close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

;pdf

код для вставкиСкачать
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 16
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.
Определение 1. Преобразованием Фурье функции f из L1(R) называется функ
ция f ( ) , определяемая равенством

(1)
f( )
f ( x )e i x dx.

Оператор F : f  f называется преобразованием Фурье.
Введя обозначения
Fc ( f )( )
f ( x ) cos xdx,
Fs ( f )( )
f ( x ) sin xdx,
(2)
(3)
формулу (1) можно переписать в виде
F(f) = Fc(f) + iFs(f).
Преобразования (2) и (3) называются соответственно косинус- и синуспреобразованиями Фурье. Ясно, что F(f) = Fc(f), если f — четная функция, и F(f) =
iFs(f), если f - нечетная функция.
Оператор F инъективен, и при некоторых условиях имеет место следующая формула обращения , задающая обратный оператор F-1,
:
1 
(4)
f ( x)
f ( )e i x d
2
(интеграл понимается в смысле главного значения). Вот одно из точных утверждений
этого сорта.

ТЕОРЕМА 1. Если f и f принадлежат L1(R), то для п.в. х из R имеет место равенство (4).
То же справедливо с заменой L1(R) на L2(R) (см. теорему 4 ниже). Другие условия
справедливости формулы (4) см. в [1], [2], [6].
Для нахождения прямого и обратного преобразований Фурье применяют также
специальные таблицы , например, [7] - [10]. Заметим, что при использовании различных
26
источников требуется определенная осторожность, поскольку определение преобразования Фурье в них может отличаться от нашего числовым множителем перед интегралом или в показателе экспоненты.
Определение 2. Сверткой функций f и g называется функция (если интеграл существует)
(f
g )( x )
f (x
y ) g ( y )dy.
ТЕОРЕМА 2. Пространство L1(R) со сверткой в качестве умножения является
коммутативной алгеброй.
ТЕОРЕМА 3 (О свертке). При f,g из L1(R) имеет место формула
F ( f g ) F ( f ) F ( g ).
Следующая теорема содержит в себе, в частности, определение преобразования
Фурье для функций из L2(R) (определение 1 для этой цели не годится, так как L2(R) не
содержится в L1(R)).
ТЕОРЕМА 4 (Планшерель). Для всякой функции f из L2(R) функция
n

f ( ):
f ( x )e i x dx
n
при любом натуральном n принадлежит пространству L2(R). Последовательность


( f n ) сходится в метрике L2(R) к некоторой функции f L2(R), называемой преобразо
ванием Фурье функции f . Возникающее при этом отображение F : f  f является
линейным ограниченным биективным оператором , действующим в пространстве
L2(R), и выполняется равенство Парсеваля:

|| f ||2
2 || f ||2 .
Л и т е р а т у р а: [1], c. 201 - 210; [2], c. 397 - 414; [8], c. 15 - 29.
II. З А Д А Ч И
1. Пользуясь определением, найдите преобразование Фурье функции f из L1(R)
(здесь и далее
f(x)
f(x)
f(x)
- индикатор (характеристическая функция) множества A R)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
-2|x|
-x
x
e
e R+(x)
e [-1,1](x)
1/(1 + x2)
[0,1](x)sinx
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
ix
3
2
x [0,1](x)
e [0,1](x)
x [0,2](x)
x [-1,1](x)
[-1,1](x)cosx
1.11
1.12
1.13
1.14
-|x|
2
2
2
e sgnx
sin x [0,1](x)
cos x [-1,1](x)
e x /2
A
27
Решение задачи 1.14. Полагая для краткости y = F(f), имеем
y( )
e
x2 / 2
e
i x
dx
e
x2 / 2
cos xdx.
Дифференцируя по параметру, а затем интегрируя по частям, получаем
y' ( )
e
x2 / 2
( sin x )dx
sin xde
x2 / 2
e
x2 / 2
sin x
e
x2 / 2
cos xdx
y ' ( ),
т.е. у удовлетворяет дифференциальному уравнению y ' y 0. Общее решение этого
уравнения есть y Ce / 2 , а постоянную С находим из начального условия
2
y (0)
e
x2 / 2
dx
2

(интеграл Эйлера-Пуассона). Окончательно получаем, что f ( )
2 e
2
/2
.

2. Считая известным преобразование Фурье f функции f из L1(R), найдите преобразование Фурье функции g.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
g(x)
f(-3x)
f(x-a)
f(-x)
f(2x)
sinxf(x)
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2
g(x)
cosxf(x)
f(x)-f(-x)
sin xf(x)
cos2xf(x)
f (x 1)
2.11
2.12
2.13
2.14
g(x)
f(1-x)
f(x-1)+f(x+1)
Ref(x)
f ( x)
Решение задачи 2.14. Поскольку Re f ( x) f ( x) f ( x), то





g( ) f ( )
f ( x )e i x dx f ( )
f ( x )e i x dx f ( ) f ( ).
3. Решите следующие функциональные уравнения в пространстве L1(R):
3.1. f ( x)
f ( x 1)
f ( x 2)
[ 0 , 3]
( x).
28
3.2. f ( x )
f (x 2 )
e ix
( x ).
[ 0, 4 ]
1
1
) f (x
) e 4 ix [ 0,5;
2
2
3.4. f ( x 1) f ( x 3) f ( x 5)
3.3. f ( x
3.5. f ( 2 x )
f ( 2 x 4)
3.6. f (
f ( x)
x)
3.7. f ( x )
f (1 x )
e
2
3.8. f (1 x )
f (2 x )
3.9. f ( x 1)
f ( x 1)
3.10. f ( x 2 )
3.11. f ( x ()
[ 2, 2 ]
[ 0, 2 ]
2 ix
, ]
[ 1, 0 ]
f ( x 1)
3.13. f ( x
f (x
)
f (2 x )
( x)
[ 4 ,4 ]
( x) 2
f ( x)
3.14. f (1 x )
[ 3, 1]
e 2 ix
3.12. f ( x 1)
)
( x ).
( x ).
(
f (x 2 )
f ( x 1)
( x ).
[ 0,6 ]
( x ).
[ 0, 2 ]
e
( x ).
( x ).
2 ix
[
1, 5 ]
e 2ix (
[ 0 ,1]
[ 1, 2 ]
[
,0]
[1, 3 ]
( x ).
( x)
[1, 2 ]
( x ).
( x ).
( x)
f (3 x )
( x )).
[ ,2 ]
( x )).
e2
f (4 x )
ix
[ 0, 4 ]
( x ).
Решение задачи 3.14. Если положить f(1-x) = g(x), то уравнение принимает вид
g ( x) g ( x 1) g ( x 2) g ( x 3)
e2
ix
[ 0, 4 ]
( x).
(5)
Поскольку
F(
[ a ,b ]
e
)( )
i a
e
i

F ( e aix ( x ))( )
(
i b
,
(6)
a ),
(7)
то, переходя в (5) к преобразованию Фурье, имеем

g ( )(1 e
i
e
2i
e
3i
1 e 4i ( 2 )
i(
2 )
)
1 e 4i
.
i(
2 )
Так как
1 e
i
e
2i
e
3i
1 e 4i
,
1 ei
то
1 ei
1 e i( 2 )
.
i(
2 ) i( 2 )
Снова воспользовавшись формулами (6) и (7), получаем отсюда, что

g( )
29
Поэтому g ( x)
e2
F ( g )( ) F (e 2 ix [ 0,1] ( x))( ).
( x). Полагая в этом равенстве x = 1 - t, имеем окончательно
[ 0,1]
f (t ) e 2 it [ 0,1] (t ).
ix
4. Вычислите свертку, f
если
[ 1.1]
4.1
4.2
4.3
4.4
4
2
3
x
x
f(x)
1
x
x
e
xe
1 x2
1 x2
4.8
4.9
4.10
4.11
-|x|
-x
3
f(x)
e
e cosx
x
1 x2
4
x 1
4.5
sin3x
4.6
e sinx
4.12
e | x|
R
4.13
R ( x)
( x)
1
x
2
Решение задачи 4.14. По определению
1
f
[
1,1] ( x )
f (x
y)
[
1,1] ( y ) dy
e
(x y)
R
(x
1
x 1
[y
x t]
e
t
e t dt.
(t )dt
R
x 1
[ x 1, x 1] R
Для вычисления последнего интеграла рассмотрим три случая.
, поэтому f
1). x
1. Тогда [ x 1, x 1]  R
( x) 0.
[ 1,1]
2). 1 x 1. Тогда [ x 1, x 1]  R [0, x 1]. Поэтому
x 1
f
[
e t dt 1 e
1,1] ( x )
x 1
.
0
3). x 1. Тогда [ x 1, x 1]
R . Следовательно,
x 1
f
[
1,1] ( x )
e t dt
( e e 1 )e x .
x 1
Окончательно имеем
0,
f
[ 1,1]
( x)
x
1 e x,
1
1 x 1
( e e 1 )e x ,
x 1.
5. Решите интегральное уравнение в пространстве L1( R )
30
4.7
1
x
y )dy
x2 1
4.14
e
x
R
(x)
f (t )
5.1
f(t)
e
t2
K(t)
e
4t 2
f(t)
K(t)
f(t)
K(t)
5.2
1
2
t 4
1
t2 1
5.7
-|t|
e (1 + |t|)
5.6
t
2
(t 9) 2
t
2
(t 1) 2
5.11
te 2 t
5.3
e
2t
t2
te
4t2
5.12
t
2
(t 2) 2
1
t2 1
e
2t 2
e
2
5.9
1
t2
3t
5.5
t
2
(t 4) 2
1
t2 1
5.10
2
te
5.8
e
3t 2
5.4
2
t /2
te
-|t|
2
te
K (t s ) x( s )ds.
3
1
t2 2
5.14
e t sh 2t
5.13
t
2
(t 4) 2
t
(t 2 3) 2
te
t2 / 4
e
t2 / 2
2
te
t2
Решение задачи 5.14. Применяя к обеим частям данного уравнения преобразование
Фурье, в силу теоремы о свертке имеем

f( )

x( ) 
.
K( )
 
Мы вычислим f , K не прибегая к помощи таблиц, а пользуясь лишь формулой
F (e
ax 2
)( )
e
2
/ 4a
,
a
где (a>0),которая выводится при помощи того же приема, что и в задаче 1.14. Поскольку

( g ' )^ ( ) i g ( ), te t
(1 / 2)( e t )' ,
то

K ( ) F (te t )( )
i e /4.
2
Далее,
1 t 2t
e ( t 1)
f (t ) e t sh2t
e (e
e 2t )
(e
e ( t 1) ).
2
2
Поскольку
F ( g ( x a ))( ) e i a F ( g )( ),
то

e i
e
f( )
(e e / 4
ei e / 4 )
e / 4 (e i e i )
ie e / 4 sin .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
31
2
2
Таким образом,

x( )

f( )

K( )
ie
e
2
/4
sin
2
2e
sin
.
/4
i e
2
Неизвестная функция х теперь может быть найдена из таблиц (см. [7] - [10]), но мы
воспользуемся формулой (6), из которой при а=-1, в=1 следует, что
sin
2
F ( [ 1,1] )( ). Окончательно получаем, что
x (t )
e
[ 1,1]
(t ).
6. Верно ли, что преобразование Фурье F есть линейный оператор, действующий
из пространства X в пространствоY?
X
Y
6.1
L1(R)
C0(R)={f C(R):f( ) 0}
6.2
L1(R)
L1(R)
6.3
L2(R)
L1(R)  L2(R)
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
L2(R)
L1(R)
L1(R)
C0(R)
BC(R)
UC(R) — пространство равномерно непрерывных функций на R.
ax
{ f ; f ( x)e
L1 ( R) a 0}
{ f L1 ( R ) : xf ( x ) L1 ( R )}
{ f L1 ( R ) : f ' ' L1 ( R )}
L2(R)
D(R)
L1(R)  L2(R)
{f
L1(R)
L1 ( R) : f ( x)e|x|
L1 ( R)}
BC(R)  O(C)
C(1)(R)
L1(R)
L1(R)
O( R )
L1(R)  L2(R)
L2(R)
O({|Imz|<1})
O(D) - пространство функций, аналитических в области D C.
Решение задачи 614. В доказательстве нуждается лишь утверждение, что

F ( f ) Y f X . Докажем это. Функция f ( ) ( R) формулой

(6)
f ( z)
f ( x )e izx dx
i ) , поскольку в этой полосе инпродолжается в полосу {|Imz|<1} z-плоскости ( z

теграл (6) абсолютно сходится. Осталось доказать дифференцируемость функции f (z )
в каждой точке z0 этой полосы. В соответствии с теоремой о дифференцировании несобственного интеграла, зависящего от параметра (см., например, [6]; для интеграла Лебега
эта теорема также справедлива), достаточно показать, что интеграл
32
f ( x )e
izx
( ix )dx
от производной по параметру подинтегральной функции в (6) сходится равномерно (по
параметру z) в некоторой окрестности точки z0. Действительно, если q < 1таково, что
|Imz0| < q, то в полуплоскости { q} , содержащей z0, имеем оценку
| f ( x )e
izx
( ix ) | | f ( x ) || x | e x | f ( x ) | e |x| | x | e x
|x|
| f ( x ) | e |x| | x | e
( 1 q )| x |
,
причем последняя функция интегрируема. Осталось применить мажорантный признак
(признак Вейерштрасса) равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Варианты заданий см. в лабораторной работе 13.
III. Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И.
19. Решите задачу 1 для функции f(x) = 1/(x - i) из L2( R ).
20. Решите задачи 2.1 - 2.14 в случае, когда f принадлежит L2( R ).
21. Решите функциональные уравнения в пространстве L1( R )
f( x - 1 ) + f( x + 1 ) = g(x)
chx
для правых частей g ( x) e x ch2 x,
, [ 1,1] ( x).
ch2 chx
22. Решите задачу 4 для f
.
[ a ,b ]
23. Решите задачу 5 при f(t) = arctg(2 / t2), K(t) = 1/(1 + t2).
24. Решите задачу 6, если X = Y = S(R) (пространство Шварца).
2
33
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа