close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...выполнения расчетного задания по теме «Кинематика точки»

код для вставкиСкачать
Пример выполнения расчетного задания
по теме «Кинематика точки»
Дано:
 t
 t
x  2  cos     1 см, y  4  sin    см, t1 = 1,75 с.
 3
 3
Найти:
1) траекторию точки;
2) для заданного момента времени положение точки, её скорость, касательное,
нормальное, полное ускорения и радиус кривизны траектории в данной точке.
Решение.
1) Сначала определим траекторию точки. Для этого из заданных уравнений
движения точки, а это, по сути, параметрические уравнения кривой, избавимся от
параметра t и получим уравнений кривой в координатной форме в виде
зависимости одной координаты от другой. Так как уравнения движения содержат
периодические функции, то воспользуемся основным тригонометрическим
тождеством: cos 2    sin 2    1 .
 t
Преобразуем уравнение x  2  cos     1 :
 3
2
x 1
t
 t
 x 1
2
 cos    и возведем в квадрат 
  cos     .
2
 3
 2 
 3
 t
Преобразуем уравнение y  4  sin    :
 3
2
y
 t
 y
 t
 sin    и возведем в квадрат    sin 2     .
4
 3
4
 3
Используем тригонометрическое тождество:
 x  1  2
t
2
  cos    ,

 3
 2 


2
t
 y 
2
   sin    ,
 3
 4 
           

2
2
 x  1   y 
 2    4   1.

Получили уравнение эллипса
2
2
 x 1  y 

     1,
 2  4
1
центр эллипса находится в точке с координатами (-1, 0), полуось по оси х равна 2
см, по оси у – 4 см.
Определим область значений для х и у при условии, что время t  0.
Согласно исходным уравнениям:
– 3  х  1, – 4  у  4.
Строим эллипс по нескольким точкам, используя таблицу.
х, см
0
0,5
1
–1
–2
– 2,5
–3
3,46
2,65
4
3,46
2,65
у, см
и
и
0
и
и
и
0
– 3,46
– 2,65
–4
– 3,46
– 2,65
Так как весь эллипс попадает в указанные ограничения, то и траекторией
точки является весь эллипс.
у
5
4
3
2
1
х
5
4
3
2
1
0
1
1
2
3
4
5
Рисунок 1 – Траектория точки
2) Далее определяем текущее положение точки:
при t1 = 1,75 с
 1,75 
x1  2  cos  
  1  1,518 см,
3 

 1,75 
y1  4  sin  
  3,864 см.
3 

Проекция вектора скорости точки на ось х:
2
2
3

2
 t
 t
Vx  x  2   sin       sin    см/с,
3
3
 3
 3
проекция вектора скорости точки на ось у:

 t  4
 t
Vy  y  4   cos    
 cos    см/с.
3
 3 3
 3
При t1 = 1,75 с
2
 1,75 
Vx1    sin  
  2,023 см/с,
3
3


4
 1,75 
Vy1 
 cos  
  1,084 см/с,
3
3 

тогда скорость точки
V1  Vx21  Vy21 
 2,0232   1,0842  2,295 см/с.
Определяем ускорение точки.
Проекция вектора ускорения точки на ось х:
2
 x   2     cos   t    2  cos   t  см/с2,
ax  V
3 3
9
 3
 3
проекция вектора ускорения точки на ось у:
2
 y   4     sin    t    4   sin    t  см/с2.
ay  V
3 3
9
 3
 3
При t1 = 1,75 с
22
 1,75 
2
a x1  
 cos  
  0,568 см/с ,
9
3 

42
 1,75 
2
a y1  
 sin   
  4,237 см/с ,
9
3 

тогда ускорение точки
a1  a 2x1  a 2y1 
0,5682   4,2372
 4,275 см/с2.
Определяем касательное ускорение
V  a  Vy1  a y1  2,023  0,568   1,084    4,237 
a 1  x1 x1

 1,501 см/с2
V1
2,295
и нормальное ускорение
Vx1  a y1  Vy1  a x1  2,023   4,237    1,084   0,568
a n1 

 4,003 см/с2.
V1
2,295
Радиус кривизны траектории
V12 2,2952
1 

 1,316 см (на схеме это отрезок М1С).
a n1 4,003
Построение векторов скоростей и ускорений необходимо выполнять в
масштабе.
3
у
5

Vx1
М1

a 1

Vy1

V1
4

a x1
3
С
2
1
х
5
4
3
2

a y1
1
0

a1
1

a n1
2
3
1
2
3
4
5
Рисунок 2 – Векторы скоростей и ускорений
4
4
5
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа