close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...4 Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких

код для вставкиСкачать
1
РАЗДЕЛ 4
Дифференциальное
исчисление функций одной
и нескольких переменных
Материалы подготовлены преподавателями математики
кафедры общеобразовательных дисциплин для системы
электронного дистанционного обучения
22
Содержание раздела
1. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной.
Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
2. Производные элементарных функций. Производная функций, заданных
параметрически. Производные высших порядков.
3. Определение дифференциала функции, его геометрический смысл. Инвариантность
формы дифференциала. Дифференциалы функции высших порядков.
4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Раскрытие
неопределенностей.
5. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум функций. Наибольшее и
наименьшее значения функции на отрезке.
6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая
схема исследования функции и построения графика.
7. Функции двух переменных. Основные определения и понятия. Пре-дел.
Непрерывность.
8. Частные производные первого порядка. Частные производные высших порядков.
Дифференцируемость функций многих переменных и полный дифференциал
функции. Производная по направлению и градиент.
9. Понятие локального экстремума функции двух переменных. Необходимые и
достаточные условия существования экстремума
10. Понятие условного экстремума функции двух переменных. Метод множителей
Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значение функции в области.
3
Изложение учебного материала в данной презентации подобно
традиционному в предложенных Вам учебных пособиях
(Конспект лекций и Краткий конспект лекций по дисциплине
«Математика»), которые мы рекомендуем внимательно изучить.
Для успешной подготовки к тесту и выполнения контрольной
работы по разделу Вам потребуется письменное решение
заданий, представленных в теоретическом курсе.
Желаем удачи!
4
Задание части 1 Единого государственного экзамена базового уровня по
материалу курса математики, на которые надо дать верный ответ в виде целого
числа или конечной десятичной дроби (2011 г.).
В11. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Ответ: 1
Решение: y´=-2sinx+√3. Найдем значения
в которых y´=0:
Находим значения функции y в найденном значении x и на концах
данного отрезка. Из полученных результатов выбираем
наибольший:
Наибольшее значение функции равно 1.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
5
Определение производной
Пусть на некотором промежутке X
определена функция f ( x) . Возьмем любое
значение x0  X и зададим аргументу x в точке x0
произвольное приращение x такое, что
значение x0  x также принадлежит промежутку X.
Это вызовет соответствующее приращение
функции y  f ( x0  x )  f ( x0 ).
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6
Определение производной
Производной функции y  f ( x) в точке x0
называется предел отношения приращения функции
y в этой точке к вызвавшему его приращению
аргумента x , при произвольном стремлении x к
нулю (при условии, что этот предел существует).
Производная функции в точке x0
обозначается f ( x ) :
. f (x )
y
f ( x0  x) 
0
f ( x0 )  lim
 lim
x 0 x
x 0
x
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
7
Определение производной
Если вместо x0 брать различные значения
x  X , то будем получать различные значения
производной. Следовательно, производную
можно рассматривать как функцию от x,
определенную на множестве X . В этом случае
производную обозначают f ( x ) . Если y  f  x  , то
вместо f ( x0 ) пишут также y x  x .
0
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
8
Определение производной
Операция нахождения производной от функции
называется дифференцированием функции.
Дифференцирование функций выполняется на основе
правил дифференцирования.
Пусть u  u ( x) и v  v ( x ) – дифференцируемые функции,
тогда:
1.  cu   cu
3.
c  const
 u  v   uv  vu
2.  u  v   u  v
;
;
;
 u  uv  vu .
4.  v   v 2
 
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
9
Таблица производных элементарных функций
1).
c  0 , c  const

n 1
2).  x   nx ,
7).  arcsin x  
1  x2
8).  arccos x   
n
3).

sin
x
   cos x
9).
4).
 cos x    sin x
10).
5).
 tg x  
1
cos 2 x
6).  ctg x   
1
1
sin 2 x
 arc tg x  
1
1  x2
1
1  x2
1

arcc
tg
x




1  x2
x 
x
a

a
ln a
11).  
x 
x
e

e
12).  
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
10
Геометрическая интерпретация производной
Касательной к кривой в точке
M называется предельное
положение секущей MN, когда
точка N , двигаясь по кривой,
неограниченно приближается
к точке M.
Рассмотрим геометрический смысл производной. Если
изобразить на рисунке график функции y  f ( x) , то
величина отношения y равна тангенсу
x
угла наклона секущей MN к оси абсцисс.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
11
Геометрическая интерпретация производной
Если x  0 , то точка M стремится к точке N и секущая
MN стремится занять положение касательной к графику
функции в точке M . Следовательно, геометрически
производная y
есть угловой коэффициент (тангенс
x
угла наклона) касательной к кривой в рассматриваемой
точке.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
12
Производная сложной функции
Если функция может быть представлена в виде
y  f (u )
где u   ( x) , то функция y  f   x   называется
сложной функцией от x.
Функциональную зависимость между x, и y,
можно графически
представить
в виде
зависит
зависит
y  u  x Здесь u
“цепочки”:
называется промежуточным аргументом, x 
независимым аргументом.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
13
Производная сложной функции
При нахождении производной сложной
функции пользуются теоремой.
Теорема. Если y  f (u ) , u   ( x) 
дифференцируемые функции от своих
аргументов, то производная сложной функции
y  f   x   существует и равна производной
данной функции y по промежуточному
аргументу u, умноженной на производную
промежуточного аргумента u по независимой
переменной x, т. е.

y x  yu  u x .
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
14
Дифференциал функции
Пусть функция y  f ( x) задана на промежутке X .
y

f
(
x
)

lim
x

X
Производная в точке
равна
.
x 0 x
При этом y  f ( x)   , где   0 при x  0 .
x
Тогда приращение y функции y  f ( x) можно
выразить так: y  f ( x )x  x.
(1)
Дифференциалом функции dy называется
произведение производной функции на
приращение аргумента
dy  yx .
(2)
Формула (1) может быть записана в виде:
y  dy  x .
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
15
Дифференциал функции
Дифференциалом независимой переменной
называют ее приращение, т. е.
dx  x .
Формулу (2) теперь можно записать и так:
.
dy  ydx
Функция называется дифференцируемой в
точке x , если она имеет в этой точке
производную или дифференциал.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
16
Производные и дифференциалы
высших порядков
Пусть функция y  f ( x) задана на промежутке X
и имеет на нем производную f ( x) . Производная от
производной, если она существует, называется
производной второго порядка (второй производной)
функции f ( x) и обозначается y , или yx 2 , или
2
d
y
f ( x ) , или, наконец,
.
2
dx
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
17
Производные и дифференциалы
высших порядков
Производная от производной (n-1)-го порядка
называется производной n-го порядка и
обозначается y ( n )
(n)
y
или xn
(n)
f
( x)
или
или d n y
.
dx n
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
18
Производные и дифференциалы
высших порядков
Дифференциалом второго порядка называется
дифференциал от дифференциала,
вычисленный в предположении, что
приращение x – постоянно:
2
d  df ( x)    df ( x)  x   f ( x)x  x  f ( x)  x  .
В других обозначениях:
d 2 f ( x )  d  df ( x )   f ( x )dx 2
.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
19
Применение производных
к исследованию функций
Признак монотонности функции. Если f ( x)  0
( f ( x)  0 ) для каждой внутренней точки x
промежутка X , то функция y  f ( x) строго
возрастает (убывает) на X .
Необходимое условие экстремума. Пусть
функция f ( x) непрерывна в промежутке X и в его
внутренней точке x0 принимает экстремальное
значение f ( x0 ). Если существует f ( x0 ) , то
необходимо f ( x0 )  0 .
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
20
Применение производных
к исследованию функций
Достаточное условие экстремума. Пусть функция f ( x)
непрерывна в точке x0 , а ее производная f ( x )
при переходе аргумента x через x0 слева направо меняет
знак. Тогда в точке x0 функция имеет экстремум: максимум,
если знак меняется с «+» на «-», и минимум, если с «-» на
«+».
Если при указанном переходе x через x0 производная
f ( x ) знака не меняет, то в точке x0 экстремума нет.
Точки, в которых f ( x ) равна нулю, бесконечны или не
существуют, но функция f ( x) непрерывна, называются
критическими точками функции.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
21
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба
Кривая называется выпуклой (вогнутой) на промежутке
X, если все ее точки лежат ниже (выше) касательной,
проведенной в любой точке этого промежутка.
Точка, отделяющая промежутки вогнутости и выпуклости
кривой, называется точкой перегиба.
Признак выпуклости (вогнутости) кривой. Если f ( x)  0
( f ( x)  0 ) на промежутке X, то кривая
с уравнением y  f ( x) выпукла (вогнута) на промежутке X.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
22
Формула Тейлора
Формула, обеспечивающая возможность точной замены
данной функции полиномом, известна как формула
Тейлора, такова:
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2 
1!
2!

( n 1)
f ( n ) ( x0 )
f
(c )

( x  x0 ) n 
( x  x0 ) n1 ,
n!
(n  1)!
где
(3)
a  x  b , a  x0  b , x0  c  x .
f ( n1) (c)
Rn ( x) 
( x  x0 ) n1
(n  1)!
Выражение
называется
остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
23
Формула Тейлора
На практике часто рассматривают частный
случай формулы Тейлора, когда x0  0 :
f (0)
f (0) 2
f ( x)  f (0) 
x
x 
1!
2!
f ( n ) (0) n f ( n1) (c) n1

x 
x
n!
( n  1)!
, (4)
где 0  c  x .
Формула (4) называется формулой Маклорена.
Часть I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
24
Многие вопросы естествознания имеют дело с зависимостями между
переменными величинами, в которых числовые значения одной из них
полностью определяются значениями нескольких других, например,
температура тела в данный момент времени может зависеть от
положения точки тела (от трех координат); меры геометрических тел
(площадь прямоугольника, объем прямоугольного параллелепипеда и
др.) определяются значениями двух или трех переменных;
температура неоднородного тела, масса неоднородного стержня.
Геометрическое изображение функции двух переменных в виде
поверхности не всегда выполнимо. В этом случае используют сечения
поверхности z=f(x,y) плоскостями z=c, где c – любое число. При этом
получают плоскости, параллельные плоскости Oxy. Линией уровня для
функции z=f(x,y) называют множество точек (x,y) плоскости Oxy, в
которых данная функция принимает одно и тоже значение z=c. Термин
«линии уровня» заимствован из картографии. Там линии уровня – это
линии, на которых высота точек земной поверхности над уровнем моря
постоянна. По ним можно судить не только о высоте над уровнем моря
определенной точки местности, но и о характере рельефа, что
особенно важно, если местность гористая.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
25
Функции двух переменных
Если каждой упорядоченной паре чисел  x, y  из
некоторого множества E поставлено в соответствие
одно вполне определенное число z Z,
то говорят, что на множестве E определена функция
двух переменных.
Обозначение: z  f ( M )  f ( x, y ) ,
M E . Здесь E – область
определения функции; x и y –
независимые переменные.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
26
Функции двух переменных
Функцию двух переменных z  f ( x, y )
можно изобразить графически.
Делается это так: строят
прямоугольную систему координат
в пространстве с координатами x, y,
z и ставят в соответствие каждой
точке  x, y  множества E точку  x, y, f ( x, y) 
с третьей координатой z  f ( x, y ).
Когда точка  x, y пробегает множество E ,
соответствующая точка  x, y, z  опишет, вообще говоря,
некоторую поверхность. В этом случае равенствоz  f ( x, y )
называют уравнением поверхности.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
27
Предел и непрерывность функции
двух переменных
Число a называется пределом функции f ( M ) в точке M 0  x0 , y0  ,
если любому числу   0, как бы мало оно ни было, соответствует
число   0 , такое, что при 0   ( M , M )   выполняется
0
неравенство f ( M )  a  
В этом случае пишут
f ( x, y )  a .
lim f ( M )  a , или xlim
x
M M 0
0
y  y0
Точки пространства R2, в которых функция f ( M ) не обладает
свойством непрерывности, называются точками разрыва функции.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
28
Предел и непрерывность функции
двух переменных
Функцию f ( M ) , определенную
окрестности точки M 0  R 2 (и в самой точке), называют
f (M )  f (M 0 ) .
непрерывной в точке M 0 , если Mlim
M
0
Функция, непрерывная в каждой точке множества E  R
называется непрерывной на множестве E .
Сумма, разность, произведение частное и
суперпозиция непрерывных в области E функций двух
переменных является функцией, непрерывной в этой
области (в случае частного знаменатель
предполагается не обращающимся в нуль).
2
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
29
Частные производные функции
двух переменных
Пусть у функции z  f ( x, y ) переменная y
зафиксирована, а переменная x получает
приращение x . Тогда приращение функции будет
 x f  f ( x  x , y )  f ( x , y ) .
lim
f ( x  x, y )  f ( x, y )
 f
 lim x
x 0 x
x
Если существует предел x0
, то
его называют частной производной от функции z  f ( x, y )
в точке ( x, y ) по переменной x и обозначают:
f ( x, y ) или ,
f x ( x, y ) или f x ( x, y) .
x
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
30
Частные производные функции
двух переменных
Аналогично определяется частная производная
по переменной y .
Замечание . Для функции двух переменных
из существования конечных частных производных в точке M 0
не следует непрерывность функции в этой точке M 0 .
Но если функция дифференцируема в точке , то она
непрерывна в этой точке.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
31
Дифференциал функции двух переменных
Если приращение функции f ( x, y ) в точке ( x, y ) можно
записать в виде
f  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  Ax  By    x 2  y 2
,
где A и B зависят только от x и y , и не зависят
  0 , то функция называется
от x , y, а x lim
y 0
дифференцируемой в точке ( x, y ) .
Выражение Ax  By  Adx  Bdy
называется
дифференциалом функции f ( x, y ) в точке ( x, y )
и
обозначается символом df ( x, y ) .
2
2
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
32
Дифференциал функции двух переменных
Теорема. Если функция f ( x, y ) дифференцируема
в точке ( x0 , y0 ) , то она имеет в этой точке частные
производные, причем
.
f
f
f
f
df  x  y  dx  dy
x
y
x
y
Теорема (достаточное условие дифференцируемости).
Если функция f ( x, y ) имеет
в точке ( x, y ) непрерывные частные производные, то
она дифференцируема в этой точке.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
33
Производные и дифференциалы
высших порядков
Частная производная (если она существует) от частной
производной первого порядка функции z  f ( x, y ) называется
частной производной второго порядка.
Дифференцируя f x( x, y ) по x и по y, получим две
частные производные второго порядка, которые
обозначаются следующим образом:
  z   2 z
 f yx  zyx
 
x  y  yx
;
  z   2 z
   2  f xx  zxx
x  x  x
.
Аналогично для f y( x, y ) :
  z   2 z
   2  f yy  zyy
y  y  y
и
  z   2 z
 f xy  zxy .
 
y  x  xy
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
34
Производные и дифференциалы
высших порядков
Производные f xy и f yx
называются
смешанными производными, они отличаются
тем, что первая получена
дифференцированием функции z  f ( x, y )
сначала по x, а затем по y, вторая, наоборот –
сначала по y, затем по x.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
35
Касательная плоскость
и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности z  f ( x, y ) в
точке M 0 (точка касания) называется плоскость, в
которой лежат все касательные в точке M 0 к
различным кривым, проведенным на поверхности
через эту точку.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
36
Касательная плоскость
и нормаль к поверхности
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к
касательной плоскости в точке касания.
Если f ( x, y ) – дифференцируемая функция, то
уравнение касательной плоскости в точке M ( x , y , z )
0
0
0 0
поверхности имеет вид:
z  z0  f x( x0 , y0 )( x  x0 )  f y( x0 , y0 )( y  y0 )
.
Уравнение нормали:
x  x0
y  y0
z  z0
.


f x( x0 , y0 ) f y( x0 , y0 )
1
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
37
Экстремум функции двух переменных
Точка M 0 ( x0 , y0 ) называется точкой максимума (минимума)
функции z  f ( x, y ) , а значение f ( M 0 ) – максимумом
(минимумом), если существует окрестность точки M 0 ( x0 , y0 ) ,
для всех точек M ( x, y ) которой, отличных от точки M 0 ( x0 , y0 ) ,
выполняется неравенство
f (M 0 )  f (M )
 f (M 0 )  f (M )  .
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
38
Экстремум функции двух переменных
Точки максимума и минимума функции z  f ( x, y )
называются экстремальными точками, или
экстремумами, а значения функции в этих точках
экстремальными значениями.
Отметим, что понятия экстремумов  локальные
понятия, так как речь идет о максимальном и
минимальном значении лишь в достаточно малой
окрестности точки  x0 , y0  . В связи с этим точки
экстремумов часто называют точками локального
экстремума.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
39
Необходимые и достаточные условия
существования экстремумов
Теорема. (необходимые условия существования
экстремума).
Если дифференцируемая функция z  f ( x, y )
в точке M 0 имеет экстремум, то в этой точке обе
частные производные равны нулю.
Необходимые условия существования
экстремума остаются справедливыми и для функций
большего числа переменных.
Точки, в которых все частные производные
первого порядка функции z  f ( x, y )
равны нулю,
называют стационарными.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
40
Необходимые и достаточные условия
существования экстремумов
Теорема. (достаточные условия существования
экстремума).
Пусть функция z  f ( x, y ) дважды непрерывно
дифференцируема в окрестности стационарной точки
 x0 , y0  . Обозначим f xx ( x0 , y0 )  A ; f xy ( x0 , y0 )  f yx ( x0 , y0 )  B ;
f yy ( x0 , y0 )  C . Тогда, если   AC  B 2  0
, то в точке  x0 , y0 
функция z  f ( x, y ) имеет экстремум, причем если A  0 –
максимум, если A  0 – минимум. В случае   AC  B 2  0 ,
функция экстремума не имеет. Если   AC  B 2  0 ,
то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Часть II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
41
После изучения данного раздела Вы должны:
знать геометрический и физический смысл производной функции;
основные правила и формулы дифференцирования;
достаточное условие существования экстремума функции;
определения асимптот графика функции и условия их
существования; определение условного экстремума.
уметь дифференцировать основные элементарные функции;
применять правило дифференцирования произведения и
частного функций; использовать достаточное условие
существования экстремума функции; дифференцировать
сложные функции; применять производные функции для
исследования свойств функции по заданному графику; находить
вертикальные и горизонтальные асимптоты; находить: частные
производные элементарных функций нескольких переменных,
частные производные функции двух переменных, условные
экстремумы функции двух переменных.
Ваши замечания и пожелания по данным материалам просим
отправлять по адресу: [email protected]
4242
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа