close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

(PDF, 729KB)

код для вставкиСкачать
1.6. Метод наложения.
Теоретические сведения.
При расчете этим методом используется принцип наложения (или принцип
суперпозиции), который справедлив для всех линейных цепей: ток в любой
ветви может быть найден как алгебраическая сумма токов от каждого из
источников в отдельности. При расчете токов от некоторого i-того источника
остальные источники должны быть исключены из схемы: неучитываемые
источники ЭДС закорачиваются (заменяются отрезком провода, при этом
внутреннее сопротивление источника остается в схеме), а ветви с
неучитываемыми источниками тока обрываются.
Алгоритм расчета цепи методом наложения.
1.5.1. Определяем число источников энергии (ЭДС и тока) в цепи.
1.5.2. Составляем расчетные схемы. Таких схем должно быть столько же,
сколько источников энергии в цепи. Каждая из схем должна содержать
только один источник. Неучитываемые источники ЭДС закорачиваются,
ветви с неучитываемыми источниками тока обрываются.
1.5.3. Производим расчет каждой схемы любым из ранее рассмотренных
методов. Желательно при этом выбирать направления искомых токов
одинаковыми во всех расчетных схемах.
1.5.4. Для получения токов в ветвях складываем части токов, полученные при
расчете каждой из схем.
Примеры.
Пример 1. Найти токи в схеме рис.13 с применением метода
наложения.
Дано:
1.6.1. Определяем число источников энергии (ЭДС и тока) в цепи: 3.
1.6.2. Составляем расчетные схемы. Таких схем должно быть столько же,
сколько источников энергии в цепи. Каждая из схем должна содержать
только один источник. Неучитываемые источники ЭДС закорачиваются,
ветви с неучитываемыми источниками тока обрываются: см. рис. 178.
Рис. 178 а)
Рис. 178 б)
Рис. 178 в)
1.6.3. Производим расчет каждой схемы любым из ранее рассмотренных
методов. Желательно при этом выбирать направления искомых токов
одинаковыми во всех расчетных схемах, тогда в пункте 1.6.4 не
придется учитывать знак при сложении составляющих токов. В
противном случае составляющие токов, направленные в
противоположную сторону, берут со знаком минус.
Рассмотрим полученные расчетные схемы по порядку.
Рис. 179 а)
Рис. 179 б)
Рис. 179 в)
Схема рис. 178 а) В схеме действует один источник ЭДС - . Вследствие
отсутствия одного узла две ветви слились в одну, таким образом, токи
и равны. Расчет этой схемы проведем методом эквивалентных
преобразований. Видно, что резисторы
соединены
последовательно, складывая их сопротивления, заменяем их
эквивалентным сопротивлением
(схема
рис. 179 б). Затем заменяем эквивалентным сопротивления
и :
см. схему рис. 179 в). Теперь, имея одноконтурную
схему, можем определить ток :
. Зная ток
,
можем определить падение напряжения на сопротивлении
:
. Чтобы определить остальные токи, необходимо
вернуться к схеме рис. 179 б):
;
.
Схема рис. 178 б) В схеме действует один источник ЭДС - .
Вследствие отсутствия одного узла две ветви слились в одну, таким
образом, токи и равны.
Рис. 180 а)
Рис. 180 б)
Расчет этой схемы также проведем методом эквивалентных
преобразований. Видно, что резисторы
соединены
параллельно, заменим их эквивалентным сопротивлением
(схема рис. 180 б). Теперь, имея одноконтурную схему,
можем определить ток
:
. Зная ток
,
можем определить падение напряжения на сопротивлении
:
. Чтобы определить остальные токи, необходимо
вернуться к схеме 180 б):
;
.
Схема рис. 178 в) В схеме действует источник тока – .
Данную схему можно также рассчитать методом эквивалентных
преобразований, но удобнее сделать расчет с применением законов
Кирхгофа: в схеме 5 ветвей, 4 ветви с неизвестными токами, 3 узла, по
первому закону составим 2 уравнения, по второму также 2:
Полученные токи:
1.6.4. Для получения токов в ветвях складываем части токов, полученные при
расчете каждой из схем:
Пример 2. Найти токи в схеме рис. с применением метода наложения.
Дано:
1.6.1. Определяем число источников энергии (ЭДС и тока) в цепи: 2.
1.6.2. Составляем расчетные схемы. Таких схем должно быть столько же,
сколько источников энергии в цепи. Каждая из схем должна содержать
только один источник. Неучитываемые источники ЭДС закорачиваются,
ветви с неучитываемыми источниками тока обрываются: см. рис.181.
Рис. 181 а)
Рис. 181 б)
1.6.3. Производим расчет каждой схемы любым из ранее рассмотренных
методов. Желательно при этом выбирать направления искомых токов
одинаковыми во всех расчетных схемах, тогда в пункте 1.6.4 не
придется учитывать знак при сложении составляющих токов. В
противном случае составляющие токов, направленные в
противоположную сторону, берут со знаком минус.
Рассмотрим полученные расчетные схемы по порядку.
Поскольку в данной схеме (рис. 182)
много ветвей, и в то же время
количество узлов сравнимо с
количеством контуров, ни один
способ расчета не упрощает задачу
расчета. Поэтому применим законы
Кирхгофа для расчета обеих схем. Для
Рис. 182
этого обозначаем направления токов,
узлы и контура. Записываем уравнения:
Решаем уравнения с помощью он-лайн калькулятора, полученные токи
⁄
равны:
⁄
⁄
Вторая схема (рис. 183):
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
Рис. 183
⁄
Полученные токи равны:
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
.
1.6.4. Для получения токов в ветвях складываем части токов, полученные при
расчете каждой из схем:
Пример 3. Найти токи в схеме рис. 20 с применением метода
наложения.
Дано:
1.6.1. Определяем число источников энергии (ЭДС и тока) в цепи: 4.
1.6.2. Составляем расчетные схемы. Таких схем должно быть столько же,
сколько источников энергии в цепи. Каждая из схем должна содержать
только один источник. Неучитываемые источники ЭДС закорачиваются,
ветви с неучитываемыми источниками тока обрываются: см. рис. 184.
Рис. 184 а)
Рис. 184 б)
Рис. 184 в)
Рис. 184 г)
1.6.3. Производим расчет каждой схемы любым из ранее рассмотренных
методов. Желательно при этом выбирать направления искомых токов
одинаковыми во всех расчетных схемах, тогда в пункте 1.6.4 не
придется учитывать знак при сложении составляющих токов. В
противном случае составляющие токов, направленные в
противоположную сторону, берут со знаком минус.
Рассмотрим полученные расчетные схемы по порядку.
Схема рис. 184 а) В схеме действует
один источник ЭДС - . Расчет этой
схемы проведем методом
эквивалентных преобразований (рис.
185). Видно, что резисторы
соединены параллельно,
если заменить их эквивалентным
сопротивлением , то схема станет
одноконтурной и в ней можно
Рис. 185
определить ток :
,
,
. Затем находим падение напряжения на эквивалентном
сопротивлении, что дает нам возможность рассчитать токи во всех
остальных ветвях:
(направлено вверх). Находим
токи:
,
,
,
. Минусы взяты при вычислении токов,
направления которых не совпадают с направлением .
Схема б).
Здесь также действует один источник,
, расчет полностью аналогичен:
,
.
Теперь, имея одноконтурную схему,
можем определить ток
:
. Зная ток , можем определить
падение напряжения на сопротивлении
Рис. 186
:
(направлено вниз). Находим токи:
,
,
,
.
Минусы взяты при вычислении токов, направления которых не
совпадают с направлением .
Схема в) В схеме действует один источник ЭДС – .
Расчет аналогичен.
,
. Теперь, имея одноконтурную
схему, можем определить ток :
. Зная ток
, можем
определить падение напряжения на
сопротивлении
:
(направлено вниз). Находим токи:
Рис. 187
,
,
,
. Минусы взяты при вычислении
токов, направления которых не совпадают с направлением
.
Схема г) В схеме действует источник тока – .
Данную схему можно также
рассчитать методом
эквивалентных преобразований,
но удобнее сделать расчет с
применением законов Кирхгофа: в
схеме 6 ветвей, 5 ветвей с
неизвестными токами, 2 узла, по
первому закону составим 1
Рис. 188
уравнение, по второму 4:
Полученные токи:
,
1.6.4. Для получения токов в ветвях складываем части токов, полученные при
расчете каждой из схем:
Величины найденных токов совпадают с ранее рассчитанными другими
способами.
Пример 4. Найти токи в схеме рис. 25 с применением метода
наложения.
Дано:
1.6.1. Определяем число источников энергии (ЭДС и тока) в цепи: 6.
1.6.2. Составляем расчетные схемы. Таких схем должно быть столько же,
сколько источников энергии в цепи. Каждая из схем должна содержать
только один источник. Неучитываемые источники ЭДС закорачиваются,
ветви с неучитываемыми источниками тока обрываются: см. рис. 189.
Рис. 189 а)
Рис. 189 б)
Рис. 189 в)
Рис. 189 г)
Рис. 189 д)
Рис. 189 е)
Таким образом, получили 6 расчетных схем, каждая из которых
достаточно проста. В данном пособии расчет этой схемы приведен в
качестве примера, но стоит заметить все же, что при наличии большого
количества источников в схеме расчет другими методами более
рационален.
1.6.3. Производим расчет каждой из схем. Для ускорения расчета здесь не
следует применять методы, позволяющие определить ток в одной из
ветвей, такие как метод эквивалентного генератора или эквивалентных
преобразований, воспользуемся методом контурных токов, узловых
потенциалов (наиболее рационален – два уравнения) и расчетом по
законам Кирхгофа.
Схема а) – рис. 190. Рассчитаем ее методом контурных токов. В схеме
пять ветвей и три узла, значит, количество необходимых контуров и
уравнений – три. Выразим токи ветвей через контурные:
. Теперь запишем
контурные уравнения и подставим в них эти
выражения:
После подстановки:
Рис. 190
Решаем систему, находим контурные токи:
Определяем составляющие токов в ветвях:
Схема б) – рис. 191. Также воспользуемся методом контурных токов. В
схеме пять ветвей и три узла, значит, количество необходимых
контуров и уравнений – три. Выразим токи ветвей через контурные:
.
Найдем собственные сопротивления
контуров:
Смежные сопротивления:
Рис. 191
Собственные ЭДС контуров:
Записываем систему уравнений:
.
Или
Определяем контурные токи:
Находим составляющие токов в ветвях:
.
Схема в) – рис. 192. Следующую схему рассчитаем по законам
Кирхгофа.
Анализ: пять ветвей, три узла,
уравнений по первому закону – два,
уравнений по второму закону три.
Составляем уравнения:
Рис. 192
Решаем полученные уравнения, например, с помощью он-лайн
калькулятора, и находим составляющие токов:
Схема г) – рис. 193. Также рассчитываем по законам Кирхгофа: схема
также состоит из пяти ветвей, и, значит, потребуется пять уравнений.
Два из них составим по первому закону, поскольку в схеме три узла,
остальные три по второму закону:
Рис. 193
Решаем полученные уравнения, например, с
помощью он-лайн калькулятора, и находим
составляющие токов:
Схема д) – рис. 194. Эту схему рассчитаем методом узловых
потенциалов. Этот метод наиболее экономичен, поскольку при
наличии шести ветвей он позволяет найти потенциалы, составив
систему из двух уравнений. Запишем токи в ветвях через потенциалы
узлов:
.
Составим теперь уравнения по первому закону для узлов 1 и 2 ,
поскольку потенциал узла 3 принят
равным нулю (узел заземлен).
Переходим к потенциалам:
Рис. 194
Решаем уравнения относительно потенциалов:
Находим составляющие токов в ветвях:
.
Схема е) – рис. 195. Также решим данную задачу с помощью метода
узловых потенциалов. Выражаем токи через потенциалы узлов:
Находим
собственные и взаимные проводимости узлов:
Определяем узловые токи:
,
. Записываем систему:
Рис. 195
Или
Найденные потенциалы:
Определяем составляющие токов в ветвях:
.
1.6.4. Осталось только сложить все составляющие, полученные нами на
шести этапах расчета разными способами:
Пример 5. Найти токи в схеме рис. 31 с применением метода
наложения.
Дано:
1.6.1. Определяем число источников энергии (ЭДС и тока) в цепи: 2.
1.6.2. Составляем расчетные схемы. Таких схем должно быть столько же,
сколько источников энергии в цепи. Каждая из схем должна содержать
только один источник. Неучитываемые источники ЭДС закорачиваются,
ветви с неучитываемыми источниками тока обрываются: см. рис.196.
1.6.3. Производим расчет каждой схемы любым из ранее рассмотренных
методов. Желательно при этом выбирать направления искомых токов
одинаковыми во всех расчетных схемах, тогда в пункте 1.6.4 не
придется учитывать знак при сложении составляющих токов. В
противном случае составляющие токов, направленные в
противоположную сторону, берут со знаком минус.
Рассмотрим полученные расчетные схемы.
Рис. 196 а)
Рис. 196 б)
1.6.4. Производим расчет каждой схемы любым из ранее рассмотренных
методов. Желательно при этом выбирать направления искомых токов
одинаковыми во всех расчетных схемах, тогда в пункте 1.6.4 не
придется учитывать знак при сложении составляющих токов. В
противном случае составляющие токов, направленные в
противоположную сторону, берут со знаком минус.
Рассмотрим полученные расчетные схемы.
Схема а) – рис. 197. В схеме
действует один источник
ЭДС - . Расчет этой схемы
проведем по законам
Кирхгофа. В схеме 8 ветвей,
4 узла, по первому закону
составим три уравнения, по
второму 5. Второй индекс в
обозначении токов – номер этапа расчета.
Найденные составляющие токов:
Рис. 197
,
Схема б) – рис. 198.
Здесь также действует один
источник - . Вследствие того, что
закорочен источник , резистор
из схемы исчезнет (окажется
шунтирован образовавшейся
перемычкой). Поэтому ток через
него не протекает:
.
Интересно, что при отсутствии
источника, тем не менее, придется
Рис. 198
учитывать ток, обусловленный
воздействием ЭДС , который протекает по перемычке. Поэтому этот ток
также придется включать в уравнения, несмотря на то, что количество узлов,
казалось бы, сократилось на один. Таким образом, в схеме 7 ветвей, 4 узла,
по первому закону составляем 3 уравнения, по второму – 4.
Найденные составляющие токов:
,
1.6.5. Для получения токов в ветвях складываем части токов, полученные при
расчете каждой из схем:
(
(
)
)
(
)
Все величины найденных токов совпали с ранее определенными
другими методами.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа