close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Обработка результатов эксперимента

код для вставкиСкачать
1
Обработка результатов эксперимента
Определения
Измерение – нахождение значения физической величины опытным путём с помощью специально для этого
предназначенных технических средств.
Измерение состоит из наблюдений и выполнения математических операций по определению результата измерения.
Наблюдение – измерительная (экспериментальная) операция по нахождению значения физической величины, подлежащего дальнейшей обработке совместно с результатами других подобных операций.
Прямое измерение – измерение, при котором измерительный сигнал, поступающий на вход средств измерения, содержит информацию о самой измеряемой величине.
Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение физической величины получают в результате вычислений на основании её зависимости от величин, измеряемых прямо.
Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины.
∆X = X − X 0 – абсолютная погрешность результата измерения;
∆X
– относительная погрешность результата измерения.
X
Здесь X – измеренное значение физической величины, X0 – истинное значение физической величины.
Систематическая погрешность – при повторных наблюдениях остаётся постоянной или изменяется закономерным образом.
Случайная погрешность – проявляется в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, проводимых одними и теми же средствами измерений одним и тем же экспериментатором.
Приборная погрешность – погрешность измерительного прибора (средства измерения), определённая при
его испытаниях и занесённая в его паспорт.
Класс точности прибора (средства измерения) – характеристика прибора, выраженная пределами его основной и дополнительной погрешностей.
Класс точности указывается на шкале прибора в виде числа, заключённого в кружок, либо просто числа .
1. Класс точности γ – число в кружке – обозначает максимальную относительную погрешность результата
измерения, выраженную в процентах.
Если X – отсчёт величины по шкале прибора, то приборная погрешность (её абсолютное значение) равна
γ⋅X
ΘX =
.
100
2. Если класс точности γ – просто число, то приборная погрешность равна
γ ⋅K
ΘX =
,
100
где К – максимальное показание шкалы прибора.
Если класс точности прибора не указан, то приборная погрешность принимается равной половине цены
деления шкалы. Если прибор цифровой, то приборная погрешность равна ± единице счёта. При наличии у
прибора нониуса погрешность такого прибора принимается равной одному делению шкалы нониуса.
Случайные погрешности
Принято считать, что случайные погрешности измерений распределяются по нормальному закону (закону Гаусса):
1. Погрешности могут принимать непрерывный ряд значений.
2. При большом числе наблюдений погрешности равных значений, но разных знаков встречаются одинаково часто.
3. Частота появления погрешностей уменьшается с увеличением значения погрешностей (большие по
абсолютному значению погрешности встречаются реже, чем малые).
Аналитически закон распределения Гаусса описывается выражением
1
−
( ∆X i )2
⋅ e 2σ ,
σ 2π
где σ – параметр распределения, равный полуширине гауссовой кривой на уровне 0.607 от её максимального значения, ∆X i = X i − X 0 – погрешность наблюдения с порядковым номером i, Xi – результат того же наблюдения.
Считая, что проведено бесконечно большое число наблюдений N, просуммируем погрешности наблюдений:
У =
2
2
N
N
∑ ∆X = ∑ ( X
i
i =1
N
i
N
∑X −∑X
− X0) =
i
i =1
i =1
0.
i =1
Т.к. погрешности равных значений, но разных знаков при гауссовом распределении встречаются одинаково
часто, то
N
∑ ∆X
i
= 0,
i =1
В свою очередь
N
∑X
= N ⋅ X0.
0
i =1
Следовательно,
N
∑X
N
0=
∑X
i =1
i
− N ⋅ X0 ⇒ X0 =
i =1
i
N
= X =< X >,
т.е. при абсолютно точном средстве измерения и бесконечно большом числе наблюдений (N →∞) среднее
значение измеряемой физической величины равно её истинному значению.
Грубые погрешности (промахи) – погрешности наблюдений, значительно отличающиеся от погрешностей
других наблюдений. Обычно носят чисто субъективный характер.
Обработка результатов прямых измерений
Измерение диаметра D цилиндра
Приборы: микрометр с ценой деления 0.01 мм, предел допускаемой погрешности (ПДП), указанный в паспорте микрометра, ΘD = 8 мкм.
N
1
2
3
4
5
D, мм
2.29
2.27
2.31
2.29
2.26
∆D⋅10 , мм
+ 0.6
– 1.4
+ 2.6
+ 0.6
– 2.4
Вычисляемые
величины
D = 2.284 мм
5
2
∑ ∆D
i
=0
i =1
5
∑ ( ∆D )
i
(∆D) ⋅10 , мм
2
4
2
0.36
1.96
6.76
0.36
5.76
2
=
i =1
= 15.2 ⋅ 10 − 4 мм 2
1. Исключение систематических погрешностей (если это возможно)
1.1. Считаем, что в данном случае систематическая погрешность отсутствует.
2. Вычисление результата измерения
N
∑X
X =
i =1
N
i
.
2.1.
D=
2.29 + 2.27 + 2.31 + 2.29 + 2.26 1142
.
=
= 2.284 мм.
5
5
N
3. ∆X i = X i − X ⇒
∑ ∆X
i =1
i
≅ 0 ⇒ равенство нулю или близость к нулю суммы отклонений подтверждает пра-
вильность расчёта отклонений ∆Xi.
5
3.1.
∑ ∆D
i
= (0.6 − 14
. + 2.6 + 0.6 − 2.4) ⋅ 10 − 2 = 0 ⇒ следовательно, расчёт отклонений произведён правильно!
i =1
4. СКО результата наблюдения
N
∑(X
SX =
i
− X )2
i =1
N −1
.
3
5
∑ ( ∆D )
2
i
15.2 ⋅ 10 − 4
. ⋅ 10 − 2 мм.
= 195
N −1
4
5. Определение промахов
i =1
4.1. S D =
=
V=
X ex − X
≤ VPN
SX
P =95% N = 5 VPN =1.9
(1.67)
N = 10 VPN = 2.3
(2.18)
V > VPN → промах!
Этот результат исключают и снова выполняют п.п. 2,3,4,5, но при N1 = N – 1.
2.31 − 2.284
5.1. V =
= 1333
.
< 167
. ⇒ следовательно, считать результат D3 промахом основания нет!
195
. ⋅ 10 − 2
6. СКО результата измерения
S
SX = X .
N
195
. ⋅ 10 −2
= 0.872 ⋅ 10 − 2 мм.
5
7. Доверительная граница случайной погрешности
∆X = t PN ⋅ S X
6.1. S D =
t PN = 2.78 ≈ 2.8 при N = 5 и Р = 95%
t PN = 2.36 ≈ 2.4 при N = 8 и Р = 95%
−2
t PN
−2
= 2.26 ≈ 2.3 при N = 10 и Р = 95%.
7.1. ∆D = 2.78 ⋅ 0.872 ⋅ 10 ≅ 2.42 ⋅ 10 мм.
8. Определение суммарной доверительной погрешности результата измерения
∆X = t PN ⋅ SX + Θ X .
8.1. ∆D = 2.42 ⋅ 10 −2 + 0.8 ⋅ 10 −2 = 3.22 ⋅ 10 −2 ≈ 0.03 мм.
9. Запись окончательного результата
X = X ± ∆X .
9.1. Диаметр цилиндра равен
D = (2.28 ± 0.03) мм
при числе наблюдений N = 5 и доверительной вероятности Р = 95%.
Обработка результатов косвенных измерений
Метод переноса погрешностей (метод средних)
Определение ускорения свободного падения
с помощью математического маятника
–2
Приборы: линейка с ценой деления 1 мм; цифровой электронный секундомер с ценой деления 10 с.
Расчётная формула
4π 2 L
,
g=
T2
где L – длина маятника, измеряемая линейкой; Т – период колебаний маятника.
Период колебаний математического маятника определяется как
t
T= ,
n
где t – время полных п колебаний маятника, измеряемое электронным секундомером. Принимаем п = 10.
N
Li , м
ti , с
∆ti , с
1
0.5
14.18
0.056
2
0.5
13.94
– 0.184
1. Результат измерения длины математического маятника
3
0.5
15.20
1.076
4
0.5
13.38
– 0.744
5
0.5
13.92
– 0.204
4
5
∑L
i
i =1
L=
= 0.5 м.
5
Поскольку случайных погрешностей и промахов, очевидно, нет, то
L = L ± Θ L = (0.5000 ± 0.0005) м.
2.1. Время 10 полных колебаний маятника
5
∑t
i
i =1
t =
= 14.124 c.
5
2.2. СКО наблюдения
5
∑ (t
V=
− t )2
i =1
St =
2.3. Проверка на промахи
i
N −1
= 0.72364 с.
∆t max
1076
.
=
= 1487
.
< 167
. = VPN .
St
0.72364
Следовательно, промахов нет!
2.4. СКО результата измерения времени
St =
St
=
0.72364
= 0.32362 c,
N
5
2.5. Доверительная граница случайной погрешности измерения времени
∆t = t PN ⋅ St = 2.8 ⋅ 0.32362 = 0.8997 с.
2.6. Полная погрешность результата измерения времени
∆t = ∆t + Θ t = 0.9097 с.
2.7. Результат измерения времени
t = t ± ∆t = (14.124 ± 0.910 ) с.
3. Следовательно, ускорение свободного падения (его среднее значение) равно
4π 2 n 2 L
g=
= 9.895 м / с 2 .
t2
4. Полная доверительная граница результата определения ускорения свободного падения
2
4.1.
2
2
2
 4 π 2n 2 
 8 π 2n 2L 
 ∂g 
 ∂g 
2

 −
 ( ∆t )2 = 1275
∆g =  
( ∆L )2 +  
( ∆t )2 = 
(
∆
L
)
+
.
м / с2 .
2 
 ∂L  L = L
 ∂t  t =t
t 3 
 t


t =t
L=L
2
 ∆L 
 2∆t 
∆g
4.2. ln g = ln(4 π n ) + ln L − 2 ln t ⇒ δg =
= 
 +

g
 L 
 t 
2
2
2
⇒ ∆g = g ⋅ δg = 1275
.
м / с2.
5. Окончательный результат
g = (9.9 ± 13
. ) м / с2.
Выборочный метод, или метод выборки
Определение ускорения свободного падения
с помощью математического маятника
–2
Приборы: масштабная линейка с ценой деления 1 мм, электронный частотомер с ценой деления 10 с.
Расчётная формула:
4π 2 L
g=
,
T2
где L – длина математического маятника, измеряемая линейкой, Т – период колебаний маятника, измеряемый электронным секундомером. Поскольку измеряется время t полных п = 10 колебаний маятника, то уточнённая расчётная формула имеет вид
4π 2 n 2 L
g=
.
t2
N
1
2
3
4
5
Li , м
0.5
0.6
0.7
0.8
1.0
5
ti , c
2
gi , м/с
2
∆gi , м/с
Θ g i ⋅ 10 3 , м/с
2
14.18
9.817
0.0082
1.729
15.54
9.809
0.0002
1.533
16.78
9.815
0.0062
1.390
17.95
9.802
– 0.0068
1.278
20.07
9.801
– 0.0078
1.115
1. Находим для каждого наблюдения значение gi и заносим в таблицу.
2. Вычисляем результат измерения
5
∑g
g=
i =1
i
= 9.8088 м / с 2 .
N
3. СКО наблюдения
N
∑ (g
Sg =
4. Проверка на промахи
V=
− g )2
i
i =1
N −1
= 7.294 ⋅ 10 − 3 м / с 2 .
∆g max
0.0082
=
= 1124
.
< 167
. = VPN .
Sg
7.294 ⋅ 10 − 3
Следовательно, промахов нет!
5. СКО измерения
Sg =
Sg
= 3.262 ⋅ 10 − 3 м / с 2 .
N
6. Доверительная граница случайной погрешности
∆g = t PN ⋅ S g = 9.133 ⋅ 10 −3 м / с 2 .
7. Граница приборной погрешности
7.1.
2
Θg i
2
2
2
 4 π 2n 2  2  8 π 2n 2Li  2
 ∂g 
 ∂g 
 Θ L +  −
 Θt
=  
Θ L2 +  
Θt2 = 
2
 ∂L  t =t i
 ∂t  L = Li
t i3 
 ti 

L = Li
t =t i
2
Θ 
 2Θ t 
7.2. ln g = ln(4 π 2 n 2 ) + ln L − 2 ln t ⇒ Θ g i = g i  L  + 

 Li 
 ti 
2
; по этой формуле находим 5 (!) значений при-
борной погрешности Θ g i и заносим их в таблицу.
7.3. Среднее значение приборной погрешности
Θ g = 1409
.
⋅ 10 −3 м / с 2 .
8. Полная погрешность результата измерения ускорения свободного падения
∆g = ∆g + Θ g = 10542
.
⋅ 10 −2 ≈ 0.01 м / с 2 .
9. Окончательный результат
g = g ± ∆g = (9.81 ± 0.01) м/с .
2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа