close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
ЛЕКЦИЯ № 11
Тема: Координаты и векторы в пространстве
План:
1. Декартова система координат
2. Формула нахождения расстояния между точками через их
координаты
3. Формула нахождения координат середины отрезка
4. Уравнения прямой, плоскости и сферы.
5. Определение вектора, координаты вектора. Модуль вектора,
равенство векторов.
6. Действия над векторами в пространстве
7. Разложение вектора по направлениям
8. Скалярное произведение векторов. Угол между двумя векторами.
9. Проекция вектора на ось
Декартова система координат
Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые
X, Y, Z,
пересекающиеся в одной точке О. Проведем через каждую пару этих прямых
плоскость. Плоскость, проходящая через прямые X и Y называется
плоскостью XY. Две другие плоскости называются соответственно XZ и YZ.
Прямые X,Y,Z называются координатными осями. Точка О- началом
координат, а плоскости XY, YZ, XZ – координатными плоскостями.
Z
0
Y
X
Координаты точек: А1 (x1, y1, z1), А2 (x2, y2, z2). Положение любой точки
в пространстве определяется тремя координатами. Каждая координата ортогональная проекция точки на координатную плоскость.
Формула нахождения расстояния между точками через их координаты
Пусть даны т. А1 (x1, y1, z1), А2 (x2, y2, z2). Расстоянием между точками
называется число, найденное по формуле:
А1 А 2 
( X 2  X 1 )  У 2  У 1    Z 2  Z 1 
2
2
51
Пример: Найдите расстояние между точками
А1(4;3;-1) А2 (0;2;4)
A1 A2 
 0  4 2   2  3 2   4  1 2
 16  1  25 
42
Формула нахождения координат середины отрезка
Координаты середины отрезка выражаются через координаты его
концов по формулам. Т.А1 (x1, y1, z1), А2 (x2, y2, z2), С (x, y, z) – середина, где
X 
X1  X 2
;
2
Y 
Y1  Y 2
;
2
Z 
Z1  Z 2
2
Пример: координаты середины отрезка АВ, если А (4; -2; 1), В(3; 0; 5)
X 
43
2
 3 ,5
Y 
;
20
2
 2
;
Z 
1 5
2
 3
Уравнения прямой, плоскости и сферы
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие
точки А1 (x1, y1, z1), А2 (x2, y2, z2):
x  x1
x 2  x1

y  y1
y 2  y1

z  z1
z 2  z1
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0)
перпендикулярно вектору N = (A, B, C) имеет вид:
A(x −x0)+ B(y −y0) + C(z −z0) = 0.
В декартовой системе координат уравнение сферы радиуса R с
центром C (x0, y0, z0) имеет вид:
 x  x 0 2   y 
y0   z  z0   R
2
2
2
Определение вектора, координаты вектора.
Модуль вектора, равенство векторов.
Опр: Отрезок, у которого указаны начало и конец, называется
направленным отрезком или вектором.
Опр: Координатами вектора с началом в т. А1(X1,Y1,Z1) и концом в т.
A2(X2,Y2,Z2) называются числа Х2-Х1, Y2-Y1, Z2-Z1.
Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка
AB, обозначается | a |.
Нулевой вектор 0 или 0 - это вектор, у которого начальная и конечная
точки совпадают, т.e. A = B. Отсюда, 0 = – 0.
Опр: Два вектора называются равными, если они сонаправленные и
имеют равные модули.
52
Действия над векторами

 а1 , а 2 , а 3 
а
1) Суммой векторов
вектор

С  ( a 1  b1 ; a 2  b 2 ; a 3  b 3 )

в в1 , в 2 , в 3  называется
и

 а1 , а 2 , а 3 
а
2) Произведением вектора

вектор  а 
на число α называется
  а1 ,  а 2 ,  а 3 
Разложение вектора по направлениям
Опр: Два вектора
и
параллельны в широком смысле.
называются коллинеарными, если они
Теорема: Для того чтобы два вектора
и были бы коллинеарные
необходимо и достаточно, чтобы
(k - скаляр).
Опр: Три вектора , ,
называются компланарными, если они
параллельны некоторой плоскости в широком смысле.
Теорема: Чтобы три ненулевых вектора , , были бы компланарны,
необходимо и достаточно , чтобы один из них является линейной
комбинацией двух других.
(k, l - скаляры).
Теорема: Если дана упорядоченная тройка векторов
некомпланарных векторов, то для любого вектора
существует
единственная упорядоченная тройка чисел
, удовлетворяющая
равенству
. Т.е. в пространстве вектор
три некомпланарных вектора.
разлагается на
Скалярное произведение векторов. Угол между двумя векторами.
Теорема: Скалярное произведение векторов
выражается формулой:
a { x1 ; y 1 ; z 1 } и
b {x2 ; y2 ; z2}
a  b  x1 x 2  y 1 y 2  z 1 z 2
Следствие 1: Ненулевые векторы a { x 1 ; y 1 ; z 1 } и b { x 2 ; y 2 ; z 2 }
перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1 x 2  y 1 y 2  z 1 z 2  0 .
Следствие 2: Косинус угла α между ненулевыми векторами
a { x1 ; y 1 ; z 1 }
и b { x 2 ; y 2 ; z 2 } выражается формулой:
cos  
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
x  y1  z1 
2
1
2
2
x2  y2  z2
2
2
2
.
Проекция вектора на ось
Проекцией vx вектора на ось х называется длина его составляющей
по этой оси, взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с
53
направлением оси, и со знаком “–” в противном случае. Заметим, что
проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус
угла между вектором и осью. (vx=|v|cos)
При разложении вектора на составляющие вдоль осей координат в
декартовой системе координат вводится понятие координат вектора как
коэффициентов
координаты
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
разложения:
.
если
то
вектор
имеет
Контрольные вопросы для закрепления:
Дайте определение всем составляющим декартовой системы координат
в пространстве.
Как найти расстояние между точками через их координаты,
нахождение координат середины отрезка.
Чему равны уравнения прямой, плоскости и сферы.
Дайте определение вектора, координаты вектора, модуля вектора,
равенства векторов.
Как сложить вектора, умножить вектор на число? Какие действия над
векторами можно еще совершать?
Каким образом можно разложить вектор в пространстве?
Чему равно скалярное произведение векторов, угол между двумя
векторами.
Как построить проекцию вектора на ось? Чему равна проекция вектора
на ось?
Литература:
1. Погорелов А.В. «Геометрия» 4 п.23-29, 35-38
2. Подготовка к ЕГЭ по математике [электронный ресурс] Вектора
URL: http://uztest.ru/abstracts/?idarticlecategory=9
54
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа