close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Список использованных источников
1. Жуков, Н., Информационная безопасность на объекте информатизации банка. Практическое руководство/Н.С. Жуков, А.Ю. Кораблев, Ю.Н. Мельников – Москва: Вестник Ассоциации Российских банков №
27–33. – 1997.
2. Учебное пособие по курсу «Методы и средства защиты информации» [Электронный ресурс] 2014. –
Режим доступа: http://www.melnikoff.com/yuriy/posobie.htm – Дата доступа: 14.03.2014
3. Классификация вредоносных программ [Электронный ресурс] 29.10.2013. – Режим доступа:
http://blog.kaspersky.ru/klassifikaciya–vredonosnyx–programm/htm – Дата доступа: 14.03.2014
4. Проблемы защиты информации в системах электронной обработки. Пути и методы защиты [Электронный ресурс]. 2014. – Режим доступа: http://lib.nspu.ru/umk/bd311356bf2dc2b0/t5/ch1.html – Дата доступа:
14.03.2014.
УДК 519.65 + 517.548.5
МАТРИЧНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
ЛАГРАНЖЕВА ТИПА ДЛЯ СЛУЧАЯ
СИНГУЛЯРНЫХ МАТРИЦ
И.В. Кочергин, 5 курс
Научный руководитель – А.П. Худяков, к.ф.–м.н.
Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина
На множестве квадратных матриц одна из известных формул матричного тригонометрического
интерполирования [1, с. 461] вида
2n
Tn ( A)  k ( A)k1 ( Ak )F ( Ak ),
k 0
где
k ( A)  sin
матрицы
sin
ГУ

A  A0
A  Ak 1
A  Ak 1
A  A2n
sin
sin
sin
,
2
2
2
2
A  Ak
(  k ) обратимы.
2
существует, если
ние обратных матриц
рицы
sin1
A  Ak
2
(r  l ) следующих структур:
ес
Приведем матричный тригонометрический интерполяционный многочлен, когда существоване требуется. Пусть
и
Srl
есть
l r  и r l  мат-
 Il 
(1)
Srl  
,
O
 r l ,l 
Ol ,r l и Or l ,l – нулевые матрицы указанных
ол
Slr  Il | Ol ,r l 
где Il – единичная матрица размерности l, а
Slr
и
Slr Srl  Il .
~


Пусть k ( A)  k ( A)k ( Ak ), где k ( Ak ) – псевдообратная матрица Мура–Пенроуза
для матрицы k ( Ak ), которая, как известно, всегда существует и единственна [2, с. 33–35] для
~
любых матриц, а rk и lk – ранги матриц k ( Ak ) и F ( Ak ) соответственно (k  0,1, ..., 2n).
~
Теорема. Пусть k ( Ak )  Bk Ck и F ( Ak )  M k Nk – скелетные разложения матриц
~
k ( Ak ) и F( Ak ) (k  0,1,, 2n). Тогда для матричного многочлена
П
размерностей. Очевидно, что
228
2n
~
Tn ( A)   F ( Ak ) Nk Slk rk Bk k ( A)Ck Srk lk M k F ( Ak ),
(2)
k 0
при условии, что lk
 rk (k  0,1,, 2n), выполняются интерполяционные условия
Tn ( A )  F( A ) (  0,1,, 2n).
Пример. Для матричной функции
го порядка, и узлов
F ( A)  esin A  e
3/2
(3)
I , где I – единичная матрица второ-
 51 0 
 16 0 
, A1  
, A2  



12 1 0
48  3 28
12 10 11
построим интерполяционный многочлен вида (2) при n  1. Нетрудно заметить, что для
функции F (A) выполняются ограничения, накладываемые на ранги: lk  rk (k  0,1, 2). В
узлах F (A) принимает значения
0 
  1 0 0   0
F ( A0 )  1 

,
4 1  4 0,344  1,377
0 
   0 0   0
F ( A1)  1 3 

,

4 1  4  0,0624 0,250
0
0 
  0,349
1 4(   )
F ( A2 )   2 1

,
4   2   4 4( 4  1 )  0,183  1,082
 4 0
1 3
e2 2 ,
1 3
e 2 2 .
, 2  e
, 3
4
A  A1 1 7 0 0 
Матрицы sin 0
 sin 
, F ( A0 )
2
4 24 1  4
3/2
1/ 2
ол
е
где
1  e
сГ
У
A0 
и
F ( A1)
не имеют обратных, поэто-
му построим их скелетные разложения, используя аппарат псевдообратных матриц Мура–
Пенроуза. В нашем случае
П
0 0 ~
~
~
0 ( A0 )  1( A1)  
, 2 ( A2 )  I.
0
1


Скелетные разложения данных матриц, а также значений F ( Ak ) имеют, соответственно, вид
~
k ( Ak )  Bk Ck и F ( Ak )  Mk Nk (k  0,1, 2), где C j  BTj  M Tj  0 1 при
j  0,1, B2  C2  M2  I , матрицы N0 , N1 совпадают со вторыми строками матриц
F ( A0 ) и F ( A1), а N2  F( A2 ). При этом, псевдообратные матрицы Bk , Сk , M k равны,
T
T
T
соответственно, транспонированным матрицам Bk , Сk , M k (k  0,1, 2), а
 1   0,171 
 1   0,942
4
4

N0 

,
N


,
1
17(1  1)  4  0,683
17(1  3 )  4  3,768 
0
0 
4( 4  1 )
  2,863
1
N2 

.
4(1   2 )(1   4 )   4   2 4( 2  1 )  0,485  0,924
229
~
k ( Ak ) и F( Ak ) принимают значения
r0  r1  l0  l1  1, r2  l2  2.
Тогда Sl r  Sr l  S11  1 при j  0,1, а Sl r  Sr l  S22  I .
j j
j j
22
22
Таким образом, в нашем случае многочлен (2) при n  1 имеет вид
Как видно, ранги матриц
2
T1 ( A)  Gk k ( A)H k ,
ГУ
k 0
(4)
где
Нормы
ол
ес
0 0
 0,103 0,412 
G0  G1  
,
H

G

I
,
0 
 2
,
0 1
 0,412 1,648
0 
 0,037 0,148 
 20,504
H1  
, H2  

.
0
,
148

0
,
593

4
,
5803

2
,
183




В узлах A0 , A1 и A2 функции k (A) принимают значения
0 
0 
 0
 0
0 ( A0 )  
,

(
A
)

1
1

0,0992  0,397,

0
,
197
0
,
787




0 
 0,017
0 0
2 ( A2 )  
,

(
A
)

k i

0 0 (k  i, k, i  0,1, 2).
 0,120 0,496


невязок
в
(k  0,1; j  1, 2) равны
средних
П
F ( A01)  T1( A01 )
точках
2
A01,
 0,187,
A02
и
A12 Akj  ( Ak  Aj ) / 2
F ( A02 )  T1( A02 )
F ( A12 )  T1( A12 )
2
 0,082,
 0,123.
2
Как видим, многочлен (2) при n  1 достаточно хорошо приближает функцию F (A).
Алгебраические и экспоненциальные матричные интерполяционные многочлены, аналогичные
(2), построены также в [1, с. 494] и [3, с. 145].
Список использованных источников
1. Makarov, Volodymyr L. Methods of Operator Interpolation / Volodymyr L. Makarov, Volodymyr V.
Khlobystov, Leonid A. Yanovich. – Київ : Праці Ін–ту математики НАН України, 2010. – T. 83. – 517 с.
2. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. – 3–е изд. – М. : Наука, 1967. – 575 с.
3. Yanovich, L.A. On one class of interpolating formulas for functions of matrix variables / L.A. Yanovich, A.P.
Hudyakov // J. Numer. Appl. Math. – 2011. – № 2 (105). – P. 136–147.
УДК 519.622.2 + 517.9
РЕШЕНИЕ ЖЁСТКОЙ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ШЕФФЕРА НЕЯВНЫМИ МЕТОДАМИ
Ф.С. Кузьмицкий, 4 курс
Научный руководитель – А.П. Худяков, к.ф.–м.н.
Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина
Химическая реакция HIRES с участием восьми реагентов была предложена Шеффером (1975)
для объяснения «роста и дифференциации растительной ткани независимо от фотосинтеза при высоких уровнях светового облучения» [1, с. 168]. Соответствующие уравнения имеют вид:
230
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа