close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
1
Решение неравенств методом
рационализации
В школьной программе он не изучается, но его применение значительно
облегчает решение заданий ЕГЭ части С3, в частности логарифмических
неравенств.
1.Теоретического обоснования метода рационализации (декомпозиции):
формулы, которые позволяют заменять сложные выражения более
простыми.
№
1
1a
1б
2
2a
2б
3
4
4a
5
6
Исходное выражение
-
Новое выражение
(а –1)(v – φ)
)
(
Если f(x) монотонно возрастающая функция и f(a) >f(b), то a>b, из
неравенства
f(a) - f(b) >o следует a-b>0. Т.е. эти неравенства совпадают по знаку.
Аналогично, неравенство f(a) - f(b) < o эквивалентно неравенству a-b< 0.
f ( x)  f (b)
g ( x)  g (a)
x b
рациональным неравенством
xa
Значит неравенство
>0 (1) можно заменить
>0 (2), которое решается методом
интервалов. Неравенство (2) является следствием неравенства (1). А чтобы
исключить «лишние» решения, надо «пересечь» их с областью определения
исходного неравенства.
2
Примеры решения неравенств методом рационализации
Пример 1. Решите неравенство log 2x+3 x
3

х   2 ,

x  1, ОДЗ:
x  0.


2 х  3  0,
1.ОДЗ: 
2 x  3  1,
 x 2  0.

2
< 1.
 3 
  ;1   1;0  0;.
 2 
2.Решим неравенство:
В правой части должен быть ноль:
log 2x+3 x2 - 1 < 0.
lg x 2
lg x 2  lg( 2x  3)
Перейдём к основанию 10:
 1  0,
 0,
lg( 2x  3)
lg( 2x  3)
Получим в знаменателе разность: lg(2x+3) = lg(2x+3) – 0 = lg(2x+3) – lg1.
lg x 2  lg( 2x  3)
x 2  2x  3
 0 . Перейдём к рациональному неравенству:
 0,
lg( 2x  3)  lg1
2x  3  1
которое решается методом интервалов. Получим (-∞; -1)U (-1; 3).
С учётом области определения: (-1,5; -1)U(-1; 0)U(0; 3).
ОТВЕТ. (-1,5; -1)U(-1; 0)U(0; 3).
Пример 2. Решите неравенство


log x2  x1 x 2  2x  9  log x2  x1 x  1
x 2  2 x  9  0,
 2
x  x  1  0,
1.ОДЗ:  2
x  x  1  1,
x  1  0 /

2.Решим неравенство:




х  1  10, x  1  10,

1  5
1  5

x
,х 

2
2 ,
x  1, x  2

x  1.

ОДЗ: (1+ 10 ; +∞).

log x2  x1 x 2  2x  9  log x2  x1 x  1
lg x 2  2x  9
lgx  1

 0,
2
lg x  x  1 lg x 2  x  1



lg x 2  2x  9  lgx  1
 0,
lg x 2  x  1





lg x 2  2x  9  lgx  1
 0,
lg x 2  x  1  lg 1

Применим метод рационализации:

3
x
2

 2x  9  x  1
 0,
x2  x 1 1


x 2  3x  10
 0, (-∞;-2)U(-2;1)U[5;+∞).
x2  x  2
Решение с учётом ОДЗ: [5;+∞).
ОТВЕТ. [5;+∞).
ПРИМЕР 3 Решите неравенство
1

х  3 ,
1  3х  0,


1.ОДЗ: 2  х  0,
 х  2,


 2  х  1  0.  х  1.

1  3х  1
1
2  х 1
ОДЗ: [-2;
1
]
3
2. Решим неравенство
1  3х  1
1
2  х 1
1  3х  1
1  3х  1  2  х  1
 1  0,
0
2  х 1
2  х 1
1  3х  2  х
1  3х  2  х
 4х  1
 0,
 0,
 0,
2  х 1
х 1
2 х  1
1
(-∞;-1)U[- ;+∞).
4
1 1
3. С учётом ОДЗ: [-2;-1)U[- ; ].
4 3

x4
log
 6 x x 2  12x  36  0
ПРИМЕР 4 Решить систему неравенств 
х 1
х 2
 25  0,5  2  0,5 х2 ,
 2 х2  4 х
Решим первое неравенство:
6  x  0,
1.ОДЗ: 
6  x  1,
x 2  12x  36  0.

2. Решим неравенство:
x  6,

x  5, ОДЗ: (-∞;-5)U(-5;0)U(0;6).
x  0.

4


lg х 4  lg x 2  12х  36
 0,
lg6  х  lg1


х 4  x 2  12х  36
 0,
6  х 1
х 4  x  62
 0,
5 x
[-3;2]U(5;+∞).
Решим второе неравенство:
25  0,5х1  2 х2
 0,5х2.
х2
х
2 4
25  2 х1  2 х2
25  2 х1  2 х2  20  2 х2
 х 2

2

0
.
 0.
2 х 2  2 2 х
2 х2  2 2 х
25  2 х1  20
2 х1log2 25  20
log 25
Так
как
25
=2
,то
получим:

0
.
 0.
2
2 х2  2 2 х
2 х2  2 2 х
 x  1  log 2 25
 0.
x  2  2x
 x  log 2 50
 0. (-∞;2)U[log250;+∞)
2 x
Решение системы с учётом области определения:
[-3;0)U(0;2)U(5;6].
Алгоритм
1. Перенеси всё в левую часть.
2. Приведи к общему знаменателю, если это нужно.
3. Если неравенство логарифмическое или
показательное, приведи его к одному основанию.
4. Получи в числителе и знаменателе разность.
5. Замени неравенство на рациональное
6. Реши его.
7. Найди пересечение его решения с областью
определения.
f ( x)  f (b)
>0 или <0
g ( x)  g (a)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа