close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...3 Дифференциальное исчисление функций одной переменной

код для вставкиСкачать
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Кафедра математики и информатики
Математический анализ
Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся
с применением дистанционных технологий
Модуль 3 Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
Составитель:
доцент Кулагина Н.А.
Новосибирск 2013
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Содержание модуля 3
Понятие производной. Правила дифференцирования
Геометрический и физический смысл производной
Дифференциал функции
Экономический смысл производной. Предельные величины в
экономике. Эластичность функции и ее свойства
5. Производные высших порядков
6. Вопросы для самопроверки
7. Упражнения для самопроверки
1.
2.
3.
4.
1. Понятие производной. Правила дифференцирования
Понятие производной является одним из основных математических
понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач
математики, физики, в экономических дисциплинах.
Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о касательной. Пусть на плоскости Оxy дана непрерывная
кривая y  f (x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в
точке M0(x0,y0) .
Дадим общее определение касательной к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1 (Рис.1). Прямую
ММ1, проходящую через эти точки, называют секущей.
Рис.1
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Пусть
точка М1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно
приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М,
стремится к некоторому предельному положению МТ.
Касательной к кривой y  f (x) в точке М называется предельное
положение секущей ММ1 при приближении точки М1 к точке М.
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой y  f (x), имеющей в
точке М(x;y) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент
k  tg , где α – угол наклона касательной к оси Оx.
Дадим аргументу x приращение x  0 и перейдем от точки M(x,y)
к точке M ( x  x; f ( x  x)) . Проведем секущую ММ1 (Рис.2). Обозначим
1
через  - угол наклона между секущей ММ1 и осью Оx. Из Рис.2 видно, что
угловой коэффициент секущей равен
y f ( x  x)  f ( x)
kсек  tg 

.
x
x
Рис.2
При x  0 в силу непрерывности функции приращение y тоже
стремится к нулю. Поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой
к точке М, а секущая ММ1, поворачиваясь около точки М, переходит в
касательную. Угол    ,т.е. lim    . Следовательно, lim tg   tg  .
x0
x0
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
y
f ( x  x)  f ( x)
k  tg   lim tg   lim
 lim
.
x
x0
x0 x x0
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Задача о скорости движения. Пусть вдоль некоторой прямой
движется точка по закону s=s(t), где s – пройденный путь, t- время, и
необходимо найти скорость точки в момент t0.
К моменту времени t0 путь равен s0=s(t0), а к моменту времени (t0  t )
- путь равен s0  s  s(t0  t ) (Рис. 3).
Рис.3
s
Тогда за промежуток времени t средняя скорость будет vср  . Чем
t
меньше t , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в
момент времени t0 . Поэтому скоростью точки в момент времени t0
называется предел средней скорости за промежуток времени от t0 до (t  t )
0
, когда t  0 , т.е.
s
v  lim vср  lim
.
t 0
t 0 t
Задача о производительности труда. Пусть функция u  u(t )
выражает количество произведенной продукции u за время t . Необходимо
найти производительность труда в момент времени t0 .
За период времени от t0 до (t  t ) количество произведенной
0
продукции изменится от значения u  u(t ) до значения u  u  u(t  t ) .
0
0
0
0
u
Средняя производительность труда за этот период времени zср 
. Тогда
t
производительность труда в момент времени t0 есть предельное значение
средней производительности труда при t  0 :
u
z  lim zср  lim
.
t 0
t 0 t
Дадим точное определение производной.
Пусть функция y  f (x) определена на промежутке X. Возьмем точку
x0  X . Вычислим значение функции f ( x0 ) . Дадим значению x0 приращение
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
x  0 , получим точку x0  x . Вычислим значение функции f ( x0  x) .
Тогда функция получит приращение y  f ( x0  x)  f ( x0 ) (Рис. 4).
Рис.4
Производной функции y  f (x) в точке x0 называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к
нулю (при условии, что этот предел существует):
f ( x  x)  f ( x )
y
0
0 .


y  f ( x )  lim
 lim
0 x0 x x0
x
Нахождение производной функции называется дифференцированием
этой функции.
Производная функции y  f ( x) обозначается y  или f ( x) .
Если функция y  f ( x) в точке x0 имеет конечную производную, то
функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция,
дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется
дифференцируемой на этом промежутке.
Пример 1.
Пользуясь определением, найти производную функции y  x .
2
Решение:
Производную в произвольной точке x найдем по определению:
y
f ( x  x)  f ( x)
y  f ( x)  lim
 lim
.
x0 x x0
x
Дана функция f ( x)  x . Тогда ее значение в точке x  x равно:
2
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
f ( x  x)  ( x  x)2 . Следовательно, приращение функции:
y  f ( x  x)  f ( x)  ( x  x) 2  x 2  x 2  2  x  x  (x) 2  x 2 
 2  x  x  (x) 2 .
Составим предел
y
f ( x  x)  f ( x)
2  x  x  (x)2
lim
 lim
 lim


x

0

x

0

x

x

x
x0
(2  x  x)  x
 lim
 lim (2  x  x)  lim 2 x  lim x  2 x  0  2 x.
x0
x0
x0
x0
x
Таким образом, y  f ( x)  ( x )  2 x .
2
Теорема
о
зависимости
между
непрерывностью
и
дифференцируемостью. Если функция y  f (x) дифференцируема в точке x0,
то она в этой точке непрерывна.
Доказательство:
По условию функция y  f (x) дифференцируема в точке x0, т.е.
существует конечный предел
y
, где f ( x0 ) – постоянная величина, не зависящая от
f ( x )  lim
0 x0 x
x . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределом
y
функций (См. Модуль 2) можно записать
 f ( x )   (x) , где  (x) 0
x
бесконечно малая величина при x  0 или: y  f ( x )x   (x) x .
0
При x  0 на основании свойств бесконечно малых получаем, что
y  0 . Следовательно, функция y  f (x) непрерывна в точке x0.
Если функция непрерывна в данной точке, то она необязательно
дифференцируема в этой точке. Примером такой функции может служить
функция y  x . (Рис.5) Эта функция непрерывна в точке x=0, но не
дифференцируема в этой точке, т.к. в этой точке у нее не существует
касательной.
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Рис.5
Основные правила дифференцирования:
1. Производная постоянной равна нулю: c  0 .
2. Производная произведения функции на число равна: (c  u )  c  u .
3. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности)
производных этих функций: (u  v)  u  v , (u  v)  u  v .
4. Производная произведения двух функций равна сумме произведения
производной первого множителя на второй и произведения первого
множителя на производную второго: (u  v)  u  v  u  v .
5. Производная частного двух функций
u
, если v(х)  0, равна дроби,
v
числитель которой есть разность произведений производной числителя
дроби на знаменатель дроби и числителя дроби на производную
знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:
 u  u  v  u  v
, v  0.
  
2
v
v
6. Если функция и  (х) имеет производную u x в точке х, а функция
y  f (и) имеет производную yu в соответствующей точке и  (х), то
сложная функция у  f ((х)) имеет производную y x в точке х, которая
находится по формуле yx  yu  ux .
7. Если функция y  f (х) строго монотонна на интервале (а; b) и имеет
неравную нулю производную f ( x) в каждой точке этого интервала, то
обратная ей функция х  (у) также имеет производную  ( y ) в
каждой точке, определяемую равенством  ( y ) 
1
1
или xy 
.
f ( x)
yx
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Докажем,
например,
правило
4.
Пусть
Тогда
y  u v .
y
u ( x  x)  v( x  x)  u ( x)  v( x)
y  lim
 lim

x
x0 x x0
u ( x  x)  v( x  x)  u ( x)  v( x  x)  u ( x)  v( x  x)  u ( x)  v( x)
 lim

x
x0
v( x  x)  (u ( x  x)  u ( x))  u ( x)  (v( x  x)  v( x))
 lim

x
x0
v( x  x)  (u ( x  x)  u ( x)) u ( x)  (v( x  x)  v( x))
 lim (

)
x
x
x0
u ( x  x)  u ( x)
v( x  x)  v( x)
 lim v( x  x)  lim
 lim u ( x)  lim

x
x
x0
x0
x0
x0
u
v
 v( x)  lim
 u ( x)  lim
 v( x)  u( x)  u ( x)  v( x)
x0 x
x0 x
Формулы дифференцирования основных элементарных функций
1) (xn)  nxn-1;
1
, ( x  0) ;
2) ( x ) 
2 x

3)  e x   e x ;
8) (cos x)  sin x;
1
9)  tg x  
;
cos 2 x
1
10)  ctg x    2 ;
sin x
1

4)  a x   a x ln a ;
11)  arcsin x  
, ( x  1) ;
2
1 x
1
1
5)  ln x   , ( x  0) ;
12)  arccos x   
, ( x  1) ;
x
1  x2
1
1
6)  log a x  
;
, ( x  0, a  0) 13)  arсtg x  
x ln a
1  x2
1
7) (sin x)  cos x;
14)  arcctg x   
.
1  x2
Докажем, например, формулу 5. Дано y  ln x ,
x  x
x x
x
ln(  ) ln(1  )
y ln( x  x)  ln x ln x
x 


 x x 
x
x
x
x
x
1
1
x 1
x x

x 
x  x
x 



 ln 1   x  ln 1   x  ln  1   x  .
x 
x 
x  





НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Переходя к пределу при x  0 и воспользовавшись вторым замечательным
x
1

 x

x
lim 1   e , и
пределом: lim 1 x  x  e , записанным в виде
x0 
x0
x 
непрерывностью логарифмической функции, получим:
1
1
x x
x x


1 1
y
x 
x 


y  lim
 lim ln  1   x   ln lim  1   x   ln(e x )  .
x  
x  
x
x0 x x0  
x0  




 1
Таким образом,  ln x   .
x
Пример 2.
Найти производные функций.
а) y  2x5  5  2x  4x  7log2 x  ln 2; б) y  2 x 
в) y  (1  x 2)arctg x; г) y 
1
4
x
3
;
sin x  cos x
; д) y  sin 2x;
sin x  cos x
е) y  log3 (2x 3+1).
Решение.
а) Используя правило дифференцирования разности и формулы № 1, 4,
5, 6, получим:
y  (2x 5)  (5  2x)  (4x)  (7log2 x)  (ln 2) 
7
 2(x 5)  5(2x)  4(x)  7(log2 x)  0  2  5  x 4  5  2x ln 2  4  1 
.
x ln 2
б) Используя правило дифференцирования разности и формулу № 2,
получим:

1 12 1
3  34 1
1  12
3 7 4
  1 
y  2 x   4

2


x

4

(

x
)

2

x

4

x 

4 3
2
4
2
4
x 

7

1
1
3

 3 x 4 

.
x
x 4 x7


НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
в) Используя правило дифференцирования произведения и формулу
№ 13, получим
y   (1  x 2)arctg x  (1  x 2)(arctg x) 
1
 2x arctg x  (1  x 2)
 2x arctg x  1.
1  x2
г) Используя правило дифференцирования частного и формулы № 7, 8,
(sin x  cos x)(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(sin x  cos x)
y 

получим:
(sin x  cos x)2
(cosx  sinx )(sinx  cosx ) (sin
x cos
x )(cos
x
sin
x )


2
(sinx  cosx )
2

.
(sin x  cos x) 2
д) Функция y  sin 2x – сложная. Поэтому применим правило 6
дифференцирования сложной функции: yx  yu  ux . Сделаем замену:
u  2 x  y  sin u . Найдем производные от функций y (u ) и u ( x) ,
используя формулы №1 и №7: y  (sin u)  cos u , u  2 x  2 1  2 .
Следовательно,
Таким
yx  yu  ux  cos u  2  cos 2 x  2  2  cos 2 x .
образом, y   2cos 2x.
е) Функция y  log3 (2x 3+1) – сложная. Поэтому применим правило 6
дифференцирования сложной функции: yx  yu  ux . Сделаем замену:
u  2 x3  1,  y  log3 u . Найдем производные от функций y (u ) и u ( x) ,
используя формулы №1 и №6:
y  (log3 u ) 
1
u  (2 x3  1)  (2 x3 )  (1)  2  3x 2  0  6 x 2 .
u  ln 3 ,
Следовательно,
1
1
6 x2
2
2
yx  yu  ux 
 6x 
 6x 
u  ln 3
(2 x3  1)  ln 3
(2 x3  1)  ln 3 .
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
2. Геометрический и физический смысл производной
Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл
производной: производная f ( x0 ) есть угловой коэффициент (тангенс угла
наклона) касательной, проведенной к кривой y  f ( x) в точке x0 , т.е.
k  f ( x0 ) (Рис.2).
Тогда уравнение касательной к кривой y  f ( x) в точке x0 имеет вид:
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) .
Пример 3.
Найти уравнение касательной к графику функции y 
x в точке
x0  1.
Решение.
Уравнение касательной: y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) . Найдем f ( x0 ) :
f ( x0 )  y0  x0  1  1.
Найдем
угловой
f ( x)  ( x ) 
1
2 x
коэффициент
 f ( x0 ) 
касательной:
k  f ( x0 ) .
1
1
1

 . Подставим найденные
2 x0 2 1 2
значения функции и производной в уравнение касательной, получим:
1
x 1 x 1
y  1  ( x  1)  1     . Таким образом, уравнение касательной:
2
2 2 2 2
x 1
y  .
2 2
Из задачи о скорости движения следует физический смысл
производной: производная пути при прямолинейном движении s(t0 ) есть
мгновенная скорость точки в момент времени t0 : v(t0 )  s(t0 ) ; производная
скорости при прямолинейном движении v(t0 ) есть ускорение точки в момент
времени t0 : a(t0 )  v(t0 ) .
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Пример 4.
При прямолинейном движение точки ее путь задан формулой:
s(t )  3t 3  2t 2  5t  1 (м). Найти скорость точки в момент времени t  1 с.
Решение.
Скорость точки определяется как производная от пути: v(t0 )  s(t0 ) ,
v(t )  s(t )  (3t 3  2t 2  5t  1)  9t 2  4t  5 .
2
скорость точки при t  1 с равна v(1)  9 1  4 1  5  10 (м/c).
следовательно,
Тогда
Пример 5.
Найти ускорение точки при прямолинейном движении в момент
времени t  2 с, если ее скорость v(t )  2t  3t .
2
Решение.
Ускорение точки при прямолинейном движении есть производная от ее
скорости: a(t )  v(t )  (2t  3t )  4t  3 . Поэтому ускорение при t  2 с
равно: a(2)  4  2  3  11 (м/с2).
2
3. Дифференциал функции
Пусть функция y  f ( x) определена на промежутке X и
дифференцируема в некоторой окрестности точки x  X . Тогда существует
y
конечная производная f ( x)  lim
.
x0 x
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами
функций (Модуль2) можно записать:
y  f ( x) (x) ,
x
где  (x) - бесконечно малая величина при x  0 . Из этого равенства
следует, что
y  f ( x) x   (x) x .
Таким образом, приращение функции y состоит из двух слагаемых:
1) линейного относительно x : f ( x) x ; 2) нелинейного (представляющего
x ,т.к.
бесконечно
малую
более
высокого
порядка,
чем
 (x)x
lim
 lim  (x)  0 .
x0 x
x0
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно
x часть приращения функции, равная произведению производной на
приращение независимой переменной:
dy  f ( x)x .
Пример 6.
Найти приращение и дифференциал функции y  2 x2  3x при x  10 и
x  0,1.
Решение:
Приращение функции
y  f ( x  x)  f ( x)  [2( x  x)2  3( x  x)]  [2 x 2  3x] 
 2 x2  4 xx  2(x)2  3x  3x  2 x2  3x 
 4 xx  2(x)2  3x  (4 x  3)x  2(x)2 ,
Линейная часть приращения (выделена красным цветом) – это
дифференциал функции: dy  (4x  3)x .
При x  10 и x  0,1 имеем
y  (4 x  3)x  2(x)2  (4 10  3)  0,1 2  0,12  3,72
и
dy  (4x  3)x  (4 10  3)  0,1  3,70 .
Различие между y и dy составляет 0,02 или 0,5%.
Пример 7.
Найти дифференциал функции y  x .
Решение:
Применим формулу: dy  f ( x)x . Имеем: y  x , y  1 , следовательно,
dx  f ( x)x  1x  x . Таким образом,
dx  x .
Поэтому формулу для дифференциала можно переписать в виде:
dy  f ( x)dx .
Свойства дифференциала
dC  0 ;
d (C  u)  C  du ;
d (u  v)  du  dv
d (uv)  du  v  u  dv ;
u du  v  u  dv
5. d ( ) 
.
v
v2
1.
2.
3.
4.
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Видим, что свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Из вышеизложенного следует, что
y  f ( x) x   (x) x  dy   (x) x , т.е. приращение
функции y и дифференциал dy при малых x приближенно равны: y  dy
или f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x , откуда
f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x .
Пример 8.
Вычислить приближенно: а) 4 16,64 ; б) tg 46o .
Решение:
а) Получим сначала формулу для вычисления корня n-ой степени.
1 1 n x
1
n
f ( x)  x  f ( x)  x n 
Положим
.
Применим
формулу:
n
nx
n x x
x
n
n

f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x , следовательно, x  x  x 
 n x  (1 ) .
nx
nx
x
4
4
В нашем примере n=4, следовательно, x  x  x  (1 4 x ) , x  16, x  0,64 .
0,64
4
4
Поэтому 16  0,64  16  (1  4 16 )  2 1,01  2,02 .
x
1
tg ( x  x)  tg x 
б) Положим f ( x)  tg x  f ( x) 
.
Тогда
cos2 x
cos2 x
 


o
0 0
Учитывая, что tg 46  tg (45 1 )  tg ( 4  180 )  x  4 , x  180 . Тогда







tg ( 
)  tg  180  1  180  1  180  1   1  0,0349  1,0349 .
1
4 180
4 cos2 ( )
90
2 2
( )
(
)
4
2
2
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
4. Экономический смысл производной. Предельные величины
в экономике. Эластичность функции и ее свойства
Из задачи о производительности труда следует экономический смысл
производной: производная объема произведенной продукции по времени
u(t0 ) есть производительность труда z(t) в момент времени t0 .
Пример 9.
Найти производительность труда за 5 дней, если объем произведенной
продукции на некотором предприятии изменяется по закону:
t – в днях.
Решение.
Производительность труда
произведенной
продукции:
равна
3 2
t  2t , где
2
производной от
то
z  u(t ) ,
объема
есть
3
3
z  ( t 2  2t )   2t  2  3t  2 . Поэтому при t  5 производительность
2
2
труда будет равна: z (5)  3  5  2  13 единиц продукции в день.
Предельные величины
Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует
ряд предельных величин. Перечислим лишь некоторые из них: предельные
издержки, предельный доход, предельная производительность труда,
предельная склонность к потреблению и т.д. Все эти величины связаны с
понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим
предельные издержки.
Пусть x – количество произведенной продукции, C(x) –
соответствующие данному выпуску издержки. Предельные издержки
обозначаются МС и определяются как дополнительные издержки, связанные
с производством еще одной единицы продукции. Другими словами,
MC  C  C( x  x)  C( x) ,
x  1 .
где
Так
как
C
C( x) 
 C  C( x) x  C( x) 1  C( x) . Таким образом, MC  C( x) .
x
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Пример 10.
Пусть C ( x)  1500 x  2 x2  0,002 x3 . Тогда дополнительные издержки,
связанные с увеличением выпуска от x до x+1, составят C  C( x 1)  C( x) ,
что приближенно равно C( x)  1500  4 x  0,006 x2 . В таблице 1 даны значения
C и C( x) в точках x =100,200,…,1000.
приблизительно равны.
x
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
C( x)
1160
940
840
860
1000
1260
1640
2140
2760
3500
Мы видим, что C( x) и C
Таблица 1
C
1158,6
939,2
839,8
860,4
1001,0
1261,6
1642,2
2142,8
2763,4
3504,4
Пример 11.
Зависимость между издержками производства С(x) и объемом
выпускаемой продукции x выражается функцией y  C ( x)  50 x  0,05x3 (ден.
ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции,
равном 10 единиц.
Решение:
Средние издержки (на единицу продукции) выражаются отношением:
C ( x) 50 x  0,05x3
Cср 

 50  0,05x2 , при x=10 средние издержки (на
x
x
единицу продукции) равны: Cср (10)  50  0,05 102  50  5  45 (ден.ед).
Предельные издержки выражаются производной от функции издержек:
C( x)  50  0,05  3 x2  50  0,15  x2 , при x=10 предельные издержки (на
единицу продукции) равны: C(10)  50  0,15 102  35 (ден. ед). Итак, если
средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.
ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство
дополнительной единицы продукции при данном уровне производства
(объеме выпускаемой продукции 10 ед.), составляют 35 ден. ед.
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Эластичность функции и ее свойства
Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с
анализом функций спроса.
Эластичностью функции y  f ( x) в точке x называется предел:
0
 y x 
E yx ( x )  lim  :  .
0 x0  y x 
Говорят также, что E yx ( x ) - коэффициент эластичности y по x.
0
Если из контекста ясно, какая переменная является независимой, а
какая зависимой, то в обозначении символ x может опускаться, и эластичность
будем обозначать E y .
Из определения эластичности следует, что при достаточно малых x
выполняется приближенное равенство:
y x
:
 Ey ,
y x
которое можно записать в виде:
y
x
.
 Ey
y
x
Поэтому эластичность E y - это коэффициент пропорциональности
между относительными изменениями величин y и x, т.е. если, например,
величина x увеличится на 1%, то величина y увеличится (приближенно)
на E y процентов.
Выразим E y через производную функции y  f ( x) :
 f ( x  x)  f ( x ) x 
 y x 
0
0 : 
E yx ( x )  lim  :   lim 
0 x0  y x  x0 
f (x )
x 
0
0


x
f ( x  x)  f ( x )
x
0  lim
0
0  0  f ( x ),
0
f ( x ) x0
x
f (x )
0
0
или
Ey 
x 
y.
y
Пример 12.
Найти эластичность функции y  xa .
Решение:
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
x
Применим формулу E y  y . Тогда
y
x a x
xa
a

1
Ey  a (x )  a  a  x
 a a  a.
x
x
x
Свойства эластичности функции:
1.
Эластичность в точке x суммы y  y  ...  yn
1
0
положительных функций
удовлетворяет
yi  fi ( x), i  1,..., n
соотношению:
E
 E y  Emax ,
min
где E
(E
) - это минимальная (максимальная) эластичность в точке x
0
min max
функций yi  fi ( x) .
2.
Эластичность произведения функций u  u( x)
и
v  v( x) в точке x равна сумме эластичностей функций в точке x
0
0
:
Euv  Eu  Ev .
3.
Эластичность частного функций u  u( x) и v  v( x) в
точке x равна разности эластичностей функций в точке x :
0
0
Eu  Eu  Ev .
v
4.
Эластичности взаимно обратных функций – взаимно
обратные величины:
1
Ex ( y) 
.
E y ( x)
Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления.
Например, эластичность спроса y относительно цены x (иди дохода x) –
x
коэффициент, определяемый по формуле:
E y  y
y
и показывающий приближенно, на сколько процентов изменится спрос (объем
потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.
Если эластичность спроса (по абсолютной величине) E y ( x)  1, то
спрос считают эластичным, если E y ( x)  1 – неэластичным относительно цены
(или дохода). Если E y ( x)  1, то говорят о спросе единичной эластичности.
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Пример 13.
Зависимость между себестоимость единицы продукции y (тыс. руб.) и
выпуском продукции x (млн. руб.) выражается функцией y  0,5x  80 . Найти
эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.
Решение:
x
По формуле E y  y эластичность себестоимости равна:
y
x
0,5x
x
E y ( x) 
 (0,5) 

.
0,5x  80
0,5x  80 x 160
60
60

 0,6 , т.е. при
При x  60
эластичность E y (60) 
60 160 100
выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к
снижению себестоимости на 0,6%.
Пример 14.
p 8
и
p2
предложения s  p  0,5 , где q и s - количество товара, соответственно
покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p - цена товара.
Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос равен предложению;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при
увеличении цены на 5% от равновесно1.
Опытным
путем
установлены
функции
спроса
Решение:
а) Равновесная цена определяется из условия: q=s, т.е.
q
p 8
 p  0,5 ,
p2
Решая это уравнение:
p  8  ( p  0,5)( p  2)  p2 1,5 p  7  0  p  2; p  3,5 . Так как
1
2
смысл величины p- цена, то корень уравнения p  2 - равновесная цена
(ден.ед.).
б) Найдем эластичность по спросу:
p 
p  p  8  p( p  2) ( p  2)  ( p  8)
6 p
.
Eq  q 



 
q
p 8
( p  8)( p  2)
 p 8   p  2 
( p  2)2


 p2
p
p
2p
Эластичность по предложению: Es  s 
.
1 
s
( p  0,5)
2 p 1
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
6  2
12
Для равновесной цены p=2 имеем: Eq (2) 

 0,3 и
(2  8)(2  2) 40
22
4
Es (2) 
  0,8 .
2  2 1 5
Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине
меньше 1, то спрос и предложение данного товара при равновесной
(рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что
изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. Так,
при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложения
увеличится на 0,8%.
в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшается на
5  0,3  1,5% , следовательно, доход возрастает на 5-1,5=3,5%.
5. Производные высших порядков
Производная y   f (x) функции y  f (x) есть функция от х и называется
производной первого порядка.
Если функция f (x) дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка: (f (x)) и обозначается y = f  (x) .
Производная от производной второго порядка, если она существует,
называется производной третьего порядка: y = f  (x).
Производной n-го порядка (или n-ой производной) называется
производная от производной (n  1)-го порядка:
y (n)  (y (n  1)(x)).
Производные порядка выше первого называются производными
высших порядков.
Производные высших порядков вычисляются последовательным
дифференцированием данной функции:
y   (y ); y   (y ); …; y (n)  (y (n  1)).
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают
римскими цифрами или числами в скобках: y v или у (5) – производная пятого
порядка.
Пример 15.
Найти
производную
y  2 x  3x  5 x  6 .
3
2
четвертого
порядка
от
функции
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Решение.
Найдем первую производную:
y  (2 x3  3x 2  5x  6)  2  3x 2  3  2 x  5  6 x 2  6 x  5 .
Вторая производная y  ( y)  (6 x  6 x  5)  6  2 x  6  12 x  6 .
2
Третья производная y  ( y)  (12 x  6)  12 .
Четвертая производная y
(4)
 0.
Пример 16.
Найти вторую производную от функции y  x  ln x .
Решение.
Найдем первую производную по правилу 4: (u  v)  u  v  u  v :
2
y  ( x 2  ln x)  ( x 2 )  ln x  x 2  (ln x)  2 x  ln x  x 2 
Тогда
1
 2 x  ln x  x.
x
y  (2 x  ln x  x)  (2 x  ln x)  x  (2 x)  ln x  2 x  (ln x)  1 
1
 2  ln x  2 x   1  2  ln x  2  1  2  ln x  3.
x
Пример 17.
Найти производную четвертого порядка от функции y  cos 5x.
Решение.
Функция y  cos 5x – сложная. Поэтому применим правило 6
дифференцирования сложной функции: yx  yu  ux . Сделаем замену:
u  5x  y  cos u . Найдем производные от функций u ( x) и y (u ) ,
используя формулы №1 и №7: u  5x  5 1  5 , y  (cos u)   sin u .
Следовательно, yx  yu  ux   sin u  5   sin5x  5  5  sin5 x . Таким
образом, y   -5sin 5x.
Последовательно дифференцируя функцию, получим:
y   ( -5sin 5x)  =-5cos 5x  (5x)  = 25cos 5x; y   (25cos 5x) =
=125 sin 5x; y (4) (125sin 5x) = 625cos 5x.
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
Пример 18.
Найти значения производных y(1) и y(1) функции
y  4 x3  3x 2  5x  1.
Решение.
Найдем первую и вторую производные функции
y  4 x3  3x 2  5x  1.
y( x)  (4 x3  3x 2  5x  1)  4  3x 2  3  2 x  5  12 x 2  6 x  5 .
y( x)  (12 x 2  6 x  5)  12  2 x  6  24 x  6 .
Подставим значение x  1 в производные y( x) и y( x) , получим:
y(1)  12 12  6 1  5  11
и
y(1)  24 1  6  18 .
6. Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение производной функции в данной точке.
2. Что называется дифференцированием?
3. Приведите таблицу производных основных функций.
4. Сформулируйте правила вычисления производных.
5. Каков геометрический смысл производной?
6. Каков физический смысл производной?
7. Приведите определение дифференциала функции.
8. Перечислите основные свойства дифференциала функции.
9. Приведите экономический смысл производной.
10. Что называется эластичностью функции? Что она означает?
11. Перечислите свойства эластичности.
12. Запишите уравнение касательной к графику функции.
13. Что называется производной второго, третьего порядка?
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
7. Упражнения для самопроверки
Найдите производные функций:
1.
1) y  6 x3  4 x 2  5x  3 ;
2) y  2 x 
1 4
 x;
x
2
 2 x ; 4) y  ( x 2  x)  cos x ;
x
5) y   x 2  5x  13 e x ; 6) y  x ln x ; 7) y  4 x  ctgx ; 8) y  x12 cos x ;
3) y  4 x5  12 x 3 x 
x
cos x
9) y  e x sin x ; 10) y  x3 sin x  4 x ; 11) y 
; 12) y  2
;
x2
x 2
13) y 
arctgx
.
ln x
2. Найдите производные сложных функций:
y  cos2 x ; 2) y  ln 8 x  3 ; 3) y  tg 4 x ; 4) y  cos 1  x  ;
1)
3
5) y  ctg  5x  4  ; 6) y  6e5 x1 ; 7) y  x 2  25 ; 8) y   x 2  4 x  1 ;
 х2
2
2
2x
5
9) y  ln(3x  5x  1) ; 10) у  е ; 11) y  3x ln(1  x ) ; 12) y  ( xe  3) ;
ln cos x
arctgx
13) y 
; 14) y 
; 15) y  1  x2 arccos x .
cos x
1  x2
3. Найти вторые производные функций:
1) y  4 x 2  5x  3 ; 2) y  6 x3  8 ; 3) y  2 x5  1 ;
4) y  ln x ; 5)
y  2 x3  3x 2  36 x  1;
7) y  sin(3x  2) ;
4.
6) y  3e4 x ;
8) y  cos2 x .
Если y  x3  x 2  x  3 , то y(2) принимает значение, равное…
 
5. Если y  sin x , то y   принимает значение, равное…
3
6. Если y  2 x3  3x 2  36 x  1, то y(1) принимает значение,
равное…
7. Если y  ln x , то y(1) принимает значение, равное…
8. Составить уравнение касательной: 1) к параболе y  x  6 x  5 в
2
точке x  4 ; 2) к кривой y 
8
4  x2
точке x  2 .
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
9. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки
задана уравнением s 
времени t  4 с.
1 3
t  2t 2  3 . Вычислить ее скорость в момент
3
10. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением
v  2t 2  5t  6 . В какой момент времени ускорение точки будет равно
2 м/с2?
11. Объем продукции цеха в течение рабочего дня представляет
функцию u  t3  5t 2  75t  425 , где t- время (ч). Найти
производительность труда через 2 часа после начала работы.
12. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом
выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией y  10 x  0,04 x3 .
Определить средние и предельные издержки при объеме продукции,
равном 5 единиц.
13. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются
соответственно уравнениями q  7  p и s  p 1 . Найти:
1) равновесную цену; 2) эластичность спроса и предложения для этой
цены; 3) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5% от
равновесной.
14. Найти выражения приращений функций и их дифференциалов и
вычислить их значения при заданных x и x :
1) y  x3  3x2  3x, x  2, x  0,01; 2) y  1 x2 , x  0, x  0,01.
Ответы:
1. 1) y  18 x  8 x  5 ; 2) y 
2
1
1
1
 2
;
x x
4 4 x3
2
1
2

;4) y  (2 x  1)cos x  ( x  x)sin x ;
2
x
x
4x
x
2



y

ln
x

1
y

e

(
x

7
x

8)
y

4
ctgx

5)
;6)
;7)
sin 2 x ;
11
12
x
8) y  12 x  cos x  x  sin x ; 9) y  e (sin x  cos x) ;
3
3) y  20 x  16 x 
4
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА
http://safbd.ru
2
2
3
x


y

y

3
x

sin
x

x

cos
x

4

ln
4
10)
; 11)
( x  2) 2 ;
1
1

ln
x

arctgx

2
sin x  ( x  2)  cos x  2 x
1

x
x


y

12) y  
;13)
.
2
2
2
(ln x)
( x  2)
8
4
2. 1) y  2sin 2 x ; 2) y 
; 3) y 
; 4) y  sin(1  x) ;
2
8x  3
cos 4 x
5
x
5 x1


y

30
e
5) y  
;
6)
;
7)
;
y

2
2
sin (5x  4)
x  25
2
6x  5
2
2
8) y  6( x  4 x  1) ( x  2) ; 9) y  2
; 10) y  e x  2 x ;
3x  5 x  1
2

11)
y 
y  3  ln(1  x2 ) 


2 x2 
;
1  x2 
12)
y  5e2 x ( xe2 x  3)4 (2 x 1) ;
13)



sin x(ln cos x 1)
x
1  xarctgx



; 14) y  
; 15) y   1 
arccos x  .
2


2
2
3
cos x
1 x
(1  x )


1
; 5) y  12 x  6 ;
2
x
4x
6) y  48e ; 7) y  9sin(3x  2) ; 8) y  4cos 2 x .
1
x
4. 7; 5. ; 6. -18; 7. -1; 8. 1) y  2 x  11; 2) y    3 ; 9. 32 м/с.;
2
2
3. 1) y  8 ; 2) y  36 x ; 3) y  40 x ; 4) y  
3
10. 1,75 с. 11. 43 ед./ч. 12. 9 ден. ед; 7 ден. ед. 13.1) 3 ден.ед.;
2) Eq  0,75; Es  0,75 ; 3) +1,25%.
14. 1) y  3( x2  2x 1)x  3( x 1)(x)2  (x)3; dy  3( x 1)2 x ; при
заданных x=2 и x =0,01
y  0,030301; dy  0,03 ;
xx
2) y  1  ( x  x)2  1  x2 ; 2)dy 
; при заданных x=0 и
2
1 x
y  0,00005; dy  0 .
x = - 0,01
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа