close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...предъявлено обвинение в убийстве своей бабушки;pdf

код для вставкиСкачать
Задания B13. Прак​ти​че​с кие задачи по геометрии
1. B 13 № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на
расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от
проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если
на​с трой​ки про​ек​то​ра оста​ют​с я не​и з​мен​ны​ми?
Ре​ше​ние.
Заметим, что высота экрана, расположенного на расстоянии 250 см, в 2 раза меньше высоты
экрана, расположенного на искомом расстоянии, значит, по теореме о средней линии, искомое
рас​с то​я​ние в два раза боль​ше пер​во​на​чаль​но​го экра​на: 250·2 = 500.
Ответ: 500.
2. B 13 № 70. От столба высотой 9 м к дому натянут
провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см.
рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину
про​во​да.
Ре​ше​ние.
Проведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как
показано на рисунке. Таким образом, задача сводится к
нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника;
обо​з на​чим её за По тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
Ответ: 10.
3. B 13 № 96. От столба к дому натянут провод длиной 10 м,
который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см.
рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до
стол​ба равно 8 м.
Ре​ше​ние.
Пусть длина искомой стороны равна
Проведём отрезок,
параллельный горизонтальной прямой, как показано на
рисунке, тогда
— катет получившегося прямоугольного
тре​у голь​ни​ка. По тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
Сле​до​ва​тель​но, длина ис​ко​мой сто​ро​ны равна 9.
Ответ: 9.
4. B 13 № 148. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На
какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если
ниж​ний конец от​с то​и т от ство​ла де​ре​ва на 1,8 м?
Ре​ше​ние.
Задача сводится к нахождению катета прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора
он равен:
Ответ: 2,4.
5. B 13 № 200. От столба высотой 12 м к дому
натянут провод, который крепится на высоте 3 м от
земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м.
Вы​чис​ли​те длину про​во​да.
Ре​ше​ние.
Проведём отрезок, параллельный горизонтальной
прямой, как показано на рисунке. Таким образом,
задача
сводится
к
нахождению
гипотенузы
прямоугольного треугольника катеты которого равны
9 см и 12 см. По теореме Пифагора для искомой
ги​по​те​ну​з ы имеем:
Ответ: 15.
6. B 13 № 132751. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул
на север и про​шел 600 м. На каком рас​с то​я​нии (в мет​рах) от дома ока​з ал​с я маль​чик?
Ре​ше​ние.
Мальчик идёт вдоль сторон прямоугольного треугольника поэтому, искомое расстояние
можно найти по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
Ответ: 1000.
7. B 13 № 132752. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула
на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком
рас​с то​я​нии (в мет​рах) от дома ока​з а​лась де​воч​ка?
Ре​ше​ние.
Девочка идёт вдоль прямоугольной трапеции, в которой длина боковой
стороны, не перпендикулярной основаниям, есть искомое расстояние,
ко​то​рое можно найти по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
Ответ: 500.
8. B 13 № 132753. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно
перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние
(в ки​ло​мет​рах) будет между ними через 30 минут?
Ре​ше​ние.
Най​дем рас​с то​я​ние, ко​то​рое про​шла де​воч​ка:
Най​дем рас​с то​я​ние, ко​то​рое про​шел маль​чик:
Так как девочка и мальчик шли по взаимно перпендикулярным дорогам, их пути являются
катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — расстояние между ними.
Най​дем это рас​с то​я​ние по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
Ответ: 2,5.
9. B 13 № 132754. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад.
Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет
между ними через 2 часа?
Ре​ше​ние.
Най​дем ско​рость пер​во​го теп​ло​х о​да:
Най​дем ско​рость вто​ро​го теп​ло​х о​да:
Теплоходы движутся вдоль катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого
является расстоянием между ними. Найдем это расстояние по теореме Пифагора:
Ответ: 50.
10. B 13 № 132755. В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота
одной 31 м, а другой — 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их
вер​х уш​ка​ми.
Ре​ше​ние.
Две сосны являются основаниями прямоугольной трапеции. Не
перпендикулярная основаниям боковая сторона является расстоянием
между верхушками. Найдем это расстояние по теореме Пифагора:
Ответ: 65.
11. B 13 № 132756. Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который
об​ра​з у​ют две со​с ед​ние спицы.
Ре​ше​ние.
Колесо представляет собой круг, 18 спиц которого делят на 18 круговых секторов. Так как
развёрну​тый угол равен 360° для каж​до​го из сек​то​ров имеем:
Ответ: 20.
12. B 13 № 132757. Сколь​ко спиц в ко​ле​с е, если угол между со​с ед​ни​ми спи​ца​ми равен 18°?
Ре​ше​ние.
Колесо представляет собой круг. Количество спиц совпадает с количеством секторов на
которые ими оно делится. Так как развёрнутый угол 360°, а угол между спицами равен 18°,
имеем:
По​э то​му спиц в ко​ле​с е 20 штук.
Ответ: 20.
13. B 13 № 132758. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5
ч?
Ре​ше​ние.
Часовыми делениями циферблат разбит на 12 круговых секторов. Угол каждого из них
равен 360° : 12 = 30°. Между минутной и часовой стрелкой пять часовых делений. Они
об​ра​з у​ют угол 150°.
Ответ: 150.
14. B 13 № 132759. Какой угол (в гра​ду​с ах) опи​с ы​ва​ет ми​нут​ная стрел​ка за 10 мин?
Ре​ше​ние.
Часовыми делениями циферблат разбит на 12 круговых секторов. Угол каждого из них
равен 360° : 12 = 30°. Между минутной и часовой стрелкой два часовых деления. Они
об​ра​з у​ют угол 60°.
Ответ: 60.
15. B 13 № 132760. Какой угол (в гра​ду​с ах) опи​с ы​ва​ет ча​с о​вая стрел​ка за 20 мин?
Ре​ше​ние.
Часовыми делениями циферблат разбит на 12 круговых секторов. Угол каждого из них
равен 360° : 12 = 30°. Двадцать минут составляют
часа, следовательно, за 20 минут часовая
стрел​ка опи​шет угол 10°.
Ответ: 10.
16. B 13 № 132761. На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка пока
ча​с о​вая про​х о​дит ?
Ре​ше​ние.
Ми​нут​ная стрел​ка дви​ж ет​с я в 12 раз быст​рее ча​с о​вой, по​э то​му она пройдёт 24°.
При​ме​ча​ние.
Су​ще​с твен​но, что ци​фер​блат пред​по​ла​га​ет​с я 12-ча​с о​вым.
Ответ: 24.
17. B 13 № 132764. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором
висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен
фо​нарь?
Ре​ше​ние.
Столб и человек образуют два прямоугольных треугольниках ABC и FEB. Эти треугольники
по​доб​ны по двум углам. Пусть вы​с о​та фо​на​ря равна
, тогда
от​ку​да
По​э то​му фо​нарь рас​по​ло​ж ен на вы​с о​те 5,1 м.
Ответ: 5,1
18. B 13 № 132765. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором
висит фо​нарь на вы​с о​те 5,4 м. Най​ди​те длину тени че​ло​ве​ка в мет​рах.
Ре​ше​ние.
Столб и человек образуют два прямоугольных треугольниках ABC и FEB. Эти треугольники
по​доб​ны по двум углам. Пусть вы​с о​та фо​на​ря равна x, тогда
от​ку​да
По​э то​му длина тени равна 6 м.
Ответ: 6.
19. B 13 № 132766. Площадь прямоугольного земельного участка равна 9 га, ширина участка
равна 150 м. Най​ди​те длину этого участ​ка в мет​рах.
Ре​ше​ние.
Пе​ре​ве​дем пло​щадь участ​ка в квад​рат​ные метры: 9 га = 90 000 м2.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Поэтому, длина
участ​ка равна: 90 000 : 150 = 600 м.
Ответ: 600.
20. B 13 № 132767. Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого
равна 800 м2 и одна сто​ро​на в 2 раза боль​ше дру​гой. Ответ дайте в мет​рах.
Ре​ше​ние.
Пусть x м — длина одной стороны, тогда длина второй стороны — 2x. Так как площадь
пря​мо​у голь​ни​ка равна про​и з​ве​де​нию его смеж​ных сто​рон, имеем:
от​ку​да
Пе​ри​метр пря​мо​у голь​ни​ка равен сумме длин всех его сто​рон. Таким об​ра​з ом,
Ответ: 120.
21. B 13 № 132772. Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из
четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см 40
см?
Ре​ше​ние.
Найдем
объем
доски
:
350
·
20
·
2
=
14
000
см3.
Найдем
объем
балки:
3
1050 · 30 · 40 = 1 260 000 см .
По​э то​му ко​ли​че​с тво досок равно 1 260 000 : 14 000 = 90.
Ответ: 90.
22. B 13 № 311323. Определите, сколько необходимо
закупить пленки
для гидроизоляции садовой
дорожки, изображенной на рисунке, если её ширина
везде оди​на​ко​ва.
Ре​ше​ние.
Разделим фигуру,изображенную на картинке на 3 прямоугольника. Найдем площадь
первого прямоугольника: 5 · 1 = 5 м2. Найдем площадь второго прямоугольника: 4 · 1 = 4 м2.
Найдем
площадь
третьего
прямоугольника:
4
·
1
=
4
м2.
Сложим
все
площади:
5 м2+4 м2 + 4 м2 = 13 м2.
Таким об​ра​з ом, по​тре​бу​ет​с я за​ку​пить 13 м2 плен​ки.
Ответ: 13.
23. B 13 № 311335. На карте показан путь Лены от
дома до школы. Лена измерила длину каждого участка и
подписала его. Используя рисунок, определите длину
пути (в м), если мас​штаб 1 см : 10 000 см.
Ре​ше​ние.
Длина всего пути по карте равна 6 + 6 + 2 = 14 см. Так как масштаб равен 1 : 10 000, Лена
про​шла 140 000 см или 1 400 мет​ров.
Ответ: 1400.
24. B 13 № 311346.
Определите,
сколько
необходимо
закупить
пленки
для
гидроизоляции
садовой
дорожки,
изображенной на рисунке, если её ширина везде
оди​на​ко​ва.
Ре​ше​ние.
Разделим фигуру,изображенную на картинке на 3 прямоугольника, площади которых равны
4 · 1 = 4 м2, 3 · 1 = 3 м2 и 1 · 3 = 3 м2. Сумма пло​ща​дей равна 10 м2.
Таким об​ра​з ом, по​тре​бу​ет​с я за​ку​пить 10 м2 плен​ки.
Ответ: 10.
25. B 13 № 311358. Дизайнер Павел получил заказ на
декорирование чемодана цветной бумагой. По рисунку
определите, сколько бумаги (в см2) необходимо закупить
Павлу, чтобы оклеить всю внешнюю поверхность чемодана,
если каждую грань он будет обклеивать отдельно (без
за​ги​бов).
Ре​ше​ние.
Най​дем пло​ща​ди всех де​та​лей, ко​то​рые не​об​х о​ди​мо об​кле​и ть:
Так как чемодан имеет по две одинаковых детали, вся площадь, которую необходимо
об​кле​и ть равна
Ответ: 17400.
26. B 13 № 311368. Дизайнер Алина получила заказ
на декорирование чемодана цветной бумагой. По
рисунку
определите, сколько бумаги
(в
см2)
необходимо закупить Алине, чтобы оклеить всю
внешнюю поверхность чемодана, если каждую грань она
будет об​кле​и ​вать от​дель​но (без за​ги​бов).
Ре​ше​ние.
Най​дем пло​ща​ди всех де​та​лей, ко​то​рые не​об​х о​ди​мо об​кле​и ть:
Так как чемодан имеет по две одинаковых детали, вся площадь, которую необходимо
об​кле​и ть равна
Ответ: 11200.
27. B 13 № 311378. На карте по​ка​з ан путь Лены от
дома до школы. Лена измерила длину каждого
участка и подписала его. Используя рисунок,
определите, длину пути (в м), если масштаб 1 см:
10000 см.
Ре​ше​ние.
Путь по карте равен 4 + 2 + 4 = 10 см. Так как масштаб равен 1 : 10000, Лена прошла 100 000
см или 1000 м.
Ответ: 1000.
28. B 13 № 311390. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки, когда
часы по​ка​з ы​ва​ют ровно 4 часа?
Ре​ше​ние.
Часовыми делениями циферблат разбит на 12 круговых секторов. Угол каждого из них
равен 360° : 12 = 30°. Между минутной и часовой стрелкой четыре часовых деления. Они
об​ра​з у​ют угол 120°.
Ответ: 120.
29. B 13 № 311402. Колесо имеет 5 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите
ве​ли​чи​ну угла (в гра​ду​с ах), ко​то​рый об​ра​з у​ют две со​с ед​ние спицы.
Ре​ше​ние.
Колесо представляет собой круг. Количество спиц совпадает с количеством секторов на
которые ими оно делится. Так как развёрнутый угол 360°, а всего спиц пять, угол между двумя
со​с ед​ни​ми спи​ца​ми равен 360° : 5 = 72°.
Ответ: 72.
30. B 13 № 311414. Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображённая на
ри​с ун​ке?
Ре​ше​ние.
Ось симметрии данной фигуры — биссектрисса, проходящая через вершину звезды.
Дан​ная фи​гу​ра имеет 5 осей сим​мет​рии.
Ответ: 5.
31. B 13 № 311502. Склоны горы образуют с
горизонтом
угол , косинус которого равен 0,8.
Расстояние по карте между точками A и B равно 10
км. Определите длину пути между этими точками через
вер​ши​ну горы.
Ре​ше​ние.
Гора имеет форму рав​но​бед​рен​но​го тре​у голь​ни​ка. Пусть
— длина скло​на горы. Тогда
от​ку​да
Таким об​ра​з ом, путь через вер​ши​ну горы равен 12,5 км.
Ответ: 12,5.
32. B 13 № 311506. Склоны горы образуют с горизонтом угол , косинус которого равен 0,9.
Расстояние по карте между точками A и B равно 18 км. Определите длину пути между этими
точ​ка​ми через вер​ши​ну горы.
Ре​ше​ние.
Гора имеет форму рав​но​бед​рен​но​го тре​у голь​ни​ка. Пусть
от​ку​да
Таким об​ра​з ом, путь через вер​ши​ну горы равен 20 км.
Ответ: 20.
— длина скло​на горы. Тогда
33. B 13 № 311509. Глубина крепостного рва равна 8 м, ширина 5 м, а высота крепостной
стены от ее основания 20 м. Длина лестницы, по которой можно взобраться на стену, на 2 м
больше, чем расстояние от края рва до верхней точки стены (см. рис.). Найдите длину
лест​ни​цы.
Ре​ше​ние.
Расстояние AB — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 м и 20 − 8 = 12 м.
Тем самым, длина AB равна 13 м, а длина лест​ни​цы равна 15 м.
Ответ: 15.
34. B 13 № 311513. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На
какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча
под​ни​ма​ет​с я на 1,8 м?
Ре​ше​ние.
Найдём синус угла, на ко​то​рый под​ни​ма​ет​с я длин​ное плечо:
Угол подъема длинного плеча равен углу на который опуститься короткое плечо. Пусть x —
вы​с о​та, на ко​то​рую опу​с тит​с я ко​рот​кое плечо, имеем:
Таким об​ра​з ом, ко​рот​кое плечо опу​с тить​с я на 0,6 м.
Ответ: 0,6.
35. B 13 № 311516.
Короткое
плечо
шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 4
м. На какую вы​с о​ту (в мет​рах) под​ни​ма​ет​с я конец
длинного
плеча,
когда
конец
короткого
опус​ка​ет​с я на 0,5 м?
Ре​ше​ние.
Найдём синус угла, на ко​то​рый опу​с тит​с я ко​рот​кое плечо:
Угол подъема длинного плеча равен углу на который опустится короткое плечо. Пусть x —
вы​с о​та, на ко​то​рую под​ни​мет​с я длин​ное плечо, имеем:
Таким об​ра​з ом, длин​ное плечо под​ни​мет​с я на 2 м.
Ответ: 2.
36. B 13 № 311519. Определите высоту дома, ширина фасада
которого равна 8 м, высота от фундамента до крыши равна 4 м, а
длина ската крыши равна 5 м.
Ре​ше​ние.
Крыша дома имеет форму равнобедренного треугольника. Высота этого треугольник
яв​ля​ет​с я ме​ди​а​ной и равна
Высота всего дома равна длине высоты крыши и высоты фундамента до крыши. Таким
об​ра​з ом вы​с о​та дома равна: 4 + 3 = 7 м.
Ответ: 7.
37. B 13 № 311522. Определите высоту дома, ширина фасада
которого равна 6 м, высота от фундамента до крыши равна 4 м, а
длина ската крыши равна 5 м.
Ре​ше​ние.
Крыша дома имеет форму равнобедренного треугольника. Высота этого треугольник
яв​ля​ет​с я ме​ди​а​ной и равна
Высота всего дома равна длине высоты крыши и высоты фундамента до крыши. Таким
об​ра​з ом вы​с о​та дома равна: 4 + 4 = 8 м.
Ответ: 8.
38. B 13 № 311524. Лестница соединяет точки
и , расстояние между которыми равно 25
м. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите высоту
(в метрах), на
ко​то​рую под​ни​ма​ет​с я лест​ни​ца.
Ре​ше​ние.
Профиль каждой ступеньки имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 14 и 48
см. Найдём ги​по​те​ну​з у каж​до​го из них:
Так как расстояние от A до B равно 25 метрам можем найти количество ступеней:
25 : 0,5 = 50 шт.
По условию задачи высота одной ступени равна 14 см, таким образом, найдем высоту
лест​ни​цы: 50 · 14 см = 700 см = 7 м.
Ответ: 7.
39. B 13 № 311526. Обхват ствола секвойи равен 4,8 м. Чему равен его диаметр (в метрах)?
Ответ округ​ли​те до де​с я​тых.
Ре​ше​ние.
По​с коль​ку длина окруж​но​с ти вы​ра​ж а​ет​с я через её диа​метр фор​му​лой
имеем
Ответ:1,5.
40. B 13 № 311527. Обхват ствола секвойи равен 6,3 м. Чему равен его диаметр (в метрах)?
Ответ округ​ли​те до це​ло​го.
Ре​ше​ние.
По​с коль​ку длина окруж​но​с ти вы​ра​ж а​ет​с я через её диа​метр фор​му​лой
Ответ: 2.
имеем
41. B 13 № 311688. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на
расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от
проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если
на​с трой​ки про​ек​то​ра оста​ют​с я не​и з​мен​ны​ми?
Ре​ше​ние.
Пусть x — ис​ко​мое рас​с то​я​ние. Тре​у голь​ни​ки СDE и СAO по​доб​ны, по​э то​му
Имеем:
Ответ: 500.
42. B 13 № 311766. Мальчик прошёл от дома по направлению на
восток 550 м. Затем повернул на север и прошёл 480 м. На каком
рас​с то​я​нии (в мет​рах) от дома ока​з ал​с я маль​чик?
Ре​ше​ние.
Мальчик идёт вдоль сторон прямоугольного треугольника поэтому, искомое расстояние
можно найти по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
Ответ: 730.
43. B 13 № 311854. Девочка прошла от дома по направлению на запад 20 м. Затем повернула
на север и прошла 800 м. После этого она повернула на восток и прошла ещё 200 м. На каком
рас​с то​я​нии (в мет​рах) от дома ока​з а​лась де​воч​ка?
Ре​ше​ние.
Восток и запад — противоположные направления, поэтому девочка прошла 200 − 20 = 180 м
на восток. Пусть
— гипотенуза прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора,
ги​по​те​ну​з а ищет​с я сле​ду​ю​щим об​ра​з ом:
Ответ: 820.
44. B 13 № 311918. Глубина бассейна составляет 2 метра, ширина — 10 метров, а длина — 25
мет​ров. Най​ди​те сум​мар​ную пло​щадь бо​ко​вых стен и дна бас​с ей​на (в квад​рат​ных мет​рах).
Ре​ше​ние.
Дно и стены бассейна — прямоугольники, поэтому площадь дна бассейна равна 10 · 25 = 250
м2, а площадь четырех его стен равна 2 · (2 · 10 + 2 · 25) = 140 м2. Тем самым, общая площадь
равна 390 м2.
Ответ: 390.
45. B 13 № 311962. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 35 ступеней. Высота
каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в
мет​рах).
Ре​ше​ние.
Высота и длина каждой ступени составляют катеты
прямоугольного треугольника, найдём гипотенузу этого
тре​у голь​ни​ка по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
см.
Всего ступеней 35,
50 · 35 = 1750 см = 17/5 м.
Ответ: 17,5.
следовательно,
расстояние
между
точками A
иB
равно
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа