close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Кафедра медицинской и биологической физики
Неопределенный и определенный
интеграл. Дифференциальные
уравнения.
лекция № 2 для студентов 1 курса обучающихся
по направлению подготовки 040400 - Социальная
работа(заочная форма обучения)
Лектор к.ф-м.н., доцент Ремизов И.А.
Красноярск, 2014
План лекции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Понятие неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла
Понятие определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Понятие дифференциального уравнения
Общее и частное решение
дифференциального уравнения
Тема «Неопределенный и определенный
интеграл. Дифференциальные
уравнения.»
является основополагающей при
изучении
основных разделов высшей
математики, без которого
невозможна количественная оценка
научных и практических данных.
Понятие неопределенного
интеграла
 Понятие производной возникло в связи с
постановкой задачи о вычислении скорости
движения.
 Обратная задача: по скорости определить
пройденный путь. Приводит к понятию
неопределённого интеграла.
Понятие неопределенного интеграла
 Первообразная функция. Функция F(x),
называется первообразной для функции
f(x),
если
данной
ее
производная
функции,
F'(x)
F'(x)
=
равна
f(x),
а
dF(x)=f(x)dx.
Например: (х4)’=4х3
4х3
F(x)= х4
f(x)=
Понятие неопределенного интеграла
 При добавлении к первообразной константы
(C)
снова
получим
первообразную,
поскольку производная постоянной равна
нулю. (F(x) + C)'= F(x)'= f(x)
 Пример: F(x)= х4+5
F(x)= х4
F'(x) =4х3
F'(x) =4х3
Понятие неопределенного интеграла
 Совокупность всех первообразных F(x)+C
для
данной
функции
f(x)
называется
неопределенным интегралом (обозначается
∫f(x)dx=F(x)+C,
где
f(x)dx–
подынтегральное
выражение,
f(x)
–
подынтегральная функция, С- постоянная).
 Нахождение совокупности первообразных
называется интегрированием.
Свойства неопределенного
интеграла
 неопределенный
дифференциала
интеграл
функции
функции: ∫dF(x)= F(x) + C;
равен
от
этой
Свойства неопределенного интеграла
 постоянный множитель выносится за знак
интеграла:
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx;
 интеграл суммы (разности) функций равен
сумме (разности) интегралов этих функций:
∫(f1(x) ± f2(x))dx= ∫f1(x)dx± ∫f2(x)dx
Таблица интегралов основных
функций
x n1
 x dx  n  1  c, n  1
n
x
a
x
a
 dx  ln a  с
dx
 x  ln x  с
x
x
e
dx

e
c

 cos xdx  sin x  c
 sin xdx   cos x  c
dx
 cos2 x  tgx  c
dx
 sin2 x  ctgx  c
Методы интегрирования
 Интегрирование по формулам. Этот метод
основан на использовании таблицы интегралов
основных
функций
и
свойствах
неопределенного интеграла
 Интегрирование методом замены переменной
(или
метод
подстановки).
Этот
способ
применяется для упрощения подынтегрального
выражения
и
сведения
интеграла
к
табличному.
Вводится
новая
переменная
z=f(x), находится ее дифференциал dz=z'dx ,
dz
выражается dx  , и все подынтегральное
z
выражение записывается в новых переменных
z.
Понятие определенного интеграла
 Если
неопределенный
интеграл
представляет
собой
совокупность
функций, отстоящих друг от друга на
величину
С,
то
определенный
интеграл – это всегда число, значение
которого
определяется
видом
подынтегральной функции и значениями
верхнего (b) и нижнего (а) пределов
интегрирования.
Правило нахождения определённого
интеграла
Формула Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Где F(x) – первообразная функции f(x), т.е.
F’(x)=f(x)
Необходимо отыскать первообразную функцию,
подставить в эту первообразную верхний и
нижний пределы и получить разность.
Применение определённого
интеграла к вычислению площади
криволинейной трапеции
Пример: Дано уравнение параболы y  x .
Найти площадь криволинейной
трапеции на отрезке от а =2 до b =4.
2
y
2
4
4
x
3 4
3
3
x
4
2
S   x2dx 
|

 18,6кв.ед.
3 2
3
3
2
Дифференциальные уравнения
 Уравнение,
содержащее
независимую
переменную
х,
функцию
f(x)
и
ее
производные от первого до n-го порядка,
называется дифференциальным.
F(x,f(x),f'(x),f''(x),…,f(n)(x),С)=0.
Например,
y  xy  5  0
Дифференциальные уравнения
 Порядок
дифференциального
определяется
порядком
производной.
 Например уравнение
уравнения
наивысшей
y  6 y  x  0
-второго порядка
 Решением дифференциального уравнения
называется функция y=f(x), которая при
подстановке обращает это уравнение в
тождество.
Алгоритм решения
дифференциальных уравнений
 представить
производную
dy в
дифференциальной форме, т.е. у  dx ;
 разделить переменные, т.е. все, что
относится к одной переменной (х)
собрать в одной части равенства, а все,
что относится к другой переменной (у) –
в другой части равенства;
 проинтегрировать обе части равенства и
записать решение в виде y=f(x);
 выполнить проверку.
Общее и частное решение
дифференциального уравнения
 Константа может быть выбрана в любом
виде
(произвольно)
для
удобства
решения. И тогда получают общее
решение дифференциального уравнения.
 Если же заданы начальные условия, то
константа вычисляется и имеет вполне
определенное значение. Тогда можно
говорить
о
частном
решении
дифференциального уравнения.
Краткие выводы:
Т.о. нами изучены понятия интегралов,
обыкновенные дифференциальные уравнения и
их использование при решении конкретных
ситуационных задач
Тест-контроль
Решением дифференциального уравнения
является функция, при подстановке которой в
исходное уравнение:




оно обращается в тождество
правая часть равняется нулю
оно не изменяется
левая часть равняется нулю
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:
Основная литература:
1.
1.
2.
3.
Павлушков И.В. Основы высшей математики и
математической статистики: учебник для
мед.вузов. М.: ГЭОТАР-Медиа. 2007
Дополнительная литература:
Высшая математика. Базовый курс / В. С.
Шипачев ; ред. А. Н. Тихонов -М. : Юрайт , 2011.
Математика. / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко.
- М. : Юрайт , 2012.
Математика в примерах и задачах /Л.Н.
Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В. Никонова и др. – М.:
ИНФРА–М, 2011. – 373 с.
БЛАГОДАРЮ
ЗА ВНИМАНИЕ
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа