close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Теоретические вопросы.
1. Понятие функции двух переменных. График функции двух переменных. Предел и
непрерывность функции двух переменных.
2. Частные производные первого порядка функции двух переменных и их
геометрический смысл.
3. Полный дифференциал функции двух переменных. Частные производные второго
порядка функции двух переменных.
4. Частные производные сложной функции двух переменных. Полная производная,
частные производные неявно заданной функции.
5. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
6. Экстремум функции двух переменных.
7. Условный экстремум функции двух переменных. Метод Лагранжа.
8. Двойной интеграл. Определение, геометрический и физический смысл, основные
свойства.
9. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
10. Замена переменных в двойном интеграле. Переход от декартовых координат к
полярным.
11. Тройной интеграл. Определение, геометрический смысл, основные свойства.
Вычисление в декартовых координатах.
12. Замена переменных в тройном интеграле. Переход от декартовых координат к
цилиндрическим и сферическим.
13. Криволинейный интеграл первого рода. Определение, основные свойства.
14. Вычисление криволинейного интеграла первого рода при задании кривой
интегрирования в явном виде, параметрически, в полярных координатах.
15. Поверхностный интеграл первого рода. Определение, основные свойства.
16. Вычисление поверхностного интеграла первого рода в декартовых координатах.
17. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня, производная по направлению,
градиент.
18. Векторное поле. Векторные линии. Поток векторного поля через поверхность.
19. Поверхностный интеграл второго рода. Определение, основные свойства, связь с
поверхностным интегралом первого рода.
20. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля.
21. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор векторного поля.
22. Криволинейный интеграл второго рода. Определение, основные свойства,
вычисление при явном и параметрическом задании кривой интегрирования. Связь с
криволинейным интегралом первого рода.
23. Числовые ряды. Операции над числовыми рядами. Необходимый признак
сходимости числового ряда.
24. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
25. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютно и
условно сходящиеся ряды.
Примеры задач.
1.1 Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных:
arcsin x
z
y
1.2 Найти производные сложной функции по каждой из независимых переменных:
x
z  u 2tgv , где u  x  y , v  ;
y
z z
,
1.3 Найти
если z cos x  ye z  12
x y
1.4 Исследовать функцию на минимум и максимум: z  x2  xy  y 2  3x  6 y .
1.5 Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x3  y3  3xy  3 в области
0  x  2, 2  y  1.
1.6 Найти наибольшее и наименьшее значения функции z   xy  9 в области x2  y 2  9.
1.7 Для данной поверхности z  sin( xy) составить уравнения касательной плоскости и
нормали в точке M( 1,  / 3,? ).
1.8 Записать координаты единичного вектора, перпендикулярного к поверхности
xy z 2  4 в точке M(1,0,2).
 ( x
2.1 Вычислить
2
 y)dxdy, если область D ограничена следующими линиями:
D
y  x2 , x  y2 .
2.2 Вычислить площадь области D, ограниченной следующими линиями:
x  y 2  1, x  y  3 .
2.3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x
x 2  y 2  4 x, x 2  y 2  6 x, y 
, y  3x
3
2.4 Вычислить объем области V , ограниченной поверхностями z 2  x 2  y 2 , z  4 и
 ydxdydz
.
V

2.5 Вычислить
x 2  y 2 dxdydz ,
если
область
V
ограничена
поверхностями
V
x 2  y 2  z 2  16,
2.6 Вычислить

y  0, z  0 , найти объем области V.
1  y 2 dl и
L
 xydx ( y  x)dy ,
где L – отрезок прямой, соединяющий
L
точки A(0,0) и B(1,1).
2.7 Вычислить  xzdl и  ydx  ( x  z)dy  ( x  y)dz , где L – отрезок прямой, соединяющий
L
L
точки A(1,-1,1) и B(2,3,4).
2.8 Вычислить  xdl и  xydx  ( x 2  y)dy , где L – дуга параболы, соединяющая точки
L
L
A(0,0) и B(2,4).
2.9 Вычислить  y 2 dx , где L – контур эллипса x  a cost , y  a sin t , направление обхода –
L
против часовой стрелки.
2.10
Вычислить
  y  2 z dxdy ,
если S – верхняя часть плоскости 6 x  3 y  2 z  6 ,
S
расположенная в первом октанте.
2.11 Вычислить  xyzdS , если S – часть поверхности
z  x 2  y 2 , отсекаемая
S
плоскостью z=1.
2.12 Вычислить  z 2 dxdy , где S – внешняя сторона поверхности эллипсоида
S
x  y  2z  2 .
2
2
2
3.1 Вычислить производную функции u по направлению M 1 M 2 и gradu(M 1 ) .
u  x 2 y  y 2 z  z 2 x, M1 (1,1,2), M 2 (3,4,  1)
3.2 Вычислить дивергенцию и ротор a  x2 yi  3 yex j  z 2 yk в точке A(0,-2, 1).
3.3 Доказать, что rot gradu  0 .
3.5 Вычислить поток векторного поля a  3xi  ( y  z) j  ( x  z)k через внешнюю
поверхность пирамиды, образуемой плоскостью x  3 y  z  3 и координатными
плоскостями. Результат проверить с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
3.6 Вычислить поток векторного поля a  ( x  y)i  ( x  y) j  z 2k через поверхность тела,
ограниченного поверхностями x 2  y 2  1, z  0, z  2 . Результат проверить с помощью
формулы Остроградского-Гаусса.
3.7 Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру a  (2x  z)i  ( y  x) j  (3x  z)k ,
образованному пересечением плоскости x  y  z  2 с координатными плоскостями.
Направление обхода контура – положительное относительно вектора (1,-1,1). Результат
проверить с помощью формулы Стокса.
3.8 Вычислить циркуляцию поля a  yi  xj  z 2 xyk по контуру  : x 2  y 2  4, z  1 в
положительном направлении обхода относительно орта k . Результат проверить с
помощью формулы Стокса.
4.1 Исследовать ряды на сходимость:
3n (n  2)!
,

n5
n 1

2
sin 2 ,

n
n 1



n 1
7n  1
,

n
n 1 5 ( n  1)!


n
1 


 arctg
 ,
2n  1 
n 1 

1
 (2n  1) ln (2n  1) ,
n 1
3
4
n 1
4.2 Исследовать ряды на сходимость и абсолютную сходимость:


 1n ,  (1) n1 n
1
n 1
(

1
)
,



6n  5
(n  1)  3n n1 2n  1
n 1
n 1
Примечание:
Кое-что из лекций в теоретические вопросы не вошло. Во-первых, нет вопросов по
лекции «Некоторые приложения двойных и тройных интегралов», однако просмотреть ее
будет полезно ради примеров вычисления упомянутых интегралов. Во-вторых, нет
отдельного вопроса об операторе Гамильтона, но использование его при ответах на
вопросы о градиенте, дивергенции и т.д. будет вызывать у преподавателя положительные
эмоции. Очень много писать в теории не нужно, только самое основное. Детали будут
прояснены с помощью дополнительных вопросов преподавателя.
В практические задания не вошел условный экстремум ввиду большой
«капризности» таких задач. Однако при большом желании можно использовать метод
Лагранжа при проверке границ области в решении задач на наибольшее и наименьшее
значения функции в области (в этом случае не стоит делать лишнюю работу по проверке
AC-B^2). Кроме того, он есть в теории, так что просмотреть хоть один пример из лекции
было бы небесполезно.
Все практические задания подобны тем, что были (или еще будут) на практиках.
Наибольший смысл имеет решить те из них, которые вызывают у вас наибольшие
затруднения. Не нужно пытаться в последнюю ночь решить все задачи и написать их на
шпаргалках – на экзамене будут не точно такие же, а подобные.
Отсутствие элементарных навыков интегрирования и дифференцирования будет
строго караться неудовлетворительными оценками.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа