close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
http://reshuege.ru/test?theme=172
http://shevkin.ru/?action=Page&ID=752
C 6 № 484652. Найдите все целые значения и такие, что
C 6 № 485958. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых
равно 1512 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
C 6 № 485959. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых
равно 1008 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
C 6 № 501694. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные
числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6,
8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16,
17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
C 6 № 501714. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3
и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске
будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
C 6 № 501734. а)
Чему
равно
число
виде
б)
где числа
Существуют
ли
10
виде
бами?
в)
виде
бами?
способов
различных
Сколько
существует
чисел
N
где числа
число
1292
в
— целые,
чисел
где числа
записать
таких,
что
их
можно
— целые,
таких,
— целые,
представить
в
ровно 130 спосочто
их
можно
представить
в
ровно 130 спосо-
C 6 № 501756. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3
и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске
будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается
ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
C 6 № 501889. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
C 6 № 501949. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные
числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11.
C 6 № 501989. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные
числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20,
21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.
C 6 № 502027. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
C 6 № 502058. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
C 6 № 502079. Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1 = a1+a2+...+a350,
S2 = a12+a22+...+a3502,
S3 = a13+a23+...+a3503,
S4 = a14+a24+...+a3504.
Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547 ?
в) Пусть S4 = 4547. Найдите все значения, которые может принимать S2.
C 6 № 502099. Каждое из чисел a1, a2, …, a450 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1 = a1+a2+...+a450,
S2 = a12+a22+...+a4502,
S3 = a13+a23+...+a4503,
S4 = a14+a24+...+a4504.
Известно, что S1 = 739.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1779, S3 = 5611.
б) Может ли S4 = 6547 ?
в) Пусть S4 = 6435. Найдите все значения, которые может принимать S2.
C 6 № 502119. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
C 6 № 502139. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую
прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 123.
C 6 № 502298. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их
возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные
числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6,
8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18,
19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.
C 6 № 502318. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3
и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске
будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −3, −1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается
ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
C 6 № 503151. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
C 6 № 503257. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг
(раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый,
предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый,
предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы
вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
C 6 № 484653. Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между
числами
и
найдите такую, знаменатель которой минимален.
C 6 № 484654. Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс
или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
C 6 № 484655. Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа
приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и
на
C 6 № 484656. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
C 6 № 484657. Произведение всех делителей натурального числа оканчивается на 399 нулей. На
сколько нулей может оканчиваться число ?
C 6 № 484658. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за
одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.
C 6 № 484659. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой
стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных
чисел
В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше
Найдите наименьшее возможное значение .
C 6 № 484660. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой
стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного
натурального числа p. В результате получается рациональное число. Найдите это число.
C 6 № 484661. Перед каждым из чисел 3, 4, 5, . . . 11 и 14, 15, . . . 18 произвольным образом ставят знак
плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую
по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
C 6 № 484662. Каждое из чисел 5, 6, . . ., 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, . . ., 17 и перед каждым
произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают.
Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
C 6 № 484663. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k,
что числоp является общим делителем чисел
и
.
C 6 № 484664. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k,
что числоp является общим делителем чисел
C 6 № 484665. Найдите несократимую дробь
и
такую, что
.
.
C 6 № 484666. Каждое из чисел 2, 3, ... , 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... , 21 и перед каждым из
полученных произведении произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в
итоге?
C 6 № 484667. Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению
, где
.
C 6 № 484668. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а,
что дробь
можно сократить на b.
C 6 № 484669. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а,
что дробь
можно сократить на b.
C 6 № 484670. Найдите все простые числа , для каждого из которых существует такое целое число ,
что дробь
сократима на
C 6 № 484671. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
C 6 № 484672. На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое
всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
C 6 № 484673. Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.
C 6 № 485939.
Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами
210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
C 6 № 485960.
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют
либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
C 6 № 500005. На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо
вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске
(таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).
а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?
C 6 № 500011. На доске написано число 8. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо
вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске
(таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т. д.).
а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 72?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 832?
C 6 № 500017. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4,
-5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
C 6 № 500023. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9.
Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из
чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм
перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
C 6 № 500068. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см
(назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной
длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток
веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.
C 6 № 500116. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
C 6 № 500136. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из
них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более
щихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более
посетивших кино.
от общего числа уча-
от общего числа учащихся группы,
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что
всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
C 6 № 500197. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по
крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
C 6 № 500217. Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит , эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое
слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит .
а) Может ли число быть равным ?
б) Может ли число быть больше
?
в) Найдите максимально возможное значение .
C 6 № 500351. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см
(назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной
длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток
веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.
C 6 № 500371. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из
них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более
от общего числа уча-
щихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более
посетивших кино.
от общего числа учащихся группы,
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что
всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
C 6 № 500391. Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое
слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.
а) Может ли число
быть равным 34?
б) Может ли число быть больше
в) Найдите максимально возможное значение
C 6 № 500412. В ряд выписаны числа: , , …,
ставляют знаки «+» и «−» и находят получившуюся сумму.
,
. Между ними произвольным образом рас-
,
. Между ними произвольным образом рас-
Может ли такая сумма равняться:
а) 12, если
?
б) 0, если
?
в) 0, если
?
г) 5, если
?
C 6 № 500432. В ряд выписаны числа: , , …,
ставляют знаки «+» и «−» и находят получившуюся сумму.
Может ли такая сумма равняться:
а) -4, если
?
б) 0, если
?
в) 0, если
?
г) -3, если
?
C 6 № 500452. Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки
переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3,
4, −5 , 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате
получиться?
C 6 № 500472. Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки
переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3,
4, −5 , 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате
получиться?
C 6 № 500478. Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по
крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
C 6 № 500820. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
C 6 № 500966. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:
−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.
Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел:
−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.
После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 117?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
C 6 № 500971. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами
C 6 № 501049. Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.
а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?
C 6 № 501071. За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и
может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более
чем
от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более от общего
числа детей, евших конфеты.
а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25
детей?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что
всего за столом было 25 детей?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?
C 6 № 501220. В стране Дельфиния установлена следующая система подоходного налога (денежная единица Дельфинии ― золотые):
Заработок (в золотых) Налог (в %)
1 — 100
1
101 — 400
20
Более 400
50
а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых. Как им выгоднее всего распределить эти деньги между
собой, чтобы в семье осталось как можно больше денег после налогообложения? При дележе каждый получает целое число золотых.
б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый
также получит целое число золотых?
C 6 № 501400. Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.
C 6 № 501420. Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное
число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.
C6 №72
Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое
обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.
C6 №64
Условие:
Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел n, таких, что первая и последняя цифры
числа n^2 равны 1
Задание C6 №61
Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее
число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?
Задание C6 №60
Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное и разделить их произведение на
пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял записанные рядом двузначное и
трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в
три раза больше истинного. Найдите все три числа.
Задание C6 №45
Условие:
Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно
15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).
Задание C6 №44
Условие:
Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида р 2-1, где р - простое число, большее 3, но
меньшее 2011.
Задание C6 №25
Условие:
Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел,
уменьшенное на 1. Чему может быть равно его произведение?
Задание C6 №41
Условие:
Наибольшее целое число, не превосходящее число х, равно
(x^2+6)/7
Найти все такие x.
Задание C6 №14
Условие:
Сколько целых чисел входит в решение системы неравенств
(x+2)(2-x)<(x+3)(4-x)
{
(3+x)/4 + (1-2x)/6 >= 1
Задание C6 №3
Условие:
Найдите все натуральные числа, не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел,
отличных от 1.
Задача. Решите в натуральных числах уравнение
Задание Группа учеников посетила театр и кино, причем каждый что-то посетил (кто-то мог посетить и кино
и театр). Известно, что в театре мальчиков было не более 2/11 от числа посетивших театр. В кино
мальчиков было не более 2/5 от числа посетивших кино.
а) Может ли мальчиков быть 9, если всего в группе 20 человек?
б) Какое наибольшее число мальчиков возможно при численности группы в 20 человек?
в) Какая наименьшая часть девочек от всей группы возможна, если не принимать во внимание условия
пунктов а) и б)?
Задание. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки
переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3,
4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм
перемножают.
а)Может ли в результате получиться 0?
б)Может ли в результате получиться 1?
в)Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Задание С6. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно
720, и
a)пять;
б)четыре;
в)три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Задание С6 (Варианты 207-218). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в r раз больше, либо в r раз меньше
предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна R.
а)Может последовательность состоять из двух членов?
б)Может ли последовательность состоять из трех членов?
в)Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
В частности, вариант с кодами 207 и 208 предлагает значения r=8,R=2618. Другие задачи
раздела С6 приведены в таблицах на отдельной странице.
Задание C6. Число N равно произведению 10 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее
число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число N?
Задание С6. На доске написано более 45, но менее 55 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел
равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 10, а среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно -5
а)Сколько чисел написано на доске?
б)Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?
Материал сайта http://mathsege.ru
в)Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Другие варианты задания С6, предложенные в 2011 приведены на странице. Все они одного типа и
отличаются лишь значениями числовых параметров.
Задание С6. (Вариант с кодом 901.) Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее
кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.
Задание
Натуральные числа a, b, c образуют возрастающую арифметическую прогрессию,причем все
они больше 1000 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное,
при указанных условиях, значение b.
Назовем кусок веревки стандартным, если длина не меньше 168 см, но не больше 175 см.
а) Некоторый моток веревки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной
длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот
же моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см,
можно разрезать на стандартные куски.
Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое
из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое
слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.
а) Может ли число S быть равным 38?
б) Может ли число S быть больше 37,05?
в) Найдите максимальное возможное значение S.
В ряд выписаны числа: 12, 22, ... (N-1)2, N2. Между ними произвольным образом расставляют знаки "+" и "-" и
находят получившуюся сумму.
Может ли такая сумма равняться:
а) 4, если N=12?
б) 0, если N=69?
в) 0, если N=64?
г) 5, если N=90?
Задача
Задача
Задача
Задание
Пример
Решите
Натуральные
При каком
У натурального числа
C 6 № 502027. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Решение.
Пусть данное число равно
где
и — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно то выполнено
при
а) Если частное равно 90, то
частное числа 810 и суммы его цифр равно 90.
б)
Если
частное
равно
88,
что верно, например,
то
. Получаем:
Значит,
или
Но ни 78, ни 87 не делится
на 12. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.
в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 100, и суммы его цифр.
Тогда
Учитывая, что
получаем:
откуда
Частное числа 910 и суммы его цифр равно 91. Значит, наибольшее натуральное значение частного
трёхзначного числа, не кратного 100, и суммы его цифр равно 91.
О т в е т : а) да; б) нет; в) 91.
C 6 № 502058. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Решение.
Пусть данное число равно
, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено
а) Если частное равно
то
что верно, например,
при
: частное числа 410 и суммы его цифр равно
б) Если частное равно
то
Значит,
;
или
Значит, частное
трехзначного числа и суммы его цифр не может быть равным
Но ни
ни
Получаем:
не делится на
в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного
и суммы его цифр.
Тогда
Учитывая, что
получаем:
Частное числа
и суммы его цифр равно
Значит, наибольшее натуральное значение частного
трёхзначного числа, не кратного
и суммы его цифр равно
Ответ: а) да; б) нет; в) 91.
C 6 № 502079. Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1 = a1+a2+...+a350,
S2 = a12+a22+...+a3502,
S3 = a13+a23+...+a3503,
S4 = a14+a24+...+a3504.
Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547 ?
в) Пусть S4 = 4547. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Решение.
Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди
…
равны
ственно. Тогда
и
соответ-
а) По условию
где
Решая
дим:
систему
четырёх
б)
Если
то
не может быть равным 4547.
в)
линейных
уравнений
Значит,
четырьмя
Вычтем из первого полученного равенства второе:
чит,
делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При
получаем:
нахо-
где
Кроме того, поскольку
При
неизвестными,
где
В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому
Если
то
с
получаем:
Знаполучаем:
О т в е т : а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.
C 6 № 502099. Каждое из чисел a1, a2, …, a450 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1 = a1+a2+...+a450,
S2 = a12+a22+...+a4502,
S3 = a13+a23+...+a4503,
S4 = a14+a24+...+a4504.
Известно, что S1 = 739.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1779, S3 = 5611.
б) Может ли S4 = 6547 ?
в) Пусть S4 = 6435. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Решение.
Пусть количества единиц, двоек, троек и четверок среди
ственно. Тогда
и
а) По условию
равны
соответ-
где
Решая систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, находим:
Значит,
б) Если
где
, то
В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая - нет, поэтому
в) Если
где
Кроме того, поскольку
получаем:
Вычтем из первого полученного неравенства второе :
чит,
делится на 5 и может равняться только 0 или 5.
При
получаем:
При
получаем:
не может быть равным 6547.
то
Зна-
Ответ: a) 19995; б) нет; в) 1371 или 1383.
C 6 № 502119. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
Решение.
Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Обозначим — первый член этой прогрессии, a её разность. Тогда сумма её членов
равна
а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 10.
б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство
Значит,
откуда находим
. Значит, наибольшее значение n равно 44.Сумма
арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 1000
в )Для суммы членов арифметической прогрессии верно:
Таким
то
или
24.
образом,
является
делителем
числа
258.
Если
следовательно,
Поскольку
получаем,
что
Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23,
О т в е т : а) да; б) 44; в) 3; 6.
число
C 6 № 502139. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую
прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 123.
Решение.
Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую програссию. Обозначим a - первый член этой прогрессии, а d - ее разность. тогда сумма ее членов
равна
a) Да, может. Числа 2,3,4,5 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 14.
б)
Для
суммы
членов
арифметической
прогрессии
верно
ство
равен-
откуда находим
в) Для суммы членов арифметической прогрессии верно:
таким образом, число n является делителем числа
то
следовательно,
Поскольку
получаем,
. Если
или
.
Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 18, 19, 20, 21, 22, 23.
Ответ: a) да; б) 41; в) 3; 6.
C 6 № 484652. Найдите все целые значения
Решение.
Заметим, что из условия следует, что
1. Если
2. Если
и
такие, что
. Далее имеем:
то каждое из слагаемых равно 1, и при
равенство будет верно.
, левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с
первым членом
и знаменателем
, сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем:
Таким образом, в этом случае уравнение решений не имеет.
3. Если
Числа
и
то
и
откуда получаем:
на
три
нацело
не
делятся,
следовательно,
откуда
Последнее уравнение натуральных решений не имеет.
Ответ:
C 6 № 485958. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых
равно 1512 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Решение.
Случай а). Пусть числа
где по условию
— натуральное число,
—
искомые члены прогрессии. Их произведение равно
но уравнение
ний. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.
не имеет натуральных реше-
Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов
а пятое натуральное число
равно Поскольку
имеем:
что невозможно для натуральных
и поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от
1. Заметим однако, что знаменатель прогрессии может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть
— несократимая дробь,
Тогда
что невозможно, так как разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от
1.
Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов
а четвертое и пятое натуральные числа
равны и Тогда
Положим в этом равенстве
Далее, полагая
получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
C 6 № 485959. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых
равно 1008 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Решение.
Случай а). Пусть числа
где по условию
— натуральное число,
—
искомые члены прогрессии. Их произведение равно
но уравнение
ний. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.
не имеет натуральных реше-
Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов
а пятое натуральное число
равно Поскольку
имеем:
что невозможно для натуральных
и поскольку разложение числа 1008 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.
Заметим однако, что знаменатель прогрессии может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть
— несократимая дробь,
Тогда
что невозможно, так как разложение числа 1008 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от
1.
Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов
а четвертое и пятое натуральные числа
равны и Тогда
Положим в этом равенстве
получим
один из требуемых наборов чисел: 1, 2, 4, 7, 18.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
C 6 № 501694. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные
числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6,
8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16,
17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
Решение.
а) Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.
б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного
набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе,
поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из
условия.
в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее
число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит
целой части —, то есть 5. Кроме того, числа 9 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 9 − 11 = 14. Таким образом,
так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 7 и 7 или 14. Для задуманных чисел 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14 на доске будет записан набор, данный в условии.
О т в е т : а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14.
C 6 № 501714. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3
и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске
будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается
ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Решение.
а) Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.
б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного
набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22-1 = 21. Но этого числа нет в наборе,
поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из
условия.
в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее
число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит
целой части —, то есть 5. Кроме того, числа 9 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 9 − 11 = 14. Таким образом,
так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 7 и 7 или 14. Для задуманных чисел 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14 на доске будет записан набор, данный в условии.
О т в е т : а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14.
C 6 № 501734. а)
Чему
равно
число
способов
виде
б)
виде
бами?
где числа
Существуют
ли
10
различных
число
1292
в
— целые,
чисел
где числа
записать
таких,
— целые,
что
их
можно
представить
в
ровно 130 спосо-
в)
Сколько
виде
бами?
Решение.
Каждое
число
и
существует
чисел
где числа
однозначно
Значит,
для
виде
где
N
таких,
что
их
можно
— целые,
в
ровно 130 спосо-
представляется
в
виде
каждого
представления
где
некоторого
имеет место единственное представление
и
от 0 до 9999. Число способов записать число
собов записать число в виде
представить
числа
в
в виде
— произвольные целые числа
в виде
равно числу спо-
а) Для представления числа 1292 в виде
в качестве можно взять любое целое число от
0 до 129. При этом
определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно
130.
б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299
представимо в требуемом виде ровно 130 способами.
в) Рассмотрим представление некоторого числа
числа от 0 до 9999. Представим в виде
целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:
в виде
где и — некоторые целые
где — цифра единиц числа
а — некоторое
Найдём все числа
представимые ровно 130 способами в виде
число от 0 до 9999, а — некоторое целое число от 0 до 999.
Пусть для некоторого числа представления
возможное я, а
— наибольшее возможное Тогда
ставление
Аналогично,
Заметим, что для любого целого
такого, что
скольку
равно
Если
или
или
или
разом, искомое количество чисел равно 20.
и
или
или
где
— некоторое целое
таковы, что
— наименьшее
иначе бы было пред-
имеется представление
поТаким образом, количество представлений
то представлений больше. Значит,
где — произвольная цифра. Таким об-
О т в е т : а) 130; б) да; в) 20.
C 6 № 501756. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3
и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске
будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается
ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Решение.
а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если
было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх
отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть
−6. Наибольшее число в наборе 11 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 4 и 7 дают в сумме 11. Значит, были задуманы числа −6, 4 и 7.
б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на
доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1
нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы
ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.
Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого
количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел.
Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное
число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совладают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.
Аналогично, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не
более одного нуля. Значит, если было задумано не более четырёх различных чисел, среди которых есть нуль,
то на доске окажется не более трёх нулей.
Если были задуманы числа −2; −1; 0; 1; 2, то на доске окажется ровно семь нулей. Значит, наименьшее
количество задуманных чисел — 5.
в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот
же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
О т в е т : а) −6, 4, 7; б) 5; в) нет.
C 6 № 501889. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел
равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
Вопрос а) Заметим, что в лувой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому
— количество целых чисел — делится на 4. По условию
поэтому
Таким образом, написано 44 числа.
Вопрос б) Приведем равенство
к виду
Так как
получаем,
что
откуда
Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
Вопрос в)
Подставим
в
правую
часть
равенства
откуда
Так
как
получаем:
то есть положительных чисел не более 17.
Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз
написано число −8 и два раза написан 0. Тогда
ряет всем условиям задачи.
указанный набор удовлетво-
О т в е т : а) 44; б) отрицательных; в) 17.
C 6 № 501949. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, вы-
писанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные
числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7,
8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16,
18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.
Решение.
а) Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.
б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного
набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе,
поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из
условия.
в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее
число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит
целой части
, то есть 5. Кроме того, числа 9 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 9 − 11 = 14. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 7 и 7 или 14. Для
задуманных чисел 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14 на доске будет записан набор, данный в условии.
Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14.
C 6 № 501989. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные
числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20,
21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.
Решение.
а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.
б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного
набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть
Но этого числа нет в наборе,
поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из
условия.
в) Число 9 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее
число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит
целой части, то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна
Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 9. оставшиеся задуманные числа — это 11 и 11 или 22. Для
задуманных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет записан набор, данный в условии.
Ответ: а) 2, 2, 2, 2: б) нет: в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.
C 6 № 502298. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их
возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные
числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6,
8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18,
19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.
Решение.
а) Задуманные числа 3, 3, 3, 3, 3 дают требуемый набор, записанный на доске.
б) Поскольку задуманные числа натуральные, наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного
набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 23 − 1 = 22. Но этого числа нет в наборе,
поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из
условия.
в) Число 8 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее
число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит
целой части числа
то есть 5. Кроме того, числа 9 и 10 меньше, чем сумма двух восьмёрок, поэтому они
также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 47 − 8 − 9 − 10 = 20.
Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 8, оставшиеся задуманные числа — это 10 и 10
или 20 (если бы 20 получалось как 8 + 12 или 9 + 11, то были бы выписаны числа 12 или 11, но их нет). Для
задуманных чисел 8, 9, 10, 10, 10 и 8, 9, 10, 20 на доске будет записан набор, данный в условии. (Для чисел 8,
9, 10, 20 это можно проверить непосредственно, а для чисел 8, 9, 10, 10, 10 — заметить, что они будут давать
точно те же суммы, что и числа 8, 9, 10, 20.)
О т в е т : а) 3, 3, 3, 3,3; б) нет; в) 8, 9, 10, 10, 10 или 8, 9, 10, 20.
C 6 № 502318. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3
и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске
будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −3, −1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается
ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Решение.
а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если
было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх
отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть
−3. Наибольшее число в наборе 9 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 2 и 7 дают в сумме 9. Значит, были задуманы числа − 3, 2 и 7.
б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на
доске оказалось ровно к нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1
нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы
ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.
Поскольку на доске выписано ровно 6 нулей, среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано пять или
меньше (ненулевых) чисел. Среди них есть положительные и отрицательные. Нуль получается тогда, когда
сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Подумаем, сколько может быть одинаковых среди всевозможных сумм задуманных чисел одного знака. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают
три различные суммы; три различных задуманных числа одного знака дают семь сумм, среди которых не
более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают;
четыре различных задуманных числа одного знака дают 15 сумм, среди которых не может быть трёх одинаковых. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более четырёх.
Таким образом, если было задумано не более пяти различных ненулевых чисел, то на доске окажется не
более четырёх нулей. Если были задуманы числа −5 ; −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно шесть нулей.
Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 6.
в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот
же набор −3, −2, −1, 0, 1,2,3.
О т в е т : а) −3, 2, 7; б) 6; в) нет.
C 6 № 503151. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел
равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
Вопрос а) Заметим, что в лувой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому
— количество целых чисел — делится на 4. По условию
поэтому
Таким образом, написано 44 числа.
Вопрос б) Приведем равенство
к виду
Так как
получаем,
что
откуда
Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
Вопрос в)
Подставим
в
правую
часть
равенства
откуда
Так
как
получаем:
то есть положительных чисел не более 17.
Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз
написано число −8 и два раза написан 0. Тогда
ряет всем условиям задачи.
указанный набор удовлетво-
О т в е т : а) 44; б) отрицательных; в) 17.
C 6 № 503257. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг
(раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый,
предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый,
предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы
вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Решение.
а) Масса любых трёх таких глыб не превосходит 5 тонн. Значит, в 60 грузовиков можно погрузить 180
таких глыб. Всего глыб 170, поэтому их можно увезти на 60 грузовиках.
б) Суммарная масса глыб равна 50 · 800 + 60 · 1000 + 60 · 1500 = 190 000 (кг), то есть в точности совпадает с грузоподъёмностью 38 грузовиков. Значит, если возможно увезти эти глыбы на 38 грузовиках, то каждый грузовик должен быть загружен полностью (по массе груза).
Если в каком-то грузовике есть глыба массой 800 кг, то единственная возможность загрузить такой грузовик полностью — это добавить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу массой 1 000 кг. Таким образом, грузовиков, загруженных так, понадобится 10 штук. Поскольку осталось 60 глыб, массой 1 500 кг каждая, и 28 грузовиков, то в одном из грузовиков должно быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в грузовик, в который загружено
3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, ничего больше погрузить не получится.
Значит, на 38 грузовиках увезти эти глыбы нельзя.
в) В предыдущем пункте было показано, что 38 грузовиков не хватит.
Если в 10 грузовиков загрузить по 5 глыб, массой 800 кг каждая, и глыбу массой 1 000 кг, в 25 грузовиков загрузить по 2 глыбы, массой 1 000 кг каждая, и по 2 глыбы, массой 1 500 кг каждая, в 3 грузовика загрузить
3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, и в один грузовик глыбу массой 1 500 кг, то все глыбы окажутся загружены в 39 грузовиков. Значит, наименьшее количество грузовиков — это 39.
Ответ: а) да; б) нет; в) 39.
C 6 № 484653. Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между
числами
и
Решение.
Так как
найдите такую, знаменатель которой минимален.
и
то достаточно найти правильную дробь с наименьшим знаменателем, лежащую между числами
и
а затем прибавить к ней число 2.
Среди дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так как
Для знаменателя 7 получаем
то есть
и, следовательно,
Ответ:
C 6 № 484654. Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс
или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение.
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго — с минусами, то сумма максимальна и
равна
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из полученны сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
Ответ: 1 и 805.
C 6 № 484655. Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа
приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и
на
Решение.
,
где
— число цифр в числе
Тогда
, иначе
Непосредственно проверяем:
. Соответственно,
.
Ответ: 12 и 8; 23 и 9.
C 6 № 484656. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
Решение.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делится на 11.
Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Меняя
местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность
между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, становится равной 11.
Меняя местами, например, 1 и 4 или 3 и 6, получаем требуемые примеры.
Примечание: в задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством.
Ответ: найдутся.
C 6 № 484657. Произведение всех делителей натурального числа
сколько нулей может оканчиваться число ?
Решение.
Разложим на простые множители:
где
или
— наибольший простой множитель и
или, наоборот,
Оценим количество делителей числа
при этом
оканчивается на 399 нулей. На
Если запись числа
оканчивается
нулями, то
делится на
Первый случай. Если
— четное, то все делители разбиваются на
пар вида
так, что произведение
делителей в каждой паре равно
Поэтому произведение всех делителей равно
Второй случай. Если — нечетное, то
делителей разбиваются на пары указанного вида, и есть еще
один делитель —
Значит,
но,
и
для
В этом случае тоже произведение всех делителей:
любого
произведение
При этом
всех
делителей
оканчивается
откуда следует, что
нулями,
следователь-
— делитель числа 798,
Выпишем все такие
Из равенства
также следует, что 798 делится на
. Поэтому возможно только
и
. Для каждого из этих подберем
Ограничимся простыми множителями 2 и 5. Значит, нужно подобрать только
и
1.
2.
3.
Таким образом, для
найдены ( и даже не все) , оканчивающиеся нулями, произведение делителей которых оканчивается 399 нулями.
Ответ: 1, 2, 6.
C 6 № 484658. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за
одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.
Решение.
Обозначим эти числа за a, b и c. Имеем
,
а значит
.
Так как правая часть полученного равенства делится на a, значит , левая часть тоже делится
на a и
. Получаем
,
что равносильно
.
Обратим внимание, что k не превосходит 9, так как a и b — трехзначные числа, а
Значит, возможны только варианты
.
Если
у ab нет).
то
,
а
Если
, то
, что противоречит условию.
Если
, то
, что противоречит условию.
или
(других
пятизначных
делится на 3.
делителей
Ответ: 167, 334 и 27889 или 167, 334 и 55778.
C 6 № 484659. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой
стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных
чисел
В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше
Найдите наименьшее возможное значение .
Решение.
Наименьшее возможное значение третьего члена возрастающей последовательности натуральных
чисел
, причем только если
и
. То есть если десятичная дробь начинается так:
(четвертая цифра не ).
Заметим, что таким образом начинается, например, число
Найдем число
нее.
и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи. Для этого запишем сумму подроб-
В каждой строчке — сумма геометрической прогрессии со знаменателем
По формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем:
Получается, что — рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81, что меньше ста. Число удовлетворяет условию задачи и для этого числа
Ответ: 3.
C 6 № 484660. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой
стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного
натурального числа p. В результате получается рациональное число. Найдите это число.
Решение.
Покажем, что p = 0,111...
Действительно, пусть
. Предположим, что наименьший период полученного рационального числа
равен T. Тогда Tk — тоже период при любом натуральном k. Пусть первый период начинается с некоторой
по счету цифры, принадлежащей десятичной записи степени . Возьмем период такой длины Tk, чтобы эта
длина была больше, чем длина записи .
В записи числа
цифр столько же, сколько в
или на одну больше. Аналогично, число
длиннее, чем не более, чем на две цифры и так далее. Значит, можно найти такую степень
, что
.
Цифры числа занимают весь период — группу длиной Tk. Тогда в записи следующего числа
вые с Tkцифры тоже образуют период и должны повторять цифры числа .
Получается, что либо
, либо
нее равенство невозможно, так как
, где
пер-
— какое-то однозначное число. Послед-
.
Следовательно, верно
, откуда
. Десятичная дробь имеет вид
.
Ответ: .
C 6 № 484661. Перед каждым из чисел 3, 4, 5, . . . 11 и 14, 15, . . . 18 произвольным образом ставят знак
плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из обра-
зовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую
по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение.
1. Если все числа обоих наборов взяты с плюсами, то сумма максимальна и равна
2. Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получены сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
Ответ: 1 и 1035.
C 6 № 484662. Каждое из чисел 5, 6, . . ., 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, . . ., 17 и перед каждым
произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают.
Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Решение.
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма наибольшая и она равна
.
2. Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем это свойство суммы не
меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведения, которая получится при раскрытии следующих скобок
.
Ответ: 1 и 3045.
C 6 № 484663. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k,
что числоp является общим делителем чисел
Решение.
Если
число p является
делителем
и
числа
,
.
то
оно
является
числа
. Но если число p является общим делителем чисел
оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа
также
и
делителем
и
, то
.
Аналогично получаем:
1) число p является общим делителем чисел
и
, значит, p является делителем числа
;
2) число p является общим делителем чисел
и
, значит, p является делителем числа
;
Число 60 имеет ровно три различных простых делителя — 2, 3 и 5. Остается проверить найдутся ли
такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 2, 3 и 5 является общим делителем
чисел
и
.
Если число k — четное, то число 2 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 3, то
число 3 является общим делителем данных чисел. Если число
, то число 5 является общим делителем
данных чисел.
Ответ: 2, 3, 5.
C 6 № 484664. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k,
что числоp является общим делителем чисел
Решение.
Если
число p является
делителем
и
числа
,
.
то
оно
является
числа
. Но если число p является общим делителем чисел
оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа
также
и
делителем
и
, то
.
Аналогично получаем:
1) число p является общим делителем чисел
и
, значит, p является делителем числа
;
2) число p является общим делителем чисел
и
, значит, p является делителем числа
;
Число 105 имеет ровно три различных простых делителя — 3, 5 и 7. Остается проверить найдутся ли
такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 3, 5 и 7 является общим делителем
чисел
и
.
Если
, то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 5, то число 5 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 7, то число 7 является общим делителем данных
чисел.
Замечание. Последние два условия могут быть объединены в одно: если число k кратно 35, то числа 5 и 7
являются общими делителями данных чисел.
Ответ: 3, 5, 7.
C 6 № 484665. Найдите несократимую дробь
Решение.
Пусть
,
делитель чисел
и . Тогда
такую, что
.
,а
— наибольший общий
.
Число состоит из 2014 знаков, а число — из 2015 знаков, а значит,
личества разрядов. Более того, рассмотрим разность
и
состоят из одинакового ко-
По свойствам наибольшего общего делителя
Заметим, что
.
, значит, число
Поэтому
кратно числу
, и тогда
.
Ответ:
.
C 6 № 484666. Каждое из чисел 2, 3, ... , 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... , 21 и перед каждым из
полученных произведении произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в
итоге?
Решение.
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
.
2. Так как сумма оказалась нечетной, то чисто нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство
всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм
будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок:
.
Ответ: 1 и 4131.
C 6 № 484667. Найдите
нию
, где
Решение.
1. Так как
все
тройки
, то
и
натуральных
чисел k, m и n,
.
удовлетворяющие
.
2. Пусть
, тогда
, откуда
и
.
3. Пусть
, тогда
, откуда
и
.
4. Далее конечным перебором значений
находим все решения:
,
n
k
m
3
3
4
3
2
нет решений
3
1
нет решений
2
3
нет решений
уравне-
2
2
нет решений
2
1
3
1
3
нет решений
1
2
3
1
1
нет решений
Ответ:
.
C 6 № 484668. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а,
что дробь
Решение.
можно сократить на b.
Если целые числа
и
делятся на b, то целое число
также делится на b. Тогда число
тоже делится на b.
Тогда число
также делится на b.
Таким образом, искомое b — простой делитель числа 56, то есть 2 или 7. Осталось проверить, для каких
из найденных чисел можно подобрать а. Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби — четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2. Если а кратно 7, то числитель и знаменатель данной дроби
также кратны 7, поэтому дробь можно сократить на 7.
Ответ: 2, 7.
C 6 № 484669. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а,
что дробь
Решение.
Если целые числа
также делится на b.
Тогда число
тоже делится на b.
Тогда число
также делится на b.
можно сократить на b.
и
делятся на b, то целое число
Таким образом, искомое b — простой делитель числа 80, то есть 2 или 5. Осталось проверить, для каких
из найденных чисел можно подобрать а. Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби — четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2. Если а кратно 5, то числитель и знаменатель данной дроби
также кратны 5, поэтому дробь можно сократить на 5.
Ответ: 2, 5.
C 6 № 484670. Найдите все простые числа , для каждого из которых существует такое целое число ,
что дробь
Решение.
Если целые числа
сократима на
и
делятся на , то целое число
также делится на
Тогда число
тоже делится на
Тогда число
также делится на b. Таким образом, искомое b — простой делитель числа 72, то есть 2 или 3.
Осталось проверить для каких из найденных чисел можно подобрать .
Если нечётное, то числитель и знаменатель данной дроби четны, поэтому дробь можно сократить на 2.
Если кратно 3, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 3, поэтому дробь можно сократить на 3.
Ответ: 2, 3.
C 6 № 484671. На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна
количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому
— количество целых
чисел — делится на 7. По условию
поэтому
Таким образом, написано
49 чисел.
б) Приведём равенство
к виду
Так как
, получаем,
что
откуда
Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных.
в)
(оценка).
Подставим
в
правую
часть
равенства
откуда
Так
как
получаем:
,
то есть отрицательных чисел не более 22.
в) (пример). Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз написано
число 14, 22 раза написано число
и два раза написан 0. Тогда
творяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.
, удовле-
C 6 № 484672. На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое
всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна
количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
.
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому
чисел — делится на 6. По условию
, поэтому
— количество целых
.
Таким образом, написано 42 числа.
б) Приведём равенство
Так как
, получаем, что
положительных.
в) (оценка) Подставим
к виду
.
. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем
, откуда
в правую часть равенства
,
откуда
.
Так как
, получаем:
,
,
,
;
то есть положительных чисел не более 15.
в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано
число 6, 25 раз написано число −12 и два раза написан 0.
Тогда
указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи.
Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15.
C 6 № 484673. Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.
Решение.
Сумма чисел кратна их наибольшему общему делителю, поэтому их наибольший общий делитель является делителем числа 43, откуда следует, что он равен 1. Тогда наименьшее общее кратное этих чисел равно
их произведению. Обозначив искомые числа х и у, получаем систему
решая которую, получаем числа 40 и 3.
Ответ: 40 и 3.
C 6 № 485939.
Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами
210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
Решение.
а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв
и
полу-
чим
б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.
Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть
Но
где
и
— взаимно простые натуральные числа. Тогда:
Так как и взаимно просты,
— целое, поэтому
делится на
. Отсюда
а значит,
откуда
Так как
.
Поэтому
что противоречит требованию задачи.
Ответ: а) да. б) нет.
C 6 № 485960.
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют
либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
Решение.
а) Нет, поскольку
не делится на , а
не является квадратом натурального числа.
б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку
не делится на 3.
Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку
не является кубом натурального числа.
Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, то
эти числа:
но уравнение
не имеет целых корней.
Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую, то
эти числа:
и
где — натуральное число. Тогда последнее число должно равняться
но это не натуральное число.
в) Да, например,
Ответ: а) Нет, б) нет, в) да.
C 6 № 500005. На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо
вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске
(таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).
а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?
Решение.
а) Заметим, что каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходное число делится на 7,
в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7. А при сложении чисел, делящихся на 7, также получится число, делящееся на 7. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а
2012 на 7 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске.
б) Да, может. Пример: 7, 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14
(удвоенное число 7). Сумма полученных 5 чисел равна 63.
Замечание. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз.
в) Как было замечено в пункте а), все числа на доске будут делиться на 7. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нужно получить, то есть 784, на 7. От этого количество
операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число
112, начав с числа 1.
Заметим, что наибольшее число, которое может получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася
каждый раз будет удваивать текущее наибольшее число). Следовательно, если в первые 6 минут Вася каждый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 112 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 112 не получится.
В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно сложение вместо удвоения,
то при первом использовании сложения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в
полтора раза: действительно, в этом случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы
рассматриваем первый случай сложения, то есть до этого были только удвоения). Таким образом, даже если
в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно сложение (в некотором порядке), то наибольшее число,
которое может получиться, равно 96, что меньше 112.
Итак, за 7 минут число 112 получить невозможно.
Приведем пример, как его получить за 8 минут:
О т в е т : а) нет; б) да; в) 8 минут.
C 6 № 500011. На доске написано число 8. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо
вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске
(таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т. д.).
а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 72?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 832?
Решение.
а) Заметим, что каждое число на доске будет делиться на 8. Действительно, исходное число делится на 8,
в случае удвоения числа делящегося на 8, получится число, делящееся на 8. А при сложении чисел, делящихся на 8, также получится число, делящееся на 8. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 8, а
2012 на 8 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске.
б) Может. Пример: 8, 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8). Сумма полученных 5 чисел равна 72.
Замечание. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз.
в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 8. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 8 и то число, которое нужно получить, т.е. 832, на 8. От этого количество операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 104,
начав с числа 1.
Заметим, что наибольшее число, которое может получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася
каждый раз будет удваивать текущее наибольшее число). Следовательно, если в первые 6 минут Вася каждый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 104 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 104 не получится.
В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно сложение вместо удвоения,
то при первом использовании сложения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в
полтора раза: действительно, в этом случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы
рассматриваем первый случай сложения, то есть до этого были только удвоения). Таким образом, даже если
в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно сложение (в некотором порядке), то наибольшее число,
которое может получиться, равно
, что меньше 104.
Итак, за 7 минут число 104 получить невозможно. Приведем пример, как его получить за 8 минут:
1
1, 2
1, 2, 4
1, 2, 4, 8
1,2 , 4, 8, 16
1, 2, 4, 8, 16, 32
1,2,4,8,16,32,64 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,
96
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 96, 104
.
О т в е т : а) нет; б) да; в) 8 минут.
C 6 № 500017. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4,
-5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна
0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.
б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных
числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.
в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на
4.
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе
пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8).
О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4.
C 6 № 500023. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9.
Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из
чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм
перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна
0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.
б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных
числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.
в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на
4.
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе
пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8).
О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4.
C 6 № 500068. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см
(назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной
длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток
веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.
Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.
Рассмотрим моток веревки длиной
записывается в виде
см. Условие того, что его можно разрезать на
стандартных кусков,
или
а) В данном случае имеем
(неравенства строгие, поскольку среди кусков есть не-
равные). Пусть эту веревку можно разрезать на
ем
стандартных кусков, тогда При
получа-
т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска.
При
получаем
Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.
б) Отрезки
при
куски.
и
являющиеся решениями неравенств
и
имеют общие точки для всех при которых
то есть
Значит, любую веревку длиной
см или более можно разрезать на стандартные
Докажем, что веревку, длина которой больше
разрезать на стандартных кусков ни для какого При
чит условию
При
получаем
Таким образом, искомое число равно 3267.
см, но меньше
получаем
что противоречит
см, нельзя
что противореусловию
Ответ: а) 33; б) 3267.
C 6 № 500116. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Решение.
а) В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6.
б) В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4.
Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, состоящая не менее чем из пяти членов. Рассмотрим любые пять её последовательных членов. Разделим каждый член на наибольший общий делитель всех пяти членов. Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз, полученные числа , , , , также образуют арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи.
Заметим, что числа , , , , не могут все быть четными или все делиться на 3.
Если разность этой прогрессии делится на 3, то в ней не может быть члена, делящегося на 3 (иначе все
члены прогрессии делятся на 3), поэтому все члены прогрессии являются степенями двойки. Поскольку все
члены не могут быть четными, получаем, что среди них присутствует 1. Но в этом случае разность прогрессии нечётна, поэтому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует.
Пусть теперь разность прогрессии не делится на 3. Тогда если делится на 3, то члены
,
и
не делятся на 3, а
делится на 3. Аналогично, если делится на 3,
то из чисел , , , на 3 будет делиться только . Наконец, если делится на 3, то ни одно из чисел
, , , не делится на 3. Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки.
Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. Поэтому одно из этих
чисел - единица. Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в этом случае на 3
делится только , поскольку единица — один из двух последовательных членов прогрессии, являющихся
степенями
двойки.
Тогда , , , являются
степенями
двойки.
Разность
прогрессии
, значит, она чётна и все члены прогрессии чётны, чего не может быть.
Ответ: а) да; б) 4.
C 6 № 500136. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из
них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более
щихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более
посетивших кино.
от общего числа уча-
от общего числа учащихся группы,
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что
всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение.
а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино,
и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся
могло быть 9 мальчиков.
б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не
меньше
ку
вию.
, что больше
. Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, посколь-
но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит усло-
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 9.
в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки
наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или
только в кино.
Пусть в группе
мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек. Оценим
долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в
группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
По условию
значит,
Тогда
, поэтому доля девочек в группе:
Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и
9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна
.
Ответ: а) да: б) 9; в) .
C 6 № 500197. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по
крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Решение.
Обозначим суммы чисел в группах , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через . Можно считать, что
.
а) Чтобы число
есть
ны, она равна
равнялось , необходимо, чтобы каждая из разностей
. Сумма всех двенадцати чисел
, но 78 не делится на 4. Значит,
. С другой сторо.
б) Чтобы число равнялось , необходимо, чтобы все, кроме одной, разности
чит,
, но в этом случае каждая из сумм , не равна хотя бы одной из сумм
три разности
не равны
в) Выразим число
и число
явно через
,
не меньше . Значит,
,
,
:
равнялась , то
.
,
равнялись . Знапоэтому хотя бы
В предыдущих
или
нечётна, что неверно.
пунктах было показано, что
. Если
,
. В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна
Для следующего разбиения чисел на группы:
;
;
;
то
или
, то есть
— число
равно .
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
C 6 № 500217. Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит , эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое
слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит .
а) Может ли число быть равным ?
б) Может ли число быть больше
?
в) Найдите максимально возможное значение .
Решение.
a) Рассмотрим разбиение числа
на
пы в одной из них окажется не менее
не может быть равным .
б) Поскольку
слагаемых, равных
. При разделении этих слагаемых на две груп-
чисел, сумма которых равна
является суммой двух чисел, не больших
Рассмотрим разбиение числа
на
слагаемых, равных
две группы в одной из них окажется не менее
чит, не может быть больше
.
. Значит,
, получаем
. Пусть
.
. При разделении этих слагаемых на
чисел, сумма которых равна
. Зна-
в) Докажем, что число
удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление
в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих :
. Можно
считать, что слагаемые упорядочены по не возрастанию:
. Первую группу составим
из небольших слагаемых так, чтобы
. Вторую группу
составим из оставшихся слагаемых.
Пусть
.
В
этом
случае
и
.
Поэтому
,
и
.
Тогда
.
Полученное противоречие доказывает, что
пе
Таким образом, число
что ни одно из чисел
ние — это
.
. Поэтому сумма слагаемых во второй груп.
удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано,
не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значе-
Ответ: а) нет; б) нет; в)
.
C 6 № 500351. Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см
(назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной
длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток
веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.
Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.
Рассмотрим моток веревки длиной
записывается в виде
см. Условие того, что его можно разрезать на
стандартных кусков,
или
а) В данном случае имеем
равные). Пусть эту веревку можно разрезать на
(неравенства строгие, поскольку среди кусков есть нестандартных кусков, тогда При
получаем
т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска.
При
получаем
Значит, эту веревку можно разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков.
б) Отрезки
и
при
куски.
и
являющиеся решениями неравенств
имеют общие точки для всех при которых
то есть
Значит, любую веревку длиной
см или более можно разрезать на стандартные
Докажем, что веревку, длина которой больше
разрезать на стандартных кусков ни для какого При
речит условию
При
получаем
Таким образом, искомое число равно 2645.
см, но меньше
см, нельзя
получаем
что противочто противоречит условию
Ответ: а) 23; б) 2645.
C 6 № 500371. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из
них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более
щихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более
посетивших кино.
от общего числа уча-
от общего числа учащихся группы,
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что
всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение.
а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино,
и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся
могло быть 10 мальчиков.
б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило
не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не
меньше
ку
вию.
, что больше
. Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, посколь-
но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит усло-
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит,
наибольшее количество мальчиков в группе — 10.
в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки
наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или
только в кино.
Пусть в группе
мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек. Оценим
долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в
группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
По условию
значит,
Тогда
, поэтому доля девочек в группе:
Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и
8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна
.
Ответ: а) да: б) 10; в) .
C 6 № 500391. Число таково, что для любого представления в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое
слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.
а) Может ли число
быть равным 34?
б) Может ли число быть больше
в) Найдите максимально возможное значение
Решение.
a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных
При разделении этих слагаемых на две груп-
пы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна
не может быть равным 34.
Значит,
б) Поскольку
является суммой двух чисел, не больших 17, получаем
Рассмотрим разбиение числа
на 35 слагаемых, равных
Пусть
При разделении этих слагаемых на
две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна
чит,
Зна-
не может быть больше
в) Докажем, что число
удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представле-
ние
в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1:
. Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию:
. Первую группу составим из небольших слагаемых так, чтобы
. Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.
Пусть
.
и
Тогда
В
этом
.
Поэтому
,
и
.
.
Полученное противоречие доказывает, что
пе
. Поэтому сумма слагаемых во второй груп-
.
Таким образом, число
что ни одно из чисел
ние
случае
— это
удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано,
не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значе-
.
Ответ: а) нет; б) нет; в)
C 6 № 500412. В ряд выписаны числа: , , …,
ставляют знаки «+» и «−» и находят получившуюся сумму.
,
. Между ними произвольным образом рас-
Может ли такая сумма равняться:
а) 12, если
?
б) 0, если
?
в) 0, если
?
г) 5, если
?
Решение.
а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма:
.
б) Среди выписанных 50 чисел 25 чётных и 25 нечётных. Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться 0.
в) Заметим, что
. Значит, между 8
квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки
так, что полученная сумма будет равняться 0:
При
можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна 0.
г) Как и в предыдущем пункте, расставим знаки между 88 числами
чтобы их сумма равнялась 0. Перед
,
, ...,
,
таким образом,
поставим знак «+». При такой расстановке знаков сумма
равна
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.
C 6 № 500432. В ряд выписаны числа: , , …,
ставляют знаки «+» и «−» и находят получившуюся сумму.
,
. Между ними произвольным образом рас-
Может ли такая сумма равняться:
а) -4, если
?
б) 0, если
?
в) 0, если
?
г) -3, если
?
Решение.
а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма:
.
б) Среди выписанных 49 чисел 24 чётных и 25 нечётных. Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться 0.
в) Заметим, что
. Значит, между 8
квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки
так, что полученная сумма будет равняться 0:
При
можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна 0.
г) Как и в предыдущем пункте, расставим знаки между 88 числами
чтобы их сумма равнялась 0. Перед
,
, ...,
,
таким образом,
поставим знак «-». При такой расстановке знаков сумма
равна
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.
C 6 № 500452. Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки
переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3,
4, −5 , 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате
получиться?
Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна
0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.
б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных
числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.
в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на
4.
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе
пар чисел на карточках: (1;−2); (−2;1); (−3;4); (4;−3); (−5;7); (7;−5); (−8;9); (9;−8).
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
C 6 № 500472. Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки
переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3,
4, −5 , 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате
получиться?
Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна
0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.
б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных
числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.
в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на
4.
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе
пар чисел на карточках: (1;−2); (−2;1); (−3;4); (4;−3); (−5;7); (7;−5); (−8;9); (9;−8).
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
C 6 № 500478. Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по
крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Решение.
Обозначим суммы чисел в группах , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через . Можно считать, что
.
а) Чтобы число
есть
она равна
равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей
. Сумма всех двадцати чисел
, но 210 не делится на 4. Значит,
равнялась 0, то
. С другой стороны,
.
б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности
чит,
, но в этом случае каждая из сумм , не равна хотя бы одной из сумм
три разности
не равны 0 и число
в) Выразим число
В предыдущих
или
нечётна, что неверно.
явно через
,
не меньше 3. Значит,
,
,
,
равнялись 0. Знапоэтому хотя бы
.
:
пунктах было показано, что
. Если
,
. В этом случае сумма всех двадцати чисел равна
Для следующего разбиения чисел на группы:
— число равно 4.
;
то
или
;
, то есть
;
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
C 6 № 500820. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна
количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
а) Заметим, что в лувой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому
— количество целых чисел — делится на 4. По условию
поэтому
Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведем неравенство
к виду
Так как
получаем,
что
откуда
Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
воценка) Подставим
в правую часть равенства
откуда
Так как
получаем:
то есть положительных чисел не более 17.
впример) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25
раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда
творяет всем условиям задачи.
указанный набор удовле-
О т в е т : а) 44; б) отрицательных; в) 17.
C 6 № 500966. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:
−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.
Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел:
−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.
После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 117?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке на равна
0. Поэтому всё произведение не может равняться 0.
б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных
числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 117.
в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому все произведение делится на
4. Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, − это 4. Оно получается при следующем наборе
пар чисел на карточках:
(−11; 12), (12; −11), (13; −14), (−14; 13),
(−15; 17), (17; −15), ( −18; 19), (19; −18),
О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4.
C 6 № 500971. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами
Решение.
а) Да, например 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
б) Можно считать, что разность прогрессии положительна. Пусть разность имеет цифр. Тогда при переходе от какого-либо члена последовательности к следующему
-й разряд либо не меняется, либо увеличивается на 1. Так как цифра 9 запрещена, возможно не больше 8 переходов со сменой этого разряда.
Может случиться несколько членов подряд с одной и той же цифрой в
-м разряде. Назовём такие
члены группой. Всего таких групп не более 9. Обозначим длину группы
Найти наибольшую возможную длину группы. Так как -- -значное число, каждый переход, не меняющий
-й разряд, увеличивает -й разряд. И так ка цифра 9 запрещена в то числе в -м разряде, то таких
переходов подряд может быть не более 8. Следовательно,
, а в прогрессии не более
членов.
в) Если в прогрессии нет переходов со сменой
-го разряда, то членов прогрессии не больше 9.
Пусть такие переходы есть. Рассмотрим член прогрессии, стоящий перед таким переходом. Так как он не со-
держит 9, то его -значный "хвост" ( имеет остаток от деления на
нии d должен произойти переход через десяток в
) не больше
-м разряде. Следовательно,
Но при прибавле-
Рассмотрим такую группу членов прогрессии
Тогда -значные хвосты сами образуют арифметическую
стью:
Но
что
-й разряд не меняется.
прогрессию с той же разно-
следовательно
г) Пример нужно прогрессии дает прогрессия с первым членом 1 и разностью 125:
1
1001 2001 ... 8001
126 1126 2126 ... 8126
251 1251 2251 ... 8251
376 1376 2376 ... 8376
501 1501 2501 ... 8501
626 1626 2626 ... 8626
751 1751 2751 ... 8751
876 1876 2876 ... 8876
О т в е т : а) да; г) например, 1, 126, ... 8876.
C 6 № 501049. Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.
а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?
Решение.
а) Последовательность не может состоять из двух членов, так как уравнения x+(x+10)=257, x+6x=257 неразрешимы в целых числах. Последовательность может состоять из трёх членов, например, так:
19+114+124=257.
б) Сумма двух соседних чисел равна минимум 7; поскольку 257=36·7+5, будет самое большее 36 пар и
еще одно число. Но сумма может быть равна 7 только для пары 1+6, а если все пары такие, то добавить к ним
число 5 нельзя. А для остальных пар сумма равна минимум 12. Поэтому на самом деле 73 числа обеспечить
нельзя, а 72 числа можно в ситуации 1,6,1,6,1,6,...,1,6,1,11 ( пара 1,6 повторяется 35 раз).
О т в е т : а)3; б) 72.
C 6 № 501071. За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и
может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более
чем
от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более от общего
числа детей, евших конфеты.
а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25
детей?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что
всего за столом было 25 детей?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение.
а) Если за столом было 5 мальчиков, евших только бутерброды, 8 мальчиков, евших только конфеты, и
12 девочек, каждая из которых ела и то и другое, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 25 детей
могло быть 13 мальчиков.
б) Предположим, что мальчиков было 14 или больше. Тогда девочек было 11 или меньше. Пусть число
мальчиков, евших бутерброды равно m1. Тогда число
не больше , чем доля мальчиков, евших бутер-
броды среди всех детей, евших бутерброды, а это число не больше, чем
откуда
и, следова-
тельно,
Пусть m2— число мальчиков, евших конфеты. Аналогично,
откуда, учитывая,
что m2 число целое, находим:
Но тогда общее число мальчиков, евших хот что-то не больше, чем 5 +
7 = 12. Следовательно, по крайней мере, 2 мальчика ничего не ели, а это противоречит условию.
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 25 учащихся могло быть 13 мальчиков. Значит,
наибольшее количество мальчиков в группе — 13.
в) Предположим, что некоторый мальчик ел и конфеты, и бутерброды. Если бы вместо него было два
мальчика, один из которых ел только конфеты, а другой — только бутерброды, то доля мальчиков, евших
конфеты и доля мальчиков, евших бутерброды, остались бы прежними, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек можно считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды.
Пусть, как прежде, m1 мальчиков ели бутерброды, m2 ели конфеты, и всего было d девочек. Оценим долю
девочек. Будем считать, что каждая девочка ели и конфеты, и бутерброды, поскольку их доля в группе от
этого не изменится, а доля среди евших конфеты и доля среди евших бутерброды не станут меньше.
По условию
Тогда
значит
поэтому доля девочек равна
Осталось показать, что такая доля девочек действительно могла быть. Например, если из 70 детей 15
мальчиков ели только бутерброды, 22 мальчика ели только конфеты, и еще было 33 девочки, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено, а доля девочек в точности равна
О т в е т : а) да; б) 13; в)
C 6 № 501220. В стране Дельфиния установлена следующая система подоходного налога (денежная единица Дельфинии ― золотые):
Заработок (в золотых) Налог (в %)
1 — 100
1
101 — 400
20
Более 400
50
а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых. Как им выгоднее всего распределить эти деньги между
собой, чтобы в семье осталось как можно больше денег после налогообложения? При дележе каждый получает целое число золотых.
б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый
также получит целое число золотых?
Решение.
а) 1. Если один из братьев получит не более
золотых, то второй получит не менее
, но меньше
золотых. В этом случае первый брат заплатит налог
, а второй ―
. Следовательно, общая
сумма,
которая
останется
у
братьев
после
налогообложения,
не
превосходит
золотых.
2. Если каждый из них получит более
у них останется
золотых.
золотых, значит, они оба заплатят налог
, и тогда в сумме
3. Пусть один из них получит золотых, где
Тогда его брат получит
золотых,
причем это число будет больше
. Значит, первый брат заплатит налог
, а второй ―
. Таким образом, после налогообложения у них останется
золотых. Очевидно, что
чем больше , тем больше данная сумма. Значит, следует выбрать наибольшее возможное значение , то
есть
. В этом случае в семье останется
золотых, что больше, чем в первом и во втором случаях.
Ответ: 400 и 600.
б) Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется. Таким образом, можно решать равносильную задачу: распределить деньги между братьями так, чтобы
они в сумме заплатили как можно меньше.
1. Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых. В этом случае каждый из них заплатил налог
20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых.
2. Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых. Тогда он должен заплатить налог 50%, то
есть более 200 золотых. В этом случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых. Таким
образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее.
3. Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых. В этом случае остальные 900 золотых
нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше
450 золотых. Этот случай разобран в п.2.
Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каждый из них
получит от 101 до 400 золотых. При этом верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых,
каждое из которых лежит в указанном промежутке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268).
Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268).
C 6 № 501400. Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.
Решение.
а) Так как периметр равен 4000, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000. Известно, что
наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае,
если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 1000, что не противоречит
условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 1 000 000.
б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна
тогда другая сторона равна
В этом случае площадь прямоугольника
равна
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число
не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции
будет тем
меньше, чем дальше находится число от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при
а тогда площадь равна 1999. В этом случае условие также соблюдается, так как
число 1999 равно 199900% от числа 1.
в) Пусть ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна
скольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем:
По-
Так как и ― целые числа, то число 200 000 кратно числу
Заметим, что
так как
Следовательно, требуется найти все делители
числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как
то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5.
Возможны три случая:
1) Число
не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем
шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.
2) Число
делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида
в искомый промежуток попадает только число
В этом случае
а площадь равна 937 500.
3) Число
делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150
делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа 200 000. Если же
100 + n = 125, то a = 1600, а площадь равна 640 000.
Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.
C 6 № 501420. Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное
число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.
Решение.
а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если
он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию
(длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500.
б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат)
равна
тогда другая сторона равна
В этом случае площадь прямоугольника
равна
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а
число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции
будет
тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение
функции достигается при
а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так
как число 99 равно 9900% от числа 1.
в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна
скольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:
По-
Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 кратно a.
Заметим, что
так как
Следовательно, требуется найти все делители числа , меньшие 50.
Так как
то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители
лишь 2 и 5, причем каждый из этих сомножителей может быть в степени, не превосходящей 4.
Возможны три случая:
1) Число a не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. aможет принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99,
196, 384, 736 или 1344.
2) Число a делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в
этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или 2400.
3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.
Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.
C6 №72
Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое
обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.
Решение:
Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.
Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a=b=c=2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4
Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.
Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть,
скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4
Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4)
отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3
Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая
уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3)
ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.
Ответ:
(2,2,2) и (1,2,4)
Задание C6 №64
Условие:
Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел n, таких, что первая и последняя цифры
числа n^2 равны 1
Решение:
Последняя цифра квадрата - 1, значит последняя цифра самого числа - 9 либо 1.
100<=n<=999
10000<=n^2<999999
Если n^2 пятизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
10000<=n^2<=19999
100<=n<=141 => 101, 109, 111, 119, 121, 129, 131, 139, 141
Если n^2 шестизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
100000<=n^2<=199999
316<n<448
319,441 и пары 32x, 33x, 34x, 35x, 36x, 37x, 38x, 39x, 40x, 41x, 42x, 43x, где x - 1,9. Сумма
каждой пары даст 650, 670, ... , 870
Суммируем парами: 210+230+250+270+141=(по арифм. прогрессии)=141+960=1101
319+441+650+...+870=319+441+(650+870)/2*12=9120+319+441=9120+760=9880
Итого: 9880+1101=10981
Ответ:
10981
Задание C6 №61
Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее
число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?
Решение:
Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1^k1)*(p2^k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.
Например,
15 = (3^1)*(5^1)
72 = 8*9 = (2^3)*(3^2)
Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...
Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
N1 = (p1^k[1,1])*(p2^k[1,2])*...
N2 = (p1^k[2,1])*(p2^k[2,2])*...
...,
а это значит, что
P = (p1^(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2^(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,
и общее количество натуральных делителей числа P равно
(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...
Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются
последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1
= p, N2 = p^2, ... N11 = p^11.
То есть, например,
N1 = 2^1 = 2,
N2 = 2^2 = 4,
N3 = 2^3 = 8,
...
N11 = 2^11 = 2048.
Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.
Задание C6 №60
Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное и разделить их произведение на
пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял записанные рядом двузначное и
трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в
три раза больше истинного. Найдите все три числа.
Решение:
Пусть двузначное число - x, трехзначное - y, пятизначное - z.
По условию,
(1000x+y)/z = 3xy/z, то есть
1000x + y = 3*x*y
Раз правая часть этого равенства делится на x, то и левая должна делиться на x, то есть
y = k*x, где k - натуральное число.
1000x + kx = 3*k*x^2
1000 + k = 3*k*x
x = (1000+k)/3k
По условию, 10<=x<=99
(1000+k)/3k >= 10
29k <= 1000
k < 35
(1000+k)/3k <= 99
296k >= 1000
k>3
И еще нам известно, что 1000+k = 3*k*x, то есть (1000+k) делится на 3. Таких чисел между 3 и
35 десять штук:
5,8,11,14,17,20,23,26,29,32
Нам нужно найти среди них такие, что (1000+k) делится на k.
Без калькулятора - убиться веником. Короче, таких вариантов три:
1. k = 5, x = 67, y = 335
xy = 22445, и это единственное пятизначное число, на которое нацело делится и 22445, и
67335.
2. k = 8, x = 42, y = 336
xy = 14113, и это также единственное пятизначное число, на которое нацело делится и 14113, и
42336.
k = 20, x = 17, y = 340
xy = 5780, что противоречит условию.
Таким образом, у нас имеется два варианта:
67, 335 и 22445; 42, 336 и 14113
Задание C6 №45
Условие:
Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно
15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).
Решение:
Любое натуральное число n представимо в виде
n = p1k1·p2k2·... и т.д.,
где p1, p2 и т. д. — простые числа, а k1, k2 и т.д. — целые неотрицательные числа.
Причём общее количество натуральных делителей числа n равно
(k1+1)·(k2+1)· и т.д.
Раз по условию задачи число n заканчивается на 0, то оно делится как минимум на два простых
числа — 5 и 2, то есть представимо в виде
n = 2k1·5k2·... и т.д., где k1 > 0 и k2 > 0,
то есть число натуральных делителей числа n должно раскладываться как минимум на два
натуральных сомножителя, отличных от единицы.
Число 15 при таком условии раскладывается на множители всего двумя способами: 3·5 либо 5·3
Отсюда:
1) n = 2(3-1)·5(5-1) = 2500
2) n = 2(5-1)·5(3-1) = 400
Задание C6 №44
Условие:
Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида р 2-1, где р - простое число, большее 3, но
меньшее 2011.
Решение:
р2-1 = (p-1)(p+1)
Раз p - простое число, большее 3, то и (p-1), и (p+1) - чётные, то есть делятся на два. А из двух
последовательных чётных чисел одно из них делится на 4.
Кроме того, из трёх последовательных натуральных чисел (p-1), p, (p+1) ровно одно делится на
3. А раз p - простое, большее 3, то это либо (p-1), либо (p+1).
Значит, (p-1)(p+1) делится на (2*2*2*3) = 24.
Ответ:
24
Задание C6 №25
Условие:
Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел,
уменьшенное на 1. Чему может быть равно его произведение?
Решение:
Очень просто.
Произведение нескольких различных простых чисел может делиться только на эти же самые
простые числа и на единицу.
Это значит, что каждое из этих простых чисел, уменьшенное на единицу, является либо другим
простым числом из набора, либо произведением нескольких из них, либо единицей.
Единственное простое число, при уменьшении которого на единицу получается также простое
число - это 3.
А единственное простое число, при уменьшении которого на единицу получается единица, - это
2.
Так что, первый ответ - 2*3 = 6.
Следующий ответ может получиться, если предыдущий ответ, увеличенный на единицу, является
простым числом.
6+1 = 7 - это простое число, поэтому второй ответ - 2*3*7 = 42.
Следующим членом произведения может стать либо 2*7+1, либо 3*7+1, либо 2*3*7+1, если это
простые числа. 2*7+1=15, 3*7+1=22 - не простые.
2*3*7+1 = 43 - а вот это простое число (тут уж придется проверять, перебирая делители).
Значит, третий ответ - 2*3*7*43 = 1806.
Чтобы доказать, что больше таких чисел нет, надо убедиться, что
2*43+1, 3*43+1, 7*43+1, 2*3*43+1, 2*7*43+1, 3*7*43+1 и 2*3*7*43+1 - не простые числа.
Ответ:
6, 42, 1806
Задание C6 №41
Условие:
Наибольшее целое число, не превосходящее число х, равно
(x^2+6)/7
Найти все такие x.
Решение:
Значение функции f(x) = (x^2+6)/7 (линия красного цвета) не превышает значения x (линия
синего цвета) при x, принадлежащем отрезку [1;6] (это можно установить, решив неравенство
(x^2+6)/7 <= x).
Внутри этого отрезка функция f(x) принимает целые значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (это видно по
графику, но при решении лучше взять производную, убедиться, что на этом отрезке нет
экстремумов и вычислить значения f(x) на границах полученного отрезка, т.е. f(1) и f(6) ).
Значит, нужные нам значения x находятся из уравнений
f(x) = 1, f(x) = 2, и т.д., f(x) = 6
Но еще нам нужно убедиться, что значение f(x) - именно ближайшее целое число <= x, т.е.
между f(x) и x не затесалось больше ни одного целого числа. Для этого достаточно решить
неравенство
f(x)+1 <= x
(f(x)+1 - линия зелёного цвета на графике)
Убеждаемся, что оно решений не имеет, т.е. значение x всегда меньше f(x)+1.
Поэтому нам подходят все корни уравнений
f(x) = 1, f(x) = 2, и т.д., f(x) = 6, принадлежащие отрезку [1;6], т.е., соответственно,
1, 2*sqrt(2), sqrt(15), sqrt(22), sqrt(29) и 6
(sqrt - это квадратный корень, если что :)
Ответ:
1, 2*sqrt(2), sqrt(15), sqrt(22), sqrt(29), 6
Задание C6 №14
Условие:
Сколько целых чисел входит в решение системы неравенств
(x+2)(2-x)<(x+3)(4-x)
{
(3+x)/4 + (1-2x)/6 >= 1
Решение:
Раскрываем скобки в первом неравенстве, приводим подобные, остается
x > -8
Во втором неравенстве умножаем обе части на 12, приводим подобные, остается
x <= -1
И тому, и другому, удовлетворяют целые числа -7,-6,-5,-4,-3,-2 и -1.
Всего семь.
Ответ:
7
Задание C6 №3
Условие:
Найдите все натуральные числа, не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел,
отличных от 1.
Решение:
Каждое натуральное число может быть либо четным (2*k), либо нечетным (2*k+1).
1. Если число нечетное:
n = 2*k+1 = (k)+(k+1). Числа k и k+1 всегда взаимно простые
(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x-y| тоже должно делиться
на d. (k+1)-(k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство
взаимной простоты)
То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух
взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в
виде суммы натуральных, а 3 = 2+1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не
подходит по условию.
2. Если число четное:
n = 2*k
Тут придется рассмотреть два случая:
2.1. k - четное, т.е. представимое в виде k = 2*m.
Тогда n = 4*m = (2*m+1)+(2*m-1).
Числа (2*m+1) и (2*m-1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который
делится число (2*m+1)-(2*m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2*m+1 должно делиться на 2.
Этого не может быть, поэтому остается только 1.
Так мы доказали, что все числа вида 4*m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в
виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение - число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1+3, но
единица в качестве слагаемого нам по-прежнему не подходит.
2.1. k - нечетное, т.е. представимое в виде k = 2*m-1.
Тогда n = 2*(2*m-1) = 4*m-2 = (2*m-3)+(2*m+1)
Числа (2*m-3) и (2*m+1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть
либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2*m+1) - число нечетное, и ни на 2,
ни на 4 делиться не может.
Так мы доказали, что все числа вида 4*m-2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут
быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения - числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару
взаимно простых равно единице.
Ответ:
1,2,3,4,6
Задача. Решите в натуральных числах уравнение
Решение. Как указано в инструкциях по решению задач на едином государственном экзамене,
экзаменующийся может воспользоваться любым известным фактом или теоремой. Но здесь возникает
щепетильный вопрос, знает ли о них член комиссии, прописывающий соответствующее количество баллов,
если в контрольно измерительных материалах приведено другое решение. Вопрос становится актуальным,
поскольку высоко квалифицированные эксперты, составляющие данные материалы допускают ошибки.
К примеру, в решении приведенной выше задачи можно было бы довольствоваться следующими
рассуждениями:
1. Имеется очевидное решение x=2 представляющее собой факт из планиметрии о египетском треугольнике
(прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5), легко проверяемый непосредственно подстановкой.
2. Других решений нет. И действительно, значение x==1 уравнению не удовлетворяет, в то время как из не
так давно доказанной Великой теоремы Ферма о том, что для целых уравнение
Материал сайта http://mathsege.ru
в целых числах не разрешимо, немедленно следует, что и другие числа, отличные от 2, в решении заданного
в данной задаче, отсутствуют.
Но
такое решение может показаться экзаменационной комиссии необычным настолько, что она может
обнулить его оценку. И это весьма вероятно, поскольку иногда эксперты допускают, что диаметр описанной
около треугольника окружности может быть меньше стороны треугольника. И тем более такому
экзаменатору не так давно установленный факт превращения гипотезы Пьера Ферма в теорему может
оказаться неизвестным, поскольку в школе он еще освещался не как доказанное утверждение (теорема), а
как предложение ученого, сформулированное на полях арифметики Диофанта в 1637 году.
Вследствие изложенного выше придется предпринять кое-что более доступное для комиссии, а именно:
провести математический эксперимент и показать, что корень заданного уравнения должен быть четным
числом, и затем вспомнить про бином Ньютона
Математический эксперимент заключается в вычислении остатков от деления на 4 от обеих частей
уравнения. В результате получается уравнение
показывающее, что в действительности неизвестное число должно быть четным числом
Тогда исходное уравнение
в качестве решения может иметь только одно число m=1, поскольку для любого другого числа, как следует
из вышеприведенной формулы бинома, должно наблюдаться неравенство
В результате получается ответ с единственным решением
Задание Группа учеников посетила театр и кино, причем каждый что-то посетил (кто-то мог посетить и кино
и театр). Известно, что в театре мальчиков было не более 2/11 от числа посетивших театр. В кино
мальчиков было не более 2/5 от числа посетивших кино.
а) Может ли мальчиков быть 9, если всего в группе 20 человек?
б) Какое наибольшее число мальчиков возможно при численности группы в 20 человек?
в) Какая наименьшая часть девочек от всей группы возможна, если не принимать во внимание условия
пунктов а) и б)?
Решение. Прежде всего, содержание задания следует перевести на математический язык, т.е. выразить его
в терминах неизвестных параметров и уравнений или неравенств между ними. Так если за
символами b и g закрепить количество мальчиков и девочек соответственно, то должно выполняться
условие
Материал сайта http://mathsege.ru
где индекс t соответствует походу учеников в театр, а c – в кино, или более определенно,
bt и bc – количество мальчиков, посетивших только кино или театр, в то время как bct – количество
мальчиков, посетивших и кино и театр. Аналогичные определения приняты и для девочек. Ясно, что все
приведенные переменные определяются в целых числах.
Справедливость равенств можно пояснить: если в зависимости от поведения мальчиков или девочек каждого
из них пометить символами, соответствующими их индексу c и/или t, то количество мальчиков и девочек не
будет зависеть от того, какими символами они будут помечены.
Тогда в указанных терминах легко формализуются оба условия поведения учеников
Вследствие установленных условий сохранения количество переменных в неравенствах можно сократить
и упростить
Прежде чем приступать к вычислению ответов на поставленные вопросы, желательно бросить на них общий
поверхностный взгляд и заметить, что первый и второй вопросы связаны. И возможно с целью сохранения
времени на решение задания следует приступить к вычислению ответа на второй вопрос. А ответ на первый
вопрос может последовать почти автоматически.
Ясно, что ответы на поставленные вопросы связаны с выбором стратегии поведения мальчиков и девочек из
группы. И занимательно, вокруг какой стратегии поведения обыгрываются вопросы. Следует ли из ответов
на вопросы, что девочки более дисциплинированны и исполнительны. Дали указание, что надо посетить
кино или театр, и можно сделать прогноз, что все девочки посетят и кино и театр, в то время как все
мальчики посетят только или кино или театр. А может быть, составители задачи подметили, что стратегия
поведения в юношеском возрасте определяется гендерной особенностью логического мышления.
б) Анализируется исходная упрощенная система неравенств с подстановкой
Тогда систем неравенств
после ее упрощения свидетельствует
что максимальное количество мальчиков получается, если девочки будут крайне дисциплинированны и все
посетят и театр и кино, т.е.
Следовательно, осталось проанализировать возможную стратегию поведения мальчиков
При этом ясно, что
Очевидно также, что для обеспечения максимальных значений левых частей неравенств необходимо
установить максимальные значения их правых частей. Достижение такой цели способствует стратегия
поведения мальчиков, хотя и выполняющая условия поведения, самая минимальная, когда ни один из
мальчиков не посещает одновременно и театр и кино, т.е. стратегия
Получающиеся при таком поведении неравенства
можно решить графически, основываясь на том, что прямая линия делит плоскость на две полуплоскости и
что выбор искомой полуплоскости, соответствующей неравенству, определяется подстановкой точки с
координатами (0,0). Первое неравенство соответствует полуплоскости с зеленой границей, второе
неравенство – полуплоскости с синей границей. Обе выделенные полуплоскости содержат точку начала
координат, и она находится среди решений системы неравенств.
Решение системы неравенств соответствует пересечению
полуплоскостей, ограниченное неотрицательными значениями ординаты и абсциссы.
Рассматривая область решения, в ней можно заметить единственную точку (2,9)
с целочисленными координатами и максимальным значением ординаты, содержательная интерпретация
которой соответствует максимальному количеству мальчиков в группе и максимальное количество
реализуется при посещении двумя мальчиками театра и при посещении оставшимися семью мальчиками
кино.
На экзамене трудно точно воспроизвести приведенный рисунок, но графический образ представить
несложно. И снятые с рисунка решения следует проверять вычислениями. В частности, из системы
неравенств легко выводится следствие
численно подтверждающее максимально возможное количество мальчиков. При этом максимальное
значение
определяет ординату точки пересечения двух прямых, изображенных на сопровождающем рисунке.
а) Как и предполагалось, ответ на первый вопрос получился автоматически – да.
в)Последний вопрос рассматриваемой задачи в Сети появлялся в двух вариантах.
В одном из них требовалось найти возможную наибольшую долю девочек или, очевидно, что то же самое,
возможную наименьшую долю мальчиков. Для ответа на него резонно поставить легко проверяемый вопрос,
на который не потребуется много времени. А был ли мальчик? Резонность вопроса заключается в том, что в
условии задачи не указано, что в группе должен присутствовать, хотя бы один мальчик. Проверка
осуществляется подстановкой значений
в первоначальную систему неравенств
что с крайней очевидностью показывает, что максимальная доля девочек в группе достигается, когда в ней
отсутствуют мальчики.
Ответ на вопрос вычисления минимальной доли девочек связан с вычислением максимальной доли
мальчиков. И при ответе на данный вопрос можно сослаться на сопровождающий рисунок и заметить, что
выбор количества учащихся в группе вызывает изменение масштаба по оси абсцисс и по оси ординат,
сохраняя при этом подобие областей решения неравенств. Тогда чтобы перейти от группы с 20 учащимися к
группе с некоторым числом учащихся m, достаточно воспользоваться коэффициентом подобия
где bm — возможное количество мальчиков в группе из m учащихся.
Последнее означает, что минимальная доля девочек составляет число
и она в точности достигается при любой численности m группы учащихся, кратной 17.
В результате по заданию выписывается ответ:
а)да. б)9, в)9/17
Задание. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки
переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3,
4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм
перемножают.
а)Может ли в результате получиться 0?
б)Может ли в результате получиться 1?
в)Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Решение. Задание обладает особенностью, предполагающей обращение к эксперименту, предварительному
построению математической модели этого эксперимента и выявлению и применению некоторых общих
правил (выводов). Причем последние, может быть, в задачах школьной математики и не встречались, но
они доступны для своего построения.
В данном случае рабочим материалом являются неким образом подобранные числа. Результатом
эксперимента должно быть некоторое произведение десяти чисел sij, представляющих собой суммы чисел,
записанных на одной стороне карточки с номером i и на другой стороне этой же карточки, оказавшейся
выбранной после перемешивания в порядке номера j. Это означает, что в основу математической модели
следует положить матрицу (прямоугольную таблицу) указанных чисел и порядок выбора чисел из матрицы с
целью построения из произведения.
Материал сайта http://mathsege.ru
Ясно, что числа в матрице должно удовлетворять равенству
поскольку, если одна и та же карточка в одном эксперименте в первоначальном порядке окажется с
номером j и после перемешивания для нее достанется номер i, то на ней сумма чисел на обеих сторонах
останется той же самой, как если бы поменять местами порядки до и после перемешивания карточек.
Другими словами, если в одном эксперименте одна сторона карточки примет номер i, а другая сторона ее
получит номер j, и если в другом эксперименте рассматриваемые номера поменяются местами, то сумма
чисел на карточке сохранится. При другой операции, скажем, вычитании чисел, разность их сменит знак,
сохраняя абсолютную величину результата.
Свойство симметрии чисел в таблице почти в два раза уменьшает время построения таблицы, что является
важным в условиях ограниченности времени на экзамене.
Для ответа на первый вопрос достаточно, чтобы в произведении чисел, выбранных из таблицы и только из
нее, присутствовал хотя бы один нуль. Ответ на второй вопрос положителен, если в произведении все 10
чисел оказываются единицами, причем число отрицательных единиц должно быть четным. Ответ на третий
вопрос зависит от того, сколько единиц удастся выбрать. Ясно, что если ответ на один из первых двух
вопросов положителен, то автоматически получается ответ и на второй вопрос. Дополнительно следует
отметить, что если в качестве ответа на последний вопрос оказывается простое число, то произведение
должно содержать ровно девять единиц. Если же искомое число – составное, то количество единиц в
произведении десяти чисел должно быть связано с количеством сомножителей получающегося числа.
После обсуждения некоторых общих свойств таблицы можно приступить к ее построению и постановке
эксперимента для ответа на более трудные вопросы.
1
-2 -3
2
1
-1 -2
-2 -1 -4 -5
-3 -2 -5 -6
5
2
1
4
-5 -4 -7 -8
8
5
4
7
-8 -7 -10 -11
6
9 10 7
7
10 11 8
-11 -10 -13 -14
4 -5 7 -8 9 10 -11
5 -4 8 -7 10 11 -10
2 -7 5 -10 7 8 -13
1 -8 4 -11 6 7 -14
8 -1 11 -4 13 14 -7
-1 -10 2 -13 4 -5 -16
11 2 14 -1 16 17 -4
-4 -13 -1 -16 1 2 -19
13 4 16 1 18 19 -2
15 5 17 2 19 20 -1
-7 -16 -4 -19 -2 -1 -22
Диагональ таблицы закрашена в серый цвет. В таблице вычисляются числа в левом нижнем от диагонали
углу. Все числа выше диагонали копируются вследствие симметрии таблицы.
Ясно, что возможная реализация набора сомножителей состоит в выборе одного числа из каждой строки и
каждого столбца. Тогда в каждом выборе получается как раз 10 чисел, которые следует перемножить.
a)Таблица наглядно показывает, что в ней отсутствуют нули. Поэтому ни одно из произведений каждого
набора не может быть нулем.
б)Для того, чтобы существовала комбинация, в которой произведение чисел было равно 1, необходимо,
чтобы в каждой строке или столбце существовала 1 или -1. А поскольку в некоторых строках или столбцах,
как например в первом столбце и первой строке, присутствуют единственные отрицательные единицы, то в
выборке их количество должно быть четным. Поскольку отрицательные и положительные единицы
сосредоточены около главной диагонали, то удобно выбор производить в порядке сверху вниз и слева
направо, причем выбирая только те ячейки таблицы, в которых единичка оказывается единственной в строке
или в столбце. Выбранная ячейка закрашивается в зеленый цвет и занимает и столбец и строку.
Оказались закрашенными 8 ячеек. Для крайних зеленых ячеек альтернативы отсутствуют. Для внутренних
четырех зеленых ячеек существуют альтернативы в строке или столбце. Но они количество единичек не
добавляют. Свободными остаются две строки и два столбца, пересечие их закрашено в желтый цвет. В
ячейках единички отсутствуют. Следовательно, произведение чисел, представляющих суммы на обех
сторонах 10 карточек, не может быть единицей.
в)Поскольку максимальное число единиц может быть только 8, то минимальное произведение с восемью
единичными сомножителями, может быть только составным и состоящим из не менее двух сомножителей. И
таким числом может быть число 4, которое в действительности реализуется, поскольку в четырех желтых
ячейках по диагонали, представляющих свободные строки истолбцы, стоят две двойки, каждая из которых
занимает свободную строку и свободный столбец.
В результате выполнение задания приводит к ответу
a)нет, б)нет, в)4.
Задание С6. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно
720, и
a)пять;
б)четыре;
в)три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Решение. Исходное число нетрудно разложить на простые множители
Без нарушения общности можно предположить, что первые числа из сомножителей b1,b2,b3,b4,b5,
составляющих в произведении исходное число 720, являются членами одной геометрической прогрессии,
поскольку при перестановке сомножителей их произведение сохраняется. Поскольку все числа различные,
то знаменатель возможной прогрессии отличен от 1
Материал сайта http://mathsege.ru
Кроме того, перестановкой сомножителей можно установить возможную прогрессию возрастающей
Ясно, что знаменатель возможной прогрессии может быть некоторым рациональным числом в виде
несократимой дроби
если члены прогрессии – натуральные числа. Откуда вследствие
можно утверждать справедливость неравенства
а) Если все 5 сомножителей образуют геометрическую прогрессию с некоторым знаменателем q, то
и, следовательно, в данном случае должно выполняться равенство
показывающее, что исходное число
должно быть 5-ой степенью некоторого натурального числа, что невозможно, хотя бы потому, что
б) В случае наличия первых четырех членов геометрической прогрессии
при более тщательном анализе выражения
в правой его части замечается присутствие натурального сомножителя в шестой степени, отличного от 1, в
то время как в левой части все множители имеют меньшую степень, а число n по построению является
взаимно простым с рассматриваемым множителем. Поэтому ответ на второй вопрос также оказывается
отрицательным.
в) Оставшийся случай приводит к анализу выражения
показывающему, что в левой части следует выделить множитель, степени не ниже третьей. Таким
свойством обладает лишь первый множитель. Тогда если положить
то новое равенство
позволяет выбрать значения и для оставшихся сомножителей. Например:
В результате, получается ответ на поставленную задачу: а)нет, б)нет, в)да.
Задание С6 (Варианты 207-218). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.
Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в r раз больше, либо в r раз меньше
предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна R.
а)Может последовательность состоять из двух членов?
б)Может ли последовательность состоять из трех членов?
в)Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
В частности, вариант с кодами 207 и 208 предлагает значения r=8,R=2618. Другие задачи
раздела С6 приведены в таблицах на отдельной странице.
Решение. Ясно, что члены конечной последовательности не являются членами ни геометрической и ни
арифметической прогрессии. В этом и состоит некий барьер в понимании условия задачи, поскольку курс
математики в средней школе заточен именно на эти прогрессии, как будто других числовых
последовательностей и не существует.
Лишь одно понимание условия задачи почти гарантирует получение одного балла, поскольку достаточно
просто выводится ответ на первый вопрос. И действительно, первыми двумя членами последовательности
могут быть только два числа
Материал сайта http://mathsege.ru
или
Тогда составляя их сумму, сразу возникает уравнение
в целых числах относительно неизвестного a. В частности, для r=8,R=2618 уравнение
в целых числах не разрешимо, поскольку по признаку делимости, а именно: сумма цифр
на 9 не делится нацело, следовательно, и число 2618 на 9 не делится.
Ответ на второй вопрос требует определения возможных комбинаций из трех чисел
и выбора одной из них, где сумма их допустима, т.е. существует целочисленное решение хотя бы одного из
уравнений
относительно неизвестного целого числа a. В частности, для приведенных выше значений среди уравнений
лишь последнее имеет целочисленное решение a=154. Тем не менее, ответ на второй вопрос положителен,
поскольку установлена последовательность трех чисел
для которой сумма их допустима. Таким образом, зарабатывается еще один балл.
Ясно, что наибольшее количество членов последовательности возникнет, если в их представлении
степень rминимальна, т.е. если имеет место последовательность
или
Нетрудно установить, что указанные последовательности существуют, если разрешимо соответствующее
каждой их них уравнение
где k- количество полных пар
в рассматриваемых последовательностях. Ясно, что максимальное количество членов возникает в случае
минимального значения целого числа a. И также ясно, что первая последовательность существует, если
возможен случай из двух чисел, уже рассмотренный при анализе ответа на первый вопрос.
В рассматриваемом примере r=8,R=2618, первая последовательность вследствие последнего предложения не
рассматривается. Анализируя оставшиеся два уравнения
можно заметить, что второе уравнение имеет решение
в то время как первое уравнение при a=1 целочисленным решением не обладает. Следовательно,
максимально возможное количество членов последовательности
Задание C6. Число N равно произведению 10 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее
число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число N?
Решение. Так как в заданиях по разделу С6 встречаются абсолютно аналогичные задачи, но с другим
количеством различных натуральны чисел в произведении исходного числа N, то разумно здесь не
ограничиваться десятью числами и рассматривать, что исходное число представлено n различными
натуральными числами.
Как известно, любое натуральное число можно разложить на простые множители, т.е. представить его в
виде произведения
где ai – натуральные числа, а числа p1<p2<…<pk – простые. Количество всех различных делителей такого
числа легко устанавливается
Материал сайта http://mathsege.ru
Вследствие расширенного условия задачи исходное натуральное число имеет n различных сомножителей
где каждое из них в свою очередь также может быть представлено разложением в терминах степеней тех же
простых чисел
с той лишь разницей, что некоторые из показателей aij могут оказаться нулевыми. Ясно, что показатели
разложения исходного числа N и показатели разложений его сомножителей bi связаны условиями
сохранения
Для того, чтобы понять, какими свойствами должно обладать исходное число, рекомендуется
проанализировать в каком-то смысле два характерных случая, когда исходное число оказывается
произведением n простых чисел, т.е.
и все различные множители исходного числа оказываются различными степенями одного простого числа,
т.е.
Тогда первый случай в условиях сохранения ненулевыми элементами оказываются только диагональные и
все они становятся единичными. Формула количества всех различных делителей приводит к результату
Второй случай оставляет в условиях сохранения лишь первую строку и
Сравнение выбора двух структур сомножителей явно свидетельствует в пользу второй для n>2.
Осталось показать, что именно выбор такой структуры исходного числа приводит к минимально возможному
числу различных делителей.
В сети это доказательство либо опускается, что приводит даже при правильном ответе к потере 3 баллов из
4 возможных, либо выполняется путем перечисления всех возможных комбинаций сомножителей для
конкретно заданного количества сомножителей n. Последнее не только утомительно, но с большой
вероятностью приводит к вычислительной ошибке.
Здесь уместно следовать методу математической индукции.
Пусть для начала задано 3 сомножителя b1,b2 и b3. И здесь перечислить все возможные делители нетрудно,
если предварительно сомножители упорядочить
И действительно, справедлива цепочка неравенств
показывающая, с одной стороны, что все выписанные члены в ней являются различными делителями
исходного числа, и, с другой, что количество членов совпадает с числом
Для случая четырех упорядоченных сомножителей b1<b2<b3<b4 рассматриваемая цепочка продолжается
четырьмя членами
в действительности свидетельствующими о справедливости формулы
Теперь уже ясно, как добавляется очередная цепочка делителей, и в случае добавления n-ого сомножителя
появляется n новых делителей, вследствие чего и устанавливается справедливость формулы
Возвращаясь к исходной формулировке задачи, сразу получается ответ
Задание С6. На доске написано более 45, но менее 55 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел
равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 10, а среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно -5
а)Сколько чисел написано на доске?
б)Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?
Материал сайта http://mathsege.ru
в)Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Другие варианты задания С6, предложенные в 2011 приведены на странице. Все они одного типа и
отличаются лишь значениями числовых параметров.
Решение. Здесь предлагается подход, общий для всех заданий С6 ЕГЭ от 6 июня 2011 года из группы
вариантов с кодами 101-124, по крайней мере, в формализации задачи.
Итак, пусть на доске написано m чисел, причем известно, что m1<m<m2. И среди написанных чисел
имеется n отрицательных и p положительных, а остальные – нули.
Ясно, что сумма всех написанных чисел равна алгебраической сумме всех положительных чисел и всех
отрицательных чисел. Этот факт условие задачи предлагает выразить через среднее
арифметическое M всех чисел, среднее арифметическое P положительных и среднее
арифметическое N отрицательных чисел, т.е. неявно устанавливает равенство
Количество z нулей входит в общее количество чисел, т.е.
Поскольку среднее арифметическое нулей равно нулю, то в правой части равенства оно опущено.
Во всех заданиях основного потока средние арифметические указаны целыми числами. В результате,
получается два уравнения с целыми коэффициентами относительно четырех неизвестных целых
чисел m,p,n,z.Дополнительные ограничения на общее количество чисел позволяет справиться с ответами на
поставленные вопросы.
И действительно, рассматривая первое уравнение в условиях рассматриваемой задачи
можно заметить, что правая часть уравнения содержит множитель 5. Тогда левая часть должна делиться
тоже на 5. Последнее возможно лишь, если число m кратно 5. Но среди чисел
найдется лишь одно такое число
обеспечивающее ответ на первый вопрос.
Ответ на второй вопрос, каких чисел больше – положительных или отрицательных, появляется после учета
ответа на первый вопрос. Для этого выполняются следующие действия:

выполняется подстановка результата в исследуемое уравнение, освобождая его от одного
неизвестного

из условия возможного присутствия одного или нескольких нулей
формально из второго уравнения строится неравенство

из неравенства, обе части которого предварительно умножаются 3, по частям вычитается последнее
равенство

результат приводится к виду, удобному для интерпретации
Приведенный результат показывает, что положительных чисел больше, чем отрицательных.
При ответе на третий вопрос возможны нюансы.
Так, если снова обратиться к той же системе
и в ней исключить число положительных чисел, то возникнет неравенство с недостижимой верхней
границей. Действительно, если обе части неравенства умножить на 2 и из обеих частей полученного
неравенства по частям, то получившееся неравенство
показывает верхнюю границу
Для нее количество положительных чисел вследствие
может быть только 27, и, следовательно, нули исключаются. Но данный набор не существует, поскольку он
не обеспечивают целое среднее арифметическое
Следовательно, надо выбирать количество отрицательных чисел на единицу меньшее
Соответствующее ограничение на количество положительных чисел
и выбор 26 положительных чисел двух нулей в действительности обеспечивают целое их среднее
арифметическое
Достижимая граница 22 в действительности реализуется, если в рассматриваемой системе исключить не
количество положительных чисел p, а запрашиваемое количество отрицательных чисел n. В результате из
полученного неравенства
выводится ограничение на количество положительных чисел
Осталось воспользоваться полученным ограничением при ответе на второй вопрос
что и подтверждает выбранное раннее максимально допустимое число отрицательных чисел.
Задание С6. (Вариант с кодом 901.) Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное
в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.
Решение. Если числа a и b – натуральные, то по условию задачи сразу формируется первое уравнение
Поскольку между наибольшим общим делителем d=НОД(a,b) данных чисел и их наименьшим общим
кратнымK=НОК(a,b) существует равенство
то условие задачи позволяет записать второе уравнение
Материал сайта http://mathsege.ru
обеспечивающее исключение из решения наименьшего общего кратного. В результате возникает система
двух уравнений относительно трех неизвестных
Если удается подметить, что число 43 является простым, то, поскольку общий делитель d должен быть и
делителем этого простого числа, сразу следует вывод о том, что d=1, и система уравнений существенно
упрощается.
Если же в условиях экзамена последнее останется незамеченным, то можно выполнить подстановку
во второе уравнение
и получится квадратное уравнение относительно одного из чисел с дискриминантом
который должен быть квадратом рационального числа. Выбор параметра d здесь небольшой, и как
показывают ограничения
оказывается и единственным, совпадающим с вышеупомянутым значением. И в действительности при d=1
дискриминант становится полным квадратом
В результате вычисляются решения
и получается ответ, что искомыми числами оказываются 3 и 40.
Задание
Натуральные числа a, b, c образуют возрастающую арифметическую прогрессию,причем все
они больше 1000 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное,
при указанных условиях, значение b.
Решение.
Пусть
Тогда
.
Положим
.
Значит, числа p,q - одинаковой четности, а так как
то
,
.
Значит,
При этих условиях необходимо найти минимум
Так как
, то
Далее перебираем случаи:
Значит, наименьшее значение
Ответ: 2500.
, при этом
.
Назовем кусок веревки стандартным, если длина не меньше 168 см, но не больше 175 см.
а) Некоторый моток веревки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной
длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот
же моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см,
можно разрезать на стандартные куски.
Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое
из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое
слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.
а) Может ли число S быть равным 38?
б) Может ли число S быть больше 37,05?
в) Найдите максимальное возможное значение S.
В ряд выписаны числа: 12, 22, ... (N-1)2, N2. Между ними произвольным образом расставляют знаки "+" и "-" и
находят получившуюся сумму.
Может ли такая сумма равняться:
а) 4, если N=12?
б) 0, если N=69?
в) 0, если N=64?
г) 5, если N=90?
Задача. Решите в натуральных числах уравнение
Задача
Задача
Задание
Опечатка. В 5-й строке ниже вместо p > 8 должно быть p > 1.
Пример
Решите
Натуральные
При каком
Комментарии. Поясним, откуда берутся формулы для подсчета числа делителей в случаях
а), б) и в).
а) Если некоторое число имеет один простой делитель m кратности k, то оно делится на
каждое из чисел 1, m1, m2, … , m k, т. е. это число имеет k + 1 делителей.
б) Если некоторое число имеет t простых делителей первой кратности m1, m2, ..., mt, то оно
делится на
1, m1, m2, ..., mt,
m1m2, m1m3, ..., m1mt,
m1m2m3, ..., m1m2, …,
m1m2m3…mt.
в) Если простые делители m и n некоторого числа имеют кратности a и b, то это число
делится на каждое из чисел, записанных в следующих двух строках
1, m1, m2, … , m a,
1, n1, n 2, … , n b,
а также на все возможные произведения чисел, взятых по одному из каждой строки. Так как
в первой строке a + 1 число, а во второй — b + 1 число, то всего делителей p = (a + 1)(b + 1).
У натурального числа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа