close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Понятие объема.
Объем призмы.
Геометрия,
11 класс
900igr.net
Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск
Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется
величиной, называемой ОБЪЕМОМ. Так что же такое – объем
пространственной фигуры?
1 ед.отр.
V1=V2
V=V1+V2+V3
V=1 куб.ед.
Под объемом пространственной фигуры понимается положительная
величина, обладающая следующими свойствами:
1) равные фигуры имеют равные объемы;
2) объем фигуры равен сумме объемов ее частей;
3) объем куба с ребром единичной длины равен одной кубической
единице.
Самым
естественным
образом
определяется
объем
прямоугольного
параллелепипеда, как геометрического тела составленного из определенного
количества единичных кубов. А значит, его объем определяется как сумма объемов
этих единичных кубов.
c=H
abc
a,b,c  R
1
abc
1
abc
Vĺ ä.ęóáŕ 
1
abc
a
1
abc
3 3 3
V

 a2bc
abc
b
c

 abc2
abc

 ab2c
abc

2
2
2

a
bc

ab
c

abc
 abc  Sî ńí .  H
3 3 3
abc
Эту же формулу объема прямоугольного параллелепипеда можно получить
пользуясь понятием бесконечной интегральной суммы. Объем прямоугольного
параллелепипеда можно понимать как бесконечную сумму площадей основания,
взятых вдоль его высоты.
x
x
c=H
0
x[ 0; H ]
H
H
H
0
0
0
V   Sî ńí .dx Sî ńí .  dx  Sî ńí .  x
 Sî ńí .  H
Рассмотрим произвольную треугольную прямую призму ABCA1B1C1.
1) Разобьем призму на две прямые треугольные призмы ABMA1B1M1 и BCMB1C1M1
плоскостью, проходящей через высоту основания B1M1 и боковое ребро BB1.
M1
A1
C1
E1
D1
B1
M
A
C
D
E
B
2) Достроим данную призму до прямоугольного параллелепипеда ADECA1D1C1E1.
3) Получили ещё две прямые треугольные призмы ADBA1D1B1 и BECB1E1C1.
M1
A1
C1
Объясните
самостоятельно:
F1
D1
E1
B1
AFB  BCA

H S
SAFB
BCA

M
A
C
SABC
F
D
B
E
1
 SAFBC
2
Нетрудно заметить, что объем треугольной призмы в два раза меньше объема
прямоугольного параллелепипеда, т.е.
1
1
VABCA1B1C1  VAFBCA1F1B1C1  SAFBC  H  SABC  H  Sî ńí .  H
2
2
Пусть дана наклонная треугольная призма. Построим сечение, перпендикулярное
боковому ребру (BKC).
Примем KAF= за угол наклона бокового ребра к основанию призмы, а KFA=β –
за угол между плоскостями основания и сечения. Очевидно, что +β=900.
Сечение (KBC) разбивает призму на две пространственные фигуры – треугольную
пирамиду KABC и многогранник KBCA1B1C1. По свойству объема фигуры объем
призмы равен сумме объемов этих частей.
A1
C1
Вспомним, что:
B1
H
 sin  cos 
m
m
K
A
C
B
F
H
Sńĺ ÷.
 cos   sin
Sî ńí .
Перемещая соответствующим образом одну из частей можно получить прямую
треугольную призму, равную по объему данной наклонной призме.
Тогда:
VABCA1B1C1 =VKBCK1B1C1 =SKBC  m=Sńĺ ÷.  m
K1
A1
, где Sсеч. – площадь
сечения,
перпендикулярного
боковому ребру и m –
длина бокового ребра.
C1
B1
m
K
A
C
B
С учетом вспомненных соотношений,
получим:
VABCA1B1C1
K1
H
 Sńĺ ÷.  m  Sńĺ ÷. 

sin
Sńĺ ÷.

 H  Sî ńí .  H
C1
cos 
B1
m
K
C
B
Если применить метод бесконечных интегральных сумм, то получится:
H
H
H
0
0
0
V   Sî ńí .dx Sî ńí .  dx  Sî ńí .  x
 Sî ńí .  H
x
A1
C1
B1
H
A
0
B
x[ 0; H ]
x
C
B2
B1
Bn
H
A2
A1
An
Рассмотрим произвольную n-угольную призму A1A2…An B1B2…Bn. Разобьем её на
(n–2) треугольные призмы, полученные при проведении диагональных сечений из
вершины A1. По свойству объема:
VA1A2... An B1B2...Bn  SA1A2 A3  H  SA1A3 A4  H  ...  SA1An1An  H 


 H  SA1A2 A3  SA1A3 A4  ...  SA1An1An  Sî ńí .  H
Итак, для любой n-угольной призмы:
V  Sî ńí .  H
ИЛИ
V  Sńĺ ÷.  m
,где Sосн. – площадь основания призмы, Sсеч. – площадь перпендикулярного
сечения, H – высота призмы, m – длина бокового ребра призмы.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа