close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости, проходящей через три
точки
Угол между двумя плоскостями
Расстояние от точки до плоскости
Общее уравнение плоскости
Если в пространстве фиксирована произвольная декартова
система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с
тремя переменными x y z определяет относительно этой системы
плоскость.
Ax  By  Cz  D  0
(1)
A; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя бы
Общее уравнение плоскости
одно отлично от нуля.
Пусть точка М0(x0; y0; z0) принадлежит плоскости:
Ax 0  By 0  Cz 0  D  0
(2)
Вычтем из уравнения (1) тождество (2):
A  x  x 0   B  y  y 0   C z  z 0   0
Общее уравнение плоскости
(3)
Общее уравнение плоскости
Произвольная точка М(x; y; z) лежит на
плоскости, если ее координаты
удовлетворяют уравнению (3):
N
М0
М
A  x  x 0   B  y  y 0   C z  z 0   0
Уравнение (3) является условием
перпендикулярности двух векторов:
M 0 M  x  x 0 ; y  y 0 ; z  z 0 
и
N  A ; B ; C 
Таким образом, точка М лежит в плоскости, если M 0 M  N .
Значит N перпендикулярен любому вектору, лежащему в
плоскости и, следовательно, самой плоскости.
Нормальный вектор
Общее уравнение плоскости называется полным,плоскости
если все
коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.
Уравнение с тремя переменными x, y и z
называется уравнением плоскости α,
которому удовлетворяют координаты
любой точки этой плоскости и не
удовлетворяют координаты никакой
другой точки
Вектор, перпендикулярный плоскости,
называют нормальным вектором
этой плоскости.
Пусть дана точка А0(x0,y0,z0), которая
принадлежит данной плоскости α и дан
вектор n a,b,c , который перпендикулярен
ей.
Пусть точка А(x,y,z) также принадлежит
плоскости α.
U
АА0 х-х0,y-y0,z-z0
α
АА0
n, значит их скалярное
произведение равно нулю.
а(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0,
где а²+ь²+с²=0
уравнение плоскости
Если в пространстве фиксирована произвольная
декартова система координат Oxyz, то всякое
уравнение первой степени с тремя переменными
x y z определяет относительно этой системы
плоскость.
Ax  By  Cz  D  0
Если разделить на D, то получится
уравнение:
ах+by +cz+1=0
Алгоритм составления уравнения
плоскости, проходящей через три
точки
М(x1, y1, z1),
N(x2, y2, z2),
K(x3, y3, z3)
Подставить координаты точек в
уравнение плоскости. Получится
система трех уравнений с тремя
переменными.
Задача №1
В правильной четырехугольной
призме ABCDA1B1C1D1 со
стороной основания 12 и
высотой 21 на ребре АА1 взята
точка М так,
АМ = 8, на
ребре ВВ1 взята точка К так, что
В1К равно 8. Написать уравнение
плоскости D1МК.
Запишем координаты
точек
М(0, 0, 13)
К(12, 0, 8)
D1(0, 12, 0)
Подставим в систему уравнений
Найдем А, В, С
Уравнение плоскости
Умножим обе части уравнения
на
-156
Уравнение плоскости D1МК
5x + 13y + 12z – 156 = 0
Задача 2
В правильной четырехугольной
призме ABCDA1B1C1D1 сторона
основания равна 2, и диагональ
боковой грани равна √10.
Написать уравнение плоскостей
АВ1С и плоскости основания
призмы.
Задача 3
В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1
сторона основания равна 4, и
диагональ боковой грани равна
5.
Написать уравнение плоскостей
А1В1E и плоскости основания
призмы.
Общее уравнение плоскости
Виды неполных уравнений:
1) D  0 ;
Ax  By  Cz  0 Плоскость проходит через точку О.
2) A  0 ;
By  Cz  D  0
ll (OX )
3) B  0 ;
Ax  Cz  D  0
ll (OY )
4) C  0 ;
Ax  By  D  0
ll (OZ )
5) A  0; B  0
Cz  D  0
z
ll ( XOY )
6) B  0 ; C  0
Ax  D  0
7) A  0 ; C  0
By  D  0 ll ( XOZ ) x
ll (YOZ )
0
8) B  0; C  0; D  0
Ax  0  x  0
(YOZ )
9) A  0; C  0; D  0
10) A  0 ; B  0 ; D  0
By  0  y  0
( XOZ )
Cz  0  z  0
( XOY )
y
Уравнение плоскости в отрезках
Рассмотрим полное уравнение плоскости:

Ax  By  Cz  D  0
Ax
D

By
D

Cz
D
1

Уравнение плоскости
в отрезках

Ax  By  Cz   D
x
aD
A
a

y
bD
B
z

cD
C
c
 b
Уравнение в отрезках
используется для построения
плоскости, при этом a, b и с –
отрезки, которые отсекает
плоскость от осей координат.
1
z
с
0
x
a
b
y
Уравнение плоскости, проходящей
через три точки
Пусть точки М1(х1 ; у1 ; z1 ), М2(х2 ; у2 ; z2 ) и М3(х3 ; у3 ; z3 ) не лежат
на одной прямой.
Тогда векторы: M 1M 2  x 2  x 1 ; y 2  y 1 ; z 2  z 1 
и
M 1M 3  x 3  x 1 ; y 3  y 1 ; z 3  z 1 
Точка М(х ; у ; z ) лежит в
одной плоскости с точками
М1 , М2 и М3 только в том
случае, если векторы:
не коллинеарны.
М3
М1
М
М2
M 1M 2 ; M 1M 3 и M 1M  x  x 1 ; y  y 1 ; z  z 1  компланарны.
M M  M M   M M
1
1
2
1
3
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки

x  x1
y  y1
z  z1
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
x 3  x1
y3  y1
z 3  z1
Угол между двумя плоскостями
Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:
p1 :
A1 x  B 1 y  C 1z  D 1  0
p2 :
A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0
Углом между этими плоскостями называется угол между
нормальными векторами к этим плоскостям.
N1
N 1  A1; B 1; C 1 

N 2  A 2 ; B 2 ; C 2 
N2
p2
cos  
p1

N1  N 2
N1  N 2

A1  A 2  B 1  B 2  C 1  C 2
A1  B 1  C 1 
2
2
2
A2  B 2  C 2
2
2
2
Угол между двумя плоскостями
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
аналогичны условию параллельности и перпендикулярности
нормальных векторов:
N2
p2
N1
p1
N 1 ll N 2 
A1
A2

B1
B2

C1
C2
N1
N2
p2
p1
N 1  N 2  A1  A 2  B 1  B 2  C 1  C 2  0
Расстояние от точки до плоскости
Пусть точка М1(x1; y1; z1) – основание перпендикуляра, опущенного
из точки М0(x0; y0; z0) на плоскость p : Ax  By  Cz  D  0
М0
d  M 1M 0
d
p
М1
d 
Ax 0  By
0
 Cz 0  D
A B
2
2
C
2
Пример
Найти длину высоты тетраэдра ABCD , опущенной из точки A.
Координаты вершин: A(1; 1; 1), B(0; 2; 5), C(3; -1; 4), D(4; 2; 1)
A
Уравнение плоскости BCD:
x 0
y 2
30
 1 2 4  5  0
40
22
x
3
4
z 5

0
B
D
1 5
С
y 2 z 5
3
h
1  0

x
4
12x  8y  2  12(z  5)  0
3
1
0
4

 y  2 
3
1
4 4
 ( z  5)
3 x  2y  3z  19  0
3
3
4
0
0
Пример
Расстояние от точки A до плоскости BCD:
h
3  1  2  1  3  1  19
949
A

h
B
h
11
D
 2.34
22
С
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа