close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

;docx

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Новиков Антон Евгеньевич
РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ЗАДАЧ
01.01.07 – вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Красноярск – 2014
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении
науки Институте вычислительного моделирования СО РАН (ИВМ СО РАН)
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
член-корреспондент РАН
Шайдуров Владимир Викторович
Официальные оппоненты:
Добронец Борис Станиславович
доктор физико-математических наук,
профессор,
Федеральное государственное образовательное
учреждение высшего профессионального
образования Сибирский федеральный
университет, профессор
Задорин Александр Иванович
доктор физико-математических наук,
профессор,
Омский филиал Федерального
государственного бюджетного учреждения
науки Института математики им. С.Л. Соболева
Сибирского отделения Российской академии
наук, заведующий лабораторией
математического моделирования в механике
Ведущая организация:
Федеральное государственное образовательное
учреждение высшего профессионального
образования Новосибирский государственный
технический университет
Защита диссертации состоится 25 июня 2014 г. в 15 часов на заседании
диссертационного
совета
Д 003.061.01
на
базе
Федерального
государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной
математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской
академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу: г. Новосибирск, проспект
академика Лаврентьева, 6.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМиМГ СО РАН и на
сайте www.sscc.ru.
Автореферат разослан 24 апреля 2014 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
д.ф.-м.н.
Рогазинский Сергей Валентинович
2
Общая характеристика работы
Актуальность темы обусловлена необходимостью эффективного
численного решения жестких и нежестких систем обыкновенных
дифференциальных уравнений большой размерности, возникающих при
математическом моделировании динамики электрических сетей и
электронных схем, биологических, химических и других процессов. Класс
задач, описываемых жесткими системами, расширяется за счет учета
большого числа факторов при построении математических моделей
различных процессов. Это повышает требования к вычислительным
алгоритмам. Современные методы решения жестких задач, как правило, на
каждом шаге требуют обращение матрицы Якоби, что при большой
размерности задачи определяет общие вычислительные затраты. С целью
экономии во многих алгоритмах одна матрица Якоби применяется на
нескольких шагах интегрирования. Эта задача решается достаточно просто в
методах, в которых данная матрица используется в некотором итерационном
процессе (многошаговые методы Адамса и Гира, неявные и полуявные
методы типа Рунге-Кутты). В безытерационных схемах матрица Якоби
включена в численную формулу, и поэтому возникают сложности с ее
замораживанием. Однако такие методы обладают хорошими свойствами
точности и устойчивости, просты с точки зрения реализации и, как
следствие, привлекательны для вычислителей. Аналогом замораживания
является применение в расчетах алгоритмов интегрирования на основе явных
и L-устойчивых методов с автоматическим выбором численной формулы.
Первые алгоритмы такого типа для многошаговых методов были построены
Petzold L.R. (1982), для одношаговых численных схем – Shampine L.F. и
Новиков Е.А. (1984). В работах Petzold L.R. и Shampine L.F. для выбора
схемы применялась норма матрицы Якоби, которую нужно вычислять даже
при расчетах по явной схеме. В работах Новикова Е.А. для выбора схемы
применяется неравенство для контроля устойчивости без вычисления
матрицы Якоби. По эффективности расчетов такие алгоритмы существенно
превосходили существовавшие методы. Важно, что они распознавали,
является ли задача жесткой или нет, и в зависимости от этого выбирали на
каждом шаге эффективную численную формулу – явную или L-устойчивую.
Поэтому построение новых эффективных алгоритмов переменного порядка и
шага, а также переменной структуры, является актуальной задачей.
Целью работы является создание алгоритмов интегрирования жестких
и нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
эффективность которых достигается комбинированием численных схем по
точности и устойчивости. Для достижения цели решены следующие задачи.
1. Построены неравенства для контроля устойчивости известных явных
методов высокого порядка с последующим созданием алгоритмов
3
переменного шага с контролем точности вычислений и устойчивости
численных схем.
2. Разработаны явные методы первого порядка с расширенными областями
устойчивости на основе стадий численных схем высокого порядка, а также
с неравенствами для контроля точности и устойчивости.
3. Построены алгоритмы переменного порядка и шага на основе стадий
явных методов высокого порядка для решения задач умеренной жесткости.
4. Разработаны алгоритмы переменной структуры на основе явных и Lустойчивых численных формул с автоматическим выбором на каждом
шаге эффективной численной схемы.
Методы исследования. Используются методы вычислительной
математики и математического анализа, применяется теория разностных
схем и обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффективность
алгоритмов проверяется с помощью численных экспериментов, сравнением с
экспериментальными данными и расчетами других авторов.
На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие
паспорту специальности 01.01.07 – вычислительная математика.
1. Алгоритмы интегрирования переменного шага с контролем точности и
устойчивости для решения умеренно жестких и нежестких задач.
2. Явные методы первого порядка с расширенными областями
устойчивости с неравенствами для контроля точности и устойчивости.
3. Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага на основе
стадий явных методов пятого, седьмого и восьмого порядков точности
с контролем точности вычислений и устойчивости численных формул
для решения умеренно жестких и нежестких задач.
4. Комбинированные алгоритмы на основе явных и L-устойчивых
методов второго, третьего и четвертого порядков точности для
решения жестких и нежестких задач.
5. Результаты моделирования практических задач из химии и теории
электрических цепей.
Научная новизна. Построены новые алгоритмы переменного порядка
и шага для решения умеренно жестких систем обыкновенных
дифференциальных уравнений. Разработаны эффективные алгоритмы
переменной структуры с автоматическим выбором численной схемы для
решения жестких и нежестких систем.
Достоверность
полученных
результатов
подтверждается
численными испытаниями построенных алгоритмов на тестовых примерах и
практических задачах, а также сравнением с расчетами других авторов.
Результаты тестовых расчетов подтверждают надежность и эффективность
неравенства для контроля точности вычислений и устойчивости численной
формулы.
Теоретическая ценность. На основе методов Фельберга и ДормандаПринса пятого, седьмого и восьмого порядков точности построены
4
алгоритмы переменного порядка и шага для решения задач умеренной
жесткости. На основе явных и L-устойчивых численных формул второго,
третьего и четвертого порядков разработаны алгоритмы переменной
структуры с автоматическим выбором численной схемы.
Практическая ценность. Разработаны программы решения жестких и
нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые
можно применять для численного решения практических задач, в учебном
процессе при подготовке специалистов по математическому моделированию
в различных областях. Проведено моделирование четырех задач из теории
электрических цепей и химии.
Основные положения и результаты диссертации докладывались и
обсуждались на Международных конференциях «Математические и
информационные технологии» (Сербия, 2011), “Вычислительные и
информационные технологии в науке, технике и образовании” (Павлодар,
2006), «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория,
эксперимент и практика» (Новосибирск, 2011), «Актуальные проблемы
прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2009, 2010,
2011, 2012, 2013), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск,
2009, 2010, 2011, 2012), на Всероссийских конференциях «Имитационное
моделирование.
Теория
и
практика»
(Санкт-Петербург,
2011),
“Математическое моделирование развития северных территорий Российской
Федерации” (Якутск, 2012), «Математическое моделирование и
информационные технологии» (Красноярск, 2011, 2012, 2013); на семинарах
Института вычислительного моделирования СО РАН и кафедры
математического обеспечения дискретных устройств и систем Сибирского
федерального университета. Работа поддержана грантами РФФИ (проекты
11-01-00106 и 14-01-00047).
Основные результаты диссертации опубликованы в 18 печатных
работах, включая (в скобках в числителе указан общий объем этого типа
публикации в печатных листах, в знаменателе – объем принадлежащий лично
автору) 9 статей в периодических изданиях, рекомендованных ВАК (4.0/2.9)
и 8 статей в трудах конференций (2.0/1.8).
Личный вклад соискателя. Результаты, составляющие основное
содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных
работах соавторам принадлежат обсуждение постановки задач и результатов
исследований. Автором разработаны алгоритмы переменного порядка и
шага, а также алгоритмы на основе явных и L-устойчивых методов,
выполнено моделирование практических задач электрических цепей и химии.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав,
заключения, библиографического списка из 115 наименований. Общий объем
работы составляет 123 стр., в том числе 5 таблиц и 20 рисунков.
5
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении дан обзор работ по теме диссертации и приведено краткое
описание ее содержания по главам.
Глава 1 посвящена построению неравенства для контроля точности и
устойчивости явных методов типа Рунге-Кутты. В первом параграфе
приведены основные определения. Во втором параграфе предлагается
способ получения неравенства для контроля точности вычислений, а так же
приведена формула для выбора величины шага интегрирования по точности.
В третьем параграфе изучается подход к построению неравенства для
контроля устойчивости явных методов. В четвертом параграфе
рассматриваются вопросы реализации на ЭВМ явных методов с контролем
точности вычислений и устойчивости численных схем. Данный раздел
реферативный и приведен для наглядности.
Глава 2 посвящена построению алгоритмов переменного порядка и
шага на основе явных численных схем типа Рунге-Кутты для решения задач
умеренной жесткости. Выбор эффективного метода осуществляется на
каждом шаге по точности и устойчивости.
В первом параграфе для численного решения задачи Коши
y  f (t  y ) , y (t0 )  y0 , t0  t  t k
(1)
изучается метод типа Рунге-Кутты вида
yn1  yn  pm1k1  ...  pm 6 k6 ,
(2)
где
1
1
k1  hf (tn  yn ) , k2  hf (tn  h yn  k1 ) ,
4
4
3
3
9
k3  hf (tn  h yn  k1  k2 ) ,
8
32
32
12
1932
7200
7296
(3)
k4  hf (tn  h yn 
k1 
k2 
k3 ) ,
13
2197
2197
2197
439
3680
845
k5  hf (tn  h yn 
k1  8k2 
k3 
k4 ) ,
216
513
4104
1
8
3544
1859
11
k6  hf (tn  h yn  k1  2k2 
k3 
k4  k5 ) .
2
27
2565
4104
40
При значениях коэффициентов
16
6656
28561
9
2
, p52  0 , p53 
, p54 
, p55   , p56 
p51 
135
12825
56430
50
55
численная формула (2) совпадает с методом Фельберга и имеет пятый
порядок точности. Известен другой набор коэффициентов
6
25
1408
2197
1
, p42  0 , p43 
, p44 
, p45   , p46  0 ,
16
2565
4104
5
при которых схема (2) имеет четвертый порядок точности. Поскольку в
каждой точке имеются два приближения к решению, то для контроля
точности используется оценка ошибки вида
p41 
n,5  17

6
i 1
( p5i  p4i )ki / 24 ,
где |||| – некоторая норма в RN. В результате для контроля точности
применяется неравенство εn,5 ≤ ε, где ε – требуемая точность расчетов. Из
результатов расчетов данным алгоритмом умеренно жестких задач следует,
что на участке установления решения возникает большое количество
возвратов из-за возникающей неустойчивости численной схемы.
Здесь для схемы (2) построено неравенство для контроля устойчивости,
в котором применяется оценка максимального собственного числа vn=hn,max
матрицы Якоби системы (1). Оценка получена на линейной задаче y=Ay, и
вычисляется через стадии (3) по формуле
vn  max  32k3  48k2  16k1 i /  k2  k1 i / 9 .
1i  N
Полученная оценка грубая, и поэтому она применяется как ограничитель на
величину шага интегрирования. В результате шаг выбирается следующим
образом. Учитывая, что εn,5=O(h5) и vn=O(h), определяются два числа q и r по
формулам q5εn,5=ε и rvn=3.6, где числом 3.6 ограничен интервал устойчивости
метода Фельберга. Тогда прогнозируемый шаг hn+1 по точности и
устойчивости выбирается по формуле
(4)
hn1  max hn  min  q, r  hn  .
Данная формула позволяет стабилизировать размер шага на участке
установления решения. Дополнительный контроль устойчивости приводит к
повышению эффективности расчетов умеренно жестких задач примерно в
полтора раза. Однако на участках установления точность вычислений
значительно выше задаваемой точности. Это естественно, потому что старые
ошибки подавляются за счет контроля устойчивости, а новые невелики за
счет малости производных решения. В такой ситуации выгоднее считать
методом более низкого порядка точности, но с более широкой областью
устойчивости. На основе стадий (3) построена схема первого порядка
точности с коэффициентами p11=0.41975960186956, p12=0.44944365216575,
p13=0.1296419611922, p14=0.1219923563523110–2, p15=–0.6625069073205410–4,
p16=0.1111899704593910–5, интервал устойчивости которой расширен до 72
по действительной оси. Для контроля точности вычислений метода первого
порядка применяется неравенство |1–2c2|||k2–k1||≤ε, а при выборе величины
шага интегрирования дополнительно проверяется |1–2c2|||hf(yn+1)–k1||≤ε. Так
как длина интервала устойчивости схемы первого порядка равна 72, то для ее
контроля устойчивости применяется неравенство vn≤72.
7
Методы первого и пятого порядков точности основаны на одних и тех
же стадиях (3). Поэтому алгоритм переменного порядка и шага
формулируется тривиально. При расчетах по методу пятого порядка
нарушение неравенства vn≤3.6 вызывает переход на схему первого порядка.
При расчетах по методу первого порядка выполнение неравенства vn≤3.6
вызывает переход на схему пятого порядка. При расчетах по методу первого
порядка дополнительно контролируется устойчивость, а шаг выбирается по
формуле вида (4). Так как интервал устойчивости схемы первого порядка
примерно в 20 раз шире метода пятого порядка, то при расчетах алгоритмом
переменного порядка и шага теоретическое повышение эффективности
расчетов примерно в 20 раз по сравнению с исходным методом Фельберга.
Во втором и третьем параграфах аналогичные алгоритмы построены
на основе стадий метода Фельберга седьмого порядка и метода ДормандаПринса восьмого порядка точности. В четвертом параграфе приведены
результаты расчетов. Через Fel5 и Fel7 обозначены алгоритмы
интегрирования переменного шага на основе методов Фельберга пятого и
седьмого порядков, а через DP8 – метод Дорманда-Принса восьмого порядка
точности. Данные алгоритмы применительно к решению нежестких задач
широко известны, их программные реализации входят практически во все
мировые библиотеки. Здесь данные методы применяются для решения
жестких задач. В качестве тестового примера выбрана простейшая
математическая модель описания реакции Белоусова-Жаботинского
(орегонатор). Задача является слишком жесткой для явных методов
(коэффициент жесткости примерно 106), и поэтому для ее решения
применяются L-устойчивые методы. Данный пример выбран для того, чтобы
продемонстрировать возможность применения явных методов с
дополнительным контролем устойчивости, а также алгоритмов переменного
порядка и шага для решения достаточно жестких задач. Простейшая модель
реакции Белоусова-Жаботинского имеет вид
y1  77.27( y2  y1 y2  y1  8.375 106 y12 ) ,
y2   y3  y2  y1 y2  / 77.27 , y3  0.161( y1  y3 ) ,
t [0,300] , h0  103 , y1 (0)  4 , y2 (0)  1.1 , y3 (0)  4 .
Через Fel5st, Fel7st и DP8st обозначены соответствующие алгоритмы
интегрирования с дополнительным контролем устойчивости, а через Fel5vo,
Fel7vo и DP8vo – алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага. В
качестве критерия эффективности выбрано число вычислений правой части
задачи на интервале интегрирования. Время счета пропорционально данному
критерию. Результаты расчетов приведены в табл. 1, а зависимость
переменной y1 от времени на рис. 1.
В главе 3 построены алгоритмы переменной структуры и шага на
основе L -устойчивых ( m, k ) -методов и явных схем типа Рунге-Кутты. Во
всех методах оценка ошибки вычислена с применением идеи вложенных
8
методов. Выбор эффективной численной формулы осуществляется на
каждом шаге по критерию устойчивости. В L -устойчивых методах
допускается замораживание как аналитической, так и численной матрицы
Якоби. Для всех методов получены оценки ошибок и построены неравенства
для контроля точности вычислений и автоматического выбора величины
шага интегрирования. Приведены результаты расчетов. В первом параграфе
показана ограниченность методов типа Розенброка, если они применяются с
замораживанием матрицы Якоби. Во втором параграфе описан класс (m,k)методов решения жестких задач.
Таблица 1
Вычислительные затраты
Точность расчетов
Fel5
Fel5st
Fel5vo
Fel7
Fel7st
Fel7vo
DP8
DP8st
DP8vo
10–2
15 694 434
12 855 329
826 849
38 429 365
19 836 063
778 253
27 999 975
18 895 258
717 695
10–4
15 691 105
12 871 206
892 643
38 429 235
19 913 816
830 494
27 995 836
18 986 507
748 840
10–6
15 704 622
12 890 292
922 846
38 436 138
20 020 143
1 046 225
27 993 163
19 111 152
929 711
10–8
15 692 418
12 934 168
1 095 739
38 461 306
20 182 863
1 574 532
28 008 372
19 306 419
1 654 860
Рис. 1. Зависимость переменной y1 от времени (фрагмент)
В третьем параграфе построен неоднородный алгоритм переменного
шага для решения жестких и нежестких задач с небольшой точностью
расчетов – порядка 1% и ниже. Такая точность расчетов обусловлена низким
порядком применяемых численных схем. В состав алгоритма интегрирования
включены L-устойчивый (2,1)-метод второго порядка и двухстадийные
схемы типа Рунге-Кутты первого и второго порядков точности.
Рассматривается задача Коши вида
y  f ( y ) , y (t0 )  y0 , t0  t  t k .
(5)
9
Рассмотрение автономной задачи не снижает общности – введением
дополнительной переменной неавтономную задачу можно привести к
автономному виду. L-устойчивый (2,1)-метод второго порядка имеет вид
yn1  yn  ak1  (1  a )k2 , Dn k1  hf ( yn ) , Dn k 2  k1 ,
(6)
где a=1–0.52, Dn=E–ahAn, E – единичная матрица, h – шаг интегрирования,
An – матрица, представимая в виде An=fn+hBn+O(h2), fn=f(yn)/y, Bn –
некоторая матрица, не зависящая от шага интегрирования. Данное условие
позволяет применять (6) с замораживанием как аналитической, так и
численной матрицы Якоби. Неравенство для контроля точности имеет вид
v( jn )  Dn1 jn  k2  k1  , 1  jn  2 .
Оценка максимального собственного числа wn,0=hn, max матрицы Якоби
системы (5), необходимая для перехода на явную формулу, оценивается
через ее норму по формуле wn,0=h||f(y)/y||.
Явный метод типа Рунге-Кутты второго порядка имеет вид
yn1  yn  0.5(k1  k2 ) , k1  hf (tn  yn ) , k2  hf (tn  h yn  k1 ) ,
(7)
а неравенство для контроля точности – 0.5||k2–k1||. Неравенство для
контроля устойчивости схемы (7) построено с применением вспомогательной
стадии k3=hf(yn+1). Оценка максимального собственного числа wn,2=hn, max
матрицы Якоби системы (5) вычисляется по формуле
wn2  2 max  k3  k2 i /  k2  k1 i .
1i  N
Интервал устойчивости схемы (7) приблизительно равен двум. Поэтому для
ее контроля устойчивости применяется неравенство wn,22.
Метод первого порядка имеет вид
(8)
yn1  yn   7k1  k2  /8 ,
где стадии k1 и k2 описаны в (7). В качестве многочлена устойчивости метода
(8) применен полином Чебышева степени 2. Поэтому область устойчивости
(8) расширена до 8 по вещественной оси. Оценку максимального
собственного числа wn,1=hn,max матрицы Якоби системы (5) можно
вычислить по формуле
wn1  8max  k3  k2 i /  k2  k1 i .
1i  N
Интервал устойчивости численной схемы (8) равен восьми. Поэтому для ее
контроля устойчивости применяется неравенство wn,18.
На основе построенных явных методов первого и второго порядков
точности легко сформулировать алгоритм переменного порядка и шага.
Расчеты всегда начинаются методом второго порядка как более точным.
Переход на схему первого порядка осуществляется при нарушении
неравенства wn,22. Обратный переход на метод второго порядка происходит
в случае выполнения неравенства wn,12. При расчетах по методу первого
порядка наряду с точностью контролируется устойчивость wn,18.
10
В случае использования L-устойчивой схемы (6) формулировка
алгоритма интегрирования также не вызывает трудностей. Нарушение
неравенства wn,18 вызывает переход на схему (6). Передача управления
явным методам происходит в случае выполнения неравенства wn,08, где
оценка wn,0 вычислена через норму матрицы Якоби системы (5). Численную
формулу (6) без потери порядка точности можно применять с
замораживанием матрицы Dn. В четвертом и пятом параграфах построены
аналогичные алгоритмы на основе L-устойчивых и явных методов третьего и
четвертого порядков.
В главе 4 приведены результаты сравнения эффективности
построенных алгоритмов с методами Гира. Построенные алгоритмы
переменной структуры обозначены соответственно mkrk2, mkrk3 и mkrk4, а
программа с реализацией метода Гира dlsode взята из библиотеки NetLib.
Вычислительные затраты приведены в форме if(ij), где if – число вычислений
правой части исходной задачи, ij – количество декомпозиций матрицы
Якоби. В первом параграфе описан алгоритм формирования
дифференциальных уравнений химической кинетики. Во втором параграфе
приведены результаты моделирования пиролиза этана, который в отсутствии
кислорода описывается шестью стадиями при участии восьми реагентов.
Соответствующая система состоит из 8 дифференциальных уравнений. В
начале интервала интегрирования наблюдается переходный участок (сотые
доли секунды), а затем происходит медленное установление. Коэффициент
жесткости примерно 103. Вычислительные затраты представлены в табл. 2, а
поведение концентрации H от времени приведено на рис. 2.
Таблица 2
Вычислительные затраты при моделировании пиролиза этана
Точность вычислений 10–2
10–4
10–6
dlsode
109(9) 129(9) 186(12)
mkrk2
61(4) 194(10) 3 612(11)
mkrk3
179(12)
36(3)
72(5)
mkrk4
46(5)
63(6)
87(7)
Рис. 2. Зависимость концентрации H от времени
В третьем параграфе приведены результаты моделирования
модифицированного орегонатора, дающего сложный предельный цикл.
11
Модель описывается пятью обратимыми и одной необратимой стадией при
участии семи реагентов. Данная реакция протекает в изотермическом
реакторе постоянного объема с обменом вещества, то есть соответствующая
система дифференциальных уравнений состоит из семи уравнений.
Коэффициент жесткости примерно 108. Вычислительные затраты
представлены в табл. 3, а поведение концентрации [Br–] от времени
приведено на рис. 3.
Таблица 3
Вычислительные затраты при моделировании орегонатора
Точность вычислений
dlsode
mkrk2
mkrk3
mkrk4
10–2
7 806(542)
5 623(583)
7 566(595)
6 777(520)
10–4
10–6
13 057(761) 27 205(1 524)
13 749(989) 122 916(3 600)
18 488(835) 103 665(7 130)
13 157(629) 29 639(1 525)
Рис. 3. Зависимость концентрации [BrO2] от времени
В четвертом параграфе приведены результаты моделирования
проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную
опухолью ткань живого организма. Рассматривается система одномерных
уравнений реакции-диффузии, которые возникают из химической реакции
A+B→C, где A – антитело с радиоактивной меткой, реагирующее с
субстратом B – тканью, пораженной опухолью. При выводе уравнений
предполагалось, что кинетика реакции описывается законом действующих
масс, причем реагент A подвижен, тогда как реагент B неподвижен. После
некоторых преобразований данная задача методом прямых сводится к задаче
Коши для системы 400 обыкновенных дифференциальных уравнений.
Коэффициент жесткости примерно 106. Вычислительные затраты
представлены в табл. 4, а решение задачи проникновения помеченных
радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого
организма приведено на рис. 4.
В пятом параграфе приведены результаты моделирования кольцевого
модулятора. Задача возникла из анализа электрических схем. Получая на
входе низкочастотный сигнал Uin1 и высокочастотный сигнал Uin2, кольцевой
12
модулятор генерирует на выходе смешанный сигнал U2. Коэффициент
жесткости примерно 1012. Вычислительные затраты представлены в табл. 5, а
выходной сигнал U2 приведен на рис. 5.
Таблица 4
Затраты при решении задачи проникновения радиоактивных меток
Точность вычислений
dlsode
mkrk2
mkrk3
mkrk4
10–2
10–4
10–6
25 358(62) 37 470(92) 64 021(157)
14 106(38) 53 749(189) 92 916(536)
23 749(59) 48 467(135) 73 665(177)
16 575(41) 31 157(87) 69 639(172)
Рис. 4. Решение задачи проникновения радиоактивных меток
Таблица 5
Вычислительные затраты при моделировании кольцевого модулятора
Точность вычислений
10–2
dlsode
21 862(1 067)
mkrk2
30 135(1 782)
mkrk3
21 971(734)
mkrk4
27 095(833)
10–4
10–6
28 867(1 267) 39 312(1 537)
152 157(928) 184 973 (1 861)
46 168(1 464) 48 609(1 895)
28 604(1 117) 42 423(1 531)
Рис. 5. Зависимость выходного сигнала U2 от времени
13
Из анализа результатов расчетов всех четырех задач следует, что
построенные алгоритмы переменного порядка, шага и переменной
конфигурации при точности расчетов 10–2 и 10–4 эффективнее программы
dlsode. При точности вычислений 10–6 на трех задачах эффективнее метод
Гира. Это связано с тем, в dlsode реализованы методы более высокого
порядка, чем в построенных алгоритмах.
Заключение содержит основные результаты и выводы диссертации.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в периодических изданиях, рекомендованных ВАК:
1. Новиков А.Е. Алгоритм переменного порядка и шага на основе стадий
метода Дорманда-Принса восьмого порядка точности / А.Е. Новиков, Е.А.
Новиков // Вычислительные методы и программирование. – 2007. – Т. 8. –
С. 317–325.
2. Новиков А.Е. L-устойчивый (2,1)-метод решения жестких неавтономных
задач / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Вычислительные технологии. – 2008.
– Т.13. – Вестник КазНУ. – №3(58). – С. 477–482.
3. Новиков А.Е. Численное моделирование цикла цезия в верхней атмосфере
L-устойчивым методом второго порядка точности / А.Е. Новиков, Е.А.
Новиков // Вестник СибГАУ. – 2009. – Часть 1, №4(24). – С. 77–80.
4. Новиков А.Е. Численное решение жестких задач с небольшой точностью /
А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Математическое моделирование. – 2010. –
Т. 22, №1. – С. 46–56.
5. Novikov A.E. Numerical Integration of Stiff Systems with Low Accuracy / A.E.
Novikov, E.A. Novikov // Mathematical Models and Computer Simulations. –
2010. – Vol. 2, No. 4. – P. 443–452.
6. Новиков А.Е. Численное моделирование пиролиза этана (2,1)-методом
решения жестких неавтономных задач / Л.В. Кнауб, А.Е. Новиков, Ю.А.
Шитов // Вестник КрасГАУ. – 2010. – №1. – С. 22–27.
7. Кнауб Л.В. Семейство (m,1)-методов решения жестких линейных задач /
Л.В. Кнауб, А.Е. Новиков // Вестник ИжГТУ. – 2010. – №4(48). – С. 152–
155.
8. Новиков А.Е. Комбинированный алгоритм третьего порядка для решения
жестких задач / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Вычислительные
технологии. – 2011. – Т. 16, №6. – С. 54–68.
9. Новиков А.Е. Алгоритм интегрирования переменной конфигурации на
основе явно-неявных схем четвертого порядка / А.Е. Новиков, В.В.
Шайдуров // Вестник Бурятского государственного университета. − 2012. −
Выпуск 9. − С. 111–116.
10. Новиков А.Е. Контроль устойчивости метода Ческино второго
порядка точности / А.E. Новиков, E.А. Новиков, Л.В. Кнауб // Вестник
Бурятского государственного университета.−2013.−Выпуск 9.−С. 111–116.
14
Публикации в трудах конференций:
11. Новиков А.Е. Замораживание матрицы Якоби в (2,2)-методе решения
жестких систем // Международная конференция «Актуальные проблемы
прикладной математики, информатики и механики». – 2009. – Воронеж,
22–24 июня. – С. 87–89.
12. Новиков А.Е. Модифицированный метод Дорманда-Принса
переменного порядка и шага
/ А.Е. Новиков // Международная
конференция
«Актуальные
проблемы
прикладной
математики,
информатики и механики».– 2010.– Воронеж, 20–22 сентября.– С. 274–277.
13. Новиков А.Е. Неоднородный метод третьего порядка для решения
жестких задач
/ А.Е. Новиков // XLIX Международная научная
студенческая конференция “Студент и научно–технический прогресс”. –
2011. – Новосибирск, 16–20 апреля. – С. 218–219.
14. Новиков А.Е. Согласование областей устойчивости явных методов /
А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Международная конференция
«Математические и информационные технологии». – 2011. – Сербия –
Черногория, 27 августа – 5 сентября. http://conf.nsc.ru/MIT2011/reportview/47120.
15. Новиков А.Е. Алгоритм интегрирования переменной структуры для
решения жестких задач / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков // Пятая
Всероссийская конференция по имитационному моделированию и его
применению в науке и промышленности «Имитационное моделирование.
Теория и практика» (ИММОД-2011). – 2011. – Санкт-Петербург, 19–21
октября. – С. 195–200.
16. Новиков А.Е. Численный метод третьего порядка для решения
жестких задач / А.Е. Новиков // Сборник трудов международной
конференции «Актуальные проблемы
прикладной математики,
информатики и механики». – 2011. – Воронеж, 26–28 сентября. – С. 280 –
282.
17. Новиков А.Е. Применение явных трехстадийных методов для
моделирования кинетики химических реакций / А.Е. Новиков // III
Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых
ученых и специалистов “Математическое моделирование развития
северных территорий Российской Федерации”. – 2012. – Якутск, 21 – 28
мая. С. 127–130.
18. Новиков А.Е. Явно-неявный алгоритм четвертого порядка для
решения жестких задач / А.Е. Новиков // Международная конференция
«Актуальные проблемы
прикладной математики, информатики и
механики». − 2012. – Воронеж, 17–19 сентября. – С. 274–278.
15
Подписано в печать 24.04.2014 г.
Формат 6084/16.
Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.
Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН
660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44
16
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа