close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РФ
ФГАОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета математики,
механики и компьютерных наук
_________________ Карякин М.И.
« ___ »_____________ 2012г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
Направление подготовки
Алгебра и геометрия
010300 Фундаментальная информатика и
информационные технологии
Квалификация (степень)
БАКАЛАВР
Профиль подготовки
010300
Факультет
ММ и КН
Кафедра
Алгебры и дискретной математики
Курс обучения
1
Форма обучения
Очная
Общий объем учебных часов на дисциплину
396 час.
11 з.е.
Семестр
1,2
сем.
Объем аудиторной нагрузки
180
час.
Лекции
90
час.
Практические занятия
72
час.
Лабораторные работы
час.
Курсовой проект
Зачет
1,2
сем.
Экзамен
1,2
Объем самостоятельной работы студента
216
час.
Ростов-на-Дону – 2012 г.
Рабочая программа составлена на основании ООП и
в соответствии
требованиями ФГОС ВПО,
утвержденного приказом Министра образования и науки Российской Федерации от 8 декабря 2009 года № 712 по
направлению подготовки 010300 фундаментальная информатика и ИТ, квалификация (степень) - Бакалавр.
Рецензент:
Рабочую программу составил:
Заслуженный работник ВШ РФ,
профессор, профессор кафедры
АДМ
Ерусалимский Я.М.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры:
Протокол № __________
от « 20
»
мая
Зав. кафедрой д.т.н., с.н.с.
2012 г.
Штейнберг Б.Я.
Рабочая программа одобрена учебно-методической комиссией факультета
математики, механики и компьютерных наук.
(шифр, наименование)
Протокол № _______7___ от « 7
»
июня
Председатель
методического совета
к.ф.-м.н, доц.
(должность, степень,
Подпись
2012 г.
Ревина С.В.
(Фамилия, инициалы)
звание)
Рабочая программа согласована с Учебно-методическим управлением (УМУ)
Начальник УМУ, к.э.н., доц.
(должность, степень, звание)
Подпись
Борзова А.С.
(Фамилия, инициалы)
1. Цели освоения дисциплины (модуля)
Алгебра и геометрия является дисциплиной,
которая
оказывает непосредственное влияние на
формирование личности студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и
алгоритмическому мышлению. В этом курсе студент должен освоить базовые понятия аналитической геометрии и
алгебры, понять идеи и принципы координатного метода, освоить методы алгебры матриц, теории определителей,
методы решения СЛУ, изучить алгебры комплексных чисел и многочленов, освоить основные понятия теории
линейных пространств, в том числе и эвклидовых пространств: линейные подпространства и линейные оболочки,
базис и разложение по базису, линейные операторы и их матрицы, в том числе теорию самосопряженных
операторов, билинейных и квадратичных форм. Дисциплина является базовой для изучения математического
анализа, теории вероятностей и математической статистики, численных методов, дисциплин компьютерного
цикла и дисциплин направления подготовки фундаментальная информатика и ИТ.
Цель преподавания прикладных разделов дисциплины состоит в том, чтобы, используя теорию и методы
научного познания овладеть основными понятиями, определениями и методами алгебры и геометрии,
необходимыми для решения задач в области фундаментальной информатики и ИТ.
Преподавание дисциплины состоит в том, чтобы на примерах математических понятий и методов
продемонстрировать сущность научного подхода, специфику алгебры и геометрии, их роль как способа
познания мира, общности понятий и представлений в решении возникающих проблем. При этом решаются
следующие задачи:
раскрыть роль и значение математических методов исследования при решении задач
фундаментальной информатики и ИТ;
-
ознакомить с основными понятиями и методами классической и современной математики;
научить студентов применять методы алгебры и геометрии для построения математических
моделей реальных процессов и явлений;
раскрыть роль и значение алгебры и геометрии при решении задач фундаментальной
информатики и ИТ.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина Алгебра и геометрия относится к учебным дисциплинам базовой части профессионального
цикла основной образовательной программы (далее — ООП) направления подготовки 010400 фундаментальная
информатика и ИТ, квалификация (степень) – бакалавр.
Для успешного освоения данной дисциплины студент должен владеть знаниями, умениями и навыками,
сформированными школьной программной по дисциплинам Математика, Информатика и ИКТ
Приобретенные в результате изучения дисциплины знания, умения и навыки используются во всех без
исключения естественнонаучных и общепрофессиональных дисциплинах и дисциплинах направления
подготовки, модулях и практиках ООП.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля)
Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
 способность выстраивать и реализовывать траектории интеллектуального, культурного, нравственного, физического и
профессионального саморазвития и самосовершенствования (ОК-1);
 проявлять настойчивость в достижении цели с учетом моральных и правовых норм и обязанностей (ОК-6);
 владеть культурой мышления, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь (ОК-7);
 способность использовать основные законы естественно-научных дисциплин в профессиональной деятельности, применять
методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
профессиональными компетенциями (ПК), включая:
общепрофессиональные компетенции:
 способность
понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат,
фундаментальные концепции и системные методологии, международные и профессиональные стандарты в области
информационных технологий, способность использовать современные инструментальные и вычислительные средства (в
соответствии с профилем подготовки) (ПК-4);
 способность
профессионально владеть базовыми математическими знаниями и информационными технологиями, эффективно
применять их для решения научно-технических задач и прикладных задач, связанных с развитием и использованием
информационных технологий (ПК-8);
 компетенции владения математическим аппаратом:
понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые математические дисциплины (ПК-15), включая:
Алгебра и геометрия;
 способность решать задачи производственной и технологической деятельности на высоком профессиональном уровне, включая:
разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования; разработку
математических, информационных и имитационных моделей по тематике выполняемых опытно-конструкторских работ и
проектов; создание информационных ресурсов глобальных сетей, образовательного контента, прикладных баз данных;
разработку тестов и средств тестирования систем и средств на соответствие стандартам и исходным требованиям; разработку
эргономичных человеко-машинных интерфейсов в соответствии с профилизацией (ПК-28);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:

основные понятия и методы алгебры и геометрии;

основные понятия и методы теории линейных пространств и линейных операторов.
Уметь:






решать СЛУ и ОСЛУ;
решать основные задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве;
владеть методами векторной алгебры;
Находить размерность и базис линейных пространств и подпространств;
Находить матрицу линейного оператора, ядро и образ линейного оператора, осуществлять
переход от базиса к базису;
Приводить билинейные формы к диагональному виду, а квадратичные к каноническом и
нормальному.
Владеть:
 Навыками составления уравнений и систем уравнений, необходимых для решения поставленных задач
4. Структура и содержание дисциплины (модуля) Алгебра и геометрия
Общая трудоемкость дисциплины составляет 11 зачетных единиц, 396 часов.
Семес
Неделя Виды учебной работы, Формы текущего контроля
Раздел
тр
семестр
включая
успеваемости (по неделям
№
Дисциплины
а
самостоятельную
семестра)
п/п
работу студентов и
Форма промежуточной
трудоемкость (в часах) аттестации (по семестрам)
Л
ПР Лаб СРС
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
МОДУЛЬ 1.
Аналитическая геометрия
Тема 1.1. Ан. Геом на прямой.
Деление отрезка
Тема 1.2. Прямая на плоскости
Тема 1.3. Кривые второго
порядка
МОДУЛЬ 2. Алгебра
матриц. СЛУ. Теория
определителей
Тема 2.1. Алгебра матриц
Тема 2.2. СЛУ и ОСЛУ
Тема 2.3. Определители
1
1-4
10
10
20
1
1
2
2
4
1
1
1-2
3-4
4
4
4
4
8
8
1
5-9
11
9
20
1
5
6-7
8-9
2
3
6
2
3
4
4
7
10
МОДУЛЬ 3. Алгебры
комплексных чисел и
многочленов
Тема 3.1. Комплексные числа
Тема 3.2. Алгебра
многочленов
МОДУЛЬ 4. Векторная
алгебра. Прямая и плоскость
в пространстве
Тема 4.1. Векторы, операции
над векторами, координаты
вектора. Скалярное, векторное
и смешанное произведения
1
10-12
9
6
15
1
1
10
11-12
3
6
2
4
5
10
1
14-17
15
10
25
1
14-15
6
4
10
Поверка дом. заданий
Рубежный контроль знаний
№1. Контрольная работа
Проверка ДЗ
Рубежный контроль знаний
№2. Контрольная работа
Рубежный контроль знаний
№3. КДЗ
Проверка ДЗ
14
15
14
15
16
17
18
18
19
Тема 4.2. Прямая в
пространстве и плоскость
Экзамен
МОДУЛЬ 5. Линейные
пространства и
подпространства
Тема 5.1. Лин. Пространство и
лин. подпространства
Тема 5.2. Лин. оболочка. Ранг
матрицы
Тема 5.3. Базис пространства и
подпространства. Переход от
базиса к базису
МОДУЛЬ 6. Линейные
операторы.
Тема 6.1. Определение и
примеры лин. операторов.
Ядро и образ, и их свойства.
Матрица лин. оператора в
конечномерных
пространствах. Переход от
базисов к базисам.
Тема 6.2. Размерность ядра и
образа. Ранг оператора.
Собственные векторы и
собственные значения лин.
16-18
9
6
15
36
Рубежный контроль знаний
№4 Контрольная работа
Форма промежуточной
аттестации -экзамен
2
1-5
12
12
24
2
1-2
4
4
8
1
3-4
4
4
8
Проверка ДЗ
1
5-6
4
4
8
Рубежный контроль знаний
№1. Контрольная работа
2
7-10
8
8
16
2
7-8
4
4
8
Проверка ДЗ
2
9-10
4
4
8
Рубежный контроль знаний
№2. Контрольная работа
27
оператора.
МОДУЛЬ 7. ЗВКЛИДОВЫ
ПРОСТРАНСТВА
Тема 7.1. геометрия
эвклидовых пространств.
Процесс ортогонализации
Тема 7.2. Ортогональная
прямая сумма. Проекция и
ортогональная составляющая.
Задача о проекции и
ортогональной составляющей.
Сопряженный оператор и его
матрица. Самосопряженные
операторы и их свойства.
МОДУЛЬ 8. Билинейные
и квадратичные формы
Тема 8.1. Матрицы форм в
разных базисах
Тема 8.2.Приведение кв.
формы к каноническому и
нормальному видам
Экзамен
28
ИТОГО: 396
21
22
23
24
25
26
2
8
8
16
2
11-12
4
4
8
2
13-14
4
4
8
2
15-18
8
8
16
1
15-16
4
4
8
Выдача КДЗ
1
17-18
4
4
8
Рубежный контроль знаний
№4. КДЗ
36
Форма промежуточной
аттестации - экзамен
90
72
234
Рубежный контроль знаний
№3 Контр. работа
Матрица соотнесения тем/разделов учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и
общекультурных компетенций
Разделы
дисциплины, темы
(наименования)
Раздел
Дисциплины
МОДУЛЬ 1.
Аналитическая
геометрия
Тема 1.1. Ан. Геом
на прямой. Деление
отрезка
Тема 1.2. Прямая на
плоскости
Тема 1.3. Кривые
второго порядка
МОДУЛЬ 2.
Алгебра матриц.
СЛУ. Теория
Количество
часов
ОК ОК ОК
1
6
7
Компетенции
0К- ПК- ПК ПК ПК Σ общее
10 4
8
15 28 количест-во
компетенций
40
+
+
+
+
8
+
+
+
16
+
+
+
16
+
40
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
определителей
Тема 2.1. Алгебра
матриц
Тема 2.2. СЛУ и
ОСЛУ
Тема 2.3.
Определители
МОДУЛЬ 3.
Алгебры
комплексных
чисел и
многочленов
Тема 3.1.
Комплексные числа
Тема 3.2. Алгебра
многочленов
МОДУЛЬ 4.
Векторная
алгебра. Прямая и
плоскость в
пространстве
Тема 4.1. Векторы,
операции над
векторами,
координаты
вектора. Скалярное,
векторное и
8
+
+
+
+
14
+
+
+
+
+
+
20
+
+
+
+
+
+
30
+
+
+
10
+
+
+
20
+
+
+
50
+
+
+
+
20
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
смешанное
произведения
Тема 4.2. Прямая в
пространстве и
плоскость
Экзамен
МОДУЛЬ 5.
Линейные
пространства и
подпространства
Тема 5.1. Лин.
Пространство и
лин.
подпространства
Тема 5.2. Лин.
оболочка. Ранг
матрицы
Тема 5.3. Базис
пространства и
подпространства.
Переход от базиса к
базису
МОДУЛЬ 6.
Линейные
операторы.
Тема 6.1.
Определение и
30
+
+
+
+
+
+
+
+
+
36
48
+
+
+
+
+
+
+
+
+
16
+
+
+
+
16
+
+
+
16
+
+
+
+
32
+
+
+
+
16
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
примеры лин.
операторов. Ядро и
образ. Матрица
лин. оператора.
Переход от базиса к
базису.
Тема 6.2.
Размерность ядра и
образа. Ранг
оператора.
Собственные
векторы и
собственные
значения лин.
оператора.
МОДУЛЬ 7.
ЗВКЛИДОВЫ
ПРОСТРАНСТВА
Тема 7.1. геометрия
эвклидовых
пространств.
Процесс
ортогонализации
Тема 7.2.
Ортогональная
прямая сумма.
Задача о проекции
16
+
+
+
32
+
+
+
+
+
+
+
+
+
16
+
+
+
+
+
+
+
+
+
16
+
+
+
+
+
+
+
+
и ортогональной
составляющей.
Сопряженный
оператор
МОДУЛЬ 8.
Билинейные и
квадратичные
формы
Тема 8.1. Матрицы
форм в разных
базисах
Тема
8.2.Приведение кв.
формы к
каноническому и
нормальному видам
Экзамен
32
+
+
+
16
+
+
16
+
+
36
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Содержание дисциплины
МОДУЛЬ 1
Аналитическая геометрия на прямой. Числовая прямая, направленный
отрезок, его величина и длина, свойства величины направленного
отрезка. Деление отрезка в заданном отношении. Середина отрезка.
Системы координат на плоскости и в пространстве. Полярные и
декартовы координаты, связь между ними. Преобразования декартовых
координат: сдвиг, поворот, общее преобразование.
Понятие об уравнениях линий и поверхностей, типы уравнений: явное,
общее, параметрические.
Прямая на плоскости. Уравнения прямой, расстояние от точки до
прямой, теорема о разделении плоскости общим уравнением прямой.
Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Касательные,
директрисы, форма кривых. Эксцентриситет.
МОДУЛЬ 2
Алгебра матриц. Матрицы их типы, операции над матрицами и их
свойства. Умножение матриц и его свойства. Степени квадратной
матрицы. Обратимость и односторонняя обратимость. Делители нуля,
необходимое условие обратимости, существование обратимых и
необратимых матриц. Группа обратимых матриц. Многочлены от
матрицы, Простейшие матричные уравнения.
СЛУ и ОСЛУ. Классификация СЛУ. Гауссовы преобразования СЛУ.
Метод Гаусса.
Подстановки и перестановки и их характеристики. Композиция
перестановок. Запись перестановки. Группа перестановок. Гомоморфизм
групп.
Определители. Три определения определителя и их равносильность.
Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
Теорема Лапласа. Теорема об определителе произведения матриц.
Критерий равенства нулю определителя. Присоединенная матрица.
Критерий обратимости матрицы. Теорема Крамера и следствие из неё.
Определитель Вандермонда.
МОДУЛЬ 3
 Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа и
операции над к.ч. Геометрическая интерпретация к.ч и тр. форма к.ч.
Операции над к.ч. в тригоном. форме. Формула Муавра. Деление во
множестве к.ч. Свойства модуля и аргумента. Корни из комплексных
чисел. Корни из единицы. Первообразные корни. Группа корней из
единицы.
 Многочлены. Теорема единственности. Операции над многочленами.
Деление во множестве многочленов. Деление с остатком. НОД.
Алгоритм Евклида. Корни многочленов. Теорема Безу и следствие из
неё. Разложение по корням. Кратность корня. Теорема Виета.
Многочлены с вещественными коэффициентами и их корни, разложение
на неприводимые множители. Многочлены с целыми и рациональными
коэффициентами. Целые и рациональные корни многочленов с
рациональными и целыми коэффициентами. Производная многочлена.
Корни многочлена и производной. Построение многочлена с
однократными корнями.
МОДУЛЬ 4
 Векторы и операции над ними. Разложение вектора по
некомпланарным векторам. Координаты вектора и скалярное
произведение. Векторное произведение векторов. Координаты
векторного произведения. Смешанное произведение векторов.
Координатная форма для смешанного произведения. Условия
коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.
 Плоскость и прямая в пространстве. Уравнение плоскости,
проходящей через три точки. Уравнение плоскости, проходящей через
точку и имеющей заданный вектор нормали. Общее уравнение
плоскости. Геом. смысл его коэффициентов. Специальные уравнения
плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Пучок плоскостей.
Уравнения прямой, проходящей через точку в заданном направлении.
Параметрические уравнения прямой. Прямая как пересечение
плоскостей. Задача о расстоянии от точки до прямой.
МОДУЛЬ 5
 Линейные пространства. Определение л.п. и примеры. Системы
векторов в л.п. Линейная комбинация. Линейно зависимые и линейно
независимые системы векторов и их св-ва. Полные системы векторов.
Базис и размерность. Координаты вектора. Переход от базиса к базису.
Матрица перехода. Свойства матриц перехода. Отыскание матрицы
перехода. Линейные подпространства. Линейная оболочка как
подпространство. Свойства линейных оболочек. Сумма и пересечение
линейных подпространств. Теорема о размерностях. Прямая сумма и
критерий прямизны.
 Ранг матрицы. Определения ранга. Свойства рангов. Совпадение
рангов. Приложение ранга к СЛУ и ОСЛУ. ФСР.
МОДУЛЬ 6
 Линейные операторы в линейных пространствах. Определение и
примеры лин. операторов. Ядро и образ, и их свойства. Матрица лин.
оператора в конечномерных пространствах. Переход от базисов к
базисам. Размерность ядра и образа. Ранг оператора. Теорема о
dim
ker
A

dim
Im
A
. Пространство лин. операторов. Алгебра L(X, X) .
Степени лин. оператора. Подалгебры алгебры L(X, X) . Обратимость в
алгебре L(X, X) . Собственные векторы и собственные значения лин.
оператора. Характеристический многочлен. Теорема о лин.
независимости собственных векторов, отвечающих разным собственным
значениям. Влияние на матрицу лин. оператора наличие в базисе его
собственных векторов. Оператор с простым спектром.
МОДУЛЬ 7
 Евклидовы пространства. Определение и примеры. Длина вектора.
Угол между векторами. Нер-во К.-Б. Нер-во Минковского. Теорема
Пифагора. Ортогональные системы и их св-ва. Ортонормированные
системы. Преимущества ортогональных и ортонормированных систем.
Равенство Парсеваля. Координаты вектора в ортонормированном базисе.
Процесс ортогонализации. Ортогональная прямая сумма. Разложение в
ортогональную прямую сумму.
Проекция и ортогональная
составляющая. Расстояние от вектора до подпространства.
Ортогональное дополнение и его св-ва. Задача о проекции и
ортогональной составляющей. Ортогональные матрицы и их свойства.
Матрица и определитель Грамма. Сопряженный оператор и его матрица.
Самосопряженные операторы и их свойства. Инвариантные
подпространства и инвариантность орт. дополнения к ним для с.с.
оператора. Вещественность спектра с.с. оператора. Норма оператора и ее
св-ва. Оценка спектра через норму. Геометрия спектра с.с. оператора.
Диагонализуемость матрицы с.с. оператора.
МОДУЛЬ 8
 Билинейные и квадратичные формы. Определение б.л.ф. и матрица
б.л.ф. Связь между матрицами б.л.ф. в разных базисах. Симметричные
б.л.ф. Теорема о канонич. форме и канонич. базисе для симметричной
б.л.ф. Квадратичные формы и их матрицы. Симметрическая запись
кв.формы.
Числовые характеристики кв. формы. Теоремы о
приводимости к каноническому и нормальному виду. Критерии
положительной и отрицательной определенности. Критерий Сильвестра
(без док-ва).
 Понятие о НЖФ. Собственные и присоединенные векторы. Цепочки
векторов и Жордановы клетки.
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И ИХ ОБЪЕМ В
ЧАСАХ
Объем
Тема
в часах
Тема 1.1. Ан. Геом на прямой. Деление отрезка
2
Тема 1.2. Прямая на плоскости
4
Тема 1.3. Кривые второго порядка
4
Тема 2.1. Алгебра матриц
2
Тема 2.2. СЛУ и ОСЛУ
4
Тема 2.3. Определители
4
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Тема 3.1. Комплексные числа
Тема 3.2. Алгебра многочленов
Тема 4.1. Векторы, операции над векторами, координаты
вектора. Скалярное, векторное и смешанное
произведения
Тема 4.2. Прямая в пространстве и плоскость
Тема 5.1. Лин. Пространство и лин. подпространства
Тема 5.2. Лин. оболочка. Ранг матрицы
Тема 5.3. Базис пространства и подпространства.
Переход от базиса к базису
Тема 6.1. Определение и примеры лин. операторов. Ядро
и образ. Матрица лин. оператора. Переход от базиса к
базису.
Тема 6.2. Размерность ядра и образа. Ранг оператора.
Собственные векторы и собственные значения лин.
оператора.
Тема 7.1. геометрия эвклидовых пространств. Процесс
ортогонализации
Тема 7.2. Ортогональная прямая сумма. Задача о
проекции и ортогональной составляющей. Сопряженный
оператор
Тема 8.1. Матрицы форм в разных базисах
Тема 8.2.Приведение кв. формы к каноническому и
нормальному видам
3
4
4
6
3
3
4
4
4
4
4
4
4
5. Образовательные технологии
В процессе преподавания дисциплины «Алгебра и геометрия»
используются как классические формы и методы обучения (лекции,
практические занятия и лабораторные работы), так и активные методы
обучения (компьютерные интерактивные задания в процессе выполнения
лабораторных работ, индивидуальные задания и др.). Применение любой
формы обучения предполагает также использование новейших ITобучающих технологий.
При проведении лекционных занятий по дисциплине «Алгебра и
геометрия» преподаватель использует и аудиовизуальные, компьютерные
и мультимедийные средства обучения Университета, а также
демонстрационные материалы.
Лабораторные работы по данной дисциплине проводятся с
использованием компьютерного оборудования Университета; контрольные
домашние задания не предполагают использование индивидуальных
компьютеров, при необходимости — с привлечением Интернет-ресурсов.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Тематику рубежного контроля знаний и соответствующих
индивидуальных контрольных домашних заданий
см. Учебное пособие Я.М.Ерусалимский, И.А. Чернявская «Алгебра и
геометрия» (ЮФУ, 2012)
Вопросы к экзамену 1-го семестра:
1. Ан.геометрия на прямой. Числовая прямая, направленный отрезок,
его величина и длина, свойства величины напр.отрезка. Деление
отрезка в заданном отношении. Середина отрезка.
2. Системы координат на плоскости и в пространстве. Полярные и
декартовы координаты, связь между ними. Преобразования
декартовых координат: сдвиг, поворот, общее преобразование.
3. Понятие об уравнениях линий и поверхностей, типы уравнений:
явное, общее, параметрические.
4. Прямая на плоскости. Уравнения прямой, расстояние от точки до
прямой, теорема о разделении плоскости общим уравнением
прямой
5. Кривые второго порядка. Канонические уравнения. Исследование
формы кривых. Уравнения касательных и условия касания.
эксцентриситет и директрисы.
6. Алгебра матриц. Матрицы их типы, операции над матрицами и их
свойства. Умножение матриц и его свойства. Степени квадратной
матрицы. Обратимость и односторонняя обратимость. Делители
нуля, необходимое условие обратимости матрицы (не являться
делителем нуля), существование обратимых и необратимых матриц.
Группа обратимых матриц. Многочлены от матрицы. Простейшие
матричные уравнения.
7. СЛУ и ОСЛУ. Классификация СЛУ. Гауссовы преобразования
СЛУ. Метод Гаусса.
8. Подстановки и перестановки и их характеристики. Композиция
перестановок. Запись перестановки. Группа. Гомоморфизм групп.
Группа перестановок.
9. Определители. Три определения определителя и их равносильность.
Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
Теорема Лапласа. Теорема
об определителе произведения квадратных матриц. Критерий
равенства нулю определителя. Присоединенная матрица. Критерий
обратимости матрицы. Теорема Крамера и следствие из неё.
Определитель Вандермонда.
10. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа и
операции над к.ч. Геометрическая интерпретация к.ч и тр. форма
к.ч. Операции над к.ч. в тригоном. форме. Формула Муавра.
Деление во множестве к.ч. Свойства модуля и
аргумента. Корни из комплексных чисел. Корни из единицы.
Первообразные корни. Группа корней из единицы.
11. Многочлены. Теорема единственности. Операции над
многочленами. Деление во множестве многочленов. Деление с
остатком. НОД. Алгоритм Евклида. Корни многочленов. Теорема
Безу и следствие из неё. Разложение по корням. Кратность корня.
Теорема Виета. Многочлены с вещественными коэффициентами и
их корни, разложение на неприводимые множители. Многочлены с
целыми и рациональными коэффициентами. Целые и рациональные
корни многочленов с рациональными и целыми коэффициентами.
Производная многочлена. Корни многочлена и производной.
Построение многочлена с однократными корнями.
Вопросы к экзамену 2-го семестра:
1. Линейные пространства. Определение л.п. и примеры. Системы
векторов в л.п. Линейная комбинация. Линейно зависимые и
линейно независимые системы векторов и их св-ва. Полные системы
векторов. Базис и размерность. Координаты вектора. Переход от
базиса к базису. Матрица перехода. Свойства матриц перехода.
Отыскание матрицы перехода. Линейные подпространства.
Линейная оболочка как подпространство. Свойства линейных
оболочек. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема
о размерностях. Прямая сумма и критерий прямизны.
 Ранг матрицы. Определения ранга. Свойства рангов. Совпадение
рангов. Приложение ранга к СЛУ и ОСЛУ. ФСР.
 Линейные операторы в линейных пространствах. Определение и
примеры лин. операторов. Ядро и образ, и их свойства. Матрица лин.
оператора в конечномерных пространствах. Переход от базисов к
базисам. Размерность ядра и образа. Ранг оператора. Теорема о
dim
ker
A

dim
Im
A
. Пространство лин. операторов. Алгебра L(X, X) .
Степени лин. оператора. Подалгебры алгебры L(X, X) . Обратимость в
алгебре L(X, X) . Собственные векторы и собственные значения лин.
оператора. Характеристический многочлен. Теорема о лин.
независимости собственных векторов, отвечающих разным собственным
значениям. Влияние на матрицу лин. оператора наличие в базисе его
собственных векторов. Оператор с простым спектром.
 Евклидовы пространства. Определение и примеры. Длина вектора.
Угол между векторами. Нер-во К.-Б. Нер-во Минковского. Теорема
Пифагора. Ортогональные системы и их св-ва. Ортонормированные
системы. Преимущества ортогональных и ортонормированных систем.
Равенство Парсеваля. Координаты вектора в ортонормированном базисе.
Процесс ортогонализации. Ортогональная прямая сумма. Разложение в
ортогональную прямую сумму.
Проекция и ортогональная
составляющая. Расстояние от вектора до подпространства.
Ортогональное дополнение и его св-ва. Задача о проекции и
ортогональной составляющей. Ортогональные матрицы и их свойства.
Матрица и определитель Грамма. Сопряженный оператор и его матрица.
Самосопряженные операторы и их свойства. Инвариантные
подпространства и инвариантность орт. дополнения к ним для с.с.
оператора. Вещественность спектра с.с. оператора. Норма оператора и ее
св-ва. Оценка спектра через норму. Геометрия спектра с.с. оператора.
Диагонализуемость матрицы с.с. оператора.
 Билинейные и квадратичные формы. Определение б.л.ф. и матрица
б.л.ф. Связь между матрицами б.л.ф. в разных базисах. Симметричные
б.л.ф. Теорема о канонич. форме и канонич. базисе для симметричной
б.л.ф. Квадратичные формы и их матрицы. Симметрическая запись
кв.формы.
Числовые характеристики кв. формы. Теоремы о
приводимости к каноническому и нормальному виду. Критерии
положительной и отрицательной определенности. Критерий Сильвестра
(без док-ва).
Самостоятельная работа
студентов по дисциплине «Алгебра и геометрия» способствует более
глубокому
усвоению
изучаемого
курса,
формирует
навыки
самостоятельной
работы по проблемам естественнонаучных и
математических дисциплин, ориентирует студента на умение применять
полученные теоретические знания на практике и проводится в следующих
видах:
 Проработка лекционного материала
 Подготовка к практическим работам
 Выполнение домашних заданий
 Выполнение индивидуальных контрольных домашних заданий
 Подготовка к экзамену
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля) Алгебра и геометрия
А) Основная литература:
1. Ерусалимский Я.М.,Чернявская И.А. Алгебра и
геометрия//Южный федеральный университет.-Ростов-на-Дону:
Издательство Южного федерального университета, 2012 .- 360
с.
2.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: М.: Наука.
1984.295с.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия:
3.
М.:Наука.1988. 232с.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры: М.: Наука.
4.
1975.431с.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и
5.
линейной алгебры: М.: Наука.1987. 320с.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии:
6.
М.: Наука
Цубербиллер
7.
О.Н.
Задачи
и
упражнения
по
аналитической геометрии: М.: Наука. 1964. 336с.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической
8.
геометрии: М.: Наука. 1986. 223с.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре:
9.
М.:Наука. 1984. 336 с.
10.
Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М.
Математика. Общий курс/ СПб: Лань, 2008, изд. 4-е стер., 986
с.
Б) Дополнительная:
1.
Кострикин А.И. Введение в алгебру :М.: Наука. 1977
2.
Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М.
Математика. Общий курс// СПб., Лань, 2009
3.
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия: М.:
Наука. 1969. 176 с.
Имеющиеся электронные ресурсы:
1.
Алгебра и геометрия: теория и практикум.
http://dbs.sfedu.ru/pls/rsu/umr.umr_edit?p_umr_id=35552
1.
Медиаконсультации
(http://mmcs.sfedu.ru/mtutorial):
Алгебра и геометрия (Кряквин Вадим Донатович)

Линейная зависимость и независимость систем векторов

О том, как и когда можно менять индекс суммирования

Разбор доказательства свойства об определителе произведения
матриц
Чернявская Ирина Алексеевна

Задача. Как найти точку пересечения двух прямых в пространстве?
Татьяна Викторовна Гавриляченко

Вычислить определитель четвертого порядка
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с медиапроектором, классы для практических
занятий
Средства обеспечения освоения дисциплины: Компьютерные
программы: Maple, MathCad и др.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа