close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Рабочая тетрадь
Тема « Дифференциальное исчисление»
Апрель 2014
Производная и дифференциал функции.
 Производной от функции y  f x по аргументу x называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю:
y
f x  x  f x
или f ' x  lim

x

0
x
x
dy
Примечание: другое обозначение производной
.
dx
y '  lim
x0
 Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с
постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет
произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых
содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования
произведения:
Далее применяем правило дифференцирования суммы (в нашем случае в каждой сумме
второе слагаемое со знаком минус).
Искомая производная:
Пример 3. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу
дифференцирования частного:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также,
что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере
берётся со знаком минус:
Примеры. Найти производные функций.
1. y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:
y′=7x6+5x4-4x3+3x2-2x+1.
2. y=3x6-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.
y′=3∙6x5-2=18x5-2.
Применяем правило I, формулы 3, 5 и 6 и 1.
Применяем правило IV, формулы 5 и 1.
Вычислить значение производной функции y(x) самостоятельно:
1) y  2x 2  3x  5 ;
y  4  x4 ;
x2
3) y 
;
2
2)
4)
;
5) y  sin x  cos x;
6) y  3x 2 ;
7) y  3 x ;
1
x
8) y  x  ;
Решение: Используем основные правила нахождения производных:
'
'
1
1 x 2 1

1
'
 y   x    x     1  2  2
x
x
x

 x
'
2
x
x3
10) y 
;
x
9) y  x  ;
Правило нахождения производной сложной функции:
 f gx'  f ' gx g ' x
11) y  x  3 .
Решение:
7
y'  x  37   7x  36  x  3'  7x  36 .
'
12) y  3x  49 ;
x
3
14) y  1  3x 2 ;
23x
15) y  2 x ;
3
13) y  cos3 ;
 Геометрический смысл производной функции. Производная представляет собой
угловой коэффициент касательной к графику функции y  f x в точке x , т.е.
y '  tg .
 Пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ′(x) на отрезке [a; b].
Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести
касательную, которая задается уравнением:
y = f (x0) + f ′(x0) · (x − x0)
Здесь f ′(x0) — значение производной, а f (x0) — значение самой функции в точке x0 .
Пример. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой
функции в точке x0 = 2.
Решение:
Уравнение касательной: y = f(x0) + f ′(x0) · (x − x0) .
Найдем значение функции: f(x0) = f(2) = 23 =8.
Найдем производную: f ′(x) = (x3)′ = 3x2.
Найдем производную в точке касания x0 = 2: f ′(x0) = f ′(2) = 3 · 22 = 12.
Получаем уравнение касательной: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Самостоятельно:
1. Написать уравнение касательной к графику функции
в точке
2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции
параллельны оси абсцисс.
 Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между
касательной и положительным направлением оси
ОХ
равен нулю,
следовательно, тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение
производной функции в точках касания равно нулю.
3. Написать уравнения касательных к графику
функции
, параллельных прямой
.
 Коэффициент наклона прямой
равен -1. Касательная параллельна
этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1.
Коэффициент наклона касательной есть значение производной в точке касания
(геометрический смысл производной функции).
 Физический смысл производной. Производная функции в точке х показывает
скорость изменения функции в этой точке.
Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то,
чтобы найти скорость тела в момент времени t0, нужно найти значение производной
функции S(x) в точке t0:
Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где
— расстояние от точки отсчета в метрах, — время в
секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в
момент времени
.
Решение.
1. Найдем производную функции
2. Найдем значение производной в точке
:
:
Ответ: 60 м/с.
Пример 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где
— расстояние от точки отсчета в метрах, — время в
секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее
скорость была равна 3 м/с?
Решение.
Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно, нам
известно значение производной в точке
.
Найдем производную заданной функции:
По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной
в момент
времени
равно 3. Получаем уравнение:
Ответ: 8 сек.
Самостоятельно:
1) Закон движения материальной точки по прямой задан формулой
.
В какой момент времени скорость точки равна нулю?
2) Точка движется по закону
. Чему равна скорость в момент времени
?
 Дифференциалом (первого порядка) функции y  f x называется главная часть ее
приращения, линейная, относительно приращения аргумента.
 Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента dx  x .
 Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал
df x   f ' x dx
аргумента:
или
dy  y ' dx .
Найти дифференциалы функций
 
'
1. y  3x 2 . Решение: dy  y 'dx  3x 2 dx  6xdx .
2. y  4x 4
3. y 
2
x
x
2
x
5. y 
2
7. y  2x
4.
y
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа