close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Формальное определение развертки многогранника довольно сложное. Школьник, как правило,
понимает, о чем идет речь. Развертка многогранника позволяет изящно решать многие
геометрические задачи, например, находить кратчайшие расстояния между двумя точками на
поверхности многогранника.
Математически верное определение
Совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, вместе с
указанием того, какие их стороны и вершины представляют собой одни и те же ребра и вершины
многогранника, называется разверткой этого многогранника.
Ясно, что имея многогранник, мы всегда можем построить его развертку. Гораздо менее ясно,
можно ли, наоборот, задав заранее набор многоугольников и схему склеивания их сторон и
вершин, быть уверенным в том, что тем самым определен некоторый многогранник - и если это
так, то сколько различных многогранников мы можем таким образом получить. Иными словами,
возникает вопрос о существовании и единственности многогранника с заранее заданной
разверткой. Мы рассмотрим этот вопрос лишь в отношении выпуклых многогранников.
Заданная совокупность плоских многоугольников (вместе с заданной схемой склеивания их
сторон и вершин) определяет комбинаторный тип многогранника, а также форму и размеры его
граней. Комбинаторный тип согласно теореме Штейница, всегда может быть реализован
некоторым выпуклым многогранником, если только выполняются следующие условия:
1) должны выполняться все три требования, фигурирующие в определении
многогранника;
2) число вершин, граней и ребер развертки должны удовлетворять теореме Эйлера: В+Г-Р
= 2. При этом, разумеется, стороны (и вершины) многоугольников, подлежащих склейке, должны
считаться одним ребром (одной вершиной) развертки).
Кроме того, для существования выпуклого многогранника с данной разверткой необходимо еще
выполнение следующих метрических условий:
3) склеиваемые стороны многоугольников должны иметь одинаковую длину;
4) сумма плоских углов при каждой из вершин развертки должна быть меньше
.
Условия 1) - 4), необходимость которых очевидна, не являются еще достаточными для
существования искомого многогранника.
Оказывается, однако, что перечисленные выше условия 1) - 4) обеспечивают существование
многогранника (и, притом выпуклого), если не требовать, чтобы этот многогранник имел в
точности данную развертку, а допустить объединение некоторых смежных многоугольников
данной развертки в одну грань и, наоборот, разбиение некоторых многоугольников на несколько
граней. Этот факт был доказан в 1942 году ленинградским математиком А.Д.Александровым.
Если модель многогранника, изготовленную из картона, разрезать по некоторым ребрам и
развернуть на плоскости, то получим многоугольник, который называют разверткой данного
многогранника (эту фигуру также называют разверткой поверхности данного
многогранника).
Развертка многогранника - замкнутой многогранной поверхности - представляет собой
объединение конечного числа многоугольников, соответственно равных граням этого
многогранника, вместе с указанием того, какие стороны и какие вершины многоугольников
изображают одни и те же ребра и вершины данного многогранника, и поэтому соответственно
должны склеиваться друг с другом. При этом склеивание двух отрезков (равных сторон
многоугольников развертки) означает установление между их точками такого соответствия, при
котором сохраняются расстояния (склеиваемые части отрезков имеют равные длины), и
соответствующие точки отрезков (сторон многоугольников), склеивая, отождествляют (считают за
одну точку развертки, а, следовательно, за одну точку данного многогранника).
Многоугольники, составляющие развертку многогранника, называются гранями развертки,
стороны этих многоугольников называются ребрами развертки, и склеиваемые стороны
многоугольников считаются за одно ребро развертки. Вершины многоугольников называются
вершинами развертки, и склеиваемые вершины многоугольников считаются за одну вершину
развертки.
Отождествление (склеивание) вершин развертки происходит при отождествлении (склеивании) ее
ребер, так как вершины являются концами ребер.
Определения из учебников
1. И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных
учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]
Если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть ее на
плоскость так, что все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в данной
плоскости, то получится фигура, называемая разверткой многогранника.
2. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для
общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]
Если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть ее на
плоскость так, что все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в данной
плоскости, то полученная фигура на плоскости называется разверткой многогранника.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 11 класс: учебник для
общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением
математики [ПотоскуевЗвавич11у]
Если модель многогранника, изготовленную из картона, разрезать по некоторым ребрам и
развернуть на плоскости, то получим многоугольник, который называют разверткой
данного многогранника (эту фигуру также называют разверткой поверхности данного
многогранника).
Развертка многогранника --- замкнутой многогранной поверхности --- представляет собой
объединение конечного числа многоугольников, соответственно равных граням этого
многогранника, вместе с указанием того, какие стороны и какие вершины
многоугольников изображают одни и те же ребра и вершины данного многогранника, и
поэтому соответственно должны склеиваться друг с другом. При этом склеивание двух
отрезков (равных сторон многоугольников развертки) означает установление между их
точками такого соответствия, при котором сохраняются расстояния (склеиваемые части
отрезков имеют равные длины), и соответствующие точки отрезков (сторон
многоугольников), склеивая, отождествляют (считают за одну точку развертки, а
следовательно, за одну точку данного многогранника).
Многоугольники, составляющие развертку многогранника, называются гранями
развертки, стороны этих многоугольников называются ребрами развертки, и склеиваемые
стороны многоугольников считаются за одно ребро развертки. Вершины многоугольников
называются вершинами развертки, и склеиваемые вершины многоугольников считаются
за одну вершину развертки.
Отождествление (склеивание) вершин развертки происходит при отождествлении
(склеивании) ее ребер, так как вершины являются концами ребер.
4. А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов
общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Разверткой многогранника называется совокупность плоских многоугольников, равных
его граням, для которых указано, как их склеивать друг с другом по сторонам и вершинам.
Упоминание вершин при этом совсем не лишне, так как два многоугольника можно
склеить по общей стороне различными способами.
5. В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для
9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого
материала (бумаги, тонкого картона и т.п.), то эту модель можно разрезать по нескольким
ребрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот
многоугольник называется разверткой поверхности многогранника.
6. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк.
Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений
[Атанасян10-11]
Определения
развертки
многогранника
в
учебнике
нет,
но
есть
упоминание о развертках боковых поверхностей цилиндра и конуса.
Определения
этого
понятия
в
учебнике
нет,
но
в
практических
заданиях после п.37 помещены задачи, связанные с развертками правильных
многогранников.
7. А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11
классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
Определения этого понятия в учебнике нет.
8. А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 11 класса школ с
углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик11у]
Разверткой (выпуклого многогранника) мы называем совокупность конечного числа
многоугольников с указанным правилом склеивания их сторон или отрезков сторон. При
этом склеивание двух отрезков означает установление между ними соответствия,
сохраняющего расстояния (соответствующие части отрезков имеют равные длины), и
сопоставляемые точки считаются за одну точку развертки, т.е. в этом смысле
отождествляются.
Правило склеивания состоит в следующем:
1) некоторые стороны многоугольников разделены на отрезки, которые объявлены
сторонами, а их концы --- вершинами (как, например, на крестообразной развертке куба;
конечно, таких условных сторон и вершин может и не быть).
2) каждая сторона склеивается самое большее с одной стороной другого или того же
самого многоугольника;
3) от каждого многоугольника можно перейти к любому другому, переходя
последовательно от одного многоугольника к другому через их склеенные стороны.
Стороны многоугольников называются ребрами развертки при условии, что склеенные
стороны считаются за одно ребро. Стороны, не склеенные с другими, образуют край
развертки.
Вершины многоугольников называются вершинами развертки при условии, что
отождествленные вершины многоугольников считаются за одну вершину
9. И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных
учебных заведений [Шарыгин10-11]
Определения развертки многогранника в учебнике нет, но развертке посвящен целый
раздел 4.4, в котором приводятся примеры многогранников и их разверток, полученных
разрезанием (не только по ребрам). Рассматривается также многогранник (правильная
усеченная треугольника пирамида) и такая его развертка, которая накрывает сама себя
(самопересекается).
10. А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы:
Учебник и задачник [Киселев10-11]
Определения развертки многогранника в учебнике нет.
Определения
развертки
многогранника
в
учебнике
нет,
но
есть
определения разверток боковых поверхностей цилиндра, конуса и усеченного конуса.
В учебниках А.Д.Александрова, А.Л.Вернер, В.И.Рыжика и Е.В.Потоскуева, Л.И.Звавича
дается формальное определение развертки многоранника. В остальных --- просто
описание того, что обычно понимают под словом. Формальное определение развертки
многогранника довольно сложное. Школьник, как правило, понимает, о чем идет речь.
Развертка многогранника позволяет изящно решать многие геометрические задачи,
например, находить кратчайшие расстояния между двумя точками на поверхности
многогранника. При этом необходимо рассматривать все возможные развертки. В
учебнике И.Ф. Шарыгина есть дополнительный раздел, посвященный разверткам
многогранников. Там приводится пример многогранника (усеченной пирамиды) и его
развертки, которая перекрывает сама себя.
МНОГОГРАННИКИ ИЗ ЛЕНТЫ
А. Черенков, В. Храмов
"Наука и Жизнь" № 16. 1989 г.
Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления
о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам
- удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание можества выдающихся
мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши. Впрочем, многогранники - отнюдь
не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые,
широко используются в декоративном искусстве. Обычно модели многогранников
конструируют из разверток. Но есть и другой способ. Математики давно уже доказали
возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 1 показано, как получить
тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних
треугольников.
Рис. 1
Аналогичным способом можно свернуть куб (рис. 2). Его грани также выстраиваются в
цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования,
достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата (задача на построение куба из ленты
публиковалась в журнале. "Наука и жизнь" № 10, 1972 г.).
Рис. 2
Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее
поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных
многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные
многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей
симметрии 5-го, 7-го и высших порядков - иначе говоря, сплошной узор из
пятиугольников построить невозможно.
Рис.3
Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных
треугольников (рис. 3 и рис. 4). Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем
сворачивать такие же кольца.
Рис.4
Узоры наших лент - это частный случай сетей симметрии Шубникова - Лавеса (см. рис. 5).
Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных
решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные - совмещением
квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования
многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное
явление.
Рис. 5
В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном
смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то
есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за
счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг
узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из
ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная
симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов; 30° 45°, 60°,
90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты
объемных тел. Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с
углами разбивки, кратными 30° и 45°. Из них получается четыре правильных
многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр - и целое семейство однородных
многогранников (см. рис. 6). В прекрасном сочинении Иоганна Кеплера "О
шестиугольных снежинках" есть очень меткое замечание: "Среди правильных тел первым
по праву считается куб, первозданная фигура, отец всех остальных тел, Октаэдр,
имеющий столько же вершин, сколько у куба граней, является как бы его супругой..."
Действительно, все элементы образующихся из нашей ленты сложных форм являются
элементами куба или октаэдра, либо того и другого вместе.
Рис.
6
Построение простых многогранников не представляет особых затруднений. Но чтобы
сложить из ленты сложные звездчатые формы, понадобятся специальные приспособления
для удержания еще не соединенных между собой колец - скрепки, зажимы и тому
подобное. Создание оригинальных по своей форме многогранников чрезвычайно
занимательно самим процессом формообразования. Лента имеет лицо и оборот, которые
попеременно или одновременно участвуют в построении граней тела; каждый перегиб
позволяет вести формообразование в двух направлениях. Отсюда нетрудно представить
целое семейство игр-головоломок на основе ленты. Например, сложить рисунок, узор,
орнамент, фрагменты которого разбросаны по ленте в заданном порядке.
Построение разверток многогранников
Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при
совмещении всех его граней с плоскостью. Следовательно, построение развертки
многогранника сводится к построению истинных величин его граней. Выполнение этой
операции связано с определением натуральных величин его ребер, которые являются
сторонами многоугольников - граней, а иногда и некоторых других элементов. Грани
многогранника условно разделяются на боковые и стороны основания. Существуют три
способа построения разверток многогранных поверхностей:
1) способ треугольников (триангуляции);
2) способ нормального сечения;
3) способ раскатки.
Построение развертки пирамиды способом триангуляции
Боковые грани любой пирамиды являются треугольниками. Для построения развертки
пирамиды (рис. 9.2) необходимо предварительно определить натуральные величины
боковых ребер и сторон основания.
Рис. 9.2. Построение развертки пирамиды
У изображенной на рисунке пирамиды стороны основания являются горизонталями и
проецируются на плоскость П1 в истинную величину. Истинные величины боковых ребер
определены способом прямоугольных треугольников. S2M0C0, S2M0B0 и S2M0А0, у
которых одним катетом является высота пирамиды (S2М0 - разность высот точки S и точек
А, В, С), а другим - горизонтальная проекция соответствующего ребра.
(/M0C0/ = /S1C1/; /M0B0/ = /S1B1/; /M0A0/ = /S1A1/; /M0K0/ = /S1K1/).
Натуральные величины ребер пирамиды могут быть определены способом вращения
вокруг оси, проходящей через вершину S и перпендикулярной плоскости П 1. Следующая
операция состоит в построении каждой боковой грани как треугольника по трем
сторонам. В результате получается развертка боковой поверхности пирамиды в виде ряда
примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Присоединив к
полученной фигуре основание ( АВС), получим полную развертку пирамиды. Построение
на развертке точки 1, принадлежащей поверхности пирамиды, понятно из чертежа. Такой
способ построения развертки поверхности называется способом триангуляций.
Построение развертки призмы способом нормального сечения
Для построения развертки наклонной призмы, изображенной на рис. 9.3 необходимо
найти истинные величины боковых ребер и сторон основания призмы. Призма
расположена так, что ее боковые ребра параллельны плоскости П2 и проецируются на нее
в натуральную величину. Стороны оснований являются горизонталями и проецируются на
плоскость П1 без искажения. Таким образом, длины сторон каждой грани известны,
однако этого еще недостаточно для построения истинной формы боковых граней.
Рис. 9.3. Построение развертки призмы
Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами, которые не могут быть
построены по четырем сторонам. Для построения параллелограмма необходимо помимо
длины сторон знать еще его высоту. Для определения высот граней пересечем призму
плоскостью ∑( ∑2), перпендикулярной к ребрам (способ нормального сечения), и
определим истинную величину сечения путем замены плоскостей проекций. Стороны
этого нормального сечения и будут высотами соответствующих граней. Теперь
приступаем к построению развертки. На свободном месте чертежа проводим
горизонтальную прямую m и откладываем на ней отрезки /1 - 2/ = /14 - 24/, /2 - З/ = /24 - 34/
и /3 - 1/ = /34 - 14/.
Через точки 1, 2, 3, 1 проводим перпендикуляры к прямой m и откладываем на них
величины боковых ребер так, чтобы /А1/ = /А212/ и /1К/ = /12К2/, /В2/ = /В222/ и /2L/ =
/22L2/ и т. п.
Соединив концы построенных отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы.
Присоединив к ней оба основания, получим полную развертку призмы. Построение на
развертке точки 4, принадлежащей поверхности призмы, понятно из чертежа.
Развертки правильных многогранников
Математические этюды о развертках
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Кубистский паркет
Анти-Дюрер
И это развертка?
Удивительные объемы многогранников
Развертка
Изгибаемые многогранники
Кусочно гладкое вложение многогранника
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа