
 x  a(t  sin t )
при 0  t  2 – это параметрическое уравнение цик y  a(1  cos t )
Итого: 
лоиды.
Если исключить параметр, то получаем:
a y


x  2a   a  arccos
 2ay  y 2 ,
a  x  2a
a


a y
x  a  arccos
 2ay  y 2 ,
0  x  a .
a
Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.
Астроида
Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса
R/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса R.
34
R/4
R
Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую:
3

 x  a cos t

3 , 0  t  2,

 y  a sin t
Преобразуя, получим: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t) = a2/3
Производная функции, заданной параметрически
 x  (t )
,
t0  t  T
Пусть 
 y  (t )
Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = (t)
имеет обратную функцию t = Ф(х).
Тогда функция у = (t) может быть рассмотрена как сложная функция y =
[Ф(х)].
dy dy dt d(t ) dФ( x)


,
dx dt dx
dt
dx
dФ( x)
1
т.к. Ф(х) – обратная функция, то dx  d(t ) . Окончательно получаем:
dt
d(t )
dy
 (t )
 dt 
.
dx d(t ) (t )
dt
Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.
x2 y2
Пример. Найдем производную функции 2  2  1 .
a
b
Способ 1. Выразим одну переменную через другую y  
35
b
a 2  x 2 , тогда
a
dy
b(2 x)
bx


dx
2a a 2  x 2
a a2  x2
 x  a cos t
Способ 2. Применим параметрическое задание данной кривой: 
.
 y  b sin t
dy
b cos t
b


dx  a sin t  atgt
x2
2
2
2
2
x = a cos t; cos t  2
a
1
a2 a2  x2
2
2
 1  tg t  tg t  1  2 
cos 2 t
x
x2
bx
a 2  x 2 dy

tgt  
;
.
dx
x
a a2  x2
Кривизна плоской кривой


В
А
А
В
Определение. Угол  поворота касательной к кривой при переходе от точки
А к точке В называется углом смежности.
Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине
больше угол смежности.

Определение. Средней кривизной Кср дуги AB называется отношение со
ответствующего угла смежности  к длине дуги AB .

K ср   .
AB
Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а
некоторый ее участок.
Определение. Кривизной дуги в точке КА называется предел средней кри
визны при стремлении длины дуги AB  0.
36
K A  lim K ср  lim
A B

AB  0


.
AB
Легко видеть, что если обозначить AB = S, то при условии, что угол  функция, которая зависит от S и дифференцируема, то
d
KA 
.
dS
Определение. Радиусом кривизны кривой называется величина R 
Пусть кривая задана уравнением y = f(x).
Kcp =

;
S
lim K cp 
S 0
d
.
dS
y
B

A  +
x
d
d dx

Если  = (x) и S = S(x), то
.
dS dS
dx
В то же время
dy
dy
 tg;    arctg
dx
dx

d2y
d
dx 2

2 .
dx
 dy 
1  
 dx 
2
dS
 dy 
 1    , тогда
Для дифференциала дуги:
dx
 dx 
d 2 y / dx 2
d
2
d dx
d 2 y / dx 2
1  dy / dx 



3/ 2
2
dS dS
  dy  2 
1  dy / dx 
1    
dx
  dx  
37
1
.
KA
Т.к. K A 
d2y
dx 2
y 
d

K

.
В
других
обозначениях:
A
2 3/ 2
dS 
1  ( y ) 2
 dy  
1    
  dx  


3/ 2
.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).
A
C(a, b)
Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.
Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.
Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.
Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по
формулам:
y(1  y  2 )
1  y2
a  x
;
b y
.
y
y 
Определение. Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют
новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По
отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.
Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.
Свойства эволюты
Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.
Теорема 2. Модуль разности радиусов кривизны в любых точках кривой равен модулю длины соответствующей эволюты.
Надо отметить, что какой–либо эволюте соответствует бесконечное число
эвольвент.
Указанные выше свойства можно проиллюстрировать следующим образом:
если на эволюту натянута нить, то эвольвента получается как траекторная линия
конца нити при ее сматывании или разматывании при условии, что нить находится в натянутом состоянии.
38
С3

R2  R1  C1C 2
С2

С1
R2
R1
M1
M’1
M2
R3  R2  C 2 C3
R3
M3
M’2
M’3
Пример: Найдем уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:
 x  a(cos t  t sin t )

 y  a(sin t  t cos t )
 x  a( sin t  sin t  t cos t )  at cos t

 y  a(cos t  cos t  t sin t )  at sin t
y
y    tgt ;
1  ( y ) 2  sec 2 t ,
x
d (tgt ) d (tgt ) dt
1 sec 3 t
2
y  


 sec t  
dx
dt
dx
x
at

at sec 2 t
p  a(cos t  t sin t ) 
 tgt  a cos t


sec 3 t
Уравнения эволюты: 
2
q  a(sin t  t cos t )  at sec t  a sin t

sec 3 t

 p  a cos t
Окончательно: 
– это уравнения окружности с центром в начале
q  a sin t
координат радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.
Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.
Кривизна пространственной кривой
Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.
x = (S);
y = (S);
z = f(S);



 
r  r (S )  (S )i  (S ) j  f (S )k ;
Приведенное уравнение называют векторным уравнением линии в пространстве.
39
15
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
z
B


r  r
0

r

r
A(x, y, z)
y
x
Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус
вектор r (S ) при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.



AB
dr
r
r
  , тогда
 lim
– вектор, направленный по касательной к
S 0 S
S
dS
AB

AB
 dr
 1 , то a 
кривой в точке А(x, y, z). Но т.к. lim
– единичный вектор,
A B 
dS
AB
направленный по касательной.

 

 dx  dy  dz 
i
j
k.
Если принять r  xi  yj  zk , то a 
dS
40
dS
dS
2
2
2
 dx   dy   dz 
При этом          1 .
 dS   dS   dS 



d 2r
d  dr  da


.
Рассмотрим вторую производную
dS 2 dS  dS  dS

da
Определение. Прямая, имеющая направление вектора
, называется главdS

ной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается n .

 

da
d 2r n
 K  n , где К – кривизна кривой,
 .
dS
dS 2 R
Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:
K
r   r 2
r  
2 3
.
Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):
2
2
2
 2

 d 2r 
 d 2x   d 2 y   d 2z 
d 2r
K   2  
  2    2    2  .
dS 2
 dS 
 dS   dS   dS 

d 2r
Определение. Вектор
называется вектором кривизны. Величина
dS 2

1
называется радиусом кривизны.
K
О формулах Френе
Формулами Френе называются соотношения:
 
da n
 ;
dS R
 
db n
 ;
dS T

 
dn
a b
  ;
dS
R T
  
n  b  a;
Последняя формула получена из двух первых.
В этих формулах:

n – единичный вектор главной нормали к кривой,

b - единичный вектор бинормали,


R – радиус кривизны кривой  R 
1
,
K
Т – радиус кручения кривой.
Определение. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.
Определение. Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся
плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор – b .

db 1
 ;
dS T

db 1 
  n.
dS T
41
Величина
1
называется кручением кривой.
T
Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.
Пример: Методами дифференциального исчисления исследуем функцию
y  3 1  x 3 и построим ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные
числа (-; ).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
3
f ( x)
1  x3
1  x3
1
3
k  lim
 lim
 lim
 lim 3 3  1  1;
3
x 
x 
x 
x 
x
x
x
x
3
(1  x  x 3 )
3
3
b  lim ( f ( x)  kx)  lim ( 1  x  x)  lim
 0;
2
x 
x 
x   3
3
3
2
3
 1  x  x  1  x  x 
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
1
y   (1  x 3 ) 2 / 3   3x 2 . Видно, что у 0 при любом х  0, следовательно,
3
функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке
х=0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не
сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция, скорее всего,
имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную
функции:


y  

 2x
3

(1  x 3 ) 5
y = 0 при х =0 и y =  при х = 1.
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y(1-h) < 0; y(1+h) >0;
y(-h) > 0; y(h) < 0 для любого h > 0.
6. Построим график функции (на след. стр.).
Пример: Исследуем функцию y 
x3  4
и построим ее график.
x2
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =  3 4
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
42
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
y   , следовательно, прямая
4. Точка х = 0 является точкой разрыва lim
x 0
х = 0 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде y = kx + b.
f ( x)
x3  4
4

k  lim
 lim
 lim 1  3   1
3
x 
x 
x 
x
x
 x 
 x3  4

4
b  lim ( f ( x)  kx)  lim  2  x   lim 3  0.
x 
x 
 x
 x  x
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
y  1 
8
; y = 0 при х = 2, у =  при х = 0.
x3
y > 0 при х  (-, 0) – функция возрастает,
y < 0 при х  (0, 2) – функция убывает,
у > 0 при х  (2, ) – функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вто24
рую производную: y   4 > 0 при любом х  0, следовательно, функция вогнуx
тая на всей области определения.
6. Построим график функции (на след. стр.).
3
Пример: Исследуем функцию y  x( x  1) и построим ее график.
1.
Областью определения данной функции является промежуток х  (-,
).
2.
В смысле четности и нечетности функция является функцией общего
вида.
3.
Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;
с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.
43
8
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
4.
Асимптоты кривой.
Вертикальных асимптот нет.
Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
f ( x)
x( x  1) 3
k  lim
 lim
  – наклонных асимптот не существует.
x 
x 
x
x
5.
Находим точки экстремума.


y   x( x 3  3 x 2  3 x  1  x 4  3 x 3  3 x 2  x  4 x 3  9 x 2  6 x  1
Для нахождения критических точек следует решить уравнение:
4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.
Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.
Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число х = 1. Тогда:

 

4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1
 4x3 – 4x2
4x2 – 5x + 1
- 5x2 + 6x
- 5x2 + 5x
x-1
 x-1
0
2
Тогда можно записать (х – 1)(4х – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две
критические точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если
при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

y   x( x  1) 3  ( x  1) 3  3x( x  1) 2  ( x  1) 2 ( x  1  3x)  ( x  1) 2 (4 x  1)
Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю,
находим: x = 1, x = ½.
Систематизируем полученную информацию в таблице:


44
( ¼ ; ½)
1/2
(½ ;1)
1
(- ; ¼) 1/4
(1 ; )
+
+
+
0
0
+
f(x)
0
+
+
+
0
+
f(x)
убывает
возрастает
возрастает
возрастает
f(x)
min
перегиб
перегиб
вып.вниз
вып.вниз
вып.вверх
вып. вниз
6.
Построим график функции.
0. 4
0. 2
- 0. 5
0. 5
1
1. 5
- 0. 2
- 0. 4
Часть II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут
справедливы для функций произвольного числа переменных.
Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из
некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или
несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух
переменных.
z = f(x, y)
Определение. Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то
функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.
Определение. Областью определения функции z называется совокупность
пар (х, у), при которых функция z существует.
Определение. Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию x  x0 2   y  y0 2  r .
Определение. Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа  > 0 найдется такое
45
число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие MM 0  r и
верно условие f ( x, y)  A   . Записывают: lim f ( x, y )  A .
x  x0
y  y0
Определение. Пусть точка М0(х0,у0) принадлежит области определения
функции f(x,y). Тогда функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке М0(х0,у0),
если
lim f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) ,
(1)
x  x0
y  y0
при этом точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Если в какой–либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1)
Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).
2)
Не существует предел lim f ( x, y ) .
x  x0
y  y0
3)
Этот предел существует, но он не равен f(x0, y0).
Свойство. Если функция f(x, y) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка
N(x0, y0), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0)  f(x, y),
а также точка N1(x01, y01), такая, что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01)  f(x, y).
Тогда f(x0, y0) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01) = m –
наименьшее значение функции f(x, y) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по
крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки   [m, M] существует точка
N0(x0, y0) такая, что f(x0, y0) = .
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней
мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y), непрерывная в замкнутой ограниченной области
D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек
области верно неравенство f ( x, y)  K .
Свойство. Если функция f(x, y) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для
любого положительного числа  существует такое число  > 0, что для любых
двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство
f ( x1 , y1 )  f ( x2 , y 2 )   .
46
Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке.
Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда
величина xz = f(x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции
по х.
Можно записать
 x z f ( x  x, y)  f ( x, y)

.
x
x
Тогда lim
x 0
xz
называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
x
Обозначение:
z
f ( x, y)
; z x ;
;
x
x
f x ( x, y).
Аналогично определяется частная производная функции по у.
z
f ( x, y  y )  f ( x, y)
 lim
.
y y 0
y
Геометрическим смыслом частной производной (допустим
z
) является
x
тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению
поверхности плоскостью у = у0.
Полное приращение и полный дифференциал
Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f(x + x, y + y) – f(x, y)
называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)  f ( x, y  y)  f ( x, y  y)   f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y) 
  f ( x, y  y)  f ( x, y)
Применим теорему Лагранжа (см. ранее) к выражениям, стоящим в квадратных скобках:
f ( x, y  y)  f ( x, y)  y
здесь y  ( y, y  y);
Тогда получаем
f ( x, y )
f ( x , y  y)
, f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y)  x
,
y
x
x  ( x, x  x) .
z  x
f ( x , y  y)
f ( x, y )
 y
.
x
y
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
f ( x , y  y ) f ( x, y )
lim

x 0

x
x
y 0
f ( x, y ) f ( x, y )

x 0

y
y
y 0
lim
47
Определение. Выражение z 
f ( x, y)
f ( x, y)
x 
y  1x   2 y называx
y
ется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и 2 –
бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно.
Определение. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется
главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у)
dz  f x( x, y)dx  f y ( x, y)dy .
Для функции произвольного числа переменных:
df ( x, y, z,..., t ) 
f
f
f
dx  dy  ...  dt .
x
y
t
Пример. Найдем полный дифференциал функции u  x
y2z
.
u
u
u
dx 
dy 
dz
x
y
z
2
2
2
u
u
u
 y 2 zx y z 1 ;
 x y z ln x  2 yz;
 x y z ln x  y 2 ;
x
y
z
du 
du  y 2 zx y
2
z 1
2
2
dx  2 x y z yz ln xdy  y 2 x y z ln xdz .
Пример. Найдем полный дифференциал функции z 
y
.
x  y2
2
z
 2 yx
 2
x ( x  y 2 ) 2
z y ( x 2  y 2 )  y(2 y) x 2  y 2  2 y 2
x2  y2



y
(x2  y 2 )2
(x2  y 2 )2
(x 2  y 2 )2
dz  
2 xy
x2  y2
dx

dy .
(x2  y 2 )
(x2  y 2 )2
Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость
и нормаль к поверхности.
нормаль
N

N0
касательная плоскость
48
Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к
поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю,
когда стремится к нулю расстояние NN0.
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой–либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную
плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0))
существует и имеет уравнение:
z  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) .
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
x  x0
y  y0
z  z0


f x ( x0 y 0 ) f y ( x0 , y 0 )
1
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х,
у0+у).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух
переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найдем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно2
2
сти z  x  2 xy  y  x  2 y в точке М(1, 1, 1).
z
z
 2 x  2 y  1;
 2 x  2 y  2
x
y
z
z
 1;
 2.
x M
y M
Уравнение касательной плоскости:
z  1  ( x  1)  2( y  1);
Уравнение нормали:
x  2 y  z  0;
x 1 y 1 z 1


.
1
2
1
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:
z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)
f ( x  x, y  y)  f ( x, y)  z
Если подставить в эту формулу выражение
49
z  dz 
f
f
x  y
x
y
то получим приближенную формулу:
f ( x  x, y  y)  f ( x, y) 
f ( x, y)
f ( x, y )
x 
y
x
y
Пример. Вычислим приближенно значение
1,041,99  ln 1,02 , исходя из зна-
чения функции u  x y  ln z при x = 1, y = 2, z = 1.
Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = 0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02. Найдем значение функции u(x, y, z) = 12  ln 1  1.
Находим частные производные:
u
y  x y 1
2 1


1
x 2 x y  ln z 2 1
u
x y ln x

0
y 2 x y  ln z
1
u
1
z

 .
z 2 x y  ln z 2
Полный дифференциал функции u равен:
du  0,04 
u
u
u
1
 0,01 
 0,02 
 1  0,04  0  0,01   0,02  0,04  0,01  0,05
x
y
z
2
1,041,99  ln 1,02  u(1,2,1)  du  1  0,05  1,05
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
Частные производные высших порядков
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные f x( x, y) и f y ( x, y) тоже будут определены в той же области или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
2z
 f xx ( x, y);
x 2
2z
 f yy ( x, y );
y 2
2z
 f xy ( x, y );
xy
2z
 f yx ( x, y );
yx
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные
производные более высоких порядков.
50
2z 2z
3 z
3 z
;
;
;
Определение. Частные производные вида
и т.д.
xy yx xyx xyy
называются смешанными производными.
Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные f x, f y , f xy , f yx
определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:
2 f
2 f

.
xy yx
Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.
dz  f x( x, y)dx  f y ( x, y)


d 2 z  d f x( x, y)dx  f y ( x, y)dy  f x2 ( x, y)(dx) 2  2 f xy ( x, y)dxdy  f y2 ( x, y)(dy) 2
d 3 z  f x3 ( x, y)(dx) 3  3 f x2y ( x, y)(dx) 2 dy  3 f xy2 ( x, y)dx(dy) 2  f y3 ( x, y)(dy) 3
…………………
n



d z   dx  dy  f ( x, y )
y 
 x
n
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.
Экстремум функции нескольких переменных
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
f ( x0 , y0 )  f ( x, y) ,
тогда точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
f ( x0 , y0 )  f ( x, y) ,
тогда точка М0 называется точкой минимума.
Теорема (необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо
обе
ее
частные
производные
первого
порядка
равны
нулю
f x( x0 , y0 )  0, f y ( x0 , y0 )  0 , либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Теорема (достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
2
D( x, y)  f x2 ( x, y)  f y2 ( x, y)   f xy ( x, y)
51
1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, и
если f x2 ( x0 , y0 )  0 , то это максимум, а если f x2 ( x0 , y0 )  0 , то – минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума.
В случае если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
Условный экстремум
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в
функцию u = f(x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется уравнением связи.
Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи: u = f(x, y(x)).
du f f dy


dx x y dx
В точках экстремума:
Кроме того:
du f f dy


=0
dx x y dx
(2)
  dy

0
x y dx
(3)
Умножим равенство (3) на число  и сложим с равенством (2):
 f f dy 
   dy 
 
  
  0


x

y
dx

x

y
dx




   f
  dy
 f
0
        
x   y
y  dx
 x
Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

 f
 x   x  0


 f
0
 

y

y

 ( x, y )  0


Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при
нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на
экстремум.
Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.
Пример. Найдем экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
2x + 3y – 5 = 0.
u  xy  (2 x  3 y  5) ,
u
 y  2;
x
52
u
 x  3;
y
 y  2  0

 x  3  0
2 x  3 y  5  0

5
5
5
  ;
x ;
y .
12
4
6
5 5
4 6
Таким образом, функция имеет экстремум в точке  ;  .
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.
Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения
относительно условного экстремума могут быть распространены на функции
большего числа переменных.
Производная по направлению
Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М(x, y, z) и точке М1(x+x,y+y,z+z).
Проведем через точки М и М1 вектор S . Углы наклона этого вектора к
направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора S .
Расстояние между точками М и М1 на векторе S обозначим S:
S  x 2  y 2  z 2
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:
z
M
S
M1
S
y
x
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать
следующее выражение:
u 
u
u
u
x 
y 
z  1x   2 y   3 z ,
x
y
z
53
где величины 1, 2, 3 – бесконечно малые при S  0 .
Из геометрических соображений очевидно:
x
 cos ;
S
y
 cos ;
S
z
 cos ;
S
Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены
следующим образом:
u u
u
u

cos   cos   cos   1 cos    2 cos    2 cos  ;
S x
y
z
u
u u
u
u
 lim

cos   cos   cos 
s S 0 S x
y
z
Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора S . Из этого уравнения следует следующее определение:
Определение. Предел lim
S 0
u
называется производной функции u(x, y, z)
S
по направлению вектора S в точке с координатами (x, y, z).
Поясним значение изложенных выше равенств на примере.
Пример. Вычислим производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по
направлению вектора АВ , точка В (3, 0).
Прежде всего, необходимо определить координаты вектора АВ :


АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i  2 j .
Далее определяем модуль этого вектора:
AB = 8  2 2 .
Находим частные производные функции z в общем виде:
z
z
 2x  y 2 ;
 2 yx.
x
y
z
z
 6;
 4.
Значения этих величин в точке А:
x
y
Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие преобразования:
S=

2 
2 
 i cos   j cos  
i
j.
2
2
2
2
AB
AB
За величину S принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ :
cos =
2
;
2
cos = -
54
2
2
Окончательно получаем:
z
2
2
 6
 4
 2 – значение производной
s
2
2
заданной функции по направлению вектора АВ .
Градиент
Определение. Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и
некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям
функции u в соответствующей точке
u u u
;
;
, то этот вектор называется
x
y
z
градиентом функции u:
u  u  u 
i
j
k.
x
dy
z
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
gradu 
Связь градиента с производной по направлению
Теорема. Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
gradu 
Тогда производная
u  u  u 
i
j k.
x
dy
z
u
по направлению некоторого вектора S равняется
s
проекции вектора gradu на вектор S .



Доказательство. Рассмотрим единичный вектор S  i cos   j cos   k cos 
и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов S
и gradu:
 u
u
u
gradu  S 
cos   cos   cos 
x
y
z
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной
функции u по направлению s.

Т.е. gradu  S 
u
. Если угол между векторами gradu и S обозначить через
s
, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих
векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор S единичный,
т.е. его модуль равен единице, можно записать:
gradu  cos  
u
s
Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией
вектора gradu на вектор S .
Теорема доказана.
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент–вектор, показывает направление наискорейшего изменения
некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие
55
понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление
градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.
С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен
поверхности уровня функции.
56
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа