close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Открытый урок по математике
Тема: «В мире многогранников»
Преподаватель Савенкова И. А.
Цели и задачи:
образовательная:
изучить понятие правильного многогранника;
рассмотреть свойства правильных многогранников;
способствовать систематизации знаний об основных видах
многогранников;
показать их применение в других видах деятельности.
воспитательная:
воспитывать умение работать в команде;
воспитывать чувство ответственности и объективности при
взаимопроверке;
воспитывать умение видеть красоту математического мира.
развивающая:
продолжить формирование навыков самостоятельного мышления и
анализа;
показать связь математики с другими дисциплинами и областями
человеческой деятельности;
продолжить работу над формированием грамотной математической
речи;
способствовать развитию интереса к математике;
способствовать умению применять полученные знания на практике.
Тип занятия изучение нового материала.
Методы обучения объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый,
репродуктивный.
Информационно-методическое обеспечение презентации «В мире
многогранников», «Подведем итоги», набор моделей геометрических тел,
раздаточный материал.
Содержание учебной работы.
1) Организация начала урока. Приветствие. Сообщение темы.
2) Постановка цели и задач урока, мотивация предстоящей
деятельности.
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и
красотой, как правильные многогранники. “Правильных многогранников так
мало, - написал когда-то Л. Кэрролл, - но это весьма скромный по
численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.
Сегодня на уроке мы поговорим о многогранниках, а точнее о том
какие многогранники называются правильными, где встречаются
многогранники в природе, быту, искусстве, в других науках. А так же
познакомимся с мнением ученых древности об использовании
многогранников. Итак, цели нашего занятия: изучить понятие правильного
многогранника, рассмотреть свойства правильных многогранников,
систематизировать знания об основных видах
многогранников;
показать их применение в других видах деятельности.
3) Актуализация опорных знаний (фронтальный опрос):
 Какую фигуру называем многогранником? Приведите примеры.
 Что называют гранями многогранника? Рёбрами? Вершинами?
 Какие бывают многогранники?
 Какой многогранник называют выпуклым? Невыпуклым?
 Какие выпуклые многогранники мы проходили? Назовите их.
 Какие многогранники называют правильными? Прямыми?
Наклонными?
 Какой многогранник называют призмой? Пирамидой?
4) Объяснение нового материала (сопровождается презентацией):
а) Изучение понятия
«правильный многогранник». (Студенты
рассуждают вместе с преподавателем, отвечают на вопросы).
Определение: выпуклый многогранник называется правильным, если его
грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом
сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число
ребер. Выделите ключевые слова:
1) выпуклый,
2) грани – равные многоугольники,
3) грани – правильные многоугольники,
4) в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.
Убедимся что обе части определения необходимы.
Уберём вторую часть определения. Выпуклый многогранник
называется правильным, если его грани являются правильными
многоугольниками с одним и тем же числом сторон. Посмотрите на
многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который
получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной
гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!).
Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер,
сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в
некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого
многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник,
действительно, не является правильным.
Попробуем убрать первую часть определения. Выпуклый
многогранник называется правильным, если в каждой вершине
многогранника сходится одно и то же число ребер. Посмотрите на этот
многогранник (демонстрируется модель параллелепипеда). Подсчитаем
число ребер выходящих из каждой вершины – три ребра, грани не являются
правильными многоугольниками. Первая часть определения не выполняется
и этот многогранник не является правильным.
Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его
частях. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани
являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и
в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
б) Виды правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр,
додекаэдр, икосаэдр.
В процессе объяснения нового материала студенты должны заполнить
таблицу:
Тела
Форма грани
количество
Граней
Вершин Ребер
(Г)
(В)
(Р)
В+Г-Р
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних
треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.
Правильный гексаэдр (куб) составлен из шести квадратов. Каждая
вершина куба является вершиной трех квадратов.
Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних
треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех
треугольников.
Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних
треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти
треугольников.
Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных
пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех
правильных пятиугольников.
Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.
Заполните последний столбец. Что получилось?
Теорема Эйлера: Пусть В – число вершин выпуклого многогранника,
Р – число его ребер и Г – число граней. Тогда верно равенство В+Г-Р=2.
Это число называется эйлеровой характеристикой многогранника.
Леонард Эйлер(1707-1783) родился в Швейцарии, но почти полжизни провел
в России, внес значительный вклад в развитие математики, механики,
физики, астрономии и ряда прикладных наук.
в) Многогранники в различных областях жизни и деятельности
человека. (Студенты в рабочих тетрадях записывают основные проявления
многогранников в окружающем мире).
Многогранники в истории. Названия правильных многогранников
пришли из Греции. В дословном переводе с греческого «тетраэдр»,
«октаэдр»,
«гексаэдр»,
«додекаэдр»,
«икосаэдр»
означают:
«четырехгранник»,
«восьмигранник»,
«шестигранник»,
«двенадцатигранник», «двадцатигранник». В своих философских теориях
правильные многогранники использовали: Платон, Пифагор, Евклид,
Архимед, Кеплер.
Правильные многогранники еще называют телами Платона, т.к. они
занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве
мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности
или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена
вверх. Куб – землю, как самый «устойчивый». Октаэдр – воздух, как самый
«воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все
сущее», символизировал все мироздание, считался главным.
Многогранники в природе.
 Молекула метана имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт
подтверждается фотографиями, полученными при помощи электронного
микроскопа.
 Феодарии – одноклеточные организмы, форма которых точно передает
икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть,
тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно
икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности.
Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму
преодолевать давление водной толщи.
 В центре внимания биологов, в их спорах относительно формы вирусов,
оказался икосаэдр. Вирус не может быть совершенно круглым, как
считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные
многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток
атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно
такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, позволяют
экономить генетическую информацию.
 Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных
многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли,
монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра,
кристалл сернистого колчедана имеет форму додекаэдра, сурьмянистый
сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра.
 Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим
широко пользуется.
Многогранники в архитектуре.
Многогранники в искусстве.
 Сальвадор Дали на картине "Тайная вечеря" изобразил И. Христа
со своими учениками на фоне огромного прозрачного
додекаэдра.
 Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт
Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на
переднем плане изобразил додекаэдр.
 Известный голландский художник Маурица Эшер (1898-1972)
написал картину – фантазию на тему “Правильные
многогранники”.
Многогранники и высокая мода.
г) Подведение итогов конкурса «Лучший дизайнер».
5) Закрепление.
Задание №1(Студенты решают самостоятельно, затем взаимопроверка в
парах). Определите количество граней, вершин и рёбер многогранники,
изображенного на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для
данного многогранника.
Г=12 В=10 Р=20
В+Г-Р=10+12-20=2.
Задание №2 (Работа в группах, защита у доски). Вывести формулы для
нахождения площадей правильных многогранников:
Первая группа – тетраэдр.
Вторая группа – куб.
Третья группа – октаэдр.
Четвертая группа – икосаэдр.
Sт ет.  a2 3
Sгек  6a2
Sикос.  5a2 3
Sокт.  2a2 3
Задание № 3. (Студенты решают самостоятельно, затем взаимопроверка в
парах). Определить разверткой какого многогранника, является каждая из
данных разверток.
6) Подведение итогов (презентация «Подведем итоги») и выставление
оценок.
7) Задание на дом:
 Подготовить сообщение на тему: «Космологическая гипотеза
Кеплера» (по желанию).
 Подготовить сообщение на тему: «Звездчатые многогранники»
(по желанию).
 Задача №1 Муха движется вдоль ребер выпуклого
многогранника. Может ли муха обойти все вершины этого
многогранника, проходя по каждому ребру только один раз?
 Задача №2 Вывести формулу для нахождения площади
поверхности додекаэдра.
Мы с вами изучили понятие правильного многогранника, рассмотрели
свойства правильных многогранников, систематизировали знания об
основных видах
многогранников; показали их применение в
различных видах деятельности человека.
Я думаю, каждый из вас для себя сделает выводы о роли математики в
жизни человека.
Закончить наше занятие хочу словами Бертрана Рассела «Математика
владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и
строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству,
которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа