close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Сергей Бейлин
Смешанные задачи
с интегральными условиями
для волнового уравнения
1. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи в прямоугольнике D с условием Неймана и нелокальным интегральным условием для уравнения
utt − uxx + c(x, t)u = f (x, t)
в пространстве Соболева W21(D).
2. Исследована однозначная разрешимость смешанной задачи в
цилиндре QT с нелокальным интегральным условием для уравнения с n пространственными переменными
utt − ∆u + c(x, t)u = f (x, t)
в пространстве Соболева W21,2(QT ).
3. Разработаны методы построения классического решения смешанной задачи с условием Дирихле и нелокальным интегральным условием для уравнения колебаний струны. Этими методами установлена однозначная разрешимость поставленной задачи.
4. Доказано существование единственного классического решения
нелокальной задачи с интегральным условием для уравнения с
сингулярным коэффициентом. Выявлены условия на входящий
в уравнение параметр, при выполнении которых часть границы
свободна от задания условий на искомое решение.
1
1.1. Смешанная задача с интегральным условием на плоскости
D = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T },
T ≤l
utt − uxx + c(x, t)u = f (x, t)
(1)
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0,
(2)
ux(0, t) = 0,
(3)
Zl
K(x)u(x, t)dx = 0,
t ∈ [0, T ].
0
¯
c(x, t) ∈ C(D),
f (x, t) ∈ L2(D)
\
K(x) ∈ C[0, l] C 1(0, l),
K(l) 6= 0
¯ 21(D) = {v(x, t) : v(x, t) ∈ W21(D), v(x, T ) = 0}
W
W21,2(D) = {u : u ∈ W21(D), utt ∈ L2(D)}
ZT Z l
2
2
2
2
2
||u||W 1,2(D) =
u + ut + ux + utt dxdt.
2
0
0
2
(4)
ux(l, t) = p(t)
ZT Z l
(uxvx − utvt + cuv)dxdt =
0
0
ZT Z l
=
ZT
f vdxdt +
0
0
p(t)v(l, t)dt, (5)
0
Zl
(K 0(x)ux(x, t) + K(x)c(x, t)u(x, t)) dx−
K(l)p(t) =
0
Zl
K(x)f (x, t)dx. (6)
−
0
Определение 1. О.р. задачи (1)—(4) — пара ф–й (u, p):
¯ 21(D) уд. (5);
1. u(x, t) ∈ W21,2(D), u(x, 0) = 0, ∀v(x, t) ∈ W
2. p(t) ∈ L2(0, T ) и удовлетворяет равенству (6).
Теорема
1. Если
f (x, t),
Rl
= 0, K(x)
0 K(x)f (x, 0)dx
ft(x, t)
∈
∈
C 1[0, l], K(l)
L2(D),
6=
0,
0 ≤ c0 ≤ c(x, t) ≤ c1, |ct(x, t)| ≤ c2, то существует
единств. обобщенное решение задачи (1)–(2)–(3)–(4).
3
Единственность.
Zl
2
u¯ +
u¯2t
+
u¯2x
Zτ Z l
2
dx ≤ D(T )
0
u¯ +
0
u¯ (x, τ ) +
u¯2t (x, τ )
+
+
u¯2x
dx.
(7)
dx = 0 ∀τ ∈ [0, T ]
(8)
0
Zl
2
u¯2t
u¯2x(x, τ )
0
Существование.
ZT Z l
m
m
(um
x vx − ut vt + cu v) dxdt =
0
0
ZT
Zl
ZT Z l
f (x, t)v(x, t)dxdt −
=
0
0
1
p (t) =
K(l)
−
0
0
Zl
m
1
+
K(l)
pm(ξ)dξdxdt,
cv
0
K
0
(x)um−1
x
(9)
x+t−l
Z
m−1
+ K(x)c(x, t)u
dx+
0
Zl
Zt
R(ξ, t)
0

1 
F (t) +
K(l)
K
0
(x)um−1
x
0
m−1
+ K(x)c(x, t)u
dxdξ−

Zt
F (ξ)dξ  .
0
(10)
∀pm(t)∃um(x, t)
4
1.2. Смешанная задача с нелокальным условием для волнового уравнения с n пространственными переменными
utt − ∆u + c(x, t)u = f (x, t)
(11)
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x),
(12)
Zt Z
∂u +
K(x, ξ, τ )u(ξ, τ )dξdτ = 0,
∂n S
0
x ∈ ∂Ω, t ∈ [0, T ],
Ω
(13)
Q = Ω × (0, T ),
S = ∂Ω × (0, T ).
Определение 2. Обобщенным решением задачи (11)–(12)–
(13) будем называть функцию u(x, t) ∈ W21(Q), удовл. нач.
ˆ 21(Q) тождеству
усл. u(x, 0) = ϕ(x) и для любой v ∈ W
ZT Z
(∇u∇v − utvt + cuv) dxdt+
0
Ω
Zt Z
ZT Z
v(x, t)
+
0 ∂Ω
K(x, ξ, τ )u(ξ, τ )dξdτ dsdt =
0
Ω
ZT
Z
=
Z
f vdxdt +
0
Ω
ψ(x)v(x, 0)dx. (14)
Ω
5
Теорема 2. Если f (x, t) ∈ L2(Q), ϕ(x) ∈ W21(Ω), ψ(x) ∈
L2(Ω), K(x, ξ, τ ) ∈ C(Q × S), и выполнены неравенства
0 ≤ c0 ≤ c(x, t) ≤ c1,
|ct(x, t)| ≤ c2,
∂K ≤ K1, i = 1, . . . n,
max |K| ≤ K0,
max ¯
¯
∂xi Q
Q
то существует единственное обобщенное решение задачи
(11)–(12)–(13)
Zt
u(x, η)dη
w(x, t) =
Z
0
2
2
|∇w(x, τ )| + u (x, τ ) dx ≤ 0
Ω
um(x, t) =
m
X
1
∀τ ∈ 0,
2C0
dk (t)wk (x),
(15)
dk (τ )κkl (τ )dτ = fl (t).
(16)
k=1
m
X
Zt
d00k (t)δkl + dk (t)γkl (t) +
k=1
0
d0k (0) = βk ,
dk (0) = αk ,
6
(17)
2. Задача с условием Дирихле и интегральным нелокальным условием для уравнения
колебаний струны
D = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < T }
utt − uxx = f (x, t)
(18)
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), u(0, t) = 0,
Z1
u(x, t)dx = 0.
(19)
(20)
0
2.1
¯ а функции ϕ(x), ψ(x) удоЛемма 1. Пусть f (x, t) ∈ C(D),
влетворяют условию согласования:
Z1
Z1
ϕ(x)dx =
0
ψ(x)dx = 0.
0
Тогда задача (18)-(19)-(20) эквивалентна задаче для уравнения (18) с условиями (19) и условием типа БицадзеСамарского:
Z1
ux(0, t) − ux(1, t) =
f (x, t)dx.
0
7
(21)
Теорема 3. Если ϕ(x)
∈
C 2[0, 1], имеет кусочно–
непрерывную производную третьего порядка, ϕ(0) =
R1
R1
0
0
00
0, ϕ (0) − ϕ (1) = 0 f (x, 0)dx, ϕ (1) = − 0 f (x, 0)dx;
ψ(x) ∈ C 1[0, 1], имеет кусочно–непрерывную производную
R1
0
0
второго порядка, ψ(0) = 0, ψ (0) − ψ (1) = 0 ft(x, 0)dx;
¯
f (x, t) ∈ C 2(D),
имеет кусочно–непрерывную третью
R1
производную по t, f (0, t) = − 0 f (x, t)dx, f (1, t) =
R1
1
− 0 f (x, t) + 2 ftt(x, t) dx, то существует единственное
¯
решение задачи (18)-(19)-(21) u(x, t) ∈ C 2(D).
X 00 + λX = 0, X(0) = 0, X 0(0) = X 0(1).
λk = (2πk)2, k = 0, 1, . . .
X0 = x,
Xk = sin 2πkx
(В.А.Ильин, ДАН, 1976)
X0 = x, X2k = sin 2πkx, X2k−1 = x cos 2πkx
Y0 = 2, Y2k = 4(1 − x) sin 2πkx, Y2k−1 = 4 cos 2πkx
8
(22)
(23)
2.2
u(0, t) = µ(t)
(24)
x
v(x, t) = u(x, t) − µ(t) + µ(t)
l
vtt − vxx = f (x, t) + µ00(t)
(25)
v(0, t) = v(l, t) = 0,
(26)
v(x, 0) = vt(x, 0) = 0.
(27)
4
µ(t) −
π
K(t, τ ) =
x−l
,
l
Zt
µ(τ )K(t, τ )dτ = g(t),
0
∞
X
k=1
(28)
1
π(2k − 1)(t − τ )
sin
,
2k − 1
l
Zt Z l
∞
X
π(2k − 1)(t − τ )
8
1
f (x, τ ) sin
g(t) = − 3
×
π
(2k − 1)2
l
k=1
0
0
× sin
9
π(2k − 1)x
dxdτ.
l
3. Задача для уравнения S
D = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T }
p
utt = uxx + ux
x
(29)
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x),
(30)
Zl
K(x)u(x, t)dx = E(t),
(31)
0
K(x) = xp
u(l, t) = ν(t).
(32)
w(x, t) = u(x, t) − ν(t)
wtt = wxx + xp wx − ν 00(t),
(33)
w(x, 0) = ϕ(x) − ϕ(l), wt(x, 0) = ψ(x) − ψ(l),
(34)
w(l, t) = 0, |w(0, t)| < ∞.
(35)
10
p 0
X + X + λ2X = 0,
X(l) = 0.
x
2
2
1
−
2α
α
−
ν
u00 +
u0 + β 2 +
u=0
z
z2
00
µk
λk = ,
l
Xk (x) = x
1−p
2
(36)
µ x
k
J p−1
2
l
Zt
ν(τ )K(t, τ )dτ = F (t),
βν(t) −
0
2
β=
l
∞
X
k=1
2
1
−
µ2k p + 1
!
, K(t, τ ) =
(37)
∞
X
sin µk (t−τ )
l
k=1
µk
∞
X
1
2
=
.
2
µk p + 1
k=1
Zt
ν(τ )K(t, τ )dτ = F (t)
0
11
(38)
*
[1] Beilin S. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with
nonlocal conditions. //Electronic Journal of Differential Equations. 2001.
Т. 2001. №76. С. 1–8.
[2] Бейлин С.А. Единственность решения смешанной задачи с интегральным
условием для гиперболического уравнения. //Труды Второго Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. Самара. 2001.
Т. 8. С. 392.
[3] Бейлин С.А., Пулькина Л.С. Единственность решения смешанной задачи с
интегральным условием для одного гиперболического уравнения. //Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань. 2001. Т. 11. С. 24–
27.
[4] Бейлин С.А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения. //Труды международной конференции “Математическое моделирование, статистика и информатика”. Самара. 2001. С. 206–207.
[5] Бейлин С.А. Смешанная задача с интегральным условием для неоднородного
волнового уравнения. //Труды XI межвузовской конференции “Математическое моделирование и краевые задачи”. Самара. 2001. Т. 3. С. 24–27.
[6] Бейлин С.А. Нелокальная задача с интегральным условием для одномерного волнового уравнения. //Труды XXIV Конференции молодых ученых
механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва. 2002. Т. II. С. 24–27.
[7] Бейлин С.А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием.
//Матем. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11. №2. С. 22–29.
[8] Бейлин С.А.
Об одном свойстве корней функции Бесселя Jν (x).
//Вестник Самарского государственного технического университета.
2004. Т. 30. С. 186–187.
[9] Бейлин С.А. Нелокальная смешанная задача для одного гиперболического
уравнения. //Тезизы докладов всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (СамДифф-2005). Самара. 2005. С. 24–
27.
[10] Бейлин С.А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием для гиперболического уравнения. //Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы.
Воронеж. 2005. С. 30–31.
[11] Бейлин С.А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения. //Неклассические уравнения математической физики. Сборник научных работ. Новосибирск. 2005. С. 37–43.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа