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Université de Nie Sophia Antipolis
Préparation à l' Agrégation de Mathématiques
2011-2012
Mise sous forme impliite de ourbes et surfaes à
paramétrages rationnels
1
Développement suivant les puissanes déroissantes
Pour aluler le développement suivant les puissanes déroissantes de
division eulidienne de g(T ) par f (T ). Partant de
g(T )
f (T )
on ontinue la
g(T ) = q0 (T )f (T ) + r0 (T )
on alule la suite de divisions eulidiennes à un ran
T r0 (T ) = q1 f (T ) + r1 (T )
T r1 (T ) = q2 f (T ) + r2 (T )
..
.
T rk (T ) = qk f (T ) + rk (T )
Comme degré(T ri (T )) ≤ degré(f (T )) haque division n'a qu'un ran et les qi sont des onstantes.
On obtient nalement
g(T )
q1
q2
qk
1 rk (T )
= q0 (T ) + + 2 + · · · + k + k
f (T )
T
T
T
T f (T )
Dans le as partiulier où f (T ) = T − λ la division initiale devient g(T ) = q0 (T )(T − λ) + g(λ)
et en utilisant
1
λ
λk−1
λk 1
1
= + 2 +···+ k + k
T −λ
T
T
T
T T −λ
(formule qu'on peut obtenir en appliquant réursivement
1
T −λ
=
1
T
+
λ 1
)
T T −λ
on obtient
g(T )
λ
λk−1
λk 1
1
= q0 (T ) + g(λ)
+ 2 +···+ k + k
T −λ
T
T
T
T T −λ
2
Calul de la trae de g sur f (Théorème 2.1)
On pose
f (T ) = K
s
Y
(T − λk )
αk
d'où f (T ) = K
′
k=1
s
X
αk (T − λk )
αk −1
(T − λj )αj
j=1,j6=k
k=1
s
s
Y
s
αk
f ′ (T ) X
g(T )f ′(T ) X αk g(T )
d'où
et
=
=
f (T )
(T
−
λ
f
(T
)
(T − λk )
k)
k=1
k=1
D'après le paragraphe préédent et par simple addition des résultats on a que leP
oeient de
g(T )f ′ (T )
−1
T dans le développement de f (T ) suivant les puissanes déroissantes est sk=1 αk g(λk )
soit la trae de g sur f .
3
Formules de Newton
Je ne onnais pas de démonstration nonP
tehnique et non alulatoire des formules de
n
Newton reliant les sommes Sk (x1 , . . . , xn ) = j=1 xkj aux fontions symétriques élémentaires
des xj . En onséquene je déonseille vivement leur exposé oral.
4
Compréhension du Théorème 2.2
On onsidère g(t) − y omme un polynme de degré n en t à oeients dans Q(y). Soient
t1 , . . . , tn ses raines formelles qu'on ne herhe évidemment pas à aluler dans une extension
algébrique adéquate de Q(y).
Alors (x−f (t1 )) . . . (x−f (tn )) = 0 est une équation de la ourbe ar pour haque i ∈ {1, . . . , n}
on a un point de la ourbe (x = f (ti ), y = g(ti )). Cette équation est symétrique en t1 , . . . , tn ,
ses oeients omme polynmes en x sont des polynmes symétriques en t1 , . . . , tn , on peut
don les aluler en fontion des oeients de g(t) − y . Il faut donner un algorithme eae
de alul de es oeients σk (f (t1 ), . . . , f (tn )) qu'on note rk (y).
On utilise les formules de Newton :
krk (y) = −Sk (y) − Sk−1 (y)r1(y) − · · · − S1 (y)rk−1(y)
où Si (y) représente laP
somme de Newton Si (f (t1 ), . . . , f (tn )).
On voit que S1 (y) = nj=1 f (tj ) est la trae de f sur g(t) − y et d'après le théorème 2.1 'est
′
(t)g (t)
le oeient de t−1 dans le développement suivant les puissanes déroissantes de fg(t)−y
.
Pn
k
k
−1
De même Sk (y) = j=1 f (tj ) est la trae de f sur g(t) − y don le oeient de t dans le
k
′
(t)g (t)
développement suivant les puissanes déroissantes de f g(t)−y
.
Ayant maintenant un moyen de aluler les Si on en déduit les ri par les formules de Newton.
Quelques questions :
Pourquoi faut-il prendre la partie sans arré de l'équation obtenue ?
Pourquoi n'y a-t-il pas de terme parasite ?
Cela hangerait-il quelque hose si on éhangeait le rle des variables x et y ?
5
Compréhension du Théorème 2.3
On adapte la méthode au as d'une paramétrisation rationnelle :
x=
f1 (t)
f2 (t)
y=
g1 (t)
g2 (t)
On suppose les frations réduites, les équations sont f1 (t) − xf2 (t) = 0 et g1 (t) − yg2 (t) = 0.
Soit n le degré en t de g1 (t) − yg2 (t) et t1 , . . . , tn ses raines (et si g2 (ti ) = 0 ?).
(tn )
1)
Alors x − ff12 (t
. . . x − ff21 (t
est une équation de la ourbe symétrique en t1 , . . . , tn mais
(t1 )
n)
ça n'est pas un polynme. On veut se ramener à un polynme.
On remarque que f2 (t) et g1 (t) − yg2(t) sont premiers entre eux omme polynmes en t (pourquoi ?). Il existe don u(y, t) et v(y, t) dans Q(y)[t] tels que u(y, t)f2(t)+v(y, t)(g1(t)−yg2(t)) = 1
1
don u(y, ti )f2 (ti ) = 1 ou enore u(y, ti ) = f2 (t
.
i)
L'équation de la ourbe devient alors (x − u(y, t1)f1 (t1 )) . . . (x − u(y, tn)f1 (tn )) qui est un polynme symétrique en t1 , . . . , tn . Comme préédemment on alule les Sj (y) omme oeient
(u(y,t)f1 (t))j (g1′ (t)−yg2′ (t))
de t−1 dans le développement de
et on en déduit les ri (y).
g1 (t)−yg2 (t)
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