close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1.1. Предмет теоретической механики
Механика – это наука, изучающая основные законы
механического движения, т.е. законы изменения взаимного
расположения материальных тел или частиц в сплошной среде с
течением времени. Содержанием курса теоретической механики в
техническом вузе является изучение равновесия и движения абсолютно
твердых тел, материальных точек и их систем. Теоретическая механика
является базой для многих общепрофессиональных дисциплин
(сопротивление материалов, детали машин, теория машин и механизмов
и др.), а также имеет самостоятельное мировоззренческое и
методологическое значение. Иллюстрирует научный метод познания
закономерностей окружающего нас мира – от наблюдения к
математической модели, ее анализ, получение решений и их
применение в практической деятельности.
Курс теоретической механики традиционно делится на три части:
Статика – изучает правила эквивалентного преобразования и
условия равновесия систем сил.
Кинематика – рассматривает движение тел с геометрической
стороны, без учета сил, вызывающих это движение.
Динамика – изучает движение тел в связи с действующими на
них силами.
Основные задачи статики:
1. Изучение методов преобразования одних систем сил в другие,
эквивалентные данным.
2. Установление условий равновесия систем сил.
1.2. Основные понятия и аксиомы статики
Сила – мера и результат механического
воздействия одного тела на другое. Физическая
природа сил в механике не рассматривается.
Сила задается модулем, направлением и точкой
приложения (рис.1.1). Обозначается большими
буквами латинского алфавита:
   
F , R , N ,... F  F – модуль силы.
А
z
0
β
y
α
x
Рис. 1.1
Аналитически силу можно задать ее проекциями на оси координат:
F , F , F , а направление в пространстве – направляющими
х y z
F
F
косинусами: cos  x , cos   y , cos  Fz .
F
F
F
Совокупность нескольких сил, действующих на твердое тело,
называется системой сил. Две системы сил эквивалентны (∾) между
собой, если, не нарушая состояния тела, одну систему сил можно
заменить другой. Сила, эквивалентная данной системе сил, называется
равнодействующей:
    
F1 , F2 ,... Fn  ∾ R .


Систему сил, приложенную к свободному твердому телу,
находящемуся в равновесии, и не выводящую его из этого состояния,
   
называют уравновешенной системой сил F1 , F2 ,... Fn  ∾ 0 .


Абсолютно твердое тело – тело, у которого расстояние между любыми
двумя точками остается неизменным.
Материальная точка – тело, размерами которого можно
пренебречь по отношению к другим телам.
Аксиомы статики
1. Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием
двух сил только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по
одной прямой и направлены в противоположные стороны (рис.1.2).
  
F1 , F2  ∾ 0 .


Рис. 1.2
2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно
прикладывать или отбрасывать уравновешенную систему сил.
Следствие: Точку приложения силы можно переносить вдоль
линии действия силы.
Доказательство:
А

К телу в точке А приложена сила F (рис.1.3).
Добавим в точке В систему сил
  
F  , F 


∾ 0:
Рис. 1.3
F  F   F .

F 
 
∾
    ,
F , F  , F 


  
но 
F , F  ∾ 0 ,


 

следовательно, 
∾ 
Следствие доказано.
F .
F 




3. Две силы, приложенные к телу в
равнодействующую, проходящую через эту
геометрической сумме (1.4):

R ∾
 
одной точке, имеют
точку и равную их
  
F1 , F2 ,


  
R  F1  F 2 ,
R  F12  F22  2F1F2 cos .
Рис. 1.4
Из этой аксиомы следует, что силу можно разложить на любое
количество составляющих сил по заранее выбранным направлениям.
4. Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены
по одной прямой в противоположные стороны.
5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если это тело
отвердеет. Иными словами, необходимые условия равновесия
деформируемых и абсолютно твердых тел совпадают, что позволяет
применять получаемые результаты для реальных тел и конструкций, не
являющихся абсолютно твердыми.
1.3. Связи и реакции связей. Принцип освобождаемости от связей.
Тело называется свободным, если его перемещение в пространстве
ничем не ограничено. В противном случае тело называется
несвободным. А тела, ограничивающие перемещения данного тела, –
связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело,
называются реакциями связей.
Основные виды связей и их реакции:
1. Гладкая опорная поверхность (без трения)
Реакция гладкой поверхности направлена по
нормали к этой поверхности
(перпендикулярна общей касательной)
(рис.1.5а).
а)
2. Опорная точка (ребро)
Реакция перпендикулярна опирающейся
поверхности (рис.1.5б).
б)
Рис. 1.5
3. Гибкая связь, нить (невесомая, нерастяжимая):
Примеры: моделирует трос, канат, цепь,
ремень. Реакция идеальной нити
направлена по нити к точке подвеса
(рис.1.6).
Рис. 1.6
Рис. 1.7
4. Идеальный стержень (жесткий, невесомый стержень, на
концах которого шарниры).
Реакция связи направлена по стержню.
В отличие от нити стержень может работать и на сжатие (рис.1.7).
5. Гладкий цилиндрический шарнир
Такая связь позволяет телу перемещаться вдоль оси,
поворачиваться
вокруг оси шарнира (рис.1.8а), но не позволяет точке
закрепления перемещаться в
плоскости, перпендикулярной оси
шарнира. Реакция лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира,
и проходит через нее. Положение этой реакции не определено, но она
может быть представлена двумя взаимно перпендикулярными
составляющими (рис.1.8б).
у
А
х
а)
б)
Рис. 1.8.
6. Сферический шарнир (рис.1.9)
Такая связь не дает точке закрепления тела перемещаться ни в
одном из направлений (рис.1.9.а). Положение реакции не определено,
но она может быть представлена тремя взаимно перпендикулярными
составляющими (рис.1.9б).
z
А
у
х
а)
б)
Рис. 1.9
7. Подпятник (рис.1.10)
Реакция данной связи задается
аналогично предыдущему случаю.
Рис. 1.10
8. Жесткая заделка (рис.1.11а)
Такая связь препятствует перемещению и повороту вокруг точки
закрепления. Контакт тела со связью осуществляется по поверхности.
Имеем распределенную систему сил реакции (рис.1.11б), которая,
как будет показано, может быть заменена одной силой и парой сил
(рис.1.11в).
А
МА
а)
б)
Рис. 1.11
в)
Принцип освобождаемости от связей:
Всякое несвободное тело можно считать свободным, если
мысленно освободиться от связей, а их действие заменить
соответствующими реакциями.
1.4. Система сходящихся сил. Равнодействующая. Условия
равновесия системы сходящихся сил
Силы называются сходящимися, если
линии их действия пересекаются в одной
точке (рис.1.12).
Теорема
Система
сходящихся
сил
имеет
равнодействующую, которая равна
С
Рис. 1.12
геометрической сумме этих сил и проходит через точку пересечения
их линий действия.
Доказательство:
Перенесем все силы по линии действия в точку пересечения
(рис.1.13а). Последовательно складывая по аксиоме 3:

  


n 

R 12  F 1  F 2 , R 123  R 12  F 3 и т.д., находим: R   F k .
k 1
Теорема доказана.
С
Геометрически
равнодействующая может быть
найдена как замыкающая
сторона силового
многоугольника (рис.1.13б).
а)
б)
Рис. 1.13
найдена как замыкающая сторона силового многоугольника (рис.1.13б).
Аналитически по проекциям на оси координат:
n
n
k 1
k 1
Rx   Fkx , Ry   Fky ,
n
Rz   Fkz
k 1
Модуль и направление равнодействующей определяются формулами:

R
cos(R, Ox)  x ,
R
R  Rx2  Ry2  Rz2 ,

R

R
cos(R, Oz)  z ,
cos(R, Oy)  y .
R
R
Теорема о трех силах
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех
непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия
этих сил пересекаются в одной точке.
Доказательство:



Т.к. силы непараллельные, то F 12  F 1  F 2 .
(рис.1.14)
   
По условию F1 , F2 , F3  ∾ 0 , следовательно,







F3 , F12  ∾ 0 и сила F 3 проходит через точку


С
С.
Теорема доказана.
Рис. 1.14
Для плоской системы сходящихся сил количество независимых
условий (или уравнений) равновесия равно двум:
n
n
k 1
k 1
 Fkx  0,  Fky  0 .
Задача статики о равновесии называется статически
определимой, если количество неизвестных не превышает количества
уравнений. Иначе задача статически неопределима и методами
статики не решается.
1.5. Момент силы относительно центра (точки)
Действие силы на твердое тело, закрепленное в одной точке,
заключается в стремлении повернуть его вокруг точки закрепления. Для
характеристики вращательного действия силы вводится понятие
момента силы относительно центра (или точки).
Моментом силы относительно центра называется векторное
произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы
(рис.1.16а).




m0 (F)  r  F
а)
0
h
б)
Рис.1.16
Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой
лежат сила и точка, и направлен в ту сторону, откуда поворот от
действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки (рис.
1.16б).
Вектор момента характеризует положение плоскости и
направление вращательного действия силы, а также дает меру этого
действия:
  
   
mO  F   rF sin F r   Fh , где
 


h – плечо силы (кратчайшее расстояние от центра до линии
действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент
относительно этой точки равен нулю.
Теорема Вариньона.
Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент
относительно любого центра (или оси) равен сумме моментов всех сил
системы относительно того же центра (или оси).
Доказательство:
    
F1 , F2 ,... Fn  ∾ R , где


О1
О
О1 – точка на линии действия
равнодействующей (рис. 1.17). Как было
доказано:

 
 
М
MO =
о1  mo  R  ,




но М о1  0, следовательно,
Рис. 1.17
n  

=


m R
m F 
k 1  




k
O

 
n
В проекции на ось, проходящую через центр О,  m F = m х  R 
 
k 1
Теорема доказана.


х
k
Лемма Пуансо
Не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно переносить
параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару,
момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки
приложения.
Доказательство:

К телу в точке А приложена сила F. Добавим в точке В
уравновешенную систему сил (рис. 1.18):
В
А
  ,   ∾ 0,
F  F 


 





∾  F  , F  , F  ∾
 



F  F   F ,

F
    ,  .
F   F  F 

 
F , F  – пара сил с моментом


 
m F , F   m B  F . Лемма доказана.





Рис. 1.18
1.6. Алгебраический момент силы относительно точки
Если силы расположены в одной плоскости, то используется
понятие алгебраического момента силы. Алгебраическим моментом
силы относительно центра называется взятое со знаком плюс или
минус произведение модуля силы на плечо. Знак плюс выбирается в том
случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно
центра против хода часовой стрелки (рис.1.19):
h
h
0
+
0
-
Рис. 1.19
Для характеристики вращательного действия силы на тело,
закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси –
алгебраическая величина, равная проекции вектора момента силы
относительно произвольной точки оси на эту ось (рис. 1.20):
 
 
 
mz  F   npz mO  F 
 
 
z
0
у
х
Рис. 1.20
1.7. Главный вектор и главный момент системы сил

Главным вектором R системы сил называется геометрическая

n 
сумма всех сил системы:


R
F , или в проекциях
k 1 k
n
n
n
2
2
2
,
,






F ky R z
Rx
F kx R y
F kz . R  Rx  Ry  Rz .
k 1
k 1
k 1

Главным моментом M O системы сил относительно данного
центра называется сумма моментов всех сил системы относительно
этого центра:

n  
=

MO
m O  Fk  .
k 1  
Главный момент определяется своими проекциями на оси
координат:



n
n
n






M
M Oх =  mOх  Fk  ,
M Oz =  mOz  Fk 
Oу =  mOу  Fk  ,
 
 
 
k 1
k 1
k 1
2
2
2
M O  M Ox
 M Oy
 M Oz
.
1.8. Приведение произвольной плоской системы сил к центру.
Плоская система сил – это такая система, все силы которой
лежат в одной плоскости.
В этом случае в результате приведения получаем силу и пару,
лежащие в одной плоскости. Главный вектор плоской системы сил
определяется его проекциями на две координатные оси, а главный
момент является скаляром и находится как алгебраическая сумма
моментов всех сил системы относительно выбранного центра
приведения.
Теорема
Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно
заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила
равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно
выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному
моменту системы сил относительно этой точки.
Доказательство:
Точка О – центр приведения (рис.
 1.21а). По
лемме Пуансо перенесем силу F1 в точку О
0



 
(рис.1.21а): F1  F1 , m1  m о  F 1 .


Аналогично перенесем все
остальные
силы (рис. 1.21б) : В результате получим
а)
систему сходящихся сил и систему пар сил. По
теореме о существовании равнодействующей
системы сходящихся сил их можно заменить

n 
одной силой R   F k , равной главному
k 1
0
вектору. Систему пар можно заменить одной
парой, момент которой равен
главному
моменту

б)
Рис. 1.21
n  
M O =  m O  Fk 
k 1  
Условия равновесия произвольной плоской системы сил.
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно,
чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:
n
n
 n
 mО  Fk  =0  F ky  0  F kx  0
k 1
k 1   k 1
Условия равновесия плоской системы сил могут быть записаны в
следующих эквивалентных формах:


n
n
n




=0
=0
 Fkx  0
 m B  Fk 
 m A  Fk 
k 1   k 1   k  1
(отрезок АВ не перпендикулярен оси Ох);



n
n
n






 mс  Fk  =0  m В  Fk  =0  m А  Fk  =0
k 1   k 1   k 1  
(точки А, В, С не лежат на одной прямой).
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа