close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Контрольная работа
«Векторная алгебра»
Aa1, a 2 , a3  и Bb1, b2 , b3 , то координаты


вектора a  ABb1  a1; b2  a 2 ; b3  a 3  ax; y; z.
 


Разложение этого вектора по ортам i , j, k : a  x  i  y  j  z  k.
Если известны координаты точек
Длина вектора находится по формуле а  x 2  y2  z 2 , а направляющие косинусы
равны cos 
x
,
а
cos 
y
z
, cos   . Орт вектора a o  cos; cos; cos.
а
а
Пример 8. Даны точки A1; 7; 0, B5; 7; 3, C7; 6; 5.
  

Разложить вектор a  AC  BC по ортам i , j, k и найти его длину, направляющие

косинусы, орт вектора a . Найдем координаты векторов:
AC7  1; 6  7; 5  0  AC6;  1; 5 и BC7  5; 6  7; 5  3 BC2;  1; 2.



Вектор a  AC   BC  a6  2;  1   1; 5  2 a4; 0; 3,

a  42  0  32  25  5,
4
3 0 4
3
cos  , cos  0, cos  , a 
 ; 0; .
5
5
5
5

Контрольные варианты к задаче 8. Даны точки А, В и С. Разложить вектор a по

ортам i, j, k . Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора a .
1. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,
2. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,
A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,

a  AC  AB.
4. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1;5,
5. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,
6. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,
7. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,
8. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,

a  AC  BC.
3.
.

a  AC  AB.

a  AB  CB.

a  CB  AC.

a  CA  CB.

a  AB  CB.
9. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,

a  AB  CA.

a  CB  AB.
10. A1; 2;  1, B1; 3; 4, C0; 1; 5,

a  CB  AC.
11. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
12. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,

a  AB  BC.

a  AB  CB.
13. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
14. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
15. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
16. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
17. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
18. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
19. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
20. A4; 1; 0, B2;  2; 1, C6; 3; 1,
21. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0, C3;  2; 1,
22. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0,

a  AB  AC.

a  CB  AC.

a  AC  AB.

a  CA  CB.

a  AB  CB.

a  CB  AB.

a  AB  CA.

a  CB  AC.

a  AC  BC.
C3;  2; 1,
23. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0, C3;  2; 1,

a  AB  AC.
24. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0,
C3;  2; 1,
25. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0, C3;  2; 1,

a  AC  AB.

a  AB  CB.

a  AB  CA.

a CA  CB.
28. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0,
C3;  2; 1,
29. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0, C3;  2; 1,

a CB  AC.
26. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0,
C3;  2; 1,
27. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0, C3;  2; 1,

a  AB  CB.

a CB  AB.
30. A 1;  2; 4, B 4;  2; 0,
C3;  2; 1,

a CB  AC.

Задача 9. Если даны векторы a a1; a 2 ; a 3  и bb1; b2 ; b3 , то
a  b  a1  b1  a 2  b2  a 3  b3 .
 


ab

a
b
Тогда cos a, b    ; проекция вектора b на направление вектора a прa b 
,
a  b
a
условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следующим образом:
 
a  b  0.
a1 a 2 a 3
  .
b1 b2 b3
Пример 9. Даны вершины треугольника A1; 1; 1, B5; 4; 1, C6; 13; 1. Найти угол
при вершине А и проекцию вектора AB на сторону АС.
С
Условие коллинеарности векторов:
Внутренний угол при вершине А образован векторами AB и AC ,
А
В
AB5  1; 4  1; 1  1 AB4, 3, 0, AC 5; 12; 0.
AB  AC
Тогда cosAB, AC 
. AB  AC  4  5  3  12  0  56, AB   42  32  5,
AB  AC
AC  52  122  13. cosA 
56 56
 .
5  13 65
Проекция AB на направление вектора AC : прAC АB 
AB  AC 56
 .
13
AC
Контрольные варианты к задаче 9
 


1. Даны векторы a  2i  4 j  k и b  i  j  3k. Найти прab b.

2. Найти косинус угла, образованного вектором b  10i  2 2  j 6k и осью OZ.


3. Даны векторы a  5 j  k
и
b  i  4 j  3k . Найти косинус угла между
 
диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a и b .


 
4. Даны векторы a  6 i  5k и b 5; 3; 6 . Вычислить прb a  b .

5. Найти косинус угла, образованного вектором a  3 i  2 j  k и осью ОУ.


6. Даны векторы
и
b  2i  3j  4k . Найти косинус угла,
a  3; 1;  1
 
образованного вектором a  b и осью ОХ.

7. Даны векторы AB  i  3j  k и AC  2 i  4 j  k . Найти прAC AB  2AC .


8. Вычислить проекцию вектора a  5 i  2 j  5k на ось вектора b  2 i  j  2k .






9. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах


a  3 i  4 j  5k и b  4 i  5 j  3k .
 

10. Определить, при каком значении m векторы a  mi  j и b  3 i  3 j  4k
перпендикулярны.


11. Определить, при каком значении  векторы a   i  3 j  k и b1; ; 2 взаимно
перпендикулярны.
12. Даны вершины треугольника:
A 1;  2; 4, B 4;  2; 0, C3;  2; 1.
Определить внутренний угол при вершине В.
13. Даны вершины треугольника: A3; 2;  3, B5; 1;  1, C1;  2; 1. Определить
внутренний угол при вершине А.

14. Найти вектор x , коллинеарный вектору a2; 1;  1 и удовлетворяющий условию
 
x  a  3.
15. Даны две точки
M 5; 7;  6 и

a 1,  3, 1 на ось вектора MN.
N7;  9; 9. Вычислить проекцию вектора


16. Даны векторы: a  2 i  4 j  k и b   i  j  3k . Вычислить прa2b b.
17. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на


векторах a2; 1; 0, b   j  k .


 
18. Даны три вектора: a3;  6;  1, b1; 4;  5, c  3 i  4 j  12k . Найти прc a  b .




19. Даны три вектора: a1;  3; 4, b 3;  4; 2, c   i  j  4k . Найти прbc a .
20. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на



векторах a2; 1; 0 и b  2 j  k.



21. Даны три вектора: a 3;  6;  1, b1; 4;  5, c  3 i  4 j  12k . Вычислить
 

прa b  c .

 


22. Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен векторам a  2 i  k и b  3 j



и удовлетворяет условию x  2i  j  k  6.


23. Найти вектор x , коллинеарный вектору a  2 i  j  k и удовлетворяющий
 
условию x  b  6.
24. Даны вершины треугольника:
A 1;  2; 4, B 4;  2; 0, C3;  2; 1.
Определить внешний угол при вершине А.
25. Даны вершины треугольника: A3; 2;  3, B5; 1;  1, C1;  2; 1. Определить
внешний угол при вершине А.


26. Дан вектор a  3 i  2 j  k и точки M3;  1; 2 и N4;  2; 1. Найти прM Na .
A(2;  1; 3) , B(1; 1; 1) , C(0; 0; 5). Определить
27. В треугольнике с вершинами
внутренний угол при вершине А.

  

28. Даны векторы a1;  1; 2 и b2;  2; 1. Найти проекцию вектора c  3a  b

на направление вектора b .
29. Даны вершины треугольника: A4; 1; 0, B2; 2; 1, C6; 3; 1. Найти проекцию
вектора AB на сторону AC.

30. Даны векторы a  3 i  6 j  k ,
 
 
вектора a  c на вектор b  c.

b  i  4 j  5k , c  3 i  4 j  2k. Найти проекцию


Задача 10. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b ,
 
можно найти по формуле Sn  a  b , а площадь треугольника, построенного
на этих векторах: S 
1  
ab.
2
Пример 10. Даны вершины треугольника A1; 2; 0, B3; 0;  3 и C5; 2; 6. Найти
его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.
S 
1
AB  AC . Находим векторы AB и AC :
2
AB3  1; 0  2;  3  0 AB2,  2,  3,
AC5  1; 2  2; 6  0 AC4, 0, 6.
i
j k
2 3
2 3
Векторное произведение AB  AC  2  2  3  i 
 j

0
6
4 6
4 0
6
k
2 2
 i   12  0  j  12  12   k  0  8  12i  24 j  8k 
4 0
 AB  AC 
 122   242  82 
1
784  28, S   28  14.
2
1
2
Так как S   AB  h , где h  длина высоты, опущенной из вершины С на сторону
АВ, h 
2  S
2
2
. AB  22   2   3  17,
AB
h
2  14 28  17

.
17
17
Контрольные варианты к задаче 10
1. В параллелограмме ABCD даны векторы AB  3 i  2 j  k и AD2; 1;  2.
Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма
ABCD.
2. Даны три вершины параллелограмма A3;  2; 4 , B4; 0; 3 , C7; 1; 5 . Найти
длину высоты, опущенной из вершины
С (через площадь
параллелограмма).
3. Найти площадь треугольника с вершинами A 1; 3; 2 , B1; 2; 6, C2; 5; 1
(средствами векторной алгебры).
4. Найти площадь треугольника с вершинами A5; 2; 7 , B6; 1; 9 ,
C5; 2; 8
(средствами векторной алгебры).
5. Даны три вершины треугольника: A3;  1; 2 , B3; 0; 3 , C2;  1; 1 . Найти
его высоту, приняв ВС за основание (через площадь треугольника).


6. На векторах a 1; 1;
3    9 
 и b  i  2 j  k построен параллелограмм. Найти
2
2
площадь параллелограмма, сторонами которого являются диагонали
данного
параллелограмма.
 


7. Даны векторы a 1; 3;  3 и b  2 i  2k . Найти вектор c , перпендикулярный к
 
векторам a и b, если модуль вектора c численно равен площади треугольника,
  
 
построенного на векторах a и b , и тройка векторов a, b, c  левая.
5
 11 1
;  ;  . Найти площадь
2
2
2
параллелограмма, построенного на векторах AB и ( BC  AC ).
8. Даны точки A2;  1;  4 , B5; 1; 2 , C


9. На векторах a4; 7; 3 и b1; 2; 1 построен параллелограмм. Найти высоту,

опущенную на основание b (через площадь).
10. В треугольнике ABC, где A 1; 4; 3,
B 1; 20; 13,
C 1; 10; 7, найти
длину высоты, опущенной на сторону AB (через площадь треугольника; средствами
векторной алгебры).


11. На векторах a 2;  2;  3 и b  3i  6 j  7k построен параллелограмм. Найти
площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма.
12. В треугольнике с вершинами A 1; 4; 3 , B 1; 20; 13 и C 1; 10; 7 точка
E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средствами векторной
алгебры).


13. Найти площадь параллелограмма со сторонами 2a  b и a  2b, если

 
a  3i  j  2k,
 

b  i  2 j  k.
  

14. Найти площадь треугольника со сторонами a и b  c , если a1;  2; 0,
  

b  2 i  j  k и c   j  3k.
15. Дан треугольник с вершинами
B1; 2;  1 и
A2;  1; 2 ,
C3; 2; 1.
Вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины А (средствами
векторной алгебры).

16. Даны векторы a  i  2 j  k и b  5i  3j. Найти вектор d , который пер 
пендикулярен векторам a и b , если длина его численно равна площади треуго

 
льника, построенного на векторах a и b , и тройка векторов a, b, d  правая.
17. Даны точки
A1; 2; 0 , B3; 0;  3 и
C5; 2; 6. Вычислить площадь
треугольника и высоту, опущенную из вершины С (средствами векторной алгебры).
18. В треугольнике с вершинами A2;  1; 2 , B1; 2;  1 и C3; 2; 1 точка E
делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника ВСЕ (средствами векторной
алгебры).
19. Даны точки A2;  1; 2, B1; 2;  1 и C3; 2; 1. Найти площадь


параллелограмма, построенного на векторах a  BC  2CA и b  CB.
20. Даны три вершины треугольника:
A1;  1; 2 , B5;  6; 2 , C1; 3;  1.
Вычислить его высоту, опущенную из вершины В (через площадь, средствами векторной
алгебры).
21. Дан треугольник с вершинами A1; 2;  1 , B0; 1; 5 и C 1; 2; 1. Найти его
высоту, опущенную из вершины А (через площадь, средствами векторной алгебры).

22. Даны векторы b 3; 1; 2 и c  i  2 j  3k. Вычислить площадь треугольника,

 
построенного на векторах 2b  c и 2c  b.


b3; 1;  1 и a  2i  3j  k. Вычислить площадь треугольника,


построенного на векторах 2a  b и 3b  a.


24. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах b  3a и 2a , где




a  i  3j  k, b  2i  j  k.
23. Даны векторы
25. В треугольнике с вершинами A1; 2; 0 , B3; 0;  3 и C5; 2; 6 точка E
делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средствами векторной
алгебры).



26. Даны векторы
b 3; 1; 2. Найти вектор c , который
a 2;  3; 1 и
 

перпендикулярен векторам a и b, если модуль вектора c численно равен площади



треугольника, построенного на векторах a и b , и тройка векторов a, b, c  левая.
27. Даны точки A5;  1; 3 , B0;  2; 1 и C3; 2; 4. Найти длину высоты
треугольника АВС, опущенной из вершины С (через площадь, средствами векторной
алгебры).
28. Даны три вершины параллелограмма
A 1;  2; 0 , B2; 1; 3 и C 3; 0; 1 .
Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь, средствами векторной
алгебры).

29. На векторах a2;  3; 1 и b  2k  3i  j построен параллелограмм. Найти
площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.


30. Даны векторы a 2;  3; 1, b  3i  j  2k и c  i  2 j  3k. Вычислить площадь


треугольника, построенного на векторах 2a и b  3c.
Задача 11. Если даны координаты a x1 , y1 , z1 , bx 2 , y2 , z2  и c x3 , y3 , z3 , то
смешанное произведение векторов вычисляют по формуле
x1
a b c  x2
x3
y1 z1
y2 z 2 .
y3 z 3
Объемы параллелепипеда и тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на


векторах a, b, c находятся с помощью смешанного произведения векторов:



1 
Vпар  a  b  c , Vтет  a  b  c .
6




Если a  b  c > 0, то тройка векторов a, b, c - правая.


Если a b  c < 0, то тройка левая.




Если a b  c = 0, то векторы a, b, c компланарны.
Пример 11.
Дан параллелепипед
ABCDABCD, построенный
на векторах
AB4; 3; 0, AD(2; 1; 2 и AA 3;  2; 5. Найти высоту, проведенную из вершины A
на грань ABCD.
Объем Vпар равен произведению площади основания на высоту:
Vпар  S  h  AB  AD  h .
Vпар находится также по формуле
h
Vпар  AB  AD  AA ,
поэтому
AB  AD  AA
AB  AD
Вычислим векторное произведение
.

i
AB  AD  4
2

j k
3 0
1 2
=
 3 0  4 0
 
4 3
i
 j
k
 6 i  8 j  2k  6;  8;  2.
1 2
2 2
2 1
AB  AD  62   82   22  2 26.
4
3 0
AB  AD  AA  2
1 2  12, AB  AD  AA   12  12.
3 2 5
Тогда h 
12 12  26 3 26


.
2  26
13
2 26
Контрольные варианты к задаче 11
1. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах AB1; 3; 1,
AC0; 1;  1 и AD  2i  2 j  2k .
2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A 1; 4; 1, B(0; 7;1),
C(1; 3; 5), D(0; 6;  1).
3. Найти значение t , при котором векторы a2;  1; 5, bt; 4; 2 и c  1; 0;  1
образуют левую тройку, а объем параллелепипеда, построенного на них, равен 33.
  

4. Даны векторы a  t i  2 j  k, b1;  1; 0, c  k. Найти значение t, при котором

  
выполняется равенство a  b  c  a  c.
5. Точки A2; 3; t , B3;  1;  2, C1; 4; 0 и Д1; 3; 2 лежат в одной плоскости.
Найти t .
6. Найти объем параллелепипеда, зная четыре его вершины: A3;  1; 2,
B0;  1; 3, C0; 1; 1 и D3; 4;  1.




 
7. Найти значение t, при котором векторы a  t i  t j  k, b  5i  3 j , c 1; 3; t
компланарны.
8. Точки
A 2; 1;  3, B3; 4; 4, C5; 6; 0 и E5; 6; t  служат вершинами
параллелепипеда, объем которого равен 16. Найти t.


9. Даны векторы a 2;  2; 2 b1;  1; 1 и c  5i  0,5 j  t k. Найти значение t, при

 




котором имеет место равенство a  b  c  a  b.

  
  
10. Векторы a  t i  2 j  3k, b  5 j  7k и c   i  3 j  4k компланарны.
Найти t.
 
  

11. Даны векторы a1; t;  1, b  2i  j  3k и c   j  5i . Найти значение t, при
котором имеет место равенство a  b  c  a  b  b  c  a  c.
 



12. Даны векторы a 2; 3; t b  4 i  4 j  2k , c  4k  j. Найти значение t, при
котором имеет место равенство a  b  c  b .



13. Векторы
a1;  3; 1 b3; 2;  2 и с  t i  4 j  k образуют правую тройку,
причем объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен девяти. Найти t.
 
  

14. Векторы a  6i  j  5k, b  3i  2 j  7k и c образуют левую тройку и служат

ребрами параллелепипеда, объем которого равен 45. Вектор c перпендикулярен

плоскости ХОУ. Найти отличную от нуля координату вектора c.
 

15. Векторы a3; 4; t b0;  3; 1 и c  2 i  5k образуют левую тройку. Объем
построенного на них параллелепипеда равен 51. Найти t.
16. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках A2; 2; 2,
B4; 3; 3, C4; 5; 4 и D5; 5; 6.
17. Объем треугольной пирамиды равен пяти. Три его вершины находятся в точках
A2; 1;  1, B3; 0; 1, C2;  1; 3. Найти отличную от нуля координату четвертой
вершины D, если она лежит на оси ОУ.
18. Точки A1; 3; 2, B1; 4; 0, C3;  1;  2 и D2; 3; t  лежат в одной
плоскости. Найти t.


19. Найти значение t, при котором векторы at; 3; 2, b2;  3;  4 и c 3; 12; 6
компланарны.
20. Проверить, лежат ли точки A2;  1; 2, B1; 2; 1, C2; 3; 0 и D5; 0;  6
в одной плоскости.
21. Найти объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках
A6; 1; 5, B 1; 3; 0, C4; 5;  2 и D1;  1; 6.


22. Даны векторы a1; 2; t, b1;  3; 2 и c   2i  k. Найти t, при котором имеет



место равенство a  b  c  c .
2


23. Векторы a1; 1; t, b2; 1; 1, c  i  2 j  3k образуют правую тройку. Объем
построенной на них треугольной пирамиды равен 5 / 3 . Найти t.
24. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А0;  2; 5, B6; t; 0,
C3;  3; 6 и D2;  1; 3. Найти значение t, если объем пирамиды равен 45.




25. Даны векторы a 1;  1; 1, c 5; t; 2, b  2i  2 j  2k. Найти значение t, если



имеет место равенство a  b  c  b  a .

 
  
a  3i  4k, b  j  2k и c  i  j  tk. Найти значение t, если

 
имеет место равенство a  b  c  a .
26. Даны векторы
  



27. Определить, при каком значении t векторы a  i  j, b  j  k , c  t i  j  k
компланарны.


   
28. Даны векторы a   2; 1; 1, b1; 5; 0, c  i  j  tk . Найти значение t, при

 2
 
  

29. Векторы a  2i  j  k, b  7 i  t j, c3; 0; 1 образуют правую тройку, а объем
котором имеет место равенство a  b  c  a .
построенного на них параллелепипеда равен 12. Найти значение t.



30. Даны векторы a2; t; 1, b  4 i  k , c  2 j  k . Найти значение t, если имеет




место равенство a  b  c  a  b  b  c.


Задача № 12. Пусть вектор a  m  n , причем векторы m и n не образуют
 
декартовый базис. Пусть известны m , n , m, n тогда

 

а  а  а  а2 
m  n 2 

 

2  m2  2   m  n  2  n 2 
2
 
 
2
 2 m  2m n cosm  n  2 n .





Если векторы a  1m  1n и b  2 m  2 n , то






 
 

a  b  1m  1n 2m  2n  1  2m2  1  2m  n  1  1n  m  1  2n 2 
2
 
2
= 1  2 m  1  2  2  1 m  n  1  2 n 
2
 
2
 
= 1  2 m  1  2  2  1  m  n  cosm  n  + 1  2 n .
  
Пример 12. При каком ненулевом значении t вектор a  tm  n будет еди

 
ничным, если m  1, n  1, m, n  2 / 3? Вектор будет единичным, если его длина
2
будет равна единице, т. е. a 1.
 

  
2
a  tm  n 2  t 2 m2  2tm  n  n 2 
2
 
  2
 t 2 m  2t m  n cosm, n  n  1,
 1
t 2  2t      1  1, t 2  t  0, t  0, t  1.
 2
Контрольные варианты к задаче 12









1. Даны векторы a  4m  n и b  2m  2n , где m  2 , n  3 , a  b. Найти


косинус угла между векторами m и n.


 
  
 
2. Найти прb a , если a  s  t, b  s  5t , s  4, t  2, s , t    / 3.


 

 

3. Даны векторы a  m  2n и b  2m  n , найти прb a , если m  1/ 8, n  1/ 4,
 
m
, n   / 4.





4. Даны векторы a  m  2n и b  2m  n . Найти косинус угла между векторами



1
1  
a и b , если m 
, n  , m, n   / 4.
4
8



5. При каком отличном от нуля значении параметра  вектор a  m  2n будет


 
единичным, если m  3 , n  1/ 2, m, n  2 / 3?
 

 

6. Даны векторы
прb a , если
a  m  2n и b  2m  n , найти


m  1/ 8 , n  1/ 4,

 
m
, n   / 4.



7. Векторы AB  t  2s и AC  s  t служат сторонами параллелограмма. Найти
косинус угла между диагональю BC и стороной AC , если
s , t    / 4.


s  3, t  6 ,
   
1
p  q , b  p  q . При каком значении параметра  вектор
2


 
p  2, q  8, p, q   3 / 4?

8. Даны векторы a 
 
a  b , если
9. В параллелограмме АВСD найти длину диагонали ВD, если

b 
3 
1
АВ  a  b , АD  , a 
,
2
2
2 3

1 
5
b  , a, b    .
2
6
10. В треугольнике АВС найти косинус внутреннего угла В, если

 
  

АВ  a  4b, BC   a  b, a  1, b  2 , a, b  3 / 4 .



 


11. Даны векторы a  2m  n, b  m  4n . Вычислить прa b , если

m 


1  
, n  ,  m, n   3 / 4.
4
2 2
1

 
12. При каком положительном значении параметра  векторы a  p  q и



 


b  p  2q имеют одинаковую длину, если p  3 , q  0,5 , p  q ?
 


 
 
13.
Даны
векторы
Найти
если
a  m  2n, b  4m  5n .
a b ,

 
m  1/ 8, n  1/ 4 ,  m, n    / 4.
3 1
2
2
 
14. В треугольнике АВС найти длину АС , если АВ  а  b, СВ  a  b,


a  3, b  1,
a, b   / 6.
 


 
 
a  7m  2 n, b   2m  n . Найти a  b , если

 
m  1 3 2 , n  1 4,  m, n    / 4 .


 

16. Дан вектор b  3m  n . Найти косинус угла между векторами b и m , если

 
m  1 18, n  1/ 2,  m, n   3 / 4 .




 
 
17. Даны векторы a  m  2 n, b  2m  n . Найти прa 3b , если m  1 18, n  1/ 4, ,
 
m
, n  3 4 .
15. Даны векторы
 
18.
Даны
векторы

m  1 8 , n  1 4,


 
 
a  m  2 n, b  2m  n .
 
m
, n   5 / 4 .
Найти
   
 
a  b  a  m  a  n,
 
1 
2


 
 
a  b , если p  2, q  8, p, q   3 / 4?
 



20. Дано: m  3, n  5,  m , n   . При каком значении параметра  векторы
3
 
 
m n и 2m n взаимно перпендикулярны?

 


21. Дан вектор a  2m n, где m и n - единичные векторы, образующие угол 1200


. Найти косинус угла между векторами a и m .


 
 
 
22.
Даны
векторы
Найти
если
a  m  2 n, b  2m  n .
прa (a 3m) ,


 
m  1 18, n  1/ 2 ,  m, n   5 / 4.


  
 
23. Дан вектор a  m 3n. Найти прm (a  n) , если m  1 8 , n  1/ 4,
 
m
, n   / 4.


 
 
 
24. Даны векторы a  m  2 n, b  2m  n . Найти длину вектора 2a  3b , если


 
m  1 18, n  1/ 4 ,  m, n   5 / 4 .


 
 
  
25. Даны векторы
a  m  2 n, b  3m  n . Найти 3m  a  b  a , если


 
m  1 18, n  1/ 4 ,  m, n    / 4 .




26. Векторы a и b образуют угол  / 3 . Зная, что a  3, b  4, найти длину
  
вектора с  3a  3b .
  
27. При каком значении параметра   0 вектор a p  5q будет единичным, если


 
p  3, q  1/ 2, p, q   2 / 3?
 




28. При каком значении  векторы p  2a  3b, q  a  3b имеют одинаковую



длину, если a  2, b  2, a, b   3 / 4 ?
19. Даны векторы a  p  q, b  3p  q. При каком значении параметра  вектор
29. В треугольнике АВС найти косинус внутреннего угла при вершине В, если
 
 


1  
АВ  3m 2n, BC  2m n , где m  2, n  ,  m, n 1200 .
3


 
 
30. Даны векторы S  2m  n, t  3m  2n . При каком значении параметра 
 


 
вектор S  t , если m  1, n  2 ,  m, n   3 / 4 .
Задача 13. При решении этой задачи будем использовать свойства векторного
произведения двух векторов. Модуль векторного произведения двух векторов
 
   
 
a  b  a b sin a , b, поэтому a  a  0. По свойствам векторного произведения
 
 
 

 
 
a  b  b  a , a  b  c    a  c    b  c. Площадь параллелограмма, постро-


 
 
енного на векторах a и b , равна Sn  a  b . Площадь треугольника, построенного на


векторах a и b :
1 
SТ  a  b .
2




Пример 13. В параллелограмме ABCD даны векторы AB  2m  n и AD  m  3n.


Найти CA BD , если m  4, n  2,
m , n    .
Это условие в параллелограмме
6
  
 

ABCD вектор
AC  AB  AD  2m  n  m  3n  3m  2n.


   
Вектор BD  AD  AB  m  3n  2m  n  4n  m;
Тогда
 
CA  2n  3m .


 
 
 

  
CA  BD   2n  3m  4n  m  8n  n  2n  m  3m  4n  m  m 
 
 
 
 2n  m  12n  m  14n  m;
 
 

1
CA  BD 14n  m  14 n  m  sin  14  4 2   28 2.
6
2
Контрольные варианты к задаче 13


 
 
1. На векторах a  2m  5n и b  3m  n построен треугольник. Найти его площадь,

.
6



 

 
2. Даны векторы a  m  3n , b  4m  n и c  3m  n . Найти модуль векторного

  

  
произведения a  b  c, если m  2, , n  3 , m, n   .
6
 
 

   

3. Даны векторы a  2m  n , b  m  2n . Найти a  b  5m  n , если


m , n  
если m  1, n  3 ,



m  1, , n  3 ,

m , n  

.
6




4. В треугольнике ABC даны векторы AB  m  6n и BC  3m  2n. Найти

.
6



5. В параллелограмме ABCD даны векторы AB  n  0,5m и AD  5,5m.
 



Найти AC BD , если m  3, n  2, m, n   .
4

 



6. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a  5m  2n и b  3m  n ,


 
если m  1,
n  3 , m, n   / 6.


7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB  5n  4m и

 

 
AD  2m  n , если m  2, n  3 , m, n   / 6.


AB CA , если m  2, , n  3 ,
m , n  




 


8. Даны векторы a  3m  4 n, b  m  12n , где m  2, n  1,


  
a a b .


m , n    / 4. Найти


9. В параллелограмме ABCD даны векторы AB  3a  5b и AD  a  2b.

AC BD , если a 
2
,
4
 1

10. Даны векторы a  m  4n


  2
m  5, n  1, m, n   / 4.

 
11. Даны векторы a  2m  n ,


  
a  b  c , если m  2, n 

 
12. Даны векторы a  3m  n ,


 
m  2, n  3, m, n   / 6.
Найти


 

 
b  8, a, b   / 3.
a  2b  b , если



и b  m  3n. Найти

 
 

b  4m  n , и c  m  2n . Найти
 
3, m, n   / 6.

 
  


b   m  2n . Найти a  b  5m  n  3n  m , если



13. В параллелограмме ABCD даны векторы AB  n  0,5m и AD  5,5m.


 
AC BD , если m  2, n  3, m, n  5 / 6.
 


14. В треугольнике ABC даны векторы AB  6n  m и BC  3m  2n.


 
Найти AB CA, если m  2, n  3, m, n   / 6.
 
 
   

 

15. Даны векторы a  3m  n и b  m  3n . Найти a  b  3m  n  2n  m ,


 
если m  4, n  3, m, n   / 6.

  
 
  
16. Даны векторы a  4m  n , b  3m  n . Найти a  b  a ,


 
если m  2, n  12, m, n   / 6.
 

17. В параллелограмме ABCD даны векторы AB  3,5n  m и AD  5,5n.


 
Найти CA BD, если m  2, n  12, m, n   / 6.




18. В треугольнике ABC даны векторы AB  3n  2m и BC  3m  2n.


 
Найти AB CA, если m  3, n  12, m, n   / 3.
  
  1
   
19. Даны векторы a  3p  q и b  2p  q . Найти 5a  3b  b  4a , если
3



p  2 , q  3, p, q  5 / 6 .
 1
  

  
20. Даны векторы a  m  3n , b  m  2n . Найти 3a  b  b , если


  2
m  4, n  2, m, n   / 4.
 
 
21. В параллелограмме ABCD даны векторы AB  5a  7b и AD  3a  b.


 
Найти AC  (AB  BD) , если a  3, b  3, a, b   / 3.

  
 

 
22. Даны векторы a  m  n, b   m  3n и c  5m  n .
Найти




 



  1 
2


 
m  2, n  18, m, n   / 4.
 
 
 

 
23. Даны векторы a  m  2 n, b  5 m  3n и c  m  n .


 
    
Найти a  b  3c  a  b , если m  2, n  8, m, n  3 / 4.
Найти 2a  b  c  b , если








24. Даны векторы p  2m  3n , q  7m  n. Найти
8p  2q   p  1 q  ,

2 
если


 
m  2, n  3, m, n  5 / 6.


 1
 
   1 
25. Даны векторы a  4m  n и b  3m  n . Найти 2a  3b   a  b  , если
2
 2 


 
m  3, n  2, p, q  3 / 4.

 1

 
  
26. Даны векторы a  m  6 n и b   2 m  3n . Найти
3a  2b  b , если
2


 
m  5, n  2 2, m, n   / 4.

  





27. Даны векторы a  3m  4 n и b  m  5n . Найти a  2a  3b , если


 
m  5, n  12, m, n   / 3.




28. Векторы AB  n  2m и BC  6m  2n служат сторонами треугольника


 
АВС. Найти AB CА, если m  3, n  2, m, n   / 6.




29. В параллелограмме ABCD даны векторы AB  n  2m и AD  4m  6n.


 
Найти AС BD,, если m  2, n  12, m, n   / 3.


 
30. В треугольнике АВС даны векторы AB   n  4m и BC  3m  n.


 
Найти AC AB , если m  2, n  3, m, n   / 6.




Задача 14. Даны координаты вершин пирамиды
C3; 2; 3 ; D 2,  1, 6.
A1, 1, 1;
1. Найти длину вектора AD .
2. Найти угол между векторами AB и AC .
3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB .
4. Найти площадь грани АВС .
5. Найти объем пирамиды ABCD.
Координаты векторов: AB4, 2, 0 ; AC 2, 1, 2; AD 3,  2, 5 .
1. Длина вектора AD 
2.
cos AB, AC 
 32   22  52 
AB  AC
.
AB AC
38.
AB  AC  4  2  2  1  0  2  10;


B5; 3; 1 ;
AB  42  22  02  20  2 5 ;
cos AB, AC 
AC  22  12  22  3.
AB, AC arccos 35 .
10
5
 ;
2 5 3 3
3. Проекция вектора AD на вектор AB:
ПрAB AD 
AB  AD  4   3  2 2  0  5  16;
ПрAB AD  
4. SABC 
1
AB  AC ;
2
AB  2 5 ;
16
8 5

.
5
2 5
  
i j k
 

 
AB  AC  4 2 0  4 i  8 j  0  k  4 i  2 j .
2 1 2

AB  AC  4 12  22  4 5 ;

AB  AD
.
AB

1
5. VABCD  AB  AC  AD ;
6

SABC  2 5 .
4
2 0
2
AB  AC  AD  2
1 2  4. VABCD  .
3
3 2 5


Контрольные варианты к задаче 14
Задача. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется найти:
1) длины векторов
AB, AC, AD;
2) угол между векторами AB и AC;
3) проекцию вектора AD на вектор AB;
4) площадь грани АВС ;
5) объем пирамиды ABCD.
1.
A 2; 0; 4,
B 4;  3;  2,
C 7;  2; 2 ,
D  1; 2; 6.
2.
A0;  1; 1,
B 6;  4;  5,
C 9;  3;  1,
D 1; 1; 3.
3.
A 5; 1; 3,
B 1  2;  3 ,
C 4;  1; 1,
D  4; 3; 5.
4.
A 1;  3; 0,
B 5;  6;  6,
C 8;  5;  2,
D 0;  1; 2.
5.
A1; 2; 5,
B 7;  1;  1,
C 10; 0; 3,
D 2; 4; 7.
6.
A 3;  2;  1, B 3;  5;  7,
C 6;  4;  3,
D  2; 0; 1.
7.
8.
A2; 3; 2,
A 4; 4;  2,
B 8; 0;  4 ,
B 2; 1;  8,
C 11; 1; 0,
C 5; 2;  4,
D 3; 5; 4.
D  3; 6; 0.
9.
A3; 5;  3,
B 9; 2;  9 ,
C 12; 3;  5,
D 4; 7;  1.
10.
A4;  4; 1,
B 10;  7;  5,
C 13;  6;  1, D 5;  2; 3.
11.
A4; 0; 4,
B 0; 5; 0,
C 0; 0; 6,
D 1; 3;  1.
12.
A 1;  3; 4,
B 2; 3;  4 ,
C  3; 1;  2,
D  4;  1; 3.
13.
A0; 0; 0,
B 2; 3;  1,
C  2; 4; 5,
D 3;  1; 4.
14.
A3; 2;  4,
B 2;  5; 3,
C  5; 6;  1,
D 5; 2; 4.
15.
A6; 0; 1,
B  6; 2;  3,
C 2; 2; 4 ,
D 3; 4;  2.
16.
A 4; 1;  4,
B 0;  5; 0 ,
C 0; 0;  2,
D  1; 3; 1.
17.
A2; 3; 5,
B 3;  2; 6,
C 2; 2;  5,
D 6; 3;  3.
18.
A5;  2;  1,
B 3; 3; 4,
C 3;  1;  2,
D 0;  1; 2.
19.
A3;  1;  2,
B 5;  2;  1,
C 0;  1; 2,
D 3; 3; 4.
20.
A5; 2; 4,
B  5; 6;  1,
C 3; 2;  4,
D 2;  5; 3.
21.
A4; 0; 0,
B  2; 1; 2,
C 1; 3; 2,
D 3; 2; 7.
22.
A4; 2; 5,
B 0; 7; 1,
C 0; 2; 7 ,
D 1; 5; 0.
23.
A4; 4; 10,
B 7; 10; 2,
C 2; 8; 4,
D 9; 6; 9.
24.
A4; 6; 5,
B 6; 9; 4,
C 2; 10; 10 ,
D 7; 5; 9.
25.
A3; 5; 4,
B 8; 7; 4,
C 5; 10; 4 ,
D 4; 7; 8.
26.
A10; 6; 6,
B  2; 8; 2 ,
C 6; 8; 9,
D 7; 10; 3.
27.
A1; 8; 2,
B 5; 2; 6,
C 5; 7; 4,
D 4; 10; 9.
28.
A6; 6; 5,
B 4; 9; 5,
C 4; 6; 11,
D 6; 9; 3.
29.
A7; 2; 2,
B 5; 7; 7,
C 5; 3; 1 ,
D 2; 3; 7.
30.
A8; 6; 4,
B 10; 5; 5,
C 5; 6; 8,
D 8; 10; 7.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа