close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

"Решение задач на комбинации шара с конусом и пирамидой".

код для вставкиСкачать
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ГЕОМЕТРИИ: «ЗАЩИТА ПРОЕКТОВ ПО ТЕМЕ:
« РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА КОМБИНАЦИИ ШАРА С КОНУСОМ И
ПИРАМИДОЙ» (2 часа)
Цели урока:
Образовательные:
- продолжить формирование о взаимном расположении геометрических тел (место нахождения
центра сферы, радиуса сферы); систематизировать и обобщить знания воспитанников по
комбинациям шара с конусом и пирамидой;
- способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, наглядно-действенного
мышления; развивать пространственное воображение, навыки решения задач;
Формировать УУД:
- Личностные УУД: формировать опыт творческой деятельности, способность к самооценке на основе
критерия успешности учебной деятельности.
- Регулятивные УУД : умение определять и формулировать цель проекта; реализовать коллективно
составленный план; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной
оценки; высказывать своё предположение; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;
вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера
сделанных ошибок;
- Коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; работать в группе; совместно
договариваться о правилах поведения и следовать им, мобилизация обучающихся на рефлексию способов
деятельности и общения.
- Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного ;
добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и
информацию, полученную на уроке и из других информационных источников, воспитывать потребность в
самообразовании, культуру умственного труда; содействовать формированию учебных компетенций по
самостоятельному приобретению знаний, продолжить подготовку воспитанников к сдаче ЕГЭ.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:
Предметные: совершенствование навыков решения задач на комбинацию шара с конусом и
пирамидой; умение заменять пространственные чертежи планиметрическими; развитие навыков
применения формул планиметрии для решения задач на комбинации тел; навыков вычислений и
тождественных преобразований; аргументированное пояснение этапов решения, активизация
продуктивной деятельности учащихся по включению части в целое, классификации и
систематизации, выявлению внутрипредметных и межкурсовых связей.
Личностные: реализация потребностей в самообразовании и формирование адекватной
самооценки, развитие коммуникативных способностей.
Метапредметные: выполнение пространственных чертежей на комбинацию тел, умения
работать с дополнительной литературой и иными информационными источниками и проводить
отбор необходимого материала.
ТИП УРОКА: урок комплексного применения знаний.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ: сфера, шар, конус, пирамида, взаимное расположение тел, центр
вписанной (описанной) сферы, диаметральная плоскость.
1
МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ: алгебра (тригонометрия), черчение, изобразительное искусство.
РЕСУРСЫ:
основные: учебник «Геометрия 10-11» автор Л.С. Атанасян и др., КИМы для проведения ЕГЭ 20022009; библиотека учителя математики Б.Г. Зив, и др. «Задачи для 7-11 классов»; Интернет – ресурсы.
дополнительные: каркасные модели геометрических тел и тел вращения; слайды; плакаты,
изготовленные учащимися; презентации для закрепления материала.
ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА: фронтальная работа, индивидуальная работа, защита
проектов.
I.МОТИВАЦИЯ К УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.
Проверка готовности учебного взвода к уроку, наглядности, оформления доски, ТСО и
проецирующей аппаратуры.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО УЧИТЕЛЯ: В конце ноября мы приступили к реализации большого
проекта по теме: « КОМБИНАЦИИ ТЕЛ». Вы по мере рассмотрения готовили теоретический
материал, знакомили с необходимыми формулами, рассматривая их в применении к данным комбинациям, нарисовали плакаты. Сегодня мы должны провести защиту
проектов по темам:
1) Шар, вписанный в конус.
2) Шар, описанный около конуса.
3) Шар, вписанный в пирамиду.
4) Шар, описанный около пирамиды.
5) Шар, вписанный в усечённый конус.
Обращаю внимание учащихся на 2 основополагающих вопроса при рассмотрении комбинаций
с шаром:
а) где находится центр шара;
б) какой отрезок является радиусом.
При выступлении акцентировать внимание, что на защите учащиеся должны чётко
сформулировать решаемую проблему и пути её решения.
II. ЗАЩИТА ПРОЕКТОВ.
1. Шар, вписанный в конус.
Учащиеся используют фрагмент презентации, используя изображение на экране.
а) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Шар называется вписанным в конус,
если он касается основания конуса в его центре и
конической поверхности.
б) Множество точек касания с конической поверхностью
образует окружность, центр которой лежит на высоте
конуса. Её радиус r зависит от радиуса шара R и
расстояния d от центра шара до плоскости, в которой
лежит окружность. R2 = r2 +d2 ; r 2= R2 – d2
в) Осевым сечением данной комбинации тел является треугольник, вписанный в окружность,
радиус которой равен радиусу вписанного шара. Центр окружности является центром шара и
находится в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника, являющегося его осевым
сечением.
Если конус равносторонний, то Rш=

,
2 3
2
В общем случае Rш=
2S 
abc
,
Rш =
2S 
2  2r
, Rш.=
S
r
, где ℓ- образующая;
r- радиус основания, S  -площадь треугольника,
являющегося осевым сечением конуса.
г) Ортогональной проекцией шара, вписанного в конус, является круг меньшего диаметра, чем
основание.
Замечание: При решении задач можно пользоваться формулой: Vш=1∕3Sполн ∙ r, r –радиус вписанного
шара; Sполн. - площадь полной поверхности пирамиды, конуса.
ЗАДАЧА ( решают на доске подробно).
В равносторонний конус вписан шар, объём которого равен 8. Найти объём конуса
Дано: шар вписан в конус, AS=AB, Vш=8.
Найти: Vк.
Решение:
Vк =
1
3
Sосн H . где Н= SN. Vш=
4
3
πR3, где R- радиус
шара. R3=3Vш.∕4π=3∙8∕4π=6π.
;
Выразим объём конуса через R3. Vк.=
1
3
π( rк)2∙SN.
rк= AN=NB. Так как конус равносторонний, то ΔSAB - правильный, О - центр вписанной и
описанной окружности, точка пересечения биссектрис ΔASB, значит, OBN=<OBP=
=30˚. В ΔONB tg30˚=
ON
NB
=
R
NB
R
; отсюда NB=
=√3R.В ΔSNB tg60˚=
tg 30
1
6
3

SN=NB∙tg60˚=√3∙√3R=3R. Vк= π∙3R2∙3R=3π∙
SN
NB
,
=18.
ОТВЕТ: Vк=18.
ЗАДАЧА (решение проецируется на экране, ученик объясняет решение задачи,
останавливаясь на преобразованиях).
В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к основанию под углом ά.
Найти площадь полной поверхности конуса.
Дано: шар вписан в конус, ON=r, <SBA=α.
Найти: Sполн. к..
РЕШЕНИЕ:
Sполн.=Sбок.+Sосн.;
Sосн.=πR2, R-радиус основания конуса, S=πRℓ, ℓобразующая.
Осевым сечением данной комбинации тел является
окружность, вписанная в равнобедренный треугольник,
радиус которой равен радиусу вписанного шара.
О- точка пересечения биссектрис.
ОВ- биссектриса <SBA, значит, <ОВК=<ОВS=α∕2.
Рассмотрим ΔКОВ (<К-90˚), tg

2
=
ОК
КВ
; КB=
ОК
tg

=OK∙ctg

2
.
2
3
KB
В ΔKSB cosα=
КВ
, SB=
cos 
SB

Sосн.= π r2ctg2
 r  ctg
2
cos 
.
;


 r  ctg
 r  ctg
2
2 
  r  ctg
2
Sполн. =
=

2
2
cos 
Sбок.=
r  ctg
2

2 .
cos 

2    r 2  ctg
cos 
2
2

  r ctg
2
2
ОТВЕТ: S пол н .   r 2 ctg
2
2

(
2
1
cos 
 1 ).
 
1

 1 .

2  cos 

Замечание: Для решения задач часто удобно пользоваться осевым сечением данной
комбинации тел – треугольник, вписанный в окружность; при этом радиус описанной окружности
является радиусом описанной сферы.
2. Шар, описанный около конуса.
Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара.
Центр шара находится на высоте или её продолжении, а также может совпадать с центром шара
АО=SO=OB=Rш
центр шара внутри конуса
AO=SO=SB= Rш
центр на основании конуса
∆ASB - прямоугольный сферы
равен радиусу описанной окружности около треугольника (равнобедренного, равностороннего
или прямоугольного равнобедренного).
R 
2
abc
R 
4S 
являющегос
R 
l  2R
SO=AO=OB= Rш
центр шара вне конуса
a
2 sin 60 
, где
R  радиус
основания
конуса ; S  площадь
треугольни ка ,
4S
я осевым
;R 
l
сечением
конуса .
, где l  длина
образующей
, если осевое сечение  равносторо нний
3
треугольни к .
3. Шар, описанный около пирамиды.
Определение: Шар называется описанным около произвольной пирамиды, если все вершины
пирамиды лежат на его поверхности.
3случая: - центр шара внутри пирамиды;
- вне её;
- в плоскости её основания.
Замечание: Центр шара не всегда внутри пирамиды.
4
О – точка, равноудалённая от всех вершин пирамиды.
Замечание: Чтобы не загромождать чертёж, шар не изображают, а показывают только его
центр и радиус.
Опустим перпендикуляр ОК на грань SDC.
К – центр окружности, описанной около ∆DSC.
KD=KC=KS как проекции равных наклонных
OD=OS=OC=Rш.
ВЫВОД 5. Если около пирамиды описан шар, то его центр лежит на пересечении
перпендикуляров восставленных из центров кругов, описанных около треугольников,
являющихся гранями пирамиды.
Замечание: Если из точки О опустить перпендикуляр на ребро основания, то основание
перпендикуляра – середина ребра.
Теорема: Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечения всех
плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды перпендикулярно этим ребрам.
Замечание: Все теоремы со слова «если…», т.е. не всегда можно описать шар.
ВЫВОД 6. Для того, чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо и
достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность.
ЗАДАЧА (решают на доске).
Основание треугольной пирамиды - правильный треугольник со стороной, равной 12 √15. Одна из боковых граней является также правильным треугольником и
перпендикулярна к плоскости основания. Найдите радиус сферы, описанной около
пирамиды.
Дано: SАВС- пирамида ,около пирамиды описана сфера,
ΔАВС, ΔSВС – правильные, (SВС)  (АВС),
АВ=12√15 см.
Найти: RС.
Решение:
1. ∆АВС и ∆BSC – правильные: АО=SO.
2. радиус сферы, описанной около пирамиды радиус окружности, описанной около ∆ASM.
3. AM –диаметр окружности, описанной около ∆АВС
AM=2R; где R – радиус данной окружности:
R 
AC
;
R  12 5 см ;
АМ  24 5 см .
3
4. АО – высота ∆АВС
5
АО 
АС
2
 ОС ;
ОМ  АМ  АО ;
 SAO
6.
 SOM
7.
R C  радиус
12
  6
2
15

2
15
 18 5 ( см ).
ОМ  6 5 см .
 SOA
5.
RC 
АО 
2
 90  
 SOM
 90  
окружности
AM  SM  AS
4 S  ASM
;
RC 
AS  AO
SM 
AS  18 10 см .
2;
SO  OM
2
, описанной
AM  SM  AS
4
1
около
;
 AM  SO
2
;
SM 
18 5   6 5 
2
2
 30
2 ( см ).
 ASM.
RC 
SM  AC
2 SO
2
RC 
30
2  18 10
2  18 5
Ответ :
 30 ( см )
30 см .
4. Шар, вписанный в пирамиду.
Шар называется вписанным в произвольную пирамиду, если он касается всех граней
пирамиды (как боковых, так и основания).
О – точка равноудалённая от всех граней пирамиды
OM=ON=OK=rш.
M, N, K – точки касания.
Замечание. Ортогональной проекцией шара является круг,
который не является вписанным в многоугольник,
являющийся основанием.
Где лежит центр?
NP  ED; KP  ED
∆OKP=∆ONP (как прямоугольные по катету и гипотенузе) 
 OPN=  OPK, т.е. ОР – биссектриса  NPK.
Аналогично можно для любых ребер, получили вновь биссектрису линейного двугранного угла.
Плоскость, проходящая через биссектрису, называется
биссектором, биссекторной или
биссектральной двугранных углов пирамиды.
Теорема: Если в пирамиду вписан шар, то его центр
биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.
является
точкой
пересечения
Теорема обратная: Если биссекторные плоскости всех пересекаются в одной точке, то в
пирамиду можно вписать шар.
Замечание: Однако в общем случае необязательно все биссекторные плоскости пересекаются в
одной точке, поэтому не всегда в пирамиду можно вписать шар.
Теорема 1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.
6
Теорема 2. В правильную n-угольную пирамиду можно вписать шар.
В какую пирамиду нельзя вписать шар?
Четырёхугольная пирамида, если в её основании неправильный
биссекторные плоскости не пересекаются.
четырёхугольник
и
все
Для решения задачи часто рассматривают подобие
треугольников ОВМ и РВК (рассмотреть подробно).
Задача. Шар, вписанный в правильную треугольную пирамиду, пересекает высоту пирамиды
SO в точке P так, что SP:PO=2:3. Найти объём пирамиды, если объём шара равен
Дано: SАВС - правильная пирамида, в неё вписан шар,
Р  SO, SР: РО=2:3, Vш.=
4
4
3
см .
3
см.
3
Найти: Vпир.
Решение:
1. По условию SР:РО=2:3.
4
1
3
3
2. Vш.= πR3 , R=ОО1=О1Д. Vпир.= Sосн.∙SO,
1
Vпир.= АС2∙sin60˚,
6
3. Vш.=
4
Vпир.=
3
12
см3 по условию, тогда
3
АС2∙SO.
4
3
πR3=
4
R3=√3,
3
6
4.
РО  2 R  2  6 3 см , т .к .
приходится
2
3
 6 3 см ;
R= 3
SP : PO  2 : 3 , то
SO  5 ч ;
SO 
10
на
РО
приходится
3 части , на 1 ч
 6 3 см .
3
7
SO 1  SO  OO 1 ;
 SO 1 D
5. в
в
7.
Найдём
OK 
r 
cos  
 SO К
 90  
OK 
tg  , используя
 1;
cos 
2
3  2 10
AC
tg  
56 3

KS
SO
tg 
1  tg  
.
.
1
  острый
,
cos 
2
угол .
2 10
( см )
окружности
AC  2 3 r ;
, вписанной
AC 
в правильный
10 3  5  6 3

 АВС
30  6 3 .
10
3
V пир . 
Ответ :
3
7
2
2 3
8.
cos  
;
10
r  радиус
;
KD
3
10  6 3  3
ОК  r ,
3
 90  
1
tg  
 6 3 см .
 SDO 1
 SO К
6.
7
SO 1 
12

30  6 3

2

10
3
6 3 
3
 30  3 3 
12
10
 6 3  25 ( см ).
3
3
3
25 см .
Задача.
В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α вписан шар. Найти
объём шара, если боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.
Дано: SАВСД- пирамида, АВСD- ромб, АВ=а,  BAD=α, в пирамиду вписан шар,  SDCO=  .
Найти: Vш.
Решение:
 SPO=β – линейный угол двугранного угла SDCO.
Vш 
4
 r , где r  МК  МО .
3
3
ОР 
1
h , где h  высота
ромба
2
h  a sin  ; значит , ОР 
1
a sin 
2
в  SOP
SP 
(  SOP  90  );
OP
;
cos 
SP 
a sin 
2 cos 
.
SK=SP-KP;
KP  OP 
1
a sin 
как отрезки
касательны
х
2
SK 
a sin 
2 cos 

1
2
a sin  
a
2
sin  (
1
cos 
 1)
∆SMK ~ ∆SPO (по двум углам:  S – общий;  SKM=  SOP=90°) 
8
 SMK=  SPO=β.
SK
a sin 
1
MK 
;
MK 
(
 1)
tg 
2 tg  cos 
a sin  (1  cos  )
MK 
2 tg  cos 
a sin  (1  cos  )
MK 
2 sin 
3
1
Vш 

3
a sin
6
 (1  cos  )
3
sin
3

Далее можно предложить учащимся упростить полученное выражение (если нужно, то можно
2 tg

1  tg
2
напомнить универсальную подстановку: sin  
1  tg
2

2
;
2

2

2
cos  
1  tg
).
2
После преобразований имеем
V 

a sin   tg
3
3
3
6

.
2
Ответ :

6
a sin   tg
3
3
3

.
2
5. Шар, вписанный в усечённый конус.
а) Шар называется вписанным в усечённый конус, если он
касается оснований конуса в их центрах и конической
поверхности.
б) Осевым сечением данной комбинации тел является
окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, радиус
которой равен радиусу вписанного шара.
в) Для того, чтобы в усечённый конус можно было вписать шар,
необходимо и достаточно, чтобы сумма его диаметров
равнялась удвоенной величине образующей.
d +D=2ℓ или r+R=ℓ, ℓ-образующая конуса, r, R- радиусы
оснований конуса.
h=2 R ш .
г) Центр описанного шара находится в середине отрезка, соединяющего центры оснований.
ЗАДАЧА (решают на доске).
Образующая усечённого конуса составляет с плоскостью его основания угол в 60°. Найти
площадь поверхности вписанного в этот конус шара, если площадь боковой поверхности
усечённого конуса равна 4см2.
9
Дано: усечённый конус,  АВМ =60˚, в конус вписан шар,
Sбок.=4см2.
Найти: Sш.
Решение:
S ш  4 R 1 ,
2
1.
1
R1 
2.
R 1  радиус вписаного
где
шара
BM
2
S бок.кон
  l ( r  R ), где r и R - радиусы
.
оснований
конуса, l  образующая
КВ  ВО 1 
 как отрезки
КА  АО 
3.
касательны х
АВ  l  r  R
  l ; по условию
S бок.кон
5.
в  АВМ
.
 АМВ
МВ  АВ  sin 60 ;
2
 90  
MB 
3l
АМ 
1
1
S ш  4   
2

Ответ :
2
l , как катет, лежащий
против
2

угла 30 
2
3
MB 
;

2
6.
l  4 l 
S бок.кон.  4 см ; тогда
2
4.
R1 
;
1
3
2

2
3 
 ;
 
S ш  3 см
2
2
3 см .
ЗАДАЧА (предложено готовое решение, проецируется на доску).
Образующая усечённого конуса составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти объём
усечённого конуса, если объём вписанного в него шара
12
3
см .
13
Дано: усечённый конус, в него вписан шар,  ВАМ=60˚,Vш=
12
13
см3.
Найти: Vк.
Решение:
1.
Vш 
V ус . к . 
4
R  радиус
3
шара
3
h
3
 R , где
R
2
1
 R1 r  r
2 . по условию
4 R
3
2
3


12
;
R
13
3

9
13 
3. ВМ=h=2R, т.к. в усечённый конус вписан шар,
4. В ∆АВМ (  АМВ=90°)
AM 
BM
tg 60 
;
AM 
h
3
;
l  2 AM 
2h
, как катет, лежащий против
3
угла 30°.
10
5.
l  AB  KB  AK ,
AK  AO 
 как отрезки
KB  BO 
AK  AO  R 1  AM  r ,
r 
6.
VK 
13
h  9 h
l  2 r  AM ;
тогда
l  AM
;
R1 
h

3
h

2 3
3h
2 3
3h
h 




3  12
12
12 
h ,
3
2
но
2
2
h  2  R;

VK 
36
Ответ :
r 
2
1  2h
h 
h


 
,
2 3
3 2 3
VK 
касательны х
13
 8 
36
9
13 
 2 ( см )
3
3
2 см .
III. РЕФЛЕКСИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ .
1. Заключительное слово учителя.
2. Обсуждение проектов (принцип – белый оппонент (что понравилось, что узнали
нового, черный оппонент (что было непонятно, как можно было сделать лучше).
Время для выступления до 3мин. Для обеспечения конструктивного обсуждения
необходимо напомнить основные правила, регламент выступлений.
Адекватность самооценки и оценки учителя.
3. Подведение итогов урока – устная фронтальная работа (проводится для
повторения ранее изученных комбинаций в целях подготовки к контрольной
работе, используются презентации)
.
В цилиндр
вписан шар.
Найдите объем
цилиндра, если
периметр его
осевого сечения
равен 8.
O1
O
R
O2
11
О1
О
R
О2
2. Около цилиндра описан
шар. Отрезок,
соединяющий центр этого
шара с точкой окружности
основания цилиндра
образует с плоскостью
основания цилиндра угол
450. Найдите объем шара,
если радиус цилиндра
равен 3 2 см
В усечённый
конус вписан шар.
Радиусы
оснований конуса
3см и 5см.
Образующая
конуса наклонена
к основанию под
углом 30˚. Найти
радиус шара.
12
IV. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (2 задачи по выбору учащихся, при проведении инструктажа
учитель акцентирует внимание на выборе задач в соответствии с актуальным уровнем их развития
и возможности предложить несколько способов решения для каждой задачи).
1. В шар радиуса 5 см вписана правильная четырёхугольная пирамида, при этом её основание
оказалось вписанным в круг радиуса 3 см. Высота пирамиды больше радиуса шара. Определить
объём пирамиды.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Длина стороны основания пирамиды 12 см,
высота пирамиды 6 см. Найти радиус шара.
3. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар. Сторона основания равна а, плоский угол
при вершине равен α. Найти радиус шара.
4. В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объём шара,
если объём конуса 27 см3.
13
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа