close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Задача на проценты и отношения
Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4
лепёшки, а у Прохора — 8. Тут к ним подошёл охотник. -- Вот, братцы, заблудился
в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебомсолью! -- Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады, — сказали лесорубы. Двенадцать
лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах,
нашёл гривенник и полтинник и сказал: -- Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего
нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит: -- Помоему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает: -- За 12 лепёшек —
60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек — тебе 40 коп.,
у меня 4 лепёшки — мне 20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?
Подсказка
Обратите внимание, на каждого едока приходится по 4 лепёшки.
Решение
Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось по 4 лепёшки, следовательно,
Иван съел все свои лепёшки сам, а Прохор половину своих лепёшек отдал охотнику. Это
означает, что все 60 коп. должен получить Прохор.
Ответ
Все деньги должен получить Прохор.
2.
В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше
младшего, причём возраст каждого ребёнка — простое число. Сколько лет младшему?
Подсказка
Может ли возраст младшего ребёнка быть чётным числом?
Решение
Возраст младшего ребёнка не может быть чётным числом, так как иначе возрасты
старших детей не будут простыми числами. Он не может оканчиваться на 1, 3, 7, 9 —
иначе возраст одного из старших детей будет делиться на 5. Единственное простое число,
удовлетворяющее этим условиям, — 5. Проверка показывает, что если возраст младшего
ребёнка будет равен 5 годам, возрасты всех старших будут выражаться простыми
числами.
Ответ
5 лет.
3.
Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели
приходится 1 января?
Подсказка
Заметьте, ни 1е, ни 2е, ни 3е января не могут приходиться ни на понедельник,
ни на пятницу.
Решение
Ни 1, ни 2, ни 3 января не могут приходиться ни на понедельник, ни на пятницу,
поскольку в противном случае 29, 30 или 31 января получатся пятой пятницей или пятым
понедельником в месяце. Наше условие может быть выполнено, только если 1, 2
и 3 января придутся, соответственно, на вторник, среду и четверг. Значит, 1 января —
вторник.
Ответ
На вторник.
4.
Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему
равны делимое, делитель и частное?
Подсказка
Чему равно частное?
Решение
Поскольку делимое в 6 раз больше делителя, значит, частное равно 6. А так как делитель
в 6 раз больше частного, значит, он равен 36, а делимое, соответственно, равно 216.
Ответ
216; 36; 6.
5.
Десять человек захотели основать клуб. Для этого им необходимо собрать определённую
сумму вступительных взносов. Если бы организаторов было на пять человек больше,
то каждый из них должен был бы внести на 100 долларов меньше. Сколько денег внёс
каждый?
Подсказка
Попробуйте представить условие задачи в виде системы уравнений. Подумайте, как
решить эту задачу, не составляя системы уравнений.
Решение
Обозначим величину вступительного взноса через x. Тогда можно составить уравнение
10x = 15(x - 100), решив которое, определим x = 300 долларов. Можно было бы решить эту
задачу не составляя уравнения, рассуждая следующим образом: те 100 долларов, которые
сэкономят 10 первоначальных членов клуба, заплатят 5 новых членов, т.е. каждый из 5ти
заплатит по 200 долларов. Таким образом, при 15ти членах клуба общий взнос составит
(200 15) = 3000 долларов. Значит, для 10 ти участников членский взнос был равен (3000 :
10) = 300 долларов.
Ответ
300 долларов.
6.
Женя не успел влезть в лифт на первом этаже дома и решил пойти по лестнице. На третий
этаж он поднимается за 2 минуты. Сколько времени у него займет подъем до девятого
этажа?
Ответ
8 минут.
7.
Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд (по
прямой). Какой длины оказался ряд?
Решение
Получим 100 × 100 × 100 = 1000000 (см) или 10000 м = 10 км.
8.
Расставьте по кругу 6 различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению
двух соседних.
Решение
Если рядом поставить числа a и b, то следующим надо поставить число b/a. За ним 1/a,
потом 1/b, наконец, a/b. При этом a = a/b . b и '' круг замкнулся''. Такие шесть чисел будут
удовлетворять условию задачи, если они все различны. Например, они будут такими, если
взять a = 2, b = 3.
Ответ
Например, 2, 3, 3/2, 1/2, 1/3, 2/3.
9.
Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь. Их
заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов. Сколько было гномов,
и сколько пони?
Решение
Первое решение.
Обозначим количество гномов через x, а количество пони - через y. Получим следующую
систему уравнений:
x+y=15,
{
2x+4y=36.
Из этой системы находим: x=12, y=3.
Второе решение.
Из условия мы знаем, что всего в караване было 15 существ. Если бы все они были
гномами, то у них было бы 15 * 2 = 30 ног; но на самом деле ног на 6 больше, а значит, в
караване были 6 / (4 - 2) = 3 пони и 15 - 3 = 12 гномов.
Ответ
12 гномов и 3 пони.
10.
Офеня купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку
за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя Офеня получает
одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?
Решение
Если оптовая цена ручки x рублей, то прибыль от продажи одному покупателю одной
ручки равна 5 - x, а трёх ручек — 10 - 3x. По условию 5 - x = 10 - 3x, откуда x = 2, 5.
Значит, оптовая цена — 2 рубля 50 копеек.
Ответ
2 рубля 50 копеек.
11.
Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 329, а номер последней
записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем
куске?
Ответ
604 страницы (302 листа).
12.
Натуральное число a увеличили на 1, а его квадрат увеличился на 1001. Чему равно a?
Решение
Запишем для a уравнение (a + 1)2 - a2 = 1001, откуда a = 500.
13.
В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один
рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и
сколько груздей в корзине?
Решение
Так как из 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, то груздей не более 11, а из любых 20
грибов имеется хотя бы один груздь, то есть рыжиков не более 19. Так как всех грибов 30,
то груздей – 11, а рыжиков – 19.
14.
Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и
правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а
в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан
Валентин?
Решение
Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет
18 м/мин.
Ответ
18 м/мин.
Условие
Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки,
Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка,
Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут.
Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Скольких Мышек заменяет Кошка? А Внучка?
Решение
Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5•6 Мышек. Внучка заменяет 4•5•6 Мышек.
Бабка заменяет 3•4•5•6 Мышек. Дедка заменяет 2•3•4•5•6 Мышек. Итого потребуется:
(2•3•4•5•6) + (3•4•5•6) + (4•5•6) + (5•6) + 6 + 1 = 1237 Мышек.
Ответ
1237 Мышек.
Условие
Чук и Гек вместе с мамой наряжали елку. Чтобы они не подрались, мама выделила
каждому из братьев по одинаковому числу веточек и по одинаковому числу игрушек. Чук
попробовал на каждую ветку повесить по одной игрушке, но ему не хватило для этого
одной ветки. Гек попробовал на каждую ветку повесить по две игрушки, но одна ветка
у него оказалась пустой. Как вы думаете, сколько веток и сколько игрушек выделила мама
сыновьям?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Попробуйте поступить как Чук — повесить на каждую ветку по одной игрушке.
Решение
Попробуем поступить, как Чук, — повесим на каждую ветку по одной игрушке, тогда
одна игрушка останется лишней. Теперь возьмём две игрушки — одну, оставшуюся
лишней, а другую снимем с одной из веток. Если теперь эти игрушки повесить вторыми
на те ветки, на которых остались игрушки от первого раза, тогда на двух ветках будут
висеть игрушки и одна ветка останется пустой. Если бы, кроме этих трех веток, были бы
ещё ветки, то на этих "лишних" ветках висело бы по одной игрушке, что противоречит
условию. Таким образом, веток было 3, а игрушек, соответственно, 4.
Ответ
3 ветки, 4 игрушки.
Условие
Белоснежка вырезала из батиста большой квадрат и положила его в сундук. Пришёл
Первый Гном, достал квадрат, разрезал его на четыре квадрата и положил все четыре
снова в сундук. Потом пришёл Второй Гном, достал один из квадратов, разрезал его
на четыре квадрата и положил все четыре снова в сундук. Потом пришёл Третий Гном.
И он достал один из квадратов, разрезал его на четыре квадрата и положил все четыре
снова в сундук. То же самое проделали все остальные гномы. Сколько квадратов лежало
в сундуке после того, как ушёл Седьмой Гном?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Сколько квадратов "добавляет" каждый гном?
Решение
Каждый гном берёт из сундука 1 квадрат, а кладёт 4 — т.е. добавляет 3 квадрата.
Следовательно, после ухода Седьмого Гнома в сундуке должно лежать 1 + (3 7) = 22
квадрата.
Ответ
22 квадрата.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Отношение
[
]
объемов
[ Подобие ]
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Прислать
комментарий
Условие
Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз
короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных
коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Обратите внимание: в Гулливерский спичечный коробок должно помещаться
12 лилипутских коробков в ширину, 12 — в длину и 12 — в высоту.
Решение
В гулливерском спичечном коробке должно помещаться 12 лилипутских коробков
в ширину, 12 — в длину и 12 — в высоту. Всего 12 12 12 = 1728 коробков.
Ответ
1728 коробков.
Арифметика.
[ Устный счет и ]
т.п.
Периодичность и
[
]
непериодичность
Деление с
[
]
остатком
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Прислать
комментарий
Условие
Начнём считать пальцы на правой руке: первый — мизинец, второй — безымянный,
третий — средний, четвёртый — указательный, пятый — большой, шестой — снова
указательный, седьмой — снова средний, восьмой — безымянный, девятый — мизинец,
десятый — безымянный и т.д. Какой палец будет по счёту 1992-м?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Заметьте, с некоторого момента начнёт повторяться группа из восьми пальцев:
безымянный, средний, указательный, большой, указательный, средний, безымянный,
мизинец.
Решение
Первый палец — мизинец, а затем всё время повторяется группа из восьми пальцев:
безымянный, средний, указательный, большой, указательный, средний, безымянный,
мизинец. Когда мы станем перечислять пальцы, первым будет мизинец, затем 248 раз
повторится группа из восьми пальцев, а потом — последние семь. Седьмой палец
в нашем списке — безымянный.
Ответ
Безымянный.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Системы
[ линейных ]
уравнений
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Прислать
комментарий
Условие
В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит вдвое дороже
маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая — 5 маленьких
и 3 больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше. Сколько стоит каждая
птица?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Попробуйте выразить разницу покупок двух дам "в маленьких птицах".
Решение
Первая дама за свою покупку заплатила как за 13 маленьких птиц (напомним, что большая
птица в два раза дороже маленькой), а вторая — как за 11 маленьких. То есть разница
в покупках — 2 маленькие птицы, а разница в цене — 20 руб. Значит, маленькая птица
стоит 10 руб., а большая — 20 руб.
Ответ
Маленькая птица стоит 10 руб, а большая — 20 руб.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы:
5,6,7,8
[ Устный счет и ]
т.п.
Темы:
Периодичность и
[
]
непериодичность
Прислать
комментарий
Условие
По кругу записано больше трех натуральных чисел, сумма которых равна 37. Известно,
что суммы любых трех последовательных чисел равны между собой. Какие числа
написаны по кругу?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Попробуйте рассмотреть два случая: а) количество записанных чисел не кратно 3;
б) количество записанных чисел кратно 3.
Решение
Поскольку суммы любых трех, последовательно записанных по кругу чисел равны между
собой, то каждые третьи числа равны между собой. Рассмотрим два случая:
а) количество записанных чисел не кратно 3; б) количество записанных чисел кратно 3.
В первом случае все числа будут равны между собой, а во втором — сумма их будет
кратна 3. Второй случай невозможен, так как 37 на 3 не делится. В первом случае
единственная возможность — записать по кругу 37 единиц.
Ответ
Единицы.
Источники и прецеденты
Арифметика.
Тема: [ Устный счет ]
и т.п.
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Прислать
комментарий
Условие
Гена пошёл с папой в тир. Договорились, что Гена делает 5 выстрелов и за каждое
попадание в цель получает право сделать ещё 2 выстрела. Всего Гена сделал
17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Сколько выстрелов Гена заслужил попаданиями в цель?
Решение
Заранее было определено 5 выстрелов, остальные 12 Гена заслужил попаданиями
в цель — по 2 выстрела за каждое. Значит, попаданий было 6.
Ответ
6 раз.
Арифметика.
Тема: [ Устный счет ]
и т.п.
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Прислать
комментарий
Условие
Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с,
вторые — через каждые 3 с. Всего было сделано 13 ударов (совпавшие удары
воспринимались за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Сколько раз пробьют часы за первые 6 с?
Решение
В течение каждых 6 с часы бьют 4 раза: на 2-й, 3-й, 4й и 6й секундах. Значит, 13 раз они
ударят, когда пройдёт три раза по 6 с, ещё один удар, т.е. — на 20й секунде. Поскольку
первый удар раздался на 2-й секунде, пауза между первым и последним ударами
составляет 18 с.
Ответ
18 с.
Арифметика.
Тема: [ Устный счет ]
и т.п.
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Прислать
комментарий
Условие
Когда "послезавтра" станет "вчера", то "сегодня" будет так же далеко от воскресенья, как
тот день, который был "сегодня", когда "вчера" было "завтра". Как вы думаете, какой
сегодня день недели?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Подумайте, сколько дней отделяет "сегодня" от того дня, когда "послезавтра" станет
"вчера".
Решение
Непосредственной проверкой можно убедиться, что между днём, когда "вчера" было
"завтра", и днём, когда "послезавтра" станет "вчера", проходит 4 дня. Значит,
интересующие нас дни не могут одинаково отстоять от одного и того же воскресенья,
а могут только от двух разных. Это возможно, если первый из дней — понедельник,
второй — суббота, а сегодня — среда.
Ответ
Среда.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Задачи на
[
]
работу
Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
Название задачи: Волки и бараны.
Прислать
комментарий
Условие
7 волков съедают 7 баранов за 7 дней. За сколько дней 9 волков съедят 9 баранов?
Подсказка
Подумайте, сколько времени нужно одному волку, чтобы съесть одного барана.
Решение
Семь волков съедают семь баранов за семь дней, значит один волк съедает одного барана
за семь дней. А девять волков съедят девять баранов за те же семь дней.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 4,5
Тема: [ Устный счет ]
Прислать
и т.п.
комментарий
Условие
Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки,
Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка,
Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут.
Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?
Подсказка
Скольких Мышек заменяет Кошка? А Внучка?
Решение
Кошка заменяет 6 Мышек, Жучка заменяет 5х6 Мышек, Внучка заменяет 4 × 5 × 6
Мышек, Бабка заменяет 3 × 4 × 5 × 6 Мышек, Дедка заменяет 2 × 3 × 4 × 5 × 6 Мышек.
Итого, потребуется 2 × 3 × 4 × 5 × 6 + 3 × 4 × 5 × 6 + 4 × 5 × 6 + 5 × 6 + 6 + 1 = 1237
Мышек.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 5,6
[ Устный счет ]
Прислать
и т.п.
комментарий
Темы:
Подсчет
[
двумя
]
способами
Условие
Три купчихи — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна — сели
пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоем 11 чашек, Поликсена
Уваровна и Олимпиада Карповна — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна —
14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Подсказка
Заметьте, чашка, выпитая каждой купчихой, фигурировала в условии задачи дважды —
один раз, как выпитая с одной подругой, второй раз — с другой.
Решение
Чашка, выпитая каждой купчихой, учитывалась дважды — один раз как выпитая с одной
подругой, а второй раз — с другой. Если мы сложим все учтённые чашки, то получим то
получим удвоенную сумму выпитых чашек. Значит, нужно разделить эту сумму пополам.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 4,5
[ Устный счет и ]
Прислать
т.п.
Темы:
комментарий
Обыкновенные
[
]
дроби
Условие
Кот в Сапогах поймал четырех щук и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в
Сапогах?
Подсказка
Какую часть улова составляют 4 щуки?
Решение
Часто получают в ответе 6 щук, рассуждая так: улов состоит из 4 щук и еще половины от
четырех щук, следовательно, улов — 6 щук. Это неверно. Поскольку 4 щуки составляют
половину улова, то весь улов — 8 щук.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 5,6,7
Тема: [ Устный счет ]
Прислать
и т.п.
комментарий
Условие
Доктор Айболит раздал четырём заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток.
Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а
слон — на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придётся съесть слону?
Решение
Пока звери не съели лекарство, заберём одну таблетку у носорога, две у бегемота и три у
слона. Теперь у всех четверых поровну. Забрали мы 6 таблеток, то есть осталось их 2000
— по 500 у каждого. У слона забрали 3 таблетки, то есть Айболит прописал слону 503
таблетки.
Ответ
503 таблетки.
Темы: [
Арифметика.
]
Устный счет и
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
Прислать
комментарий
т.п.
Задачи с
[ неравенствами. ]
Разбор случаев
Условие
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире N 333, а этаж
сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж
ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в
доме начинаются с единицы.)
Решение
Если на этаже не более трёх квартир, то в десяти подъездах их не более, чем 10×9×3=270,
то есть в 10-м подъезде квартиры N 333 не будет. Если на этаже не менее пяти квартир, то
уже в девяти подъездах будет не менее, чем 9×9×5=405 квартир, то есть искомая квартира
будет не в десятом подъезде. Значит, квартир на этаже 4, в первых девяти подъездах
9×9×4=324 квартиры. Тогда в десятом подъезде квартиры начинаются с 325-й. На втором
этаже они начнутся с 329-й, на третьем — с 333-й. Таким образом, Пете нужно подняться
на третий этаж.
Ответ
На 3-й этаж.
Арифметика.
[ Устный счет и ]
т.п.
Темы:
Обыкновенные
[
]
дроби
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось
мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта
увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка?
Решение
Треть доли Пуха увеличила втрое порцию Пятачка, то есть сама была вдвое больше неё.
Значит, вся доля Пуха была в 6 раз больше доли Пятачка, то есть у Пуха было вначале 6/7
торта, а у Пятачка — 1/7.
Ответ
6/7 и 1/7.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Системы
[ линейных ]
уравнений
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Прислать
комментарий
Условие
В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2000, а сумма
больше второго слагаемого на 6. Восстановите пример.
Решение
Если из суммы двух чисел вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Из
условия следует, что второе слагаемое равно 2000, а первое — 6.
Ответ
2006.00
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Задачи на
[
]
движение
Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от
орешника до дупла) — со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она
тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.
Решение
Поскольку обратно белка бежит в два раза медленнее, то время, затраченное белкой на
обратную дорогу, в два раза больше времени, которое она тратит на дорогу от дупла до
орешника. Поэтому время, затраченное на дорогу от дупла до орешника, в три раза
меньше времени, затраченного на всю дорогу, то есть равно 54 : 3 = 18 секунд.
Следовательно, расстояние от дупла до орешника равно 18 * 4 = 72 метра.
Ответ
72 метра.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Текстовые
[
задачи
]
(прочее)
Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники стартовали одновременно и показали
на финише различное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на десятом
месте. Сколько человек участвовало в гонке, если Вася был пятнадцатым с конца?
Решение
Так как Петя оказался на десятом месте, а Вася финишировал перед ним, то Вася занял
девятое место. Вася был пятнадцатым с конца, значит за ним финишировало еще
четырнадцать человек. Следовательно, в гонке участвовало 23 человека.
Ответ
23 человека.
Арифметика.
[ Устный счет ]
Темы:
и т.п.
[ Ребусы ]
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Прислать
комментарий
Условие
Автор: Нетрусова Н.М.
Сегодня 17.02.2008 . Наташа заметила, что в записи этой даты сумма первых четырех
цифр равна сумме последних четырех. Когда в этом году такое совпадение случится в
последний раз?
Решение
Нетрудно проверить, что в оставшиеся дни до конца года такого совпадения больше не
будет.
Ответ
25 декабря 2008 года.
Условие
В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем
каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через
минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?
Ответ
Через 59 секунд.
Условие
Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за
проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?
Решение
Аня и Ваня платят Сане 15 копеек, получая от него по 10 копеек сдачи. После этого он
платит 15 копеек в кассу.
Условие
Червяк ползет по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх
на 5 см, а за каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки столба,
если его высота равна 75 см?
Ответ
Червяк окажется вверху к вечеру 71-го дня.
Условие
В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днем
недели было 20-е число этого месяца?
Ответ
Воскресенье.
Условие
В комнате стоят несколько четырехногих стульев и трехногих табуреток. Когда на всех
стульях и табуретках сидит по человеку, в комнате всего 39 ног. Сколько в комнате
стульев и сколько табуреток?
Решение
Три табуретки и четыре стула.
Условие
Белоснежка вырезала из батиста большой квадрат и положила его в сундук. Пришел
Первый Гном, достал квадрат, разрезал его на четыре квадрата и положил все четыре
снова в сундук. Потом пришел Второй Гном, достал один из квадратов, разрезал его на
четыре квадрата и положил все четыре снова в сундук. Потом пришел Третий Гном. И он
достал один из квадратов, разрезал его на четыре квадрата и положил все четыре снова в
сундук. То же самое проделали все остальные гномы. Сколько квадратов лежало в
сундуке после того, как ушел Седьмой Гном?
Подсказка
Сколько квадратов «добавляет» каждый гном?
Решение
Каждый Гном берет из сундука 1 квадрат, а кладет 4 (т.е. добавляет 3 квадрата).
Следовательно, после ухода Седьмого Гнома в сундуке должно лежать 1 + (3 × 7) = 22
квадрата.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 5,6,7
[ Устный счет ]
Прислать
и т.п.
Темы:
комментарий
Сочетания и
[
]
размещения
Условие
— У меня зазвонил телефон. — Кто говорит? — Слон.
А потом позвонил Крокодил, а потом позвонили Зайчатки, а потом позвонили Мартышки,
а потом позвонил Медведь, а потом позвонили Цапли... Итак, у Слона, Крокодила,
Зайчаток, Мартышек, Медведя, Цапель и у меня установлены телефоны. Каждые два
телефонных аппарата соединены проводом. Как сосчитать, сколько для этого
понадобилось проводов?
Подсказка
Заметьте, каждый провод соединяет два аппарата.
Решение
Всего телефонных аппаратов 7, каждый соединен с шестью. Значит соединений всего 42.
А провод — это 2 соединения. Значит всего понадобился 21 провод.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 6,7
[ Устный счет ]
Прислать
и т.п.
комментарий
Текстовые
[
задачи
]
(прочее)
Четность и
[
]
нечетность
Условие
Автор: Токарев С.И.
Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: ''Разность между числами прожитых мною
(полных) месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111''. Когда он
родился?
Подсказка
Пусть мальчик прожил x лет и ещё y месяцев (y < 12). Тогда он прожил всего 12x + y
месяцев и поэтому 12x + y - x = 111.
Решение
Пусть мальчик прожил x лет и ещё y месяцев (y < 12). Тогда он прожил всего 12x + y
месяцев и поэтому 12x + y - x = 111, то есть 11x + y = 11 . 10 + 1 или 11 . 10 + 1 - 11x = y. Так
как y < 12, то x = 10 и y = 1.
Ответ
16 января 1993 года.
Условие
Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 × 991?
Решение
Диагональ пересекает 199 + 991 - 1 = 1189 клеток.
Условие
В примере на сложение цифры заменили буквами (причем одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные цифры - разными буквами) и получили:
БУЛОК + БЫЛО = МНОГО. Сколько же было булок? Их количество есть максимальное
возможное значение числа МНОГО.
Ответ
95343
Условие
Разведка звездной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение
враждебной планеты Медуза: ДУРАК + УДАР = ДРАКА. Известно, что разные цифры
зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры - одинаковыми буквами. Два
электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли
такое быть или один из них надо сдать в переплавку?
Решение
Нет. Решение лишь одно: 51286 + 1582 = 52868.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 5,6,7
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Уравнения в
[
целых
]
числах
Прислать
комментарий
Условие
Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя
утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что
этого не может быть. Кто из мальчиков прав?
Решение
Если Петя купил вначале 5 пуль, а всего сделал 50 выстрелов, то 45 пуль он получил за
успешные выстрелы. Но для этого ему надо было попасть в цель 9 раз. А он утверждает,
что сделал только 8 метких выстрелов. Значит, он не прав.
Замечания
Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по
математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 5,6,7
[ Устный счет и ]
Прислать
т.п.
Темы:
комментарий
Обыкновенные
[
]
дроби
Условие
Как от куска материи длиной 2/3 метра отрезать кусок длиной полметра, не имея под
рукой метра?
Подсказка
Сложите кусок материи вчетверо.
Решение
Сложим кусок материи пополам, а затем еще пополам. После этого мы сможем отрезать
кусок, равный по длине одной четверти от длины начального куска материи. Таким
образом, длина отрезаемого куска будет равна
метра, а длина оставшегося куска
материи будет равна
метра.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 5,6
[ Устный счет и ]
Прислать
т.п.
Темы:
комментарий
Математическая
[
]
логика (прочее)
Условие
Зайцы распилили несколько бревен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков.
Сколько бревен они распилили?
Подсказка
Вспомните задачу 89914 — задачу про то, как зайцы 10-ю распилами распилили одно
бревно.
Решение
Из каждого бревна получается на 1 чурбачок больше чем распилов. Раз чурбачков на 6
больше, значит было 6 бревен.
Сложность: 2
Арифметика.
Классы: 6,7
[ Устный счет ]
Прислать
и т.п.
комментарий
Темы:
Текстовые
[
задачи
]
(прочее)
Условие
Авторы: Голенищева-Кутузова Т.И., Клепцын В.А.
Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ
на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль — 5, а Тофсла — 4.
Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если
мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются и один снежок не
может попасть в двоих.)
Решение
Если в Вифслу, Тофслу и Хемуля попали x, y и z снежков соответственно, то всего было
брошено 13 + x + y + z снежков (поскольку 13 снежков не достигли цели). С другой
стороны, Вифсла бросил 6x, Хемуль — 5y, а Тофсла — (4z + 1) снежков (вместе с первым
снежком). Получаем уравнение: 6x + 5y + 4z + 1 = 13 + x + y + z, откуда 5x + 4y + 3z = 12.
Так как x, y, z — целые неотрицательные числа, то x может быть равен 1 или 2, y — 1, 2
или 3, а z — 1, 2, 3 или 4. Перебором находим единственное решение (1;1;1).
Ответ
В Хемуля, Вифслу и Тофслу попали по одному разу.
Условие
На электронных часах Казанского вокзала высвечиваются часы и минуты (например,
17:36). Сколько времени в течение суток на них
а) высвечивается цифра 2;
б) высвечиваются цифры 5 и 7 одновременно?
Ответ
а) 10 часов 30 минут;
б) 1 час 2 минуты.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Задачи на
[ смеси и
]
концентрации
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
Название задачи: Задача Гельфанда.
Прислать
комментарий
Условие
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно
помешивают. Затем зачерпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в
стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с
чаем?
Решение
Заметим, что после второго переливания в стакане с молоком оказывается ровно столько
чая, сколько оттуда было взято молока (ведь объем жидкости не изменился). Значит, в
итоге чая в молоке столько же, сколько молока в чае.
Ответ
Чая в молоке столько же, сколько молока в чае.
Условие
Какое наибольшее число пятниц может быть в году?
Подсказка
Начните неделю с того дня, коим является первое января рассматриваемого года, при
таком определении на неделе все равно одна пятница.
Решение
Будем считать, что неделя начинается с того дня недели, коим является первое января
рассматриваемого года (т.е. если первое января - среда, то считаем, что неделя начинается
со среды и заканчивается вторником). Тогда с начала года проходит [365/7]=52
([366/7]=52 в високосный год) полных недель, на каждой из которых ровно по одной
пятнице. Кроме этого, в конце года остается еще 365-7*52=1 или 366-7*52=2 дня. Можно
привести пример (возьмите один из последних годов), когда один из оставшихся дней пятница. В этот год достигается максимальное возможное число пятниц - 53.
Ответ
53.00
Арифметика.
[ Устный счет ]
Темы:
и т.п.
[ Ребусы ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8
Прислать
комментарий
Условие
Авторы: Гальперин Г.А., Григоренко Д.
2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо.
Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годовнепалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?
Решение
Пусть сейчас год-палиндром, имеющий вид
. Когда наступит следующий такой год?
Рассмотрим два случая:
а) b = 9 (год вида
, a < 9). Тогда через 11 лет наступит ещё один год-палиндром:
. Например, годы 3993 и 4004.
б) b < 9. В этом случае следующий год-палиндром наступит через 110 лет:
.
Например, годы 9339 и 9449. Поэтому наибольшее число годов-непалиндромов подряд —
109.
Ответ
109 лет.
Арифметика.
[ Устный счет и ]
т.п.
Темы:
Задачи с
[ неравенствами. ]
Разбор случаев
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
Подойдя к незнакомому одноподъездному дому и думая, что на каждом этаже по шесть
квартир, Аня решила, что нужная ей квартира находится на четвертом этаже. Поднявшись
на четвертый этаж, Аня обнаружила, что нужная ей квартира действительно находится
там, несмотря на то, что на каждом этаже по семь квартир. Каким мог быть номер
квартиры, в которую шла Аня?
Решение
Если на этаже– по шесть квартир, то на четвертом этаже будут квартиры с номерами: 19,
20, 21, 22, 23 и 24. Если на этаже– по семь квартир, то на четвертом этаже будут квартиры
с номерами: 22, 23, 24, 25, 26, 27 и 28. Следовательно, Аня могла идти в одну из квартир:
22, 23 или 24.
Ответ
22, 23 или 24.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Задачи на
[
]
движение
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
За 2 секунды мама-кенгуру делает три прыжка, а кенгуренок– пять прыжков. Длина
прыжка мамы-кенгуру 6 метров, а длина прыжка кенгуренка в 3 раза меньше. Мама с
кенгуренком играют в догонялки: кенгуренок отпрыгивает на 12 прыжков, после чего
мама начинает его догонять, а он прыгает дальше. За какое время мама его догонит?
Решение
Первый способ. За две секунды мама-кенгуру делает 3 прыжка, длина которых в три раза
больше прыжка кенгуренка, то есть отпрыгивает на 9 прыжков кенгуренка. Значит, за две
секунды расстояние между мамой и кенгуренком сокращается на 4 прыжка кенгуренка.
Между ними было 12 прыжков кенгуренка, следовательно, маме понадобится 6 секунд,
чтобы его догнать.
Второй способ. Из условия задачи следует, что мама-кенгуру за 2 секунды преодолевает
18 метров, а кенгуренок– 10 метров. Следовательно, за одну секунду мама преодолеет 9
метров, а кенгуренок– 5 метров. Между ними изначально было 12 прыжков кенгуренка, то
есть, 24 метра. За 1 секунду расстояние между ними сокращается на 4 метра,
следовательно, маме понадобится 24:4=6 секунд для того, чтобы догнать кенгуренка.
Отметим, что в задаче есть избыточные данные: при решении задачи первым способом не
используется длина прыжка мамы-кенгуру.
Ответ
за 6 секунд.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Задачи на
[
]
движение
Сложность: 2+
Классы: 5,6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они
забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости
через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришел в гости Коля, если
известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?
Решение
Так как Коля возвращался домой, то прошел "лишнюю" половину пути. Значит, время
опоздания равно половине времени, потраченного на весь путь, то есть равно 10 минутам.
Ответ
на 10 минут.
Условие
Тане было 16 лет 19 месяцев назад, а Мише будет 19 лет через 16 месяцев. Кто из них
старше? Ответ объясните.
Решение
Из условия следует, что Тане сейчас 17 лет 7 месяцев, а Мише– 17 лет 8 месяцев.
Ответ
старше Миша.
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Темы:
Задачи на
[
]
движение
Сложность: 3Классы: 6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
В понедельник в полдень (12-00) часы показывали верное время, а уже через 4 часа они
отставали на 1 час. В какой день и час эти часы впервые покажут время, на час большее,
чем на самом деле? Ответ объясните.
Решение
Впервые часы покажут на час больше, когда они отстанут на 23 часа. Так как за каждые 4
часа они отстают на 1 час, то это произойдет через 23x 4=92 часа. Поскольку 92=24· 3+20
, то пройдет трое суток и еще 20 часов.
Ответ
в ближайшую пятницу в 8-00.
Условие
Сказка о мертвой царевне и семи богатырях. Как-то раз, возвратившись вечером
домой, богатыри отдали царевне добычу — 29 серых уток. Каждый брат застрелил хотя
бы одну утку. Все добыли по разному числу уток: чем брат был старше, тем больше дичи
он застрелил. Какова добыча старшего брата?
Подсказка
Попробуйте рассмотреть семь самых маленьких натуральных чисел.
Решение
Младший брат не может застрелить меньше 1-й утки, следующий — меньше 2-х,
следующий — меньше 3-х, и, наконец, старший брат не может застрелить меньше 7-ми
уток. Это значит, что минимальная добыча братьев 1+2+…+7=28 уток. А, по условию,
братья добыли 29 уток. Значит, кто-то из братьев застрелил ровно на одну утку больше.
(Если бы он застрелил больше, чем на одну, то кто-то другой должен бы застрелить
меньше, чем сейчас, а это невозможно.) Но на одну утку больше может застрелить только
старший брат, потому что, если это сделает кто-то другой, появятся два брата,
застрелившие по одинаковому числу уток. Значит добыча старшего брата — 8 уток.
Сложность: 3
Арифметика.
Классы: 7,8,9
[ Устный счет ]
Прислать
и т.п.
Темы:
комментарий
Задачи на
[
]
работу
Условие
Яблоко плавает на воде так, что 1/5 часть яблока находится над водой, а 4/5 — под водой.
Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 грамм/мин., одновременно над
водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 грамм/мин. Какая часть яблока
достанется рыбке, а какая — птичке?
Подсказка
Пока яблоко окончательно не съели, все время 1/5 его часть будет находиться над водой, и
4/5 — под водой. (Предполагается, что плотность яблока распределена равномерно.)
Решение
Если предполагать, что плотность яблока распределена равномерно, то пока яблоко
окончательно не съели, все время 1/5 его часть будет находиться над водой, а 4/5 — под
водой. Тем самым, и рыбка, и птичка закончат есть яблоко одновременно. Поскольку
рыбка ест в два раза быстрее, ей и достанется в два раза больше.
Ответ
2/3 — рыбке, 1/3 — птичке.
Деление с
]
остатком
Арифметика.
[ Устный счет ]
Темы:
и т.п.
Текстовые
[
задачи
]
(прочее)
[
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
На столе лежало 100 яблок, 99 апельсинов и груши. К столу подходили ребята. Первый
взял яблоко, второй– грушу, третий– апельсин, следующий опять яблоко, следующий за
ним– грушу, за ним– апельсин. Далее ребята разбирали фрукты в таком же порядке до тех
пор, пока стол не опустел. Сколько могло быть груш? Объясните свой ответ.
Решение
Поскольку на каждом круге апельсины берут в последнюю очередь, прошло 99 полных
кругов "яблоко– груша– апельсин" (то есть фруктов каждого вида было как минимум 99 ).
Но на следующем круге апельсинов уже не было, а яблоко ещё оставалась. После этого
круга стол опустел, значит груш было или 99 (если последним взяли яблоко) или 100 (если
последней взяли грушу).
Ответ
Могло быть 99 или 100 груш.
Задачи на
[ проценты и ]
отношения
Темы:
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Сложность: 3Классы: 6,7,8,9
Прислать
комментарий
Условие
На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого
хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".
Решение
В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же
1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2% — 1 кг, то 100% —
50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.
Ответ
50 кг.
Математическая
]
логика (прочее)
Темы:
Арифметика.
[ Устный счет и ]
т.п.
[
Сложность: 3Классы: 6,7
Прислать
комментарий
Условие
Эта старинная задача была известна еще в Древнем Риме.
Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребенка. После смерти сенатора
выяснилось, что на свое имущество, равное 210 талантам, он составил следующее
завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния (т. е. 140
талантов), а остальную треть (т.е. 70 талантов) — матери; в случае же рождения дочери
отдать девочке одну треть состояния (т. е. 70 талантов), а остальные две трети (т. е. 140
талантов) — матери».
У вдовы сенатора родились близнецы — мальчик и девочка. Такой возможности
завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками
с наилучшим приближением к условию завещания?
Подсказка
Поскольку все требования завещателя выполнить невозможно, придется выполнять
только часть из них. В зависимости от того, какую именно часть Вы выполните, будет
принят тот или иной способ дележа.
Решение
Поскольку все требования завещателя выполнить невозможно, придётся выполнять
только часть из них. В зависимости от того, какую именно часть мы выполним, получим
тот или иной ответ. Вариантов много. Например: 1) из первого условия завещания
следует, что сын должен получить 2/3 состояния, а из второго — что дочь должна
получить в два раза меньше матери; 2) из первого условия завещания следует, что доля
матери в 2 раза меньше доли сына, а из второго — что эта доля в 2 раза больше доли
дочери; 3) в каждом из условий доля матери не меньше 1/3, при этом доля сына в 4 раза
больше доли дочери. Можно предложить и другие варианты.
Эта задача возникла из практики. Такой случай действительно произошёл в Древнем
Риме. Там суд разделил наследство так, как предложено во втором варианте: отдал сыну
4/7 состояния, матери — 2/7, дочери 1/7, т. е. 120 талантов сыну, 60 — матери, 30 —
дочери.
Сложность: 3+
Задачи на
[
]
Классы: 7,8,9
работу
Прислать
Темы: Арифметика.
комментарий
[ Устный счет ]
и т.п.
Условие
У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов
разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью
заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала
на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени
поездки?
Решение
Первое решение. Во время разговора энергия аккумулятора расходуется в 210/6=35 раз
быстрее, чем в то время, когда разговор не ведётся. Пусть Алёна проговорила x часов.
Тогда энергии аккумулято- ра осталось на (6-x) часов разговора или на 35*(6-x) часов
ожидания. По условию это время также равно x часов ожидания, поэтому 35*(6-x)=x,
откуда x=35*6/36=35/6 часов, то есть 5 ч 50 мин. И, значит, вся поездка продолжалась 11 ч
40 мин.
Второе решение. Если бы Алёна говорила 210*6 часов и молчала 210*6 часов, то телефон
бы полностью разрядился 210+6=216 раз. Так как на на самом деле телефон разрядился
один раз, Алёна говорила 210*6/216 часов и молчала 210*6/216 часов, то есть ехала она
2*(210*6/216) часов. После сокращения получаем 11 часов 40 минут.
Примечание. Ответ в этой задаче является средним гармоническим чисел 6 и 210 (средним
гармоническим чисел a и b называется число 2/((1/a)+(1/b))=2ab/(a+b)).
Ответ
11 часов 40 минут.
Обратный
]
ход
Темы:
[ Арифметика. ]
[
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8,9
Прислать
комментарий
Устный счет
и т.п.
Делимость
чисел.
[
]
Общие
свойства
Условие
Мальвина дала Буратино задание: "Сосчитай кляксы в своей тетрадке, прибавь к их числу
7 , раздели на 8 , умножь на 6 и отними 9 . Если сделаешь всё правильно, получишь
простое число". Буратино всё перепутал. Кляксы он подсчитал точно, но потом умножил
их количество на 7, вычел из результата 8, затем разделил на 6 и прибавил 9. Какой ответ
получился у Буратино?
Решение
Рассмотрим вычисления по плану Мальвины. Соседние операции "раздели на 8" и
"умножь на 6" заменим на одну операцию умножения на 6/8 = 3/4 . Если бы после
умножения на 3/4 получалось дробное число, то, вычтя из него 9, мы бы снова получили
дробное число, а должны получить простое (т. е. целое), значит при умножении на 3/4 мы
получаем целое число. Причём это число будет делиться на 3 (при умножении на 3/4
тройке "не с чем сократиться"). Тогда после вычитания 9 получится число, также
делящееся на 3. И известно, что это число простое. Единственное простое число,
делящееся на 3, это само число 3. Значит, по плану Мальвины в конце должно было
получиться 3. Произведя операции в обратном порядке, найдём число клякс:
(3 + 9) : 6 · 8 - 7 = 9.
Буратино получил число
(9 · 7 - 8) : 6 + 9 = 18+ .
Ответ
Буратино получил 18 .
Числовые
[ таблицы и ]
их свойства
Подсчет
Темы: [
двумя
]
способами
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Условие
Попробуйте быстро найти сумму всех цифр в этой таблице:
7 8 2 6 9 5 4 7 6 9 2 6 2 1 3
3 2 8 4 1 5 6 3 4 1 8 4 8 9 7
Прислать
комментарий
6 4 7 5 8 7 3 8 1 8 7 1 5 6 7
4 6 3 5 2 3 7 2 9 2 3 9 5 4 3
1 4 9 2 4 6 9 2 9 6 8 9 5 9 5
9 6 1 8 6 4 1 8 1 4 2 1 5 1 5
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Обратите внимание, ведь нигде не сказано, что нельзя изменить порядок суммирования.
Решение
Рассмотрим суммы чисел не по строкам, а по столбцам. Две последовательные цифры
в столбцах дают в сумме 10, значит, сумма цифр в любом столбце будет 30. А всего
столбцов 15. Значит, сумма всех цифр равна 450.
Ответ
Достаточно просчитать числа "по столбцам". Ответ: 450.
Сложность: 2
Теория
Классы: 5,6,7
[ алгоритмов ]
(прочее)
Примеры и
Темы: [ контрпримеры. ]
Конструкции
Арифметика.
[ Устный счет и ]
т.п.
Прислать
комментарий
Условие
Автор: Ковальджи А.К.
Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она
может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли
лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?
Решение
Например, лиса сначала три раза отрезает по 1 г от кусочков в 5 г и 11 г. Получатся один
кусок в 2 г и два куска по 8 г. Теперь осталось шесть раз отрезать и съесть по 1 г от
кусочков в 8 г.
Ответ
Да, сможет.
Задачи с
[ неравенствами. ]
Темы:
Разбор случаев
[ Делимость ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
Прислать
комментарий
чисел. Общие
свойства
Арифметика.
[ Устный счет и ]
т.п.
Условие
109 яблок разложены по пакетам. В некоторых пакетах лежит по x яблок, в других
по 3 яблока. Найдите все возможные значения x, если всего пакетов - 20.
Решение
Первое решение. Если бы в каждом пакете было по 3 яблока, то всего яблок было бы 60,
но на самом деле яблок на 49 больше. Значит, "лишние" яблоки надо распределить
поровну по некоторым пакетам. Так как 49 = 7 . 7 = 49 . 1 и всего пакетов - 20, то либо в 7
пакетах содержится по 7 "лишних" яблок, либо в одном пакете 49 "лишних" яблок.
В первом случае x = 10, а во втором случае x = 52.
Второе решение. Пусть есть n пакетов, в которых лежит по 3 яблока. Тогда количество
пакетов, в которых находится по x яблок, равно 20 - n. Из условия следует, что 3n + x(20 n) = 109. Преобразуем полученное уравнение так, чтобы его левую часть можно было
разложить на множители: 20x + 3n - nx - 60 = 49
20(x - 3) - n(x - 3) = 49
(x - 3)(20
- n) = 49. Отсюда получим, что
x=10, n=13 или x=52, n=19.
Ответ
10 или 52.
Уравнения в
[
целых
]
числах
НОД и НОК.
Темы: [ Взаимная ]
простота
Арифметика.
[ Устный счет ]
и т.п.
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
Прислать
комментарий
Условие
Фома и Ерема нашли на дороге по пачке 11-рублевок. Фома выпил 3 стакана чая, съел 4
калача и 5 бубликов. Ерема выпил 9 стаканов чая, съел 1 калач и 4 бублика. Стакан чая,
калач и бублик стоят по целому числу рублей. Фома может расплатиться 11-рублевками
без сдачи. Покажите, что это может сделать и Ерема.
Подсказка
Попробуйте составить систему уравнений, хотя эту задачу можно решить и не составляя
уравнения.
Решение
Фома может расплатиться 11-рублевками. Если мы к его покупке добавим 33ч и 11б (т.е.
33 стакана чая и 11 бубликов), то за все это тоже можно будет расплатиться 11рублевками. Но эта покупка 36ч+4к+16б ровно в 4 раза больше покупки Еремы. Но числа
4 и 11 взаимно просты, значит, за покупку Еремы можно расплатиться без сдачи.
Сложность: 2Обыкновенные
[
]
Классы: 5,6,7
дроби
Прислать
Числовые
комментарий
Темы:
неравенства.
[
]
Сравнения
чисел.
Условие
Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на
просмотр кинофильмов, 1/70 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно
ли так жить?
Решение
Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/70 + 1/3 > 1, что
противоречит здравому смыслу.
Ответ
Нет, так жить нельзя.
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
Периодические и
Тема: [ непериодические ]
дроби
Прислать
комментарий
Условие
Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:
а) ; б) ; в)
; г)
.
Ответ
а)
= 0,(142857);
б)
= 0,(285714);
в)
= 0,(714285);
г)
= 0,(0588235294117647).
Задача
Темы:
[ Задачи на движение ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность:
2-
Классы:
5,6,7
88130
Буратино сел в поезд. Проехав половину всего пути, он лёг спать и спал до тех пор, пока
не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути
Буратино проехал бодрствующим?
Подсказка
Можно, конечно, представить условие задачи в виде уравнения, но лучше обойтись без
этого.
Решение
Обозначим через s отрезок пути, который Буратино проехал от того момента, как
проснулся, до конца. Тогда путь, который Буратино проспал, составит 2s. Всего же
от момента, как Буратино заснул, он проехал путь 2s + s = 3s. Но известно, что это —
половина всего пути. Значит, длина всего пути 6s. Поскольку же бодрствующим Буратино
проехал путь 4s, то по отношению ко всему пути эта часть составит
= .
Ответ
2/3 пути.























Арифметика. Устный счет и т.п. (155 задач)
Арифметические действия. Числовые тождества (65 задач)
Средние величины (53 задачи)
Текстовые задачи (684 задачи)
Дроби (191 задача)
Системы счисления (460 задач)
Модуль числа (42 задачи)
Многочлены (621 задача)
Формальные степенные ряды (13 задач)
Алгебраическая геометрия (35 задач)
Рациональные функции (46 задач)
Корни. Степень с рациональным показателем (79 задач)
Линейная и полилинейная алгебра (7 задач)
Теория групп (8 задач)
Теория чисел. Делимость (1716 задач)
Последовательности (519 задач)
Алгебраические неравенства и системы неравенств (403 задачи)
Алгебраические уравнения и системы уравнений (168 задач)
Тригонометрия (157 задач)
Показательные функции и логарифмы (41 задача)
Комплексные числа (119 задач)
Графики и ГМТ на координатной плоскости (39 задач)
Алгебра и арифметика (прочее) (5 задач)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа