close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

PDF;pdf

код для вставкиСкачать
Гробарий по состоянию на 18.01.2015
Г1. Васе и Пете выдали одинаковые наборы карточек. В каждом наборе 99 карточек, на
которых написаны числа от 1 до 99 по одному разу каждое. Вася и Петя по очереди выкладывают на стол свои карточки. Начинает Вася. Выигрывает тот, после хода которого сумма чисел
на всех карточках, лежащих на столе, будет делиться на 132. Кто выиграет при правильной
игре?
Г2. (8.7б) Два миллионера играют в следующую игру. На столе вначале игры лежит 1000
кучек по одной спичке в каждой. Игрок может за один ход сложить любые две кучки спичек
вместе, при этом противник дает ему столько рублей, сколько было спичек в б´ольшей кучке.
Выигрывает тот, кто в конце игры (когда все кучки сольются в одну) получит прибыль. Какой
наибольший выигрыш может себе обеспечить победитель?
Г3. (21.1б) Найдите сумму Cn0 − Cn1 + Cn2 − . . . + (−1)n−1 Cnn−1 + (−1)n Cnn комбинаторно (т.е.
не используя никаких формул).
.
Г4. (НМ) (23.2б) Пусть p ∈ P и 0 < k < p. Докажите, что Cpk .. p комбинаторно (т.е. не
используя никаких формул).
Г5. (25.3б) Докажите, что для любых натуральных чисел a и b
S(ab) ≤ S(a)S(b),
где S(x) — сумма цифр числа x.
Г6. (25.6) Натуральное число называется незначительным, если все его простые делители
не превосходят 50. Делитель d натурального числа n называется значительным, если d < n и
d2 > n. Сколько незначительных натуральных чисел имеет ровно один значительный делитель?
Г7. (27.6) На 41 клетке шахматной доски стоят короли. Докажите, что пять из них можно
покрасить в красный цвет, пять — в синий и пять — в зеленый, а остальные 26 убрать с доски
так, что разноцветные короли не будут бить друг друга.
Г8. (28.6) Дано натуральное число n. Оказалось, что сумма цифр числа 3n не меньше
утроенной суммы цифр числа n. Докажите, что сумма цифр числа 4n тоже не меньше суммы
цифр числа n.
Г9. (28.7) Вещественные числа a, b и c удовлетворяют неравенствам |b − c| ≥ |a|, |c − a| ≥ |b|
и |a − b| ≥ |c|. Докажите, что одно из чисел равно сумме двух оставшихся.
Г10. (29.4) На окружности выбрано 100 точек. Можно ли каждый из отрезков, соединяющих эти точки, окрасить в один из 100 данных цветов таким образом, чтобы для любых трёх
различных цветов нашёлся треугольник с вершинами в отмеченных точках, стороны которого
были бы окрашены в эти три цвета?
Г11. (СЗа) (31.6) Докажите, что если число 3a2 + 2ab − 2b2 делится на 7, то число 10a2 +
23ab + 12b2 делится на 49.
* Г12. (НМ, АП) (31.10) 25 дачников получили садовые участки. Каждый участок представляет собой квадрат 1 × 1, и все участки вместе составляют квадрат 5 × 5. Каждый дачник
враждует не более, чем с тремя другими дачниками. Докажите, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки враждующих дачников не были бы соседними (по стороне).
Г13. (МбА.4) В каждой клетке квадрата 10×10 стоит рыцарь или лжец. Соседями считаются
люди, стоящие в клетках, имеющих общую сторону. Каждый из стоящих сказал: “Среди моих
соседей чётное число лжецов”. Известно, что в угловых клетках стоят рыцари. Докажите, что
в центральном квадрате 8 × 8 стоит чётное число лжецов.
* Г14. (ГС, ЛЧ) (МбА.6) На полке лежат 623 карточки, пронумерованные числами от 1 до
623. Вася и Петя играют в следующую игру. Вася выбирает любую карточку и кладет ее на
стол, Петя выбирает любую из оставшихся карточек и кладет ее справа от Васиной, потом Вася
кладёт справа ещё одну карточку и т.д. Число на каждой карточке, начиная со второй, должно
давать в сумме с числом на предыдущей карточке полный квадрат. Проигрывает тот, кто не
может сделать очередной ход (возможно, из-за того, что карточки кончились). Кто выиграет
при правильной игре?
Г15. (МбА.7) На стене по кругу расположены 100 переключателей. Каждый может находиться в трех положениях: влево, вправо, вверх. Если какие-то три переключателя подряд
находятся в трех разных положениях, сумасшедший электрик переключает все их в то положение, которое имеет один из крайних переключателей среди этих трех. Докажите, что он не
может проделать эту операцию более 100 раз.
Г16. (ЛЧ) (МбБ.4) Назовём число симпатичным, если у него все цифры, кроме последней, одинаковые, а последняя отличается от них. Например, 33335 — симпатичное число. При
каких n, больших 3, n-значное симпатичное число может нацело делиться на (n − 1)-значное
симпатичное число?
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа