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Contents
List of Publiations
iii
1
Introdution
1
2
Kazhdan-Lusztig ells and their ombinatoris
8
2.1
Coxeter System (W ,
2.2
Heke Algebra orresponding to (W ,
2.3
3
4
S)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S)
H
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.1
Kazhdan - Lusztig bases of
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.2
Kazhdan-Lusztig orders and ells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Combinatoris of ells in
Sn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3.1
Basi notions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.2
RSK-orrespondene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3.3
Cells and RSK-orrespondene
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.4
Some notes and notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Speht modules, Cell modules: An introdution
26
3.1
A short reap of the struture theory of semisimple algebras . . . . . . . . .
26
3.2
Some
Sn -modules
3.3
Some
H-modules:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denitions and preliminaries
28
. . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.3.1
λ
Permutation modules M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.2
λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Speht modules S
31
3.3.3
λ
Relating M with
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3.4
Monomial module
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.3.5
Cell modules
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.4
MDonough - Pallikaros Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5
λ
Interplay between S and
′
Sλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
ZTλ
RSK bases for ertain quotients of the group ring
42
4.1
43
4.2
Key observations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Moving from
4.1.2
Images of the
C -basis
to
C -basis
Tabloid representations of
Sn
T -basis
of ertain quotients
. . . . . . . . .
43
. . . . . . . . . . . . . .
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
elements in EndR(λ)
i
5
4.2.1
Results over
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2.2
Results over
Z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2.3
Failure over elds of positive harateristi . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.3
Remarks on the Heke Analogue of Ÿ4.2.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.4
Certain rings of invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.4.1
Multilinear invariants
49
4.4.2
A monomial basis for the tensor algebra
4.4.3
Rings of polynomial invariants
. . . . . . . . . . . . . . . .
50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
56
Cell modules: RSK basis, irreduibility
5.1
5.2
RSK Bases for EndR(λ)k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1
An illustrative example
5.1.2
The ase of semisimple
5.1.3
The ase of arbitrary
The matrix
G(λ)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hk
57
57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
and its determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Hk
G(λ)
Denition of the matrix
5.2.2
Relating the matrix
5.2.3
The Dipper-James bilinear form on
G(λ)
5.3
A riterion for irreduibility of
5.4
Proofs of Theorems 5.1.3, 5.1.4
Condition of
A formula for
57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1
5.4.1
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
det
G(λ)
G(λ)
to the ation on
R(λ)
59
. . . . . . . . . . . .
60
. . . . . . . . . . . . . . .
61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
in Theorem 5.1.3 . . . . . . . . . . . . . . .
62
R(λ)k
e-regularity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R(λ)
64
and an appliation
6.1
Relating det
6.2
Hook Formula for the determinant of
and the Gram determinant
. . . . . . . . . . . . . . . . .
64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6.3
A new proof for Carter's onjeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
6.4
Proof of the hook formula
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
G(λ)
6.4.1
Preliminaries
6.4.2
Computing the Gram determinant det(λ)
. . . . . . . . . . . . . . .
69
6.4.3
Proof of Theorem 6.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
ii
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