close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Тригонометрические
уравнения.
Выполнила
ученица 10
«а» класса:
Пайтян А.
История возникновения
тригонометрических
уравнений.
В древности тригонометрия возникла в связи с
потребностями астрономии, землемерия и
строительного дела, то есть носила чисто
геометрический характер и представляла главным
образом <<исчисление хорд>>. Со временем в нее
начали вкрепляться некоторые аналитические
моменты. В первой половине XVIII века
произошел резкий перелом, после чего
тригонометрия приняла новое направление и
сместилась в сторону математического анализа.
Именно в это время тригонометрические
зависимости стали рассматриваться как функции.
Тригонометрические уравнения - одно
из самых сложных тем в школьном
курсе математики.
Тригонометрические уравнения
возникают при решении задач по
планиметрии, стереометрии,
астрономии, физики и в других
областях. Тригонометрические
уравнения и неравенства из года в год
встречаются среди заданий
централизованного тестирования.
Самое важное отличие
тригонометрических уравнений от
алгебраических состоит в том, что в
алгебраических уравнениях конечное
число корней, а в тригонометрических бесконечное, что сильно усложняет отбор
корней. Еще одной спецификой
тригонометрических уравнений является
неединственность формы записи ответа.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ.
Элементарные
тригонометрические уравнения:
Элементарные тригонометрические
уравнения - это уравнения вида ƒ (kx+b)=a ,
где ƒ (x) - одна из тригонометрических
функций:sin x, cos x, x.
Элементарные тригонометрические
уравнения имеют бесконечно много корней.
Например, уравнению sin x1=½
удовлетворяют следующие значения:x1=П/6
,х2=5П/6,х3= П/6+2П ,х4= П/6 - 2П и т. д.
Общая формула по которой находятся все
корни уравнения sin x=a , где |a|≤1, такова:
x=(-1)*arc sin a + Пn .
Здесь n может принимать любые целые
значения, каждому из них соответствует
определенный корень уравнения; в этой
формуле (равно как и в других формулах, по
которым решаются элементарные
тригонометрические уравнения) называют
параметром. Записывают обычно nєZ,
подчеркивая тем самым, что параметр n может
принимать любые целые значения.
Решения уравнения cos x=a, где |a|≤1 , находятся
по формуле x±arccos a+2 Пn ,nєZ
Решения уравнения cos x=a , где
|a|≤1,находятся по формуле x ± arc
cos a+2 Ïn ,nєZ
Уравнение x=a решается применяя
формулу x=a +Ïn ,nєZ, а уравнение x=a
- по формуле x=a+ Ïn ,nєZ.
Особо отметим некоторые частные
случаи элементарных
тригонометрических уравнений, когда
решение может быть записано без
применения общих формул:
sin x=0,x= Ïk ,kєZ; sin x=1,x= П/2+2 Ïk ,kєZ;
sin x=-1,x= -П/2+2Ïk ,kєZ и.т.д.
При решении тригонометрических
уравнений важную роль играет
период тригонометрических функций.
Поэтому приведем две полезные
теоремы:
Теорема 1: Если T - основной период
функции ƒ (x) , то число T/k является
основным периодом функции ƒ
(kx+b).
Периоды функций T1 и T2 называются
соизмеримыми, если существуют
натуральные числа m и n , что
mT1=nT2=T.
Теорема 2: Если периодические
функции ƒ1 (x) и ƒ2 (x) , имеют
соизмеримые T1 и T2, то они имеют
общий период mT1=nT2=T, который
является периодом функций ƒ1 (x) + ƒ2
(x) , ƒ1 (x) -ƒ2 (x), ƒ1 (x) * ƒ2 (x) .
• В теореме говорится о том, что T
является периодом функции ƒ1 (x) + ƒ2
(x) , ƒ1 (x) - ƒ2 (x) , ƒ1 (x) * ƒ2 (x) , и не
обязательно является основным
периодом. Например, основной
период функций cos x и sin x - 2 П , а
основной период их произведения П.
Схема
решения тригонометрических
уравнений
Основная схема тригонометрических уравнений такая:
решение заданного уравнения сводится к решению
элементарных уравнений. Средства решения преобразования, разложения на множители, замена
неизвестных. Ведущий принцип - не терять корней. Это
означает, что при переходе к следующему уравнению
(уравнениям) мы не опасаемся появления лишних
(посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы
каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или
совокупность уравнений в случае ветвления) являлось
следствием предыдущего.
Одна из особенностей тригонометрических
уравнений заключается в том, что ответ во
многих случаях может быть записан
различными способами. Даже для решения
уравнения sin x=a(|a|≤1) ответ может быть
записан следующим образом:
1) в виде двух серий: x1=arc sin a+2 Ïk , х2=Ï – arc sin
a+2 Ïk , kєZ ;
2) в стандартной форме представляющей собой
объединение указанных выше серий:x=(-1)*arc
sin a+Ïk, kєZ ;
3) поскольку sin x=cos (x - П/2), то ответ можно
записать в виде x= П/2±arccos a+2Ïk , kєZ .
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа