close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Е. Зудина
г. Москва
Журнал «Математика» № 1/2012
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
Задача В1
Текстовые задачи на
в повседневной жизни.
применение
навыков
счета
Задача В2
Задачи на интерпретацию графиков и диаграмм, на
соотнесение текстового описания реального процесса
с графиком динамической числовой характеристики этого
процесса. Задачи представлены в виде графиков или
диаграмм.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В4
Задачи, в которых рассматриваются простые жизненные
ситуации, связанные с выбором тарифных планов, заказом
и доставкой товаров, выбором наиболее короткого пути.
Задача В12
Задачи на анализ явления, описываемого формулой
функциональной зависимости.
Задача В10
Практическое задание на использование вероятностных
моделей.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В5
Несложное
показательное,
логарифмическое
иррациональное уравнение (или неравенство).
или
Задача В8
Задачи относятся к разделу математического анализа.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В1
Проверяемые умения
Уметь использовать приобретенные знания и умения
в практической деятельности и повседневной жизни.
Для решения требуется
 Внимательно читать условие и аккуратно вычислять,
тем самым укрепляя необходимую базу для решения
более сложных задач (В13).
Невнимательное чтение условия задачи и неверные
вычисления приводят к возникновению ошибок.
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Сумка стоит 1450 рублей. Во время распродажи скидка
на все товары составляет 20%. Сколько рублей стоит
сумка во время распродажи?
Решение.
Найдем, чему равны 20% от 1450 рублей:
20
1450  290 р.
100
Цена понизилась на 290 рублей.
Новая цена равна:
1450 – 290 = 1160 р.
Ответ: 1160.
Журнал «Математика» № 1/2012
2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 рубля 30 копеек.
Счетчик
электроэнергии
1
октября
показывал
12 625 киловатт-часов, а 1 ноября – 12 801 киловатт-часа.
Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию в
октябре?
Решение.
Найдем, сколько электроэнергии было
использовано за октябрь:
12801 – 12625 = 176 кВт.ч.
Так как 1 киловатт-час электроэнергии
стоит 3 р. 30 к., то заплатить
нужно 3,3 · 176 = 580,8 р.
Ответ: 580,8.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В2
Проверяемые умения
Уметь интерпретировать графики, извлекать
простейшую
числовую
информацию
и
необходимые выводы.
из них
делать
Для решения требуется
 Уметь делать
простейшие выводы на основании
графика функциональной зависимости.
 Уметь соотносить текстовое описание реального
процесса
с
графиком
динамической
числовой
характеристики этого процесса.
 Уметь
извлекать из графика качественную и
количественную информацию о процессе.
Журнал «Математика» № 1/2012
1. На диаграмме показано количество людей, побывавших
в космосе в течение каждого года с 1961 по 1982 год. По
горизонтали указываются годы, по вертикали – количество
людей, побывавших в космосе в данном году. Определите
по диаграмме, сколько было таких лет, когда в космосе
побывало ровно 6 человек.
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение.
Найдем на вертикальной оси число 6 и проведем
горизонтальную прямую. Она «касается» четырех
столбиков: 1972, 1974, 1976 и 1977 годы.
Ответ: 4.
Журнал «Математика» № 1/2012
2. На графике показано изменение давления в паровой
турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается
время в минутах, на оси ординат – давление в
атмосферах. Когда давление достигает определённого
значения, открывается клапан, выпускающий часть пара, и
давление падает.
Затем клапан закрывается, и давление снова растет.
Определите по графику, сколько минут прошло между
первым и вторым открытием клапана
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение.
Первый раз клапан открылся через 4 мин. после запуска.
Давление стало падать, пар уже не так сильно давил на
клапан, и он закрылся. Давление снова стало расти и
через 10 мин. после запуска вновь достигло критического
давления в 5 атмосфер. Клапан открылся во второй раз.
Эти моменты отметим на графике.
Между первым и вторым
открытием клапана
прошло 10 – 4 = 6 мин.
Ответ: 6.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В4
Проверяемые умения
Уметь использовать приобретенные знания и умения
в практической деятельности и повседневной жизни.
Для решения требуется
 Уметь применять математические методы для решения
задач из различных областей науки и практики.
 Уметь
выполнять
преобразования
включающих арифметические операции.
выражений,
 Уметь сравнивать числа и делать обоснованный выбор.
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Для транспортировки 40 тонн груза на 1300 км можно
воспользоваться услугами одной из трех транспортных
компаний. Стоимость перевозки и грузоподъемность
автомобилей для каждой компании указаны в таблице.
Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую
перевозку груза?
Компанияперевозчик
Стоимость перевозки
одним автомобилем
(р. за каждые 100 км)
Грузоподъемность одного
автомобиля (тонн)
А
3200
3,5
Б
4100
5
В
9500
12
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение.
Вычислим число поездок для перевозки 40 тонн. Для этого
разделим массу груза на грузоподъёмность каждого
автомобиля и округлим полученный результат с избытком.
Например, 40 :12  3 1 . Округлив, получим 4 поездки.
3
Компанияперевозчик
Стоимость перевозки
одним автомобилем
(р. за каждые 100 км)
Грузоподъемность одного
автомобиля (тонн)
А
3200
3,5
Б
4100
5
В
9500
12
Журнал «Математика» № 1/2012
Расчёты можно разместить в таблице:
Компанияперевозчик
А
Б
В
Стоимость перевозки
(р. за каждые 100 км)
3200
4100
9500
3200 · 13 =
= 41 600
4100 · 13 =
= 53 300
9500 · 13 =
= 123 500
Грузоподъемность
автомобиля (тонн)
3,5
5
12
Число поездок
12
8
4
12 · 41 600 =
= 499 200
8 · 53 300 =
= 426 400
4 · 123 500 =
= 494 000
Стоимость одной
поездки
Стоимость всей
перевозки
Заказ получается
перевозчика Б.
дешевле
всего,
если
выбрать
Ответ: 426 400.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В12
Проверяемые умения
Уметь использовать приобретенные знания и умения
в практической деятельности и повседневной жизни.
Для решения требуется
 Уметь применять математические методы для решения
содержательных задач из различных областей науки и
практики.
 Уметь интерпретировать
реальные ограничения.
результат
и
учитывать
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Если быстро вращать ведро с водой на верёвке
в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться.
При вращении ведра сила давления воды на дно
не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке
и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если
сила её давления на дно будет положительной во всех
точках траектории, кроме верхней, где она может быть
равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная
 v2

в Ньютонах, равна P  m   g , где m – масса воды (кг),
L

v – скорость движения ведра (м/с), g – ускорение
свободного падения (считайте g = 10 м/с2), L – длина
веревки (м). С какой минимальной скоростью надо
вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина
веревки равна 0,784 м? Ответ выразите в м/с.
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение.
Задача сводится к решению неравенства P(v) ≥ 0.
Подставим в формулу давления данные задачи:
 v2

P  m
 10  , тогда необходимо решить неравенство
 0,784

 v2

m
 10   0.
 0,784

Учитывая, что m > 0, получим:
v2
 10  0, откуда v2  7,84.
0,784
Учитывая, что v > 0, получим:
v ≥ 2,8 м/с.
Ответ: 2,8.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В10
Проверяемые умения
Уметь строить и исследовать простейшие математические
модели.
Для решения требуется
 Знать основные
статистики.
 Уметь проводить
решении задач.
понятия
теории
доказательные
вероятностей
рассуждения
и
при
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова
вероятность того, что выпало не менее 4 очков?
Решение. Вероятность события А, связанного с опытом с
равновероятностными
исходами,
вычисляется
по
формуле
число исходов, благоприятствующих событию A k
P( A) 
 .
число всех исходов
n
Возможны шесть исходов, то есть n = 6.
Благоприятствуют событию А = {выпало не менее 4 очков}
три исхода, т.е. k = 3.
3 1
Следовательно, P( A)    0,5.
6
2
Ответ: 0,5.
Журнал «Математика» № 1/2012
2. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза
выпадает орел?
Решение. Возможны четыре исхода:
Броски
Исходы
Исход 1
Исход 2
Исход 3
Исход 4
Первый бросок
Второй бросок
Таким образом, n = 4. Благоприятствует событию А = {оба
раза выпал орел} исход 3, т.е. k = 1.
1
Следовательно, P( A)   0,25.
4
Ответ: 0,25.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В5
Проверяемые умения
Уметь решать уравнения и неравенства.
Для решения требуется
 Знать, что данное уравнение (неравенство) сводится
к линейному.
 Такие уравнения (неравенства) являются базовыми: без
них невозможно продвинуться в решении более
сложных задач.
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение большинства показательных уравнений после
преобразований сводится к решению простейших
показательных уравнений вида:
а f ( x )  аb , откуда f(x) = b.
f ( x)
 а g ( x ) , откуда f(x) = g(x) , где a > 0, a  1.
2. а
1.
Журнал «Математика» № 1/2012
5 x
4
 64.
1. Решите уравнение
Решение.
5 x
3
Перепишем данное уравнение в виде 4  4 ,
откуда 5 – x = 3, значит, x = 2.
Ответ: 2.
1
2. Решите уравнение  
5
x4
 25.
Решение.
Перепишем данное уравнение в виде
–x – 4 = 2, значит, x = –6.
( x 4)
5
5 ,
2
Ответ: –6.
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение многих логарифмических уравнений после
преобразований сводится к решению логарифмических
уравнений вида:
1. logа f ( x)  b, где a > 0, a  1.
Для решения такого уравнения достаточно знания
определения логарифма, из которого вытекает, что
f(x) = аb.
2. logа f ( x)  logа
a  1.
g( x),
откуда f(x) = g(x), причем a > 0,
Решив такое уравнение, необходимо проверить корни
полученного уравнения на выполнение одного из
неравенств: f(x) > 0 либо g(x) > 0.
Журнал «Математика» № 1/2012
3. Решите уравнение log6 (x + 1) = 2.
Решение.
Из определения логарифма следует, что x + 1 = 62, откуда
х = 35.
Ответ: 35.
Журнал «Математика» № 1/2012
Для решения несложных иррациональных уравнений
достаточно
знать
определение
арифметического
квадратного корня:
Арифметическим квадратным корнем из числа a
называется такое неотрицательное число b, квадрат
которого равен а.
Таким образом,
два условия:
1. b ≥ 0.
2. a = b2.
a  b,
если одновременно выполняются
Журнал «Математика» № 1/2012
4. Решите уравнение
1  3x  4.
Решение.
Из определения следует, что 1 – 3x = 42, откуда –3x = 15.
Следовательно, x = –5 .
Ответ: –5.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В8
Проверяемые умения
Уметь выполнять действия с функциями.
Для решения требуется
 Знать геометрический смысл производной.
 Знать уравнение касательной к графику функции.
 Знать производные основных элементарных функций.
 Уметь читать график производной функции.
 Уметь применять
функции.
производную
для
исследования
Журнал «Математика» № 1/2012
1. На рисунке изображен график функции y = f(x).
Касательная к этому графику, проведенная в точке –4,
проходит через начало координат. Найдите f '(–4).
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Построим касательную, которая проходит через
начало координат и указанную точку А с абсциссой
x0 = –4.
Значение производной функции f(x) в точке
равно
угловому коэффициенту касательной, проведенной
к графику функции в данной точке.
Если уравнение
прямой имеет вид
y = kx + b, то f '(x0) = k.
O(0;0)
A(–4; –2)
Журнал «Математика» № 1/2012
Найдём угловой коэффициент прямой y = kx + b,
проходящей через точки А(–4; –2) и О(0; 0), составив
систему:
4k  b  2, k  0,5,


0k  b  0,
b  0 .
Следовательно, f '(–4) = 0,5.
Ответ: 0,5.
Журнал «Математика» № 1/2012
2. На рисунке изображен график производной функции
f(x), определённой на интервале (–6; 3). Найдите абсциссу
точки, в которой касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней.
Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Если касательная к графику функции
параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней, то
значение производной в точке касания равно –2, так как
f '(x0) = k. Найдем искомую абсциссу. Для этого проведем
горизонтальную прямую y = –2.
М – точка пересечения
этой прямой с графиком
производной. Абсцисса
точки М равна –3.
–3 – искомая абсцисса
точки касания.
–3
M
–2
y = –2
Ответ: –3.
Журнал «Математика» № 1/2012
ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ
Задача С1
Уметь решать уравнения и неравенства.
Журнал «Математика» № 1/2012
1. Найдите все значения a, при каждом из которых
уравнение 4x  3x  x  a  9 x 1
имеет хотя бы один
корень.
Решение. Рассмотрим непрерывную функцию
f  x   9 x  1  3x  x  a  4x.
1. При всех x ≥ 1
f  x   9x  9  4x  3x  x  a  kx  m,
где k  9  4  4  0,
значит, f(x) возрастает.
Журнал «Математика» № 1/2012
2. При всех x ≤ 1 f  x   9x  9  4x  3x  x  a  kx  m,
где k  9  4  4  0,
значит, f(x) убывает.
3. Следовательно, х = 1 – точка минимума функции f (x), и
область значений функции E(f) = [ f (1); ).
Уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда f (1)  0,
то есть
3  1  a  4.
Ответ: [–8; 6].
Журнал «Математика» № 1/2012
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа