close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Исследовательские работы
на уроках математики
в основной и старшей школе
Исследовательская деятельность это творческая деятельность,
продуктом которой являются новые
знания (либо новое знание о самом
исследуемом объекте, либо новые
знания конкретном или специфическом
методе исследования).
Значение исследовательской деятельности
при изучении математики
• владение элементарными
исследовательскими умениями
математического характера необходимо для
обеспечения подготовки к творческому труду
в широкой сфере деятельности
• учебная деятельность учащихся, связанная с
использованием математических средств,
встречается не только при изучении курса
математики, но и в процессе изучения
предметов естественнонаучного цикла
Исследовательские работы
на разных типах уроков
Основным этапом выполнения
исследовательского задания является
формулирование гипотезы
(нескольких гипотез).
В гипотезе формулируется утверждение
о результате, который
предположительно должен получиться.
Проверка гипотезы в математике
проводится посредством
доказательства.
В зависимости от характера гипотезы
(утвердительная или отрицательная
форма, утверждение относительно
единичного явления или явлений целого
класса) в качестве доказательства
могут рассматриваться цепочка
взаимосвязанных умозаключений или
контрпример.
Проведение обоснования и проверки
(самопроверки) его корректности
Презентация результатов исследования и
постановка новых проблем для
продолжения исследования.
Презентация должна содержать
не только результаты, но и процедуру их
получения
(этапы: вопросы для исследования,
гипотеза, проверка гипотезы)
Пример исследовательского задания
От чего и как зависит форма
сечения правильной
треугольной призмы
плоскостью, проходящей через
ребро основания?
Проблема
В определении параметра, от которого
зависит форма сечения правильной
треугольной призмы и его значений,
при которых меняется форма
сечения.
Направления исследования
• определить параметр, от которого
зависит форма сечения;
• установить возможные формы
сечения;
• найти «пограничные» значения
параметра, при которых происходит
изменение формы сечения.
Вопросы для исследования
• Как может выглядеть одно из сечений
правильной треугольной пирамиды,
проходящее через ребро основания?
• Какая геометрическая фигура получается в
сечении?
• Могут ли в сечении получиться другие
геометрические фигуры? В каком случае?
• От чего зависит форма полученного сечения?
Вопросы для исследования
• Что должно произойти, чтобы изменилась
форма сечения?
• Что нужно дополнительно указать в задании,
чтобы получить сечение определенной
формы?
• Что происходит с геометрической фигурой,
полученной в сечении, когда форма сечения
не меняется?
Вопросы для исследования
• С изменением какой величины связано
изменение вида (например, размеров) и
формы сечения?
• При каком значении этой величины
происходит изменение формы сечения?
Выдвижение гипотезы
Форма сечения правильной треугольной
призмы плоскостью, проходящей
через ребро нижнего основания,
зависит от угла наклона сечения к
плоскости основания.
Она меняется от равнобедренного
треугольника к равнобедренной трапеции
при увеличении этого угла.
«Пограничное» значение угла будет тогда,
когда сечение пройдет через вершину
призмы, противоположную стороне
основания, содержащейся в сечении.
Если
то сечением
будет равнобедренный треугольник.
Если
то сечением
будет равнобедренная трапеция.
Проблема
для продолжения исследования
• Какие многоугольники будут получаться в
сечении, проходящем через ребро основания,
в правильной четырехугольной (кубе),
пятиугольной, шестиугольной призме?
•
• Какое максимальное количество сторон
может быть у многоугольника, получившегося
в сечении, в каждом случае?
Работа в группах
с использованием
раздаточного материала
Система
исследовательских умений
при решении
геометрических задач
умения
• выделять элементы задачи;
• находить фигуры, попадающие под данный элемент
задачи;
• выявлять связи между фигурами, попадающими под
данный элемент задачи;
• устанавливать связи между полученными связями,
что, в конечном счете, и приводит к решению задачи;
• оценивать полноту и непротиворечивость системы
связей;
• строить структурный граф проведенного
исследования (решения задачи)
Выделение элементов задачи
Элемент задачи – это те геометрические
фигуры и основные отношения между ними,
которые входят в текст задачи
Отношения между геометрическими
фигурами:
- равенство фигур,
- подобие фигур,
- параллельность объектов,
- перпендикулярность объектов
Задача 1.
Чему равен угол, если два смежных
с ним угла составляют в сумме 100°?
Элементы задачи: угол, смежные углы
Задача 2.
От полупрямой АВ в разные
полуплоскости отложены углы
∠ ВАС = 80° и ∠ BAD = 70°.
Найдите угол ∠ CAD.
Элементы задачи: полупрямая,
полуплоскость, угол
Задача 3.
Найдите угол между
биссектрисами смежных углов.
Элементы задачи: угол, биссектриса
угла, смежные углы
Задача 4.
Докажите, что биссектрисы вертикальных
углов лежат на одной прямой.
Элементы задачи: биссектриса угла,
вертикальные углы, прямая
Выявление взаимосвязей
Задача 1.
Чему равен угол, если два смежных
с ним угла составляют в сумме 100°?
Можно ограничиться рассмотрением
элемента «угол»?
Да, т.к. при этом «смежные углы» тоже
будут рассмотрены (обратное неверно)
Задача 5.
Докажите, что если три
из четырех углов, которые получаются
при пересечении двух прямых, равны,
то прямые перпендикулярны.
Элементы задачи: углы,
пересекающиеся прямые, равные углы,
перпендикулярные прямые
Выявление взаимосвязей
Можно ограничиться рассмотрением
элемента «пересекающиеся прямые»?
Нет, т.к. «перпендикулярные прямые» это частный случай «пересекающихся
прямых» и это неизвестный элемент
задачи
Можно ограничиться рассмотрением
элемента «углы»?
Нет (аналогичное обоснование)
Задача 6.
Даны дополнительные полупрямые
а1 и а2. От этих полупрямых
в разные полуплоскости отложены
углы ∠ (а1b1) и ∠ (а2b2).
Докажите, что если углы ∠ (а1a2) и ∠
(b1b2) равны, то они вертикальные.
Элементы задачи: дополнительные
полупрямые, полуплоскость, угол, равные
углы, вертикальные углы
Выявление взаимосвязей
Нужно ли рассматривать отдельно
элемент «вертикальные углы»?
Почему?
Это неизвестный элемент задачи
Зачем нужно рассматривать элемент
«полуплоскость»?
Нужен для четкой формулировки задачи,
вряд ли будет активно использован при
решении
Задача 7.
В равнобедренном треугольнике ABC из
точки D основания АС восстановлен к
нему перпендикуляр, пересекающий
сторону АВ в точке F,
а прямую, содержащую сторону ВС, в точке Е. Докажите, что треугольник
BEF - равнобедренный.
Элементы задачи: равнобедренный
треугольник, основание равнобедренного
треугольника, точка, перпендикуляр,
стороны равнобедренного треугольника
Выявление взаимосвязей
Элементы задачи:
равнобедренный треугольник,
основание равнобедренного треугольника,
точка,
перпендикуляр,
стороны равнобедренного треугольника
Какие элементы следует оставить?
Почему?
Элементы задачи: равнобедренный
треугольник, перпендикуляр
Умение находить фигуры,
попадающие
под данный элемент задачи
Действия этого умения
1) построение чертежа,
соответствующего тексту задачи
2) непосредственное выделение фигур,
попадающих под данный элемент
задачи
Обратимся к задаче 3.
Найдите угол между
биссектрисами смежных углов.
Элементы задачи:
угол,
биссектриса угла,
смежные углы
Задание: определите
последовательность
построения
Элементы задачи:
угол,
биссектриса угла,
смежные углы
1) строятся два смежных угла - ∠ (а1b) и ∠ (ba)
2) строятся биссектрисы этих смежных углов c1 и c
3) указывается неизвестный элемент – искомый ∠ (с1с)
Задание: выделите фигуры, попадающие под данный
элемент задачи
Задача 7.
В равнобедренном треугольнике АВС
из точки D основания АС
восстановлен к нему перпендикуляр,
пересекающий сторону АВ в точке F,
сторону ВС (вернее, ее продолжение)
в точке Е.
Докажите, что треугольник BEF —
равнобедренный.
Задание: работа в парах
Возможные проблемы:
D может попасть в
середину АС,
D может быть левее или
правее середины,
перпендикуляр пересекает
сторону треугольника АВС
и продолжение другой
стороны
Умение устанавливать
связи между фигурами,
попадающими под данный
элемент задачи
Обратимся к задаче 3.
Найдите угол между
биссектрисами смежных углов.
Рекомендации по нахождению свойств
фигур:
- начинаем с выделения свойств, которые
следуют непосредственно из условия задачи;
- появление других свойств следует (как
правило) предварять пояснениями
Умение устанавливать
связи между свойствами
Обратимся к задаче 3.
Найдите угол между
биссектрисами смежных углов.
Выявили 13 свойств.
Надо применить их при получении ответа
Умения
• оценивать полноту и
непротиворечивость
системы связей;
• строить структурный граф
проведенного исследования
(решения задачи)
Система свойств называется
противоречивой, если среди
составляющих ее свойств существует
хотя бы два взаимоисключающих
свойства.
В противном случае система называется
непротиворечивой.
Система свойств называется полной,
если она содержит решение (результат)
исходной задачи.
Таким образом, расширение системы
свойств (связей) происходит до тех пор,
пока проверка получающейся системы
свойств на полноту и
непротиворечивость не даст
положительного ответа
Полное решение задачи 3
Какие свойства формально не нужны для
решения задачи?
Как с помощью графа оценить эффективность
поиска решения и самого решения?
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа