close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Шок: пропавший студент – мертв;pdf

код для вставкиСкачать
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
1
УДК 51-76
UDC 51-76
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ
СОСТОЯНИЙ КИНЕТИКИ ЛЕЙКОПОЭЗА
STABILITY OF STATIONARY CONDITIONS
OF KINETICS OF LEYKOPOEZ
Тумаев Евгений Николаевич
д.ф.-м.н., профессор
Кубанский государственный университет, Россия,
350040, Краснодар, Ставропольская, 149,
[email protected]
Tumayev Evgeny Nikolaevich
Dr.Sci.Phys.-Math., professor
Kuban State University, Krasnodar, Stavropolskaja
str., 149, Russia
[email protected]
Шарай Иван Александрович
аспирант
Кубанский государственный университет, Россия,
350040, Краснодар, Ставропольская, 149,
[email protected]
Sharay Ivan Aleksandrovich
postgraduate student
Kuban State University, Krasnodar, Stavropolskaja
str., 149, Russia
[email protected]
В статье приведены результаты исследования
устойчивости модели нейтрофиломоноцитопоэза.
При помощи критерия Рауса-Гурвица вычислено,
что приведенная система дифференциальных
уравнений, описывающих созревание клеток,
является асимптотически устойчивой.
Определены пороговые значения параметров
модели, при которых система становится
неустойчивой
The results of the research of stability of the model of
neutrophilomonocytegenesis are shown in the article.
With the criterion of Routh-Hurwitz it's calculated that
the system of the differential equations of cells
growing is asymptotically steady. Threshold values of
parameters of model at which the system becomes
unstable are defined
Ключевые слова: НЕЙТРОФИЛОПОЭЗ,
МОНОЦИТОПОЭЗ, КОСТНЫЙ МОЗГ,
УСТОЙЧИВОСТЬ
Keywords: NEUTROPHILOGENESIS,
MONOCYTEGENESIS, MARROW, STABILITY
Введение
Отличительной особенностью лейкопоэза служит то, что он
представляет собой главную защитную систему организма. Один из
важнейших показателей для оценки работы лейкопоэза – кинетика
кроветворения и кроверазрушения.
Для
описания
данных
процессов
могут
использоваться
дифференциальные уравнения, описывающие последовательные переходы
клеток из одной фазы созревания в другую. Так, все клетки-нейтрофилы
проходят
следующие
стадии:
единая
колониеобразующая
единица
гранулоцитарно-макрофагального рядов (КОЕ-ГМ), колониеобразующая
единица гранулоцитов (КОЕ-Г), нейтрофильный миелобласт (НМб),
нейтрофильный промиелоцит (НПм), нейтрофильный миелоцит (НМ),
нейтрофильный метамиелоцит (НМм), палочкоядерный нейтрофил (Пн),
сегментоядерный нейтрофил в костном мозге (Снкм), сегментоядерный
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
2
нейтрофил в крови (Снк), сегментоядерный нейтрофил в тканях (Снт). В
свою
очередь
для
моноцитов
выделяют
стадии:
КОЕ-ГМ,
колониеобразующая единица моноцитов (КОЕ-М), монобласт (Мб),
промоноцит (Пм), моноцит в крови (Мн) и макрофаг (Мф) [1-3].
Полученная таким образом математическая модель будет зависеть от
большого числа параметров, влияющих на кроветворение. Модели
нейтрофилопоэза и монопоэза в отдельности были опубликованы ранее в
работах [4-5]. Однако в этих работах не рассматривался вопрос об
устойчивости системы дифференциальных уравнений.
В таком случае представляется важной проверка устойчивости
модели, так как даже малые колебания нормальных условий могут
привести к серьезным
изменениям
в
производстве нейтрофилов и
моноцитов. Помимо этого, вопрос о важности исследования устойчивости
стационарных
состояний
для
биологических
систем
неоднократно
обсуждался другими авторами, в частности [6-7].
В данной работе проверяется устойчивость одной из ветвей
лейкопоэза ‒ системы производства нейтрофилов и моноцитов, имеющих
единого предка КОЕ-ГМ.
Цель исследования
Исследование
устойчивости
стационарного
состояния
нейтрофиломоноцитопоэза.
Методы исследования
Устойчивость стационарного состояния модели проверялась при
помощи критерия Рауса-Гурвица.
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
3
Расчеты кинетики переменных и решение дифференциальных
уравнений
выполнены
при
помощи
математического
комплекса
MATHCAD 14.
Результаты исследования
В уравнениях (1-15) представлена исследуемая модель производства
нейтрофилов и моноцитов, основанная на уравнениях, опубликованных в
более ранних работах [4-5]:
 n − G 00 
dn0
 r0 − (1 − γ 0 )(n0 − G 00 )k 0 ,
= I 0 + (n0 − G 00 )1 − 0
dt
K 0 

(1)
dn н1
= c н (1 − γ 0 )(n0 − G 0 0 )k н0 +
dt
 n − G 0 н1 
 rн1 − (1 − γ н1 )(n н1 − G 0 н1 )k н1 ,
+ (n н1 − G 0 н1 ) 1 − н1
K н1


(2)
+ (n н 2
dn н 2
= (1 − α )(1 − γ н1 )(n н1 − G 0 н1 )k н1 +
dt

n − G0 н2 
 rн 2 − (1 − γ н 2 )(n н 2 − G 0 н 2 )k н 2 ,
− G 0 н 2 )1 − н 2
K н2


(
)(
)
dn нi
= 1 − γ н (i −1) n н (i −1) − G 0 н (i −1) k н (i −1) +
dt
 n − G 0 нi 
 rнi − (1 − γ нi )( n нi − G 0 нi )k нi ,
+ (n нi − G 0 нi ) 1 − нi
K нi


dn н 5
= (1 − γ н 4 )(n н 4 − G 0 н 4 )k н 4 − n н5 k н 5 ,
dt
dn нi
= n н ( i −1) k н ( i −1) − n нi k нi ,
dt
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
(3)
i = 6 − 9.
(4-5)
i = 3,4
(6)
(7-10)
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
dn м1
= c м (1 − γ 0 )(n 0 − G 0 0 )k м1 +
dt
 n − G 0 м1 
 rм1 − (1 − γ м1 )(n м1 − G 0 м1 )k м1 ,
+ (n м1 − G 0 м1 )1 − м1
K м1


4
(11)
dn м 2
= (1 − α )(1 − γ м1 )(n м1 − G 0 м1 )k м1 +
dt
 n − G 0 м2 
 rм 2 − (1 − γ м 2 )(n м 2 − G 0 м 2 )k м 2 ,
− G 0 м 2 )1 − м 2
K м2


(12)
dn м 3
= (1 − γ м 2 )(n м 2 − G 0 м 2 )k м 2 +
dt
 n − G 0 м3 
 rм 3 − (1 − γ м 3 )( n м 3 − G 0 м 3 )k м 3,
+ (n м 3 − G 0 м 3 )1 − м 3
K м3


(13)
+ (n м 2
dn м 4
= (1 − γ м3 )(n м 3 − G 0 м 3 )k м 3 − n м 4 k м 4 ,
dt
(14)
dn м5
= n м 4 k м 4 − n м5 k м5 .
dt
(15)
где I0 – поток клеток КОЭ-ГЭММ.
G00 – число клеток КОЭ-ГМ в фазе обратимого покоя на кг.
G0нi – число клеток нейтрофилов в фазе обратимого покоя на кг.
G0мi – число клеток моноцитов в фазе обратимого покоя на кг.
α – потеря клеток вследствие неэффективного гемопоэза.
γ0 – коэффициент потери клеток КОЭ-ГМ путем апоптоза.
γнi – коэффициент потери клеток нейтрофилов путем апоптоза.
γмi – коэффициент потери клеток моноцитов путем апоптоза.
сн – доля клеток КОЭ-ГМ дифференцирующихся в нейтрофилы.
см – доля клеток КОЭ-ГМ дифференцирующихся в моноциты.
k0 – скорость потока КОЭ-ГМ в следующую стадию.
kнi – скорость потока нейтрофилов в следующую стадию.
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
5
kмi – скорость потока моноцитов в следующую стадию.
n0 – общее число клеток КОЭ-ГМ на кг массы тела.
nнi – общее число клеток нейтрофилов на стадии созревания на кг.
nмi – общее число клеток моноцитов на стадии созревания на кг.
r0 – скорость роста КОЭ-ГМ.
rнi – скорость роста нейтрофилов на стадии.
rмi – скорость роста моноцитов на стадии.
K0 – поддерживающая ёмкость среды для КОЭ-ГМ.
Kнi – поддерживающая ёмкость среды для нейтрофилов на стадии.
Kмi – поддерживающая ёмкость среды для моноцитов на стадии.
В таблицах 1-3 приведены численные значения параметров модели в
норме, рассчитанные по аналогии с [4-5].
Таблица 1 – Данные по состоянию КОЕ-ГМ в норме.
n0
G00
k0, ч-1
сн
γ0
3,83 · 105
r0, ч-1
0,19
5
K0
I0, ч-1
см
7,46 · 104
39,99
0,12
3,26 · 10
0,046
0,88
0,03
Таблица 2 – Данные по состоянию нейтрофилов в норме.
КОЭ-Г
НМб
НПм
НМ
НМм
Пн
Снкм
Снк
Снт
nнi
6,4 · 106
1,2 · 107
4,9 · 108
2,0 · 109
2,9 · 109
4,5 · 109
3,8 · 109
4,4 · 108
5,1 · 109
G0нi
5,4 · 106
9,8 · 106
4,1 · 108
1,7 · 109
-
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
kнi , ч-1
0,15
0,50
0,05
0,19
0,02
0,01
0,01
0,12
0,01
rнi , ч-1
0,64
1,03
0,07
0,52
-
Kнi
1,3 · 106
2,7 · 106
1,5 · 108
4,4 · 108
-
γнi
0,03
-
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
6
Таблица 3 – Данные по состоянию моноцитов в норме.
nмi
kмi, ч-1
G0мi
6
1,5 · 10
rмi, ч-1
γмi
Kмi
6
5
0,08
0,03
3,4 · 10
0,08
0,29
7,7 · 106
0,02
0,03
1,9 · 10
8
КОЭ-М
1,8 · 10
Мб
3,8 · 107
3,2 · 107
Пм
6,0 · 10
8
5,1 · 10
8
Мн
8,0 · 10
7
-
0,02
-
-
-
Мф
1,7 · 109
-
0,001
-
-
-
0,03
Стационарное состояние лейкопоэза характеризуется в среднем
постоянной численностью на разных стадиях созревания. Математически
стационарному состоянию отвечает равенство нулю всех производных в
системе кинетических уравнений (1-15). Полученные таким образом
алгебраические уравнения определяют стационарные численности клеток
n0ст, nнiст и nмiст. Для исследования устойчивости стационарных состояний
изучалось поведение решений системы уравнений (1-15) вблизи значений,
отвечающих стационарным численностям, для чего полагалось (16):
n0исл = n0ст + y 0,
y 0 < n 0ст
ст
ст
n нисл
i = n нi + y нi , y нi < n нi ,
i = 1 − 9.
ст
ст
nмисл
i = nмi + y мi , y мi < nмi ,
i = 1 − 5.
(16)
В результате получена линеаризованная система уравнений (17-31):


dy0
n − G 00
= y0  r0 (1 − 2 0
) − k0 (1 − γ 0 )
dt
K0


(17)


dyн1
n − G 0 н1
= y0 [cн k0 (1 − γ 0 )] + y н1  rн1 (1 − 2 н1
) − k н1 (1 − γ н1 ),
dt
K н1


(18)
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
7


dy н 2
n − G0н2
= y н1 [k н1 (1 − α )(1 − γ н1 )] + y н 2  rн 2 (1 − 2 н 2
) − k н 2 (1 − γ н 2 ),
dt
K н2


[
]


dy нi
n − G 0 нi
= y н ( i −1) k н ( i −1) (1 − γ н ( i −1) ) + y нi  rнi (1 − 2 нi
) − k нi (1 − γ нi ), i = 3,4.
dt
K нi


dyн 5
= yн 4 [k н 4 (1 − γ н 4 )] − yн 5k н 5 ,
dt
dyнi
= y н ( i −1) k н (i −1) − y нi k нi ,
dt
(19)
(20-21)
(22)
i = 6 − 9.
(23-26)


dyм1
n − G 0м1
= y0 [cм k0 (1 − γ 0 )] + yм1  rм1 (1 − 2 м1
) − k м1 (1 − γ м1 ),
dt
K м1


(27)


dy м 2
n − G0 м2
= y м1 [k м1 (1 − α )(1 − γ м1 )] + y м 2  rм 2 (1 − 2 м 2
) − k м 2 (1 − γ м 2 ),
dt
K м2


(28)


dy м 3
n − G 0 м3
= y м 2 [k м 2 (1 − γ м 2 )] + y м 3  rм 3 (1 − 2 м3
) − k м 3 (1 − γ м 3 ),
dt
K м3


(29)
Далее
для
dyм 4
= yм 3 [k м 3 (1 − γ м 3 )] − yм 4 k м 4
dt
(30)
dyм5
= y м 4 k м 4 − y м 5k м 5
dt
(31)
построения
матрицы
Гурвица
были
введены
коэффициенты С00, Снij и Смij для КОЕ-ГМ, нейтрофилов и моноцитов
соответственно. Данные коэффициенты можно разделить на две части
относительно места возникновения: первая группа представляет собой
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
8
влияние, оказываемое на устойчивость предыдущей стадией, а вторая ‒
влияние собственных параметров. Преобразованная система уравнений
(17-31) представлена в уравнениях (32-46):
dy0
+ C00 y0 = 0
dt
(32)
dyн1
+ C н 01 y0 + Cн11 yн1 = 0
dt
(33)
dyнi
+ Cн ( i −1)i y н ( i −1) + Cнii y нi = 0,
dt
i = 2 − 9.
(34-41)
dyм1
+ Cм 01 y0 + Cм11 y м1 = 0
dt
dyмi
+ Cм ( i −1)i y м( i −1) + Cii y мi = 0,
dt
(42)
i = 2 − 5.
(43-46)
В таблицах 4-5 приведены рассчитанные значения для С00, Снij и Смij.
Таблица 4 ‒ Значения коэффициентов матрицы Гурвица для
нейтрофилов.
С00
Сн11
Сн22
Сн33
Сн44
Сн55
Сн66
Сн77
Сн88
Сн99
0,145
0,498
0,669
0,043
0,362
0,018
0,012
0,014
0,121
0,010
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Сн01
Сн12
Сн23
Сн34
Сн45
Сн56
Сн67
Сн78
Сн89
-0,039
-0,110
-0,480
-0,046
-0,182
-0,018
-0,012
-0,014
-0,121
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
9
Таблица 5 ‒ Значения коэффициентов матрицы Гурвица для
моноцитов.
С00
См11
См22
См33
См44
См55
0,145
0,249
0,213
0,019
0,023
0,001
См01
См12
См23
См34
См45
-0,005
-0,055
-0,081
-0,020
-0,023
Как видно из таблиц, все коэффициенты, представляющие влияние
предыдущей фракции на устойчивость, имеют отрицательные значения, в
то время как коэффициенты данной стадии больше нуля.
Ниже приведены построенные матрицы Гурвица (47-48):
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
 C00


0
0
0
0
0
0
0 
 Cн01 Cн11 0
 0 C
0
0
0
0
0
0
0 
н12 Cн22


0 Cн23 Cн33 0
0
0
0
0
0 
 0
 0
0
0 Cн34 Cн44 0
0
0
0
0 

Сн = 
 0
0
0
0 Cн45 Cн55 0
0
0
0 


0
0
0
0 Cн56 Cн66 0
0
0 
 0
 0
0
0
0
0
0 Cн67 Cн77 0
0 


0
0
0
0
0
0 Cн78 Cн88 0 
 0
 0
0
0
0
0
0
0
0 Cн89 Cн99 

(47)
0
0
0
0
0 
 C00


0
0
0
0 
 Cм01 Cм11
 0
C м12 Cм 22
0
0
0 

См = 
0
Cм 23 Cм 33
0
0 
 0
 0
0
0
Cм 34 Cм 44
0 


 0
0
0
0
Cм 45 Cм55 

(48)
В таблице 6 приведены главные диагональные миноры матриц ∆0, ∆нi
и ∆мi, рассчитываемые по формуле (49):
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
10
…
0
C01 C11
0 …
∆ i = 0 C12 C22 …
0
0
C00
…
0
0
…
0
0
…
0
(49)
… …
… Cii
Как видно из (49), коэффициенты, представляющие влияние,
оказываемое предыдущей, более молодой фракцией, не играют никакой
роли в расчете главных диагональных миноров. Из этого следует вывод о
том, устойчивость стационарного решения каждого из уравнений,
описывающих
гемопоэз,
зависит
от
значения
параметров,
характеризующих только данную стадию созревания.
Таблица 6 ‒ Главные диагональные миноры матриц Гурвица для
нейтрофилов и моноцитов.
∆0
∆н1
∆н2
∆н3
∆н4
∆н5
∆н6
∆н7
∆н8
∆н9
0,145
0,072
0,048
2,077 · 10-3
7,520 · 10-4
1,354 · 10-5
1,624 · 10-7
2,274 · 10-9
2,751 · 10-10
2,751 · 10-12
∆м1
∆м2
∆м3
∆м4
∆м5
-
0,036
7,69 · 10-3
1,461 · 10-4
3,361 · 10-6
3,361 · 10-9
-
Согласно критерию устойчивости Рауса-Гурвица [8], для того, чтобы
все
корни
характеристического
уравнения
имели
отрицательные
действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные
диагональные миноры матрицы Гурвица были положительны при условии
С00 > 0, то есть выполняются условия (50):
∆ нj > 0, ∆ мj > 0.
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
(50)
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
11
Таким образом, стационарное состояние приведенной в начале
системы уравнений (1-15) асимптотически устойчиво.
Из (49) видно, что потеря устойчивости системы обуславливается
переходом хотя бы одного из коэффициентов Сij в зону отрицательных
значений, что возможно только в уравнениях, в которых присутствует
деление клеток. Для определения границ устойчивости выведены
соотношения (51-58), показывающие условия, при которых происходит
нарушение:
n0 − G 00 <
K0 
1−γ 0 
1 − k0
,
2 
r0 
(51)
nн i − G 0 н i <
K нi
2

1 − γ нi 
1 − k нi
,
rнi 

i = 1 − 4,
(52-55)
nм i − G 0 м i <
K мi
2

1 − γ мi 
 1 − k мi
,
rмi 

i = 1 − 3.
(56-58)
Из (51-58) следует, что изменения скорости перехода клеток в
следующую стадию, скорости роста и естественной гибели не могут
привести к нарушению устойчивости. В таблице 7 приведены пороговые
значения остальных параметров, при которых устойчивость теряется.
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
12
Таблица 4 ‒ Пороговые значения параметров модели.
Норма
Нарушение
n0
3.83 · 105
< 3.5 · 10y
nн1
6.4 · 106
< 5.9 · 106
nн2
1.1 · 107
< 1.0 · 107
nн3
4.85 · 108
< 4.3 · 108
nн4
1.9 · 109
< 1.8 · 109
nм1
1.7 · 106
< 1.6 · 106
nм2
3.7 · 10y7
< 3.4 · 107
nм3
6.0 · 108
< 5.3 · 108
G00
3.2 · 105
> 3.54 · 105
G0н1
5.44 · 106
> 5.9 · 106
G0н2
9.83 · 106
> 1.08 · 107
G0н3
4.12 · 108
> 4.62 · 108
G0н4
1.6 · 109
> 1.8 · 109
G0м1
1.4 · 106
> 1.6 · 106
G0м2
3.1 · 107
> 3.4 · 107
G0м3
5.1 · 108
> 5.7 · 108
K0
7.4 · 104
> 1.4 · 105
Kн1
1.2 · 106
> 2.5 · 106
Kн2
2.93 · 106
> 6.5 · 106
Kн3
1.5 · 108
> 4.8 · 108
Kн4
4.3 · 108
> 9.0 · 108
Kм1
3.4 · 105
> 6.8 · 105
Kм2
7.7 · 106
> 1.5 · 107
Kм3
1.8 · 108
> 5.9 · 108
Из таблицы 4 видно, что для нарушения требуется практически
двукратное увеличение поддерживающей ёмкости среды во всех случаях,
составляющее по расчетам 233,2 ± 51,9%.
В связи с этим, основными причинами потери устойчивости
являются изменения количества клеток в популяциях n0, G00, nнi, G0нi, nмi и
G0мi. Расчеты показывают, что пороговое значение в данном случае
составляет в среднем 8,6 ± 1,2%.
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
13
Заключение
В статье приведены результаты исследования устойчивости модели
нейтрофиломоноцитопоэза.
При помощи критерия Рауса-Гурвица вычислено, что приведенная
система дифференциальных уравнений, описывающих созревание клеток,
является
асимптотически
устойчивой.
Также
установлено,
что
устойчивость каждого уравнения для отдельных популяций созревающих
клеток зависит исключительно от значения параметров, характеризующих
только данную стадию.
Определены пороговые значения параметров модели, при которых
система становится неустойчивой. К потере устойчивости приводят лишь
значительное увеличение поддерживающей ёмкости среды (в среднем
233,2 ± 51,9%). При этом, неустойчивость вызывают гораздо меньшие
колебания численности клеток в n0, G00, nнi, G0нi, nмi и G0мi (в среднем 8,6 ±
1,2%), что позволяет сделать вывод о решающей роли этих параметров в
устойчивости состояния лейкопоэза.
Список литературы
1. Ciesla В. Hematology in Practice. — Philadelphia : F. A. Davis Company, 2007. —
348 p.
2. Свищенко В. В., Гольдберг Е. Д. Математическое моделирование кинетики
эритропоэза. — Томск : Изд-во Том. ун-та, 1995. — 94 с.
3. Шиффман Ф. Дж. Патофизиология крови. — СПб. : БИНОМ - Невский диалект,
2000. — 448 с.
4. Шарай И. А., Тумаев Е. Н. Математическое моделирование кинетики
нейтрофилопоэза // Материалы XI научно-практической конференции молодых ученых
и студентов юга России "Медицинская наука и здравоохранение". — Краснодар, 2013.
С. 5-17.
5. Шарай И. А., Тумаев Е. Н. Математическое моделирование кинетики
моноцитопоэза // Труды X Всероссийской научной конференции молодых ученых и
студентов "Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в
регионах". — Краснодар : Просвещение-Юг, 2013. С. 58-60.
6. Луковенков А. В. Устойчивость стационарных состояний в кинетике
многостадийных химических и биохимических процессов : автореф. дис. ... канд. хим.
наук : 02.00.04. — М, 2012. — 24 с.
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
Научный журнал КубГАУ, №99(05), 2014 года
14
7. Липунова Е. А., Скоркина М. Ю. Физиология крови. — Белгород : Изд-во
БелГУ, 2007. — 324 с.
8. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 560 с.
References
1. Ciesla V. Hematology in Practice. — Philadelphia : F. A. Davis Company, 2007. —
348 p.
2. Svishhenko V. V., Gol'dberg E. D. Matematicheskoe modelirovanie kinetiki
jeritropojeza. — Tomsk : Izd-vo Tom. un-ta, 1995. — 94 s.
3. Shiffman F. Dzh. Patofiziologija krovi. — SPb. : BINOM - Nevskij dialekt, 2000.
— 448 s.
4. Sharaj I. A., Tumaev E. N. Matematicheskoe modelirovanie kinetiki
nejtrofilopojeza // Materialy XI nauchno-prakticheskoj konferencii molodyh uchenyh i
studentov juga Rossii "Medicinskaja nauka i zdravoohranenie". — Krasnodar, 2013. S. 5-17.
5. Sharaj I. A., Tumaev E. N. Matematicheskoe modelirovanie kinetiki
monocitopojeza // Trudy X Vserossijskoj nauchnoj konferencii molodyh uchenyh i studentov
"Sovremennoe sostojanie i prioritety razvitija fundamental'nyh nauk v regionah". —
Krasnodar : Prosveshhenie-Jug, 2013. S. 58-60.
6. Lukovenkov A. V. Ustojchivost' stacionarnyh sostojanij v kinetike mnogostadijnyh
himicheskih i biohimicheskih processov : avtoref. dis. ... kand. him. nauk : 02.00.04. — M,
2012. — 24 s.
7. Lipunova E. A., Skorkina M. Ju. Fiziologija krovi. — Belgorod : Izd-vo BelGU,
2007. — 324 s.
8. Rabinovich M.I., Trubeckov D.I. Vvedenie v teoriju kolebanij i voln. — NIC
«Reguljarnaja i haoticheskaja dinamika», 2000. — 560 s.
http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/34.pdf
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа